全等三角形各种类型证明培优(经典)

全等三角形全等图形： 能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等多边形： 能够完全重合的多边形就是全等多边形．相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等多边形的对应边、对应角分别相等． 如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE ≌五边形 A'B'C'D' E' ．全等三角形： 能够完全重合的三角形就是全等三角形．全等三角形的对应边相等，对应角分别相等； 反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等． 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等． 全等三角形的概念与表示： 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌ ”． 全等三角形的性质： 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等， 对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3) 有公共边的，公共边常是对应边．(4) 有公共角的，公共角常是对应角．(5) 有对顶角的，对顶角常是对应角． 全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理 ( SAS) ：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理 ( ASA) ：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理 ( SSS) ：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理 ( AAS) ：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5) 斜边、直角边定理 ( HL) ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．判定三角形全等的基本思路： 找夹角 SAS 已知两边 找直角 HL 找另一边 SSS能够相互重合的顶这里符号“≌”表示全等，读作“全等于．ED边为角的对边→找任意一角→AAS已知一边一角找这条边上的另一角→ASA边就是角的一条边找这条边上的对角→ AAS找该角的另一边→ SAS已知两角找两角的夹边 ASA找任意一边 AAS全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：⑴ 平移全等型⑶ 旋转全等型由全等可得到的相关定理：⑴ 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．⑵ 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上．⑶ 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）．⑷ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．⑸ 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等⑹ 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．⑺ 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．三角形辅助线做法 :1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折。

”2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。

3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。

4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换图中有角平分线，可向两边作垂线。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

三角形中两中点，连接则成中位线。

常见也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中有中的“平移”或“翻转折叠。

”5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。

这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。

7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。

一、全等三角形的认识与性质1、在AB 、AC上各取一点E、D，使AE AD ，连接BD 、CE相交于O再连结AO、BC，若1 2 ，则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由．2、如图所示，AB AD，BC DC ，E、F在AC上，AC与BD相交于P ．图中有几对全等三角形？请一一找出来，并简述全等的理由．、三角形全等的判定与应用1、如图，AC∥DE ，BC∥ EF ，AC DE ．求证：AF BD．2、已知：如图，AD BC，AC BD ，求证：C D．3、如图，AC、BD相交于 O点，且AC BD，AB CD ，求证：OA OD ．4、已知：如图，B、E 、F 、C 四点在同一条AB DC ，BE CF ，B C ．求直线上，证：OA OD ．DBE FC7、E 、F 、G 分别是正方形 ABCD 的 BC 、 CD 、 AB 边上的点， 证： BG CF BC ．5、已知，如图， AB AC ，CE AB ， BF AC ，求证： BF CE ．6、 E 、 F 分别是正方形 ABCD 的 BC 、 CD 边上的点，且GE EF ，GE EF ．求ACC8、在凸五边形中，B E，C D，BC DE，M 为CD中点．求证：AM CD．三、截长补短类1、如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点（点B 除外），作DMN 60 ，射线MN与∠DBA外角的平分线交于点 N，DM 与MN有怎样的数量关系 ?2、如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意MN DM 且与∠ABC外角的平分线一点，交于点 N，MD与MN有怎样的数量关系？A M B3、如图， AD CB⊥AB DM=CM=a ， AD=h，CB= k ，∠ AMD = 75°，∠则 AB 的长为()khA. aB. kC.D. h25、如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为 120 的等腰三角形，以D为顶点作一个 60 的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长．4、已知：如图，ABCD 是正方形，∠ FAD=∠FAE. 求证： BE+DF =AE.6、五边形 ABCDE 中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证： AD 平分∠ CDE四、与角平分线有关的全等问题1、如图，已知ABC的周长是21，OB，且OD 3，求ABC 的面积．OC分别平分ABC和ACB ，OD BC于D，CC2、在ABC 中，D为BC边上的点，已知BAD CAD，BD CD ，求证：AB AC．A4、已知 ABC 中， A 60 ， BD 、 CE 分别平分 ABC 和 ACB ， BD 、 CE 交于点 O ， 试判断 BE 、CD 、 BC 的数量关系，并加以证明．3、已知 ABC 中， A B AC ， BE 、 CD 分别是 ABC 及 ACB 平分线．求证： CD BE ．AED5、如图，已知 E 是 AC 上的一点，又 1 2， 3 4．求证： ED EB ．6、长方形 ABCD 中，AB =4，BC =7，∠BAD 的角平分线交 BC 于点 E ，EF ⊥ED 交 AB 于 F ， 则 EF = __ ．7、如图所示，已知 ABC 中， AD 平分 BAC ，E 、 F 分别在 BD 、 AD 上． DE CD ，EF AC ．求证： EF ∥ABBE D8、如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF ∥ AD交CA的延长线于点F ，交AB 于点 G ，若BG CF ，求证：AD 为BAC 的角平分线．9、在ABC中，AB AC，AD是BAC的平分线．P是AD上任意一点．求证：AB AC PB PC ．10、如图，在ABC中，B 2 C，BAC的平分线AD交BC与D ．求证：AB BD AC．11、如图所示，在ABC中，AC AB，M为BC的中点，AD是BAC的平分线，若CF AD且交 AD 的延长线于 F ， 求证 MF 1AC AB ．13、如图所示，在 ABC 中， AD 平分 BAC ， AD AB ， CM AD 于M ，求证 AB AC 2AM ．12、如图所示， AD 是 ABC 中 BAC 的外角平分线，1DE∥ABCD AD 于D ， E 是BC 的中点，CCM14、如图，ABC中，AB AC，BD 、CE分别为两底角的外角平分线，AD BD于D，AE CE 于E．求证：AD AE ．15、已知：AD和BE分别是△ABC的∠CAB和∠CBA的外角平分线，CD AD，CEBE，1求证：⑴ DE∥ AB；⑵ DE 1 AB BC CA ．216、在 ABC 中，MB 、 NC分别是三角形的外角ABE 、 ACF 的角平分线，AMBM ，1AN CN垂足分别是M 、 N．求证：MN∥BC， MN AB AC BCE B C17、在 ABC中，MB 、 NC分别是三角形的内角ABC、 ACB的角平分线，AM BM ，AN CN垂足分别是M、 N．求证：MN ∥ BC， MN 1 AB AC BCABC18、如图，在四边形ABCD中，AC 平分BAD，过C 作CE AB于E ，并且1AE (AB AD)，则ABC ADC 等于多少？219、如图，A D 180 ，BE平分ABC ，CE平分BCD，点E在AD上．① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系．② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．D四、倍长中线11、已知：ABC 中，AM 是中线．求证： AM (AB AC) ．2、在ABC中， AB 5,AC 9，则BC边上的中线AD 的长的取值范围是什么？D 3、如图，ABC 中，AB<AC，AD是中线．求证：DAC< DAB．A5、已知△ ABC ，∠B =∠C ，D ，E 分别是 AB 及 AC 延长线上的一点，且 BD =CE ，连接 DE 交底 BC 于 G ，求证 GD =GE ．6、已知 AM 为 ABC 的中线， AMB ， AMC 的平分线分别交 AB 于 E 、交 AC 于 F ．求 证： BE CF EF ．4、如图，已知在 ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， AF EF ，求证： AC BE ．E 是 AD 上一点，延长 BE 交 AC 于F ，B CA7、在 Rt ABC 中， A 90 ，点 D 为BC 的中点，点 E 、F 分别为 AB 、 AC 上的点，且 ED FD ．以线段 BE 、 EF 、 FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角 形、直角三角形或钝角三角形？9、在Rt ABC 中， F 是斜边 AB 的中点， D 、E 分别在边 CA 、CB 上，满足 DFE 90 ．若 AD 3， BE 4，则线段 DE 的长度为．8、 如图 所 示， 在 ABC 中 ， D 是 BC 的中 点 ， 2 2 2 2 21 2 2BM2CN 2DM 2DN 2，求证AD 2 AB 2 AC2DM 垂 直 于 DN ， 如 果CA五、中位线的应用1、AD是ABC的中线，F是AD的中点，BF的延长线交AC于E．求证： AE1AC．32、如图所示，在ABC中，AB AC，延长AB到D，使BD AB，E为AB的中点，连A 接CE 、CD ，求证CD 2EC ．A3、已知△ ABC 中， AB =AC ，BD 为 AB 的延长线，且 BD =AB ，CE 为△ ABC 的AB 边上的中 线．求证 CD = 2CE点，求证： AE EB 且 AE BE ．4、已知： ABCD 交 BD 于 N ，是凸四边形，且 5、在 ABC 中， ACB 90 ，AC <BD ． E 、F 分别是 AD 、BC 的中点， G 点． 求证：∠ GMN >∠GNM ． EF 交 AC 于 M ；1AC 21BC ，以 BC 为底作等腰直角BCD ， E 是CD 的中DE6、如图，在五边形 ABCDE 中， ABC AED 90 ， BAC EAD ，F 为CD 的中点．求 证BF EF ．7、如图所示， P 是 ABC 内的一点， PAC PBC ，过 P 作 PM AC 于 M ，PL BC 于 L ， D 为 AB 的中点，求证 DM DL ．8、如图所示，在 ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长 CA 、CB 到点 E 、F ，使DE DF ．过 E 、F 分别作直线 CA 、CB 的垂线，相交于点 P ，设线段 PA 、PB 的中点分别为 M 、N ．求证：E(1) DEM ≌ FDN ； (2) PAE PBF ．9、如图，已知 AC BD ， AD AC ，BC BD ，求证： AD BC ．10、点 M ，N 在等边三角形 ABC 的 AB 边上运动， BD=DC ，∠BDC=120°，∠ MDN =60 求证 MN =MB+NC．CFAC 11、在△ ABC中，AB 3AC，BAC的平分线交BC于D，过B作BE AD，E为垂足，求证：AD DE ．12、如图，在ABC中，AB BD AC，BAC的平分线AD交BC与D．求证：B 2 C ．D13、如图，在等腰 ABC 中， AB AC ， D 是BC 的中点，过 A 作AE DE ， AF DF ， 且 AE AF ．求证： EDB FDC ．14、如图，已知在 ABC 中， AD 是BC 边上的中线， E 是AD 上一点，且BE AC ，延长BE 交 AC 于 F ， AF 与 EF 相等吗？为什么？15、如右下图，在 ABC 中，若 B 2 C ，AD BC ，E 为 BC 边的中点．求证： AB 2DE ．DEF。