微积分(下)期末复习题集完整版
微积分下册期末试卷及答案
评 分
评 阅 人
14、用拉格朗日乘数法求 在满足条件 下的极值.
评 分
评 阅 人
15、计算.
评 分
评 阅 人
16、计算二重积分
,其中
是由
轴及圆周
所围成的在第一象限内的区域.
评 分
评 阅 人
17、解微分方程.
评 分
评 阅 人
18、判别级数的敛散性.
评 分
评 阅 人
19、将函数展开成的幂级数.
评 分
也收敛。
证：，
…（3分）
而由已知收敛，故由比较原则，也收敛。 …（5分）
2、设,其中为可导函数, 证明.
证明：因为,
…（2分）
…（4分）
所以.
…（5分）
评
阅
一、填空题(每小题3分,共15分) 分
卷 人
1、设
，且当
时，
，则
.
2、计算广义积分
.
3、设，则
. 4、微分方程具有
形式的特解.
5、级数的和为
.
的反函数为
。且时，。于是
12、求二重极限 .
解：原式
(3分)
(6分)
13、由确定，求.
解：设
，则
， ，
， (3分)
(6分) 14、用拉格朗日乘数法求 在条件下的极值. 解：
令 ,得 , , 为极小值点. (3分)
故 在 下的极小值点为
,极小值为
(6分)
15、计算. 解：
(6分)
16、计算二重积分 ，其中 是由 轴及圆周 所围成的在第一象限内的区域. 解： ＝ ＝
分
评 分
评 阅 人
21、设级数
微积分下册期末试卷及答案[1]
![微积分下册期末试卷及答案[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/97f47598767f5acfa0c7cdbc.png)
1、已知22(,)f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x21___________.π=⎰∞+∞--dx e x 23、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________. 6 知dxexp ⎰∞+- 0)1(与⎰-ep x x dx11ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( c ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( b ).(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是( a). (A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( d ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+=(C) x e bx ax y 32)(+= (D) xe bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛，则∑∞=-1)1(n nna ( d ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+. 23、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解：32y x =的函数为23,0x y y =>。
微积分(下册)期末试卷与答案
中南民族大学06、07微积分（下）试卷及参考答案06年A 卷1、已知22(,)y f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x 0 21 ___________.π=⎰∞+∞--dx e x 2 3、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值.4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________.二、选择题(每小题3分,共15分)6 知dx e x p ⎰∞+- 0 )1(与⎰-ep x x dx 1 1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( ).(A) 在原点无定义(B) 在原点二重极限不存在(C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是( ).(A) 123I I I >> (B) 213I I I >>(C) 123I I I << (D) 213I I I <<9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ).(A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+=(C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n n a 收敛，则∑∞=-1)1(n nn a ( ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定三、计算题(每小题6分,共60分)11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.12、求二重极限11lim222200-+++→→y x y x y x .13、),(y x z z =由xy e z z =+确定，求y x z∂∂∂2.14、用拉格朗日乘数法求221z x y =++在条件1=+y x 下的极值.15、计算⎰⎰1212dxedy yyyx.16、计算二重积分22()Dx y dxdy+⎰⎰，其中D是由y轴及圆周221x y+=所围成的在第一象限内的区域.17、解微分方程x y y +'=''.18、判别级数)11(133∑∞=--+n n n 的敛散性.19、将函数x 31展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间..根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:222121211028321415x x x x x x R ---++=，求最优广告策略.四、证明题(每小题5分,共10分)21、设1133ln()z x y =+，证明：13z zx y x y ∂∂+=∂∂.22、若∑=12n n u 与∑∞=12n n v 都收敛,则∑∞=+12)(n n n v u 收敛.答案一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+. 2 3、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=.二、选择题(每小题3分,共15分)6、(C ).7、 (B).8、(A ) .9、(D). 10、(D).三、计算题(每小题6分,共60分)11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积. 解：32y x =的反函数为23,0x y y =>。
微积分期末考试试题及答案
微积分期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x = 0 \) 处的导数是（）A. 0B. 1C. 2D. -1答案：A2. 曲线 \( y = x^3 - 2x^2 + x \) 在 \( x = 1 \) 处的切线斜率是（）A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 函数 \( f(x) = \sin(x) \) 的原函数是（）A. \( -\cos(x) \)B. \( \cos(x) \)C. \( x - \sin(x) \)D. \( x + \sin(x) \)答案：A4. 若 \( \int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2 \)，且 \( f(x) = 3x^2 +1 \)，则 \( \int_{0}^{1} x f(x) \, dx \) 等于（）A. 3B. 4C. 5D. 6答案：C5. 函数 \( g(x) = \ln(x) \) 在 \( x > 0 \) 时的反导数是（）A. \( e^x \)B. \( x^e \)C. \( e^{\ln(x)} \)D. \( x \ln(x) - x \)答案：D6. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \) 等于（）A. 2B. 1C. 4D. 0答案：A7. 函数 \( h(x) = e^x \) 的泰勒展开式在 \( x = 0 \) 处的前三项是（）A. \( 1 + x + \frac{x^2}{2} \)B. \( 1 + x + \frac{x^2}{2!} \)C. \( 1 + x + \frac{x^3}{3!} \)D. \( 1 + x + \frac{x^2}{3!} \)答案：B8. 若 \( \frac{dy}{dx} = 2y \)，且 \( y(0) = 1 \)，则 \( y(x) \) 是（）A. \( e^{2x} \)B. \( e^{-2x} \)C. \( 2^x \)D. \( 2^{-x} \)答案：A9. 函数 \( F(x) = \int_{0}^{x} e^t \, dt \) 的导数是（）A. \( e^x \)B. \( e^0 \)C. \( x \cdot e^x \)D. \( e^0 \cdot x \)答案：A10. 曲线 \( y = x^2 + 3x \) 与直线 \( y = 6x \) 交点的横坐标是（）A. 0B. 3C. -1D. 2答案：C二、填空题（每空3分，共15分）11. 若 \( f(x) = 2x - 1 \)，则 \( f''(x) \) 等于 _________。
微积分(下)期末复习试题完整版
期末复习题一、填空题1、=⎰→xt t xx 020d cos lim.2、若)(x f 在],[b a 上连续, 则=⎰bxx x f x 2d )(d d .3、已知)(x F 是)(x f 的原函数,则⎰>+x x t a t f t)0( d )(1等于 . 4、若2e x -是)(xf 的一个原函数,则='⎰10d )(x x f .5、=++⎰-112d 1||x x x x .6、已知21)(xxx f +=,则)(x f 在]2,0[上的平均值为 .7、设⎰=+π0),(sin d )(x f x x x f 且)(x f 连续, 则=)(x f .8、设曲线kx y =<0,0>>x k >与直线1=y 及y 轴围成的图形面积为31,则=k . 9、设yx y y x y x f arcsin)1()2(),(22---=,则=∂∂)1,0(y f .10、设yx z 2e =,则=∂∂∂yx z2. 11、交换积分次序 =⎰⎰x y y x f x ln 0e 1d ),(d . 12、交换积分次序 =⎰⎰---xx y y x f x 11122d ),(d .13、交换积分次序⎰⎰-2210d ),(d y yx y x f y ＝.二、选择题1、极限xtt x x cos 1d )1ln(lim2sin 0-+⎰→等于〔 〔A1〔B2〔C4〔D82、设x x t t f xe d )(d d e 0=⎰-,则=)(xf 〔 <A>21x<B> 21x - <C> x 2e - <D> x2e -- 3、设)(x f 是连续函数,且C x F x x f +=⎰)(d )(,则必有〔 B〔A )(d )(x F t t f x a =⎰ 〔B )(]d )([x F t t F x a ='⎰ 〔C)(d )(x f t t F x a='⎰〔D )()(]d )([a f x f t t F xa-=''⎰4、设)(x f 在],[b a 上连续,则)(x f 在],[b a 上的平均值是〔〔A2)()(b f a f + 〔B ⎰b a x x f d )(〔C ⎰-b a x x f a b d )(1 〔D ⎰-b a x x f ba d )(15、积分⎰=t sx x t f tI 0d )(与〔 有关。
微积分下期末考试试题
微积分下期末考试试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的导数是：A. \( \frac{1}{x} \)B. \( x^{-1} \)C. \( \frac{1}{x} \)（不包括x=0）D. \( \frac{1}{x} \)（不包括x<0）2. 若 \( \int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2 \)，则下列哪个选项是正确的？A. \( \int_{0}^{1} x f(x) \, dx \leq 1 \)B. \( \int_{0}^{1} x f(x) \, dx \geq 1 \)C. \( \int_{0}^{1} x f(x) \, dx = 1 \)D. 无法确定3. 泰勒级数展开 \( \sin(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的前三项是：A. \( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} \)B. \( x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} \)C. \( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{3!} \)D. \( x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{4!} \)4. 以下哪个函数是偶函数？A. \( f(x) = x^2 + 1 \)B. \( f(x) = x^3 - 1 \)C. \( f(x) = \sin(x) + \cos(x) \)D. \( f(x) = \ln|x| \)5. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 1 \)，则下列哪个选项是正确的？A. \( \lim_{x \to 0} f(x) = 0 \)B. \( \lim_{x \to 0} f(x) = 1 \)C. \( \lim_{x \to 0} f(x) \) 不存在D. \( \lim_{x \to 0} f(x) \) 可以是任意值二、计算题（每题10分，共40分）1. 求函数 \( f(x) = \sin(x) + e^x \) 在区间 \( [0, \pi] \) 上的定积分。
微积分下册期末试卷及答案
1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x0 21___________.π=⎰∞+∞--dx e x 23、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值.4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以xe x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________.二、选择题(每小题3分,共15分 评分阅卷人6 知dx e x p ⎰∞+- 0 )1(与⎰-e p x x dx 1 1ln 均收敛, 则常数p 的取值范围是( ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,0 0,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( ).(A) 在原点无定义(B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若22223111x y I x y dxdy +≤=--⎰⎰,222232121x y I x y dxdy≤+≤=--⎰⎰222233241x y I x y dxdy≤+≤=--⎰⎰,则下列关系式成立的是( ).(A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ).(A) b ax y += (B) xe b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) xe bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛，则∑∞=-1)1(n nna ( ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定三、计算题(每小题6分,共60分)评分11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.12、求二重极限11lim222200-+++→→y x y x y x . 13、),(y x z z =由xy e z z=+确定，求y x z∂∂∂2. 14、用拉格朗日乘数法求221z x y =++在条件1=+y x 下的极值. 15、计算⎰⎰1 212dxe dy yyyx. 16、计算二重积分22()Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 是由y 轴及圆周221x y +=所围成的在第一象限内的区域.17、解微分方程x y y +'=''.18、判别级数)11(133∑∞=--+n n n 的敛散性.19、将函数x -31展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间.21、设1133ln()z x y =+，证明：13z z xy xy ∂∂+=∂∂. 22、若∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛,则∑∞=+12)(n n nv u收敛.答案一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+.2、π.3、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 二、选择题(每小题3分,共15分)6、(C ).7、 (B).8、(A ) .9、(D). 10、(D).三、计算题(每小题6分,共60分)11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积. 解：32y x =的反函数为23,0x y y =>。
微积分下期末总复习题
22
3、二阶偏导数
2 z 2 z 1 设z x ln( xy), 求 2 , . x xy 解 z ln( xy) x 1 y ln( xy) 1, x xy
1 (1) n (1) n (1) 1, p 1, | n 1 |收敛，故 n 1 绝对收敛, p n 1 np n 1 np 1 ( 1) n ( 1) n (2) 1, p 1, | n 1 |发散，故 n 1 发散, p n 1 np n 1 np
0
1 . 4
9
4：极坐标系下的二重积分
Chapter 8 三、14
a 2 x2 y 2 dxdy , 其中D ( x, y) x2 y2 a2 , a 0
2
D
0
d
a 0
a
0
a r rdr
2 2
a 2 r 2 d (a 2 r 2 )
期末考试考核点
1、定积分计算题 2、级数敛散性判断 3、偏导数计算 3、二重积分计算 4、微分方程求解 5、应用题 6、证明题
1
一、定积分
1、变量代换 2、分部积分 3、直角坐标系下的二重积分 4、极坐标系下的二重积分
2
1、变量代换
(1)
求： x 1 xdx （课本225页）
Chapter 8 三、13 D是无界区域
y2
解一： e
微积分下册期末试卷及复习资料
(A)p1(B)p1(C) 1 p 2(D)p24x,22f (x,y)2 2 , x 2 y 2xy7数0, 22xy在原点间断 ,中南民族大学06、07微积分（下）试卷及参考答案f （x1、已知y, y) x 2x 2y,则 f (x,y)2、已知 , 则1x 2edxe xdxf(x, y)3、函数x 2xy2y 2 y1在 点取得极值 .4、已知f (x, y) (xarctan y) arctan y, 则f x (1,0) .5、以 y3x（C 1 C 2x ）e 3x （C 1,C 2为任意常数 ）为通解的微分方、选择题 （ 每小题 3分, 共15分）e dx 与edx1xln p 1x 均收敛 ,则常数 p的取值范围是 （).(A) 在原点无定义(B) 在原点二重极限不存在(C) 在原点有二重极限 , 但无定义(D)在原点二重极限存在 , 但不等于函数值10、设 n 1 a n 收敛，则 n1( 1) a n(32(A) 绝对收敛 (B)条件收敛 (C) 发散(D)不定三、计算题 ( 每小题 6分, 共60分)I 18、若I 3x 231 x2 y 2dxdy 131 x 2y 2 dxdyy 2 4I 2 3 1 x 2 y 2 dxdy1 x2 y 2 2, 则下列关系式成立的是 ( ).(A) (C)I 1I 19、方程 y (A) (C)I 2 I 3I 2 I 3(B) (D)I 2 I 1I 3I 2I 1I 36y y ax b y (ax 29y 5(xbx)e 3x1)e具有特解 ( y (ax (ax 3bx 2 )e3x).(B) (D)3xb)e2 3x).所围图形绕 y轴旋转的旋转体的体积11、求由y x2, x 4, y13、z z(x,y)由z e z xy确定，求2z12、求二重极限22l x y im00 x2 y2 1 1xy2214、用拉格朗日乘数法求z x2 y2 1在条件x y 1下的极值.x 1yy1dy 2 e dx15、计算 2 y2围成的在第一象限内的区域16、计算二重积分 (x 2 y 2) dxdyD， 2其中 D 是由y轴及圆周x22y 21所17y y x18、判别级数n 1( n 1n 1)的敛散性.119、将函数 3 x 展开成 x 的幂级数 , 并求展开式成立的区间20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告 . 根据统计资料 , 销售收入 R （万元 ）与电台广告费用 x1 （万元）的及报 纸广告费用 x2（万元） 之间的关系有如下的经验公式 :22R 15 14x 1 32x 2 8x 1x 2 2x 12 10x 22，求最优广告策略.四、证明题 （ 每小题 5分, 共10分）答案、填空题 （每小题 3分,共15分）评分评阅人1121、设 z ln( x 3 y 3 ) ，证明：u n22、若 n 1与都收敛 , 则 (u1v n )2收敛.2x 2(1 y) 1 2( , )1、 1 y. 2 、 . 3 、 3 3 . 4 、1. 5 、y" 6y' y 0.二、选择题 (每小题 3分,共15分)6、(C ). 7 、 (B). 8 、(A ) . 9、(D). 10 、(D).三、计算题 (每小题 6分,共60分)311、求由 y x2 , x 4, y 0所围图形绕 y轴旋转的旋转体的体积 .32 23解： y x2的反函数为 x y 3,y 0。
微积分下册期末试卷及答案[1]
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1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x21___________.π=⎰∞+∞--dx e x 23、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值。
4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以xe x C C y 321)(+=（21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________。
6 知dx e x p ⎰∞+- 0 )1(与⎰-e p xx dx 1 1ln 均收敛，则常数p 的取值范围是( c )。
(A ） 1p > (B) 1p < (C) 12p << （D ） 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( b )。
（A) 在原点无定义 (B ） 在原点二重极限不存在 （C) 在原点有二重极限，但无定义(D) 在原点二重极限存在，但不等于函数值8、若2211x y I +≤=⎰⎰，22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是( a). (A ） 123I I I >> (B ） 213I I I >> （C ） 123I I I << （D ） 213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解（ d ）。
(A ） b ax y += （B) xe b ax y 3)(+=（C ） x e bx ax y 32)(+= (D) xe bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛，则∑∞=-1)1(n nna （ d )。
重庆工商大学期末复习资料微积分近十份大学微积分下期末试题汇总(含答案)
均收敛,
则常数 的取值范围是(
).
(A)
(B)
(C)
(D)
7、对于函数 (A)不是驻点 (C)是极大值点
,点 (
).
(B)是驻点而非极值点
(D)是极小值
8、已知
,
,其中 为
,则
(
).
(A)
(B)
(C)
(D)
9、方程
具有特解(
).
(A)
(B)
(C)
(D)
10、级数
(A)条件收敛 (C)发散
11、求
，则其通解为 （D）
A、
； B、
有三个特解
，
，
；
21/21
C、
；
D、
5、无穷级数
( 为任意实数) （A）
A、无法判断
B、绝对收敛
三、计算题(每小题6分,共60分)
C、收敛
D、发散
1、求下列极限：
。
解：
2、求由在区间
上,曲线
…（3分）
…（6分）
与直线
、
所围图形绕 轴旋转的旋转体的体积。
解：
…（4分）
所以，原式
.
13．L上的点到平面
的距离为 ，它的最大值点，最小值点与 的一致，用拉格朗日乘数
法，设
，
求偏导数，并令其为零有：
，
，
，
，
．
解之得两组解
.所以当
时， 最小；
4/4
当
时，
最大.
14．将分成如图的两块， 的圆记为 D1，另一块记为 D2 +
15．由 从而知
微积分期末试题及答案
微积分期末试题及答案（正文开始）第一部分：选择题（共20题，每题5分，共100分）1. 设函数 f(x) = x^3 - 2x + 1，求 f'(x)。
2. 求函数 f(x) = e^x 的不定积分。
3. 将函数 f(x) = sin(x) 在区间[0, π] 上进行定积分，求结果。
4. 设函数 f(x) = ln(x)，求 f'(x)。
5. 求函数 f(x) = 2x^2 + 3x + 1 的定积分，其中积分区间为 [-1, 2]。
6. 设函数f(x) = √(x^2 + 1)，求 f'(x)。
7. 求函数 f(x) = 3x^2 - 6 的不定积分。
8. 计算定积分∫(0 to π/2) cos(x) dx 的值。
9. 设函数 f(x) = e^(2x)，求 f'(x)。
10. 求函数 f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2 的不定积分。
11. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx 的值。
12. 设函数 f(x) = (sinx + cosx)^2，求 f'(x)。
13. 求函数 f(x) = 2e^x 的不定积分。
14. 计算定积分∫(1 to e) ln(x) dx 的值。
15. 设函数 f(x) = x^2e^x，求 f'(x)。
16. 求函数 f(x) = ln(2x + 1) 的不定积分。
17. 求函数 f(x) = sin^2(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。
18. 设函数 f(x) = e^(3x)，求 f'(x)。
19. 求函数f(x) = ∫(1 to x) t^2 dt 的不定积分。
20. 计算定积分∫(0 to π) sin^2(x) dx 的值。
第二部分：计算题（共4题，每题25分，共100分）1. 计算函数f(x) = ∫(0 to x^2) (2t + 1) dt 在区间 [-1, 1] 上的定积分。
微积分下册期末试卷及答案[1]
![微积分下册期末试卷及答案[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/b6830305f61fb7360a4c6531.png)
1、已知22(,)yf x y x y x +=-，则=),(y x f _____________.2、已知，则=⎰∞+--dx e x x21___________.π=⎰∞+∞--dx e x 23、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=，则=')0,1(x f ________.5、以xe x C C y 321)(+=（21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________.6 知dx e xp ⎰∞+- 0 )1(与⎰-ep xx dx 1 1ln 均收敛，则常数p 的取值范围是( c ). (A ） 1p > (B ） 1p < (C) 12p << (D ） 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( b )。
(A ） 在原点无定义 （B ） 在原点二重极限不存在 （C ） 在原点有二重极限，但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若2211x y I +≤=⎰⎰，22212x y I ≤+≤=⎰⎰，22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是( a).（A) 123I I I >> （B ） 213I I I >> （C ） 123I I I << (D) 213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解（ d )。
(A) b ax y += (B) xe b ax y 3)(+=(C ） x e bx ax y 32)(+= (D) xe bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛,则∑∞=-1)1(n nna （ d ）。
微积分(下)总复习题及部分参考答案
微积分（下）总复习题及部分参考答案()()()()()xD xC xB x A x πππππππππcos cos 1cos 1cos sin 1⋅⋅⋅-⋅-的一个原函数是函数B()()()()()()12211,2sin ln 2122-=⋅=D C B A k x x ctg k x f 则的一个原函数为设A()()()[]()[]()()∞+∞--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=,,00,2,2sin ,3D C B A x y ππππ可积的区间是函数在下列区间中C()()()()()()()()()()Cx D C x x C C x f B Cx x A dx x f x C x dx x f ++++++++=+⋅+=⎰⎰333333432313113131411,4则若D()()()()()C x D Cx C Cx B Cx A xdx +--+--+--+-=-⎰32323223232325D()()()()()()()()()()()()()()()()a G a x G D a G a t G C a G x G B a G t G A dt a t g x g x G xa22,6-+-+--=+='⎰则己知D()()()()()3ln 8093ln 9803ln 9803722⋅⋅⋅=⎰--D C B A dx x B()()()()()⎰⎰⎰⎰∞+∞+∞+∞+⋅11112ln 8x dx D xx dx C xdx B xdx A 是下列广义积分中收敛的D()()()()()()11sin 111cos 211cos 111cos 11,1cos 922232221212++-+-+-=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎰⎰xx D xx C x x B xA dt t f t x dt t f xx则如果A()()()()()()313311lim1032-=-⎰-→D C B A xdtext xD()()()()()eD eC eB e A dx x e x -++-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰33ln 3ln 333ln 3ln 3113ln 1A()()()()()()()()()()()()()()()()a F F D F a F C a F a F B a F a F A dx a x f x f x F aa-----=-⎰002,122则的原函数是如果C()()()()()()()()()()()以上都不对则若D x C x B x A x f c x dx x f x x ln cos ln sin ln ,ln sin 21ln sin 132=+=⎰解 ()()()⎪⎭⎫⎝⎛+='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰c x dx x f x x ln sin 21ln sin 2, ()()()()x x xx f x x ln cos ln sin 1ln sin ⋅= , ()()x x f ln cos =.()[]()()()()()[]()()()()()[]()02,,14000D dxx f x f C dx x f B dx x f x f A dx x f a a x f aaa aa⎰⎰⎰⎰-+-+-=---则上连续在设证明()()()dx x f dx x f dx x f aaaa⎰⎰⎰--+=0令：x t -=，()()()()⎰⎰⎰⎰-=-=--=-aaaa dx x f dt t f dt t f x f 0()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰-+=+=--aa aaaadx x f dx x f dx x f dx x f dx x f 0()()[]dx x f x f a⎰-+=0。
近十份大学微积分下期末试题汇总(含答案) 2
浙江大学2007-2008学年春季学期 《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷一 、填空题（每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上） 1.点M （1,－1, 2）到平面2210x y z -+-=的距离d = .2.已知2a = ,3b = ,3a b ⋅= ,则a b +=.3.设(,)f u v 可微，(,)y x z f x y =,则dz = .4.设()f x 在[0，1]上连续，且()f x ＞0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y =≤≤≤≤,则()()()()Daf x bf y d f x f y σ++⎰⎰= .5.设(,)f x y 为连续函数，交换二次积分次序2220(,)x x dx f x y dy -=⎰⎰.二 、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题 目要求的，把所选字母填入题后的括号内）6.直线l 1:155121x y z --+==-与直线l 2:623x y y z -=⎧⎨+=⎩的夹角为 （A ）2π . （B ）3π . （C ）4π . （D ）6π. [ ] 7.设(,)f x y 为连续函数，极坐标系中的二次积分cos 20d (cos ,sin )d f r r r r πθθθθ⎰⎰可以写成直角坐标中的二次积分为（A）100(,)dy f x y dx ⎰⎰ （B）100(,)dy f x y dx ⎰⎰（C）10(,)dx f x y dy ⎰⎰（D）10(,)dx f x y dy ⎰⎰[ ]8.设1, 02()122, 12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩ ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数，则5()2S -=（A ）12. （B ）12-. （C ）34. （D ）34-. [ ] ＜9.设,)(0,0),(,)0, (,)(0,0),x y f x y x y ≠==⎩则(,)f x y 在点O (0,0)处（A ）偏导数存在，函数不连续 （B ）偏导数不存在，函数连续（C ）偏导数存在，函数连续 （D ）偏导数不存在，函数不连续 [ ] 三、解答题10.（本题满分10分）求曲线L ：2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在其上点M （1，－1，2）处的切线方程与法平面方程.11.（本题满分10分）设F 可微，z 是由F (x y -,,)0y z z x --=确定的可微函数，并设23F F ''≠，求z zx y∂∂+∂∂. 12.（本题满分10分）设D 是由曲线3y x =与直线y x =围成的两块有界闭区域的并集，求2[esin()]d x Dx y σ++⎰⎰.13.（本题满分10分）求空间曲线L ：222920335x y z x y z ⎧+-=⎨++=⎩上的点到xOy 平面的距离最大值与最小值.14.（本题满分10分）设平面区域D ={}(,)01,01x y x y ≤≤≤≤，计算二重积分22 1 d Dx y σ+-⎰⎰.15.（本题满分5分）设当y ＞0时(,)u x y 可微，且已知222222(,)()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y=++-++++. 求(,)u x y .浙江大学2007－2008学年春季学期《微积分II 》课程期末考试试卷答案一、填空题（每小题5分，共25分） 1．231421=-++=d .2．a b +== 3．()()dy xy f x x f dx y y f yx f dz x y x y 121211ln ln --'+⋅'+'+⋅'= 4．()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰++=++=D Dd x f y f x bf y af d y f x f y bf x af I σσ， ()()⎰⎰+=+=+=∴D b a I b a d b a I 21,2σ.5．()()2220111,,x xdx f x y dy dy f x y dx --=⎰⎰⎰⎰或 ()01,d y f x y dx -⎰⎰或 ()1101,dy f x y dx -⎰⎰.二、选择题（每小题5分，共20分）6．选（B ）. l 1的方向向量{}1,2,1-，l 2的方向向量{}2,1,1--，{}{}3,2163662,1,11,2,1cos πθθ===--⋅-=.7．选（D ）. 积分区域(){}0,,22≥≤+=y x y x y x D ，化成直角坐标后故知选（D ）.8．选（C ）. 511111113()()()((0)(0))(1)222222224S S S f f -=-==-++=+=.9．选（A ）. ()()0000,0lim0,0,00x y x f f x→-''===，偏导数存在. 取kx y =，()4411lim,lim kk kk kx x f x x +=+=→→随k 而异，所以不连续．三、解答题（10～14每题10分，15题5分，共55分） 10．由L ，视x 为自变量，有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++.0226,0264dx dz z dx dy y x dx dz z dx dy y x 以()()2,1,1,,-=z y x 代入并解出dxdzdx dy ,，得 87,45==dx dz dx dy ， 所以切线方程为87245111-=+=-z y x ，法平面方程为()()()57112048x y z -+++-=，即0127108=-++z y x .11．133212232332,,1y x z z F F F F F F F F z z z z x F F F y F F F x y F F ''''''''--+∂∂∂∂=-=-=-=-+==''''''''∂-+∂-+∂∂-.12．D 在第一象限中的一块记为D 1，D 在第三象限中的一块记为D 2，()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++++=++2122122sin sin sin D D DD x D x x d y x d y x d e d e d y x eσσσσσ.32222312101xx x x x xxxD D e d e d dx e dy dx e dy σσ-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()()()()222210103333011x x x x x x e dx xx e dx x x e dx xx e dx -=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰()2111130021()112x u u u u x x e dx e du ue du e ue e e e =-=-=---=--=-⎰⎰⎰()()()()3312101sin sin sin sin x x xxD D x y d x y d dx x y dy dx x y dy σσ-+++=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()()103301cos cos cos cos x x x x dx x x x x dx -⎡⎤⎡⎤=-+-+-+-+⎣⎦⎣⎦⎰⎰ ()()()()13301cos cos cos cos 0x x x x dx x x x x dx ⎡⎤⎡⎤=-+-+++-+=⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 所以，原式2-=e .13．L 上的点到平面xoy 的距离为z ，它的最大值点，最小值点与2z 的一致，用拉格朗日乘数法，设()()()53329,,,,2222-+++-++=z y x zy x z z y x F μλμλ，求偏导数，并令其为零有：20F x x λμ∂=+=∂，1830Fy x λμ∂=+=∂， 2430F z z z λμ∂=-+=∂，22920Fx y z x∂=+-=∂ ， 3350Fx y z μ∂=++-=∂ ． 解之得两组解()()1215,,(1,,1);,,(5,,5)33x y z x y z ==--. 所以当31,1==y x 时，1=z 最小；当35,5-=-=y x 时，5=z 最大.14．将分成如图的两块，41的圆记为D 1，另一块记为D 2()⎰⎰⎰⎰--=-+DD d y x d y x 1222211σσ+()⎰⎰-+2122D d y x σ()()()σσσd y x d y x d y xD DD ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+--++--=11111222222()()()()1222211122220211211211()43343D Dx y d x y d d r rdr dy xy dx πσσθππ=--++-=-++-=+-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰15．由()222222,()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y =++-++++，有222xy yx y x u ++=∂∂，从而知()()y y x yxy x u ϕ++=2221arctan ,，又由y y x yx x y u 2222+++-=∂∂，推知 ()22222221()xx y x y y x y y x x y y ϕ-'++=-++++， ()()22,y y y y C ϕϕ'==+所以，()2221,arctan2x u x y x y y C y =+++. 注：若用凑的办法亦可：222222()(2)y x xy dx x y y dy x y x y++-++++()()22222211221()ydx xdy ydx xdy xy ydx xdy ydy d xy dy x x y y y--=+++=++++ ()221(arctan)2x d xy y y =++ 所以，()C y y x yx y x u +++=22221arctan ,． ()()u f u F ='．浙江大学2006–2007学年春季学期 《 微积分Ⅱ 》课程期末考试试卷开课学院： 理学院 考试形式：闭卷 考试时间： 年 月 日 所需时间：120 分钟 考生姓名： _____学号： 专业： ________一、 填空题（每小题5分，满分30分） 1． 直线63321-==+z y x 在平面0522=--+z y x 上的投影直线方程为.2． 数量场2),,(z ye z y x g x+=在)0,3,1(P 点的梯度为 .=u函数)ln(),,(22z y x z y x f ++=在P 点沿u 的方向导数为 .3． 设ϕϕ,),2,3(),,(f y x x u u x f z+== 具有二阶连续偏导数，则=∂∂∂yx z 2.4． 设}1,11|),{(3≤≤≤≤-=y x x y x D ，则=+⎰⎰+Dy xy x e y x x d d )(222.5． 已知曲面1=z y x 与椭球面193222=++z y x 在第一卦限内相切，则切点坐标为 ，公共切平面方程为.6． 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤=121,210,)(2x x x x x f ，∑∞=+=10cos 2)(n n x n a a x S π，其中,2,1,0,d cos )(210==⎰n x x n x f a n π，则.)7(=S二、 （满分10分）求直线 ⎩⎨⎧=-++=-+-022012z y x z y x 绕x 轴旋转一周所得的旋转曲面方程.10022dd x yex y.三、（满分10分）计算⎰⎰-四、 (满分15分)已知),(y x z z =由方程013=++zxe z y 确定，试求1022==∂∂y x x z.五、 （满分15分）设平面),,(,1:z y x d y x =+π为曲线⎪⎩⎪⎨⎧=++=++014222z y x z y x 上的点),,(z y x 到平面π的距离，求),,(z y x d 的最大，最小值 .六、 (满分15分)如图是一块密度为ρ（常数）的薄板的平面图形（在一个半径为R 的半圆直 径上拼上一个矩形，矩形的另一边为h ）,已知平面图形的形心位于原点(0, 0). 试求：1. 长度 h ；2.薄板绕x 轴旋转的转动惯量.七、 (满分5分) 求证:当0,1≥≥s t 时，成立不等式 s e t t t ts +-≤ln .参考解答：一．1．⎩⎨⎧=--+=+-0522043z y x z y x ； 2. 21},0,,3{e e ；3.)3(2))(3(2222122222122212ϕϕϕϕϕϕ''+''⋅'+'+'⋅'⋅''+'''f f f ； 4.;32 5. ;03313,3,1,31=-++⎪⎭⎫⎝⎛z y x 6. 83.二．直线：t z t y t x -=-==1,1,曲面上点→),,(z y x P 直线上点00000001,1),,,(x z x y z y x -=-=22222020220)1()1(,,x x z y z y z y x x -+-=+⇒+=+=则旋转曲面方程：222)1(2x z y -=+三．⎰⎰10222d d x y ex y -⎰⎰⎰-==--1212220142)d 41(d d y y e x e y 2y yy2120202020221d d d d 212212212212212------=-+=+=⎰⎰⎰⎰e y e ey y e e y y e yy y y y四．,1)1,0(-=z ,032=∂∂++∂∂⋅x z xe e x z z y z z ex z y x 3110-=∂∂∴==,02632222222=∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+∂∂⋅x z xe x z xe x z e x z z y x z z y z z z 2102294ex zy x =∂∂∴== 五．|1|21),,(-+=y x z y x d)14()()1(2222-++++++-+=z y x z y x y x L μλ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++='=±===++='==+='-==⇒≠=++-+='=⇒==++-+='014,01302,002)1(20,002)1(22223231221z y x L z y x z y x L x z L xz x y y y x L x y x L z y xμλμλμμλλμμλ，无解最小距离：2236),,(323131-=-d ，最大距离：2236),,(323131+=--d六．形心：01,0=⇒==⎰⎰⎰⎰DDxdxdy xdxdyx y σ即0d c o s d d d 220=⋅+⎰⎰⎰⎰---ππθθRhR Rr r r y x xR h R h R 320312)21(232=⇒=⋅+-⋅⎰⎰=Dx dxdy y I 2302202)832(d θsin d d d 22R R h r r r y y x Rh RR πθππ+=⋅+=⎰⎰⎰⎰---七．设0)0,1(,ln ),(=-+-=F ts e t t t s t F s.ln ,0),(t s e t t e s t F s s s ==⇒=-=' 且对固定的1>t ， 当,0),(,ln 0<'<<s t F t s s 当,0),(,ln >'>s t F t ss所以，t s ln =取得最小值且为0，则0),(≤s t F ，即s e t t t ts +-≤ln1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x21___________.π=⎰∞+∞--dx ex 23、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以xe x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________. 6 知dxexp ⎰∞+- 0)1(与⎰-ep x x dx11ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( c ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,0 0,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( b ).(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是( a).(A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( d ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛，则∑∞=-1)1(n nna ( d ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+. 2、3、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解：32y x =的函数为23,0x y y =>。
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期末复习题一、填空题1、=⎰→xt t xx 020d cos lim.2、若)(x f 在],[b a 上连续, 则=⎰bxx x f x 2d )(d d .3、已知)(x F 是)(x f 的原函数，则⎰>+x x t a t f t)0( d )(1等于 . 4、若2e x -是)(xf 的一个原函数，则='⎰10d )(x x f .5、=++⎰-112d 1||x x x x .6、已知21)(xxx f +=，则)(x f 在]2,0[上的平均值为 .7、设⎰=+π0),(sin d )(x f x x x f 且)(x f 连续， 则=)(x f .8、设曲线kx y =(0,0>>x k )与直线1=y 及y 轴围成的图形面积为31，则=k . 9、设yxy y x y x f arcsin)1()2(),(22---=，则=∂∂)1,0(y f .10、设yx z 2e =，则=∂∂∂yx z2. 11、交换积分次序 =⎰⎰x y y x f x ln 0e 1d ),(d . 12、交换积分次序 =⎰⎰---xx y y x f x 11122d ),(d .13、交换积分次序⎰⎰-2210d ),(d y yx y x f y ＝.二、选择题1、极限xtt x x cos 1d )1ln(lim2sin 0-+⎰→等于（ ） （A ）1（B ）2（C ）4（D ）82、设x x t t f xe d )(d d e 0=⎰-，则=)(xf （ ） (A)21x(B) 21x - (C) x 2e - (D) x2e -- 3、设)(x f 是连续函数，且C x F x x f +=⎰)(d )(，则必有（ ）B（A ）)(d )(x F t t f x a =⎰ （B ）)(]d )([x F t t F x a ='⎰ （C ）)(d )(x f t t F x a='⎰（D ）)()(]d )([a f x f t t F xa-=''⎰4、设)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上的平均值是（ ）（A ）2)()(b f a f + （B ）⎰b a x x f d )(（C ）⎰-b a x x f a b d )(1 （D ）⎰-b a x x f ba d )(15、积分⎰=t sx x t f tI 0d )(与（ ）有关。
（A ）x t s ,,（B ）t s ,（C ）t x ,（D ）s 6、下列方程中变量可分离的是 ( )（A ）2d d t t x t x+=（B ）t txxx t sin e d d += （C ）22d d t x tx+=（D ）)ln(d d t x tx= 7、( ) 是微分方程0d ln d ln =+y y x x x y 满足条件21e e21-==x y 的特解。
（A ）0ln ln 22=+y x （B ）2ln ln 22=+y x （C ）0ln ln 22=+y x（D ）21ln ln 22=+y x 三、计算题1、计算下列不定积分： (1) ⎰--xx x 1)2(d (2)x x x d ln ⎰ (3)⎰x x d ln 2(4)⎰++311d x x (5)⎰-x x x d 1122 (6)⎰+x x x d 2cos 122、计算下列定积分： (1)⎰20d sin eπx x x(2)x x d ln 22e e 1⎰ (3)x x x x d arctan 110 22⎰+(4)⎰-+5ln 0xx x d 1e 3e e x (5)⎰-12112d e x x (6)⎰-102d 1arctan x x x(7)⎰-12122d 1x x x (8)⎰+40d 12x x x 3、设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-+≤≤-=02 ,2120 ,41)(2x x x xx f ，求⎰-20d )1(x x f .4、设⎩⎨⎧<+≥=-0,10,e )(2x x x x f x ,求⎰-31d )2(x x f 。
5、设),(y x f z =是由方程yz z x ln =确定的隐函数，求y z x z ∂∂∂∂,。
6、设)ln(22y x z +=，求yy xx z z '''',。
7、yx y x y x y x f arctan arctan ),(22-=，求y x f ∂∂∂2。
8、已知 233=++yz z x ，求x z ∂∂，yz∂∂。
9、求函数)2(e ),(22y y x y x f x++=的极值。
10、计算二重积分⎰⎰Dy x x xd d sin ，其中}10,{≤≤≤≤=y y x y D 。
11、计算二重积分⎰⎰-Dy x x d d 12，其中D 是以)1,1(),0,1(),0,0(为顶点的三角形区域。
12、计算⎰⎰-1x10d e d 2y x y .13、计算⎰⎰+10132d 1d x y yxy x .14、计算⎰⎰-1121d sin d y x xxy 。
15、求微分方程满足初始条件的特解：0d d =+xyy x ，4)3(=y . 16、求微分方程 0e =-+'xy y x 的通解。
17、求方程2x x y x y -+-='e 22的通解。
18、求微分方程042)1(22=-+'+x y x y x 的通解。
19、求解微分方程 0d )ln (d ln =-+x x y y x x ，1|e ==x y .四、应用题1、求2x y =与2y x =所围成的图形的面积及它绕x 轴旋转而成的旋转体体积。
2、求2x y -=与x y =所围成的图形的面积,并求此图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
3、过曲线0,3≥=x x y 上的点A 作切线，使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形D 的面积S 为43。
(1) 求点A 的坐标；(2) 求平面图形D 绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积。
4、为销售某种产品，需要作两种方式的广告，当两种广告的费用分别为x 和y 时，销售利润的增加是yyx x +++1025550（万元）。
现花25万元用于广告，问怎样分配两种方式的广告费用，可使利润的增加达到最大？5、某厂生产产量分别为x 和y 的两种产品，总成本50010104),(22++-++=y x y x y x y x c ，需求函数分别为p x 25.070-=，q y 5.0120-=，(q p ,为产品单价)，且产品需求要受限制,502=+y x 求工厂获最大利润时的产量和单价。
6、设某企业的总产量函数为y x y x P 2005.0),(=（吨），y x ,为两种投入要素，其单价分别为1万元/吨和2万元/吨，且该企业拥有资金150万元，试求y x ,使产量最大。
7、生产某种产品需要C B A ,,三种原料，且产量与C B A ,,原料的用量z y x ,,的关系为z y x Q 2005.0=，已知三种原料售价分别为1,2,3(万元)，今用2400(万元)购买材料，问应如何进料才能使产量最大？五、证明题1、设)(x f 在]10[，上连续,证明：⎰⎰=2d )(sin 2d )(sin ππt t f t t f 。
2、设)(x f 在]10[，上连续,证明：⎰⎰=πππd )(sin 2d )(sin x x f x x f x 。
3、证明⎰⎰-=-110d )1(d )1(x x x x x x m n n m .解答：一、填空题1. 12. -2f (2x )3.)(2)2a F a x F(-+4. 1e 2--5. ln26.)1521-( 7. π-+12sin x 8. 21 9. 8 10、y2e 2 11.⎰⎰e e 10d ),(d yx y x f y12.⎰⎰⎰⎰+-++--+-y y y y x y x f y x y x f y 11301101d ),(d d ),(d13、⎰⎰⎰⎰-+2120122d ),(d d ),(d x x y y x f x y y x f x二、选择题 1. C 2. B3、解选B利用变上限积分函数的导数)(d )(d d x f t t f x xa=⎰，结合)()(x f x F ='，得(A))()(d )(a F x F t t f x a-=⎰, (C))()(d )(a F x F t t F x a-='⎰, (D) )()(]d )([x f x F t t F xa='=''⎰,故选(B). 4、解选C若函数)(x f 在],[b a 上连续，则称⎰-b ax x f a b d )(1为)(x f 在],[b a 上的平均值，故选(C). 5、解 选D设x t u =，则tu x =，u t x d 1d =，于是 ⎰=t sx x t f tI 0d )(⎰=s u u f 0d )(，故积分I 与s 有关. 应选(D).6、解 选B由于t tx x xt sin e d d +=可写成t x t x t x sin e e d d ⋅=，故应选(B). 7、解 选D将原方程分离变量并两边积分，得到通解为 C y x =+22ln 21ln 21， 代入初始条件21e e21-==x y，得41=C ，所求特解为 21ln ln 22=+y x 。
三、计算题1、计算下列不定积分： (1) 解 令x t -=1，则21t x -=，t t x d 2d -=，于是⎰--x x x1)2(d ⎰⋅+⋅-=tt t t )1(d 22⎰+-=21d 2t t C t +-=arctan 2C x +--=1arctan 2. (2) 解x x x d ln ⎰⎰=)2(d ln 2x x ⎰⋅-=x x x x x d 12ln 222C x x x +-=2241ln 2. (3) 解⎰x x d ln 2⎰⋅⋅-=x x x x x x d 1ln 2ln 2⎰-=x x x x d ln 2ln 2⎰⋅+-=x xx x x x x d 12ln 2ln 2C x x x x x ++-=2ln 2ln 2(4) 解令t x =+31，31t x =+，t t x d 3d 2=，⎰++311d x x ⎰+=t t t d 132⎰++-=t t t d 11132⎰++-=t tt d )111(3 C t t t +++-=|1|ln 33232C x x x +++++-+=|11|ln 313)1(233332 (5) 解令t x sec =，t t t x d tan sec d =，C t t t t t t tt x x x+===-⎰⎰⎰sin d cos d tan sec tan sec d 11222C xx +-=12 (6) 解⎰⎰⎰⎰===+x x x x x x x xx x xtan d d secd cos 22d 2cos 1222.|sec |ln tan d tan tan C x x x x x x x +-=-=⎰2、计算下列定积分：(1)解：⎰20d sin eπx x x⎰=20de sin πx x ⎰-=2020d cos e sin e ππx x x xx⎰-=202de cos e ππx x-=2e π]d sin e cos e [2020⎰+ππx x x xx-+=1e 2π⎰20d sine πx x x解得⎰20d sin e πx x x )1(e 212+=π.(2) 解：原式x x x x d ln d ln 22e 11e 1⎰⎰+-=x x xx x x xx ln d ln ]ln d ln [2222e 1e 11e1 1e 1⎰⎰-+--=x x d 21e ]d 21e 1[22e 1 21e1 2⎰⎰-+--=22e 212e 31+-=.(3) 解：令t t x t x x t d sec d ,tan ,arctan 2===，则原式t t t d tan 240 ⎰=πt t t d )1(sec 240 -=⎰πt t t t t d d sec 40 240 ⎰⎰-=ππ40240 21tan d ππtt t -=⎰24 0 40321d tan tan πππ--=⎰t t t t 240321sec ln 4πππ--=t 23212ln 214ππ--= (4) 解：令t x =-1e ，则⎰+⋅+⋅+=20222d 124)1(t t t t t t 原式⎰+=2022d 42t t t ⎰+-+=2022d 4442t t t 20)2arctan 2(2t t -=π-=4(5) 解：令t x =-12，则原式⎰=10d e t t t ⎰⎰-==11010d e e de t t t t tt 1=(6) 解 令t x =-21，则 ⎰-102d 1arctan x x x ⎰=102d arctan 21t t⎰+-=1022102d 121arctan 21t t t t t ⎰+-+-⋅=1022d 11121421t t t π 10arctan 2121421x +-⋅=π.214-=π (7) 解 设t x sin =，原式t t t d sin cos 2422⎰=ππ41)cot (d 1)(csc 24242πππππ-=+-=-=⎰t t t t (8) 解 令t x =+12，原式t t t t ⎰-=312d 21310)3(21313=-=t t 。