拉格朗日第二类方程
拉格朗日方程的应用
n=1
显然
QnD
=
1 2
∂WD ∂qn
定义耗散函数 D
D
=
1 2
WD
则
QnD
=
− ∂D ∂qn
接着分析保守力 Qnv
假设忽略重力的影响，保守力可等于与位移成正比
Qnv = −knqn
Kn——弹簧刚度
则
Un
=
+
1 2
kn qn2
Un ——保守力 Qnv 的 F 做的功，即势能的改变量
则 系统总的势能改变量为：
∴ 整理得：
Jθ&&0 + bθ&&0 + (k + QR)θ0 = −Jθ&&0 − QRθC
拉格朗日方程在建模中应用的例子（张晓华书 70）
龙门吊车运动控制问题 1．问题的提出
龙门吊车作为一种运载工具，广泛应用于现代工厂，安装工地和集装箱货运场及室内 外仓库的装卸与运输作业，离地面很高的轨道上运行，具有占地面积小，省工省时的优点
根据达朗伯原理和虚位移原理并引进广义坐标的概念，可以推导出运动质点或质点系 的拉格朗日（第二类）方程
d ⎛ ∂T
dt
⎜ ⎝
∂q& n
⎞ ⎟ ⎠
−
∂T ∂qn
= Qn
（3-6-1）
下标中 n =1，2，…，S 是系统统立广义坐标的编号 S——独立广义坐标的总数（自由度） T——系统总的动能
Qn ——第 n 个广义坐标方向的广义力
能）究竟把谁者作是动能或势能可以随意选定，只是不能同时把二者看作功能或同时看作
势能即可。
例 3-6-4 图示双回路电路，试用拉格朗日方程建立其系统的微分方程。
《理论力学 动力学》 第三讲 第二类拉格朗日方程的应用
2、第二类拉格朗日方程的应用例1质量为m 1的物块C 以细绳跨过定滑轮B 联于点A, A ，B 两轮皆为均质圆盘，半径为R ，质量为m 2, 弹簧刚度为k ，质量不计。
ACOxAOCx例2已知：如图所示的运动系统中，重物M 1的质量为m 1，可沿光滑水平面移动。
摆锤M 2的质量为m 2，两个物体用长为l 的无重杆连接。
M 1M 2φC 求：此系统的运动微分方程。
2、第二类拉格朗日方程的应用解：系统有两个自由度，选M 1的水平坐标x 1和φ为广义坐标, 并将质点位置用广义坐标表示：111212,0;sin ,cos x x y x x l y l j j===-=将上式两端对时间t 求导数得：111212,0;cos sin x x yx x l y l j j j j ===-=-&&&&&&&&，系统的动能为:222122211()22T m x m x y =++&&&22212111()(2cos )22m l m m x l x j j j =++-&&&&选质点M 2在最低处时的位置为系统的零势能位置，则系统的势能为：)cos 1(2j -=gl m V 系统的主动力为有势力，此为保守系统，可写出系统的动势，运用保守系统的拉格朗日方程求解，此处我们运用一般形式的第二类拉格朗日方程求解。
d 0(12)d k T TQ k N t q q æö¶¶--==ç÷¶¶L &，，，注意：零势能位置的选取不是唯一的。
选取原则：计算方便代入拉格朗日方程得到：1212110()cos T Tm m xm l x xj j ¶¶==+-¶¶&&&，2121221d ()()cos sin d T m m x m l m l t x j j j j¶=+-+׶&&&&&&10x V Q x ¶=-=¶先计算)cos 1(2j -=gl m V 22212111()(2cos )22m l T m m x l xj j j =++-&&&&221221sin cos T T m lx m l mlx j j jj j j¶¶==-¶¶&&&&&，222121d ()cos sin d T m l m lx m lx t jj j j j ¶=-+׶&&&&&&&2sin V Q m gl j j j¶=-=-¶212122()cos sin 0m m xm l m l j j j j +-+×=&&&&&(cos sin )sin 0m l l x x m gl jj j j j -+×+=&&&&&&2、第二类拉格朗日方程的应用x 1φ再计算如果质点M 2摆动很小，可以近似地认为1cos sin »»j j j ，且可以忽略含和的高阶小量，2j &1xj &&微分方程可改写为:1212()0m m xm l j +-=&&&&1l x g jj -=-&&&&从以上两式中消去，得到1x&&1210m m gm lj j ++=&&这是自由振动的微分方程，其通解为:)sin(0q w j +=t A 固有角频率:lgm m m 1210+=w 摆动周期:如果21m m >>则质点M 1的位移x 1将很小，质点M 2的摆动周期将趋于普通单摆的周期:1lim 2m T ®¥=也可以从微分方程中消去，得到:j&&可见质点M 1沿x 方向也作自由振动。
拉格朗日第二类方程
拉格朗日第二类方程
拉格朗日第二类方程是经典力学中的基础概念之一。
它描述的是质点
在一定约束下的运动，是建立在尺度不变性原理的基础上的。
下面我
将按照以下列表分别介绍拉格朗日第二类方程的定义、推导过程以及
其应用。
1. 定义：
拉格朗日第二类方程是描述系统动力学的数学模型，它是由勒让德在1797年建立的，具体形式为：
d/dt (∂L/∂qᵢ) − ∂L/∂qᵢ = Qᵢ
其中，L是系统的拉格朗日函数，q是系统的广义坐标，Q是系统的非
保守力。
2. 推导过程：
拉格朗日第二类方程的推导主要分为以下几个步骤：
第一步，构建系统的拉格朗日函数，即L=T-V，其中T是系统的动能，V是系统的势能。
第二步，求出系统的广义动量pᵢ=∂L/∂qᵢ。
第三步，对广义动量求导得到系统的加速度aᵢ= d/dt (∂L/∂qᵢ)。
第四步，根据牛顿第二定律F=ma以及广义动量的定义pᵢ=∂L/∂qᵢ，将非保守力Q用广义动量表示为Qᵢ=∂V/∂qᵢ。
第五步，代入广义动量和非保守力的表达式，得到拉格朗日第二类方程d/dt (∂L/∂qᵢ) − ∂L/∂qᵢ = Qᵢ。
3. 应用：
拉格朗日第二类方程是经典力学中最基础的方程之一，它在物理学的各个领域都有广泛的应用，如
（1）陀螺的运动学研究
（2）杆的运动学研究
（3）学习简谐振动的方程
（4）学习经典电动力学中的运动方程
（5）学习光学中的光路方程等
总之，拉格朗日第二类方程在物理学研究中有着重要的地位，熟练掌握它的概念和应用对于探究自然界的规律和解决实际问题都具有重要作用。
推导“拉格朗日方程”的另类方法
拉 格 朗 Ｅ方 程 是 分 析 力 学 的 一 个 重 要 内容 。 统 的 推 导 方 法 是 从 达 朗 伯 原 理 和 虚 功 原 理 着 手 ， 引 人 不 易 理 解 的 变 ｌ 传 在 分 和 惯 性 力 概 念 的 基 础 上 ， 行 数 学 推 证 得 出 。 种 推 证 过 程 并 不 能 充 分 体 现 拉 格 朗 日方 程 的 物 理 实 质 。由 于 拉 格 朗 进 这 ｌ Ｅ方 程 的 主 要 应 用 范 围 是 受 理 想 、 整 、 定 约 束 的 系 统 ， 们 尝 试 应 用 质 点 系 动 能 定 理 ， 上 述 约 束 条 件 下 推 证 拉 格 朗 完 稳 我 在 ｌ Ｅ方 程 ， 免 了 繁 杂 的 数 学 推 算 ， 重 要 的 是 在 拉 格 朗 Ｅ方 程 的 建 立 和 推 证 中 实 现 其 物 理 实 质 ： 格 朗 Ｅ方 程 是 质 点 系 避 更 ｌ 拉 ｌ 动能 定理 在广 义坐标 中 的表述 形 式 。 设 有 ｎ个 质 点 构 成 的 受 有 ｋ个 理 想 、 整 、 定 约 束 的 力 学 体 系 ， 自由 度 ｓ ３ — ｋ 应 用 质 点 系 动 能 定 理 可 得 ： 完 稳 其 ＝ ｎ ，
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第 ２ ３卷 第 ３期
Ｖ ｏ１ ．２３ Ｎ Ｏ． ３
济 宁 师 范 专科 学 校 学报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｉ ｉｇ Ｔｅ ｃ ｅ ｓＣｏ ｌｇ ｏ ｒ ａ ｆＪｎｎ ａ ｈ ｒ ’ ｌｅ ｅ
２０ ０ ２年 ６月
Ｊ ｎ． ０ ２ ｕ ２ ０
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一 差 ｑ 。 ｏ 凳 署 ｃｑ ｏ ｏ 口 ｑ ｑ ＋ ＋
第2章——多自由度系统的振动——运动方程建立方法0425
船体振动基础1第章多自由度系统的振第2章多自由度系统的振动一、引言二、两自由度系统的振动三、多自由度系统的振动四、振动方程建立的其他方法2有阻尼的多自由度系统振动1、拉格朗日方程式1、拉格朗日方程式P38拉格朗日法是建立微分方程一种简单的方法：先求出系统的动能、势能，进而得出质量矩阵和刚度矩阵.优点：系统的动能和势能都是标量，无需考虑力的方向。
141、拉格朗日方程式P38拉格朗日第二类方程式适用于完整约束的系统。
完整约束完整约束：当约束方程本身或约束方程通过积分后可以下式所示的形式表示时，称为完整约束。
不完整约束：当约束方程本含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完整约束。
具有不完整约束的系统，系统的自由度不等于广义坐标数自由度数小于广义坐标数于广义坐标数，自由度数小于广义坐标数。
151、拉格朗日方程式P3811•位移方程和柔度矩阵P40对于静定结构，有时通过柔度矩阵建立位移方程比通过对于静定结构有时通过m1x1x2以准静态方式作用在梁上。
梁只产生位移（即挠度），不产生加速度。
的静平衡位置为坐标P1=1 f11 f21 f12P2=1 f22（1）P1 = 1、P2 = 0 时 m1 位移：x1 = f11 m2 位移：x2 = f 21 （3）P1、P2 同时作用 m1 位移： 位移 x1 = f11 P 1 + f12 P 2 m2 位移：x2 = f 21 P 1 + f 22 P 2（2）P1 = 0、P2 = 1 时 m1 位移：x1 = f12 m2 位移：x2 = f 22P1 m1 x1 x2 P2 m2P1=1 f11 f21 f12 P1 m1 x1P2=1 f22 P2 m2 x2P 同时作用时 1、P 2 同时作用时：x1 = f11P 1 + f12 P 2 x2 = f 21P 1 + f 22 P 2矩阵形式 X = FP 矩阵形式：⎡ x1 ⎤ X =⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦f ij 柔度影响系数f12 ⎤ f 22 ⎥ ⎦⎡ f11 F=⎢ ⎣ f 21⎡P 1⎤ P=⎢ ⎥ ⎣ P2 ⎦物理意义： 系统仅在第 j 个坐标受到 单位力作用时相应于第 i 个坐标上产生的位移柔度矩阵P1 m1 x1P2 m2 x2P1(t) m1 m2P2(t)&1 m1 & x&2 m2 & xX = FP⎡ x1 ⎤ ⎡ f11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 f12 ⎤ ⎡ P 1⎤ ⎢P ⎥ f 22 ⎥ ⎦⎣ 2 ⎦当P 1、P 2 是动载荷时 集中质量上有惯性力存在⎡ x1 ⎤ ⎡ f11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 f12 ⎤ ⎡ P && 1 (t ) − m1 x1 ⎤ ⎢ P (t ) − m & ⎥ f 22 ⎥ & x 2 2⎦ ⎦⎣ 2⎡ x1 ⎤ ⎡ f 11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21位移方程:f 12 ⎤⎛ ⎡ P1 (t ) ⎤ ⎡m1 ⎜⎢ −⎢ ⎥ ⎥ ⎜ f 22 ⎦⎝ ⎣ P2 (t ) ⎦ ⎣ 0&1 ⎤ ⎞ 0 ⎤⎡ & x ⎟ ⎥ ⎢ ⎥ &2 ⎦ ⎟ m2 ⎦ ⎣ & x ⎠&& ) X = F ( P − MXP1(t) m1 m2P2(t)⎡ x1 ⎤ X =⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦⎡P 1 (t ) ⎤ P=⎢ ⎥ P ( t ) ⎣ 2 ⎦&1 m1 & x&2 m2 & x位移方程 位移方程：&& ) X = F ( P − MX也可按作用力方程建立方程：&& + KX = P MX刚度矩阵&& + X = FP FMX柔度矩阵与刚度矩阵的关系 柔度矩阵与刚度矩阵的关系：&& KX = P − MX若K非奇异F=K−1FK = I&& ) X = K −1 ( P − MX应当注意：对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统） ， 柔度矩阵不存在。
第12章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程—习题
第12章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程——习题12-1 吊索一端绕在半径为r ，重为P 1的均质鼓轮I 上，另一端绕过半径为R ，质量可不计的定滑轮II 系于重为P 2的平台III 上，鼓轮上作用一顺时针转向的力偶矩M 。
若吊索的质量及轴承A 、B 处摩擦均可略去不计，吊索与轮间无相对滑动，试求平台的加速度。
（题12-1答案：）12-2 图示椭圆规机构在水平面内运动。
椭圆规尺AB 由曲柄OC 带动，曲柄OC 上作用有逆时针转向的常力偶矩M 0。
已知曲柄和规尺均为均质细杆，质量分别为m 和2m ，OC = AC = BC = l ，滑块A 、B 的质量均为m 1。
若不计摩擦，试求曲柄的角加速度。
（题12-2答案：）12-3 重为P 1的楔块K 放在光滑水平地面上，铅直杆OA 重P 2。
中心为O 的均质圆盘重为P 3，半径为r ，与杆OA 光滑铰接。
在楔块上作用一水平向右的常力F 。
若圆盘在楔块斜面上只滚不滑，铅垂滑道光滑，楔块的斜面与水平面的夹角为 ，试求楔块在水平地面上作平移的加速度。
（题12-3答案：）题12-1图题12-2图12-4 四根质量均为m ，长度均为l 的均质直杆用光滑圆柱铰链连接成一菱形ABCD ，点A 用固定支座与大地相连，点C 通过质量可不计的滑块沿铅垂线运动，若不计摩擦，试求系统于图示位置（ 30=ϕ）无初速释放的瞬间，四根杆的角加速度。
（题12-4答案：）12-5 如图所示，质量为m ，半径为r 的均质半圆盘在粗糙水平地面上作无滑动的滚动，试以圆心O 和质心C 的连线与铅垂线夹角θ为广义坐标写出其运动微分方程，并求其在平衡位置附近作微振动的周期。
（题12-5答案：）题12-3图题12-4图题12-6图12-6 如图所示，质量为m ，长度为l 的均质杆AB ，其A 端用刚度系数为k 的弹簧悬挂于铅垂滑道的上部，同时杆AB 还可以绕点A 在铅垂平面内摆动，不计与杆AB 铰接的滑轮A 的质量和各接触处摩擦，若以弹簧原长处为x 轴原点，试用拉格朗日方程导出杆关于图示广义坐标x 、θ的运动微分方程。
理论力学-第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
第二类拉格朗日方程
返回
第二类拉格朗日方程
在动力学普遍方程中，由于系统存在约束，一般情形下，各 质点的虚位移并不完全独立，应用时须建立各虚位移与广义坐标 之间的关系。
第二类拉格朗日方程
N
(Qk Qk*) δ qk 0
k 1
其中Qk为对应于广义所标qk的广义力（generalized forces）; Qk*为广义惯性力（generalized inertia forces）
Qk
n i 1
Fi
ri qk
Qk*
n i 1
miai
ri qk
由于在完整约束下，δq1， δq2，…， δqN 相互独立，
Qk*
n i 1
miri
ri qk
d dt
n
(
i 1
miri
ri qk
)
n i 1
miri
d dt
( ri qk
)
d dt
n i1
mi
ri
ri qk
n i1
mi
ri
ri qk
d dt
qk
n
(
i 1
1 2
miri2 )
qk
n
(
i 1
1 2
miri2 )
d dt
(
T qk
理论力学
第3篇 工程动力学基础
第3篇 工程动力学基础
*第13章 动力学普遍方程 和第二类拉格朗日方程
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
理论力学：第二类拉格朗日方程的总结
θ&&(θ ) = ? x&(θ ) = ?
L中无 x, t
∂T ∂x&
=
5 2
mx& +
1 2
mLθ& cosθ
=
C
&x&(θ ) = ?
5 mx&2 + 1 mL2θ&2 + 1Lmg(1− cosθ ) = E
4
6
2
2014-3-25
8
理论力学
习题课
∂T ∂x&
2014-3-25
根据对z轴的动量矩守恒和初始条件，可得关系式： ϕ&
=
1
sin2 θ
15
理论力学
习题课
问题：B 点的运动轨迹？
θ0
=
π
4
=
0.7854,ϕ0
=
0,θ&0
=
0,ϕ&0
=
2.0rad/s
m = 1kg L = 1m k = 10N/m
∂T
∂ϕ&
=
1 mL2 3
sin2 θϕ&
=
C1
2014-3-25
mL&x&cosθ
+
1 mL2θ&&+
3
1 2
mgL sinθ
=
0
2014-3-25
10
理论力学
习题课
x
A
aA
θ&&= −15 2 g,
17L
&x&
=3g 17
求地面的约束力
F
aCt A
推导_拉格朗日方程_的另类方法
_
∑ _
d ri=
Α= 1 ( 55qrΑidqΑ)
力学体系的动能
s
_
∑ ·
_ri
=
Α= 1 ( 55qrΑi ·qΑ)
微分, 得
T=
T
(q1, q2,
…q s,
·q1 ,
· q2
,
…·qs )
s
s
∑ ∑ dT = Α= 1 ( 55qTΑdqΑ) + Α= 1 ( 55·qTΑd·qΑ )
(2)
再者, 光子只可能产生一对正负电子, 不可能只产生一个或三个电子。因为光子是中性的, 只有产生电子偶才可能满
足电荷守恒定律。
3. 2 电子偶的湮没
光子的能量可转换为静质量, 相反, 静质量也可以转换为光子的能量。正如电子在物质中运动时, 能量会被物质所吸
收, 当运动速度小时, 和物质的电子相互吸引, 发生湮没而转化为一对光子。 这种电子偶的湮没就是电子偶产生的逆过
s
s
∑ ∑ =
Α= 1
d dt
( 55·qTΑ)
qΑ+
Α= 1 ( 55·qTΑd·qΑ )
(3)
联立 (2)、(3) , 可得力学体系动能的微分
s
s
∑ ∑ dT =
Α= 1
d dt
( 55·qTΑ)
dqΑ-
5T Α= 1 5qΑdqΑ
s
∑ =
Α=
1
[
d dt
( 55·qTΑ-
55qTΑ]dqΑ
第 23 卷 第 3 期 V o l123 N o 13
济宁师范专科学校学报 Jou rna l of J in ing T eachers’Co llege
第1章 分析力学基础 1-6拉格朗日第二类方程的积分汇总
M1-8
我们已知道系统动能和势能为
V
1 3
Ph
Q(h
s sin
r cos )
T
1 2
P
g
Q
x&2
3 4
Q g
s&2
Q g
x&s&cos
1 2
P
g
Q
x&2
3 4
M1-10
[例] 一均质圆柱体可绕其垂直中心轴自由
转动，圆柱表面刻有倾角为 的螺旋槽。
小球M自静止沿槽下滑，已知小球质量为 m1圆柱体质量为m2，半径为R， 试求：小球下降高度为h时，小球相对圆
柱体的速度，圆柱体的角速度。 解：系统受理想、完整、定常约束，
具有两个自由度。取广义坐标为, s ；
各坐标原点均在初Leabharlann 位置。当ssin =h ，得
2m12 sin2 m2 s&2 2gh 0
(2m1 m2 )
s&
(2m1 m2 )2gh
2m1 sin2 m2
& 2m1 cos
R
2gh
(2m1 m2 )(2m1 sin2 m2)
q&k
L qk
q&k
0
N k 1
d dt
L q&k
q&k
L q&k
q&&k
L qk
q&k
d dt
N
k 1
L q&k
q&k
5第3章拉格朗日方程
第3章拉格朗日方程以动力学普遍方程为基础，拉格朗日导出了两种形式的动力学方程，分别称为第一类和第二类拉格朗日方程。
将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建立起动力学普遍方程，避免了理想约束力的出现；再把普遍方程变为广义坐标形式，进一步转变为能量形式，导出了第二类拉格朗日方程，实现了用最少数目的方程描述动力系统；应用数学分析中的乘子法，采用直角坐标形式的普遍方程和约束方程而建立的一组动力学方程，是第一类拉格朗日方程，便于程式化处理约束动力系统问题。
拉格朗日方程是分析力学得以发展之源。
3.1 第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程是分析力学中最重要的动力学方程，它给出动力学问题一个普遍、简单而又统一的解法。
拉格朗日方程只适用于完整约束的质点系。
3.1.1 几个关系式的推证为方便起见，在推导拉格朗日方程前，先推证几个关系式。
质点系由n个质点、s个完整的理想约束组成，它的自由度数为k＝3n–s，广义坐标数与自由度数相等。
该系统中，任一质点M i的矢径r i可表示成广义坐标q1，q2，…，q k和时间t的函数，即r i＝r i(q1，q2，…，q k，t)i＝1,2,…,n它的速度(3-1)i＝1,2,…,n式中称为h个广义坐标的广义速度，分别为广义坐标和时间的函数，与广义速度没有直接的关系。
式(3-1)对求偏导数，则有(3-2)这是推证的第一个关系式，它表明，任一质点的速度对广义速度的偏导数等于其矢径对广义坐标的偏导数。
为推证第二个关系式，将式(3-1)对广义坐标q j求偏导数，或(3-3)这是第二个关系式，它表明，任一质点的速度对广义坐标的偏导数等于其矢径对广义坐标的偏导数，再对时间的一阶导数。
再看看质点的动能对广义坐标的偏导数。
有(A)又式(3-2)、式(3-3)代入上式，并注意式(A)的关系，(3-4)3.1.2 第二类拉格朗日方程动力学普遍方程可以改写为(3-5)左侧的第一项主动力的虚功之和，可以用广义力Q h在广义虚位移q h上所做的功之和表示，即(3-6)值得指出，这里的主动力并非平衡问题中的主动力，因此，这里的广义力Q h不等于零。
拉格朗日方程
[例2]图示系统，A重2P，B重P。不计滑轮重及O、E处摩擦， 求平衡时C的重量W及A与水平面之间的摩擦系数 f。 解：系统具有2自由度。 以sA、 sB为广义坐标 （1）当sA改变δsA而δsB=0（
B不动），此时δsC= δsA /2
1 WA Fs A WsC ( F W )s A 2 WA 1 QA F W s A 2
( j 1,2,, k )
这就是拉格朗日第二类动力学方程，简称拉格朗日方程， 或拉氏方程。
j , q j ,t) (1) T T (q
（2）有势力、非有势力都适用
W j (3) Q j q j
（4）不含约束力。 二、保守系统的拉格朗日方程 如果作用于质点系的力是有势力，则：
V Qj q j
(f)
①Mi点的速度： 由(a)式
dri ri ri ri ri 1 2 ... k vi q q q dt q1 q2 qk t k r ri i j q (g) j 1 q t j
j — 广义速度 式中：q
ri ri , 由（a）知 只是广义坐标和时间的函数，与广义速 q j t
这样就将具有k个自由度的质点系变为一个自由度的质点系 ，所有主动力的元功之和： W j
W j Q j q j
Q jq j
( j 1,2,..., k )
3、若作用于质点系的主动力都是有势力，质点系在任一位置
的势能V=V（q1，q2，...，qk）
V V V , Yi , Zi 由式（8-7-8） X i xi yi zi
k
2 ri 2 ri j q tql j 1 q j ql
k
分析力学基础-第二类拉格朗日方程
广义坐标vA 。(Rr)
A
vA r
R r
r
M1-16
T
1 2
JO&2
1 2
Q g
v
2 A
1 2
J AA2
1 2
1 3
P g
(R
r)2&2
1 2
Q g
(R
r)2&2
1 2
1 2
Q g
r2
(R
r)2 r2
&2
1 2P 9Q (R r)2&2
12 g
W ( ) M
Q
W ( )
M
T&
1 6
2P
得
(m1 m2 )&x&1 m2l&&cos m2l&2 sin 0
M1-14
同理：
T& m2l2& m2lx&1 cos
T
m2lx&in
d dt
T x&1
m2l(l&&
cos &x&1
x&1&sin )
由拉格朗日方程d
dt
(
T q&k
)
T qk
Qk
得
m2l(l&& cos&x&1 x&1&sin) m2gl sin
)
M1-13
系统势能：（选质点 M2 在最低位置为零势能位
置）
V m2gl(1 cos)
求导运算可得：
T x&1
(m1
m2
)
x&1
拉格朗日方程
r ( x, y, z ) r (u1 , u2 , u3 )
z P r O
dr
r+dr
质点 P 的运动用位置矢量 r 表示为：
Hale Waihona Puke yr x(t )i y (t ) j z (t ) k r (t )
质点位移增量
x
3 r r r r dx dy dz dui dr dxi dyj dzk x y z i 1 ui
r+dr
O x
y
这一组等式的几何意义：在空间点P处，基矢量分别沿坐标曲线
的切线的正方向(坐标增加的方向)
r r 还可以得到关系式 , x x
r r , y y
r r z z
r r , i 1, 2, 3 ui ui
2015/5/25 4
航天器多刚体系统动力学 航天学院 田浩
x r y r
x r sin y y r cos x
x
1 r r x x cos r r 1 y y sin
y sin r2 r x x cos 2 y r r
l
而
ri ri d qk dt qk
2015/5/25
经 典 拉 格 朗 日 关 系
航天器多刚体系统动力学 航天学院 田浩
10
1 完整系统的第二类拉格朗日方程
N ri dr r Q mi ri mi i i qk dt qk i 1 i 1 N * k
则第 i 个质点的矢径可表示为广义坐标的函数
§14.2、第二类拉格朗日方程
v1 r55 v4 v2 r44 r55 v3 r44 r55 1 1 1 2 2 2 2 T m1r5 5 m2 (r4 4 r55 ) m3 (r4 4 r55 ) 2 2 2 w 5 (m1 m2 m3 ) gr5 3) 确定广义力; Q5 5 w 4 m2 g r4 4 m3 g r4 4 Q4 (m2 m3 ) gr4 4 4
x r cos (r L) sin y r sin (r L) cos
1 2 2 T m(r L) 2
12
w m g y Q m g(r L) sin
4) 列拉格朗日方程;
3) 确定广义力;
(m1 m2 )a2 m1ar cos 0 2(m1 m2 ) sin 5) 联立求解; ar g 2 m1 2m1 sin 3m2
2
3) 确定广义力;
10
m1 sin( 2 ) a2 g 2 m1 2m1 sin 3m2
评论,在应用第二类拉格朗日方程求解动力学问题 时,解题思路/解题步骤都相同: 第一步、确定系统的自由度数与相应的系统参数 即广义坐标; 第二步、进行速度分析,确定系统动能; 第三步、确定各系统参数(广义坐标) 的广义力; 第四步、依次列各广义坐标对应的拉格朗日方程; 第五步、联立求解;
1) 确定系统参数:轮1轮心O点相对位移和三角 块向左的位移(xr /xe);
9
wxr m1 g sin xr wx 2 m1 g sin Qx 2 0 Qxr xr xr x2 T 3 4) 列拉格朗日方程; m1vr m1v2 cos vr 2 T 3 0 m1ar m1a2 cos m1 g sin xr 2 T T 0 (m1 m2 )v2 m1vr cos x2 v
理论力学第十四章 拉格朗日方程 [同济大学]
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动力学
韋林教授
第十四章拉格朗日方程(第二类方程) §14-1动力学普遍方程
达朗伯原理 虚位移原理
例14-1 一套滑轮系统悬挂两个重物.设:绳,滑轮质量不计.求重 为P1的物体上升的加速度a1。 解:
(P 1F 1 g )δS1 ( P 2 F2 g )δS 2 0
(F F
i
r
r i δq j j 1 q j
广义力 r r r i i i q j, (1) vi r t j 1 q j
r
d T T )δq j 0, j q j dt q
Qj
δq j 0
V q j
广义 速度
ri
d T T Qj, j q j dt q
T 1 1 1 2 m2v 2 (m1 m2 ) R 2 2 J 0 2 2 2
1 1 2 kR 2 2 L T V (m1 m2 )R 2 2 2
m1
V
1 l k k 2 2 mg θ (δ0 bθ )2 δ0 θ b 2 2 2 2 2
3
v0 v
x
L R 2 k1 k 2 ( y R )( R ),
d L L ( ) 0 dt y y L , m2 y y L ( y R )k 2 y
R 2 k1 ( y R)k 2 ( R) 0 m1 R 2
R 2 (k1 k 2 ) k 2 Ry m1 R 2
k 2 y k 2 R m2 y
r 1 3 3 xc x r sin 1 , c x r cos θ1θ x 1 v0 1 2 2 c 3 3 , v0 rθ x c r sin 1 yc r cos 1 , y 2 1 2 2 2 2 r 2 9 r 2θ 2 3θ θ 2 r 2 ( 3 r cos 2 3 2 3 r 2 cos θ vc2 2 1 2 1 cos θ1r 2 1 1 ) ( r sin 11 ) 2 2 1 1 4 2 2 2
拉格朗日方程
定义：拉格朗日方程，因约瑟夫·路易斯·拉格朗日而命名，是拉格朗日力学的主要方程，可以用来描述物体的运动，特别适用于理论物理的研究。
拉格朗日方程的功能相等于牛顿力学中的牛顿第二定律。
拉格朗日方程：对于完整系统用广义坐标表示的动力方程，通常系指第二类拉格朗日方程,是法国数学家J.-L.拉格朗日首先导出的。
通常可写成：式中T为系统用各广义坐标qj和各广义速度q'j所表示的动能；Qj为对应于qj 的广义力;N(=3n-k)为这完整系统的自由度；n为系统的质点数；k为完整约束方程个数。
从虚位移原理可以得到受理想约束的质点系不含约束力的平衡方程，而动静法(达朗贝尔原理)则将列写平衡方程的静力学方法应用于建立质点系的动力学方程，将这两者结合起来，便可得到不含约束力的质点系动力学方程,这就是动力学普遍方程。
而拉格朗日方程则是动力学普遍方程在广义坐标下的具体表现形式。
拉格朗日方程可以用来建立不含约束力的动力学方程，也可以用来在给定系统运动规律的情况下求解作用在系统上的主动力。
如果要想求约束力，可以将拉格朗日方程与动静法或动量定理(或质心运动定理)联用。
通常，我们将牛顿定律及建立在此基础上的力学理论称为牛顿力学(也称矢量力学)，将拉格朗日方程及建立在此基础上的理论称为拉格朗日力学。
拉格朗日力学通过位形空间描述力学系统的运动，它适合于研究受约束质点系的运动。
拉格朗日力学在解决微幅振动问题和刚体动力学的一些问题的过程中起了重要的作用。
拉格朗日插值公式（外文名Lagrange interpolation formula）指的是在节点上给出节点基函数，然后做基函数的线性组合，组合系数为节点函数值的一种插值多项式。
公式线性插值也叫两点插值，已知函数y = f(x)在给定互异点x0, x1上的值为y0= f(x0)，y1= f(x1)线性插值就是构造一个一次多项式P1(x) = ax + b使它满足条件P1(x0) = y0P1(x1) = y1其几何解释就是一条直线，通过已知点A (x0, y0)，B(x1, y1)。
拉格朗日第二类方程
A M A Q M
T 1 2 P 9Q ; ( R r )2 6 g d T 1 2 P 9Q T 2 ; (R r) 0 dt 6 g
r t 0 对定常系统，r i 中不显含时间t，即 ，于是 i/
T1 =0，T0 =0
k k 1 T T a q q 2 j j 2 j 1 1
( 6 . 1 . 6 )
故定常系统的动能是广义速度的二次齐次函数（二次型）。
由于动能恒为正，故只有当系统所有质点全部静止时动能才 有零值，因而以广义速度表示的动能的二次型是正定的。
于是：
r r i i r q i j q t j 1 j
k
( 6 . 1 . 2 )
其中 r q , r t 都是qj和t的函数 i/ j i/
系统的动能：
1 n1 2 T m r r m r i i i i i 2 2 i 1 i 1
( c )
第一项：主动力在质点系的虚位移的元功之和：
F r Q q i i j j
i 1 j 1
n
k
( d )
第二项：惯性力在质点系的虚位移的元功之和：
r i m a r m a ( qj ) i i i i i qj i 1 i 1 j 1
1n r r i i m i 2i t t 1 k n 1k k n r r r r i i i i ( m ) q q ( m ) q i j i j 2j q q q t 1 1 i 1 j 1 i 1 j j
9
式中： q 广义速度 j—
拉氏方程
r r r ∑ (Fi − miai ) ⋅ δri = 0
i
(i = 1, 2, ⋅⋅⋅, n)
动力学普遍方程的直角坐标形式
∑ [( F
ii
xi xi
x y z − mii&&ii ) ⋅ δxii + ( Fyi − mii &&ii ) ⋅ δyii + ( Fzi − mii&&ii ) ⋅ δzii ] = 0 yi zi i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, n
1 3 sinα ⋅ + (a1cosα − a r ) = 0 g 2
26
解：4、应用动力学普遍方程 令： δ x ≠ 0，δ ϕ = 0
FI1 = m1a1 I1 1 1
FI2e = m2 a1 I2e 2 1
y A δx OC
FI 2 r
MI2
D C2
FI 2 e
C1
FI1
FI2r = m2 arr I2r 2
解：5、求解联立方程
1 3 sinα ⋅ + (a1cosα − a r ) = 0 g 2
ar = ( m 1 + m 2 ) a1 m 2 cos α
m 2 g sin2 α a1 = 2 3( m1 + m 2 )－2 m 2 cos α 2 g sin α ( m1 + m 2 ) ar = 2 3( m1 + m 2 )－2 m 2 cos α
本周作业
《理论力学练习册》 第53页 动力学普遍方程 习题1 各习
第54～58页 拉氏方程（1）、（2） 题（共6题）
拉氏方程作业中关于广义坐标的规定（见黑板）
1
回顾： 第十四章引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶 运动量表示为惯性力，进而应用静力学方法研究动 力学问题 —— 达朗伯原理（动静法）。 虚位移原理是应用功的概念分析系统的平衡问 题，提供了研究静力学平衡问题的另一途径。 虚位移原理与达朗伯原理结合起来组成动力学普遍方 程， 又为求解复杂系统的动力学问题提供另一种普遍的 方法。这些理论构成分析力学的重要内容。 第二类拉格朗日方程（拉氏方程）：用广义坐标表 示的动力学普遍方程， 更适合求解多自由度的复杂系统 的动力学问题（区别动能定理：动能定理本身较难求解 多自由度系统的动力学问题）（属于分析动力学）。 本章的所有习题必须用本章的原理求解。
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代入初始条件，t =0 时， 0 0 , 0 0 得 C1 C2 0
故：
3M
gt 2
(2P9Q)( Rr)2
20
[例]图示系统，物块C质量为m1 ，均质轮A、B质量均为m2， 半径均为R，A作纯滚动，求系统的运动微分方程。 解：系统具有一自由度，保守
系统。以物块C的平衡位置为
原点，取x为广义坐标：
AF q j
（4）不含约束力。
二、保守系统的拉格朗日方程
如果作用于质点系的力是有势力，则：
Qj
V q j
而拉氏方程为：
15
d dt
T q j
T q j
V q j
由于V=V（q1，q2，...，qk），不含广义速度，所以
V q j
0,
d dt
V q j
0
上式为：
d dt
T q j
T q j
d dt
V q j
V q j
或：d dt
(T V q j
)
(T V q j
)
0
令L=T-V——拉格朗日函数
d dt
(
L q j
)
L q j
0 ( j1,2,,k )
保守系统的拉格朗日第二类方程。
16
应用拉氏方程解题的步骤：
1. 判定质点系的自由度 f，选取适宜的广义坐标。必须注意： 不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。
Q
A
M
T
1 2P 6
9Q (R g
r ) 2
;
d T
dt
1 2P 9Q (R r)2
6
g
;
T 0
19
由拉氏方程：
d dt
T
T
Q
1 2P 9Q (R r)2 0 M
6g
(2P
6M 9Q ) ( R
r)
2
g
积分，得：
3M (2 P 9Q )(R r ) 2
gt 2
C1t C2
保守系统拉格朗日方程的首次积分包括：能量积分、循 环积分。 一、能量积分
设系统所受的主动力是有势力，且拉格朗日函数L = T - V 中不显含t ，即L L(q j ,q j ) ， 则
27
dL
dt
k j 1
(
L q j
q
j
L q j
qj )
由保守系统的拉氏方程可知：
L q j
d dt
(
L q j
mi ai
ri q j
d dt
(mi vi
vi q j
)
mi vi
vi q j
d dt
(
1 2
mi
vi2
)
q j
(
1 2
mi
vi2
q j
)
(l )
12
于是（e）式为
n
mi airi
i 1
k j 1
n i 1
(mi ai
ri q j
)q
j
k j 1
n [d i1 dt
(
1 2
mi vi2
ri
k j 1
ri q j
q
j
ri t
(6.1.2)
其中 ri / q j ,ri / t 都是qj和t的函数
系统的动能：
T
n i1
1 2
miri
ri
n i1
1 2
mi
ri
2
(6.1.3)
3
1 2
n i1
mi (
k j 1
ri q j
q
j
ri t
)
(
k 1
ri q
q
ri t
)
1 2
23
T
1 2
m1
x
2
1 2
m2
vB
2
1 2
m1
x
2
1 2
m2
(
x
2
l 2 2
2xl
cos )
1 2
(m1
m2
)x 2
1 2
m2l
2
2
m2 xl
cos
以弹簧原长为弹性势能零点
，滑块A所在平面为重力势能
零点，则：
V
1 kx2 2
m2 gl cos
L T V
1 2
(m1
m2
)x 2
1 2
m2l 2
2
m2 xl
式中T2、T1 、T0 分别是广义速度的二次、一次、零次齐次函数
5
对定常系统，ri 中不显含时间t，即 ri / t 0 ，于是
T1 =0，T0 =0
T
T2
1 2
k j 1
k
a jq jq
1
(6.1.6)
故定常系统的动能是广义速度的二次齐次函数（二次型）。
由于动能恒为正，故只有当系统所有质点全部静j
( ri ql
)q
j
( ri ) t ql
k j 1
2 ri q jql
q
j
2ri tql
( j)
比较（i）（j）得
vi d ( ri ) ql dt ql
11
将下标l换成j得：
d ( ri ) vi
(k)
dt q j q j
将（h）（k） 代入（f）得：
q j
)
(
1 2
mi vi2
q j
)
]q
j
k [d j1 dt
(
n i 1
12mi vi2
q j
)
(
n i 1
12mivi2 ) ]q
q j
j
k [d j1 dt
T q j
T q j
]q
j
(m)
13
将（d）（m）代入（c）得：
k
Q jq j
j 1
k
j 1
d dt
(
T q j
T q j
)
q
vi
dri dt
ri q1
q1
ri q2
q2
...
ri qk
qk
ri t
k
ri
j1 q j
q j
ri t
(g)
式中：q j — 广义速度
9
由（a）知 ri , ri 只是广义坐标和时间的函数，与广义速 q j t
度无关，故将上式对q j 求偏导：
ri q j
vi q j
(h)
②将（g）对任一广义坐标ql 求偏导：
4
令
a j
n i1
mi
ri q j
ri q
bj
n i1
mi
ri q j
ri t
c
n i1
mi
ri t
ri t
显然，aj、bj、c都是都是qj和t的函数
再令
T2
1 2
k j 1
k
a jq jq
1
k
T1 bjq j j 1
T0
1c 2
则系统的动能： T=T2+ T1 + T0
(6.1.5)
第三篇 完整系统动力学
自由度f = 广义坐标数k
1
第六章 拉格朗日第二类方程
应用动力学普遍方程求解复杂的非自由质点系的动力学问 题并不方便，由于约束的限制，各质点的坐标不独立，解题时 必须用约束方程消去多余的坐标变分。如果先考虑约束条件， 采用广义坐标表示动力学普遍方程，就可得到与广义坐标数目 相同的一组独立的微分方程，从而使复杂的动力学问题变得简 单，这就是著名的拉格朗日方程。
k j 1
n i 1
mi ai
ri q j
q j
(e)
8
d dt
(mi vi
ri ) q j
mi ai
ri q j
mi vi
d dt
ri q j
mi ai
ri q j
d dt
(mi
vi
ri q j
)
mi
vi
d ri dt q j
(f)
为简化上式 , 需要用到以下两个关系式：
①Mi点的速度： 由(a)式
st — 静止平衡时弹簧的伸长
静止平衡时有：k st 2m1g
L
T
V
1 16
(8m1
7m2 )x 2
1 2
k
(
st
x)2 2
m1gx
L x
1 8
(8m1
7m2
) x
d dt
L x
1 8
(8m1
7m2
)x
L x
k (
st
x) 2
1 2
m1 g
1 4
kx
代入到拉氏方程
d dt
L x
L x
0
得：(8m1 7m2 )x 2kx 0
vi
ql
k j 1
ql
( ri q j
)q
j
ql
(ri ) t
k j 1
2 ri ql q
j
q
j
2ri tql
(i)
将（a）式先对ql求偏导再对t求导：
10
d ( ri ) ( ri ) dq1 ( ri ) dq2 ... ( ri ) dt
dt ql q1 ql dt q2 ql dt
2. 计算质点系的动能T，表示为广义速度和广义坐标的函数。
3. 计算广义力 Q j ( j 1,2,,k )，计算公式为：