高中数学通用模型解题精编版

高中数学解题方法1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性” 。

如：集合 A x|y lgx ，B y|y lgx ，C （x,y）|y lg x ，A、B、C 中元素各表示什么？A 表示函数 y=lgx 的定义域，B 表示的是值域，而C 表示的却是函数上的点的轨迹2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合 A x|x2 2x 3 0 ， B x|ax 1若B A ，则实数a的值构成的集合为（答： 1， 0，1）13 显然，这里很容易解出 A={-1,3}. 而 B 最多只有一个元素。

故 B 只能是 -1 或者 3。

根据条件，可以得到 a=-1,a=1/3. 但是，这里千万小心，还有一个 B 为空集的情况，也就是 a=0, 不要把它搞忘记了。

3.注意下列性质：（1）集合a1，a2，⋯⋯，a n的所有子集的个数是2n；要知道它的来历：若 B为 A 的子集，则对于元素 a1来说，有 2种选择（在或者不在）。

同样，对于元素 a2, a3,⋯⋯ a n,都有 2种选择，所以，总共有2n种选择，即集合 A 有2n个子集。

当然，我们也要注意到，这2n种情况之中，包含了这 n 个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为2n 1，非空真子集个数为2n 2（ 2）若 A B A B A， A B B；（3）德摩根定律：C U A B C U A C U B ，C U A B C U A C U B有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂A B A B,A B A B4. 你会用补集思想解决问题吗？(排除法、间接法)如：已知关于 x 的不等式ax 250的解集为 M ，若3 M 且5 M ，求实数 a xa的取值范围。

a · 3 5(∵ 3 M ，∴ 2 032a aa · 5 5∵5 M ，∴ 2 05a注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过； 如告诉你函数2f(x)=ax 2+bx+c(a>0) 在 ( ,1) 上单调递减，在 (1, ) 上单调递增，就应该马上知道函数对 称轴是 x=1.或者，我说在上 ，也应该马上可以想到 m ， n 实际上就是方程 的 2个根 5、熟悉命题的几种形式、 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有 “或”( )，“且”( )和“非”( ).若p q 为真，当且仅当 p 、 q 均为真若p q 为真，当且仅当 p 、q 至少有一个为真若 p 为真，当且仅当 p 为假命题的四种形式及其相互关系是什么？ (互为逆否关系的命题是等价命题。

) 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

6、熟悉充要条件的性质(高考经常考)p 是 q 的既非充分又非必要条件7. 对映射的概念了解吗？映射 f ：A → B ，是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应元 素的唯一性，哪几种对应能构成映射？A {x|x 满足条件 p} ，B {x| x 满足条件 q} ，p 是 q 的充分非必要条件 B ； p 是 q 的必要非充分条件B ；p 是 q 的充要条件 A B ；(一对一，多对一，允许 B 中有元素无原象。

) 注意映射个数的求法。

如集合 A 中有 m 个元素，集合 B 中有 n 个元素，则从 A 到 B 的映射个数有 n m个。

如：若A {1,2,3,4} ，B {a,b,c} ；问：A到B的映射有个，B 到A的映射有个；A到B的函数有个，若A {1,2,3} ，则A到B 的一一映射有个。

函数y ( x )的图象与直线x a 交点的个数为个。

8.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ (定义域、对应法则、值域)相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)9.求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数 y x 4 x2的定义域是lg x 3答：0，2 2， 3 3，4 )函数定义域求法：分式中的分母不为零；偶次方根下的数(或式)大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。

正切函数y tanx x R,且x k ,k余切函数y cotx x R, 且x k ,k反三角函数的定义域函数 y ＝ arcsinx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是，函数 y＝ arccosx 的定义域是 [－ 1, 1] ，值域是 [0, π，] 函数 y＝ arctgx 的定义域是 R ，值域是 . 函数 y＝ arcctgx 的定义域是 R ，值域是 (0, π) .当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。

10.如何求复合函数的定义域？如：函数f(x)的定义域是a，b ，b a 0，则函数F(x) f(x)f( x)的定义域是 _________ 。

(答：a， a )复合函数定义域的求法：已知y f (x) 的定义域为m, n ，求y f g(x) 的定义域，可由m g(x) n解出 x 的范围，即为y f g(x) 的定义域。

例若函数y f ( x)的定义域为1,2 ，则f (log 2x)的定义域为。

22分析：由函数y f (x)的定义域为1,2 可知：1 x 2；所以y f (log 2x)中有2221log2 x 2 。

1解：依题意知：log 2x 222解之，得2 x 4∴ f (log 2 x) 的定义域为x | 2 x 411、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

1例求函数 y= 的值域x2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数 y= x 2-2x+5 ， x [-1 ，2] 的值域。

3、判别式法对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂4、反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

3x 4例 求函数 y= 值域。

5x 65、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。

我们所说的单调性，最常用的就 是三角函数的单调性。

x例 求函数 y=ex1，y ex1解不等式，求出 y ，就是要求的答案a. y k+x 2型：直接用不等式性质 bxb. y 2bx型, 先化简，再用均值不例：x+1c.. yd. yx2mx n x mx n型 通常用判别式 x 2 mx n x 2mx nxn 法一：用判别式法二：用换元法，把分母替换掉例： y 2 x x 1x1x+1)2( x+1)+1 x1( x+1) 11 2 1 1 x12sin 1， y1 sin y2sin 1的值域。

1 cose 1 x xe e x1 2sin 1|sin | | | 1, 1 sin 2 y 2sin 1 1 cos1y0 1y1y2sin 1 y(1 cos )4 y 2sin( x) 1 y,即sin( x)1y 4 y 2又由 sin( x) 1知16、函数单调性法 通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容 x5例求函数 y=2 log x 1(2≤x ≤10)的值域 7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。

换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作用。

例求函数 y=x+ x 1 的值域。

8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这 类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

22例：已知点 P(x.y )在圆 x 2+y 2=1上，(1) y的取值范围 x 的取值范围(2) y -2 解:(1) 令 yk,则yk(x 2),是一条过 (-2,0) 的直线.d R(d 为圆心到直线的距离 ,R 为半径)(2) 令y-2x b,即y 2x b 0,也是直线 d dx2x2例求函数y= (x 2) + (x 8) 的值域。

22解：原函数可化简得： y=∣ x-2 ∣+∣x+8∣上式可以看成数轴上点 P(x)到定点 A(2)，B(-8)间的距离之和。

由上图可知：当点 P 在线段 AB 上时， y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB ∣=10当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时， y=∣x-2∣+∣x+8∣>∣ AB ∣=10 故所求函数的值域为： [10 ，+∞)2 2 2解：原函数可变形为：y=(x 3) (0 2) +(x 2) (0上式可看成 x 轴上的点 P （x ， 0）到两定点 A （3，2），B （-2 ，-1 ）的距离之和， 由 图 可 知 当 点 P 为 线 段 与 x 轴 的 交 点 时 ，22ymin =∣AB ∣=(3 2) (2 1) = 43 ，故所求函数的值域为 [ 43 ， +∞）。

上式可看成定点 A （3，2）到点 P （x ，0）的距离与定点 B （ -2 ，1）到点 P （x ，0）的距离之差。

即：y=∣ AP ∣ - ∣ BP ∣ 由图可知：（1）当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时，如点 P1，则构成△ ABP1，根据三角形两边 之差小于第三边，2）当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时，有 ∣∣ AP ∣- ∣ BP ∣∣ 综上所述，可知函数的值域为： （ - 26 ， - 26 ）。

注：求两距离之和时，要将函数式变形，使A ，B 两点在 x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点A ，B 在 x轴的同侧。

9 、不等式法利用基本不等式 a+b ≥2 ab ，a+b+c ≥ 3 3 abc （a ，b ，c ∈ R ），求函数的最值，其题型特征解析式例求函数 y= x6x 13 - x 4x 5 的值域解： 将函数变形为： 2 2 2 2y=(x 3)2(0 2)2- (x 2)2(01)2即：- 26 < y < 26 (2 1) = 26AB ∣ = 26 。

∣ AP1∣- ∣ BP1∣∣<∣是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例：2(x 0) x21 1321 13 3x 3x x x x 应用公式 a+b+c 3 3abc 时，注意使 3者的乘积变成常数)x2yx3x 2 0时，1 x2 1 yx 2 x 2 0时， 1 0y2多种方法综合运用总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法， 一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。