北师大9年级下第二章二次函数应用导学案(无答案)
北师大版九年级下第二章二次函数导学案
2.1二次函数所描述的关系学习目标、重点、难点【学习目标】1.从实际情景中经历探索和表示两个变量之间的二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。
2.会表示简单变量之间的二次函数关系。
3.能够利用尝试求值的方法解决实际问题。
（如猜测增种多少棵橙子树可以使橙子的总产量最多的问题）。
【重点难点】1.二次函数的概念和一般表达式；表示简单变量之间的二次函数关系。
2.从实际情景中列出二次函数关系式，并考虑函数的自变量的取值范围。
知识概览图⎧⎨⎩利用尝试求值的方法解决实际问题二次函数所描述的关系二次函数的定义 新课导引【生活链接】一个果园里有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少，根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．【问题探究】(1)假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?(2)如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式； (3)在上述问题中，种多少棵橙子树可以使果园橙子的总产量最多?最多为多少个? 【点拨】解这类问题就需要利用二次函数的有关知识． 教材精华知识点1 利用尝试求值的方法解决实际问题我们利用尝试求值的方法来解决“新课导读”中的问题．(1)如果设果园增种x 棵树，那么果园共有(x ＋100)棵橙子树．因为每增加一棵树，平均每棵树少结5个橙子，所以增种x 棵树，平均每棵树结(600－5x )个橙子．(2)由(1)可得果园橙子的总产量y＝(100＋x)(600－5x)＝－5x2＋l00x＋60000．(3)我们得到一个函数关系式y＝－5x2＋l00x＋60000，它与我们过去学过的y＝kx，y＝kx＋b，y＝kx(k≠0)有所不同，它的最高次项x2的次数是2，且x2的系数为－5，这就是我们要研究的二次函数的关系式．果园增种多少棵树，可以使果园的总产量最多?我们可以试着通过数值统计的方法逐步去猜想．试着列出下表：我们看到，增种10棵橙子树时，橙子的总产量最多，为60500个．下面我们再看一个生活中的问题．银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量．设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)．一年到期的本息和是100＋100x＝100(1＋x)，第二年转存后到期的本息和为100(1＋x)＋100(1＋x)x＝100(1＋x)2，所以y=100(1＋x)2＝100x2＋200x＋100．若考虑利息税(利息税为20％)，每100元的利息税为20x，则y＝100(1＋0.8x)2=64x2＋160x＋100．拓展由以上两个情境我们知道，它们都具有y＝ax2＋bx＋c的形式(a，b，c是常数，a≠0)．知识点2 二次函数的定义一般地，形如y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数．拓展 (1)任何一个二次函数的解析式，都可以化成y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，因此，把y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)叫做二次函数的一般式．(2)在一般式中，只有a≠0时，y=ax2＋bx＋c才是二次函数；当a=0时，y＝bx＋c，若b≠0，则它是一次函数，若b＝0，则y=c是一个常函数．(3)在y=ax2＋bx＋c中，x的取值范围是全体实数，且按x的降幂排列．(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次方程．┃规律方法小结┃判断一个函数是否是二次函数，不能只从表面看，而应紧扣二次函数的定义进行类比，若函数的形式较复杂，可以进行恒等变形，转化为一般式，再给予判断．课堂检测基本概念题1、在下列函数中，y是x的二次函数的是 ( )A．x＋y2－1=0B．y＝(x＋1)(x－1)－(x－1)2C．y=2D．x2＋3y－2＝02、在下列函数关系中，可以看做二次函数y＝ax2＋bx＋c的模型的是 ( )A．在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶时间的关系B．某地区人口自然增长率为l％，这个地区的人口总数随年份变化的关系C.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)D．圆的周长与圆的半径的关系基础知识应用题3、在半径为4 cm的圆中挖去一个半径为x cm的圆面，剩下的圆环面积为y cm2，则y与x 之间的函数关系式为（）A．y=πx2－4 B．y=π(2－x)2C．y＝－(x2＋4) D．y=－πx2＋16π综合应用题4、如图2－1所示，矩形的长为4 cm，宽为3 cm，如果将其长与宽都增加x(cm)，那么面积增加y(cm2)．(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)上述函数是什么函数?(3)自变量x的取值范围是什么?5、如图2 - 2所示，已知一个三角形纸片ABC ，面积为25，BC 边的长为10，∠B 与∠C 都为锐角，M 为AB 边上的一动点(M 与点A ，B 不重合)，过点M 作MN ∥BC 交AC 于点N ，设MN ＝x ，S △AMN ＝y ，试求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．探索与创新题6、设直线y =kx ＋b (k ≠0)与二次函数y ＝ax 2的图象的两个交点的横坐标分别为x 1和x 2，且直线与x 轴交点的横坐标为x 3，求证123111.x x x +=体验中考小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S (单位：平方米)随矩形一边长x (单位：米)的变化而变化，求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、┃分析┃先将函数式进行变形x转化为用；的代数式表示y的形式，再类比二次函数的定义．把A变形为y2＝－x＋1，自变量x的最高次数不是2，y的次数不是1，故A不是．把B变形为y＝2x －2，自变量x的最高次数不是2，故B不是．因为C的右边是关于x的无理式，不是整式，故C不是．把D变形为y=－13x2＋23，符合二次函数的定义．故选D．【解题策略】要判断一个函数是不是二次函数，应先把关系式化简整理成y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的形式，再来判断．判断时要根据以下三点：(1)函数的关系式是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)二次项系数不等于零．要同时具备这三点才是二次函数．2、┃分析┃A中的速度=路程时间，所以速度与时间是反比例关系．B中人口总数与年份的关系很难确定．D中圆的周长C＝2πr，周长与半径成正比例关系．故选C.【解题策略】解此题的关键是准确列出各关系式，再作出判断．3、┃分析┃剩下的圆环面积应为π(R2－r2)，其中R和r分别为大圆和小圆的半径．由题意得y ＝π(42－x2)=-πx2＋16π.故选D．【解题策略】准确运用圆的面积公式．4、┃分析┃根据题意建立x与y之间的关系式，然后用含x的代数式表示y，使y的系数为1．解：(1)根据题意，得y ＝(4＋x )(3＋x )－3×4＝12＋7x ＋x 2－12＝x 2＋7x ． (2)上述函数是二次函数． (3)x ≥0．【解题策略】解此题的关键是运用数形结合思想．5、┃分析┃本题考查相似三角形的性质，即相似三角形的面积比等于相似比的平方，而x 的取值范围应根据MN 所处的位置判定． 解：∵MN ∥BC ，∴△AMN ∽△ABC ，∴2()AMN ABCS MN SBC=． 而BC ＝10，S △ABC ＝25，∴y =14x 2(0<x <10)． 【解题策略】注意相似三角形的面积比等于相似比的平方的正确运用．6、┃分析┃ 因为两个函数图象的交点是两个图象的公共点，交点的坐标是由这两个函数解析式联立而成的方程组的解，其横坐标就是由方程组消去y 所得的关于x 的一元二次方程的解，不需要解方程，可根据根与系数的关系求出x 1x 2，x 1＋x 2的值．证明：由题意得2y kx b y ax =+⎧⎨=⎩①,②,将①代入②，得ax 2－kx －b ＝0． ∵x 1，x 2是两个函数图象的交点的横坐标， ∴x 1，x 2是方程ax 2－kx －b ＝0的两个根，∴x 1＋x 2＝k a ，x 1x 2＝b a-， ∴12121211.x x k x x x x b++==- 又∵直线y ＝kx ＋b (k ≠0)与x 轴交点的横坐标为x 3，∴0=kx 3＋b ，∴x 3=123111,.b k x x x -∴+=【解题策略】对于一次函数式与二次函数式联立以后求一元二次方程的解的问题，要注意根与系数的关系的应用，有时会给解题带来很多方便． 体验中考┃分析┃根据矩形的面积公式来确定解析式． 解：根据题意，得S ＝6022x-·x =-x 2＋30x ．即S ＝－x 2＋30x ，自变量x 的取值范围是0＜x ＜30．22．1．3 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象(二)学习目标、重点、难点【学习目标】1、掌握二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)的图象；2、掌握二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)的性质；3、掌握抛物线y ＝a (x －h )2(a ≠0)的性质； 【重点难点】1、二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)的图象；2、二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)的性质；3、抛物线y ＝a (x －h )2(a ≠0)的性质； 知识概览图图象：与二次函数y =ax 2的图象形状相同，只是位置不同，可由y =ax 2的 图象沿x 轴经过左、右平移得到①当a ＞0时，开口向上，当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小，当x ＞h 时，y随x 的增大而增大，顶点是抛物线的最低点，即当x =h 时，y min ＝0 ②当a ＜0时，开口向下，当x ＜h 时，y 随x 的增大而增大，当x ＞h 时，y x 的增大而减小，顶点是抛物线的最高点，即当x ＝h 时，y m a x ＝0新课导引还记得上节我们提到的永和桥吗?如果建立如右图所示的平面直角坐标系，你还能求出该抛物线的解析式吗?【问题探究】该抛物线可以看成是由抛物线y ＝ax 2向右平移175个单位得到的，其顶点坐标为(175，0)，因此可设其解析式为y ＝a (x －175)2，由A(0，－85)可得－85＝1752a ，解得a ≈－0.0028．【解析】 解析式为y ＝－0.0028(x －175)2． 教材精华知识点1二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)的图象在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝x 2，y ＝(x －1)2，y ＝(x ＋1)2的图象．二次函数 y =a (x －h )2性质(1)列表：(2)描点．(3)连线，如图所示．拓展函数y＝a(x－h)2与y＝ax2的图象形状相同，位置不同．函数y＝a(x－h)2的图象可由函数y＝ax2的图象经过左、右平移得到．当h＞0时，函数y＝a(x－h)2的图象可以看成是将函数y＝ax2的图象向右平移|h|个单位得到的；当h＜0时，函数y＝a(x－h)2的图象可以看成是将函数y＝ax2的图象向左平移|h|个单位得到的．抛物线y＝a(x－h)2与抛物线y＝ax2之间的关系可见下表：知识点2抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的性质抛物线y＝a(x－h)2的对称轴是直线x＝h，顶点坐标为(h，0)．当a＞0时，抛物线的开口向上，在直线x＝h的左侧，抛物线呈下降趋势，在直线x＝h的右侧，抛物线呈上升趋势，顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线的开口向下，在直线x=h的左侧，抛物线呈上升趋势，在直线x＝h 的右侧，抛物线呈下降趋势，顶点是抛物线的最高点．拓展抛物线y＝a(x－h)2的性质与抛物线y＝ax2的性质既有相同点，也有不同点，如下表所示：知识点3 二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的性质二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)有如下性质：(1)二次函数y＝a(x－h)2(a＞0)，当x＜h时，y随x的增大而减小，当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＝h时，函数有最小值是0．(2)二次函数y＝a(x－h)2(a＜0)，当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时,y随x的增大而减小，当x＝h时，函数有最大值是0．拓展对于二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)图象上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当a＞0时，若|x1－h|＜|x2－h|，则y1＜y2；当a＜0时，若|x1－h|＜|x2－h|，则y1＞y2；而对于任何a≠0，若|x1－h|＝|x2－h|，则y1＝y2．课堂检测基础知识应用题1、在同一直角坐标系中，画出函数y＝－12x2与y＝－12(x－1)2的图象，并根据图象回答下列问题．(1)抛物线y＝－12(x－1)2可以看成是将抛物线y＝－12x2作怎样的平移得到的?(2)求函数y＝－12(x－1)2的图象的对称轴；(3)求函数y＝－12(x－1)2的最值．综合应用题2、二次函数y＝(x－k)2与直线y＝kx(k＞0)的图象在同一直角坐标系中的大致位置是(如图所示) ( )3、已知二次函数y1＝a(x－h)2与直线y2＝kx＋b的图象交于A，B两点，其中A(0，－1)，B(1，0)．(1)求二次函数和直线的解析式，并画出这两个函数的图象；(2)当y1＜y2，y1＝y2，y1＞y2时，分别求出自变量x的取值范围．探索创新题4、如图所示，下列说法正确的是( )A．当y1＜y2时，自变量x的取值范围不能确定B．当y1＜y2时，－1＜x＜3C．当y1＜y2时，－1≤x≤3D．当y1＜y2时，x＜－1或x＞3体验中考1、抛物线y＝－2x2－4x－5经过平移后得到抛物线y＝－2x2，平移方法是( )A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位2、二次函数y＝(x－1)2＋2的最小值是( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2学后反思附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测1、分析 用描点法画出图象后，可根据图象回答问题．解：函数y =－12x 2与y =－12(x －1)2的图象如图所示． (1)抛物线y ＝－12(x －1)2可以看成是将抛物线y＝－12x 2向右平移1个单位长度得到的． (2)函数y ＝－12(x －1)2的图象的对称轴是直线x ＝1．(3)对于函数y ＝－12(x －1)2，当x ＝1时，y 有最大值，最大值是0．【解题策略】 本题主要考查二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)的图象与性质，要注意与y ＝ax 2(a ≠0)对比学习，从而得出抛物线y ＝a (x －h )2(a ≠0)与y ＝ax 2(a ≠0)形状相同，只是位置不同的结论．2、分析 ∵k ＞0，∴直线y ＝kx 经过第一、三象限，而抛物线y ＝(x －k )2可以看成是将抛物线y ＝x 2向右平移k 个单位长度得到的．故选B.【解题策略】 解决此类问题时，关键是掌握各种函数的性质及图象的特征，再根据已知条件综合考虑问题，从而得出答案．3、分析 可先利用待定系数法和方程组的思想求出两个函数的解析式，然后结合图象求出自变量的取值范围．解：(1)∵函数y1＝a(x－h)2与y2＝kx＋b的图象交于A，B两点，∴221(0),0,1,0(1),a h k bba h⎧-=-+=⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩解得1,1,1,1,a kh b=-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩∴二次函数的解析式为y＝－(x－1)2，直线的解析式为y＝x－1．图象如图所示．(2)由图象可知，当x＜0或x＞1时，y1＜y2；当x＝0或x＝1时，y1＝y2；当0＜x＜1时，y1＞y2.【解题策略】两个函数的图象交于A，B两点，说明点A和点B同时在两个函数的图象上，可以列出方程组求出字母的值，进而求出函数解析式．4、分析由图象可知，当y1＝y2时，x1＝－1，x2＝3，若抛物线在直线的下方，则对应的自变量的取值范围是一1<x<3。
北师大版九年级数学下册二次函数的应用2导学案
三、互动展示
5、议一议：
本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题，我们得到了表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的函数关系是：二次函数表达式y＝(600-5x)(100+x)＝-5x2+100x+60000.
(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.（平面直角坐标系见课本49页）
(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？
四、达标测试随堂练习
五、课堂ห้องสมุดไป่ตู้结与反思
你通过本节课的探索解决了哪些问题？还有那些困惑？有哪些新的发现、想法？
六、布置作业与预习
1、必做题：课本P110习题4.12第1、2、3题。
学习重难点探索销售中最大利润问题，从数学角度理解“何时获得最大利润”的意义.
学导过程:
一、预习回顾
1.将二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)改写为顶点式，并写出它的对称轴和顶点坐标。
2.在销售问题中，利润等于什么？总利润等于什么？
二、合作探究
3、做一做：
某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是6.5元.根据市场调查,销售量与单价满足如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多？
神木市第五中学导学案
年级
九
班级
学科
数学
课题
2.9二次函数的应用2
北师大版数学九年级下册第二章2.4(优质)二次函数的应用(导学案,无答案)
2.4 （2）二次函数的应用——最大利润问题一、教学目标经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值.二、教学重点和难点重点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值难点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值三、教学过程(一)情景导入服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件.请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？(二)巩固训练1.某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？2.某果园有100棵橙子树，平均每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．（1）果园增种多少棵橙子树时，果园橙子的总产量最多？（2）增种多少棵橙子树时，可以使果园橙子的总产量在60420个以上？（要求学生画出二次函数的图象，并根据图象回答问题）(三)变式训练1.某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系:ｗ=－2ｘ＋80.设这种产品每天的销售利润为ｙ(元).(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式.(2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元?2．某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元．（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式．（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式．（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？3.某省有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格30元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160天，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售．（1）设x天后每千克该野生菌的市场价格为y元，试写出y与x之间的函数关系式．（2）若存放x天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为P元，试写出P与x之间的函数关系式．（3）李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W元？（利润＝销售总额－收购成本－各种费用）4．某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件。
北师大版九年级下第二章二次函数导学案
2.1二次函数所描述的关系学习目标、重点、难点【学习目标】1.从实际情景中经历探索和表示两个变量之间的二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。
2.会表示简单变量之间的二次函数关系。
3.能够利用尝试求值的方法解决实际问题。
（如猜测增种多少棵橙子树可以使橙子的总产量最多的问题）。
【重点难点】1.二次函数的概念和一般表达式；表示简单变量之间的二次函数关系。
2.从实际情景中列出二次函数关系式，并考虑函数的自变量的取值范围。
知识概览图⎧⎨⎩利用尝试求值的方法解决实际问题二次函数所描述的关系二次函数的定义 新课导引【生活链接】一个果园里有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少，根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．【问题探究】(1)假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?(2)如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式； (3)在上述问题中，种多少棵橙子树可以使果园橙子的总产量最多?最多为多少个? 【点拨】解这类问题就需要利用二次函数的有关知识． 教材精华知识点1 利用尝试求值的方法解决实际问题我们利用尝试求值的方法来解决“新课导读”中的问题．(1)如果设果园增种x 棵树，那么果园共有(x ＋100)棵橙子树．因为每增加一棵树，平均每棵树少结5个橙子，所以增种x 棵树，平均每棵树结(600－5x )个橙子．(2)由(1)可得果园橙子的总产量y＝(100＋x)(600－5x)＝－5x2＋l00x＋60000．(3)我们得到一个函数关系式y＝－5x2＋l00x＋60000，它与我们过去学过的y＝kx，y＝kx＋b，y＝kx(k≠0)有所不同，它的最高次项x2的次数是2，且x2的系数为－5，这就是我们要研究的二次函数的关系式．果园增种多少棵树，可以使果园的总产量最多?我们可以试着通过数值统计的方法逐步去猜想．试着列出下表：我们看到，增种10棵橙子树时，橙子的总产量最多，为60500个．下面我们再看一个生活中的问题．银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量．设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)．一年到期的本息和是100＋100x＝100(1＋x)，第二年转存后到期的本息和为100(1＋x)＋100(1＋x)x＝100(1＋x)2，所以y=100(1＋x)2＝100x2＋200x＋100．若考虑利息税(利息税为20％)，每100元的利息税为20x，则y＝100(1＋0.8x)2=64x2＋160x＋100．拓展由以上两个情境我们知道，它们都具有y＝ax2＋bx＋c的形式(a，b，c是常数，a≠0)．知识点2 二次函数的定义一般地，形如y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数．拓展 (1)任何一个二次函数的解析式，都可以化成y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，因此，把y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)叫做二次函数的一般式．(2)在一般式中，只有a≠0时，y=ax2＋bx＋c才是二次函数；当a=0时，y＝bx＋c，若b≠0，则它是一次函数，若b＝0，则y=c是一个常函数．(3)在y=ax2＋bx＋c中，x的取值范围是全体实数，且按x的降幂排列．(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次方程．┃规律方法小结┃判断一个函数是否是二次函数，不能只从表面看，而应紧扣二次函数的定义进行类比，若函数的形式较复杂，可以进行恒等变形，转化为一般式，再给予判断．课堂检测基本概念题1、在下列函数中，y是x的二次函数的是 ( )A．x＋y2－1=0B．y＝(x＋1)(x－1)－(x－1)2C．y=221xD．x2＋3y－2＝02、在下列函数关系中，可以看做二次函数y＝ax2＋bx＋c的模型的是 ( )A．在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶时间的关系B．某地区人口自然增长率为l％，这个地区的人口总数随年份变化的关系C.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)D．圆的周长与圆的半径的关系基础知识应用题3、在半径为4 cm的圆中挖去一个半径为x cm的圆面，剩下的圆环面积为y cm2，则y与x 之间的函数关系式为（）A．y=πx2－4 B．y=π(2－x)2C．y＝－(x2＋4) D．y=－πx2＋16π综合应用题4、如图2－1所示，矩形的长为4 cm，宽为3 cm，如果将其长与宽都增加x(cm)，那么面积增加y(cm2)．(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)上述函数是什么函数?(3)自变量x的取值范围是什么?5、如图2 - 2所示，已知一个三角形纸片ABC，面积为25，BC边的长为10，∠B与∠C都为锐角，M为AB边上的一动点(M与点A，B不重合)，过点M作MN∥BC交AC于点N，设MN＝x，S△AMN ＝y，试求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．探索与创新题6、设直线y=kx＋b(k≠0)与二次函数y＝ax2的图象的两个交点的横坐标分别为x1和x2，且直线与x轴交点的横坐标为x3，求证123111.x x x+=体验中考小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化，求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、┃分析┃先将函数式进行变形x转化为用；的代数式表示y的形式，再类比二次函数的定义．把A变形为y2＝－x＋1，自变量x的最高次数不是2，y的次数不是1，故A不是．把B变形为y＝2x －2，自变量x的最高次数不是2，故B不是．因为C的右边是关于x的无理式，不是整式，故C不是．把D变形为y=－13x2＋23，符合二次函数的定义．故选D．【解题策略】要判断一个函数是不是二次函数，应先把关系式化简整理成y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的形式，再来判断．判断时要根据以下三点：(1)函数的关系式是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)二次项系数不等于零．要同时具备这三点才是二次函数．2、┃分析┃A中的速度=路程时间，所以速度与时间是反比例关系．B中人口总数与年份的关系很难确定．D中圆的周长C＝2πr，周长与半径成正比例关系．故选C.【解题策略】解此题的关键是准确列出各关系式，再作出判断．3、┃分析┃剩下的圆环面积应为π(R2－r2)，其中R和r分别为大圆和小圆的半径．由题意得y ＝π(42－x2)=-πx2＋16π.故选D．【解题策略】准确运用圆的面积公式．4、┃分析┃根据题意建立x与y之间的关系式，然后用含x的代数式表示y，使y的系数为1．解：(1)根据题意，得y ＝(4＋x )(3＋x )－3×4＝12＋7x ＋x 2－12＝x 2＋7x ． (2)上述函数是二次函数． (3)x ≥0．【解题策略】解此题的关键是运用数形结合思想．5、┃分析┃本题考查相似三角形的性质，即相似三角形的面积比等于相似比的平方，而x 的取值范围应根据MN 所处的位置判定． 解：∵MN ∥BC ，∴△AMN ∽△ABC ，∴2()AMN ABCS MN SBC=． 而BC ＝10，S △ABC ＝25，∴y =14x 2(0<x <10)． 【解题策略】注意相似三角形的面积比等于相似比的平方的正确运用．6、┃分析┃ 因为两个函数图象的交点是两个图象的公共点，交点的坐标是由这两个函数解析式联立而成的方程组的解，其横坐标就是由方程组消去y 所得的关于x 的一元二次方程的解，不需要解方程，可根据根与系数的关系求出x 1x 2，x 1＋x 2的值．证明：由题意得2y kx b y ax =+⎧⎨=⎩①,②,将①代入②，得ax 2－kx －b ＝0． ∵x 1，x 2是两个函数图象的交点的横坐标， ∴x 1，x 2是方程ax 2－kx －b ＝0的两个根，∴x 1＋x 2＝k a ，x 1x 2＝b a-， ∴12121211.x x k x x x x b++==- 又∵直线y ＝kx ＋b (k ≠0)与x 轴交点的横坐标为x 3，∴0=kx 3＋b ，∴x 3=123111,.b k x x x -∴+=【解题策略】对于一次函数式与二次函数式联立以后求一元二次方程的解的问题，要注意根与系数的关系的应用，有时会给解题带来很多方便． 体验中考┃分析┃根据矩形的面积公式来确定解析式． 解：根据题意，得S ＝6022x-·x =-x 2＋30x ．即S ＝－x 2＋30x ，自变量x 的取值范围是0＜x ＜30．22．1．3 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象(二)学习目标、重点、难点【学习目标】1、掌握二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)的图象；2、掌握二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)的性质；3、掌握抛物线y ＝a (x －h )2(a ≠0)的性质； 【重点难点】1、二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)的图象；2、二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)的性质；3、抛物线y ＝a (x －h )2(a ≠0)的性质； 知识概览图图象：与二次函数y =ax 2的图象形状相同，只是位置不同，可由y =ax 2的 图象沿x 轴经过左、右平移得到①当a ＞0时，开口向上，当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小，当x ＞h 时，y随x 的增大而增大，顶点是抛物线的最低点，即当x =h 时，y min ＝0 ②当a ＜0时，开口向下，当x ＜h 时，y 随x 的增大而增大，当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小，顶点是抛物线的最高点，即当x ＝h 时，y m a x ＝0新课导引还记得上节我们提到的永和桥吗?如果建立如右图所示的平面直角坐标系，你还能求出该抛物线的解析式吗?【问题探究】该抛物线可以看成是由抛物线y ＝ax 2向右平移175个单位得到的，其顶点坐标为(175，0)，因此可设其解析式为y ＝a (x －175)2，由A(0，－85)可得－85＝1752a ，解得a ≈－0.0028．【解析】 解析式为y ＝－0.0028(x －175)2． 教材精华知识点1二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)的图象在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝x 2，y ＝(x －1)2，y ＝(x ＋1)2的图象．二次函数 y =a (x －h )2性质(1)列表：x …－3－2－10 1 2 3 …y=x2… 4 1 0 1 4 …y=(x－1)2… 4 1 0 1 4 …y=(x＋1)2… 4 1 0 1 4 …(2)描点．(3)连线，如图所示．拓展函数y＝a(x－h)2与y＝ax2的图象形状相同，位置不同．函数y＝a(x－h)2的图象可由函数y＝ax2的图象经过左、右平移得到．当h＞0时，函数y＝a(x－h)2的图象可以看成是将函数y＝ax2的图象向右平移|h|个单位得到的；当h＜0时，函数y＝a(x－h)2的图象可以看成是将函数y＝ax2的图象向左平移|h|个单位得到的．抛物线y＝a(x－h)2与抛物线y＝ax2之间的关系可见下表：y=ax2(a≠0)向左平移|h|个单位向右平移|h|个单位y=ax2(a＞0)y=a(x－h)2(a＞0，h＜0)y＝a(x－h)2(a＞0，h＞0)y=ax2(a＜0)y=a(x－h)2(a＜0，h＜0)y=a(x－h)2(a＜0，h＞0)知识点2抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的性质抛物线y＝a(x－h)2的对称轴是直线x＝h，顶点坐标为(h，0)．当a＞0时，抛物线的开口向上，在直线x＝h的左侧，抛物线呈下降趋势，在直线x＝h的右侧，抛物线呈上升趋势，顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线的开口向下，在直线x=h的左侧，抛物线呈上升趋势，在直线x＝h 的右侧，抛物线呈下降趋势，顶点是抛物线的最高点．拓展抛物线y＝a(x－h)2的性质与抛物线y＝ax2的性质既有相同点，也有不同点，如下表所示：函数对称轴顶点坐标抛物线的趋势最低(高)点y=ax2y轴(0，)当a＞0时，在对称轴左侧，抛物线呈下降趋势，在对称轴右侧，抛物线呈上升趋势；当a<0时，在对称轴左侧，抛物线呈上升趋势，在对称轴右侧，抛物线呈下降趋势当a＞0时，y＝ax2的图象有最低点(0，0)，y＝a(x－h)2的图象有最低点(h，0)；当a＜0时，y=ax2的图象有最高点(0，0)，y＝a(x－h)2的图象有最高点(h，0)知识点3 二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的性质二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)有如下性质：(1)二次函数y＝a(x－h)2(a＞0)，当x＜h时，y随x的增大而减小，当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＝h时，函数有最小值是0．(2)二次函数y＝a(x－h)2(a＜0)，当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时,y随x的增大而减小，当x＝h时，函数有最大值是0．拓展对于二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)图象上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当a＞0时，若|x1－h|＜|x2－h|，则y1＜y2；当a＜0时，若|x1－h|＜|x2－h|，则y1＞y2；而对于任何a≠0，若|x1－h|＝|x2－h|，则y1＝y2．课堂检测基础知识应用题1、在同一直角坐标系中，画出函数y＝－12x2与y＝－12(x－1)2的图象，并根据图象回答下列问题．(1)抛物线y＝－12(x－1)2可以看成是将抛物线y＝－12x2作怎样的平移得到的?(2)求函数y＝－12(x－1)2的图象的对称轴；(3)求函数y＝－12(x－1)2的最值．综合应用题2、二次函数y＝(x－k)2与直线y＝kx(k＞0)的图象在同一直角坐标系中的大致位置是(如图所示) ( )3、已知二次函数y1＝a(x－h)2与直线y2＝kx＋b的图象交于A，B两点，其中A(0，－1)，B(1，0)．(1)求二次函数和直线的解析式，并画出这两个函数的图象；(2)当y1＜y2，y1＝y2，y1＞y2时，分别求出自变量x的取值范围．探索创新题4、如图所示，下列说法正确的是( )A．当y1＜y2时，自变量x的取值范围不能确定B．当y1＜y2时，－1＜x＜3C．当y1＜y2时，－1≤x≤3D．当y1＜y2时，x＜－1或x＞3体验中考1、抛物线y＝－2x2－4x－5经过平移后得到抛物线y＝－2x2，平移方法是( )A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位2、二次函数y＝(x－1)2＋2的最小值是( )A．2 B．1 C．－1 D．－2 学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析用描点法画出图象后，可根据图象回答问题．解：函数y=－12x2与y=－12(x－1)2的图象如图所示．(1)抛物线y＝－12(x－1)2可以看成是将抛物线y＝－12x2向右平移1个单位长度得到的．(2)函数y＝－12(x－1)2的图象的对称轴是直线x＝1．(3)对于函数y＝－12(x－1)2，当x＝1时，y有最大值，最大值是0．【解题策略】本题主要考查二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象与性质，要注意与y＝ax2(a≠0)对比学习，从而得出抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)与y＝ax2(a≠0)形状相同，只是位置不同的结论．2、分析∵k＞0，∴直线y＝kx经过第一、三象限，而抛物线y＝(x－k)2可以看成是将抛物线y＝x2向右平移k个单位长度得到的．故选B.【解题策略】解决此类问题时，关键是掌握各种函数的性质及图象的特征，再根据已知条件综合考虑问题，从而得出答案．3、分析可先利用待定系数法和方程组的思想求出两个函数的解析式，然后结合图象求出自变量的取值范围．解：(1)∵函数y1＝a(x－h)2与y2＝kx＋b的图象交于A，B两点，∴221(0),0,1,0(1),a h k bba h⎧-=-+=⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩解得1,1,1,1,a kh b=-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩∴二次函数的解析式为y＝－(x－1)2，直线的解析式为y＝x－1．图象如图所示．(2)由图象可知，当x＜0或x＞1时，y1＜y2；当x＝0或x＝1时，y1＝y2；当0＜x＜1时，y1＞y2.【解题策略】两个函数的图象交于A，B两点，说明点A和点B同时在两个函数的图象上，可以列出方程组求出字母的值，进而求出函数解析式．4、分析由图象可知，当y1＝y2时，x1＝－1，x2＝3，若抛物线在直线的下方，则对应的自变量的取值范围是一1<x<3。
北师大版九年级数学下册2.1二次函数导学案
2.1 二次函数学习目标1、能够表示简单变量之间的二次函数关系2、能够利用尝试求值的方法解决实际问题，如猜测增种多少棵橙子树可以使橙子的总产量最多的问题3、体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.一、【学前提示】提示1：函数定义:在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.提示2：一次函数形式为y=ax+b形式的函数.其中a、b为常数，且a≠0.一次函数在直角平面坐标系中图象为一条直线.提示3：正比例函数是一次函数的特殊形式.形式为y=ax.其中a为常数，且a≠0.在直角平面坐标系中图象为一条过原点的直线.提示4：反比例函数形如 y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.反比例函数的图像为双曲线.如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图像.当K＞0时，反比例函数图象经过一，三象限，是减函数当K＜0时，反比例函数图象经过二，四象限，是增函数提示5：二次函数的定义：形如cbxaxy++=2（a≠0，a，b，c为常数）的函数为二次函数.二、【方法点拨】点拨1：本节的重点是：表示简单变量之间的二次函数关系.点拨2：本节的难点是利用尝试求值的方法解决实际问题.点拨3：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.注意：（1）关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数，且a≠0.（2 ）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.点拨4：银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的.也就是说，利率是一个变量．在我国利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的． 本金：存入银行的钱叫做本金.利息：取款时银行多付的钱叫做利息. 利率：；利息与本金的百分比叫做利率.利息计算公式利息＝本金×利率×时间三、【思路拓展】步骤1：迁移导入：1. 已知函数y m x m =-+-()3328是一次函数，求其解析式. 分析： 利用定义求一次函数y kx b =+解析式时，要保证k ≠0.如本例中应保证m -≠30解：由一次函数定义知m m 28130-=-≠⎧⎨⎩∴=±≠⎧⎨⎩m m 33 ∴=-m 3，故一次函数的解析式为y x =-+33 步骤2：本节课知识巩固1、下列各关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)A.y =81x 2B.y =12-xC.y =21xD.y =a 2x分析：本题考查的是二次函数的定义，一般地，形如y=ax ²+bx+c(a,b,c 是常数,a ≠ 0)的函数叫做x 的二次函数.注意： 关于x 的代数式一定是整式,a,b,c 为常数，且a ≠0.（2 ）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 所以答案是A.2.函数y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是A.a ≠0，b ≠0，c ≠0B.a <0，b ≠0，c ≠0C.a >0，b ≠0，c ≠0D.a ≠0分析：一般地，形如y=ax ²+bx+c(a,b,c 是常数,a ≠ 0)的函数叫做x 的二次函数.注意： 关于x 的代数式一定是整式,a,b,c 为常数，且a ≠0.（2 ）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.所以答案是D.3．下列函数中，不是二次函数的是（） A ．y=2x 2＋2x B ．y=－x 2+x 3+1C ．y=－x 2+x1+1 D ．y=3－x(2－x) 分析：选项C 中含有x1,所以C 不是二次函数.答案是：C师生互动 共解难题一、【实例讲解】例1某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.（1）问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？（2）假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？（3）如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式. （4）种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？分析：一定要分析好题意，根据实际情况，当果园的种的橙子树多的时候，每颗的产量也相应的减少.设果园共有（100+x ）棵树，这时表示出每棵树能结多少个橙子，然后算出总的产量从而得到解析式；第四个问题由下表可以得到从左到右依次填，60480，60495，60500，60495，60480，可以猜测当x 逐渐增大时，y 也逐渐增大．当x 取10时，y 取最大值．x 大于10时，y 的值反而减小，因此当增种10棵橙子树时，橙子的总产量最多．解：（1）变量有果园里面的橙子树的棵数，和果园的总产量. （2）果园共有（100+x ）棵树，平均每棵树结（600-5x ）个橙子（3）因此果园橙子的总产量：Y=(100+x)(600-5x)=-5x ²+100x+60000 （4）从左到右依次填，60480，60495，60500，60495，60480，可以猜测当x 逐渐增大时，y 也逐渐增大．当x 取10时，y 取最大例2 (1)对于二次函数y=x 2的图象上两点P （x,y ）、Q （m,n ）：如果x ＜m ＜0,则y n; 如果0＜x ＜m,则y n; 如果是仅有x ＜m ，则能确定y 、n 的大小吗？(2)、对于二次函数y=-x 2的图象上两点P （x,y ）、Q （m,n ）： 如果x ＜m ＜0,则y n; 如果0＜x ＜m,则y n;分析：根据函数y=x 2的增减性：当a>0时,在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而减小；在对称轴右侧,y 随着x 的增大而增大.当x=0时函数y 的值最小.当a<0时，在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧,y 随着x 增大而减小,当x=0时,函数y 的值最大.所以答案是：(1) y > n ， y < n; (2) y < n ，y > n ， 二、【学会总结】总结1：总结2：二次函数y=ax 2的性质1.抛物线y=ax 2的顶点是原点,对称轴是y 轴.2.当a>0时，抛物线y=ax 2在x 轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展； 当a<0时,抛物线y=ax 2在x 轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展. 3.当a>0时,在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而减小；在对称轴右侧,y 随着x 的增大而增大.当x=0时函数y 的值最小.当a<0时，在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧,y 随着x 增大而减小,当x=0时,函数y 的值最大.积累运用 学会创新1.下列不是二次函数的是（ ）当x=0时,最大值为0.当x=0时,最小值为0最值在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而增大. 在对称轴的右侧, y 随着x 的增大而减在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而减小. 在对称轴的右侧, y 随着x的增大而增大.增减性向下向上开口方向 在x 轴的下方( 除顶点外) 在x 轴的上方(除顶点外) 位置 y 轴y 轴对称轴 （0，0） （0，0） 顶点坐标 y= -x 2y=x 2抛物线A ．y=3x 2＋4 B ．y=－31x 2C ．y=52 xD ．y=（x ＋1）（x －2）2.函数y=（m 2-1）·xm2+2m-1是二次函数，m 的值是（ ）A ．m= -3或1B ．m=+1或-1C ．m= -3D ．m=33、.若函数y =(k 2－4)x 2+(k +2)x +3是二次函数，则k ______.4.二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)中，当b =0，c ≠0时，函数表达式为______；当b ≠0，c =0时，函数表达式为______；当b =c =0时，函数表达式为______.5.在边长为6 cm 的正方形中间剪去一个边长为x cm(x <6)的小正方形，剩下的四方框形的面积为y ，y 与x 之间的函数关系是______.6.小立存入银行人民币500元，年利率为x %，两年到期，本息和为y 元(不含利息税)，y 与x 之间的函数关系是_______，若年利率为6%，两年到期的本利共______元.7．下列函数不属二次函数的是A.y =(x －1)(x +2)B.y =21(x +1)2C.y =2(x +3)2－2x 2D.y =1－3x 2拓展尝新 突破自我8．已知函数y =(m 2－m )x 2+(m －1)x +m +1. (1)若这个函数是一次函数，求m 的值;(2)若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？9．如图，一块草地是长80 m 、宽60 m 的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直 的宽为x m 的小路，这时草坪面积为y m 2.求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值 范围.10.正方形的边长为1 cm ，假设边长增加x cm 时，正方形的面积增加y cm 2.(1)请写出y 与x 之间的关系表达式;(2)当正方形边长分别增加1 cm ，3 cm ，2 cm 时，正方形的面积增加多少？参考答案积累运用学会创新1、分析：因为选项C中含有5所以C不是二次函数；故答案是C.2x，2、分析：由题意得m2-1≠0，所以m≠1或m≠-1,由 m2+2m-1=2得m=-3或1故，本题答案是C.3、分析：由题意得k2－4≠0，所以答案是k≠2，k≠-24、y=ax2+c y=ax2+bx y=ax25、大正方形的面积为36，剪掉的部分是x2所以y=36 -x2 (x<6)6、分析：设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是500元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)：y=500（1+x）2=500x2+1000 x+500.所以本题答案是：y=500x2+1000 x+500 、561.87、分析：选项C经过化简以后不含有二次项了，所以答案是C.拓展尝新突破自我8、分析：要是一次函数则使二次项系数等于零，一项系数不能等于零，要使函数是二次函数，则使二次项系数不能等于零就行了.解：(1)∵m2－m=0，∴m=0或m=1.∵m－1≠0，∴当m=0时，这个函数是一次函数.(2)∵m2－m≠0，∴m1=0，m2=1.则当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数.9.分析：可以用割补法，草坪的面积可以看成个长方形，这个长方形的长是(80－x)m，,宽是(60－x)m;所以本题的答案是：解：y=(80－x)(60－x)=x2－140x+4800(0≤x＜60).10、解：(1)y=(x+1)2－1,∴y=x2+2x.(2)当x=1时，y=3;当x=3时，y=3+23当x=2时，y=8.。
九年级数学下册第2章二次函数2.4二次函数的应用2.4.2二次函数的应用导学案新版北师大版 - 副本
2.4.2二次函数的应用预习案一、预习目标及范围：1.经历探索T 恤衫销售过程中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,感受数学的应用价值.2.掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．预习范围：P48-49二、预习要点二次函数的最值问题和增减性： 系数a 的符号a b x 2-=时， 最值a b ac 442- 增减性 a ＞0最小值 a ＜0最大值三、预习检测1.某商店经营衬衫,已知所获利润y(元)与销售的单价x(元)之间满足关系式y=–x 2+24x+2 956，则获利最多为______元2. 某旅行社要组团去外地旅游,经计算所获利润y(元)与旅行团人员x(人)满足关系式y=–2x 2+80x+28 400，要使所获营业额最大,则此旅行团有_______人.3.（兰州·中考） 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米.探究案一、合作探究活动内容1：活动1：小组合作二次函数y=a(x-h)2+k(a ≠0)，顶点坐标为（h,k ）,则（1）a>0时，y 有最小值 （ ）；（2）当a<0时，y有最大值（）【探究】某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.请你帮助分析，销售单价是多少时,可以获利最多?【解析】设销售单价为x (x≤13.5)元,那么销售量可以表示为: 件;每件T恤衫的利润为: 元;所获总利润可以表示为: 元;即y=-200x2+3 700x-8 000=-200(x-9.25)2+9 112.5∴当销售单价为元时,可以获得最大利润,最大利润是元.活动2：探究归纳先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.活动内容2：典例精析例题2（武汉·中考）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的整数倍）．(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围.(2)设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式.(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？【解析】例题3（青海·中考）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克.（1）现该商场要保证每天盈利1 500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？二、随堂检测1.（株洲·中考）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-（x-2）2+4（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( )A.4米B.3米C.2米D.1米2.（德州·中考）为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5 000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次性购买100个以上，则购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3 500元/个．乙商家一律按原价的80℅销售．现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元.（1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式.（2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？3.桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在距离OA 1m处达到最大高度2.25m.如果不计其他因素,那么水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不致落到池外？4．（青岛·中考）某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数：（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）参考答案预习检测：1.31002.203.0.5随堂检测1. 【解析】选A. 抛物线的顶点坐标为（2,4），所以水喷出的最大高度是4米.2. 【解析】（1）由题意可知，当x≤100时，购买一个需5 000元，故y1=5 000x当x>100时，因为购买个数每增加一个，其价格减少10元但售价不得低于3 500元/个，所以x≤5 000 3 500100250 10-+=即100<x≤250时，购买一个需5 000-10(x-100)元，故y1=6 000x-10x2；当x>250时，购买一个需3 500元，故y1=3 500x;21 5 000x,y 6 000x 10x ,3 500x,⎧⎪=-⎨⎪⎩所以 0x 100100x 250x 250≤≤<≤>2500080%4000.y x x =⨯=(2) 当0≤x ≤100时，y 1=5 000x ≤500 000<1 400 000；当100<x ≤250时，y 1=6 000x -10x 2=-10(x -300)2+900 000<1 400 000；∴由35001400000x = 得到x=400由40001400000x = 得到350400x =<故选择甲商家，最多能购买400个太阳能路灯3. 【解析】建立如图所示的坐标系,根据题意得,点A(0,1.25),顶点B(1,2.25).设抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k,由待定系数法可求得抛物线表达式为:y=-(x-1)2+2.25. 当y=0时,得点C(2.5,0);同理,点D(-2.5,0).根据对称性,那么水池的半径至少要2.5m,才能使喷出的水流不致落到池外.4.解析：（1）由题意，得：w = (x －20)·y=(x －20)·(-10x+500)=-10x 2+700x-10 000 当352b x a=-= 时，w 有最大值. 答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．（2）由题意，得：21070010 000 2 000.x x -+-=解这个方程得：x 1 = 30，x 2 = 40．答：李明想要每月获得2 000元的利润，销售单价应定为30元或40元.（3）∵10a=-<0∴抛物线开口向下.∴当30≤x≤40时，w≥2 000．∵x≤32，∴当30≤x≤32时，w≥2 000．设成本为P（元），由题意，得：P=20（-10x+500)=-200x+10 000, ∵k=-200＜0，∴P随x的增大而减小.∴当x = 32时，P最小＝3 600.答：想要每月获得的利润不低于2 000元，每月的成本最少需要3 600元．如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
九年级数学(北师大版)下册第二章2.2二次函数的性质导学案(无答案)
《二次函数的性质》导学案【寄语】立志在坚不在说，成功在久不在速【学习重点】掌握研究二次函数在闭区间内最值的求法；【学习难点】含参数的二次函数最值问题一、问题导入问题1：说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标。
(1) ()122--=x y ; (2) ()222+--=x y ; (3) ()k h x a y ++=2. 问题2：对于给定的二次函数542++-=x x y（1）将二次函数化成顶点式（2）该二次函数的增、减区间是什么？（3）当自变量x 取什么值时，函数的图像达到最高点？二、新知探究1、新知归纳2、典例分析例1:已知二次函数322--=x x y ，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的增、减区间及最值。
变式练习：已知二次函数322--=x x y1）当-2≤x ≤0时，求函数的最值；2）当2321-≤≤x 时，求函数的最值； 3）当2521≤≤x 时，求函数的最值； 4）当2≤x ≤4时，求函数的最值；思考归纳：①通过以上例题，求在给定区间[m ，n]上二次函数的最值步骤? ②最值通常在哪里取到？变式练习：当k ≤x ≤k+2时，求二次函数322--=x x y 的最值例2：若-1≤x ≤1，求函数32++=ax x y 的最小值.三、课堂小结1、本节课学习了什么知识？2、需要用什么数学思想？3、你还有哪些收获？四、思考提高1.若-1≤x ≤1,求二次函数3-2++=ax x y 的最小值.变式：1.若-1≤x ≤1时，-13-2≥++ax x 恒成立,求a 的值。
2.若-1≤x≤1，求二次函数3xy的最大值和小值=x-2a2+。
2023年北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的应用》导学案
新北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的应用》导学案一、温故知新——请同学们根据题意写出下列各题的函数关系式。
1.正方形的边长是5，若边长增加x，面积增加y，求y与x之间的函数表达式。
2.已知正方形的周长为20，若其边长增加x，面积增加y，求y与x之间的表达式。
3.已知正方形的周长是x，面积为y，求y与x之间的函数表达式。
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?第二段：【白天长课导学】一、学习目标与要求：1. 能根据题意列出函数关系式，并能通过配方求出最值。
二、定向导学、合作交流、教师精讲定向导学、合作交流、教师精讲摘记【合作探究一】一养鸡专业户计划用116m长的篱笆围成如图所示的三间1.长方形鸡舍，门MN宽2m，门PQ和RS的宽都是1m，怎样设计才能使围成的鸡舍面积最大？【合作探究二】某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?课题：第二章§2-6-1 二次函数的应用课型：新授总第9课时－18模块五：当堂训练班级：九（）班姓名：一、解答题。
请根据本节课所学知识解答。
1．如图⑴，在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，四边形CFDE为矩形，其中CF、CE在两直角边上，设矩形的一边CF=xcm．当x取何值时，矩形ECFD的面积最大？最大是多少？2、如图⑵，在Rt△ABC中，作一个长方形DEGF，其中FG边在斜边上，AC=3cm，BC=4cm，那么长方形DEGF的面积最大是多少？3、如图⑶，已知△ABC，矩形GDEF的DE边在BC边上．G、F分别在AB、AC边上，BC=5cm，S△ABC为30cm2，AH为△ABC在BC边上的高，求△ABC的内接长方形的最大面积。
4、如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏。
新北师大版九年级数学下册第二章《确定二次函数的应用(一)》导学案
新北师大版九年级数学下册第二章《确定二次函数的应用（一）》导学案我的疑问 2、某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x 等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?[来源:Z_xx_][来源学科网]【训练案】1.某建筑物窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形．制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m ．当x 等于多少时，窗户透过的光线最多（结果精确到0．01m ）？此时，窗户的面积是多少？[来源:学科网][来源:]2.把3根长度均为100m 的铁丝分别围成长方形、正方形和圆，哪个面积最大？为什么？【课堂小结】 本节中你有什么收获？ 【课后记】家长签字：【学习目标】:掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题． 【学习重难点】 重点：本节的重点是应用二次函数解决图形有关的最值问题，这是本书惟一的一种类型，也是二次函数综合题目中常见的一种类型．在二次函数的应用中占有重要的地位，是经常考查的题型，根据图形中的线段之间的关系，与二次函数结合，可解决此类问题． 难点：由图中找到二次函数表达式是本节的难点，它常用的有三角形相似，对应线段成比例，面积公式等，应用这些等式往往可以找到二次函数的表达式． 【使用说明与学法指导】1.认真阅读课本内容自主探究本节中知识重点。
2．认真完成导学案的问题，并把自己的疑问写出来，最后小组交流并解决。
【旧知回顾】1.二次函数的一般形式是 ，顶点式是 当 时有最大值，当 时有最小值。
【新知探索】1、如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD ，其中AB 和AD 分别在两直角边上.(1)设矩形的一边AB=xcm,那么AD 边的长度如何表示？(2)设矩形的面积为ym 2,当x 取何值时,y 的最大值是多少?【合作探究】1.在上面的问题中，如果设AD 边的长为xm,那么问题的结果又会怎样？[来源学科网ZXXK]。
北师大版九年级下册 第二章 《二次函数》(二次函数的图像性质)专题教学案(无答案)
二次函数的图像性质◆【知识目标•考点导航】◆1、二次函数的定义：形如2y ax bx c=++（0a≠，a，b，c均为常数）的函数；要点：（1）解析式为整式；（2）自变量最高次数为2；（3）0a≠◆2、几种常见表达形式：（1）2y ax=；（2）2y ax k=+；（3）2()y a x h=-；（4）2()y a x h k=-+（顶点式）；（5）12()()y a x x x x=--（交点式）。
◆3、二次函数的图像及其性质：二次函数的图像是一条抛物线。
是轴对称图形。
函数的增减性以对称轴为界分别讨论。
yxOyxOyxOyxO2y ax=2y ax k=+2()y a x h=-2()y a x h k=-+x h=y k=最◆4、抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）的顶点坐标公式：（2ba-，244ac b a -）；对称轴是直线：2b x a =-；当2bx a=-时，函数有最值：244ac b y a -=。
◆5、二次函数图像的平移：左加右减，上加下减。
◆6、求抛物线与坐标轴的交点，求两个函数图像交点坐标。
◆【典型例题•方法技巧平台】【考点1】----二次函数的定义 【例1】已知函数x m x m y m m)1()1(232-++=--（m 为常数）。
（1）m 为何值时，这个函数为二次函数？ （2）m 为何值时，这个函数为一次函数？ ◆目标训练1：1、下列函数中，关于x 的二次函数是（ ）。
A 、22-+=xx y B 、x x x y )1(2+-= C 、)1(23x x x y -+= D 、22)1(-=x y2、已知22)2(-+=kx k y 是二次函数，则=k【考点2】----二次函数的顶点、对称轴、最值【例2】写出下列抛物线的对称轴方程、顶点坐标及最大或最小值； （1）3212+-=x y （2）4)3(2-+-=x y （3）13212--=x x y◆目标训练2：1、已知抛物线的解析式为1)2(2+-=x y ，则抛物线的顶点坐标是( )A 、(2-,1)B 、(2，1)C 、(2，1-)D 、(1，2)2、用配方法求抛物线21312y x x =-+-的顶点坐标，对称轴方程及最值。
九年级数学(北师大版)下册第二章2.2二次函数的性质导学案(无答案)-精选教学文档
《二次函数的性质》导学案【寄语】立志在坚不在说，成功在久不在速【学习重点】掌握研究二次函数在闭区间内最值的求法；【学习难点】含参数的二次函数最值问题一、问题导入问题1：说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标。
(1) ()122--=x y ; (2) ()222+--=x y ; (3) ()k h x a y ++=2. 问题2：对于给定的二次函数542++-=x x y（1）将二次函数化成顶点式（2）该二次函数的增、减区间是什么？（3）当自变量x 取什么值时，函数的图像达到最高点？二、新知探究1、新知归纳2、典例分析例1:已知二次函数322--=x x y ，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的增、减区间及最值。
变式练习：已知二次函数322--=x x y1）当-2≤x ≤0时，求函数的最值；2）当2321-≤≤x 时，求函数的最值； 3）当2521≤≤x 时，求函数的最值； 4）当2≤x ≤4时，求函数的最值；思考归纳：①通过以上例题，求在给定区间[m ，n]上二次函数的最值步骤? ②最值通常在哪里取到？变式练习：当k ≤x ≤k+2时，求二次函数322--=x x y 的最值例2：若-1≤x ≤1，求函数32++=ax x y 的最小值.三、课堂小结1、本节课学习了什么知识？2、需要用什么数学思想？3、你还有哪些收获？四、思考提高1.若-1≤x ≤1,求二次函数3-2++=ax x y 的最小值.变式：1.若-1≤x ≤1时，-13-2≥++ax x 恒成立,求a 的值。
2.若-1≤x ≤1，求二次函数32a 2+-=x x y 的最大值和小值。
2024北师大版数学九年级下册2.4.2《二次函数的应用》教案
2024北师大版数学九年级下册2.4.2《二次函数的应用》教案一. 教材分析《二次函数的应用》是北师大版数学九年级下册第2章《二次函数》的第4节内容。
本节课主要让学生掌握二次函数在实际生活中的应用，培养学生的实际问题解决能力。
教材通过生活实例引入二次函数的应用，使学生感受到数学与生活的紧密联系。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有了初步了解。
但学生在应用二次函数解决实际问题时，往往会因为不能很好地将实际问题转化为数学模型而感到困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生正确地将实际问题转化为二次函数模型，并运用二次函数的知识解决问题。
三. 教学目标1.让学生掌握二次函数在实际生活中的应用。
2.培养学生将实际问题转化为数学模型并解决的能力。
3.提高学生对数学与生活紧密联系的认识。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际生活中的应用。
2.难点：将实际问题转化为二次函数模型，并运用二次函数的知识解决问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法，引导学生主动探究、合作交流，提高学生解决实际问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例和案例分析。
2.准备教学课件和板书设计。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活实例引入二次函数的应用，让学生感受到数学与生活的紧密联系。
例如，假设某商场举行打折活动，商品的原价为100元，打折力度为x（0≤x≤1），求打折后的价格。
2.呈现（10分钟）呈现教材中的案例分析，引导学生将实际问题转化为二次函数模型。
例如，某工厂生产一批产品，生产成本为c元，生产数量为x（x≥0），求总成本。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，尝试将其转化为二次函数模型，并运用二次函数的知识解决问题。
教师巡回指导，为学生提供帮助。
4.巩固（10分钟）选取几组学生解决的实际问题，让学生分享自己的解题过程和心得。
北师大版数学九年级下册第二章2.4(3)二次函数的应用(导学案)
2.4 （3）二次函数的应用一、教学目标通过建立适当的直角坐标系，让学生体验从实际问题中抽象出函数关系式的过程，发展用数学的眼光观察现实世界和有条理地思考与表达的能力，进一步感受数学建模思想工作数学应用价值二、教学重点和难点重点：能够运用二次函数的图象及性质解决一些简单的实际问题，进一步提高分析问题解决问题的能力.难点：能够运用二次函数的图象及性质解决一些简单的实际问题，进一步提高分析问题解决问题的能力.三、教学过程(一)情景导入有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面A B的宽为20m，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10m．（1）建立直角坐标系，求点B、D的坐标。
（2）求此抛物线的解析式；C D(二)变式训练1.一自动喷灌设备的喷流情况如图所示，设水管AB在高出地面5.1米的B处有一自动旋转的喷水头，一瞬间流出的水流是抛物线状，喷头B与水流最高点C的连线与水平地面成45°角，水流的最高点C比喷头B高出2米，求水流落点D到A点的距离.AB 2.如图一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线5.3512+-=x y 运行，已知篮框的中心离地面的距离为3.05米.(1)球在空中运行的最大高度为多少?(2)如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，他距离篮框中心的水平距离是4米，请问能否准确落入篮框内？(二)课下作业1、小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线5.3512+-=x y 的一部分(如图)， 若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是( )A ．3.5mB ．4mC ．4.5mD ．4.6m2、某公园草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线形组成的，为牢固起见，每段护栏需按0.4m 的间距加装不锈钢管的立柱（如图）．（1）试在恰当的直角坐标系中求出与该抛物线对应的二次函数关系式． （2）计算所需不锈钢管立柱的总长度．3、某地区建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花型柱子OA，O恰好在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线形状如图①所示，建立右图②所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间关系式是22y x x=-+(1)柱子OA的高度是多少米？(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米时，才能使喷出的水流不至于落在池外？4、如图所示是永州八景之一的愚溪桥，桥身横跨愚溪，面临潇水，桥下冬暖夏凉，常有渔船停泊桥下避晒纳凉.已知主桥拱为抛物线型，在正常水位下测得主拱宽24m，最高点离水面8m，以水平线AB为x轴，AB的中点为原点建立坐标系.①求此桥拱线所在抛物线的解析式.②桥边有一浮在水面部分高4m，最宽处122m的河鱼餐船，试探索此船能否开到桥下?说明理由.AO图①。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二次函数应用
【教学重难点】
1、抛物线y=a （x-h ）²+k ，当x=h 时，y 的最值为k. 抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)，当x=-时，y 的最值为
.
2、总销售利润=单件销售利润×销售总量
=（销售单价—单件成本）×销售总量 3、注意自变量的取值范围（根的合理性及取舍问题） 【教学目标】
针对具体的应用问题，能根据题目设出二次函数的表达式，或是根据题目把表达式列出来。
同时，掌握最值的求法（注意自变量的取值范围）。
【随堂练习】
1、某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w （千克）随销售单价x （元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w ＝－2x ＋240．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y （元），解答下列问题： （1）求y 与x 的关系式； （2）当x 取何值时，y 的值最大？
（3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？
2、某服装公司试销一种成本为每件50元的T 恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．
（1）求
与之间的函数关系式；
（2）设公司获得的总利润（总利润总销售额总成本）为元，求
与之间的函数关系式，并写
出自变量的取值范围；根据题意判断：当取何值时，
的值最大？最大值是多少？
3、某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养情况进行了调
查．调查发现这种水产品的每千克售价（元）与销售月份（月）满足关系式y1
,而其
每千克成本（元）与销售月份（月）满足的函数关系如图所示． （1）试确定
的值；
400 300
y (件)
（2）求出这种水产品每千克的利润（元）与销售月份（月）之间的函数关系式；
（3）“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？
4、某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形的一边长为
x 米，面积为S 平方米。
（1） 求出S 与x 之间的函数关系式；
（2） 当x 为多少米时，广告设计费最高？求出这个费用；
（3） 当x 的取值在什么范围内时，可使获得的广告设计费不低于5000元？
5、某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话。
小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克。
小强：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元。
小红：通过调查验证，我发现每天的销售量y （千克）与销售单价x （元）之间存在一次函数关系。
（1）求y （千克）与x （元）（x ＞0）的函数关系式；
（2）设该超市销售这种水果每天获取的利润为W 元，那么当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？【利润＝销售量×（销售单价－进价）】 6、 通过市场调查，一段时间内某地区某一种农副产品的需求数量（千克）与市场价格（元/千克）
（
）存在下列关系：
（元/千克） 5 10 15 20 （千克）
4500
4000
3500
3000
又假设该地区这种农副产品在这段时间内的生产数量（千克）与市场价格（元/千克）成正比例关系：
（
）．现不计其它因素影响，如果需求数量
等于生产数量，那么此时市场处于平
衡状态．
（1）请通过描点画图探究与之间的函数关系，并求出函数关系式 （2）根据以上市场调查，请你分析：当市场处于平衡状态时，该地区这种农副产品的市场价格与这段时间内农民的总销售收入各是多少？ （3）如果该地区农民对这种农副产品进行精加工，此时生产数量与市场价格的函数关系发生改变，而需求数量与市场价格的函数关系未发生变化，那么当市场处于平衡状态时，该地区农民的总销售收
入比未精加工市场平衡时增加了17600元．请问这时该农副产品的市场价格为多少元？
7、某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高
m ，与篮圈中心的
5 10 15 20 (元／千克)
(千克)
5000
4500
4000
3500 3000
（第6题图）
O 25
24 y 2（元）
x （月）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
O
水平距离为7m ，当球出手后水平距离为4m 时到达最大高度4m ，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m 。
1） 建立如图的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？
2） 此时，若对方队员乙在甲前面1m 处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m ，那么他能否获得成功？ 【巩固练习】
1、在樱桃节前夕，某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：
（1）在如图的直角坐标
系内，作出各组有序数对
（x ，y ）所对应的点．连接各点并观察所得的图形， 判断y 与x 之间的函数关系，并求出y 与x 之间的函 数关系式；
（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P （元）与销售价x (元/千克)之间的函数关系式， 并求出当x 取何值时，P 的值最大？
2、某食品零售店为食品厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家。
经统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个。
在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个。
考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角。
设这种面包的单价为x 角，零售店每天销售这种面包所获得的利润为y 角。
（1）用含x 的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出面包的个数；
（2）求y 与x 之间的函数关系式。
（3）当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润是多少？
销售价 x （元/千克） … 25 24 23 22 … 销售量 y （千克）
…
2019
2500
3000
3500
…。