机器人运动学坐标变换
机器人的空间描述与坐标变换
3
2.2平移和旋转坐标系映 射
1.平移坐标变换
BP为坐标系{B}描述的某一空间位
{B}
置，我们也可以用AP（坐标系{A}）描 述同一空间位置。因为两个坐标系具有 相同的姿态，同一个点在不同坐标系下 的描述满足以下关系
A
B
P
{A}
A
P OB
A
PBO
P B P A PBo
（2-4）
OA
图2-3平移变换
第二章 机器人的空间描述和坐标变换
2.1 位姿和坐标系描述
2.2平移和旋转坐标系映射 2.3平移和旋转齐次坐标变换 2.4物体的变换和变换方程 2.5通用旋转变换
1
2.1位置方位表示与坐标系描述
1.位置描述
矢量 Ap 表示箭头指向点的位置矢量，其 中右上角标“A”表示该点是用{A}坐标系描述 的。 px
注：固定坐标系变换，矩阵乘的顺序“自右向左”
13
2.4物体的变换和变换方程
已知坐标系{B}相对坐标系{A}的描述 求坐标系{A}相对坐标系{B}的描述
B A
A B
T
即齐次变换的求逆问题。
T
一种直接的方法是矩阵求逆，另一种方法是根据变换矩阵的特点直 接得出逆变换。后一种方法更简单方便。
给定 A 计算 BT
ZA
q
P1 XA
图2-7旋转算子
0 sq 1 0 0 cq 0 0
0 0 0 1
9
定义了平移算子和旋转算子以后，可以将它们复合实现复杂的映射 关系。变换算子与前面介绍的坐标变换矩阵形式完全相同，因为所有描 述均在同一坐标系下，所以不需上下标描述（坐标系）。
第一章机器人运动学(1)解析
点的齐次坐标（补充）
一般来说，n维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间 实体。有一个特定的投影附加于n维空间，也可以把它看作 一个附加于每个矢量的特定坐标—比例系数。
v
ai
bj
ck
式中i, j, k为x, y, z 轴上的单位矢量，
列矩阵 x
a= x
, b= y
规定，一般情况：41列阵[a b c w]T 中 w 为 零，且满足 a2 + b2 + c2 = 1，则[a b c 0]T 中 的 a、 图1.2 坐标轴的方向表示 b、c 表示某轴的方向； w不为零，则[a b c w]T 表 示空间某点的位置。
图示的矢量 u 的方向用可表达为： u = [a b c 0]T
B A
R
A B
R
1
A B
R
T
坐标变换
2）平ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ坐标变换 坐标系{A}和{B}
具有相同的方位,但 原点不重合.则点P在 两个坐标系中的位置 矢量满足下式:
A P B P A PB0
Robotics 数学基础
坐标变换
3）.复合变换 一般情况原点既
不重和,方位也不同. 这时有:
A
P
A B
RB
矩阵描述.
二、齐次坐标表示
将一个 n 维空间的点用 n+1 维坐标表示，则该 n+1 维坐标即为 n 维坐标的齐次坐标。记为：
P = [a b c w]T
w 称为该齐次坐标中的比例因子，当取w=1 时， 其表示方法称为齐次坐标的规格化形式，即：
P = [PX PY PZ 1]T
当 w 不为1时，则相当于将该列阵中各元素同时 乘以一个非零的比例因子w，仍表示同一点P，即： a = wPX；b = wPY；c = wPZ。
机器人技术 二、齐次坐标变换
第二章 机器人运动学
齐次变换矩阵
复合变换例题
假设（n，o，a）坐标系上的点P（7，3，2）也经历相同变换，但变换顺序按如下 进行，求出变换后该点相对于参考坐标系的坐标。 1、绕z轴旋转90度； 2、接着平移（4，-3，7）； 3、接着再绕y轴旋转90度。
第二章 机器人运动学
齐次变换矩阵
相对动坐标系的变换
因此通过求逆阵就可以求得求矩阵逆例题变换矩阵的逆第二章机器人运动学在一个具有六自由度的机器人的第五个连杆上装有照相机照相机观察物体并测定它相对于照相机坐标系的位置然后根据以下数据来确定末端执行器要到达物体所必须完成的运动
第二讲
齐次坐标变换
主讲：吴海彬
福州大学机械工程及自动化学院
主要内容
引言 点的向量表示 单位向量 点和向量的齐次表示
a 1 o 1 n 1
a o 0
n a 0 n o 0
已知两个向量 a = ax i + ay j + az k b = bx i + by j + bz k 向量的点积是标量。用“ ·”来定义向量点积，即 a ·b = ax bx + ay by + az bz
向量的叉积是一个垂直于由叉积的两个向量构成的平面的向量。 用“×”表示叉积，即
相对运动坐标系的变换与相对固定参考坐标系不同，这时需 要右乘变换矩阵而不是左乘。
相对自身的运动即是相对动坐标。
相对动坐标是指动坐标系本身相对自身的运动，而不是动坐 标系中的点相对动坐标系的运动。 如果在一个变换过程中，既有相对固定坐标系的变换，也有 相对于动坐标系的变换，则应先写出第一个变换因子，在根据 变换的具体过程，依次左乘或右乘变换因子，最后乘以被变换 的对象（点或坐标）。
归纳总结机器人的坐标变换的类型
归纳总结机器人的坐标变换的类型摘要：一、机器人坐标变换的重要性二、机器人坐标变换的类型1.齐次变换2.旋转矩阵变换3.线性变换4.非线性变换三、各类坐标变换的应用场景四、坐标变换在机器人编程与控制中的作用五、总结与展望正文：一、机器人坐标变换的重要性在机器人技术中，坐标变换起着至关重要的作用。
它为机器人编程和控制提供了方便，使得机器人在执行任务时能够准确地定位和执行相应的操作。
坐标变换是将机器人从一个坐标系转换到另一个坐标系的过程，它有助于实现机器人末端执行器在不同坐标系下的定位和运动控制。
二、机器人坐标变换的类型1.齐次变换：齐次变换是一种将机器人从源坐标系变换到目标坐标系的方法，它通过一个4x4的齐次矩阵实现。
齐次变换可以保持机器人的姿态不变，仅改变其位置。
2.旋转矩阵变换：旋转矩阵变换主要用于将机器人的姿态从源坐标系变换到目标坐标系。
通过旋转矩阵，可以实现机器人末端执行器在不同坐标系下的旋转。
3.线性变换：线性变换是将机器人从一个坐标系变换到另一个坐标系的一种方法，它包括平移和缩放两个过程。
线性变换可以实现机器人末端执行器在不同坐标系下的位置和尺寸变化。
4.非线性变换：非线性变换是指在变换过程中，机器人坐标系之间的转换关系不是线性的。
非线性变换通常用于处理机器人运动过程中的摩擦力、弹簧力等非线性因素。
三、各类坐标变换的应用场景各类坐标变换在机器人技术中有着广泛的应用。
例如，在工业机器人中，齐次变换和旋转矩阵变换用于实现机器人末端执行器的定位和姿态控制；线性变换则用于处理机器人末端执行器在不同坐标系下的尺寸变化。
在机器人导航和路径规划中，非线性变换有助于解决机器人运动过程中的非线性约束。
四、坐标变换在机器人编程与控制中的作用坐标变换在机器人编程与控制中起到了关键作用。
通过对机器人进行坐标变换，可以使机器人更好地适应不同的工作环境，提高其在各种任务中的性能。
同时，坐标变换为机器人编程提供了便利，使得开发者可以更轻松地编写机器人控制程序，降低机器人编程的难度。
3机器人的位姿描述与坐标变换
假设：
整理得：
旋转变换通式
讨论：
（1）
（2）
（3）
例：坐标系B原来与A重合，将坐标系B绕过原点O的轴线
转动
，求旋转矩阵
解答：
1）
2）
3）带入旋转通式得：
2、等效转轴与等效转角
转轴和转角
旋转矩阵
1
2？
1）将方程两边矩阵的主对角线元素分别相加，则
2）将方程两边矩阵的非对角线元素成对相减得：
►绕多个坐标轴旋转的转动矩阵
1）、绕固定坐标系旋转
2）、绕运动坐标系旋转
ZYZ欧拉角
注意：多个旋转矩阵连乘时，次序不同则含义不同。1）绕新的动坐标轴依次转动时，每个旋转矩阵要从左往右乘，即旋转矩阵的相乘顺序与转动次序相同；2）绕旧的固定坐标轴依次转动时，每个旋转矩阵要从右往左乘，即旋转矩阵的相乘顺序与转动次序相反。
解：
1）
2）
Z
i
X
i
Y
i
P
坐标系j由坐标系i旋转而成
求点P在i坐标系的坐标：
已知点P在j坐标系的坐标：
P
☺
►姿态矢量矩阵
坐标系j相对于i的方位
旋转矩阵的性质：
旋转矩阵
►绕一个坐标轴旋转的转动矩阵
1）RX
2）RY
3）RZ
转动矩阵的特点：(1) 主对角线上有一个元素为1，其余均为转角的余弦/正弦；(2) 绕轴转动的次序与元素1所在的行、列号对应；(3) 元素1所在的行、列，其它元素均为0；(4) 从元素1所在行起，自上而下，先出现的正弦为负，后出现的为正，反之依然。
2、变换矩阵T的相乘 ★矩阵相乘的顺序一般不可换，特殊可换的情况为变换都是同参考系下的平移或绕同一坐标轴的旋转。
工业机器人课件-知识点2.2 机器人坐标系及数学基础
项目2 工业机器人虚拟工作站的仿真操作
2.2 机器人坐标系的运动变换与数学运算
2.2.2 坐标系的齐次坐标变换 3、坐标系旋转运动的齐次坐标变换
当绕固定参考坐标系作纯旋转时为绝对旋转，新坐标系的位置与姿态通过左 乘变换矩阵
当绕运动参考坐标系作纯旋转时为相对旋转，新坐标系的位置与姿态通过右 乘变换矩阵
项目2 工业机器人虚拟工作站的仿真操作
2.2 机器人坐标系的运动变换与数学运算
2.2.3 机器人坐标系中的各种变换 1、机器人基本变换与基本变换数据
1、基座坐标系与世界坐标系重合； 2、将基座坐标系绕着世界坐标系的X轴旋 转A的角度，单位为°。 3、将基座坐标系绕着世界坐标系的Y轴旋 转B的角度，单位为°。 4、将基座坐标系绕着世界坐标系的Z轴旋 转C的角度，单位为°。 5、将基座坐标系沿着世界坐标系的X、Y、 Z轴分别平移X、Y、Z的距离，单位为mm。
基本变换：从机器人世界坐标系变换至机器人基座坐标系的运
动过程，称之为基本变换。
基本变换数据：沿着机器人世界坐标系X、Y、Z轴平移的距离分
别用X、Y、Z表示，绕机器人世界坐标系X、Y、Z轴旋转的角度分别用 A、B、C表示。以上6个数据构成一个一维数组（X，Y，Z，A，B，C）， 该数组被称为基本变换数据。
2.2.4 机器人正运动学与逆运动学 2、逆运动学计算
为了确定关节角度的唯一解，需要约定关节之间的构造标 志和每个关节的旋转圈数。
关节变量解 1
工具的目标位置 与姿态
关节变量解 2
关节变量解 1
关节变量解 2
项目2 工业机器人虚拟工作站的仿真操作
2.2 机器人坐标系的运动变换与数学运算
4.2 位姿描述 4.3 坐标变换 4.4 轴和坐标系 4.5 工业机器人运动学分析
主要内容
➢掌握关节机器人轴的概念和重要性。 ➢掌握机器人系统相关的坐标系以及它们的关系。
工业机器人的轴
U-3
➢工业机器人以6轴的关节式最常用， 以安川MA1400型号六自由度机器人 L-2 为例，从紧靠机座安装面开始将机 器人各轴取名为S轴、L轴、U轴、R S-1 轴、B轴与T轴。
sin
cos
cos 0 sin
R(Y
,
)
0
1
0
sin 0 cos
Yj
Yi
小结
➢学习了刚体位姿在坐标系中的描述方法 ➢要掌握用矩阵表示刚体上位置点和刚体姿态坐标系 ➢旋转矩阵用来表示刚体姿态，要掌握其使用方法
主要内容
➢学习坐标的平移变换 ➢学习旋转矩阵的使用和坐标的旋转变换
坐标平移变换
刚体姿态的直角坐标描述
➢旋转矩阵是研究机器人运动姿态的基础，它反映了刚体的定点旋转。
a o
n
a o
n
a n
o
刚体姿态的直角坐标描述
➢绕X轴、Y轴、Z轴旋转
Zi Zj
角--变换矩阵
Zi
Zj
Zi Zj
Yj
Yi
Xi Xj
Xi
Xj
Yi Yj
Xi
Xj
1
R(X , ) 0 0
0 cos sin
0
工具坐标系：工具坐标系是一个直角坐标系, 原点位于工具上。 基坐标系：基坐标系位于机器人基座。它是最便于机器人从一
个位置移动到另一个位置的坐标系。 工件坐标系：工件坐标系与工件相关，通常是最适于对机器人
进行编程的坐标系。 用户坐标系：用户坐标系在表示持有其他坐标系的设备（如工
机器人运动学-1位姿表示,坐标变换 第五讲 数理基础共27页
0
0
0
3
0 0 1 7 1 0 0 0 0 0 1 0 2
0 0 0
1
0
0 0 1 0
而齐次变换公式和变换矩阵变为:
APA BTBP, A BTB A0 R AP 1B0
三、齐次坐标变换
2.平移齐次坐标变换
{A}分别沿{B}的X、Y、Z坐标轴平移a、b、c距 离的平移齐次变换矩阵写为：
1 0 0 a Trans(a,b,c) 0 1 0 b
0 0 1 c 0 0 0 1
用非零常数乘以变换矩阵的每个元素，不改变特性。
3.位姿描述
• 刚体位姿(即位置和姿 态),用刚体的方位参考
坐标的原点位置矢量和
旋转矩阵表示，即
B B A RA p B 03 4
•
表示位置时，A B
R
• 表示姿态时，ApB0＝0
一、位置和姿态的表示
4.机器人手爪坐标系
T noaP
n:法向矢量 (normal)
o:方向矢量
(orientation) a:接近矢量 (approach) P:位置矢量 (position)
0 1 0 07 3
R(z,90) 1
0
0
0.3＝
7
0 0 1 02 2
0
0
0
11
1
0 0 1 03 2
R(y,90)
0
1 0 0. 7 ＝7
1 0 0 0 2 3
0
0
0
1
1
1
例4-4：在上述基础上再平移（4，-3，7）。
1 0 0 42 6 Tra(n4,s3,7)0 1 0 3.7＝4
因此旋转矩阵是单位正交矩阵，具有如下特性： B AR1B ART B AR1
机器人学--坐标转换
1
p px py pz T ,n nx ny nz T ,o ox oy oz T ,a ax ay az T
Robotics 数学基础
2.4 物体的变换 及逆变换
3.变换方程初步 {B}:基坐标系 {T}:工具坐标系 {S}:工作台坐标系 {G}:目标坐标系
或工件坐标系 满足方程
A P
1
A B
R
0
A
PB 1
0
B P
1
P点在{A}和{B}中的位置矢量分别增广为:
(2-14)
AP Ax A y Az 1T ,BP Bx B y Bz 1T
而齐次变换公式和变换矩阵变为:
A P ABTB P,
ABT
A B
R
0
A
PB0 1
(2-15,16)
Robotics 数学基础
ny
oy
ay
0
fx
f
yvers
f z s
fy fyvers c
fz fyvers fxs 0
nz 0
oz 0
az 0
0 1
fx
f z v ers 0
f y s
fy fzvers fxs 0
fz fzvers c 0
0 1
将上式对角线元素相加,并简化得
nx
oy
az
(
f
2 x
f
2 y
f
2023最新整理收集 do
something
机器人技术数学基础
Mathematic Preparation for Robotics
2.1 位置和姿态的表示 2.2 坐标变换 2.3 齐次坐标变换 2.4 物体的变换及逆变换 2.5 通用旋转变换
机器人技术 二、齐次坐标变换
齐次变换矩阵
相对动坐标系的变换－例题
坐标系B绕x轴旋转90度，然后沿当前坐标系a轴做了3英寸 的平移，然后再绕z轴旋转90度，最后沿当前坐标系o轴做5 英寸的平移。 1、写出描述该运动的方程； 2、求坐标系中的点P（1，5，4）相对于参考坐标系的最终 位置。
提示：先求 U TB ，再求 U PU TB B P
Px d x Py d y Pz d z 1
注：相对固定坐标系的平移，变换矩阵 左乘，公式为
Fnew Trans(d x , d y , d z ) Fold
第二章 绕参考坐标X轴）
Px P n
Py l1 l 2 P o cos P a sin
? 0.707 F ? 0
0 ? ? 0
? ? 0 0
5 3 2 1
i j ny oy k nz a xi a y j a z k oz
注：三个点积约束条件可以用叉积代替，即：
n o a
进一步有
nx ox
第二章 机器人运动学
齐次变换矩阵
• 变换定义为空间的一个运动； • 当空间的一个坐标系（向量、刚体、运动坐 标系）相对于固定的参考坐标系运动时，这 一运动可以用类似于表示坐标系的方式来表 示； • 变换有如下几种形式： 纯平移， 纯旋转， 平移和旋转的结合。
a 1 o 1 n 1
a o 0
n a 0 n o 0
已知两个向量 a = ax i + ay j + az k b = bx i + by j + bz k 向量的点积是标量。用“ ·”来定义向量点积，即 a ·b = ax bx + ay by + az bz
坐标变换
齐次变换具有较直观的几何意义，非常适合描述坐标系之间的变换关系。
另外，齐次变换可以将旋转变换与平移变换用一个矩阵来表达，关系明确，表达简洁。
所以常用于解决工业机器人运动学问题。
下面我们先介绍有关齐次坐标和齐次变换的内容。
2.2.1 点的位置描述如图2-1所示，在选定的三维空间直角坐标系{A}中，空间任一点P 的坐标可以用一个(3×1)列阵（或称三维列向量）Ap 表示，即：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=z y x p A(2-1)式中：X ，y ，z 是点P 在坐标系{A}中的三个坐标分量；Ap 的左上标A 代表选定的参考坐标系。
2.2.2 齐次坐标如果用四个数组成的(4×1)列阵（或称四维列向量）表示三维空间直角坐标系{A}中的点P ，即：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1z y x p(2-2)则定义列阵[x y z 1]T 为三维空间点P 的齐次坐标。
必须注意，齐次坐标的表示不是唯一的。
如果将列阵p 中的元素同乘一非零系数w 后，仍然代表同一点P ，即：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=w c b a z y x 1p(2-3)式中：x ＝a/w ，y ＝b/w ，z ＝c/w 。
2.2.3 坐标轴的描述如图2-2所示，i 、j 、k 分别是直角坐标系中X 、Y 、Z 坐标轴的单位矢量，若用齐次坐标来描述X 、Y 、Z 轴，则定义下面三个(4×1)列阵分别为单位矢量i 、j 、k （即X 、Y 、Z 坐标轴）的方向列阵。
i ＝[1 0 0 0]T ；j ＝[0 1 0 0]T ；k ＝[0 0 1 0]T 图2-2中所示矢量v 的单位矢量h 的方向列阵为：h ＝[a b c 0]T ＝[cos α cos β cos γ 0]T (2-4)式中，α、β、γ分别是矢量v 与坐标轴X 、Y 、Z 的夹角，0︒≤α≤180︒，0︒≤β ≤180︒，0︒≤γ ≤180︒。
浅析机器人（正）运动学D-H变换原理及算法
浅析机器人（正）运动学D-H变换原理及算法经常给客户培训，期间会有善于思考的朋友们提出一些很有价值的问题！比如，有人会问，机器人是怎么运动的？这种问题往往让我不知从何下手！多数情况下我都是讲一下机器人的各种坐标系用法，大家也都把这些坐标系的用法当成机器人最基础的知识来使用了！买来的机器人简单应用这也足够用了！对于复杂的非标应用，就很难搞定了，有些复杂功能，你得了解机器人最底层的逻辑，才能写出客户想要的功能！例如和多个外部轴同步运动共用坐标系；例如开发自动校准机器人零点的非标功能；或者你们自己设计一个三轴或更多轴的运动平台，需要坐标系的运用；等等！今天我用最简单的语言给大家浅析下机器人最底层的算法，运动学正解；意在让大家了解其原理，懂其原理，大家遇到问题可以有个思路，思路对了，具体的程序就容易了！什么是运动学正解？本文都用如下图六轴机械手举例！有实体图和简化成只有六个电机的连杆结构，主要用连杆电机图做计算逻辑的解析！机器人实体图机器人电机轴位置图什么是运动学（正）解；机器人得有坐标数据，大家才能知道机器人现在在哪里，然后写出它去哪里的程序！机器人的坐标怎么理解呢？比如六轴焊接机器人，我使用它就是为了焊接，我只需要它的焊枪头的位置数据！焊枪头在哪里，就可以说机器人在哪里！那么机器人焊枪头的坐标数据是怎么来的呢？说到坐标，就得有一个原点或者基准，这个原点和基准是不会变化的！这个基准就是在机器人的底座上，永远不会变化；正运动学就是求这个焊枪头在基准坐标里的位置；焊接机器人怎么求焊枪头位置数据（TCP)呢？以下面两幅图为例讲解，分别是机器人正视图和其连杆机构，机器人右视图和其连杆机构！机器人正视图和其连杆机构机器人右视图和其连杆机构假定机器人这个姿势六个电机都在零点，如下两图所示，首先我们要给连杆简图建立坐标系，坐标系怎么建立呢？分六步完成：第一步：找电机轴，标出轴线，如图Z1-Z6为轴线，对应六个关节轴，正视图和右视图配合看着比较清晰;正视图轴线右视图轴线第二步：找出关节轴i和i+1之间的公垂线(就是和两条相邻的轴线都垂直的线），如果两条轴线相交则没有公垂线，那么就取其交点；以公垂线与关节轴i的交点或相交轴线的交点为坐标系{i}的原点（例如Z1和Z2的公垂线为L1，L1与Z1的交点就是坐标原点O1）；如下图红点和红圈都是坐标系原点：坐标系原点正视图坐标系原点右视图第三步：确定Z轴（图中已经标出），和轴线是同一条线；（没有规定Z轴方向，所以可以有两个方向，我们就使用图示的方向，所以每家机器人规定的方向可能会不同！）第四步：规定X轴沿着公垂线的指向，或者轴线相交的情况下规定X垂直于相交直线的平面；（垂直于相交平面的直线又有两个方向，我们只用图示的方向，所以每家机器人的X方向也可能有所不同！）如下图，红色箭头代表X轴：确定X轴，正视图确定X轴，右视图第五步：右手定则确定Y轴方向；如上图，绿色箭头为Y轴方向；第六步：尽量使基坐标O0和坐标系O1重合，图中就是重合状态，也有的机器人基坐标在O1下方或者角度有偏移，都无所谓，就是参数有点变化，下面讲到参数！坐标系定义好了，要转换坐标系了（例如坐标系O1转换到坐标系O2），正常情况下，把一个坐标系转换到另一个坐标系需要6个参数，（X/Y/Z/A/B/C）,三个坐标值和三个坐标旋转数据，每个电机定义好坐标系用这六个参数一样可以完成坐标系转换；但是国外有两个真专家（Denavit-Hartenberg），研究出来用四个参数就可以求解的方法，后人就一直用他们的方法简化运算，我也就讲他们的方法D-H变换了，上面规定设定坐标系的步奏也是为了找到这四个参数。
2、机器人的位姿描述与坐标变换
机器人学第二章机器人的位姿描述与坐标变换战强北京航空航天大学机器人研究所第二章机器人的位姿描述与坐标变换机器人的位姿连杆I 的位姿YX ZYi XiZi YwXwZw2-1、基本概念1) 自由度(Degree of Freedom, DOF)：指一个点或一个物体运动的方式，或一个动态系统的变化方式。
每个自由度可表示一个独立的变量，而利用所有的自由度，就可完全规定所研究的一个物体或一个系统的位置和姿态。
也指描述物体运动所需的独立坐标数，3维空间需要6个自由度。
2) 操作臂(Manipulator)：具有和人手臂(Arm)相似的功能、可在空间抓放物体或进行其它操作的机电装置。
----Arm3) 末端执行器(End-Effector)：位于机器人腕部的末端，直接执行工作要求的装置。
如灵巧手、夹持器。
----Hand/Gripper4) 手腕(Wrist)：位于执行器与手臂之间，具有支撑和调整末端执行器姿态功能的机构。
操作臂的组成部分之一。
5)手臂(Arm)：位于基座和手腕之间，由操作手的动力关节和连杆等组成的组件。
能支撑手腕和末端执行器，并具有调整末端执行器位置的功能。
操作臂的组成部分。
Outdated！6) 世界坐标系(World Coordinate System)：参照地球的直角坐标系。
7)机座坐标系、基坐标系(Base reference coordinate system)：参照机器人基座的坐标系，即机器人末端位姿的参考坐标系。
8)坐标变换(Coordinate Transformation)：将一个点的坐标描述从一个坐标系转换到另一个坐标系下描述的过程。
手腕机座手臂Yw XwZw9)位姿(Position&Pose)：机器人末端执行器在指定坐标系中的位置和姿态。
10)工作空间(Working Space)：机器人在执行任务时，其腕轴交点能在空间活动的范围。
由连杆尺寸和构形决定。
11)负载(Load)：作用于末端执行器上的质量和力矩。
机器人学—数学基础—齐次坐标和齐次变换
定义1：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋 转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。
定义2：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或 平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。
结果均为为动坐标系在固定坐标中的位姿（位置+姿态）。
相对于固定坐标系，轴相 X 轴 当 v轴 ， 于 相 Y 轴 对 w 轴 ， 于 相 Z 轴
z
z
z
w
w′
v′
v″
z
v ```
7
o′ u ```
w ```
o(o′ ) v y
u x
o(o′ ) u′ y
o
x
x w″
u″ y
-3 oy
4 x
解2：用计算的方法
根据定义1，我们有： T Trans(4 , 3, 7) R(y, 90 ) R(Z,90 )
0 0 1 4
1 0 0 3 0 1 0 7
列矩阵 x
a= x
y
, b=
z
, c=
，w为比例系数
w
w
w
V
y z
x
y
z
w T
显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随
w
w值的不同而不同。在计算机图学中，w
作为通用比例因子，它可取任意正值，但
在机器人的运动分析中，总是取w=1 。
[例]：
V3 i4j5 k
可以表示为： V=[3 4 5 1]T
或 V=[6 8 10 2]T 或 V=[-12 -16 -20 -4]T
P'''
0
1
0
01
机器人的空间描述与坐标变换
BPCBTCP APA BTBPA BTC BTCP
（2-24） （2-25）
{A}
{C}
{B}
CP
AP
OC
OB OA
图2-10 复合坐标变换
根据坐标变换的定义得
CATABTCBT
（2-26）
11
例2-3已知点u=7i+3j+2k，先对它进行绕Z轴旋转90o 的变换得点v，再对点v进行绕Y轴旋转90o的变换得 点w，求v和w。
f fxifyjfzk
以 f 为 Z 轴建立与{A}固连的坐标系{C}用n、o和f表示坐标系{C}三个坐标
轴的单位矢量，在坐标系{A}下表示为
ZA
n nxi ny j nzk o oxi oy j ozk f fxi fy j fzk
A C
R
n n
x y
ox oy
f f
x y
B
P
BAR
BP
（2-6）
图2-4旋转变换
B
Z
T A
式（2-6）即为我们要求的旋转变换关系，该变换是通过两个坐
标系之间的旋转变换实现的。
5
3.复合变换
如果两个坐标系之间即存在平移
又存在旋转，如何计算同一个空间点
在两个坐标系下描述的变换关系？
{A}
{C} {B}
BP AP
OB
为了得到位置矢量BP和AP之 间的变换关系，我们建立一个中 间坐标系{C}。
c90 0 s90 1
0
0
CAR
0
1
0
0
c 30
s 30
s90 0 c90 0 s 30 c 30
0 0
机器人运动学坐标变换
工 业 机 器 人
第3章
机器人运动学
3.1 机器人的位姿描述
3.1.2 机器人的坐标系 手部坐标系——参考机器人手部的坐标系，也称机 器人位姿坐标系，它表示机器人手部在指定坐标系中 的位置和姿态。 机座坐标系——参考机器人机座的坐标系，它是机 器人各活动杆件及手部的公共参考坐标系。 杆件坐标系——参考机器人指定杆件的坐标系，它 是在机器人每个活动杆件上固定的坐标系，随杆件的 运动而运动。 绝对坐标系——参考工作现场地面的坐标系，它是 机器人所有构件的公共参考坐标系。 2017年2月19日星期日
2017年2月19日星期日
工 业 机 器 人
第3章
3.2.1 直角坐标变换
机器人运动学
3.2 齐次变换及运算
解：由题意可得平移变换矩阵和旋转变换矩阵分别为：
p AB 12 cos 30 sin30 0 0.866 0.5 0 6 ， R sin 30 cos 30 0 0 . 5 0 . 866 0 AB 0 0 1 0 1 0 0
2017年2月19日星期日
工 业 机 器 人
第3章
3.2.1 直角坐标变换
机器人运动学
3.2 齐次变换及运算
ｚj
坐标之间的变换关系： 平移变换
ｘi
ｚi ｏi
ｘj
ｏj ｙj
ｙi
旋转变换
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第3章
3.2.1 直角坐标变换
1、平移变换
机器人运动学
3.2 齐次变换及运算
设坐标系{i}和坐标系 {j}具有相同的姿态，但它俩 的坐标原点不重合，若用 pij 矢量表示坐标系{i}和坐标系 {j}原点之间的矢量，则坐标系 {j}就可以看成是由坐标 系{i}沿矢量 pij平移变换而来的，所以称矢量 pij为平移变 换矩阵，它是一个3×1的矩阵，即： ｚj
FANUC机器人坐标变换
FANUC机器人坐标变换FANUC機器人坐標變換Pr[]式機器人内部的位置寄存器，Pr[]值有兩种形式，一種是直角坐標係座標值，另一種是關節坐標系作標值，兩者可以互相轉換。
P[]是程序中的點位，除具有上述Pr[]性質外，還記錄有坐標系號碼和工具號碼，如果P[]是關節坐標，切換到其他用戶坐標系可以正常運\動，如果P[]是直角坐標，切換到其他用戶坐標系不能運\動。
工具坐標系切換后不能運\動。
1.進行計算時，例如：(1)Pr[3]=Pr[2]+Pr[1]此時要求Pr[1]和Pr[2]為同種形式的坐標，不同形式時不能運\算。
Pr[1]和Pr[2]都是直角坐標時，Pr[3]也會得到直角坐標值。
Pr[1]和Pr[2]都是關節坐標時，Pr[3]也會得到關節坐標值。
(2) Pr[3]=Pr[2]+P[1]要求P[1]和Pr[2]為同種形式的坐標，不同形式時不能運\算。
(3) Pr[3,3]=Pr[2,5]+50此時不管Pr[2]是關節坐標值還是直角坐標值，都在Pr[2,5]的當前值上加10,如果Pr[3]是關節坐標，計算結果保存到Pr[3]的J3, 如果Pr[3]是直角坐標，計算結果保存到Pr[3]的Z。
2.運\行(1)Pr[i]是關節形式坐標時，在不同坐標系下指定移動到Pr[i]，機器人會到達同一空間位置。
(2) Pr[i]是直角形式坐標時，在不同坐標系下指定移動到Pr[i]，機器人會到達不同空間位置。
3.三點法建立用戶坐標系第一點指定用戶坐標系原點，第二點指定X軸正向，第三點確定XY平面，並指定Y軸正向，注意三點連綫不一定是直角三角形，第三點只是確定XY平面，不一定落在Y軸上，可以確定的是一定落在第一二像限内。
設定完成后得到一組類似點坐標的值，它的意義並非空間點坐標，其XYZ指該用戶坐標原點在大地坐標系中的坐標值，WPR指該用戶坐標系方向和大地坐標系方向相比繞大地坐標系的XYZ軸分別旋轉了多少度。
4.六點法設定工具坐標系六點設定完成之後得到一組類似點坐標的值，和用戶坐標系一樣並非指空間坐標。
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xi cos x j sin y j 0 z j yi sin x j cos y j 0 z j zi 0 x j 0 y j 1 z j
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工 业 机 器 人
第3章
3.2.1 直角坐标变换
工 业 机 器 人
第3章
3.1.1 机器人位姿的表示
姿态可h ｏ ｐ(ｘ,ｙ,ｚ) h
ｏ ｙh ｙ
3.1 机器人的位姿描述
ｚ
余弦值组成3×3的姿态
矩阵来描述。
cos(x , x h ) cos(x , yh ) cos(x , z h ) R cos(y , x h ) cos(y , yh ) cos(y , z h ) cos(z , x h ) cos(z , yh ) cos(z , z h )
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R
x , ij
第3章
3.2.1 直角坐标变换
2、旋转变换
②绕x轴旋转α角的 旋转变换矩阵为：
机器人运动学
ｚi
3.2 齐次变换及运算
ｚj
α
0 0 1 0 cos sin 0 sin cos
ｘj
ｙj ｏi ｏj
xi x j cos y j sin yi x j sin y j cos zi z j
ｘi
ｙi
ｘj
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第3章
3.2.1 直角坐标变换
2、旋转变换
机器人运动学
3.2 齐次变换及运算
① 绕z轴旋转θ角 若补齐所缺的有些项，再作适当变形，则有：
机器人运动学
3.1 机器人的位姿描述
3.1.1 机器人位姿的表示
3.1.2 机器人的坐标系
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第3章
3.1.1 机器人位姿的表示
机器人的位姿主要是 指机器人手部在空间的位
机器人运动学
3.1 机器人的位姿描述
置和姿态，有时也会用到
其它各个活动杆件在空间 的位置和姿态。
α
ｙi
ｘi
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R
y , ij
第3章
3.2.1 直角坐标变换
2、旋转变换
③绕y轴旋转β角的 旋转变换矩阵为：
机器人运动学
ｚi
3.2 齐次变换及运算
ｚj
β
cos 0 sin
0 sin 1 0 0 cos
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第3章
3.2.1 直角坐标变换
2、旋转变换
机器人运动学
3.2 齐次变换及运算
①绕z轴旋转θ角 再将其写成矢量形式，则有： z ,
ri Rij rj
称上式为坐标旋转方程，式中： ——p点在坐标系{i}中的坐标列阵（矢量）； ri
r j ——p点在坐标系{j}中的坐标列阵（矢量）； z , R —— 坐标系{j}变换到坐标系{i}的旋转变换矩阵， ij
第3章
3.2.1 直角坐标变换
3、联合变换
机器人运动学
3.2 齐次变换及运算
若坐标系{i}和坐标系{j}之间是先旋转变换，后平 移变换，则上述关系是应如何变化？
ri Rij ( pij rj )
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3.2.1 直角坐标变换
机器人运动学
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第3章
数学模型：
机器人运动学
手的运动→位姿变化→位姿矩阵M
关节运动→参数变化→关节变量qi，i=1，…，n 运动学方程： M=f(qi)， i=1，…，n 正问题：已知qi，求M。
逆问题：已知M，求qi。
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第3章
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第3章
3.1.1 机器人位姿的表示
机器人运动学
3.1 机器人的位姿描述
位置可以用一个3×1的位置矩阵来描述。
ｚ
px x p py y p z z
ｘ
ｐ(ｘ,ｙ,ｚ)
ｏ
ｙ
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第3章
机器人运动学
3.1 机器人的位姿描述
3.1.2 机器人的坐标系 手部坐标系——参考机器人手部的坐标系，也称机 器人位姿坐标系，它表示机器人手部在指定坐标系中 的位置和姿态。 机座坐标系——参考机器人机座的坐标系，它是机 器人各活动杆件及手部的公共参考坐标系。 杆件坐标系——参考机器人指定杆件的坐标系，它 是在机器人每个活动杆件上固定的坐标系，随杆件的 运动而运动。 绝对坐标系——参考工作现场地面的坐标系，它是 机器人所有构件的公共参考坐标系。 2017年2月19日星期日
则：
12 0.866 0.5 0 5 11.830 9 13.794 rA p AB RAB rB 6 0.5 0.866 0 0 1 0 0 0 0
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第3章 机器人运动学
3.1 机器人的位姿描述 3.2 齐次变换及运算 3.3 机器人运动学方程 3.4 机器人微分运动 习题
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第3章
运动学研究的问题：
机器人运动学
手在空间的运动与各个
关节的运动之间的关系。 正问题：已知关节运动，求 手的运动。 逆问题：已知手的运动，求 关节运动。
2017年2月19日星期日
也称为方向余弦矩阵。
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第3章
3.2.1 直角坐标变换
2、旋转变换
机器人运动学
3.2 齐次变换及运算
z , ——旋转变换矩阵，也称为方向余弦矩阵， Rij
是一个3×3的矩阵，其中的每个元素就是坐标系{i}和 坐标系{j}相应坐标轴夹角的余弦值，它表明坐标系{j} 相对于坐标系{i}的姿态（方向）。
R
z , ij
cos sin 0
sin
cos 0
0 0 1
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第3章
3.2.1 直角坐标变换
2、旋转变换
③ 旋转变换矩阵的逆矩阵 比较以下两式：
z , Rij
机器人运动学
3.2 齐次变换及运算
cos sin 0
3.2 齐次变换及运算
ｚi
ｚj
ｙj ｏi ｏj
θ θ
ｙi
ｘj
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第3章
3.2.1 直角坐标变换
2、旋转变换
① 绕z轴旋转θ角 若空间有一点p，则其 在坐标系{i}和坐标系{j}中 的坐标分量之间就有以下关系：
机器人运动学
ｚi ｚj
ｙj ｏi
θ ｏj
3.2 齐次变换及运算
3、联合变换
机器人运动学
3.2 齐次变换及运算
设坐标系{i}和坐标系{j}之间存在先平移变换， 后旋转变换，则空间任一点在坐标系{i}和坐标系{j} 中的矢量之间就有以下关系：
ri pij Rij rj
称上式为直角坐标系中的坐标联合变换方程。
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2、旋转变换
机器人运动学
3.2 齐次变换及运算
① 绕z轴旋转θ角 将上式写成矩阵的形式，则有：
x i cos y sin i z i 0
sin cos 0
0 x j 0 y j 1 z j
设坐标系{i}和坐标系 {j}具有相同的姿态，但它俩 的坐标原点不重合，若用 pij 矢量表示坐标系{i}和坐标系 {j}原点之间的矢量，则坐标系 {j}就可以看成是由坐标 系{i}沿矢量 pij平移变换而来的，所以称矢量 pij为平移变 换矩阵，它是一个3×1的矩阵，即： ｚj
px pij p y p z
ｚi ｏi
ｏj pij ｙj
ｘj ｙi
ｘi
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第3章
3.2.1 直角坐标变换
1、平移变换
机器人运动学
3.2 齐次变换及运算
若空间有一点在坐标系{i}和坐标系{j}中分别用矢 量 r 和 r 表示，则它们之间有以下关系：
ri pij rj
β
ｏi
ｏj
ｙj ｙi
ｘi
ｘj
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第3章
3.2.1 直角坐标变换
2、旋转变换
机器人运动学
3.2 齐次变换及运算
③ 旋转变换矩阵的逆矩阵 旋转变换矩阵的逆矩阵既可以用线性代数的方法求 出，也可以用逆向的坐标变换求出。以绕z轴旋转θ角 为例，其逆向变换即为绕z轴旋转-θ角，则其旋转变换 矩阵就为：
结论：
sin cos 0
z , 1 ij
0 0 1
, Rz ji
cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
(R ) (R )
z , T ij
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第3章
3.2.1 直角坐标变换