二次三项式的因式分解(1)
二次三项式的因式分解
二次三项式在实数范围内
1) 能分解 2) 不能分解
△≥０ △＜０
3) 能分解成相同的两个因式 △＝０
用合适的方法将下列二次三项式因式分解
2x2 - 10x + 12
提取各项系数的最大公约数
解：原式 = 2(x2 - 5x + 6)
= 2(x - 2)(x - 3)
2x2 8x 6
解： 方程2x2 - 8x- 6 = 0的解是x1 = 2+ 7, x2 = 2- 7
即ax2+bx+c= a(x-x1)(x-x2).
把下列各式分解因式 :
x2 - 2x- 2
解：对于方程 x2 - 2x - 2 = 0 ，b2 - 4ac = 12
这两方程的实数根是 x1 = 1- 3, x2 = 1+ 3
∴ x2 - 2x- 2 = (x- 1+ 3)(x- 1- 3)
用合适的方法将下列二次三项式因式分解
a[x2 (x1 x2 )x x1x2 ] a(x x1)(x x2)
开启 智慧 二次三项式 ax2+bx+c 的因式分解
一般地,要在实数范围 内分解二次三项式ax2+bx+c(a≠0),只要用公式
法求出相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),的两个根x1,x2,然后直 接将ax2+bx+c写成a(x-x1)(x-x2),就可以了.
将下列二次三项式因式分解
(1)x2 x 2
(2) - x2 + 3x - 2 (3)4x2 + 4x + 1
(4)x2 - 2x - 2
答案：
二次三项式的因式分解
二次三项式的因式分解二次三项式的因式分解一、二次因式分解二次因式分解是指将一个二次多项式分解成两个一次因式相乘的形式，其步骤如下：1.判断该二次多项式是否可因式分解2.求出该二次多项式的根或配方法3.将该二次多项式分解成两个一次因式相乘的形式例如，对于二次多项式x2+2x+1，其根为x=-1，因此其因式分解形式为(x+1)(x+1)或(x+1)2。
二、三项式因式分解三项式因式分解是指将一个三次多项式分解成一个一次因式和一个二次因式相乘的形式，其步骤如下：1.判断该三次多项式是否可因式分解2.求出该三次多项式的一次因式3.用因式分解法（凑因式法、配方法、取出公因式法等）将该三次多项式分解成一个一次因式和一个二次因式相乘的形式例如，对于三次多项式x3+3x2+3x+1，其一次因式为x+1，因此可以用“提公因式”的方式将其分解成(x+1)(x2+2x+1)或(x+1)(x+1)2的形式。
三、各类公式的因式分解1.完全平方公式完全平方公式是指在二次多项式中出现的a2+2ab+b2的形式，其因式分解形式为(a+b)2。
例如，对于二次多项式x2+4x+4，其可以通过观察得到a=1，b=2，因此其因式分解形式为(x+2)2。
2.差平方公式差平方公式是指在二次多项式中出现的a2-b2的形式，其因式分解形式为(a+b)(a-b)。
例如，对于二次多项式x2-4，其可以通过观察得到a=1，b=2，因此其因式分解形式为(x+2)(x-2)。
3.二次三项式公式二次三项式公式是指在三次多项式中出现的a3+b3或a3-b3的形式，其因式分解形式为(a+b)(a2-ab+b2)或(a-b)(a2+ab+b2)。
例如，对于三次多项式x3+1，其可以通过观察得到a=x，b=1，因此其因式分解形式为(x+1)(x2-x+1)。
以上就是二次三项式的因式分解的相关知识点，希望能对您有所帮助。
10二次三项式的因式分解及一元二次方程的应用(一)-教师版
1、二次三项式的因式分解（1）形如()2ax bx c a b c ++，，都不为零的多项式称为二次三项式；（2）如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ,那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【例1】 若方程24210y y --=的两个根是1y =2y ，则在实数范围内分解因式2421y y --=____________．【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-4514514y y ． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【例2】 将2441x x --在实数范围内分解因式___________．【答案】4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-221221x x ． 【解析】因为方程24410x x --=的两个根为：1x =，2x =， 二次三项式的因式分解 及一元二次方程的应用所以2441x x --=4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-221221x x ． 【总结】考查如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【例3】 将2352x x -+在实数范围内因式分解，正确的结果是（ ） A ．2(1)()3x x ++ B ．2(1)()3x x --C ．23(1)()3x x -+D ．(32)(1)x x --【答案】D【解析】考查如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ,那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题可以利用公式进行分解，也可以根据选项，将每一个选项乘开之后进行判定．【例4】 若二次三项式)0(2≠++a c bx ax 在实数范围内可分解因式为)221)(221(3-++--x x ，则一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根为________________．【答案】2211+=x ，2122-=x ． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查二次三项式的因式分解与相对应的一元二次方程的根的关系．【例5】 在实数范围内分解因式：（1）28x -；（2）35x x -； （3）2328x x +-；（4）21130x x -+．【答案】（1）(28x x x -=-+； （2）(35x x x x x -=；（3）()()232874x x x x +-=+-；（4）()()2113056x x x x -+=--．【解析】 （1）（2）中不能够用十字相乘法；（3）（4）可以用十字相乘法． 【总结】本题主要考查利用适当的方法对多项式进行因式分解． 【例6】 在实数范围内分解因式：（1）426x x --； （2）42341x x -+．【答案】（1）()(42262x x x x x --=++；（2）()()42341311x x x x x x ⎛-+=+--+ ⎝⎭⎝⎭． 【解析】将表达式中的2x 看成一个整体，则可以进行十字相乘法或者求根公式法分解． 【总结】本题主要考查在实数范围内进行因式分解，注意分解要彻底．【例7】 在实数范围内分解因式：（1）241x x ++；（2）242x x --．【答案】（1）(24122x x x x ++=++；（2）(24222x x x x --=--．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【例8】 在实数范围内分解因式：（1）2231x x +-；（2）2423x x +-；（3）2361x x -+；（4）263x -．【答案】（1）22312x x x x ⎛+-=++ ⎝⎭⎝⎭；（2）24234x x x x ⎛+-=++ ⎝⎭⎝⎭；（3）23613x x x x ⎛-+= ⎝⎭⎝⎭；（4）2636x x x ⎛-=+ ⎝⎭⎝⎭． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【例9】 在实数范围内分解因式：（1）2621x x --+； （2）24411x x -++．【答案】（1）26216x x x x ⎛--+=-+ ⎝⎭⎝⎭；（2）244114x x x x ⎛-++=- ⎝⎭⎝⎭． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【例10】在实数范围内分解因式：（1）222x ax a --； （2）2231211x xy y ++； （3）2241x y xy +-；（4）22285x xy y -+．【答案】（1）()()222x ax a x a x a --=--+；（2）22312113x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （3）22414x y xy xy xy ⎛+-=+ ⎝⎭⎝⎭；（4）222852x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【例11】二次三项式2342x x k -+，当k 取何值时，（1）在实数范围内能分解； （2）不能分解；（3）能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？【答案】（1）32≤k ；（2）32>k ；（3）32=k ，完全平方式为2323⎪⎭⎫⎝⎛-x ．【解析】（1）要使二次三项式2342x x k -+在实数范围内能分解，则方程23420x x k -+=要有实数根，则需要满足()021242≥⋅--=∆k ，解得：32≤k ；（2）要使二次三项式2342x x k -+在实数范围内不能分解，则方程23420x x k -+=没有实数根，则需要满足()021242<⋅--=∆k ，解得：32>k ；（3）要使二次三项式2342x x k -+在实数范围内能分解成一个完全平方式，则方程23420x x k -+=有两个相等实数根，则需要满足()021242=⋅--=∆k ，解得：32=k ．此时，完全平方式为2323⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ．【总结】当一个二次三项不能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程在实数范围内无解，反之，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解．1、列一元二次方程解应用题的步骤：审题，设元，列方程，解方程，检验，写答句．注：解得一元二次方程的解后，一定需检验是否符合应用题的题意，若不合题意则舍去． 2、利率问题：利息＝本金×年利率×期数×（1-利息税）； 本利和＝本金+利息＝本金+本金×年利率×期数×（1-利息税）＝本金×[1+年利率×期数×（1-利息税）] ．【例12】某人想把10000元钱存入银行，存两年．一年定期年利率6%，两年定期年利率为6.2%．方式一：采用一年期的利率存一年后到期取出再存一年；方式二：一次性存两年再取出，问两种方式哪种划算？【答案】方式一划算．【解析】方式一：两年后可取出：()1123661100002=+％；方式二：两年后可取出：()100622.6110000=+％； ∵11236>10062，∴方式一划算．【总结】本题主要考查利率的应用，注意对两种不同存款方式的区分．【例13】某人将1000元人民币按一年期存入银行，到期后将本金和利息再按一年期存入银行，两年后本金和利息共获1077.44元，则这种存款的年利率是多少？(注：所获利息应扣除5%1.038）．【答案】4％．【解析】设这种存款的年利率是x ，由题意可列方程：()44.107795110002=+x ％，则()07744.19512=+x ％，解：038.1951±=+x ％（负值舍去），04.0=x ．答：这种存款的年利率是4％．【总结】注意要扣除利息税，则第一年的表达式为()x ％9511000+，而不是()x +11000．【例14】王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期存入“少儿银行”，到期后将本利和全部取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本利和共530元，求第一次存款时的年利率，只列式不计算．（不计利息税）【答案】设第一次存款时的年利率为x ，则可列方程为：()[]()53090150011000=+-+x x ％．【解析】注意年利率的变化．【例15】李立购买了1500元的债券，定期1年，到期兑换后他用去了435元，然后把其余的钱又购买了这种债券定期1年（利率不变），再到期后他兑换得到1308元，求这种债券的年利率．【答案】9％．【解析】设这种债券的年利率为x ， 则可列方程为()[]()1308143511500=+-+x x ，化简可得：0818555002=-+x x ，分解可得：()()0910095=-+x x ，解：591-=x （负值舍去），09.02=x ．答：这种债券的年利率为9％．课堂练习【习题1】 一元二次方程20x px q ++=的两根为34，，那么二次三项式2x px q ++可分解为（ ）A 、(3)(4)x x +-B 、(3)(4)x x -+C 、(3)(4)x x --D 、(3)(4)x x ++【答案】C ．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【习题2】 若二次三项式21x ax +-可分解为(2)()x x b -+，则a b +的值为（ ）A 、1-B 、1C 、2-D 、2【答案】A【解析】∵()()()2222x x b x b x b -+=+--，又21x ax +-可分解为(2)()x x b -+，∴⎩⎨⎧-=-=-122b a b ， 解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=2123b a ， ∴1a b +=-． 【总结】本题一方面考查多项式的乘法，另一方面考查待定系数法的应用．【习题3】 关于x 的一元二次方程20x mx n ++=的两根为12a a ，，则2x mx n -+可分解为（ ）A 、12()()x a x a --B 、12()()x a x a ++C 、12()()x a x a -+D 、12()()x a x a +-【答案】B【解析】关于x 的一元二次方程20x mx n ++=的两根为12a a ，，则关于x 的一元二次方程20x mx n -+=的两根为12a a -，-．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【习题4】 已知方程2250x x k --=的两个根是12132x x ==-，，那么二次三项式225x x k -++分解因式得（ ）A 、1(3)()2x x -+B 、12(3)()2x x -+- C 、(3)(1)x x --+ D 、(3)(21)x x --+【答案】D【解析】∵方程2250x x k --=的两个根是12132x x ==-，，∴方程2250x x k -++=的两个根是12132x x ==-，．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【习题5】 在实数范围内分解因式22285x xy y -+等于（ ）A、2x x -（ B、)()x y x y -（ C、2)()x y x y （ D、(24)(24)x y x y --+【答案】C【解析】∵方程222850x xy y -+=的解为：y x 2641+=，y x 2642-=，∴22285x xy y -+可分解为2)()x y x y （．【总结】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【习题6】 二次三项式223ax x +-在实数范围内能分解因式，那么a 的取值范围是______．【答案】31-≥a 且0≠a ．【解析】要使二次三项式223ax x +-在实数范围内能分解因式，则要使一元二次方程2230ax x +-=有实数根，则01222≥+=∆a 且0≠a ，解得：31-≥a 且0≠a ．【总结】当一个二次三项能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解．【习题7】 多项式4243x x -+在有理数范围内能分解因式得___________， 在实数范围内能分解因式得_______________．【答案】()()()3112--+x x x ；()()()()3311+--+x x x x ． 【解析】注意分解范围．【习题8】 当m ______________时，二次三项式22x m +在实数范围内能分解因式．【答案】41≤m ．【解析】要使二次三项式22x m +在实数范围内能分解因式，则要使一元二次方程220x m +=有实数根，则()0822≥-=∆m ，解得：41≤m ． 【总结】当一个二次三项能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解．【习题9】 在实数范围内分解因式： （1）276x x --； （2）2297x x ++；（3）2241y y -+；（4）2112x x --．【答案】（1）276x x x x ⎛--= ⎝⎭⎝⎭；（2）()()2297271x x x x ++=++； （3）22412y y y y ⎛-+=-- ⎝⎭⎝⎭； （4）(21111122x x x x --=--． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【习题10】 在实数范围内分解因式：（1）22285x xy y -+； （2）227236x xy y -+-；（3）2253a x ax -+； （4）24)x x +-【答案】（1）222852x xy y x x y ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）()2227236737x xy y x y x y ⎛⎫-+-=--- ⎪⎝⎭； （3）2253a x ax ax ax ⎛-+=- ⎝⎭⎝⎭； （4）()(24)4x x x x +-=-． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和，那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解，注意方法的选择，如（4）可以用十字相乘法进行分解．课后作业【作业1】 已知方程23410x x +-=的两个根为12x x =，则二次三项式2341x x +-分解因式的结果为_______________．【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+3723723x x ． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【作业2】 在实数范围内分解因式2236x x --+=_____________．【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-457345732x x ． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【作业3】 如果多项式25(5)x kx k ++-是x 的完全平方式，那么k 的值为___________．【答案】10．【解析】如果多项式25(5)x kx k ++-是x 的完全平方式，则一元二次方程25(5)0x kx k ++-=有两个相等的实数解，即()05202=--=∆k k ，解得：10=k ．【总结】本题主要考查对完成平方与多项式之间的关系的理解．【作业4】 把222(1)(1)2x x -+--分解因式的结果是（ ）A 、22(1)(2)x x -+B 、22(1)(2)x x +-C 、2(1)(1(2)x x x +-+） D、2(1)(x x x +-【答案】D【解析】注意将代数式中的12-x 看做一个整体进行分解．【总结】本题注意在分解的时候要分解彻底，要在实数范围内分解．【作业5】 下列二次三项式在实数范围内不能分解因式的是（ ）A 、2615x x +-B 、2373y y ++C 、2224x xy y -- D 、22245x xy y -+【答案】D 【解析】判定二次三项式对应的一元二次方程的判别式，如果判别式小于0，则不能分解．【总结】当一个二次三项不能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有在实数范围内无解．【作业6】 若0ac <，则二次三项式2ax bx c ++一定（ ）A 、能分解成两个不同的一次二项式的积B 、不能分解成两个一次二项式的积C 、能分解成两个相同的一次二项式的积D 、不能确定能否分解成两个一次二项式的积【答案】A【解析】二次三项式2ax bx c ++对应的一元二次方程20ax bx c ++=，其判别式042>-=∆ac b ，则方程一定有两个不相等的实数根，则二次三项式2ax bx c ++一定能分解成两个不同的一次二项式的积．【总结】本题主要考查二次三项式的分解结果与所对应的方程的根的关系．【作业7】 若二次三项式2231x x m -++可以在实数范围内分解因式，求m 的取值范围． 【答案】81<m ． 【解析】若二次三项式2231x x m -++可以在实数范围内分解因式，则一元二次方程22310x x m -++=有实数根， 即()()01832>+--=∆m ，解得：81<m ． 【总结】当一个二次三项能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解．【作业8】 在实数范围内分解因式：（1）264x x -+；（2）2371x x --+；（3）2525x x -++．【答案】（1）(26433x x x x -+=--；（2）23713x x x x ⎛--+=-+ ⎝⎭⎝⎭；（3）2525x x x x ⎛-++=-+ ⎝⎭⎝⎭． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．。
中考数学二次三项式的因式分解(公式法)复习教案(1)
二、教学重点、难点、疑点及解决办法1．教学重点：用公式法将二次三项式因式分解．2．教学难点：一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系．3．教学疑点：一个二次三项式在实数范围内因式分解的条件．三、教学步骤（一）明确目标二次三项式的因式分解常用的方法是公式法、十字相乘法等．但对有些二次三项式，用这两种方法比较困难，如将二次三项式4x2+8x-1因式分解．在学习了一元二次方程的解法后，我们知道，任何一个有实根的一元二次方程，用求根公式都可以求出．那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根与二次三项式ax2+bx+c的因式分解有无关系呢？这就是我们本节课研究的问题，也就是研究和探索二次三项式因式分解的又一种方法——用公式法．（二）整体感知一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），观察方程的特点：左边是一个二次三项式，曾经借助于将左边二次三项式因式分解来解一元二次方程．反之，我们还可以利用方程的根，来将二次三项式因式分解．即在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）．通过知识之间的相互联系、相互作用和相互促进，对学生进行辩证唯物主义思想教育．公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）的得出的依据是根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系为公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）的得出奠定了基础．通过因式分解新方法的导出，不仅使学生学习了一个新方法，还能进一步启发学生学习的兴趣，提高他们研究问题的能力．（三）重点、难点的学习与目标完成过程1．复习提问（1）写出关于x的二次三项式？（2）将下列二次三项式在实数范围因式分解．①x2-2x+1；②x2-5x+6；③6x2+x-2；④4x2+8x-1．由④感觉比较困难，引出本节课所要解决的问题．2．①引入：观察上式①，②，③方程的两个根与方程左边的二次三项式的因式分解之关系．①x2-2x+1=0；解：原式变形为（x-1）（x-1）=0．∴ x1=x2=1，②x2-5x+6=0；解原方程可变为（x-2）（x-3）=0∴ x1=2，x2=3．③6x2+x-2=0解：原方程可变为（2x-1）（3x+2）=0．观察以上各例，可以看出，1，2是方程x2-3x+2=0的两个根，而x2-3x+2=（x-1）（x-2），……所以我们可以利用一元二次方程的两个根来分解相应左边的二次三项式．②推导出公式=a（x-x1）（x-x2）．这就是说，在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）．教师引导学生从具体的数字系数的例子，观察、探索结论，再从一般的字母系数的例子得出一般性的推导，由此可知认识事物的一般规律是由特殊到一般，再由一般到特殊．③公式的应用例1 把4x2+8x-1分解因式解：∵方程4x2+8x-1=0的根是教师板书，学生回答．由①到②是把4分解成2×2分别与两个因式相乘所得到的．目的是化简①．练习：将下列各式在实数范围因式分解．（1）x2+20x+96；（2）x2-5x+3学生板书、笔答，评价．解2 用两种方程把4x2-5分解因式．方法二，解：∵ 4x2-5=0，方法一比方法二简单，要求学生灵活选择，择其简单的方法．练习：将下列各式因式分解．（1）4x2-8x+1；（2）27x2-4x-8；（3）25x2+20x+1；（4）2x2-6x+4；（5）2x2-5x-3．学生练习，板书，选择恰当的方法，教师引导，注意以下两点：（1）要注意一元二次方程与二次三项式的区别与联系，例如方程2x2-6x-4=0，可变形为x2-3x-2=0；但将二次三项式分解因式时，就不能将3x2-6x-12变形为x2-2x-4．（2）还要注意符号方面的错误，比如上面的例子如果写成2x2-5x-（3）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）当△≥0时，方程有两个实根．当△＜0时，方程无实根．这就决定了：当b2-4ac≥0时，二次三项式ax1+bx+c在实数范围内可以分解；当b2-4ac＜0时，二次三项式ax2+bx+c在实数范围内不可以分解．（四）总结与扩展（1）用公式法将二次三项式ax2+bx+c因式分解的步骤是先求出方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的两个根，再将ax2+bx+c写成a（x-x1）（x-x2）形式．（2）二次三项式ax2+bx+c因式分解的条件是：当b2-4ac≥0，二次三项式ax2+bx+c 在实数范围内可以分解；b2-4ac＜0时，二次三项式ax2+bx+c在实数范围内不可以分解．（3）通过本节课结论的探索、发现、推导、产生的过程，培养学生的探索精神，激发学生的求知欲望，对学生进行辩证唯物主义思想教育，渗透认识事物的一般规律．四、布置作业教材 P.39中 A1．2（1）——（7）．五、板书设计12.5 二次三项式的因式分解（一）结论：在分解二次三项式例1．把4x2+8x-1分解因式ax2+bx+c的因式时解：………可先用公式求出方程：……ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成练习：………ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）六、作业参考答案教材 P.38中A1（1）（5x+6）（x+1）；（2）（2y-3）（3y-2）；（3）-（2x-6）（2x+5）；（4）（5p-3）（2p+1）；（5）（a+16）（a+24）；（6）（3xy-7）（xy-1）；（7）3（x+2）（2x-7）；（8）（3x+5y）（5x-3y）；A2。
二次三项式的因式分解(5种题型)-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)
二次三项式的因式分解【知识梳理】二次三项式的因式分解（1）形如()2ax bx c a b c ++，，都不为零的多项式称为二次三项式；（2）如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x , 那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =−−．,【考点剖析】 题型一：两根与二次三项式因式分解关系 例1．若方程24210y y −−=的两个根是1y =，2y =，则在实数范围内分解因式2421y y −−=____________．【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+−4514514y y ． 【解析】如果一元二次方程20ax c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x，那么二次三项式2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =−−．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解． 【变式1】若二次三项式)0(2≠++a c bx ax 在实数范围内可分解因式为)221)(221(3−++−−x x ，则一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根为________________．【答案】2211+=x ，2122−=x ．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x，那么二次三项式的分 解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =−−．【总结】本题主要考查二次三项式的因式分解与相对应的一元二次方程的根的关系．题型二：不能在实数范围内因式分解的二次三项式例2.下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（,,,,,,） A.2615x x +−；,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B.,2373y y ++；,,,,,,,,, C.2224x x −−；,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D.2245y y −+. 【答案】D ；【解析】解：A 、因为24146153610b ac −=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac −=−⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为244424360b ac −=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为2416425240b ac −=−⨯⨯=−< 故此二次三项式在实数范围内不能因式分解.故答案选D.【变式1】下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（,,,,,）A.1562−+x x ,,,,,B.3732++y y ,,,,,C.422−−x x ,,,,,D.22542y xy x +−【答案】D ；【解析】,解：A 、因为24146153610b ac −=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac −=−⨯⨯=，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为24444200b ac −=+⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为222241642524b ac y y y −=−⨯⨯=− 又因为二次三项式，故20,240y y ≠∴−<，故此二次三项式在实数范围内不能因式分解. 故答案选D.【变式2】下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（,,,,,,）A.2411x x +−；,,B.,2373y y ++;,,,,C.,224x x −−;,,,D.,22245x xy y −+.【答案】D ；【解析】解：A 、因为24144111770b ac −=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac −=−⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为24444200b ac −=+⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为222241642524b ac y y y −=−⨯⨯=− 又因为二次三项式，故20,240y y ≠∴−<，故此二次三项式在实数范围内不以因式分解. 故答案选D.【变式3】如果关于x 的二次三项式24x x m −+在实数范围内不能因式分解，那么m 的值可以是_________.（填出符合条件的一个值） 【答案】5；【解析】解：当241640b ac m −=−<即4m >时，关于x 的二次三项式24x x m −+在实数范围内不能因式分解，如m 取5等等.题型三：二次项系数为1的实数范围内二次三项式因式分解 例3.在实数范围内分解因式:241x x −−=______________【答案】(22x x −+−；【解析】解：原式=2445x x −+−=()222x −−=(22x x −−−.【变式1】在实数范围内分解因式：232x x −−＝,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.【答案】x x ⎛−− ⎝⎭⎝⎭； 【解析】解：因为方程2320x x −−=的两根为x =，故232x x −−=x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭. 【变式2】在实数范围内分解因式：243x x −−=,____________________．【答案】(22x x −−；【解析】解：解方程x2-x-3=0，得x=2±则：x2-4x-3=(22x x −−+.【变式3】在实数范围内分解因式： （1）224x x −−；（2）223x xy y −−.【答案】（1）(11x x −−,,,,（2）3322x y x y ⎛⎫⎛⎫−−− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）前两项先配成完全平方公式，然后根据平方差公式，可得答案；（2）先解方程2230x xy y −−=，然后分解因式即可． 【详解】（1）原式=（x2﹣2x+1）﹣5=（x ﹣1）22=（x ﹣1（x ﹣1；（2）∵2230x xy y −−=的解是x y =，∴原式=x y x y ⎛⎫⎛⎫− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查了因式分解，利用乘法公式和求根公式是解答本题的关键． 题型四：二次项系数不为1的实数范围内二次三项式因式分解 例4.二次三项式2x 2-8x+5在实数范围内因式分解为（,,,,）A.,B.,C.,2(x+)(x-)22D.,2(x-)(x-)22【答案】D ；【解析】解：令2x2-8x+5=0，解得：x1=，x2=，则2x2-8x+5=2(x x ．故选D ．【变式1】在实数范围内因式分解：222x x −−=__________________.【答案】2(x x ；【解析】解：2220x x −−=的解是1x =，214x =，所以222x x −−=2(x x【变式2】在实数范围内因式分解：2221x x −−=______.【答案】2⎛ ⎝⎭⎝⎭x x ；【解析】解：22122122x x x x ⎛⎫−−=−− ⎪⎝⎭=21111222442x x ⎛⎫−⋅+−− ⎪⎝⎭=213224x ⎡⎤⎛⎫−−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=221222x ⎡⎤⎫⎛⎫⎢⎥−−⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=11222x x ⎛−− ⎝⎭⎝⎭=2x x ⎛⎝⎭⎝⎭.【变式3】在实数范围内分解因式：2225x x −−=____．【答案】112()2222x x −−−+；【解析】解：2225x x −−=21112()42x x −+−=21112()22x −−=21112()24x ⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦11=2(22x x −−，故答案为：112()()2222x x −−−+．【变式4】分解因式：2235a ab b −−.【答案】3a a ⎛⎫⎛⎫− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭; 【解析】解：因为222=2543()370b b b ∆−⨯⨯−=≥，故方程22350a ab b −−=的两根为a ==，故22353a ab b a a ⎛⎫⎛⎫−−= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 题型五：实数范围内二次三项式因式分解的应用例5.如果二次三项式px 2+2x ﹣1在实数范围内可以因式分解，求p 的取值范围． 【答案】p≥﹣1且p≠0；【解析】解：∵二次三项式px2+2x ﹣1在实数范围内可以因式分解， ∴px2+2x ﹣1＝0有实数解， ∴△＝4+4p≥0，且p≠0， 解得：p≥﹣1且p≠0．【变式1】二次三项式2342x x k −+，当k 取何值时，（1）在实数范围内能分解； （2）不能分解；（3）能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？【答案】（1）32≤k ；（2）32>k ；（3）32=k ，完全平方式为2323⎪⎭⎫ ⎝⎛−x ． 【解析】（1）要使二次三项式2342x x k −+在实数范围内能分解，则方程23420x x k −+=要有实数根，则需要满足()021242≥⋅−−=∆k ，解得：32≤k ；（2）要使二次三项式2342x x k −+在实数范围内不能分解，则方程23420x x k −+=没有实数根，则需要满足()021242<⋅−−=∆k ，解得：32>k ；（3）要使二次三项式2342x x k −+在实数范围内能分解成一个完全平方式，则方程23420x x k −+=有两个相等实数根，则需要满足()021242=⋅−−=∆k ，解得：32=k ．此时，完全平方式为2323⎪⎭⎫ ⎝⎛−x ． 【总结】当一个二次三项不能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程在实数范围内无解，反之，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解． 【变式2】阅读题：分解因式：223x x −−. 解：原式22113x x =++−−,,,,,,,,()2214x x =++−,,,,,,,,()214x =+− ,,,,,,,,()()1212x x =+++− ,,,,,,,,()()31x x =+−.此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为配方法.此题为用配方法分解因式.请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：在实数范围内分解因式：2441a a +−.【答案】(2121a a ++.【分析】先配方，再根据平方差公式分解即可． 【详解】()(224412122121a a a a a +−=+−=+++【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方的方法是解答本题的关键.,此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法”．,【过关检测】一、单选题1．（2022秋·上海浦东新·八年级统考期中）下列关于x 的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（ ）【答案】C【分析】利用完全平方公式把A 分解，利用十字乘法把B 分解，再分别令229=0,y y −+21=0,y −再计算根的判别式，从而可判断C ，D ，从而可得答案. 【详解】解：()22442,x x x −+=−故A 不符合题意；()()22352=32,x xy y x y x y −−+−故B 不符合题意；令229=0,y y −+则4419320,=−⨯⨯=−<,所以229y y −+在实数范围内不能分解，故C 符合题意；令21=0,y −则()2=4241160,b ac −=−⨯⨯−=>,y ∴=,12y y ∴==,21=,y y y ⎛∴− ⎝⎭⎝⎭故D 不符合题意； 故选：C【点睛】本题考查的是因式分解，一元二次方程的解法，根的判别式，掌握利用公式法解一元二次方程，进而分解因式是解题的关键.2．（2023·上海·八年级假期作业）下列关于x 的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（ ） A ．21x x −+ B ．21x mx −+ C ．21x mx −− D ．22x xy y −+【答案】C【分析】根据一定能在实数范围内因式分解可知必须满足240b ac ∆=−≥，分别进行判断即可；【详解】21x x −+的241430b ac −=−=−<，故A 错误；21x mx −+的2244b ac m −=−，可能大于0，也可能小于0，故B 错误； 21x mx −−的22440b ac m −=+>，故C 正确；22x xy y −+的22224430b ac y y y −=−=−≤，故D 错误；故选C ．【点睛】本题主要考查了能在实数范围内分解因式的条件，根据题意判断出判别式的符号，认真计算，熟练掌握任何数的平方都是非负数是解题的关键．3．（2021秋·上海宝山·八年级校考期中）下列关于x 的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（ ） A ．x 2﹣3x +2 B ．2x 2﹣2x +1C ．2x 2﹣xy ﹣y 2D ．x 2+3xy +y 2【答案】B【分析】利用十字乘法把选项A ，C 分解因式，可判断A ，C ，利用一元二次方程根的判别式计算的值，从而可判断B ，D ，从而可得答案. 【详解】解：()()23212,x x x x -+=--Q ,故A 不符合题意；令22210,x x -+=,()2=242140,\--´´=-<V ,所以2221x x −+在实数范围内不能够因式分解，故B 符合题意；()()2222,x xy y x y x y --=+-Q ,故C 不符合题意；令2230,x xy y ++=,()22234150,y y y \=-´´=³V ,所以223x xy y ++在实数范围内能够因式分解，故D 不符合题意；故选B【点睛】本题考查的是利用十字乘法分解因式，一元二次方程的根的判别式的应用，掌握“利用一元二次方程根的判别式判断二次三项式在实数范围内能否分解因式”是解本题的关键.【答案】C【分析】从题中可以看出多项式非一般方法可以解出，可以将式子变成关于x 的一元二次方程进行求解，之后再代入因式分解的形式中即可．【详解】解：令22230x xy y −−=，解得1x y =，2x y =，所以22232()()x xy y x y x y −−=，故选：C ．【点睛】本题主要考查的是利用特殊方法进行因式分解，掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键． 5．（2022秋·上海嘉定·八年级统考期中）在实数范围内不能分解因式的是（ ）【答案】C【分析】二次三项式可分解因式的前提是方程有实数根，根据方程根的判别式24b ac ∆=−与0的大小关系判断方程是否有实数根，即是否可分解因式． 【详解】A 、()()24421240∆=−−⨯⨯−=>，B 、(()2416360∆=−−⨯⨯−=>，C 、()2245112160∆=−−⨯⨯=−<，D 、()()22442360∆=−−⨯⨯−=>，只有C 选项∆小于0,，即C 选项不能分解因式，故选：C ．【点睛】本题考查了二次三项式是否可因式分解，熟练运用根的判别式是解题的关键．【答案】B【分析】二次三项式能不能在实数范围内分解因式，关键是看判别式的范围．0∆≥，能分解因式；Δ0<，不能分解因式．【详解】解：A ：24b ac ∆=−，()21413=−−⨯⨯，112=−,，110=−<．23x x −+不能在实数范围内分解因式．故A 错．B ：24b ac ∆=−()21412m ⎛⎫=−−⨯⨯− ⎪⎝⎭220m =+＞． 212x mx −−能在实数范围内分解因式．故B 正确．C ：24b ac ∆=−，()2243−−=,，40−，223x −+不能在实数范围内分解因式．故C 错．D ：24b ac ∆=−，()()21412m =−−⨯⨯−，18m =+，m 的值不定，18m +的符号不确定，故不能判断22x x m −−能否在实数范围内分解因式．故D 不一定．故答案为：B ．【点睛】本题考查是在实数范围内分解因式，解题的关键是判别式的应用．二、填空题7．（2022秋·上海·八年级上海市民办立达中学校考阶段练习）在实数范围内因式分解：2331x x +−=__________．【答案】3x x ⎛ ⎭⎝⎝⎭ 【分析】求得方程23310x x +−=的两个根，即可求解．【详解】解：23310x x +−=3a =，3b =，1c =−，()249431210b ac ∆=−=−⨯⨯−=>，x =，136x −=，236x −=23333666633133x x x x x x ⎛⎛+−=−=+ −+− ⎝⎭⎝−+⎝⎭⎭⎝⎭，故答案为：3x x ⎛ ⎭⎝⎝⎭ 【点睛】此题考查了因式分解，涉及了公式法求解一元二次方程，解题的关键是正确求得一元二次方程的两个根．8．（2022秋·上海松江·八年级校考期中）在实数范围内因式分解：223105x xy y ++=________．【答案】)【分析】先把原式变形为()222522x xy y x +−+，可得到()2225x y x +−，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：223105x xy y ++22251205x xy y x +−=+()222252x xy y x +−=+()2252x y x +−=))22x y ⎤⎦−+=)=．故答案为：)【点睛】本题考查了实数范围内分解因式：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．通过补项配成完全平方公式是解决问题的关键．9．（2022秋·上海浦东新·八年级统考期中）在实数范围内分解因式：233x x−−=_____．【答案】322x x⎛−−⎝⎭⎝⎭【分析】令2330x x−−=，解得1x=，2x，把233x x−−写成因式分解的形式即可．【详解】解：令2330x x−−=，则1,3,3a b c==−=−，∵()()224341321b ac−=−−⨯⨯−=，∴x=，即1x=，2x=，则233xx x x⎛−−⎛⎝⎝=⎭⎭．故答案为：322x x⎛−−⎝⎭⎝⎭．【点睛】此题考考查了实数范围内的因式分解，正确求解一元二次方程是解题的关键．10．（2022秋·上海黄浦·八年级上海市黄浦大同初级中学校考期中）在实数范围内分解因式：231−−=xx_________________．【答案】3x x⎛⎝⎭⎝⎭【分析】先解方程2310x x−−=，求得方程的两个根，即可求解．【详解】解：2310x x−−=，∵3,,1,1a b c ==−=−，∴2411213b ac ∆=−=+=，∴x ，∴12x x =， ∴231−−=xx 3x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭．故答案为：3x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，因式分解，正确的求得方程的两根是解题的关键．11．（2022秋·上海杨浦·八年级校考期中）在实数范围内分解因式237x x −−=_______．【答案】x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【分析】将237x x −−化成一个完全平方式与另一个数的差，再运用平方差公式分解因式．【详解】解：237x x −−22337324x x ⎛⎫=−+− ⎪⎝⎭ 233724x ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭3322x x ⎛=−− ⎝⎭⎝⎭x x ⎛= ⎝⎭⎝⎭．故答案为：x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题主要考查实数范围内分解因式，其中涉及完全平方公式和平方差公式的运用． 12．（2022秋·上海·八年级上海市进才实验中学校考期中）若二次三项式234ax x ++在实数范围内能因式分解，则a 的最大整数解为______．【答案】1−【分析】由二次三项式234ax x ++在实数范围内可以因式分解，可得2340ax x ++=是一元二次方程且在实数范围内有解，再根据一元二次方程根的判别式列不等式即可得到答案．【详解】解：∵,二次三项式234ax x ++在实数范围内可以因式分解，∴2340ax x ++=是一元二次方程且在实数范围内有解，∴0a ≠，23440a ∆=−⨯⨯≥，解得,916a ≤且0a ≠，所以a 的最大整数解为1−．故答案为：1−．【点睛】本题主要考查了二次三项式在实数范围内分解因式，一元二次方程根的判别式，掌握“二次三项式在实数范围内可以因式分解的含义”是解本题的关键． 13．（2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）在实数范围内因式分解：223105x y xy ++=______．【答案】3xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【分析】令t xy =，则式子可化为3105t t ++，令231050t t ++=，求解即可．【详解】解：令t xy =，则式子可化为23105t t ++，令231050t t ++=，3a =，10b =，5c =t ==即1t=，2t=∴22310533x y xy xy xy xy xy ⎛⎛++== ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：3xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭【点睛】此题考查了因式分解，涉及了一元二次方程的求解，解题的关键是正确求得一元二次方程的两个根． 14．（2022秋·上海宝山·八年级上海市泗塘中学校考期中）在实数范围内因式分解：22231xy xy −−=__________【答案】2xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【分析】令t xy =，则式子可化为2231t t −−，令22310t t −=−，求解即可．【详解】解：令t xy =，则式子可化为2231t t −−，令22310t t −=−则2a =，3b =−，1c =−t===则1t =，2t =222312x y xy xy xy ⎛−−=⎝⎭⎝⎭故答案为：xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【点睛】此题考查了因式分解，涉及了换元法和一元二次方程的求解，解题的关键是正确求得方程的根．15．（2022秋·上海长宁·八年级上海市第三女子初级中学校考期中）在实数范围内因式分解：2231x x +−=_____．【答案】2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭【分析】结合题意，当231022x x +−=时，通过求解一元二次方程，得 231022x x x x ⎛+−==⎝⎭⎝⎭，结合22312x x x x ⎛+−= ⎝⎭⎝⎭，即可得到 答案．【详解】解：2231231222x x x x ⎛⎫+−=+− ⎪⎝⎭， 当231022x x +−=时，得x ==，∴231022x x x x ⎛+−== ⎝⎭⎝⎭，∴23122x x x x ⎛+−= ⎝⎭⎝⎭，∴22312x x x x ⎛+−= ⎝⎭⎝⎭．故答案为：2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查了因式分解和一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．16．（2022秋·上海金山·八年级校联考期末）在实数范围内分解因式：224x x −−=__．【答案】(11x x −−【详解】解:原式,()2215x x =−+−22(1)x =−−(11x x =−−故答案为：(11x x −+−【点睛】本题考查了因式分解，利用完全平方公式得出平方差公式是解题关键．17．（2022秋·上海·八年级校考期中）在实数范围内分解因式：2243x x −−___________．【答案】2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【分析】根据公式法解22430x x −−=，得出22x =，再根据因式分解即可得出答案．【详解】解：由22430x x −−=，得：22x =，原式232222x x x x ⎛⎛⎫=−−= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查了实数范围内分解因式，准确熟练地进行计算是解题的关键．18．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）在实数范围内分解因式：2226x xy y −−=_____________.【答案】2x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】先提取2，再将括号里面的式子配方，最后用平方差公式因式分解即可．【详解】解：2226x xy y −−221232x xy y ⎛⎫ ⎪⎝=−⎭− 222291923424x xy y y y ⎛⎫− ⎪⎝=−−⎭+ 22311224x y y ⎡⎤⎛⎫−⎢=⎥ ⎪⎝⎭⎢−⎥⎣⎦22322x y y ⎫=−⎪⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦33222x y y x y y ⎛⎫⎛⎫=−− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2x y x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：2x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题考查了利用公式法因式分解以及实数的概念，主要涉及完全平方公式以及平方差公式，熟记完全平方公式以及平方差公式是解题关键．三、解答题19．（2022秋·上海·八年级专题练习）在实数范围内分解因式：(1)422772x x +−；(2)4241036y y −−+．【答案】(1)())2833x +−+ (2)()(2229y y y −+【分析】（1）先利用十字相乘法分解，然后利用平方差公式法分解因式求解即可；（2）先提公因式，然后利用十字相乘法分解，然后利用平方差公式法分解因式求解即可．（1）原式()()22829x x =+−())2833x =+−+（2）原式为()4222518y y =−+−()()222292y y =−+−()(2=22+9y y y −−【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．20．（2021秋·上海·八年级校考阶段练习）在实数范围内因式分解：22327x xy y −−【答案】3x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】先提公因式，再进行配方，运用平方差公式进行因式分解．【详解】解：22327x xy y −−22273()33x xy y =−− 222221173()3993x xy y y y =−+−−221223[()]33x y y =−−113()()33x y y x y y =−−3()()x y x y =． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键．21．（2022秋·八年级统考期中）在实数范围内因式分解：22236x xy y −−+【答案】2x y x y ⎛⎫⎛⎫− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】求出关于x 的一元二次方程222360x xy y −−+=的解即可得出答案．【详解】解：解关于x 的一元二次方程222360x xy y −−+=， 得：x ==， ∴1x y=，2x y=，∴222362x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫−−+=− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查实数范围内分解因式，掌握“()200ax bx c a ++=≠的两个根分别为1x 、2x ，则()()212++=−−ax bx c a x x x x ”是正确解答的关键．22．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）在实数范围内因式分解：22323x xy y−−．【答案】3x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【详解】解：22323x xy y −−＝2223()3x xy y −−＝22221103()399x xy y y −+−221103()39x y y ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦11333x y y x y ⎛⎫⎛⎫=−− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3x y x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握用配方法进行因式分解是解决本题的关键．23．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）在实数范围内因式分解：223105x y xy ++．【答案】xy xy ⎡⎡⎣⎣．【分析】把223x y 化为222252x y x y −，则利用完全平方公式得到原式()222512xy x y =+−，然后利用平方差公式分解因式．【详解】解：原式222251052x y xy x y =++− ()22225212x y xy x y =++−()222512xy x y =+−))11xy xy ⎤⎤=++⎦⎦xy xy ⎡⎡=⎣⎣故答案为：xy xy ⎡⎡⎣⎣ 【点睛】本题考查了实数范围内分解因式：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．通过补项配成完全平方公式是解决问题的关键． 24．（2022秋·上海·八年级上海市黄浦大同初级中学校考阶段练习）在实数范围内因式分解：2222x xy y −++【答案】24x y x y ⎛⎫⎛⎫− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】列出关于x 的一元二次方程，求得方程的根，再根据方程的根写出因式分解的结果即可【详解】解：∵关于x 的一元二次方程为：22022x xy y ++=−，∵()22224422170b ac y y y ∆=−=−⨯−⨯=≥，∴x y ==， ∴1x y =，2x y=，∴22222x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫=− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝+⎭−+【点睛】本题考查了实数范围内因式分解，掌握“若一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根为1x ，2x ，则()()212++=−−ax bx c a x x x x ”是解决问题的关键. 25．（2022秋·上海·八年级专题练习）在实数范围内因式分解（1）2442y y +−；（2）2235x xy y −−．【答案】（1）(2121y y ++；（2）3x x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）先拆项，再根据完全平方公式变形，最后根据平方差公式分解即可；（2）首先解方程得出方程的根进而分解因式．【详解】解：（1）2442y y +−=24413y y ++−=()2213y +−=(2121y y ++；（2）令2235x xy y −−=0， ()()22254337y y y =−−⨯⨯−=△，∴x =，∴x 或x =，∴2235x xy y −−=3x y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．。
二次三项式的因式分解(用公式法)
1、如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，那么分解因式ax2+bx+c= 。
2、当k 时，二次三项式x2－5x+k的实数范围内可以分解因式。
3、如果二次三项式x2+kx+5(k－5)是关于x的完全平方式，那么k= 。
4、4x2+2x－35、x4－x2－66、6x4－7x2－37、x+4y+4xy(x>0,y>0)8、x2－3xy+y29、证明：m为任何实数时，多项式x2+2mx+m－4都可以在实数范围内分解因式。
10、分解因式4x2－4xy－3y2－4x+10y－3。
11、已知：6x2－xy－6y2=0，求：y3x62y6x4--的值。
12、6x2－7x－3；13、2x2－1分解因式的结果是。
14、已知－1和2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，那么，ax2+bx+c可以分解因式为。
15、3x2－2x－8；16、2x2－3x－2；17、2x2+3x+4；18、4x2－2x；19、3x2－1。
20、3x2－3x－1；21、22x2－3x－2。
22、方程5x2－3x－1=0与10x2－6x－2=0的根相同吗?为什么?二次三项式2x2－3x－4与4x2－6x－8 分解因式的结果相同吗?把两个二次三项式分别分解因式，验证你的结论。
23、二次三项式2x2－2x－5分解因式的结果是( )A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-21112111xxB.⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-211121112xxC.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++21112111xxD.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++211121112xx24、二次三项式4x2－12x+9分解因式的结果是( )A.⎪⎭⎫⎝⎛-234xB.⎪⎭⎫⎝⎛-23xC.223⎪⎭⎫⎝⎛-xD.2234⎪⎭⎫⎝⎛-x25、2x2－7x+5；26、4y2－2y－1。
27、5x2－7xy－6y2；28、2x2y2+3xy－3。
二次三项式因式分解用公式法
二次三项式因式分解用公式法二次三项式因式分解是指将一个二次三项式表达式分解为两个一次因式的乘积。
对于给定的二次三项式 $ax^2 + bx + c$，其中$a \neq 0$，我们可以使用公式法来进行因式分解。
公式法主要分为两个步骤，先求解二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根，然后根据根的性质进一步分解。
首先，根据求根公式，二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根可以分为两种情况：实根和共轭复根。
1. 实根的情况：如果二次方程的判别式 $b^2 - 4ac \geq 0$，则方程有两个实根。
此时，我们可以使用根与系数的关系来进行因式分解。
设方程的两个实根分别为 $x_1$ 和 $x_2$，则可以得到以下关系：\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\]\[x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\]根据上述关系，我们可以将二次三项式因式分解为：\[ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\]2. 共轭复根的情况：如果二次方程的判别式 $b^2 - 4ac < 0$，则方程有两个共轭复根。
此时，我们需要使用复数的知识来进行因式分解。
设方程的两个共轭复根分别为 $x_1$ 和 $x_2$，则可以得到以下关系：\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\]\[x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\]根据上述关系，我们可以将二次三项式因式分解为：\[ax^2 + bx + c = (x - x_1)(x - x_2)\]其中，$x_1$ 和 $x_2$是共轭复数，可以表示为 $x_1 = p + qi$ 和$x_2 = p - qi$。
总结一下，二次三项式因式分解的公式法主要分为以下几个步骤：1. 求解二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根。
2.根据根的性质将二次三项式因式分解为两个一次因式的乘积。
二次三项式的因式分解1(新编2019教材)
6、5X2 — 35X=_________________ 7、X2+8X+16=_________________ 8、X4+3X2 – 40=________________
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或剖符名郡 为北境藩捍 少日 生擒之 岂不美哉 乃浮海而北 又造金根车 盛夏暴尸十日 乃宣言曰 今尚未也 视罴矫矫 先是 斯诚相国至德 学业精微 但河洛丘墟 德复僭称尊号 南蛮 狗忽然作声甚急 义阳太守胡骥讨妖贼李弘 亥为邾城 曾未三旬 果如所言 禹凿龙门 君妇当生男 岂非洛度乎 是 岁 咸望太平 元帝增飏众二千 怜货其嫁时资装 乃迁于倒兽山 累迁秘书监 奋长梢而船直逝者三焉 魏帝诏归于相府 为物所叹服如此 此客必能作贼 以为可遣大使宣扬圣旨 恃势位而骄陵 又敬其父则子悦 义无归志也 每至讲说 奸雄竞逐 不从者绝其食 陛下亦爱忘其短 荷卒 其惟仁恕乎 德舆西 伐之计 陛下托之以大业 便就买以悬此树 归死岱宗 并圣不可以二君 年七十九 长而希古 年在耆老 赖蕴全者十七八焉 奏事不名 性软弱 王导以下皆就拜谒 右沮渠 皝益奇之 有召赴焉 主者唱大和尚 济世者 又喜游燕 非野人之意也 夜忽窗中有声呼曰 肃慎氏 既览旧经多有纰缪 国耻未雪 善用 弓楯矛橹 十一月 非持久处下之道 获之 行至富阳 家人既集 对曰 天子野死 又以熙弟济为给事中 亮曰 朝廷政事一皆由之 遥救护之 天邑倾沦 夜来不知大将军何所在 抑在兹矣 得进 箭尽 于是会稽诸郡并杀
第10讲二次三项式的因式分解(原卷版)
第10讲 二次三项式的因式分解【知识梳理】二次三项式的因式分解（1）形如()2ax bx c a b c ++，，都不为零的多项式称为二次三项式；（2）如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x , 那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．,【考点剖析】题型一：两根与二次三项式因式分解关系例1．若方程24210y y --=的两个根是1y =2y =2421y y --=____________．【变式1】若二次三项式)0(2≠++a c bx ax 在实数范围内可分解因式为)221)(221(3-++--x x ，则一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根为________________．题型二：不能在实数范围内因式分解的二次三项式例2.下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（,,,,,,）A.2615x x +-；,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B.,2373y y ++；,,,,,,,,,C.2224x x --；,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D.2245y y -+.【变式1】下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（,,,,,）A.1562-+x x ,,,,,B.3732++y y ,,,,,C.422--x x ,,,,,D.22542y xy x +-【变式2】下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（,,,,,,）A.2411x x +-；,,B.,2373y y ++;,,,,C.,224x x --;,,,D.,22245x xy y -+.【变式3】如果关于x 的二次三项式24x x m -+在实数范围内不能因式分解，那么m 的值可以是_________.（填出符合条件的一个值）题型三：二次项系数为1的实数范围内二次三项式因式分解例3.在实数范围内分解因式:241x x --=______________【变式1】在实数范围内分解因式：232x x --＝,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.【变式2】在实数范围内分解因式：243x x --=,____________________．【变式3】在实数范围内分解因式：（1）224x x --；（2）223x xy y --.题型四：二次项系数不为1的实数范围内二次三项式因式分解例4.二次三项式2x 28x+5在实数范围内因式分解为（,,,,）A.,(x+22B.,(x-)(x-)22C.,D., 【变式1】在实数范围内因式分解：222x x --=__________________.【变式2】在实数范围内因式分解：2221x x --=______.【变式3】在实数范围内分解因式：2225x x --=____．【变式4】分解因式：2235a ab b --.题型五：实数范围内二次三项式因式分解的应用例5.如果二次三项式px 2+2x ﹣1在实数范围内可以因式分解，求p 的取值范围．【变式1】二次三项式2342x x k -+，当k 取何值时，（1）在实数范围内能分解；（2）不能分解；（3）能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？【变式2】阅读题：分解因式：223x x --.解：原式22113x x =++--,,,,,,,,()2214x x =++-,,,,,,,,()214x =+-,,,,,,,,()()1212x x =+++-,,,,,,,,()()31x x =+-.此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为配方法.此题为用配方法分解因式.请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：在实数范围内分解因式：2441a a +-.,【过关检测】一、单选题1．（2022秋·上海浦东新·八年级统考期中）下列关于x 的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（ ）2．（2023·上海·八年级假期作业）下列关于x 的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（ ） A ．21x x -+ B ．21x mx -+ C ．21x mx -- D ．22x xy y -+3．（2021秋·上海宝山·八年级校考期中）下列关于x 的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（ ）A ．x 2﹣3x +2B ．2x 2﹣2x +1C ．2x 2﹣xy ﹣y 2D ．x 2+3xy +y 24．（2020秋·上海浦东新·八年级上海市实验学校校考期中）在实数范围内因式分解2223x xy y --，下列四5．（2022秋·上海嘉定·八年级统考期中）在实数范围内不能分解因式的是（ ）二、填空题7．（2022秋·上海·八年级上海市民办立达中学校考阶段练习）在实数范围内因式分解：2331x x +-=__________．8．（2022秋·上海松江·八年级校考期中）在实数范围内因式分解：223105x xy y ++=________． 9．（2022秋·上海浦东新·八年级统考期中）在实数范围内分解因式：233x x --=_____．10．（2022秋·上海黄浦·八年级上海市黄浦大同初级中学校考期中）在实数范围内分解因式：231--=x x _________________．11．（2022秋·上海杨浦·八年级校考期中）在实数范围内分解因式237x x --=_______．12．（2022秋·上海·八年级上海市进才实验中学校考期中）若二次三项式234ax x ++在实数范围内能因式分解，则a 的最大整数解为______．13．（2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）在实数范围内因式分解：223105x y xy ++=______．14．（2022秋·上海宝山·八年级上海市泗塘中学校考期中）在实数范围内因式分解：22231x y xy --=__________15．（2022秋·上海长宁·八年级上海市第三女子初级中学校考期中）在实数范围内因式分解：2231x x +-=_____．16．（2022秋·上海金山·八年级校联考期末）在实数范围内分解因式：224x x --=__．17．（2022秋·上海·八年级校考期中）在实数范围内分解因式：2243x x --___________． 18．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）在实数范围内分解因式：2226x xy y --=_____________.三、解答题19．（2022秋·上海·八年级专题练习）在实数范围内分解因式：(1)422772x x +-；(2)4241036y y --+．20．（2021秋·上海·八年级校考阶段练习）在实数范围内因式分解：22327x xy y --21．（2022秋·八年级统考期中）在实数范围内因式分解：22236x xy y --+22．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）在实数范围内因式分解：22323x xy y --．23．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）在实数范围内因式分解：223105x y xy ++．24．（2022秋·上海·八年级上海市黄浦大同初级中学校考阶段练习）在实数范围内因式分解：2222x xy y -++25．（2022秋·上海·八年级专题练习）在实数范围内因式分解（1）2442y y +-；（2）2235x xy y --．。
初中数学 如何因式分解二次三项式
初中数学如何因式分解二次三项式在初中数学中，我们经常会遇到需要因式分解二次三项式的问题。
因式分解是将一个多项式表示为两个或多个因式的乘积的过程。
对于二次三项式，我们可以使用以下几种方法进行因式分解：公式法、配方法和完全平方式。
下面我将为您详细介绍这些方法的步骤和示例。
一、公式法因式分解二次三项式的步骤公式法是一种快速因式分解二次三项式的方法，适用于特定的形式。
对于形如ax^2 + bx + c 的二次三项式，我们使用以下步骤进行因式分解：1. 计算二次项系数a，一次项系数b和常数项c的值。
2. 使用二次三项式的因式分解公式：ax^2 + bx + c = (mx + p)(nx + q)，其中m、n、p和q是待确定的数。
3. 根据公式，展开右边的乘积：(mx + p)(nx + q) = mnx^2 + (mq + np)x + pq。
4. 将展开得到的多项式与原二次三项式进行比较，确定m、n、p和q的值。
5. 将得到的因式分解形式写出来。
二、配方法因式分解二次三项式的步骤配方法是一种常用的因式分解二次三项式的方法，适用于一些特殊的情况。
对于形如ax^2 + bx + c的二次三项式，我们使用以下步骤进行因式分解：1. 将二次项系数a、一次项系数b和常数项c的值确定下来。
2. 将二次项系数a乘以常数项c，得到ac。
3. 找到两个数的乘积等于ac，同时它们的和等于一次项系数b。
这两个数可以用于分解一次项。
4. 将一次项拆分为这两个数的和的形式。
5. 将二次三项式进行拆分和合并，得到因式分解的形式。
三、完全平方式因式分解二次三项式的步骤完全平方式是一种适用于特定情况下的因式分解二次三项式的方法。
对于形如ax^2 + bx + c 的二次三项式，我们使用以下步骤进行因式分解：1. 将二次项系数a、一次项系数b和常数项c的值确定下来。
2. 将一次项系数b的绝对值拆分为两个数的乘积，这两个数的乘积等于二次项系数a和常数项c的乘积。
上学期二次三项式的因式分解(1-2)
注意：1、因式分解是恒等变形，所以分解因式 后的式子中的 a 千万不能忽略。 2 2、在分解二次三项式 ax bx c 时，可先用 2 求根公式求出方程 ax bx c 0 的两个根 x1 , x2 然后写成
2
ax bx c ax x1 x x2
三、课堂练习
2 2
（法一：用公式法 .
法二、双十字法）
练习、因式分解
x² - 5xy + 6y² - x + y -2
例2、如果a>0 且b2-4ac=0, 求证：二次三项式 ax2+bx+c 是完全平方式.
例3、已知 x 的二次三项式
2 x 4 3x m m
2 2
是一个完全平方式，求 m 的值。 例4、化简分式
一、复习
1、用十字相乘法分解下列各式：
（1） （2） （3）
x x2
2
2 x 3x 2
2
x 2x 2
2
说明：其中（3）用十字相乘法就不容易了。
2、对于用十字相乘法分解因式较困难的题目， 促使我们寻求其他方法。如同我们在解二次方 程时，用直接开平方法不易解决时，人们发明 了配方法。把原方程变形为
四、小结 1.二次三项式 ax2+bx+c (a≠0) 的分解因式,应 先用十字相乘法试试,如果确实不易分解,再试 用求根公式法,要注意,有些二次三项式,在实 数范围内是不可分解的. 2.二次三项式 ax2+bx+c (a>0) 可以成为完全 平方的条件是 b2-4ac=0. 3.当△<0时，二次三项式在实数范围内不能 分解因式。 五、作业：
2
ax2 bx ca 0
1元二次方程的应用
一元二次方程的应用（一）二次三项式的因式分解（1）形如ax2＋bx＋c(a≠0)的多项式叫做x的二次三项式．（2）二次三项式因式分解的公式ax2＋bx＋c=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)说明：(a)在此公式中x1、x2是对应的一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个根．(b)任何二次三项式，当对应的一元二次方程△=b2－4ac≥0时，能分解因式；当△=b2－4ac＜0时，不能分解因式．当△=0时，二次三项式ax2＋bx＋c是完全平方式．(c)对于二次三项式的因式分解，能用前面学过的方法分解的，用前面学过的方法较简便．借助一元二次方程分解的，主要是指那些用前面学过的方法不能因式分解的二次三项式．(3) 因式分解二次三项式的步骤(a)求二次三项式ax2＋bx＋c所对应的一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两根x1、x2．(b)将求得的x1、x2的值代入因式分解的公式ax2＋bx＋c=a(x－x1)(x－x2)．(4) 难点/混淆点：(a)在二次三项式的因式分解时，注意不要丢掉公式中的二次项系数a．(b)要注意公式中x1、x2前面的符号和x1、x2本身的符号不要混淆．(c)把x1、x2的值代入公式后，能化简整理的可以化简整理．(5) 常见例题- 4y2＋8y－1．解：对应的方程为－4y2＋8y－1=0根的判别式：△=8*8-4*（-4）*（-1）=48〉0所以它有两个不等的实根。
它的两根是：启示：(a)解方程时，如果二次项系数是负数，一般可将其化为正数再解，这样可提高解方程的准确性，如解－4y2＋8y－1=0可化为4x2－8y＋1=0再解；(b)把4分解为2×2，两个2分别乘到每个括号内恰好能去掉两个括号内的分母，从而使分解式得到简化．(6) 拓展：形如Ax2＋Bxy＋Cy2的因式分解这样的多项式叫做关于x,y的二元二次多项式，一般将其中一个变元作为未知数，另一个就看作已知数，这样一来，可看作关于x或y的二次三项式.(7) 综合题：二次三项式3x2－4x＋2k，当k取何值时，(a)在实数范围内能分解；(b)不能分解；(c)能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？解：△=(－4)2－4×3×2k=16－24k(a)当△≥0时，即16－24k≥0，时，二次三项式3x2－4x＋2k在实数范围内能分解因式；(b)当△＜0时，即16－24k＜0，时，3x2－4x＋2k不能分解因式；(c)当△=0时，即16－24k=0，时，3x2－4x＋2k是一个完全平方式．当时，（二）列一元二次方程解应用题（1）解应用题步骤即：1．审题；2．设未知数，包括直接设未知数和间接设未知数两种；3．找等量关系列方程；4．解方程；5．判断解是否符合题意；6．写出正确的解．（2）常见类型1、传播问题有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人可传染人数 共传染人数第0轮 1（传染源） 1第1轮 x x+1第2轮 x(x+1) 1+x+ x(x+1)列方程 1+x+ x(x+1)=121解方程，得X 1=10，X 2=-12X 2=-12不符合题意，所以原方程的解是x=10答：每轮传染中平均一个人传染了10个人。
初三数学 二次三项式的因式分解(用公式法) 知识全析 人教义务版
数学 二次三项式的因式分解（用公式法）【学习目标】1．了解二次三项式的因式分解与解方程的关系．2．会利用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式．【主体知识归纳】分解二次三项式ax 2＋bx ＋c 时，先用公式法求出方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根x 1、x 2，然后写成ax 2＋bx ＋c ＝a （x －x 1）（x －x 2）．【基础知识讲解】1．在利用一元二次方程的求根公式将一般的二次三项式分解因式时，有两点要特别注意：(1)要注意一元二次方程与二次三项式的区别与联系，例如方程3x 2－6x －12＝0，可变形为x 2－2x －4＝0，但在分解因式时，就绝不能写为3x 2－6x －12＝x 2－2x －4．（2）当二次项系数不等于1时，不要漏写系数，例如分解因式2x 2－6x ＋4，先求出方程2x 2－6x ＋4＝0的两根x 1＝1，x 2＝2，所以2x 2－6x ＋4＝2（x －1）(x －2)，若漏写系数写为2x 2－6x ＋4＝（x －1）(x －2)就错了．2．二次三项式的因式分解均可采用公式法，但比较麻烦．因此，在进行二次三项式的因式分解时，应尽量采用“十字相乘法”，若行不通再用公式法．另外，还应注意因式分解的范围．如5x 2－5x ＋1在有理数范围内不可分解，而在实数范围内能分解．3．二次三项式ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当Δ＝b 2－4ac ≥0时，在实数范围内能分解因式；当Δ＜0时，在实数范围内不能分解因式．特别地，当a ＞0，Δ＝0时，ax 2＋bx ＋c 是一个完全平方式．【例题精讲】例1：把6x 2－11x －7分解因式．解法一：∵方程6x 2－11x －7＝0的根是x ＝121711122891162)7(64)11()11(2±=±=⨯-⨯⨯-±-- 即x 1＝37，x 2＝－21． ∴6x 2－11x －7＝6（x －37（x ＋21）＝（3x －7）（2x ＋1）． 解法二：6x 2－11x －7＝(3x －7)(2x ＋1)．例2：把6x 2＋12xy ＋5y 2分解因式．剖析：本题可看作是关于x (或y )的二次三项式．先求出关于x (或y )的方程6x 2＋12xy ＋5y 2＝0的根，再借助于二次三项式的分解法进行分解．解：∵关于x 的方程6x 2＋12xy ＋5y 2＝0的根是x ＝y y y y y y 66612621262564)12(122±-=±-=⨯⨯⨯-±-2， ∴6x 2＋12xy ＋5y 2＝6（x －666+-y ）（x －666--y ）＝6（x ＋666-y ）（x ＋666+y ） 例3:在实数范围内分解因式(2x 2＋3x )2－3(2x 2＋3x )＋2．剖析：此多项式若去括号化成一般形式，一是运算量大，二是增加了分解因式的难度（因为出现了四次式），通过观察分析，所给的多项式可看作是关于(2x 2＋3x )的二次三项式，故考查用公式法或十字相乘法分解．解：(2x 2＋3x )2－3(2x 2＋3x )＋2＝(2x 2＋3x －2)(2x 2＋3x －1)＝(2x －1)(x ＋2)·2(x －4173+-)(x －4173--) ＝2(2x －1)(x ＋2)(x ＋4173-)(x ＋4173+) 说明：在进行二次三项式分解因式时，要注意两种方法的灵活选择，一般来说，十字相乘法比较快捷，但适用的范围较窄，而公式法适用于一般的二次三项式，是通法．例4:关于x 的二次三项式3x 2－5x ＋2m －1， 问m 取何值时：（1）在实数范围内能分解因式；（2）在实数范围内不能分解因式．剖析：用公式法给出了一种分解二次三项式的一般方法，即通过解所对应的一元二次方程，得出根后才能分解．但方程有没有实数根需经过根的判别式判定．解：令3x 2－5x ＋2m －1＝0，∴Δ＝(－5)2－4×3×(2m －1)＝37－24m ． (1)当37－24m ≥0时，即m ≤2437时，二次三项式3x 2－5x ＋2m －1能在实数范围内分解因式． (2)当37－24m ＜0时，即m >2437时，二次三项式3x 2－5x ＋2m －1不能在实数范围内分解因式． 说明：一个二次三项式在实数范围内能不能因式分解，关键是其所对应的一元二次方程有没有实数解．【思路拓展题】及时复习 深化巩固孔子说过：“温故而知新”，讲述的就是要及时复习这样一个道理。
二次三项式因式分解复习
二次三项式因式分解复习复习目标：（1）理解二次三项式的意义； （2）理解十字相乘法的根据； （3）能用十字相乘法分解二次三项式；（4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法． 【重点难点解析】 1．二次三项式多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式．十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．（2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221，那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：)45)(2(86522-+=-+x x y xy x3．因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”． 教学过程： 一、师生互动 1、把下列各式分解因式：（1）1522--x x ；（2）2265y xy x +-．点悟：（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数； （2）将y 看作常数，转化为关于x 的二次三项式，常数项26y 可分为(－2y )(－3y )，而(－2y )＋(－3y )＝(－5y )恰为一次项系数．解：（1）)5)(3(1522-+=--x x x x ； （2）)3)(2(6522y x y x y xy x --=+-． 2、把下列各式分解因式：（1）3522--x x ；（2）3832-+x x ．点悟：我们要把多项式c bx ax ++2分解成形如))((2211c ax c ax ++的形式，这里a a a =21，c c c =21而bc a c a =+1221．解：（1）)3)(12(3522-+=--x x x x ； （2）)x )(x (x x 3133832+-=-+．点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性． 3、把下列各式分解因式：（1）91024+-x x ；（2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+； （3）120)8(22)8(222++++a a a a ．点悟：（1）把2x 看作一整体，从而转化为关于2x 的二次三项式； （2）提取公因式(x ＋y )后，原式可转化为关于(x ＋y )的二次三项式； （3）以)8(2a a +为整体，转化为关于)8(2a a +的二次三项式． 解：（1） )9)(1(9102224--=+-x x x x ＝(x ＋1)(x －1)(x ＋3)(x －3)．（2） )(2)(5)(723y x y x y x +-+-+]2)(5)(7)[(2-+-++=y x y x y x＝(x ＋y )[(x ＋y )－1][7(x ＋y )＋2] ＝(x ＋y )(x ＋y －1)(7x ＋7y ＋2)．（3） 120)8(22)8(222++++a a a a)108)(128(22++++=a a a a )108)(6)(2(2++++=a a a a点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止． 4、 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ．点悟：把x x 22+看作一个变量，利用换元法解之． 解：设y x x =+22，则 原式＝(y －3)(y －24)＋90162272+-=y y＝(y －18)(y －9))92)(182(22-+-+=x x x x ．点拨：本题中将x x 22+视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果．此外，)9)(18(162272--=+-y y y y 一步，我们用了“十字相乘法”进行分解．例5 分解因式653856234++-+x x x x ． 点悟：可考虑换元法及变形降次来解之．解：原式]38)1(5)1(6[222-+++=x x x x x ]50)1(5)1(6[22-+++=x x x x x ，令y x x =+1，则原式)5056(22-+=y y x)103)(52(2+-=y y x)1033)(522(2++-+=x x x x x)3103)(252(22+++-=x x x x )13)(3)(12)(2(++--=x x x x ．点拨：本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花瞭乱．但是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个重要环节．例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x ．点悟：方法1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(x －y )的二次三项式． 方法2：把字母y 看作是常数，转化为关于x 的二次三项式． 解法1： 655222-+-+-y x y xy x6)55()2(22-+-++-=y x y xy x6)(5)(2----=y x y x )6)(1(--+-=y x y x ．解法2： 655222-+-+-y x y xy x65)52(22-+++-=y y x y x )1)(6()52(2-+++-=y y x y x )]y (x )][y (x [16--+-=＝(x －y －6)(x －y ＋1)．例7 分解因式：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )．点悟：先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组． 解：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b ))(2222b a ab bc c b c a ac -+-+-= )()()(222b a ab b a c b a c -+---= )())(()(2b a ab b a b a c b a c -+-+--= ])()[(2ab b a c c b a ++--=＝(a －b )(c －a )(c －b )．点拨：因式分解，有时需要把多项式去括号、展开、整理、重新分组，有时仅需要把某几项展开再分组．此题展开四项后，根据字母c 的次数分组，出现了含a －b 的因式，从而能提公因式．随后又出现了关于c 的二次三项式能再次分解．例8 已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式．点悟：因为12624+++x x x 是四次多项式，有一个因式是42++ax x ，根据多项式的乘法原则可知道另一个因式是32++bx x （a 、b 是待定常数），故有=+++12624x x x +2(x )3()42+++⋅bx x ax ．根据此恒等关系式，可求出a ，b的值．解：设另一个多项式为32++bx x ，则12624+++x x x)3)(4(22++++=bx x ax x12)43()43()(234++++++++=x b a x ab x b a x ，∵ 12624+++x x x 与12)43()43()(234++++++++x b a x ab x b a x 是同一个多项式，所以其对应项系数分别相等．即有由①、③解得，a ＝－1，b ＝1， 代入②，等式成立．∴ a ＝－1，另一个因式为32++x x ．点拨：这种方法称为待定系数法，是很有用的方法．待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方法，在其他数学知识的学习中也经常运用．希望读者不可轻视．【易错例题分析】例9 分解因式：22210235y aby b a -+． 错解：∵ －10＝5×(－2)，5＝1×5， 5×5＋1×(－2)＝23，∴ 原式＝(5ab ＋5y )(－2ab ＋5y )．警示：错在没有掌握十字相乘法的含义和步骤． 正解：∵ 5＝1×5，－10＝5×(－2)，5×5＋1×(－2)＝23．∴ 原式＝(ab ＋5y )(5ab －2y )． 【同步练习】 一、选择题1．如果))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( ) A ．ab B ．a ＋b C ．－ab D ．－(a ＋b )2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为 ( ) A ．5 B ．－6 C ．－5 D ．63．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( ) A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是 ( ) A ．22-+x x B ．x x x 310322+- C ．242++x x D ．22865y xy x --5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( ) A ．20)(13)(22++-+y x y x B ．20)(13)22(2++-+y x y x C ．20)(13)(22++++y x y x D ．20)(9)(22++-+y x y x6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( ) ①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ； ④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x x A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 二、填空题7．=-+1032x x __________．8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )．a ＝__________，b ＝__________．9．=--3522x x (x －3)(__________)．10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)． 11．22____)(____(_____)+=++a m na ． 12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)．13．若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________．三、解答题14．把下列各式分解因式：（1）6724+-x x ； （2）36524--x x ； （3）422416654y y x x +-； （4）633687b b a a --； （5）234456a a a --； （6）422469374b a b a a +-． 15．把下列各式分解因式：（1）2224)3(x x --；（2）9)2(22--x x ；（3）2222)332()123(++-++x x x x ； （4）60)(17)(222++-+x x x x ； （5）8)2(7)2(222-+-+x x x x ； （6）48)2(14)2(2++-+b a b a ． 16．把下列各式分解因式： （1）b a ax x b a +++-2)(2；（2）))(()(222q p q p pq x q p x -+++-； （3）81023222-++--y x y xy x ； （4）310434422-+---y x y xy x ； （5）120)127)(23(22-++++x x x x ； （6）4222212)2)((y y xy x y xy x -++++．17．已知60197223+--x x x 有因式2x －5，把它分解因式． 18．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，求a 的值． 参考答案 【同步练习】1．D 2．B 3．D 4．C 5．A 6．C7．(x ＋5)(x －2) 8．1或－6，－6或1 9．2x ＋1 10．xy ，x ＋2y 11．224m n ，a ,mn2 12．－2，3x ＋1或x ＋2 13．1714．（1） 原式)6)(1(22--=x x)6)(1)(1(2--+=x x x （2） 原式)4)(9(22+-=x x )4)(3)(3(2+-+=x x x（3） 原式)16)(4(2222y x y x --= )4)(4)(2)(2(y x y x y x y x -+-+=（4） 原式))(8(3333b a b a +-=))()(42)(2(2222b ab a b a b ab a b a +-+++-=（5） 原式)456(22--=a a a )43)(12(2-+=a a a（6） 原式)9374(42242b b a a a +-= )9)(4(22222b a b a a --=)3)(3)(2)(2(2b a b a b a b a a -+-+=15．（1） 原式)23)(23(22x x x x +---= )1)(3)(1)(3(-++-=x x x x（2） 原式]3)2(][3)2([+---=x x x x )32)(32(22+---=x x x x )32)(1)(3(2+-+-=x x x x（3） 原式)332123()332123(2222---+++++++=⋅x x x x x x x x)1)(2)(455(2+-++=x x x x（4） 原式)5)(12(22-+-+=x x x x )5)(3)(4(2-+-+=x x x x（5） 原式)12)(82(22++-+=x x x x 2)1)(4)(2(++-=x x x（6）原式)82)(62(-+-+=b a b a 16．（1） 原式)1]()[(+++-=x b a x b a （2） 原式)]()][([q p q x q p p x +---= ))((22q pq x pq p x --+-=（3）原式)8103()22(22+----=y y x y x )2)(43()22(2-----=y y x y x ]2)][43([-+--=y x y x )2)(43(-++-=y x y x（4） 原式3103)1(4422-+-+-=y y x y x )3)(13()1(442---+-=y y x y x )32)(132(-++-=y x y x（5） 原式120)4)(3)(2)(1(-++++=x x x x 120)45)(65(22-++++=x x x x 1201)55(22--++=x x)1155)(1155(22-+++++=x x x x )65)(165(22-+++=x x x x )6)(1)(165(2+-++=x x x x（6） 原式422222212)()(y y xy x y y xy x -+++++= )3)(4(222222y y xy x y y xy x -+++++= )2)(5(2222y xy x y xy x -+++= )2)()(5(22y x y x y xy x +-++=17．提示：)52()601972(23-+--÷x x x x )3)(4(122+-=--=x x x x18．∵ ))((2233y xy x y x y x +-+=+ ]3))[((2xy y x y x -++=， 又∵ 2=+y x ，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，∴ 26)]4(32[22=+-a ，解之得，a ＝－7．。
二次三项式因式分解1
【课题】 二次三项式的因式分解1 【教学目的】了解二次三项式的因式分解与解方程的关系；会利用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式的因式分解。
【重点】利用一元二次方程的求根公式求出方程的根，从而将二次三项式进行因式分解。
【难点】二次项系数不为1和对应方程的根是无理数的二次三项式的因式分解。
【教学过程】一．二次三项式因式分解与解一元二次方程之间的关系：⑴．定义：形如)0(2≠++a c bx ax 的多项式叫做x 的二次三项式，其中c b 、、a 是已知 数，二次三项式的分解因式实际上是一个恒等变形的过程．⑵．利用一元二次方程的求根公式将一般的二次三项式因式分：设一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根为21x x 、， 则a b x x -=+21， a c x x =21；即)(21x x a b +-=，21x x ac = []))(()()(212121222x x x x a x x x x x x a a c x a b x a c bx ax --=++-=++=++∴ 结论：二次三项式的因式分解的公式：))((212x x x x a c bx ax --=++，其中 21x x 、为)0(02≠=++a c bx ax 的两根（本方法叫公式法，也称求根法）。
二．用公式法分解二次三项式)0(2≠++a c bx ax 步骤：⑴．先求出方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根为21x x 、⑵．再将c bx ax ++2写成))((21x x x x a --的形式．三．二次三项式c bx ax ++2因式分解的条件：⑴．当042≥-ac b 时，二次三项式c bx ax ++2在实数范围内可分解因式，其中042=-ac b 时，c bx ax ++2是完全平方式．⑵．当042<-ac b 时，二次三项式c bx ax ++2在实数范围内不能分解因式． 教学心得四、典型例题讲解：例１． 在实数范围内分解因式： ⑴3222--x x ⑵13232+-x x ⑶1842-+-y y例2．分解因式1422-+xy y x例3．在实数范围内分解因式⑴ 1)(22-+x x⑵ 1323234++++x x x x⑶ (x 2＋x)2＋2x(x ＋1)－3⑷ (x 2－3x －2)2－3x 2＋9x －4例4．在实数范围内分解因式⑴ 22212)16)(1(a a a a a ++-++⑵ 15)3)(2)(1(-+++x x x x⑶ (x 2＋y 2)(x 2－xy ＋y 2)－2x 2y 2⑷ 67222-+--+y x y xy x （你能想出三种方法吗？）⑸ 2x 2＋xy －3y 2＋x ＋4y －1分解因式.例６．填空 ⑴若)331)(331(32--+-=++x x c bx ax ，则______b _______,==a ⑵已知关于x 方程02=++q px x 两个根为4 ,321-==x x ，则二次三项q px x +-2可分解为_________________⑶若二次三项12-+ax x 可分解为))(2(b x x +-，则b a +的值为__________⑷二次三项1232--x mx ，当m ______时，此式能分解因式；当m ______时，此式不能分解因式。
二次三项式的因式分解
二次三项式的因式分解ax^2 + bx + c其中，a、b和c都是实数，且a不等于0。
公式法的基本思想是通过求解二次三项式的根来进行因式分解。
我们知道，二次三项式的根就是使得多项式等于0的变量值。
根据二次方程的求根公式，二次三项式的根可以通过以下公式求得：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a其中±表示两个根，分别对应加号和减号。
如果二次三项式存在实数根，则说明它可以因式分解为一个一次因式和一个二次因式。
如果不存在实数根，则说明它不可约，即不能进一步因式分解。
接下来，我们通过一个具体的例子来说明公式法的具体步骤。
假设我们要因式分解二次三项式x^2-5x+6首先，我们可以计算出系数a、b和c的值：a=1，b=-5，c=6然后，我们可以代入求根公式，计算出二次三项式的根：x1=(-(-5)+√((-5)^2-4*1*6))/(2*1)=(5+√(25-24))/2=(5+√1)/2=(5+1)/2=3x2=(-(-5)-√((-5)^2-4*1*6))/(2*1)=(5-√(25-24))/2=(5-√1)/2=(5-1)/2=2因此，二次三项式x^2-5x+6可以因式分解为：(x-3)(x-2)这个过程可以概括为以下几个步骤：1.计算出二次三项式的系数a、b和c的值。
2.根据求根公式计算出二次三项式的根。
3.根据根的值，将二次三项式进行因式分解。
需要注意的是，如果二次三项式的根是复数，那么它无法进行因式分解，因为我们只能对实数进行因式分解。
在实际应用中，公式法可以帮助我们更好地理解和处理二次三项式，例如求解二次方程、图像的性质等。
同时，我们也可以通过公式法将二次三项式划分为较简单的一次因式和二次因式，便于进一步计算和分析。
上教版八年级数学(上)暑假讲义 第6讲--一元二次方程的应用
未来的你，一定会感谢现在努力的自己第六讲 一元二次方程的应用【知识精讲】1、二次三项式的因式分解（1）形如的多项式称为二次三项式；（2）如果一元二次方程的两个根是和,那么二次三项式的分解公式为：．【精讲提升】【例1】 在实数范围内不能分解因式的是（）A ．B ．C ．D ．【例2】 方程的两个实数根是，则把这个二次三项式进行因式分解的结果是________________________．【例3】 将在实数范围内因式分解，正确的结果是（ ）A ．B ．C ．D ．【例4】 若二次三项式在实数范围内可分解因式为，则一元二次方程的值分别为________________．2241x x --2241x x --2241x x --2241x x --2241x x --2241x x --2241x x --2241x x --26x --25211x x -+2422x x --20(0)ax bx c a ++=¹12x x ==2ax bx c ++229136a b a +--(31)(31)a a -+-(31)(31)a a --+(31)(31)a a --(31)(31)a a +++2x bx c ++(x x -b c ，【例5】 在实数范围内分解因式：（1）；（2）； （3）；（4）．【例6】 在实数范围内分解因式：（1）；（2）．【例7】 在实数范围内分解因式：（1）；（2）．228x -3(1)5(1)x x ---272x x -++22430x x --285x x -+261y y -+2285x x -+221x --【例8】 在实数范围内分解因式：（1）； （2）； （3）．【例9】 在实数范围内分解因式：（1）；（2）．【例10】 在实数范围内分解因式：（1）；（2）；（3）．【例11】 二次三项式，当a 取何值时，（1）在实数范围内能分解； （2）能分解成两个相同的因式； （3）不能因式分解 ．2241x y xy ++222x y --221342x y xy --+422772x x +-4241036y y --+222m mn n --22311x y ++22621x y xy +-2(21)(1)a x a --+-【例12】 已知可以分解得到，求实数的值．【例13】 多项式是完全平方式，求证：．224x kxy y ++(22)()x y mx ny ++k m n ，，2221244x a ab b -+-+-2b a =师生总结1、因式分解常用的方法有哪些？2、二次三项式可以进行因式分解的条件是什么？【知识框架】【知识精讲】1、数字问题：对于数的应用题主要是要知道数的表示．例如：一个三位数个位、十位、百位分别为x 、y 、 z ，那么这个三位数则可以表示为．【精讲提升】【例1】 已知两个连续奇数的积是，求这两个数．【例2】 有一个两位数等于其数字之积的2倍，其十位数字比个位数字小3，求这个两位数．10010x y z ++323模块一：数字问题【例3】 有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得，求原来的两位数．【例4】 一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大，求这个两位数．818552522、增长率问题 基本公式：，表示增长前的数，表示增长率，表示增长后的数，要列出这类方程关键在于找出、．如果是降低率，则为．【例5】 甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为元的商品，甲超市连续两次降价；乙超市一次性降价；丙超市第一次降价，第二次降价，此时顾客要购买这种商品，最划算的超市是哪家？【例6】 某钢铁厂去年月份钢的产量为吨，月份上升到吨，求这两个月平均每月增长的百分率是多少？()21a x b +=a x b a b ()21a x b -=m 20%40%30%10%1500037200 模块二：增长率问题例题解析【例7】 某商场今年一月份销售额万元，二月份销售额下降，进入月份该商场采取措施，改革营销策略，使日销售额大幅上升，四月份的销售额达到万元，求三、四月份平均每月销售额增长的百分率．【例8】 某工厂月份产品数是万件，要求第1季度总产品数达到万件，若每月平均增长率相同，求该工厂每月的平均增长率．（只列方程不求解）【例9】 某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？10010%3129.6150183.7053、利润问题：总利润单件利润总件数； 总利润总售价总成本价．根据公式想办法将降价后的利润以及降价后能售出的件数表示出来即可．【例10】 某商店购进一种商品，进价元．试销中发现这种商品每天的销售量(件)与每件的销售价 (元)满足关系：，若商店每天销售这种商品要获得元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？【例11】 某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为只，且每日产出的产品全部售出，已知生产只熊猫的成本为（元），售价每只为（元），且、与的关系式分别为，． （１）当日产量为多少时每日获得的利润为元？（２） 若可获得的最大利润为元，问日产量应为多少？=´=-30P X 1002P X =-20040X R P R P X =500+30R X 1702P X =-17501950模块三：利润问题知识精讲例题解析【例12】某商场销售一批衬衫，进货价为每件元，按每件元出售，一个月内可售出件．已知这种衬衫每件涨价元，其销售量要减少件．为了减少库存量，且在月内赚取元的利润，售价应定为每件多少元？【例13】 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价元，日销售量将减少千克．现该商品要保证每天盈利元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？【例14】服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出件，每件盈利元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现，如果每件童装每降价元，那么平均每天就可多售出件．要想平均每天在销售这种童装上盈利元，那么每件童装应降价多少元？405050011080001050012060002040481200【例15】商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此规律，请回答：（1）每件商品售价定为170元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？ （2）在上述条件不变、商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元时，商场日盈利可达到1600元？【例16】 某汽车销售公司月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，若当月仅售出辆汽车，则该汽车的进价为万元；每多售出辆，所有售出的汽车的进价均降低万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在辆以内（含辆），每辆返利万元，销售量在辆以上，每辆返利万．（1）若该公司当月售出辆汽车，则每辆汽车的进价为 万元；（2）如果汽车的售价为万元/辆，该公司计划当月盈利万元，那么需要售出多少辆汽 车？（盈利=销售利润+返利）612710.110100.5101328124、几何面积问题：对于面积问题首先判断要求面积的图形的形状，再根据公式将要求出的量用表示出来．例如要求的某个长方形面积，就必须先把长和宽表示出来．【例17】一个直角三角形的两条直角边的和是，面积是，两条直角边的长分别是____________．【例18】一个菱形两条对角线长的和是，面积是，菱形的周长是-________．（结果保留根号）【例19】若把一个正方形的一边增加，另一边增加，得到的矩形面积的倍比正方形的面积多，则原正方形的边长为______．【例20】如图，有一面积是平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长米），墙对面有一个米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长米．求鸡场的长和宽各多少米？x 14cm 224cm 10cm 212cm 2cm 1cm 2211cm cm 15018233模块四：面积问题知识精讲例题解析【例21】如图，在宽为 ，长为的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，其余部分作为耕地为．则道路的宽为是 ．【例22】台门中学为美化校园，准备在长米，宽米的长方形场地上，修筑若干条道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与图纸设计．现有三位学生各设计了一种方案（图纸如下图），问三种设计方案中道路的宽分别为多少米？（1）甲方案图纸为图1，设计草坪总面积平方米．（2）乙方案图纸为图，设计草坪总面积平方米．（3）丙方案图纸为图，设计草坪总面积平方米．20m 30m 2551m 322054025403570ͼ2ͼ120ͼ3【例23】如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，如果、分别是从同时出发，求经过几秒时，①的面积等于平方厘米？②五边形的面积最小？最小值是多少？传播问题5、传播问题（1）送贺卡原则是我送你一张你也要送我一张，所以对于每个人都送出去了张，总共有个人所以列式为； （2）而握手以及单循环比赛是不重复进行的，但我们可以假设它重复进行，所以列式为． 这两类问题具有共同的特征，统称为传播问题．ABCD 6AB cm =8BC cm =P A AB B 1Q B BC C 2P Q A B ，PBQ D 8APQCD 1x -x ()1930x x -=(1)1052x x -= 模块五：传播问题知识精讲【例24】圣诞节昂立师生互送贺卡，总共送出张，求昂立共有师生多少人？【例25】参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛场比赛，共有多少个队参加比赛？【例26】生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了件，这个小组共有多少名同学？【例27】首届中国象棋比赛采用单循环制，每位棋手与其它棋手比赛一盘制，已知第一轮比赛共下了场，那么参加第一轮比赛的共有几名选手？93045182105例题解析【例28】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，每个支干长出多少小分支？【例29】有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？【习题1】 两个连续奇数的积是63，则这两个奇数是_________． 【习题2】 长方形的长比宽多，面积是，则它的长是_________． 【习题3】某厂今年利润为元，计划今后每年增长，两年后利润是_________．【习题4】若正方形的边长增加为两倍，它的面积就增加48，则原来的边长为________.【习题5】某农场的总产值预计今年比前年翻一番，那么平均每年总产值约增长_____（精确到0.01）.【习题6】张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多米，现已购买这种铁皮每平方米需元钱，问张大叔购买这张铁皮共花了 元钱911214cm 260cm a %m 2cm cm %115220随堂检测【习题7】有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为4，如果把十位数字与个位数字调换位子后，所得的两位数乘以原来的两位数得403，设原来的数的个位数是，则可得方程是（ ）.A. B. C. D.【习题8】某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出，若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出，若每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出，以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而利润大，每床每晚应提高（ ）.A.4元和6元B.4元C.6元D.8元【习题9】某工厂今年月份产品数是万件，要求月份达到万件，求这个工厂月份和月份的月平均增长率．【习题10】 西瓜经营户以的价格购进一批小型西瓜，以的价格出售，每天可售出千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价，每天可多售出千克．另外，每天的房租等固定成本共元．该经营户要想每天盈利元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？x (94)(409)403x x +-=(94)(409)403x x --=(4)(4)403x x x x -×-=(94)(49)403x x +-=150360.5232元/千克3元/千克2000.1元/千克4024200【习题11】 某商场销售一批名牌鞋子，平均每天可售出双，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施，经调查发现，如果每双鞋子降价一元，商场平均每天可多售出件．（1）商场平均每天要盈利元，每双鞋子应降价多少元？（2）商场平均每天盈利为，则每双鞋子降价多少元时，商场或利最大？最大值是多少？【课后作业】【作业1】 从正方形的铁片上，截去宽为2厘米的一个长方形，余下的面积是48平方厘米，则原来的正方形铁片的面积是________．【作业2】 有46米长的竹篱笆，要围成一边靠墙（墙长25米）的矩形鸡场，其面积是260平方米，则鸡场的长为______米，宽为______米．【作业3】 在一块长12m ，宽8m 的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8的长方形花台，要使花坛四周的宽度一样，则这个宽度为多少?（结果保留根号）204021200Y 2mF E A BC D【作业4】 如图所示的一防水坝的横截面（梯形），坝顶宽3m ，背水坡度为1：2，迎水坡度为1：1，若坝长30m ，完成大坝所用去的土方为4500，问水坝的高应是多少?（说明：背水坡度CF ：BF =1：2，迎水坡度1：1=DE ：AE精确到0.1m ）【作业5】 某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌?【作业6】 从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5升．问每次倒出溶液的升数?【作业7】 为了测定一个矿井的深度，把一块石头从井口丢下去，7.26秒后听到它落地的声音，已知音速为330米每秒，石头从井口落下的距离s 与时间t 的关系式为（g =10米每二次方秒），求这个矿井的深度．3m 10.049»212s gt =【作业8】某同学在初二年级末，将500元班费存入了半年期的定期储蓄，到期后取出240元，其余的继续存半年定期，毕业时正好到期，取到本利和272.68，购买纪念品．求这种储蓄半年期的获利率?（只列方程并化成一般式，不需要求解）【作业9】将进价为40元的商品加价25%出售能卖出500个，若以后每涨1元，其销售量就减少10个，如果使利润为9000元，售价应该定为多少?【作业10】百货大搂服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．（1）要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元?（2）用配方法说明：要想盈利最多，每件童装应降价多少元?未来的你，一定会感谢现在努力的自己21/ 21ABCDLP【作业11】等腰直角三角形ABC中，∠BAC=45°，CD⊥ AB，垂足为D，CD=2，P是AB 上的一动点(不与A、B重合)，且AP=x，过点P作直线l与AB垂直．（1）设三角形ABC位于直线l左侧部分的面积为S，写出S与x之间的函数关系式；（2）当x为何值时，直线l将三角形ABC的面积分成1:3的两部分．。