机器人运动学坐标变换

2017年2月19日星期日
工 业 机 器 人
第3章
3.2.1 直角坐标变换
机器人运动学
3.2 齐次变换及运算
ｚj
坐标之间的变换关系： 平移变换
ｘi
ｚi ｏi
ｘj
ｏj ｙj
ｙi
旋转变换
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第3章
3.2.1 直角坐标变换
1、平移变换
机器人运动学
3.2 齐次变换及运算
β
ｏi
ｏj
ｙj ｙi
ｘi
ｘj
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第3章
3.2.1 直角坐标变换
2、旋转变换
机器人运动学
3.2 齐次变换及运算
③ 旋转变换矩阵的逆矩阵 旋转变换矩阵的逆矩阵既可以用线性代数的方法求 出，也可以用逆向的坐标变换求出。以绕z轴旋转θ角 为例，其逆向变换即为绕z轴旋转-θ角，则其旋转变换 矩阵就为：
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第3章 机器人运动学
3.1 机器人的位姿描述 3.2 齐次变换及运算 3.3 机器人运动学方程 3.4 机器人微分运动 习题
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第3章
运动学研究的问题：
机器人运动学
手在空间的运动与各个
关节的运动之间的关系。 正问题：已知关节运动，求 手的运动。 逆问题：已知手的运动，求 关节运动。
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第3章源自文库
数学模型：
机器人运动学
手的运动→位姿变化→位姿矩阵M
关节运动→参数变化→关节变量qi，i=1，…，n 运动学方程： M=f(qi)， i=1，…，n 正问题：已知qi，求M。
逆问题：已知M，求qi。
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3、联合变换
机器人运动学
3.2 齐次变换及运算
设坐标系{i}和坐标系{j}之间存在先平移变换， 后旋转变换，则空间任一点在坐标系{i}和坐标系{j} 中的矢量之间就有以下关系：
ri pij Rij rj
称上式为直角坐标系中的坐标联合变换方程。
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3.2.1 直角坐标变换
3、联合变换
机器人运动学
3.2 齐次变换及运算
若坐标系{i}和坐标系{j}之间是先旋转变换，后平 移变换，则上述关系是应如何变化？
ri Rij ( pij rj )
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3.2.1 直角坐标变换
机器人运动学
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3.2.1 直角坐标变换
机器人运动学
3.2 齐次变换及运算
解：由题意可得平移变换矩阵和旋转变换矩阵分别为：
p AB 12 cos 30 sin30 0 0.866 0.5 0 6 ， R sin 30 cos 30 0 0 . 5 0 . 866 0 AB 0 0 1 0 1 0 0
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第3章
3.1.2 机器人的坐标系 手部坐标系{h} 机座坐标系{0}
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3.1 机器人的位姿描述
杆件坐标系{i}
i=1，…，n 绝对坐标系{B}
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机器人运动学
3.2 齐次变换及运算
3.2.1 直角坐标变换 3.2.2 齐次坐标变换
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ｘ
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3.1.1 机器人位姿的表示 例：右图所示两坐 标系的姿态为：
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3.1 机器人的位姿描述
ｚ1 ｚ0 ｘ1 ｙ0 ｏ1
0 1 0 R01 1 0 0 0 0 1
ｘ0
ｏ0
ｙ1
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2、旋转变换
机器人运动学
3.2 齐次变换及运算
① 绕z轴旋转θ角 将上式写成矩阵的形式，则有：
x i cos y sin i z i 0
sin cos 0
0 x j 0 y j 1 z j
设坐标系{i}和坐标系 {j}具有相同的姿态，但它俩 的坐标原点不重合，若用 pij 矢量表示坐标系{i}和坐标系 {j}原点之间的矢量，则坐标系 {j}就可以看成是由坐标 系{i}沿矢量 pij平移变换而来的，所以称矢量 pij为平移变 换矩阵，它是一个3×1的矩阵，即： ｚj
px pij p y p z
ｚi ｏi
ｏj pij ｙj
ｘj ｙi
ｘi
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3.2.1 直角坐标变换
1、平移变换
机器人运动学
3.2 齐次变换及运算
若空间有一点在坐标系{i}和坐标系{j}中分别用矢 量 r 和 r 表示，则它们之间有以下关系：
ri pij rj
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3.1.1 机器人位姿的表示
机器人运动学
3.1 机器人的位姿描述
位置可以用一个3×1的位置矩阵来描述。
ｚ
px x p py y p z z
ｘ
ｐ(ｘ,ｙ,ｚ)
ｏ
ｙ
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3.1.1 机器人位姿的表示
姿态可以用坐标系 三个坐标轴两两夹角的
机器人运动学
ｚh ｘh ｏ ｐ(ｘ,ｙ,ｚ) h
ｏ ｙh ｙ
3.1 机器人的位姿描述
ｚ
余弦值组成3×3的姿态
矩阵来描述。
cos(x , x h ) cos(x , yh ) cos(x , z h ) R cos(y , x h ) cos(y , yh ) cos(y , z h ) cos(z , x h ) cos(z , yh ) cos(z , z h )
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也称为方向余弦矩阵。
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3.2.1 直角坐标变换
2、旋转变换
机器人运动学
3.2 齐次变换及运算
z , ——旋转变换矩阵，也称为方向余弦矩阵， Rij
是一个3×3的矩阵，其中的每个元素就是坐标系{i}和 坐标系{j}相应坐标轴夹角的余弦值，它表明坐标系{j} 相对于坐标系{i}的姿态（方向）。
R
z , ij
cos sin 0
sin
cos 0
0 0 1
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3.2.1 直角坐标变换
2、旋转变换
③ 旋转变换矩阵的逆矩阵 比较以下两式：
z , Rij
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3.2 齐次变换及运算
cos sin 0
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R
x , ij
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3.2.1 直角坐标变换
2、旋转变换
②绕x轴旋转α角的 旋转变换矩阵为：
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ｚi
3.2 齐次变换及运算
ｚj
α
0 0 1 0 cos sin 0 sin cos
ｘj
ｙj ｏi ｏj
xi cos x j sin y j 0 z j yi sin x j cos y j 0 z j zi 0 x j 0 y j 1 z j
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3.2.1 直角坐标变换
机器人运动学
3.1 机器人的位姿描述
3.1.1 机器人位姿的表示
3.1.2 机器人的坐标系
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3.1.1 机器人位姿的表示
机器人的位姿主要是 指机器人手部在空间的位
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3.1 机器人的位姿描述
置和姿态，有时也会用到
其它各个活动杆件在空间 的位置和姿态。
3.2 齐次变换及运算
例：已知坐标系{B}的初始位置与坐标系{A}重合，首 先坐标系{B}沿坐标系{A}的x轴移动12个单位， 并沿坐标系{A}的y轴移动6个单位，再绕坐标系
{A}的z轴旋转30°，求平移变换矩阵和旋转变换
矩阵。假设某点在坐标系{B}中的矢量为：
rB 5i 9 j 0k ，求该点在坐标系{A}中的矢量？
结论：
sin cos 0
z , 1 ij
0 0 1
, Rz ji
cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
(R ) (R )
z , T ij
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3.2.1 直角坐标变换
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3.2.1 直角坐标变换
2、旋转变换
机器人运动学
3.2 齐次变换及运算
①绕z轴旋转θ角 再将其写成矢量形式，则有： z ,
ri Rij rj
称上式为坐标旋转方程，式中： ——p点在坐标系{i}中的坐标列阵（矢量）； ri
r j ——p点在坐标系{j}中的坐标列阵（矢量）； z , R —— 坐标系{j}变换到坐标系{i}的旋转变换矩阵， ij
xi x j cos y j sin yi x j sin y j cos zi z j
ｘi
ｙi
ｘj
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3.2.1 直角坐标变换
2、旋转变换
机器人运动学
3.2 齐次变换及运算
① 绕z轴旋转θ角 若补齐所缺的有些项，再作适当变形，则有：
则：
12 0.866 0.5 0 5 11.830 9 13.794 rA p AB RAB rB 6 0.5 0.866 0 0 1 0 0 0 0
α
ｙi
ｘi
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R
y , ij
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3.2.1 直角坐标变换
2、旋转变换
③绕y轴旋转β角的 旋转变换矩阵为：
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ｚi
3.2 齐次变换及运算
ｚj
β
cos 0 sin
0 sin 1 0 0 cos
i
j
ｚi ｏi
ri r j
pij
ｙi
ｚj
ｏj
ｘj
ｙj
称上式为坐标平移方程。
ｘi
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3.2.1 直角坐标变换
2、旋转变换
机器人运动学
3.2 齐次变换及运算
ｚi 设坐标系{i}和坐标系{j}的 原点重合，但它俩的姿态不同， ｚj 则坐标系{j}就可以看成是由坐 标系{i}旋转变换而来的，旋转 ｏi 变换矩阵比较复杂，最简单的 ｏj 是绕一根坐标轴的旋转变换， ｘi 下面以此来对旋转变换矩阵作 ｘj 以说明。
3.2 齐次变换及运算
ｚi
ｚj
ｙj ｏi ｏj
θ θ
ｙi
ｘj
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第3章
3.2.1 直角坐标变换
2、旋转变换
① 绕z轴旋转θ角 若空间有一点p，则其 在坐标系{i}和坐标系{j}中 的坐标分量之间就有以下关系：
机器人运动学
ｚi ｚj
ｙj ｏi
θ ｏj
3.2 齐次变换及运算
ｙj ｙi
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第3章
3.2.1 直角坐标变换
2、旋转变换
① 绕z轴旋转θ角 坐标系{i}和坐标系{j} 的原点重合，坐标系{j}的 坐标轴方向相对于坐标系 {i}绕轴旋转了一个θ角。 θ角的正负一般按右手法 则确定，即由z轴的矢端看， 逆时钟为正。 ｘi
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第3章
机器人运动学
3.1 机器人的位姿描述
3.1.2 机器人的坐标系 手部坐标系——参考机器人手部的坐标系，也称机 器人位姿坐标系，它表示机器人手部在指定坐标系中 的位置和姿态。 机座坐标系——参考机器人机座的坐标系，它是机 器人各活动杆件及手部的公共参考坐标系。 杆件坐标系——参考机器人指定杆件的坐标系，它 是在机器人每个活动杆件上固定的坐标系，随杆件的 运动而运动。 绝对坐标系——参考工作现场地面的坐标系，它是 机器人所有构件的公共参考坐标系。 2017年2月19日星期日