第十二章压杆稳定

临界力Fcr ——中心受压直杆在直线形态下的平衡，由稳定平衡转 化为不稳定平衡时所受轴向压力的界限值。（或能使压杆保持微 弯平衡状态的最小轴向压力）
中心受压直杆在临界力Fcr作用下，其直线形态的平衡开始丧失稳 定性，简称压杆失稳。
失稳的特点：1.失稳发生在强度破坏之前 2.事先无预兆，瞬间迅速失稳；
w k 2 w k 2 该微分方程的通解为 w A sin kx B cos kx B 位移边界条件： x＝0处，w＝0
得 x＝0处，w'＝0
x y
Me
F
A0
w 1 cos kx
x

F
将x l、w 带入上式，得 cos kl 0
压杆产生弯曲变形的原因： 实际的压杆在制造时其轴线不可避免地会存在初曲率，作用在压 杆上的外力的合力作用线也不可能毫无偏差地与杆的轴线重合， 压杆的材料本身也不可避免地存在不均匀性。这些因素都可能使 压杆在外压力作用下除发生轴向压缩变形外，还发生附加的弯曲 变形。 为便于说明问题，可将这些因素用外压力的偏心来模拟，即把实 际压杆抽象成具有微小偏心距e的偏心受压杆(图c)。 F F
新华网南京10月25日电（记者王家言）今天上午10时30分， 位于南京大光路北侧的南京电视台演播中心，在演播厅施工浇筑 混凝土中，因脚手架失稳，造成演播厅屋盖模板倒塌，部分施工 人员被压。据统计，这次事故已造成5人死亡，另有35人受伤被送 往医院抢救和治疗。
2003年2月19日在浙江发生的脚手架倒塌事故
z
C
过圆心的任一轴
y
C
二 其它杆端约束情况下细长压杆的临界力 （1）一端固定、另端自由的细长压杆的临界力（书例12-1） 设该压杆在轴向压力作用下处于微弯平衡状 态，则任意x横截面上的弯矩为
M ( x) F w
x

F
带入挠曲线近似微分方程
w
l
EIw M ( x) F w F F F 2 w w 引入记号 k EI EI EI
F
x
则上式可以改写为二阶齐次线性微分方程
w k 2 w 0 此微分方程的通解为 w A sin kx B cos kx
式中，A和B为积分常数
两端铰支压杆的位移边界条件 x＝0处，w＝0 x＝l处， w＝0 B＝0
x
w
F
M ( x)
l
w
x y y
A sin kl 0
F
z
y
如果A＝0，则压杆各横截面的挠度均为零，这不是我 们所研究的情况。欲使压杆处于微弯平衡状态，必须有
第十二章 压杆稳定
目
§12-1
§12-2
录
压杆稳定性的概念
细长压杆临界力的欧拉公式
§12-3
欧拉公式的适用范围 经验公式 及压杆的稳定条件 钢压杆的极限承载力
§12-4
§12-1
压杆稳定性的概念
第二章曾研究过图(a)所示的轴向受压杆，其强度条件为

F
F A
试验表明，该强度条件仅适用于短杆
可见，欲使挠曲线方程成立，必须有
w
l
cos kl 0
n kl 2
n 1,3,5
x
取n=1，得压杆能保持微弯平衡状态的最小轴 向压力，即临界力
Me
y 2l
Fcr
2 EI
F
2l
2
此时挠曲线方程为
x w 1 cos 2 l
设想将挠曲线对称延长一倍，它与长为2l的两端铰支压杆的挠曲 线形状相同。若将公式(12-1)中的l换成2l，便可得上述的临界力。
2 EI z
l2
（12-1）
l/2
y z
该式又称为两端铰支压杆的临界力的欧拉公式。 其中Iz是横截面的最小形心主惯性矩。 n=1时，k＝/l，则压杆在临界力作用下挠曲线方程为
l 最大挠度在杆的中点，用表示， 则 A
w A sin kx A sin
x
(半波正弦曲线)
y
压杆在临界力作用下挠曲线方程为
F
F
M ( x)
l
w
x y
EI z w M ( x)
其中： M ( x) Fw
(6-1)
F
y
z
式中的轴向压力F取为正值。这样，挠度w和弯 矩M(x)的符号就相一致。
y
EI z w M ( x) Fw F 2 k 引入记号 EI z
EI z w Fw 0
A 0.7
F
B
0.7 1
C
1 2
D 2
F
题3图
题4图
5. 图示各中心受压直杆的材料、长度及弯曲刚度均相同，其中临 界力最大的为（ D ），最小的为（ C ）。
F F F F
(A)
(B)
(C)
(D)
临界力相互关系：
Fcr D Fcr A Fcr B Fcr C
2 EI Fcr cr 2 A l A
2E cr 2 l
则
I i A
2
引入记号
λ
l
i
（12-3）
i 式中，l是一个无量纲的量，称为柔度或长细比。
它综合反映了压杆的长度、横截面尺寸和形状、杆端约束 等因素对临界应力的影响。 2E cr 2 （12-4） (欧拉公式)
F
例如图(b)所示的钢尺，许用应力 []=200MPa。则其许用压力为
l
1
20
F A 200 106 20 1106
4000N
l
300
F
(a)
(b)
但试验表明，当F=40N时，钢尺明 显变弯，此时已不能再承担更大的 压力。由此可见，钢尺的承载能力 并不取决于轴向压缩强度，而是与 钢尺受压时变弯有关。
z
y
过圆心的任一轴
z
y
y轴
C
z
C
z0
z
y0
yΒιβλιοθήκη Baidu
y轴
y
y0轴
2. （书习题12-2）图示各杆的材料与截面分别相同，且都属细长 压杆。问哪个能承受的轴向压力最大？哪个最小？ F F
F F
3m 3.5m
4m
F
F
2m
2m
3m
2m
(a)
l 3
(b)
l 4
(c)
l 2.45
(d)
l 2
(e)
sin kl 0
kl n
n 0,1, 2,3
kl n
n 0,1, 2,3
2
x
2 EI z 2
F 将k值代回 k EI z
得
F n
F
l2

显然，能使压杆保持微弯平衡状态的最小轴向 压力是在上式中取n＝1，于是得到两端铰支细 长压杆的临界力为
l
Fcr
l
欧拉公式是利用挠曲线的近似微分方程导得的，而该微分方程只有 当材料在线弹性范围内工作时才能成立，所以只有当临界应力cr不 超过材料的比例极限p时，才可用欧拉公式计算压杆的临界力。 于是欧拉公式的适用范围为
cr
2E
λ
2
P
或写成
2E E λ = =λ p P P
可见，只有压杆的柔度l大于或等于柔度的界限值lp时，才 能应用欧拉公式。前面所称的细长压杆，指的就是其柔度l不小 于lP的压杆。这类压杆的稳定问题自然属于线弹性稳定问题。 以Q235为例，E＝206GPa，P＝200MPa，由上式可得
l 3
(f)
l 2
轴向压力最大为(d)、(f)
轴向压力最小为(b)
3. 图示压杆的下端固定，上端为弹簧支承，其长度因数的范围为 （C ）
A 0.5
B
0.5 0.7
C
0.7 2
D 2
4. 图示压杆的上端自由，下端为弹性支承，其长度因数的范围为 （D ）
l

Fcr
0.5l
2 EI
l
2
归纳：不同杆端约束的细长压杆，其临界力的欧拉公式统一形式
2 EI Fcr 2 l
书表12-1 要记住
（12-2）
式中：
称为长度因数；
l称为相当长度自由长度
课堂练习： 1. （书习题12-1）两端为球形铰支的细长压杆，采用如图所示 四种截面，问压杆失稳时绕哪一轴弯曲？
同理n=3时
l 2
2
l
2
9 2 EI z Fcr l2
(3) 若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则压杆失 稳时截面一定绕惯性矩为最小的形心主轴(通常称为弱轴)而弯曲 b
z
h
C
z
y
C
z
y
C
y
（等边角钢）
h b
I min I y
（工字型钢）
I min I y
I min I y
w e
当F较小时，压缩为主要变形，弯曲为次要变形 随着F增加，弯曲变形成为主要变形，从而 导致压杆丧失承载能力。
F 图(c)
M F e w
分析压杆承载能力的计算模型
(1) 按压杆的实际情况，即考虑初曲率、压力的偶然偏心、热轧型 钢及焊接杆件存在的残余应力等因素，把压杆抽象为“偏心受压 直杆”进行分析。-------压溃理论（§ 12-4） (2) 不计压杆的初曲率、压力的偶然偏心、热轧型钢及焊接杆件存 在的残余应力等因素，把压杆抽象为理想“中心受压直杆”进行 分析。-------压屈理论（§12-2、 §12- 3） 理想中心压杆稳定性的概念 F Fcr 当直杆所受的轴向压力小于某一临界值（可用 Fcr表示）时，它始终能保持直线形态的平衡； 若给予一微小的干扰力使之发生微小的弯曲， F 在撤去干扰力之后，直杆又恢复到原来的直线 平衡形态。则压杆在直线形态下的平衡是稳定 的平衡。 F Fcr
F Fcr
F Fcr
F
F

F Fcr
F Fcr
当轴向压力达到该临界值Fcr时，这 时它可以在直线形态保持平衡，然 而，若再给予一微小的干扰力使之 发生微小的弯曲，在撤去干扰力之 后，它将处于某一微弯平衡状态， 而不能恢复其原有的直线平衡形态。 则此时压杆其原有的直线形态下的 平衡是不稳定的平衡。
（2）两端固定的细长压杆的临界力（书例12-2） （3）一端固定、另端铰支的细长压杆的临界力（书例12-3）
Fcr
l/4

Fcr
0.7l
l/2
l

l

l/4
Fcr
EI
2
0.5l
2
Fcr
2 EI
0.7l
2
（4）一端固定、另端可移动但不能转动的细长压杆的临界力 Fcr （书例12-4）
kl n
n 0,1, 2,3
Fcr EI z
Fcr
2 若取n=2， k l
Fcr
n2
4 2 EI z Fcr l2
此时压杆的挠曲线方程为
w A sin kx A sin
2 x l
n3
l
l 2
4 2 EI z Fcr l2

n 1
n2
2 EI z
w sin
x
l
Fcr
x
讨论： (1) 跨中挠度为任意微小值，即存在不确定性。
C
B B
l

l/2
y
之所以存在不确定性，是因在推导过程中使用
了挠曲线的近似微分方程。若采用挠曲线的精确 微分方程，则当F≥Fcr时，压杆在微弯平衡形态 下，压力F与挠度 间存在一一对应的关系。
z
y
(2) 高次临界力
2004年5月12日上午9时20分，河南安阳信益电子玻璃有限责 任公司刚刚竣工的68米高烟囱施工工程，在准备拆除烟囱四周脚 手架时，上料架突然倾翻，30名正在施工的民工全部翻下坠落， 造成21人死亡，9人受伤。
§12-2
细长压杆临界力的欧拉公式
x
一 两端铰支细长压杆的临界力 设两端为球形铰支座的细长压杆在轴向压力作 用下处于微弯平衡状态，只要求出该挠曲线方程 成立时的最小轴向压力，即为临界力。 由于杆的两端可在任何方向自由转动， 所以当它失稳时必定在弯曲刚度最小的纵 向平面内发生弯曲，亦即绕惯性矩为最小 w 的形心主轴(通常称为弱轴)而弯曲。 设材料在线弹性范围内工作，就 x 可以应用挠曲线的近似微分方程
3.特殊的受力形式才能失稳。 例如拉杆就不存在失稳问题。
小刚球稳定平衡和不稳定平衡
稳定平衡 微小扰动使小球离开原来的 平衡位置，但扰动撤销后小 球回复到平衡位置。
不稳定平衡 微小扰动就使小球远离原 来的平衡位置。
不计自重刚性杆的稳定平衡和不稳定平衡
2000年10月25日南京电视台演播中心工地事故造成5人死亡
补充作业题：
图示细长压杆两端为球形铰支座，已知材料为Q235钢，E=206GPa。 试分别计算图示三种截面杆的临界荷载。
F
b h
d
d 50mm
2m
b 45mm h 90mm
14号工字钢
a
b
c
§12-3
一
欧拉公式的适用范围.经验公式及压杆的稳定条件
欧拉公式的适用范围 压杆失稳时横截面上的平均压应力称为压杆的临界应力，用 cr表示。则压杆的临界应力公式为 将形心主惯性矩写成