高中数学通用模型解题精编版

高中数学解题方法

1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性” 。如：集合 A x|y lgx ，B y|y lgx ，C （x,y）|y lg x ，A、B、C 中元素各表示什么？

A 表示函数 y=lgx 的定义域，

B 表示的是值域，而

C 表示的却是函数上的点的轨迹

2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况注重借助于数轴和文氏

图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合 A x|x2 2x 3 0 ， B x|ax 1

若B A ，则实数a的值构成的集合为

（答： 1， 0，1）

1

3 显然，这里很容易解出 A={-1,3}. 而 B 最多只有一个元素。故 B 只能是 -1 或者 3。根据条件，可以得到 a=-1,a=1/3. 但是，这里千万小心，还有一个 B 为空集的情况，也就是 a=0, 不要把它搞忘记了。

3.注意下列性质：

（1）集合a1，a2，⋯⋯，a n的所有子集的个数是2n；要知道它的来历：若 B为 A 的子集，则对于元素 a1来说，有 2种选择（在或者不在）。同样，对于元素 a2, a3,⋯⋯ a n,都有 2种选择，所以，总共有2n种选择，即集合 A 有2n个子集。

当然，我们也要注意到，这2n种情况之中，包含了这 n 个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为2n 1，非空真子集个数为2n 2

（ 2）若 A B A B A， A B B；（3）德摩根定律：

C U A B C U A C U B ，C U A B C U A C U B

有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂

A B A B,A B A B

4. 你会用补集思想解决问题吗？(排除法、间接法)

如：已知关于 x 的不等式

ax 2

5

0的解集为 M ，若3 M 且5 M ，求实数 a xa

的取值范围。

a · 3 5

(∵ 3 M ，∴ 2 0

32

a a

a · 5 5

∵5 M ，∴ 2 0

5a

注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过； 如告诉你函数

2

f(x)=ax 2

+bx+c(a>0) 在 ( ,1) 上单调递减，在 (1, ) 上单调递增，就应该马上知道函数对 称轴是 x=1.或者，我说在上 ，也应该马上可以想到 m ， n 实际上就是方程 的 2个根 5、熟悉命题的几种形式、 可

以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有 “或”

( )，“且”( )和

“非”( ).

若p q 为真，当且仅当 p 、 q 均为真

若p q 为真，当且仅当 p 、q 至少有一个为真

若 p 为真，当且仅当 p 为假

命题的四种形式及其相互关系是什么？ (互为逆否关系的命题是等价命题。 ) 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 6、熟悉充要条件的性质(高考经常考)

p 是 q 的既非充分又非必要条件

7. 对映射的概念了解吗？映射 f ：A → B ，是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应元 素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

A {x|x 满足条件 p} ，

B {x| x 满足条件 q} ，

p 是 q 的充分非必要条件 B ； p 是 q 的必要非充分条件

B ；

p 是 q 的充要条件 A B ；

(一对一，多对一，允许 B 中有元素无原象。 ) 注意映射个数的求法。如集合 A 中有 m 个元素，集合 B 中有 n 个元素，则从 A 到 B 的映射个数有 n m个。

如：若A {1,2,3,4} ，B {a,b,c} ；问：A到B的映射有个，B 到A

的映射

有个；A到B的函数有个，若A {1,2,3} ，则A到B 的一一映射有

个。

函数y ( x )的图象与直线x a 交点的个数为个。

8.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是

否相同？ (定义域、对应法则、值域)

相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)

9.求函数的定义域有哪些常见类型？

例：函数 y x 4 x2的定义域是

lg x 3

答：0，2 2， 3 3，4 )

函数定义域求法：

分式中的分母不为零；偶次方根下的数(或式)大于或等于零；指数式的

底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。

正切函数y tanx x R,且x k ,k

余切函数y cotx x R, 且x k ,k

反三角函数的定义域

函数 y ＝ arcsinx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是，函数 y＝ arccosx 的定义

域是 [－ 1, 1] ，值域是 [0, π，] 函数 y＝ arctgx 的定义域是 R ，

值域是 . 函数 y＝ arcctgx 的定义域是 R ，值域是 (0, π) .

当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。

10.如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是a，b ，b a 0，则函数F(x) f(x)

f( x)的定

义域是 _________ 。(答：a， a )

复合函数定义域的求法：已知y f (x) 的定义域为m, n ，求y f g(x) 的

定义域，可由m g(x) n解出 x 的范围，即为y f g(x) 的定义域。

例若函数y f ( x)的定义域为1,2 ，则f (log 2x)的定义域为。

22

分析：由函数y f (x)的定义域为1,2 可知：1 x 2；所以y f (log 2x)

中有

2

22

1

log2 x 2 。

1

解：依题意知：log 2x 2

22

解之，得2 x 4

∴ f (log 2 x) 的定义域为x | 2 x 4

11、函数值域的求法

1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

1

例求函数 y= 的值域

x

2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数 y= x 2-2x+5 ， x [-1 ，2] 的值域。

3、判别式法对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用，但这类题型有时

也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面

下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂