(新)高中数学-必修一-函数培优题

高中数学必修一函数培优题

集合与映射部分 1．设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉，且1k A +∉，那么称k 是A 的一个“孤立元”．

给定{}12345678S =，，，，，，，，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个．

6

2．对于各数互不相等的正数数组()12,,,n i i i ⋅⋅⋅（n 是不小于2的正整数），如果在p q <时有p q i i <，则称 “p i 与q i ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”． 例如，数组()2,4,3,1中有顺序“2, 4”，“2, 3”，其“顺序数”等于2．

若各数互不相等的正数数组()12345,,,,a a a a a 的“顺序数”是4，则()54321,,,,a a a a a 的“顺序数”是 ．6

3．对于任意两个正整数，定义运算（用⊕表示运算符号）：

当m ，n 都是正偶数或都是正奇数时，m n m n ⊕=+，例如464610⊕=+=,373710⊕=+=； 当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m n m n ⊕=⨯，例如343412⊕=⨯=． 在上述定义中，集合(){}

*|12M a b a b a b =⊕=∈N ，，，的元素有 个．15

4．设集合{} 0 1 2 3 4 5, , , , , S A A A A A A =，在S 上定义运算“⊕”为：i j k A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，,0,1,2,3,4,5i j =．则满足关系式20()x x A A ⊕⊕=的 ()x x S ∈的个数有 个．3

5．实数集R 中定义一种运算“*”，具有性质： ① 对任意,,**a b R a b b a ∈=； ② 对任意,*0a R a a ∈=；

③ 对任意,,,(*)**()(*)(*)2a b c R a b c c ab a c b c c ∈=++-； 则0*2= ．2

6．给定集合{1,2,3,...,}n A n =，*n ∈N ．若f 是n n A A →的映射，且满足： ⑴ 任取,,n i j A ∈若i j ≠，则()()f i f j ≠；

⑵ 任取,n m A ∈若2m ≥，则有m {(1),(2),..,()}f f f m ∈． 则称映射f 为n n A A →的一个“优映射”．

例如：用表1表示的映射f ：33A A →是一个“优映射”．

⑴ 已知f ：44A A →是一个“优映射”，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）．

或

7．定义映射f A B →∶，其中(){}|A m n m n =∈R ，，，B =R ． 已知对所有的有序正整数对

()m n ，满足下述条件：

① ()11f m =，

； ② 若m n <，()0f m n =，；

③ ()()()1,,,1f m n n f m n f m n +=+-⎡⎤⎣⎦

则()3,2f 的值是 ；6

8．已知(1,1)1f =，(,)*f m n ∈N （m 、*)n ∈N ，且对任意m 、*n ∈N 都有： ①(,1)(,)2f m n f m n +=+；②(1,1)2(,1)f m f m +=． 给出以下三个结论： （1）(1,5)9f =；（2）(5,1)16f =；（3）(5,6)26f =．其中正确的个数为（ A ） （A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）0

9．下图展示了一个由区间()01，

到实数集R 的映射过程： ⑴ 区间()01，

中的实数m 对应数轴上的点M ，如图1； ⑵ 将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合，如图2；

⑶ 再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为()01，，如图3． 图3中直线AM

与x 轴交于点()0N n ，

，则m 的象就是n ，记作()f m n =．

⑴ 方程()0f x =的解是x = ；

1

2

⑵ 下列说法中正确命题的序号是 ．③④（填出所有正确命题的序号）

①114f ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

； ②()f x 是奇函数；

③()f x 在定义域上单调递增； ④()f x 的图象关于点1,02⎛⎫

⎪⎝⎭

对称．

10．若集合A 具有以下性质：

① A ∈0，A ∈1； ② 若A y x ∈,，则A y x ∈-，且0≠x 时，A x

∈1

． 则称集合A 是“好集”．分别判断集合{1,0,1}B ，有理数集Q 是否是“好集”

，并说明理由． 11．若集合{}12,,

,(2)k A a a a k =≥，其中(1,2,

,)i a i k ∈=Z ，由A 中的元素构成两个相应的集合：

{}(,),,S a b a A b A a b A =∈∈+∈，{}(,),,T a b a A b A a b A =∈∈-∈．

其中(,)a b 是有序数对．若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ．

检验集合{}0123，，，与{}123-，，是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ．

12．已知数集{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅（121n a a a ≤<<⋅⋅⋅<，2n ≥）具有性质P ：

对任意的i 、j (1)i j n ≤≤≤，i j a a 与

j i

a a 两数中至少有一个属于A ．

分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由．

B

A (

B )

图 1

图 2

图 3