第二章4刚体的定轴转动-习题解答PPT课件
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物理课件2.91刚体的定轴转动力矩转动定律转动惯量
物理ppt课件2.91 刚体的定轴转动力 矩转动定律转动惯 量
目录
• 刚体的定轴转动 • 力矩 • 转动定律 • 转动惯量
01
刚体的定轴转动
刚体的定义
刚体
在任何力的作用下，其形状和大 小都不会发生变化的物体。刚体 是一个理想化的物理模型，用于 简化对物理现象的研究。
刚体的特点
刚体在力的作用下，只发生平动 或定轴转动，不会发生形变。在 刚体的定轴转动中，其上任意两 点之间的距离保持不变。
刚体的定轴转动
定轴转动
刚体绕某一固定轴作转动。
定轴转动的特点
刚体在定轴转动中，其上任意一点都绕同一固定轴作圆周运动，且各点的角速 度相同。
刚体的定轴转动定律
刚体的定轴转动定律
转动惯量
刚体绕固定轴转动的角动量守恒。即 刚体在不受外力矩作用时，其角动量 保持不变。
描述刚体转动惯性的物理量，等于刚 体质量与质心到转轴距离平方的乘积 。
转动惯量
描述刚体绕定轴转动的惯性大小的物理量。
转动惯量的定义公式
I = Σ (m * r^2)，其中I是转动惯量，m是质量， r是质点到转轴。
转动惯量的计算
对于细杆，若其质量分布均匀，则其 转动惯量等于质量与质心到转轴距离 平方的乘积。
对于质量分布不均匀的刚体，需要将 刚体分割成若干微元，然后对每个微 元应用转动惯量的定义公式进行计算 。
对于质量分布均匀的圆盘，其转动惯 量等于圆盘质量与半径平方的乘积。
转动惯量的应用
在动力学问题中，转动惯量是描 述刚体转动状态的重要物理量， 可以用于计算刚体的角速度、角
加速度等物理量。
在振动问题中，转动惯量可以影 响刚体的振动频率和振幅。
在陀螺仪和电机控制等领域，转 动惯量也是重要的参数之一。
目录
• 刚体的定轴转动 • 力矩 • 转动定律 • 转动惯量
01
刚体的定轴转动
刚体的定义
刚体
在任何力的作用下，其形状和大 小都不会发生变化的物体。刚体 是一个理想化的物理模型，用于 简化对物理现象的研究。
刚体的特点
刚体在力的作用下，只发生平动 或定轴转动，不会发生形变。在 刚体的定轴转动中，其上任意两 点之间的距离保持不变。
刚体的定轴转动
定轴转动
刚体绕某一固定轴作转动。
定轴转动的特点
刚体在定轴转动中，其上任意一点都绕同一固定轴作圆周运动，且各点的角速 度相同。
刚体的定轴转动定律
刚体的定轴转动定律
转动惯量
刚体绕固定轴转动的角动量守恒。即 刚体在不受外力矩作用时，其角动量 保持不变。
描述刚体转动惯性的物理量，等于刚 体质量与质心到转轴距离平方的乘积 。
转动惯量
描述刚体绕定轴转动的惯性大小的物理量。
转动惯量的定义公式
I = Σ (m * r^2)，其中I是转动惯量，m是质量， r是质点到转轴。
转动惯量的计算
对于细杆，若其质量分布均匀，则其 转动惯量等于质量与质心到转轴距离 平方的乘积。
对于质量分布不均匀的刚体，需要将 刚体分割成若干微元，然后对每个微 元应用转动惯量的定义公式进行计算 。
对于质量分布均匀的圆盘，其转动惯 量等于圆盘质量与半径平方的乘积。
转动惯量的应用
在动力学问题中，转动惯量是描 述刚体转动状态的重要物理量， 可以用于计算刚体的角速度、角
加速度等物理量。
在振动问题中，转动惯量可以影 响刚体的振动频率和振幅。
在陀螺仪和电机控制等领域，转 动惯量也是重要的参数之一。
刚体的定轴转动及转动定律PPT学习教案
；（3）t = 6 s 时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法
向加速度 .
解：
（1）
5π rads , 1
t = 30 s 时，
0
0.
设 t= 0s
时，
.飞轮做匀减速运动
0 0
0 0 5π rad s1 π rad s2
t
30
6
飞轮 30 s 内rad 2 2 (π 6)
解：
dm dV 2 r h dr
其中：
m m
V r 2 h
所以：
J r 2 dv m
R 2rh r 2dr
0
1 mR2
2
第24页/共28页
第25页/共28页
四 平行轴定理 质量为 的刚体，如果对其质心轴的转动惯量 为 ，则对任一与该轴平行，相距为 的转轴的转动惯量为：
0.105
m s2
an r 2 0.2´ (4 π)2 m ×s2 31.6 m ×s2
第10页/共28页
例2 在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截
面后通，过其中转心速的达轴到转18动00.0开r·m始in时-1，. 已它知的转角子速的度角加0 速度0与，时经间3成00正s 比
第12页/共28页
一 力矩 刚体上P点的力 对转轴 Z 的力矩为：
大小： 方向：右手定则
例
F
M rF
M
M Fr sin Fd
F
F
Fi 0 , Mi 0
F
F
z
M
r
O
d
F *P
Fi 0 , Mi 0
第13页/共28页
讨论 1）若力 不在转动平面内
则：
高中物理奥林匹克竞赛专题--刚体-习题课(共12张PPT)
解:
设碰后棒开始转动的角速度为 , 滑块m2可视为质点, 碰撞瞬时忽略摩擦阻 力矩, 则m1、m2系统对o轴的角动量守恒, 取逆时针转动的方向为正方向, 由角动量 守恒定律, 有 碰后棒在转动过程中受到的摩擦阻力矩为
o
m1
m v1 2 v2
l
1 2 m2 v1l m2 v 2 l m1l 3
使 L 方向改变,而大小不变.
M L
自转轴将在水平面内逆时针方向(俯视)回转
质点力学、刚体力学有关公式对照表
质点的运动 速度 加速度 质量 刚体的定轴转动 角速度
d r dt
2
dr v dt dv a dt
角加速度 转动惯量
ddt
d dt
d 2 dt 2
m 力 F 运动定律 F ma 动量 p mv 角动量 L r p
动量定理
力矩
转动定律 动量 角动量
M r F
J r 2 dm
M J p mi vi
L J
dmv F dt
2 mg R 2 2 M f dM f r dr mgR 2 0 R 3
(2)求圆盘停止转动的时间有两种解法
dr r
o
R
解1 用转动定律 2 1 2 d M f mgR J mR 3 2 dt
3R dt d 4g
t
0
3R 0 dt d 4g 0
l
A
m1 1 M f gxdx m1 gl 0 l 2
1 m2 v1l m2 v 2 l m1l 2 3
大学物理上册《刚体定轴转动》PPT课件
刚体性质
刚体是一个理想化的物理模型，实际物体在受到力的作用时， 都或多或少地会变形，但如果变形很小，对研究问题的影响可 以忽略不计时，就可以把这个物体看成刚体。
定轴转动描述
定轴转动
刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动，这种运 动叫做刚体的定轴转动。这条直线叫做刚体的转轴。
转动的快慢
用角速度ω来描述刚体转动的快慢，单位时间内转 过的角度θ越大，角速度ω就越大。
转动能定理
刚体定轴转动时，合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增 量。
转动动能的计算
转动动能Ek等于刚体的转动惯量I与角速度ω平方的一半的乘积，即 Ek=1/2Iω²。
应用举例
通过计算合外力矩对刚体所做的功，可以求解刚体在某个过程中的角 速度、角加速度等物理量。
动力学普遍定理在转动中应用
动力学普遍定理
VS
误差分析
分析实验过程中可能产生的误差来源，如 测量误差、仪器误差等，并提出减小误差 的方法。
实验结果讨论和改进建议
实验结果讨论
根据实验数据和分析结果，讨论刚体定轴转动的基本规律以及实验过程中存在的问题和不足之处。
改进建议
提出改进实验方法和提高实验精度的建议，如优化实验器材、改进测量方法等。
05
动能定理揭示了力对刚体所做 的功与刚体动能变化之间的关 系；机械能守恒定律则指出在 只有重力或弹力做功的情况下， 刚体的机械能保持不变。
常见题型解题技巧分享
选择题答题技巧
注意审清题意，明确题目要求；对于概念性选择题，要准确理解相关概念；对于计算性选择题，要善于运用 物理规律和公式进行推理和计算。
填空题答题技巧
未来发展趋势预测
高效能源利用
随着能源问题的日益突出，未来旋转机构将更加注重高效能 源利用，如采用新型材料、优化结构等降低能耗。
刚体是一个理想化的物理模型，实际物体在受到力的作用时， 都或多或少地会变形，但如果变形很小，对研究问题的影响可 以忽略不计时，就可以把这个物体看成刚体。
定轴转动描述
定轴转动
刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动，这种运 动叫做刚体的定轴转动。这条直线叫做刚体的转轴。
转动的快慢
用角速度ω来描述刚体转动的快慢，单位时间内转 过的角度θ越大，角速度ω就越大。
转动能定理
刚体定轴转动时，合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增 量。
转动动能的计算
转动动能Ek等于刚体的转动惯量I与角速度ω平方的一半的乘积，即 Ek=1/2Iω²。
应用举例
通过计算合外力矩对刚体所做的功，可以求解刚体在某个过程中的角 速度、角加速度等物理量。
动力学普遍定理在转动中应用
动力学普遍定理
VS
误差分析
分析实验过程中可能产生的误差来源，如 测量误差、仪器误差等，并提出减小误差 的方法。
实验结果讨论和改进建议
实验结果讨论
根据实验数据和分析结果，讨论刚体定轴转动的基本规律以及实验过程中存在的问题和不足之处。
改进建议
提出改进实验方法和提高实验精度的建议，如优化实验器材、改进测量方法等。
05
动能定理揭示了力对刚体所做 的功与刚体动能变化之间的关 系；机械能守恒定律则指出在 只有重力或弹力做功的情况下， 刚体的机械能保持不变。
常见题型解题技巧分享
选择题答题技巧
注意审清题意，明确题目要求；对于概念性选择题，要准确理解相关概念；对于计算性选择题，要善于运用 物理规律和公式进行推理和计算。
填空题答题技巧
未来发展趋势预测
高效能源利用
随着能源问题的日益突出，未来旋转机构将更加注重高效能 源利用，如采用新型材料、优化结构等降低能耗。
大学物理课件：刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
r
l 2
mv R l mv R l
1
1
2
2
R l
v 2
R
1 v
l 1
2
R
o
l 1
2.刚体的角动量定理及守恒定律
刚体所受合外力矩与角加速度关系为
M J J d
dt
利用角动量表示 M
dJ
dL
dt dt
刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚 体绕此轴的角动量对时间的变化率。这是刚体角动 量定理的一种形式。
械能守恒。
1 (1 ML2 ma2 ) 2 mga(1 cos60) Mg L (1 cos60)
23
2
3(2ma ML)g 2(3ma2 ML2 )
6(2ma ML)(3ma2 ML2 )
v0
6ma
课后习题 3-9 3-10 3-18
刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
一、冲量矩 角动量
1.冲量矩
定义：力矩与力矩作用时间的乘积称为冲量矩。
数学表达： 2.角动量
t
0 M dt
整个刚体的角动量就是刚体上每一个质元的角动 量——即每个质元的动量对转轴之矩的和。
2.1质点的角动量
v
o
r
m
定义质点 m 相对原点的
角L动 量r定义p为 rmvsin
光滑转轴自由转动。今有一质量为m，速度为v0的子弹， 沿水平方向距水平转轴距离为a射入竖直、静止的杆内。
杆能摆起的最大角度θmax=60°，求v0。 解：把子弹与杆作系统。由于子弹入射杆的瞬间，系统合外力
矩为零故角动量守恒。
设子弹射入后杆起摆的角速度为ω，则有：
m
v0
刚体的转动部分习题分析与解答
动轨迹为一个圆弧。
刚体的定轴转动和平面转动的比较
03
定轴转动和平面转动是刚体转动的两种基本形式，它们在运动
学和动力学上有一些不同之处，如角速度、角加速度等。
03
刚体的动能与势能
刚体的动能
总结词
刚体的动能是指刚体在转动过程中所 具有的能量，与刚体的转动速度和质 量分布有关。
详细描述
刚体的动能计算公式为$E_{k} = frac{1}{2}Iomega^{2}$，其中$I$为刚体的转 动惯量，$omega$为刚体的角速度。转动惯量 是描述刚体质量分布对其转动影响的物理量， 与刚体的质量分布、形状和大小有关。
解答过程
钢球下落过程中，其速度逐渐增大，故其动能在 不断增加。同时，钢球离地面的高度逐渐减小， 故其势能在不断减小。由于钢球下落过程中只有 重力做功，故其机械能守恒。
习题五：关于刚体的机械能守恒的题目
总结词
理解机械能守恒的概念，掌握机械能守恒的条件和机械能守恒的计算方法。
详细描述
机械能守恒是指系统内各种形式的能量在相互转化时总量保持不变。对于刚体系统，只有重力或弹力 做功时机械能守恒。机械能
刚体的势能
总结词
刚体的势能是指刚体在转动过程中相对于某一参考点所具有 的能量。
详细描述
刚体的势能计算公式为$U = -GMmcostheta$，其中$G$为万 有引力常数，$M$和$m$分别为两个质点的质量，$theta$为 两质点连线和垂直于势能参考平面的夹角。对于刚体，势能的 具体值取决于参考点的选择。
实际问题。
习题五解答与解析
要点一
总结词
刚体的角动量守恒
要点二
详细描述
这道题目考察了学生在刚体转动中如何应用角动量守恒的 知识。学生需要理解角动量的概念，知道角动量等于刚体 的转动惯量乘以角速度，并能够根据角动量守恒的条件判 断刚体的运动状态。
《刚体绕定轴转动》课件
势能的定义
总结词
刚体绕定轴转动的势能是指刚体在转 动过程中相对于某一参考点所具有的 能量。
详细描述
刚体绕定轴转动的势能计算公式为$E_{p} = -mgh$，其中$m$为刚体的质量，$g$ 为重力加速度，$h$为刚体质心到旋转轴 的高度。势能的大小与参考点的选择有关 ，通常选择无穷远处作为参考点。
陀螺仪的工作原理
总结词
陀螺仪是利用刚体绕定轴转动的原理制成的 精密仪器，通过分析陀螺仪的工作原理，可 以深入了解刚体转动在导航、制导等领域的 应用。
详细描述
陀螺仪利用刚体绕定轴转动的特性，通过高 速旋转的转子来抵抗外力矩的作用，保持转 子轴线的方向不变。陀螺仪在导航、制导、 惯性制导等领域有着广泛的应用，通过对陀 螺仪工作原理的研究，可以进一步探索刚体 转动在精密仪器和导航系统中的重要价值。
动能与势能的关系
总结词
刚体绕定轴转动的动能与势能之间存在一定的关系，它们共同决定了刚体转动的总能量 。
详细描述
当刚体在转动过程中，其动能和势能会相互转化。当刚体加速转动时，其动能增加，同 时势能减小；当刚体减速转动时，其动能减小，同时势能增加。这种转化关系符合能量
守恒定律。
04
刚体绕定轴转动的转动定律与角动量守恒定律
扭矩与角加速度的关系
扭矩与角加速度成正比，即 M=Jα，其中M为扭矩，J为转 动惯量，α为角加速度。
02
刚体绕定轴转动的动量与角动量
动量的定义
总结词
动量是描述物体运动状态的一个重要物理量，表示物体运动时的冲量。
详细描述
动量定义为物体的质量与速度的乘积，即$p = mv$，其中$p$表示动量，$m$ 表示物体的质量，$v$表示物体的速度。动量是一个矢量，其方向与物体运动方 向相同。
刚体的定轴转动
[思考] ①结果合理否？ (量纲OK；又： , 合理.) ②其它解法？ (转动动能定理 or 转动定律)
(3)求摆到竖直位置时端点的速度。
§5.4 定轴转动的角动量守恒定律 (The Law of Conservation of Angular Momentum About a Fixed Axis) 1.对固定轴的角动量 ⑴质点对轴的角动量
⒌ 如图，质量为m、半径为R的圆盘可绕通 过其直径的光滑固定轴转动，转动惯量 J=mR2/4，设圆盘从静止开始在恒力矩M 作用下转动，则t秒后圆盘边缘上的B点的 at = ，an= .
R B
解： M恒定 恒定 匀变速率转动 ⑴ =M/J=4M/mR2 于是 at=R=4M/mR ⑵因恒定，故有 = t=4Mt/mR2 于是 an=R2=16M2t2/m2R3
本章： 定轴转动运动学
定轴转动定律
转动中的功和能 定轴转动的角动量守恒定律
§5.1 定轴转动运动学 (Kinematics of Rotation About a Fixed Axis)
一.定轴转动: 刚体内各质点都绕同一固定不动的轴作圆 周运动. 刚体定轴转动的特点：
1）刚体上各质点都作圆运动， 但半径不一定相等。 2)与轴线垂直的园平面为转动平面. 3）刚体上各点做圆运动的半径在 相等的时间间隔内转过相同的角度， ω 、α 相等。
e.g.
细杆质量m, 长L o 则对于 oo轴，J=mL2/3 对于 cc轴，J=mL2/12
o
c c
④转动定律与牛Ⅱ比较： M～ F J ～m ～a
ii)J量度了刚体转动惯性的大小
o 讨论：
o
o
o a
a A
a
a
B C
(3)求摆到竖直位置时端点的速度。
§5.4 定轴转动的角动量守恒定律 (The Law of Conservation of Angular Momentum About a Fixed Axis) 1.对固定轴的角动量 ⑴质点对轴的角动量
⒌ 如图，质量为m、半径为R的圆盘可绕通 过其直径的光滑固定轴转动，转动惯量 J=mR2/4，设圆盘从静止开始在恒力矩M 作用下转动，则t秒后圆盘边缘上的B点的 at = ，an= .
R B
解： M恒定 恒定 匀变速率转动 ⑴ =M/J=4M/mR2 于是 at=R=4M/mR ⑵因恒定，故有 = t=4Mt/mR2 于是 an=R2=16M2t2/m2R3
本章： 定轴转动运动学
定轴转动定律
转动中的功和能 定轴转动的角动量守恒定律
§5.1 定轴转动运动学 (Kinematics of Rotation About a Fixed Axis)
一.定轴转动: 刚体内各质点都绕同一固定不动的轴作圆 周运动. 刚体定轴转动的特点：
1）刚体上各质点都作圆运动， 但半径不一定相等。 2)与轴线垂直的园平面为转动平面. 3）刚体上各点做圆运动的半径在 相等的时间间隔内转过相同的角度， ω 、α 相等。
e.g.
细杆质量m, 长L o 则对于 oo轴，J=mL2/3 对于 cc轴，J=mL2/12
o
c c
④转动定律与牛Ⅱ比较： M～ F J ～m ～a
ii)J量度了刚体转动惯性的大小
o 讨论：
o
o
o a
a A
a
a
B C
刚体定轴转动的转动定律力矩PPT
求 θ角及着陆滑行时的速度多大？
解 引力场（有心力）
v0
系统的机械能守恒
质点的动量矩守恒
m r0
v R
OM
m 1 2m v v 0 r 00 2s iGπ n r0 M) ( 1 2 m m m vv 2 R GRMm vv0r0R sin4v0sin
sin14123RGv0M 21/2
1/2
LZ Δmiviri Δmiri2 JZ
i
i
LZJZ(所有质元对 Z 轴的动量矩之和)
2. 刚体定轴转动的动量矩定理
对定轴转动刚体，Jz 为常量。
dLZ dt
JZ
d
dt
dLZ dt
Mz
M zd t d L z d J
动量矩定理 微分形式
t1 t2M zd t 1 2d JJ2 J1（动量矩定理积分形式）
0tm1m 1m 2m 21 2 gmtr
3.2.2 刚体定轴转动的动能定理
1. 刚体定轴转动的动能
Δ m 1 ,Δ m 2 ,,Δ m k ,,Δ m N r 1 ,r 2 ,,r k ,,r N v 1 , v 2 , , v k , , v N
Δmk 的动能为
Ek 12Δmkvk212Δmkrk22
F FF Fn
2)力对点的力矩
Mo
M O r F
F
大小 M OrF sin
O . r
指向由右螺旋法则确定 力对定轴力矩的矢量形式
z
F//
F
M Z r F
（力对轴的力矩只有两个指向）
r
A
FF
2. 刚体定轴转动的转动定律
第 k个质元 F k f k m k a k
《刚体的定轴转动》课件
实例二
陀螺在受到外力矩作用后发生定轴转动。分析过程中应用了转动定 律，解释了陀螺的进动现象。
实例三
电风扇在启动时，叶片的角速度从零逐渐增大到稳定值。分析过程中 应用了转动定律，解释了电风扇叶片角速度的变化规律。
CHAPTER
03
刚体的定轴转动的动能与势能
动能与势能的定义
动能定义
物体由于运动而具有的能量，用 符号E表示，单位是焦耳(J)。
势能定义
物体由于相对位置或压缩状态而 具有的能量，常用符号PE表示， 单位是焦耳(J)。
刚体的定轴转动动能与势能的计算
转动动能计算
刚体的转动动能等于刚体绕定轴转动的动能，等于刚体质量与角速度平方乘积的一半， 即E=1/2Iω^2。
势能计算
刚体的势能等于刚体各质点的势能之和，等于各质点的位置坐标与相应的势能函数的乘 积之和。
01
数学表达式：Iα=M
02
转动惯量的计算：根据刚体的质量和形状，可以计算出其转动
惯量。
角加速度的计算：根据作用在刚体上的外力矩和刚体的转动惯
03
量，可以计算出其角加速度。
转动定律的实例分析
实例一
匀速转动的飞轮在受到阻力矩作用后，角速度逐渐减小，直至停止 转动。分析过程中应用了转动定律，解释了飞轮减速直至停止的原 因。
CHAPTER
02
刚体的定轴转动定律
转动定律的内容
刚体定轴转动定律
对于刚体绕固定轴的转动，其转动惯量与角加速度乘积等于作用 在刚体上的外力矩之和。
转动定律的物理意义
描述了刚体在力矩作用下绕固定轴转动的运动规律。
转动定律的适用范围
适用于刚体在力矩作用下的定轴转动，不适用于质点和弹性体的转 动。
刚体的平动与转动定轴课件
发生变化。
平动与转动定轴的应用场景
平动与转动定轴是工程力学 和机械学中常用的概念，广 泛应用于各种机械系统、车 辆工程、航空航天等领域。
在机械系统中，通过合理设 计刚体的平动与转动定轴， 可以实现精确的运动控制和
稳定的系统性能。
在车辆工程中，平动与转动 定轴的概念用于分析车辆的 运动性能和稳定性，从而提 高车辆的安全性和操控性。
平动刚体的速度和加速度都是矢量，具 有大小和方向。
平动刚体上任意两点的连线在运动过程 中始终保持平行，且长度不变。
平动刚体的转动惯量为零。
平动的实例
03
匀速直线运动的汽车
匀速圆周运动的飞轮
滑冰运动员在冰上滑行
汽车在行驶过程中，其整体可以视为一个 平动刚体，其上任意两点的连线始终保持 平行且长度不变。
夹角会发生变化。
转动的特点
转动过程中，刚体的角速度和角加速度是矢量，具有方 向性。
转动过程中，刚体上各点的线速度和线加速度与该点到 转动中心的距离成正比。
转动过程中，刚体的动能和势能之间可以相互转化，但 总机械能保持不变。
转动的实例
01
陀螺
陀螺绕其轴线高速旋转，产生 进动和自转现象。
02
车轮的旋转
飞轮在转动过程中，其整体可以视为一个 平动刚体，其上任意两点的连线始终保持 平行且长度不变。
滑冰运动员在冰上滑行时，其整体可以视 为一个平动刚体，其上任意两点的连线始 终保持平行且长度不变。
02
刚体的转动
转动的定义
转动是指刚体绕某一定点（称 为转动中心）的旋转运动。
02
01
刚体在转动过程中，其上任意两 点与转动中心形成的线段之间的
位置有关。
定轴转动的特点
平动与转动定轴的应用场景
平动与转动定轴是工程力学 和机械学中常用的概念，广 泛应用于各种机械系统、车 辆工程、航空航天等领域。
在机械系统中，通过合理设 计刚体的平动与转动定轴， 可以实现精确的运动控制和
稳定的系统性能。
在车辆工程中，平动与转动 定轴的概念用于分析车辆的 运动性能和稳定性，从而提 高车辆的安全性和操控性。
平动刚体的速度和加速度都是矢量，具 有大小和方向。
平动刚体上任意两点的连线在运动过程 中始终保持平行，且长度不变。
平动刚体的转动惯量为零。
平动的实例
03
匀速直线运动的汽车
匀速圆周运动的飞轮
滑冰运动员在冰上滑行
汽车在行驶过程中，其整体可以视为一个 平动刚体，其上任意两点的连线始终保持 平行且长度不变。
夹角会发生变化。
转动的特点
转动过程中，刚体的角速度和角加速度是矢量，具有方 向性。
转动过程中，刚体上各点的线速度和线加速度与该点到 转动中心的距离成正比。
转动过程中，刚体的动能和势能之间可以相互转化，但 总机械能保持不变。
转动的实例
01
陀螺
陀螺绕其轴线高速旋转，产生 进动和自转现象。
02
车轮的旋转
飞轮在转动过程中，其整体可以视为一个 平动刚体，其上任意两点的连线始终保持 平行且长度不变。
滑冰运动员在冰上滑行时，其整体可以视 为一个平动刚体，其上任意两点的连线始 终保持平行且长度不变。
02
刚体的转动
转动的定义
转动是指刚体绕某一定点（称 为转动中心）的旋转运动。
02
01
刚体在转动过程中，其上任意两 点与转动中心形成的线段之间的
位置有关。
定轴转动的特点
4_刚体的定轴转动
从以上各式即可解得
m2 m1 g M r / r m2 m1 g M / r a
J m 2 m1 2 r 1 m 2 m1 m 2
37
若m=0，Mr=0，则
1 m1 2 m 2 m g M / r 2 T1 m1 g a 1 m 2 m1 m 2 1 m2 2m1 m g＋M / r 2 T2 m1 g－a 1 m 2 m1 m 2
物体转动与否不仅与力的方向大小有关还与力作用的位置有关定轴转动的力矩只能引起物体变形对转动无贡献转动平面内a力与转轴平行b力与转轴垂直对转动无贡献仅使物体发生形变只有与转轴垂直的分力产生力矩使物体绕轴转动的垂直距离转轴到力在定轴动问题中如不加说明所说的力矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩
第三章
刚体的定轴转动
l/2 2
28
(2)建立坐标系，分割质量元
x J x 2 dm l o 2 m x dx dx x 0 l 1 3 2 l 2 1 2 ml J C m ml 12 3 2
J x 2 dm
(3)建立坐标系，分割质量元
x
2
m x dx l / 2 h l 1 2 2 2 ml mh J C mh 12
25
转动惯量
多个质点组成的系统：
J mi ri
i
2
质量连续分布的刚体：
J r dm
2
平动 m 转动 J
v w
a a
mv Jw
dv F ma m dt d M z J J dt
26
小结
• • • • • 刚体的概念 刚体的运动自由度 刚体定轴转动的自由度 刚体定轴转动的运动方程 刚体定律转动定律
刚体的定轴转动力矩课件
大小
力矩的大小与力的大小、力臂长 度以及力和转动轴之间的夹角有
关。
转动效应
力矩能够使刚体绕固定轴转动， 改变刚体的角速度和角动量。
定轴转动力矩的应用
机械传动
在机械传动中，如齿轮、蜗轮等，定轴转动力矩 是实现能量传递和运动转换的关键因素。
航空航天
在航空航天领域，定轴转动力矩用于控制飞机的 飞行姿态和稳定飞行状态。
平衡条件
为了保持刚体的定轴转动，必须满足力矩平衡条件，即重力矩与阻力矩相等。
实例分析
以钟摆为例，钟摆在重力作用下绕轴转动，为了保持钟摆的定轴转动，钟摆的长度和重 力的作用点必须满足一定的条件，否则钟摆会发生摆动。
THANKS
感谢观看
力矩平衡条件
对于旋转机械，力矩平衡是保持机械稳定运转的重要条件，即作用 在刚体上的所有力矩之和为零。
实例分析
以电动机为例，电动机在运转过程中，作用在电动机转子上的电磁力 矩与转子受到的阻力矩平衡，使得电动机能够稳定运转。
刚体在重力作用下的定轴转动
重力对刚体的作用
重力是作用在刚体上的恒力，当刚体在重力作用下绕轴转动时，重力会产生一个力矩。
刚体的动态平衡
总结词
刚体在运动状态下，受到的力矩和力矩的冲量之和为零。
详细描述
刚体的动态平衡是指刚体在运动状态下，受到的力矩和力矩的冲量之和为零。这意味着作用在刚体上 的所有力矩和力矩的冲量在某一时间段内相互抵消，使刚体保持匀速直线运动或匀速转动状态。
刚体的稳定性和失稳条件
总结词
刚体在受到微小扰动后能恢复到原来的平衡状态的性质。
刚体的分类
可分为固定刚体和活动刚 体。
刚体的定轴转动
定轴转动定义
刚体绕某一固定轴线作转动。
高二物理竞赛刚体的定轴转动课件
§5-2 转动惯量
一、转动惯量
在刚体上取一质元Pi： 动能：
z
Eki
1 2
mi vi 2
1 2
miri2 2
对所有质点
ri Pimi
Ek
i
1 2
mi ri
2
2
2
2
i
mi ri 2
§5-2 转动惯量
定义： J z miri2
Ek
2
2
i
mi ri 2
i
——对 z 轴的转动惯量
连续分布有
都绕同一直线(转动
轴)作圆周运动
定轴转动：转轴固定 不动的转动
旋进(进动)：转轴上 一点静止，转轴方向 变化
O
§5-1 刚体的运动
平面平行运动：刚体内所有 运动点都平行于某一平面
v
(参考平面)
刚体的一般运动=平动+转动
§5-1 刚体的运动
三、方角向速由度右矢手量螺旋法则确定
边缘—一—点角P速度方v向 在 转R轴上
大盘小上任一vi点Pi
vi ri
ri
ri sin
ri
O
R
r Pi i P
v
§5-1 刚体的运动
对刚 体上 的Pi点：
z
vi
ai
ri
d
d t
ri
转动平面
( ri )
或
ai
ri
et
ri 2en
O ri Pi
vi
x
atet anen
参考方向
§5-1 刚体的运动
zN
以质心C为坐标原点
Cz：质心轴 MN//Cz r' r d
O
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B受到拉力T2，加速度大小a2
o
分析受力如图所示
T1 mg ma1
mg T2 ma2
T1
a1 mg
T2
a2
mg
a1 r
a2 2r
T2 2r T1r (9mr 2 / 2) 联解得：
2g /(19r) 10.3rad / s 2
（2）
a1 r
h
1 2
a1t 2
t
2 h / r 9.08rad / s
d 0 10 0.5rad / s2
dt t 20 （2）由刚体绕定轴转动的转动定律
M J 1 ml2 0.25Nm
12
（3）
0t
1 2
t
75rad
2、 解：
r
m
mg T ma
Tr J
a r
S 1 at2 2
联解得： J mr2 ( gt2 1) 2S
3、解：设A受到拉力T1，加速度大小a1
a TB
B
GB
TA
A
8、
n
M Mi i 1
M
M1 M2
2mg
l 2
mg
l 2
mgl / 2
M J ; J 2m( l )2 m( l )2 3ml2 / 4 2g /(3l)
2
2
2m
O
m
9、
阻力矩 : M k 2; M J k 2 / J
0 / 3时 k02 /(9J )
mvl mv 'l (1/ 3)ml2 (v '/ l)
14、C
J 0
J0 3
'
15、A J0 J ' mR2 '
16、B
17、B 18、B
mvL m 1 vL 1 ML2
23
1v 2
o
v
2 k; r 3i 4 j 5k;v r
二、填空题
1、 L rmv sin dmv
4、解： m1g T1 m1a1
T1R M f J1
a1 1R a1t12 / 2 h
m2 g T2 m2a2 T2 R M f J 2
a2 2R
a
2
t
2 2
/
2
h
联立上述方程解得：
J [(m1 m2 )g (m1 2h / t12 m2 2h / t22 )]R2 2h / t12 2h / t22
JB
8、A
M z J ,取棒与竖直方向夹角
mg 1 l sin J
2
随着 减小， 减小，但增大
9、D 关键是力的作用点是否在同一点
10、C
n
J miri2;在细圆环上每个质量元离轴半径相等 i 1 n
J ( mi )r2 mr2 i 1
11、B
12、C
13、C 角动量守恒：mvl mv 'l J ； v '/ l
联解得： mgr /(J mr2 )
T'
T
6、 M z J mgl cos ml2
G
0, 0 g / l; 900, g /(2l)
l
G
7、 A : TA mAa ; B : mB g TB mBa;
C
:
TB R
TA R
1 2
mR 2
;
a R
联解得：a mB g /(mA mB 0.5mC )
对滑轮，应用转动定律：
并利用关系
a r
T2r T1r J
由以上各式， 解得：
a m1 m2 g
J m1 m2 r 2
T1
m2
m 2
J r2
m1
m2
J r2
m1 g
（2） 0 时
T2
m1
m1
J r2
m1
m2
J r2
m2 g
a
m1
g
m1r 2 g
m1
m2
J r2
m1r 2 m2 r 2 J
m
R
M
12、
mv0
l 2
(J
m( l )2 )
2
3v0
/(2l)
l v0
13、
J10 (J1 J2 ); J2 2J1 0 / 3
14、
mv0
2l 3
(1 Ml2 3
m( 2l )2 )
3
6mv0 (4m 3M )l
o
2l / 3
mv0
A
三、计算题 1、解：（1）设受到阻力矩M 作用，大小恒定
第二章 刚体的定轴转动
一、选择题
1、C 动量的方向变化，角动量大小方向都不变
2、C 有心力作用下角动量守恒，
仅万有引力做功（A保内），机械能守恒， 但是：动能、势能相互转换
3、A
v2 m
R
G
Mm R2
;
L
Rmv
v
mv
F
R
4、B
以B为转轴，力矩平衡：N A l
cos
mg
l 2
sin
A端对墙壁的压力大小N
J 1.06 103 kg m2
5、解:（1）用隔离体法，分别画出三个物体的受力图。
Na
f
T2
N T2
T1 a
m2 g
mg
T1
m1 g
对物体1，在竖直方向应用牛顿运动定律：
T1 m1 g m1 (a)
对物体2，在水平方向和竖直方向分别应用牛顿运动定律：
T2 N m2a
N m2 g 0
' A
NA
A
NA
G
B
5、C 刚体对轴转动惯量的概念
6、C
对m1 : m1g T1 m1a; 对m2 : T2 m2 g m2a;其中a 0 T2 T1 (m2 m1)a (m2 m1)g m2 m1T2 T1
a T1
T2 a
m1g
m2 g
7、B
J
1 2
mR2;
R2d
m
A B J A
o
rd
mv
2、
被动轮：＝ d
dt
2
a
r
主动轮： ' a / r ' 5 ' 0.5 't2 40 转过20圈
3、 M z J
TR 1 MR2 ; R a T Ma / 2
2
4、 M z J Fr J J 0.5kgm2
5、 mg T ma;Tr J ; a r
You Know, The More Powerful You Will Be
Thank You
在别人的演说中思考，在自己的故事里成长
d k 2 J d 1 1 k t
dt
dt 0 J
0 / 3时t 2J /(k0 )
10、
J
J1
J2
m( 2l )2 3Fra bibliotek2m( l )2; 3
v 2l L J mvl
3
O
m
l / 3 2m
l
11、
(J
2mR2 )0
J; J
1 2
MR2 ,0
2
/5
1.2 3.77(rad / s)
T1
m2
J r2
m1
m2
J r2
m1 g
m2r 2 J m1 g m1r 2 m2r 2 J
T2
m1
m1 m2
J r2
m2g
m1r 2 m2 g m1r 2 m2r 2 J
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More