波函数和薛定谔方程

2.2 态叠加原理
ir r p.r r ∞ 1 r h c( p, t )e dp 3/ 2 ∫ −∞ (2πh) i r r − p .r r ∞ 1 r r h c ( p, t ) = Ψ ( r , t ) e dr 3 / 2 ∫− ∞ (2πh )
r Ψ(r , t ) =
r r ( , t ) 一一对应 c p Ψ (r , t ) 和
是同一个量子态的不同表述
Ψ (r,t)是以坐标 r 为自变量的波函数， 坐标空间波函数，坐标表象波函数； C(p, t) 是以动量 p 为自变量的波函数， 动量空间波函数，动量表象波函数； 二者描写同一量子状态。
r r Ψ (r , t ) 与 c( p, t ) 有类似的物理意义 r 2 Ψ (r , t ) 是指在t时刻，粒子在r处出现的概率密度 r 2 c( p, t ) 是指在t时刻，粒子具有动量p的概率密度
z相因子不定: z对归一化波函数仍有一个模为一的相因子不定性。
若Ψ (r , t )是归一化波函数，那末， eiαΨ (r , t ) 也是归一化波函数（其中α是实数）， z两者描述同一几率波。
2.1 波函数的统计解释
例1 请问下列波函数中，哪 些与 ψ 1描写同一状态？ ψ 1 = ei2x /h , ψ 2 = e −i 2 x / h , ψ 3 = e i3x / h , ψ 4 = −ei2x /h , ψ 5 = 3e − i ( 2 x + πh ) / h , ψ 6 = ( 4 + 2i )e i 2 x / h .
px ∂ 2Ψ = − Ψ， ∂x 2 h2
2
py ∂ 2Ψ = − Ψ 2 2 ∂y h pz ∂ 2Ψ = − Ψ ∂z 2 h2
2
2
h p2 2 − ∇ Ψ= Ψ 2m 2m (3)
2.3 含时薛定谔方程
2.3.3 自由粒子的动力学方程 ⎤ ⎡i r r 描写自由粒子波函数: Ψ = A exp ⎢ ( p • r − Et ) ⎥ 应是所要建立的方程的解。 ⎣h ⎦
∂Ψ i = − EΨ h ∂t → ih ∂ Ψ = EΨ ∂t （ 1）
这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量 E 。 同理有 将Ψ对坐标二次微商，得：
2.3 含时薛定谔方程
2.3.1 经典粒子的动力学方程
r r dr t = t 0时刻，已知初态是： r0 , p0 = m dt
t = t0
2r r d r 粒子满足的方程是牛顿 方程： F = m 2 dt
从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t 粒子的状态 r 和 p 。因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导 数，所以方程是时间的二阶常微分方程。
dτ ∫ ∞
→∞
2.2 态叠加原理
2.2.1 量子态 波函数描述体系的量子状态。每个力学量的可能值都以一定 的概率出现。(量子力学的基本假定I） 2.2.2 态叠加原理 经典物理中的叠加原理 两个可能的波动过程Φ1和Φ2 线性叠加的结果aΦ1+bΦ2也是一个波动过程
2.2 态叠加原理
考虑电子双缝衍射 一个电子有 Ψ1 和 Ψ2 两种可能的状 态，Ψ 是这两种状 态的叠加。 Ψ
2.1.3 波函数的性质 2.1.3.1 波函数应该是连续、单值和有界的 2.1.3.2 ψ(r,t)和cψ(r,t)描述同一状态 Ψ和cψ在t时刻，在r1和r2处找到粒子的相对几率为 2 2 r r Ψ ( r1 , t ) C Ψ ( r1 , t ) r r Ψ ( r2 , t ) C Ψ ( r2 , t )
P
Ψ
S
1 电子源
1
S
2
Ψ2
感 光 屏
相干项 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是电子的可能状态。 正是由于相干项的 空间找到电子的几率则是： 出现，才产生了衍 |Ψ|2 = |C1Ψ1+ C2Ψ2|2 射花纹。 = (C1*Ψ1*+ C2*Ψ2*) (C1Ψ1+ C2Ψ2) = |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*] 电子穿过狭缝 １出现在Ｐ点 的几率密度 电子穿过狭缝 ２出现在Ｐ点 的几率密度
n = 1,2,3.....
0
( x < 0, x > a )
2.1 波函数的统计解释
特例: 自由粒子的波函数无法正常归一化
自由粒子德布洛意平面 波为 归一化条件为 2 ∫ ψ dτ = 1
∞
ψ = Ae
i r r ( p ⋅r − Et ) h
A
2
所以德布洛意平面波无 法正常归一化 具体如何处理后面再讨 论
t 时刻处于 x—x+dx，y—y+dy，z—z+dz内的概率 2 dW ( x, y , x, t ) = C ψ ( x, y , z , t ) dxdydz 概率密度：
dW 2 w ( x, y , z , t ) = = C ψ ( x, y , z , t ) dV
2.1 波函数的统计解释
h
* r Ψ 用 p ' (r ) 乘上式，并对r在全空间积分得
r r C ( p, t ) ——动量表象 ψ ( x , t ) ——坐标表象 r r ψ ( x , t ) 与 C ( p , t ) 是互为傅里叶变换式。 i r r
( p . r − Et )
p.r r ∞ 1 r h c( p, t )e dp 3/ 2 ∫ −∞ (2πh)
=
因此ψ(r,t)和cψ(r,t)描述同一状态 这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的 2 倍），则相应的波动能量将为原来的 4 倍，因而代 表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。
2.1 波函数的统计解释
2.1.3.3 波函数的归一性 波函数既然是描述微观粒子在空间中出现的概率，就应有： 2 ∫∞ Ψ ( r , t ) dτ = 1 2 若有一个波函数Φ(r,t)， ∫∞ Φ (r , t ) dτ ≠ 1 令 Ψ (r , t ) = cΦ (r , t ) 且 ∫∞ Ψ (r , t ) 2 dτ = c 2 ∫∞ Φ (r , t ) 2 dτ = 1 则 Ψ (r , t ) = cΦ (r , t ) 就是归一化后的波函数
2.2 态叠加原理
•量子力学的态叠加原理:
一般情况下，如果Ψ1和Ψ2 是体系的两个可能状态，那末它们 的线性叠加，Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是该体系的一个可能状态. 其中C1 和 C2 是复常数，这就是量子力学的态叠加原理
设 ϕ 1 态中测力学量A值为 a1，ϕ 2 态中测力学量 A值为a2 ,则 ψ = c 1ϕ 1 +c 2ϕ 2 态中测A 结果既可能 是 a 1，也可能是 a2 。或：体系处于ψ态时，体系既 处在态ϕ 1 ,又处在态 ϕ 2 。
波函数和薛定谔 方程
申梓刚
郑州师范学院
波函数和薛定谔方程
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波函数的统计解释 态叠加原理 薛定谔方程 粒子流密度和粒子流守恒定律 定态薛定谔方程 一维无限深方势阱 线性谐振子 势垒贯穿
2.1 波函数的统计解释
2.1.1 微观粒子的波粒二象性
2.1.2 概率波 问题：波动性和粒子性是怎么统一在一起的？ 德布罗意： 物质波是引导粒子运动的“导波”。 — 本质是什么，不明确。 薛定谔： 波是基本的， 电子是“物质波包”。 —夸大了波动性，抹煞了粒子性。 z通过电子衍射可以在空间不同方向上观测到波包的一部 分，如果波代表实体，那就意味着能观测到电子的一部分， 这与显示电子具有整体性的实验结果矛盾。 z波包总要扩散，而电子是稳定的。
态叠加原理更一般表述： 若Ψ1 ，Ψ2 ,..., Ψn ,...是体系的一系列可能的状态，则这些 态的线性叠加 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 + ...+ CnΨn + ... (其中 C1 , C2 ,...,Cn ,...为复常数)。也是体系的一个可能状态。 物理意义:处于Ψ态的体系，部分的处于 Ψ1态，部分的处于Ψ2 态...，部分的处于Ψn，...或者讲:一定几率处于Ψ1态,一定几 率处于Ψ2态,...
∞ r r r ∞ r r r r * r Ψ (r )Ψ (r , t )dr = ∫−∞ c( p, t )[ ∫−∞ Ψ p ' (r )Ψ p (r )dr ]dp ∫ i r r r ( p − p '). r r ∞ ∞ 1 r r ∞ r r r r r h = ∫−∞ c( p, t )[ e d r ] d p = c ( p ', t) = ∫−∞ c( p, t )δ ( p − p ' )dp 3 ∫− ∞ (2πh ) i r r − p .r r ∞ 1 r r h c ( p, t ) = Ψ ( r , t ) e dr 即： 3 / 2 ∫− ∞ (2πh ) * p'
7个电子
100个电子
3000
单个亮点说明电子的粒子性， 电子一个个增多而形成衍射图 案，说明单个电子有波动性。
20000 70000
2.1 波函数的统计解释
2.1.2.1 波函数的本质 ：概率波 玻恩（M.Born)：在某一时刻, 空间 r 处粒子出现的概率正比于 该处波函数的模方。粒子在空间出现的概率具有波动性的分 布，它是一种概率波。（1926年） 经典物理：有确定的力学量值。 量子力学：力学量值有多个。 波函数是概率波，因此波函数乘以常数不改变粒子的状态。 2.1.2.2 概率密度 设波函数 ψ ( x, y, z, t )
sBiblioteka Baidun(
例2 有一波函数是 φ ( x, t ) =
0
nπx ) a
(0 < x < a )
n = 1,2,3.....
( x < 0, x > a )
求其归一化波函数。
nπx ∫0 c sin ( a )dx = 1
a 2 2
Ψ ( x, t ) =
2 nπx sin( ) a a
(0 < x < a )
2.2 态叠加原理
2.2.3 坐标表象和动量表象
∞ r r r r r Ψ(r , t ) = ∫−∞ c( p, t )Ψp (r )dp =
电子以一个确定的动量P运动的波函数： Ψ p (r , t ) = Ae i r r i r r ( p . r − Et ) 1 p .r 1 归一化后的波函数： h h Ψp (r , t ) = e Ψp (r ) = e 3/ 2 3/ 2 (2πh ) (2πh ) 任何一个波函数可以看成各种不同动量的平面波的叠加 ir r
i ( p x x + p y y + p z z − Et ) i ∂Ψ ∂ Ae h = = pxΨ h ∂x ∂x
1 2 ∇ Ψ=− 2 p Ψ 或 h p2 对于自由粒子： E = 2m
2
∂ 2Ψ ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ 1 2 2 + + = − 2 [ px + p2 y + p z ]Ψ 2 2 2 ∂x ∂y ∂z h 2
与能量为E及动量为p 的粒子相联系的波（物质波） h E 的频率及波长为 λ= ν = p i rr h ( p⋅r − Et ) r 自由粒子平面波函数 ψ (r , t ) = Ae h
2.1 波函数的统计解释
另一种理解： 为防止电子间 发生作用，让 电子一个一个 地入射，发现 时间足够长后 的干涉图样和 大量电子同时 入射时完全相 同。（1989） 粒子是基本的，电子的波动性是大量电子之 间相互作用的结果。
2.3 含时薛定谔方程
薛定谔
Erwin Schrodinger 奥地利人 1887-1961 创立量子力学
获1933年诺贝尔 物理学奖
2.3 含时薛定谔方程
2.3.2 微观粒子的动力学方程条件 1．因为，t = t0 时刻，已知的初态是ψ( r, t0) 且只知 道这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足 的方程只能含ψ对时间 的一阶导数。 2．另一方面，ψ要满足态叠加原理，即，若ψ1( r, t ) 和ψ2( r, t )是方程的解，那末 ψ( r, t)= C1ψ1( r, t ) + C2ψ2( r, t ) 也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说 方程中只能包含ψ, ψ对时间的一阶导数和对坐标各阶导 数的一次项，不能含它们的平方或开方项。 3．方程不能包含状态参量，如 p, E等，否则方程只能被粒 子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。