考研数学-定积分的应用
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第六章 定积分的应用
一、应知应会
1、 有向区间],[b a (b a <或b a >)。
2、 区间函数
U 是一个区间函数(例如，位移是一个
时间区间的函数，功是一个位移区间的函数等等)，我们记]),([b a U U =且满足以下条件：
（1）U 具有可加性，即对],[b a c ∈∀有：
]),([]),([]),([b c U c a U b a U +=；
（2）当左端点确定时，]),([x a U 是一个右端点的函数，即]),([)(x a U x F =； （3）增量]),([]),([x a U x x a U U -∆+=∆
]),([x x x U ∆+=。
3、元素法
(1)若)()(]),([x x f x x x U i ∆+∆=∆+οξ，
],[x x x i ∆+∈ξ。当)(x f 连续时，有： ,)(dx x f dU =⎰
=
=b
a
dx x f b a U U )(]),([。
读者分析一下即可看到，当],[)(b a c x f ∈时，]),([)(x a U x F =就是)(x f 的一个原函数，即)()('x f x F =。
(2)正确理解⎰b
a dx x f )(在用元素法时，应
首先建立适当的坐标系。在微观世界中 ,)(dx x f dU =是一个以直代曲、以不变代变、以静代动的近似过程。而宏观则是由 微观堆积而成的,⎰b
a dx x f )(就是dx
x f )(
的叠加过程，其量纲是不变的。另一方面我们也可以通过dx x f dU )(=建立微分
方程。 4、几何应用 (1) 求面积
①直角坐标系下，面积||||dx y A b
a
⎰
=
。
其中||y 是小条的高，||dx 是小条的宽，
||||dx y dA =是小条的面积元，叠加起来
就有：||||dx y A b
a
⎰
=
(b a <)。
②对于参数方程，dt t t A T
t |)()('|0
⎰
⋅=
ψϕ。
这里⎩⎨⎧==)
()(t y t x ψϕ，T t t ≤≤0，ψϕ,'连续，
且b T a t ==)(,)(0ϕϕ(显然②是①转化为参数坐标系下的公式)。 ③极坐标系下，⎰
=
β
α
θθd r A )(2
12
。小扇
形面积元用圆中扇形面积近似代替即有：
θθθd r r dA )()(2
1=
。
④旋转体的侧面积为⎰⋅⋅=L
ds y A π2。我
们知道，若水平线段c y =(b x a ≤≤)绕ox 轴旋转一周即得一圆柱面，
其侧面积为)(2a b c -⋅⋅π。若一曲线)(x y 绕ox 轴旋
转一周而得到一圆柱面，其侧面积又如何呢？我们可以把曲线的弧微分ds 近似看成水平线段(以直代曲)，这样面积元为
yds dA π2=，侧面积⎰⋅⋅=
L
ds y A π2，在
把其化为定积分计算即可。 (2) 求体积
①平行截面面积为)(x A (b x a ≤≤)的立 体体积为：⎰
=
b
a
dx x A V )(。这里小片体积
元为dx x A dA )(=，)(x A 是以不变代变。 ②旋转体体积。设连续曲线],[)(b a c x f ∈ 且0)(>x f ，所求立体为曲线)(x f 、直线
a x =、
b x =及x 轴所围的曲边梯形旋转
一周所得，则：
（a ）绕ox 轴旋转一周所的立体体积为：
⎰
=
b
a
ox dx x f V )(2
π。
圆片法：对点],[0b a x ∈ 线段)(0x f 绕ox 轴旋转一周成一圆片且其面积)()(020x f x A π=(以静代动)，所以
dx x f dA )(2
π=，由①知有(a)式。
（b ）绕oy 轴旋转一周所的立体体积为：
⎰
=
b
a
oy dx x xf V )(2π。
圆筒法：对],[0b a x ∈ 线段)(0x f 绕ox 轴旋转一周成一圆筒且其面积)(2)(000x f x x A π=(以静代动)，所 以dx x xf dV )(2π=，⎰
=b
a
oy dx x xf V )(2π。
(3) 求弧长
弧微分为2
2
)()(dy dx ds +=
，设以
下所碰到的函数均为可导且导函数连续，则有：
（a ）直角坐标系下dx y ds 2'1+=，其中
)(x f y =，0>dx ；
（b ）对于参数方程⎩⎨
⎧==)
()(t y t x ψϕ，其弧微分
为dt t t ds 22)(')('ψϕ+=，0>dt ； （c ）在极坐标系下：θd r r ds 2
2
'+=
，
其中)(θr r =，0>θd 。
求弧长只需把弧微分堆积(做积分)起 来即可，⎰
=B
A
ds S 。
(5) 物理应用 ①变力做功
设变力)(x f 的方向与位移dx 的方向平行，则dx x f dW )(=(以不变 代变)，⎰
=b
a
dx x f W )(。
②液体压力
设液体的密度为ρ，液体深为x ，则有帕斯卡定律有gx P ρ=，且ydx d =σ，压力元dx x gxy Pydx Pd dF )(ρσ===(两 次以不变代变)，压力⎰
=
H
dx x gxy F 0
)(ρ。
③平均数公式：⎰
-=
b a
dx x f a
b x f )(1
)(。
(6)在极坐标下由βθα≤≤，)(0θr r ≤≤所围区域，绕极轴ρo 旋转所得立体的体 积为：
⎰
⎰⎰
⎰⎰⎰
=
=
Ω
)
(0
2
20
sin ϕβα
π
ϕϕϕθr d r d d dV V
⎰
=
β
α
ϕϕϕπd r s i n )(3
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这里，实际上是将极轴ρo 视为oz 轴后，再用球坐标公式即得上式。
二、典型例题 Ⅰ、几何应用
(ⅰ)、直角坐标系下求面积和体积。 例1）当a (40≤≤a )为何值时，两曲线