拉格朗日第二类方程

mi ai
ri q j
d dt
(mi vi
vi q j
)
mi vi
Βιβλιοθήκη Baidu
vi q j
d dt
(
1 2
mi
vi2
)
q j
(
1 2
mi
vi2
q j
)
(l )
12
于是（e）式为
n
mi airi
i 1
k j 1
n i 1
(mi ai
ri q j
)q
j
k j 1
n [d i1 dt
(
1 2
mi vi2
2. 计算质点系的动能T，表示为广义速度和广义坐标的函数。
3. 计算广义力 Q j ( j 1,2,,k )，计算公式为：
Qj
n
(X i
i 1
xi q j
Yi
yi q j
Zi
zi q j
)
或
Qj
AFj q j
若主动力为有势力，须将势能V表示为广义坐标的函数。
4. 建立拉氏方程并加以整理，得出k个二阶常微分方程。
i 1
得：
n
Fi
ri
n
mi airi
0
i 1
i 1
(3.1.1)
(c)
第一项：主动力在质点系的虚位移的元功之和：
n
k
Fi ri Qj q j
(d )
i 1
j 1
第二项：惯性力在质点系的虚位移的元功之和：
n
i 1
mi airi
n i 1
mi ai
(
k j 1
ri q j
q j )
AF q j
（4）不含约束力。
二、保守系统的拉格朗日方程
如果作用于质点系的力是有势力，则：
Qj
V q j
而拉氏方程为：
15
d dt
T q j
T q j
V q j
由于V=V（q1，q2，...，qk），不含广义速度，所以
V q j
0,
d dt
V q j
0
上式为：
d dt
T q j
T q j
d dt
n i1
mi
k j 1
k 1
ri q j
q
j
ri q
q
n i1
k j 1
mi
ri q j
ri t
q j
1 2
n i1
mi
ri t
ri t
1 2
k j 1
k 1
(
n i1
mi
ri q j
ri q
)q
j
q
k j 1
(
n i1
mi
ri q j
ri t
)q
j
1 2
n i1
mi
ri t
ri t
st — 静止平衡时弹簧的伸长
静止平衡时有：k st 2m1g
L
T
V
1 16
(8m1
7m2 )x 2
1 2
k
(
st
x)2 2
m1gx
L x
1 8
(8m1
7m2
) x
d dt
L x
1 8
(8m1
7m2
)x
L x
k (
st
x) 2
1 2
m1 g
1 4
kx
代入到拉氏方程
d dt
L x
L x
0
得：(8m1 7m2 )x 2kx 0
第三篇 完整系统动力学
自由度f = 广义坐标数k
1
第六章 拉格朗日第二类方程
应用动力学普遍方程求解复杂的非自由质点系的动力学问 题并不方便，由于约束的限制，各质点的坐标不独立，解题时 必须用约束方程消去多余的坐标变分。如果先考虑约束条件， 采用广义坐标表示动力学普遍方程，就可得到与广义坐标数目 相同的一组独立的微分方程，从而使复杂的动力学问题变得简 单，这就是著名的拉格朗日方程。
vi
ql
k j 1
ql
( ri q j
)q
j
ql
(ri ) t
k j 1
2 ri ql q
j
q
j
2ri tql
(i)
将（a）式先对ql求偏导再对t求导：
10
d ( ri ) ( ri ) dq1 ( ri ) dq2 ... ( ri ) dt
dt ql q1 ql dt q2 ql dt
t ql dt
k j 1
q
j
( ri ql
)q
j
( ri ) t ql
k j 1
2 ri q jql
q
j
2ri tql
( j)
比较（i）（j）得
vi d ( ri ) ql dt ql
11
将下标l换成j得：
d ( ri ) vi
(k)
dt q j q j
将（h）（k） 代入（f）得：
)
dL dt
k j 1
[
d dt
(
L q j
)q
j
L q j
qj
]
d dt
k j 1
有零值，因而以广义速度表示的动能的二次型是正定的。
计算出系统的动能后，含有q2 或q jq 的项为T2，含有 q 的项为T1，不含 q 的项为T0 。见P143例6-2
6.2 拉格郎日第二类方程
一 拉格郎日第二类方程
6
设有n个质点组成的质点系，受完整约束，具有f=k个自由
度，可由k个广义坐标q1， q2，... ， qk 确定其位置。在非定常 约束下，质点系中任一质点Mi的矢径
代入初始条件，t =0 时， 0 0 , 0 0 得 C1 C2 0
故：
3M
gt 2
(2P9Q)( Rr)2
20
[例]图示系统，物块C质量为m1 ，均质轮A、B质量均为m2， 半径均为R，A作纯滚动，求系统的运动微分方程。 解：系统具有一自由度，保守
系统。以物块C的平衡位置为
原点，取x为广义坐标：
q j
)
(
1 2
mi vi2
q j
)
]q
j
k [d j1 dt
(
n i 1
12mi vi2
q j
)
(
n i 1
12mivi2 ) ]q
q j
j
k [d j1 dt
T q j
T q j
]q
j
(m)
13
将（d）（m）代入（c）得：
k
Q jq j
j 1
k
j 1
d dt
(
T q j
T q j
)
q
V q j
V q j
或：d dt
(T V q j
)
(T V q j
)
0
令L=T-V——拉格朗日函数
d dt
(
L q j
)
L q j
0 ( j1,2,,k )
保守系统的拉格朗日第二类方程。
16
应用拉氏方程解题的步骤：
1. 判定质点系的自由度 f，选取适宜的广义坐标。必须注意： 不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。
23
T
1 2
m1
x
2
1 2
m2
vB
2
1 2
m1
x
2
1 2
m2
(
x
2
l 2 2
2xl
cos )
1 2
(m1
m2
)x 2
1 2
m2l
2
2
m2 xl
cos
以弹簧原长为弹性势能零点
，滑块A所在平面为重力势能
零点，则：
V
1 kx2 2
m2 gl cos
L T V
1 2
(m1
m2
)x 2
1 2
m2l 2
2
m2 xl
xl
sin
并化简得：
d dt
(L )
L
0
(xmc1osm2 )lxmg2
lcos sin 0
m2l
2
sin
kx
0
25
(m1 m2 )xm2lcos m2l 2sin kx0 xcos l gsin 0 系统的运动微分方程。
若系统在平衡位置附近作微幅运动，此时 <<1o,
cos 1, sin ，则
vi
dri dt
ri q1
q1
ri q2
q2
...
ri qk
qk
ri t
k
ri
j1 q j
q j
ri t
(g)
式中：q j — 广义速度
9
由（a）知 ri , ri 只是广义坐标和时间的函数，与广义速 q j t
度无关，故将上式对q j 求偏导：
ri q j
vi q j
(h)
②将（g）对任一广义坐标ql 求偏导：
k j 1
n i 1
mi ai
ri q j
q j
(e)
8
d dt
(mi vi
ri ) q j
mi ai
ri q j
mi vi
d dt
ri q j
mi ai
ri q j
d dt
(mi
vi
ri q j
)
mi
vi
d ri dt q j
(f)
为简化上式 , 需要用到以下两个关系式：
①Mi点的速度： 由(a)式
5. 求出上述一组微分方程的积分。
17
[例] 图示行星齿轮机构位于水平面内。均质杆OA：重P， 可绕O点转动；均质小齿轮：重Q，半径 r ，沿半径为R的固 定大齿轮滚动。系统初始静止，系杆OA位于图示OA0位置。 已知杆OA受大小不变力偶M作用后，求杆OA的运动方程。
解：图示机构只有一个自由度 所受约束皆为完整、理想、定常的，
ri ri (q1, q2,qk ,t) (i 1,2,n) (a)
Mi的虚位移（固定时间t）：
ri
ri q1
q1
ri q2
q2
...
ri qk
qk
k
ri
q j1 j
q j
(i 1,2,n) (b)
代入质点系动力学普遍方程：
n
(Fi miai )ri 0
(3.1.1)
i 1 7
n
(Fi miai )ri 0
式中T2、T1 、T0 分别是广义速度的二次、一次、零次齐次函数
5
对定常系统，ri 中不显含时间t，即 ri / t 0 ，于是
T1 =0，T0 =0
T
T2
1 2
k j 1
k
a jq jq
1
(6.1.6)
故定常系统的动能是广义速度的二次齐次函数（二次型）。
由于动能恒为正，故只有当系统所有质点全部静止时动能才
T
1 2
m1
x
2
1 2
J
A
2 A
1 2
m2v
2 A
1 2
J
B
2 B
1 2
m1x 2
1 2
1 2
m2 R2
( x )2 2R
1 2
m2
( x)2 2
1 2
1 2
m2 R2
(
x )2 R
1 16
(8m1
7m2
)
x 2
以平衡位置为重力势能零点，弹簧原长处为弹性势能零点，则
21
V
1 2
k
(
st
x)2 2
m1gx
j
0
或：k（Q j j 1
d dt
T q j
T q j
)
q
j
0
由于δqj彼此独立，所以：
d dt
T q j
T q j
Qj
( j 1,2,, k)
(6.2.5)
这就是拉格朗日第二类方程。
适用范围：完整系统。
14
(1) T T (q j , q j ,t)
（2）有势力、非有势力都适用
(3)
Qj
(m1 m2 )x m2l m2l 2 kx 0 x l g 0
上式为系统在平衡位置(x =0, =0)附近微幅运动的微分方程。
26
6.3 拉格朗日方程的第一积分
拉格朗日方程是关于广义坐标的二阶非线性微分方程组， 要求它们的积分一般是很困难的。但是 对于保守系统，可以 得到拉格朗日方程的某些统一形式的首次积分，从而使得保 守系统动力学问题的求解过程进一步简化。
cos
1 2
kx 2
m2 gl
cos
L x
(m1
m2
) x
m2l
cos
,
L kx x
24
L x
(m1
m2
) x
m2l
cos
,
L kx x
d dt
L x
(m1
m2
)
x
m2
lcos
m2
l
2
sin
L
m2
l
2
m2
xlcos
,
L
m2
xl
sin
m2
glsin
由ddt拉( 氏L方)程m：2l 2ddt(mLx2)xlcoLxs0m2
22
[例] 与刚度为k 的弹簧相连的滑块A，质量为m1,可在光滑水 平面上滑动。滑块A上又连一单摆，摆长l ， 摆锤质量为m2 ， 试列出该系统的运动微分方程。
解：系统为保守二自由度系
统。取x , 为广义坐标，x
轴 原点位于弹簧自然长度
位置， 逆时针转向为正。
vB2 (x l cos )2 (l sin )2 x 2 l 2 2 2xl cos
拉格朗日第二类方程是研究动力学问题的又一有力手段， 在解决非自由质点系的动力学问题时，显得十分简捷、规范。
2
6.1 动能的广义坐标表达式
质点系：n个质点，受d个完整约束，取k=3n-d个广义坐标
：q1，...， qk ，系统的位形：
ri ri (q1, q2,...qk ,t)
(6.1.1)
于是：
4
令
a j
n i1
mi
ri q j
ri q
bj
n i1
mi
ri q j
ri t
c
n i1
mi
ri t
ri t
显然，aj、bj、c都是都是qj和t的函数
再令
T2
1 2
k j 1
k
a jq jq
1
k
T1 bjq j j 1
T0
1c 2
则系统的动能： T=T2+ T1 + T0
(6.1.5)
ri
k j 1
ri q j
q
j
ri t
(6.1.2)
其中 ri / q j ,ri / t 都是qj和t的函数
系统的动能：
T
n i1
1 2
miri
ri
n i1
1 2
mi
ri
2
(6.1.3)
3
1 2
n i1
mi (
k j 1
ri q j
q
j
ri t
)
(
k 1
ri q
q
ri t
)
1 2
Q
A
M
T
1 2P 6
9Q (R g
r ) 2
;
d T
dt
1 2P 9Q (R r)2
6
g
;
T 0
19
由拉氏方程：
d dt
T
T
Q
1 2P 9Q (R r)2 0 M
6g
(2P
6M 9Q ) ( R
r)
2
g
积分，得：
3M (2 P 9Q )(R r ) 2
gt 2
C1t C2
保守系统拉格朗日方程的首次积分包括：能量积分、循 环积分。 一、能量积分
设系统所受的主动力是有势力，且拉格朗日函数L = T - V 中不显含t ，即L L(q j ,q j ) ， 则
27
dL
dt
k j 1
(
L q j
q
j
L q j
qj )
由保守系统的拉氏方程可知：
L q j
d dt
(
L q j
取OA杆转角 为广义坐标。
vA (Rr)
A
vA r
R r
r
18
T
1 2
JO 2
1 2
Q g
v
2 A
1 2
J
A
2 A
1 1 P (R r)2 2 1 Q (R r)2 2 1 1 Q r 2 (R r)2 2
23 g
2g
2 2g
r2
1 2P 9Q (R r)2 2
12 g
A M