2(运动方程的建立)
结构动力学第二章 运动方程的建立
h—框架结构的高度 E—弹性模量 Ib和Ic—梁和柱的截面惯性矩
ρ→∞：
k
24EIc h3
ρ→0
：
k
6EIc h3
2.1 基本动力体系
3. 阻尼力（Damping Force）
阻尼：引起结构能量的耗散，使结构振幅逐渐变小的一种作用 阻尼来源（物理机制）： (1)固体材料变形时的内摩擦，或材料快速应变引起的热耗散； (2)结构连接部位的摩擦，结构构件与非结构构件之间的摩擦； (3)结构周围外部介质引起的阻尼。例如，空气、流体等。
非保守力做功的变分等于0。
t2 (T V )dt t2 Wncdt 0
t1
t1
Wnc Pncju j
j
其中：
T —— 体系的总动能； V —— 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能； Wnc—— 作用于体系上非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）所做的功； δ —— 指（在指定时间段内）所取的变分。
p(t) fI fD fs 0 fI mu fD cu fs ku
mu cu ku p(t)
图2.8 单质点体系的受力分析
2.2 运动方程的建立
3. 虚位移原理
虚位移原理的优点：虚位移原理是建立在对虚功分析的基础之 上，而虚功是一个标量，可以按代数方式运算，因 而比Newton第二定律，或D’Alembert原理中需要采 用的矢量运算更简便。
对如下图所示结构体系，用虚位移原理建立方程更简便一些
2.2 运动方程的建立
4. Hamilton原理
应用变分法来建立结构体系的运动方程。 动力学中广泛应用的变分法是Hamilton原理 体系的平衡位置是体系的稳定位置，在稳定位置，体系的能量取得极值, 一般是极小值。
第二章结构动力学分析动力学基础及运动方程的建立
K u P M u
动力平衡法的步骤
1）分析体系各质点所受的真实力和假想惯性力； 2）沿质点各自由度方向列出平衡方程。
动力平衡法的优点
把动力问题变成了人们所熟悉的静力问题。
2.2 运动方程的建立
2.2.2 虚位移原理
虚位移原理：如果一个平衡的体系在一组力的作用 下承受一个虚位移，即体系约束所允许的任何微小 位移，则这些力所作的总功等于零。 虚位移：满足体系约束条件的无限小位移。 理想约束：在任意虚位移下，约束反力所作虚功之 和等于零。
描述体系在运动过程中任意时刻全部质点的位置所需要的独 立几何参数的数目。
y2
y1
平面上的质点 W=2
非刚性悬臂 W=2
EI
刚性梁 W=1
四层结构 W=4
图2.1 动力自由度的确定
几个值得注意的问题
1. 弹性体系的振动自由度
描述体系的振动，需要确定体系中全部质量在任一瞬 时的位置，为此所需要的独立坐标数就是弹性体系振动的 自由度。值得注意的是：体系中集中质量的个数不一定等 于体系振动的自由度，自由度数目与计算假定有关，而与 集中质量数目和超静定次数无关。
d T T V ( ) Q j (t ) , j 1, 2, , n dt q j q j q j
t2
t1
(T V )dt
t2
t1
Wnc d建立体系的运动方程 体系的动能
T
1 2 12 m2 u 2 m1u 2
动力学中的运动方程与解法
动力学中的运动方程与解法在动力学中，运动方程与解法是研究物体运动的重要内容。
通过运动方程，我们可以描述物体在特定力下的运动状态，而解法则帮助我们求解出物体的具体运动轨迹和运动过程。
对于工程师和科学家来说，掌握运动方程与解法，可以帮助他们设计出更加高效和精确的运动控制系统。
一、运动方程的建立在动力学中，物体的运动可分为平动和转动。
平动是指物体整体运动，转动则是物体绕轴旋转。
对于平动的物体，其运动方程可以通过牛顿第二定律得到。
牛顿第二定律指出，物体的加速度与其受力成正比，与其质量成反比。
因此，平动物体的运动方程可以表示为：F = ma其中，F为作用在物体上的力，m为物体的质量，a为物体的加速度。
对于转动的物体，运动方程则需要考虑到物体的转动惯量和扭矩。
转动物体的运动方程可以表示为：τ = Iα其中，τ为作用在物体上的扭矩，I为物体的转动惯量，α为物体的角加速度。
二、运动方程的解法1. 利用微分方程求解对于简单的运动情况，我们可以通过求解微分方程来得到物体的运动方程解。
以平动物体的情况为例，假设已知物体的质量m、受力F 和初始条件（如起始位置和速度），我们可以根据牛顿第二定律建立微分方程：ma = F通过求解这个微分方程，可以得到物体的速度v与时间t之间的函数关系v(t)，从而描述出物体的运动过程。
2. 利用数值方法求解在复杂的运动情况下，往往无法精确地求解得到解析解。
这时，我们可以利用数值方法来逼近求解物体的运动方程。
常见的数值方法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
通过确定时间间隔，我们可以利用数值方法逐步计算物体的位置和速度，从而得到物体的运动轨迹。
三、应用举例动力学中的运动方程与解法在工程和科学研究中有着广泛的应用。
以下举例说明：1. 火箭的运动对于火箭的运动，我们可以根据火箭的质量、发动机推力和空气阻力建立运动方程。
通过解方程，我们可以分析火箭在不同推力和阻力下的运动轨迹，从而指导火箭的设计和控制。
结构动力学第二章
∂T ∂V d ∂T ( )− + = Pncj (t ), & dt ∂u j ∂u j ∂u j
其中： T —— 体系的动能；
j = 1,2,L , N
V —— 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能； Pncj ——与 uj 相应的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）。
– 红色部分为引入动力自由度概念的目的，蓝色部分为实 现此目的的手段。 – 概念中的“全部”、“独立”两个条件非常关键。
• 严格来说，所以结构体系质量都是连续分布的，为无限自 由度体系，研究比较困难。但许多情况下，可以作一定的 简化，变为有限自由度体系。 • 简化并确定结构动力自由度最典型的方法：集中质量法
动能
1 & mu 2 转动质量 2
T =
1 &2 Jθ 2
1 2 V = ku 转动弹簧 2
1 &2 V = kθ θ 2
位能
1 1 & & &j T = ∑ ∑ mij u i u j = ∑ m j u 2 2 i j 2 j
V =
1 ∑ ∑ kij ui u j 2 i j
∫
1 体系的动能：T = mu 2 & 2
粘滞(性)阻尼力可表示为：
& f D = -cu
D — 表示阻尼（damping） c — 阻尼系数（Damping coefficient）
k c
u m
f S(t) m f D(t) f I (t)
& u — 质点的运动速度
阻尼系数 c 的确定：
• 不能像结构刚度 k 那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸等 来获得，因为 c 是反映了多种耗能因素综合影响的系数， 阻尼系数一般是通过结构原型振动试验的方法得到。 • 粘性（滞）阻尼理论仅是多种阻尼中最为简单的一种。 • 其它常用的阻尼：
(结构动力学2)运动方程的建立35
2.1 基本动力体系(tǐxì)
1. 惯性力（Inertial Force）
惯性：保持物体运动状态的能力
惯性力： 大小等于物体的质量与加速度的乘积， 方向与加速度的方向相反。
fI mu
I — 惯性（Inertial）； m— 质量（mass） ；
ü — 质点的加速度。
第六页，共三十六页。
2.1 基本动力体系
因此， d d(t T u )d d(tm u )m u
V 非1 保ku守2 力： 2
P n c c u p (t)
T 0 u
V ku u
代入Lagrange方程： d d(t T u ) T u V uP n(c t) 再一次得到体系的运动方程：
m u c u k u p (t)
第二十四页，共三十六页。
图2.1 结构动力分析中常用的单自由度体系力学模型
第四页，共三十六页。
2.1 基本(jīběn)动力体系
（a）单层框架结构 （b）弹簧―质点体系
两个典型的单自由度体系
物理元件：
集中质量(zhìliàng) m 阻尼系数 c 弹簧刚度 k
两个力学模型完全等效
两个体系的运动方程相同
第五页，共三十六页。
应用变分法来建立结构体系的运动方程。
动力学中广泛应用的变分法是Hamilton原理 体系的平衡位置是体系的稳定位置，在稳定位置，体系的能量取得极值, 一般是极小值。
Hamilton原理：在任意时间区段[t1, t2]内，体系的动能和位能的变分加上
非保守力做功的变分等于0。
t2 (TV)d t t2 W nd c t0
3. 阻尼力（Damping Force）
阻尼：引起结构能量(néngliàng)的耗散，使结构振幅骤渐变小的一种作用 阻尼来源（物理机制）：
【结构动力学】第1章 运动方程 2020
承受动力荷载的任何线性结构体系的主要物理特性是体系的质量、弹 性特性（刚度或柔度）、能量耗散机理或阻尼、以及外部扰力或荷载
单自由度
c
体系模型
k
y (t )
F(t) m
▪ 质量块m，用来表示结构的质量和惯性特性 ▪ 自由度只有一个：水平位移 y(t) ▪ 无重弹簧，刚度为 k，提供结构的弹性恢复力 ▪ 无重阻尼器，阻尼系数c，表示结构的能量耗散，提供结
y P (FI FD )
改写成：
FI
FD
1
y
P
28
位移方程：
FI
FD
1
y
P
其中：
p为动荷载 q(t) 引起的质量沿y方向的位移：
q (t)y(t )
P
5l 4 384 EI
q(t )
惯性力： FI my 阻尼力： FD cy
为自由度方向加单位力所引起的位移，即柔度： 由此得到体系的运动方程：
my cy ky F(t) (2-3)
y(t )
EI l 1
my
cy
12EI
l13
12EI l23
y
FP (t)
12EI 12EI
令： k FS1 FS 2 l13 l23
；k 为（等效）刚度系数。
由此得到体系的运动方程： my cy ky FP (t)
运动方程与(2-3)的形式是一样的！
my cy ky F(t)
（2-3）
14
直接平衡法(达朗贝尔原理)
直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任 一时刻的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性 力作为附加的虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作 用在结构上的外荷载，使体系处于动力平衡条件， 按照静力学中建立平衡方程的思路，直接写出运动 方程。
第2章——多自由度系统的振动——运动方程建立方法0425
船体振动基础1第章多自由度系统的振第2章多自由度系统的振动一、引言二、两自由度系统的振动三、多自由度系统的振动四、振动方程建立的其他方法2有阻尼的多自由度系统振动1、拉格朗日方程式1、拉格朗日方程式P38拉格朗日法是建立微分方程一种简单的方法：先求出系统的动能、势能，进而得出质量矩阵和刚度矩阵.优点：系统的动能和势能都是标量，无需考虑力的方向。
141、拉格朗日方程式P38拉格朗日第二类方程式适用于完整约束的系统。
完整约束完整约束：当约束方程本身或约束方程通过积分后可以下式所示的形式表示时，称为完整约束。
不完整约束：当约束方程本含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完整约束。
具有不完整约束的系统，系统的自由度不等于广义坐标数自由度数小于广义坐标数于广义坐标数，自由度数小于广义坐标数。
151、拉格朗日方程式P3811•位移方程和柔度矩阵P40对于静定结构，有时通过柔度矩阵建立位移方程比通过对于静定结构有时通过m1x1x2以准静态方式作用在梁上。
梁只产生位移（即挠度），不产生加速度。
的静平衡位置为坐标P1=1 f11 f21 f12P2=1 f22（1）P1 = 1、P2 = 0 时 m1 位移：x1 = f11 m2 位移：x2 = f 21 （3）P1、P2 同时作用 m1 位移： 位移 x1 = f11 P 1 + f12 P 2 m2 位移：x2 = f 21 P 1 + f 22 P 2（2）P1 = 0、P2 = 1 时 m1 位移：x1 = f12 m2 位移：x2 = f 22P1 m1 x1 x2 P2 m2P1=1 f11 f21 f12 P1 m1 x1P2=1 f22 P2 m2 x2P 同时作用时 1、P 2 同时作用时：x1 = f11P 1 + f12 P 2 x2 = f 21P 1 + f 22 P 2矩阵形式 X = FP 矩阵形式：⎡ x1 ⎤ X =⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦f ij 柔度影响系数f12 ⎤ f 22 ⎥ ⎦⎡ f11 F=⎢ ⎣ f 21⎡P 1⎤ P=⎢ ⎥ ⎣ P2 ⎦物理意义： 系统仅在第 j 个坐标受到 单位力作用时相应于第 i 个坐标上产生的位移柔度矩阵P1 m1 x1P2 m2 x2P1(t) m1 m2P2(t)&1 m1 & x&2 m2 & xX = FP⎡ x1 ⎤ ⎡ f11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 f12 ⎤ ⎡ P 1⎤ ⎢P ⎥ f 22 ⎥ ⎦⎣ 2 ⎦当P 1、P 2 是动载荷时 集中质量上有惯性力存在⎡ x1 ⎤ ⎡ f11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 f12 ⎤ ⎡ P && 1 (t ) − m1 x1 ⎤ ⎢ P (t ) − m & ⎥ f 22 ⎥ & x 2 2⎦ ⎦⎣ 2⎡ x1 ⎤ ⎡ f 11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21位移方程:f 12 ⎤⎛ ⎡ P1 (t ) ⎤ ⎡m1 ⎜⎢ −⎢ ⎥ ⎥ ⎜ f 22 ⎦⎝ ⎣ P2 (t ) ⎦ ⎣ 0&1 ⎤ ⎞ 0 ⎤⎡ & x ⎟ ⎥ ⎢ ⎥ &2 ⎦ ⎟ m2 ⎦ ⎣ & x ⎠&& ) X = F ( P − MXP1(t) m1 m2P2(t)⎡ x1 ⎤ X =⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦⎡P 1 (t ) ⎤ P=⎢ ⎥ P ( t ) ⎣ 2 ⎦&1 m1 & x&2 m2 & x位移方程 位移方程：&& ) X = F ( P − MX也可按作用力方程建立方程：&& + KX = P MX刚度矩阵&& + X = FP FMX柔度矩阵与刚度矩阵的关系 柔度矩阵与刚度矩阵的关系：&& KX = P − MX若K非奇异F=K−1FK = I&& ) X = K −1 ( P − MX应当注意：对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统） ， 柔度矩阵不存在。
结构动力学 -单自由度体系的振动
13
§2.2 无阻尼自由振动
自由振动(free vibration) ：无外界干扰的体系振动形 态称为自由振动（free vibration）。振动是由初始位 移或初始速度或两者共同影响下所引起的。 无阻尼自由振动：如果阻尼系数等于零，则这种自由 振动称为无阻尼自由振动（undamped free vibration）。 假设由于外界干扰，质点离开平衡位置，干扰消失后， 质点将围绕静力平衡点作自由振动。
或：m y ( t) c y ( t) k ( t) y m y g ( t) P e( f t) f
Peff (t ) ：等效荷载，即在地面加速度yg (t )影响下，结构的响
应就和在外荷载p (t )作用下的响应一样，只是外荷载 p (t )
等于质量和地面加速度的乘积。
干扰力的大小只能影响振幅A的大小，而对结构自
振周期T的大小没影响。
（2）自振周期与质量平方根成正比，质量越大，则
周期越大；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度
越大，则周期越小。要改变结构的自振周期，只有
改变结构的质量或刚度。
24
§2.2 无阻尼自由振动
k g
m
st
（3）把集中质点放在结构上产生最大位移的地方，则可
1、位移以静力平衡位置作为基准的，而这样确定的位移 即为动力响应。
2、在求总挠度和总应力时，要把动力分析的结果与静
力分析结果相加。
9
§2.1运动方程的建立
3、支座运动的影响 结构的动位移和动应力既可以由动荷载引起，也
可以由结构支座的运动而产生。 1）由地震引起建筑物基础的运动； 2）由建筑物的振动而引起安置在建筑物内的设备 基底的运动等等。
第12章 结构的动力计算(3)
l2 7m 12EI
w2
1
l2
1.309
EI 1 261 . 86 s m l3
(3)求主振型ri
第一主振型
ห้องสมุดไป่ตู้
r1
Y11 12 m2 1 Y21 11 m1 l1 1
第二主振型
Y12 12 m2 1 r2 Y22 11 m1 l 2 1
w1
1
l1
, w2
1
l2
(4)求主振型
(11m1 1 )Y1 12 m2Y2 0 1
w
2
21m1Y1 ( 22 m2
1) 第一主振型：将w w1代入
w
2
)Y2 0
Y11 12 m2 r1 Y21 11 m1 l1
2) 第二主振型：将w w2代入
y 0 [ ][M ] y
注意：[]与[K]虽然互为逆阵，但[]中之ij与[K]中之kij元素一般并不互 逆（仅单自由度体系例外）。
(2)运动方程的求解
设特解
1 11 m2 2 12 y1 m1 y y 1 21 m2 2 22 y 2 m1 y y
1 1
C C C
l /4
M 基1
1 1 B
图
C
M 2图
B B
13ll /64 13l /64 /4
解:(1)求柔度系数ij
A
1 A B 2 C
11
M1M 基 1 l /4 EI
23 dx 24EI
M 基2 图
l /4
22
M 2 M 基2 EI
dx
23 24EI
02第二讲：运动方程的建立
第二讲：运动方程的建立
一、基本动力体系 一、 基本动力体系
两个典型的单自由度体系
第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
1. 牛顿（ 牛顿（Newton Newton） ）第二定律
F ma
物理元件： 质量 集中质量m 集中质量m 阻尼器 阻尼系数 阻尼系数c c 弹簧 弹簧刚度 弹簧刚度k k
t1
2 1
t2
单质点系的受力图
cu ku p(t ) mu
T —— 体系的动能； V —— 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能； Pncj—— ——与 与uj相应的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载 相应的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）。 ）。
用Hamilton 原理推导 原理推导Lagrange Lagrange 方程
1 1 2 V ku 2 W p(t )u f D u T mu 2 2
T ( s, t ) W ( s , t ) V ( s, t )dt 0
t1
t2
u cu u kuu p (t )u dt 0 mu t u cu u kuu p (t )u dt 0 t mu
u t2 mu udt mu udt mu
t1 t1
第二讲：运动方程的建立
单质点体系的受力分析
F p(t ) f D f s
ma f D f s p (t )
au
f D cu
(a) 单层框架结构
两个力学模型完全等效 因为两个体系的运动方程相同 单自由度系统虽然简单，但是包含了 单自由度系统 虽然简单，但是包含了 结构动力学的全部思想和方法。 多自由度系统还可通过振型迭加法转 多自由度系统 还可通过振型迭加法转 化为单自由度系统，因此学习它非常重要。
分析动力学基础及运动方程的建立
刚度法 取每一运动质量为隔离体， 取每一运动质量为隔离体，通过分析所受的全部 外力，建立质量各自由度的瞬时力平衡方程， 外力，建立质量各自由度的瞬时力平衡方程，得 运动方程。 到体系的运动方程 到体系的运动方程。
柔度法 以结构整体为研究对象， 以结构整体为研究对象，通过分析所受的全部外 利用结构静力分析中计算位移的方法， 力，利用结构静力分析中计算位移的方法，根据 位移协调条件建立体系的运动方程。 运动方程 位移协调条件建立体系的运动方程。
& FD = − cy
c 为阻尼系数，& 为质量的速度。 为阻尼系数， 为质量的速度。 y
数学模型
承受动力荷载的结构体系的主要物理特性： 承受动力荷载的结构体系的主要物理特性： 质量、弹性特性、阻尼特性、 质量、弹性特性、阻尼特性、外荷载 在最简单的单自由度体系模型中， 在最简单的单自由度体系模型中，所有特性都假定集结于 一个简单的基本动力体系模型 基本动力体系模型内 一个简单的基本动力体系模型内，每一个特性分别由一个 具有相应物理特性的元件表示： 具有相应物理特性的元件表示：
结构的自由振动与受迫振动 结构的自由振动与受迫振动
y
y
t
t
定义
结构受外部干扰后发生振动，而在干扰消失后继续振动， 结构受外部干扰后发生振动，而在干扰消失后继续振动， 这种振动称为结构的自由振动 自由振动。 这种振动称为结构的自由振动。 如果结构在振动过程中不断地受到外部干扰力作用， 如果结构在振动过程中不断地受到外部干扰力作用，这种 振动称为结构的强迫振动 又称受迫振动 强迫振动， 振动称为结构的强迫振动，又称受迫振动 。
惯性力： 根据d’Alembert原理，等于质量与加速度的乘积： 惯性力： 根据 原理，等于质量与加速度的乘积： 原理
量子力学选择题库完整
量子力学选择题1.能量为100ev 的自由电子的De Broglie 波长是A A. 1.2A 0. B. 1.5A 0. C.2.1A 0. D. 2.5A 0. 2. 能量为0.1ev 的自由中子的De Broglie 波长是A 0. B. 0.9A 0. C. 0.5A 0. D. 1.8A 0.3. 能量为0.1ev ，质量为1g 的质点的De Broglie 波长是A 0⨯1012-A 0⨯1012-A 0. D. 2.0A 0.4.温度T=1k 时，具有动能E k T B =32(k B 为Boltzeman 常数)的氦原子的De Broglie 波长是A.8A 0. B. 5.6A 0. C. 10A 0. D. 12.6A 0.5.用Bohr-Sommerfeld 的量子化条件得到的一维谐振子的能量m 为（ ,2,1,0=n ）AA.E n n = ω.B.E n n =+()12 ω. C.E n n =+()1 ω. D.E n n =2 ω.6.在0k 附近，钠的价电子的能量为3ev ，其De Broglie 波长是A 0. B. 7.1A 0. C. 8.4A 0. D. 9.4A 0.7.钾的脱出功是2ev ，当波长为3500A 0的紫外线照射到钾金属表面时，光电子的最大能量为A. 0.25⨯1018-J.B. 1.25⨯1018-J.C. 0.25⨯1016-J.D. 1.25⨯1016-J.8.当氢原子放出一个具有频率ω的光子，反冲时由于它把能量传递给原子而产生的频率改变为A.2μc . B.22μc . C. 222μc . D. 22μc .pton 效应证实了A.电子具有波动性.B. 光具有波动性.C.光具有粒子性.D. 电子具有粒子性. 10.Davisson 和Germer 的实验证实了A. 电子具有波动性.B. 光具有波动性.C. 光具有粒子性.D. 电子具有粒子性.11.粒子在一维无限深势阱U x x ax x a (),,,=<<∞≤≥⎧⎨⎩000中运动，设粒子的状态由ψπ()sinx C xa =描写，其归一化常数C 为BA.1a .B.2a .C.12a . D.4a .12. 设ψδ()()x x =，在dx x x +-围找到粒子的几率为DA.δ()x .B.δ()x dx .C.δ2()x . D.δ2()x dx .13. 设粒子的波函数为 ψ(,,)x y z ，在dx x x +-围找到粒子的几率为CA.ψ(,,)x y z dxdydz 2.B.ψ(,,)x y z dx 2. C.dx dydz z y x )),,((2⎰⎰ψ.D.dx dy dz x yz ψ(,)⎰⎰⎰2.14.设ψ1()x 和ψ2()x 分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态c x c x 1122ψψ()()+的几率分布为DA.c c 112222ψψ+. B. c c 112222ψψ++2*121ψψc c . C.c c 112222ψψ++2*1212ψψc c . D.c c 112222ψψ++c c c c 12121212****ψψψψ+.15.波函数应满足的标准条件是A.单值、正交、连续.B.归一、正交、完全性.C.连续、有限、完全性.D.单值、连续、有限. 16.有关微观实物粒子的波粒二象性的正确表述是 A.波动性是由于大量的微粒分布于空间而形成的疏密波. B.微粒被看成在三维空间连续分布的某种波包. C.单个微观粒子具有波动性和粒子性. D. A, B, C. 17.已知波函数ψ1=-+u x i Et u x i Et ()exp()()exp(),ψ21122=-+u x i E t u x i E t ()exp()()exp(), ψ312=-+-u x iEt u x i Et ()exp()()exp(),ψ41122=-+-u x i E t u x iE t ()exp()()exp() .其中定态波函数是A.ψ2.B.ψ1和ψ2.C.ψ3.D.ψ3和ψ4. 18.若波函数ψ(,)x t 归一化，则A.ψ(,)exp()x t i θ和ψ(,)exp()x t i -δ都是归一化的波函数.B.ψ(,)exp()x t i θ是归一化的波函数，而ψ(,)exp()x t i -δ不是归一化的波函数.C.ψ(,)exp()x t i θ不是归一化的波函数，而ψ(,)exp()x t i -δ是归一化的波函数.D.ψ(,)exp()x t i θ和ψ(,)exp()x t i -δ都不是归一化的波函数.(其中θδ,为任意实数) 19.波函数ψ1、ψψ21=c (c 为任意常数)， A.ψ1与ψψ21=c 描写粒子的状态不同.B.ψ1与ψψ21=c 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是1: c .C.ψ1与ψψ21=c 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是2:1c.D.ψ1与ψψ21=c 描写粒子的状态相同.20.波函数ψ(,)(,)exp()x t c p t ipx dp =⎰12π 的傅里叶变换式是CA. c p t x t ipx dx (,)(,)exp()=⎰12π ψ. B. c p t x t i px dx (,)(,)exp()*=⎰12π ψ.C.c p t x t ipx dx (,)(,)exp()=-⎰12πψ.D.c p t x t i px dx (,)(,)exp()*=-⎰12π ψ.21.量子力学运动方程的建立,需满足一定的条件:(1)方程中仅含有波函数关于时间的一阶导数. (2)方程中仅含有波函数关于时间的二阶以下的导数.(3)方程中关于波函数对空间坐标的导数应为线性的. (4) 方程中关于波函数对时间坐标的导数应为线性的.(5) 方程中不能含有决定体系状态的具体参量. (6) 方程中可以含有决定体系状态的能量. 则方程应满足的条件是A. (1)、(3)和(6).B. (2)、(3)、(4)和(5).C. (1)、(3)、(4)和(5).D.(2)、(3)、(4)、(5)和(6).22.两个粒子的薛定谔方程是A.∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i t r r t r r t iμ∂∂),,(),,(2121t r r t r r Uψ+ B.∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i t r r t r r t μ∂∂),,(),,(2121t r r t r r Uψ+ C.∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i i t r r t r r t μ∂∂),,(),,(2121t r r t r r U ψ+ D.∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i i t r r t r r t i μ∂∂),,(),,(2121t r r t r r U ψ+ 23.几率流密度矢量的表达式为CA. J =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ.B. J i =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. C. J i =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. D. J =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ.24.质量流密度矢量的表达式为CA. J =∇ψ-2()**ψψ∇ψ.B. J i =∇ψ-2()**ψψ∇ψ. C. J i =-∇ψ2()**ψ∇ψψ. D. J =-∇ψ2()**ψ∇ψψ.25. 电流密度矢量的表达式为CA. J q =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. B. J iq =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ.C. J iq =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. D. J q =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ.26.下列哪种论述不是定态的特点DA.几率密度和几率流密度矢量都不随时间变化.B.几率流密度矢量不随时间变化.C.任何力学量的平均值都不随时间变化.D.定态波函数描述的体系一定具有确定的能量.27.在一维无限深势阱U x x ax a (),,=<∞≥⎧⎨⎩022中运动的质量为μ的粒子的能级为D A.πμ22224 n a ,B.πμ22228 n a ,C.πμ222216 n a , D.πμ222232 n a . 28. 在一维无限深势阱U x x ax a (),,=<∞≥⎧⎨⎩0中运动的质量为μ的粒子的能级为C A.πμ22222 n a , B.πμ22224 n a , C.πμ22228 n a , D.πμ222216 n a .29. 在一维无限深势阱U x x b x b (),/,/=<∞≥⎧⎨⎩022中运动的质量为μ的粒子的能级为AA.πμ22222 n b ,B.πμ2222 n b , C.πμ22224 n b , D.πμ22228 n b .30. 在一维无限深势阱U x x a x a(),,=<∞≥⎧⎨⎩0中运动的质量为μ的粒子处于基态，其位置几率分布最大处是A.x =0,B.x a =,C.x a =-,D.x a =2.31. 在一维无限深势阱U x x a x a(),,=<∞≥⎧⎨⎩0中运动的质量为μ的粒子处于第一激发态，其位置几率分布最大处是A.x a =±/2,B.x a =±,C.x =0,D.4/a x ±=. 32.在一维无限深势阱中运动的粒子，其体系的A.能量是量子化的，而动量是连续变化的.B.能量和动量都是量子化的.C.能量和动量都是连续变化的.D.能量连续变化而动量是量子化的. 33.线性谐振子的能级为CA.(/),(,,,...)n n +=12123 ω. B.(),(,,,....)n n +=1012 ω. C.(/),(,,,...)n n +=12012ω. D.(),(,,,...)n n +=1123 ω. 34.线性谐振子的第一激发态的波函数为ψαα()exp()x N x x=-122122,其位置几率分布最大处为A.x =0.B.x =±μω. C.x =μω. D.x =±μω.35.线性谐振子的A.能量是量子化的,而动量是连续变化的.B.能量和动量都是量子化的.C.能量和动量都是连续变化的.D.能量连续变化而动量是量子化的. 36.线性谐振子的能量本征方程是AA.[]-+= 222222212μμωψψd dx x E .B.[]--= 22222212μμωψψd dx x E .C.[] 22222212μμωψψd dx x E -=-.D.[] 222222212μμωψψd dx x E +=-.37.氢原子的能级为DA.- 2222e n s μ.B.-μ22222e n s .C.242n e s μ -. D. -μe n s 4222 .38.在极坐标系下,氢原子体系在不同球壳找到电子的几率为DA.r r R nl )(2. B.22)(r r R nl . C.rdr r R nl )(2. D.dr r r R nl 22)(. 39. 在极坐标系下,氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为A.),(ϕθlmY . B. 2),(ϕθlm Y . C. Ωd Y lm ),(ϕθ. D. Ωd Y lm 2),(ϕθ.40.波函数ψ和φ是平方可积函数,则力学量算符 F 为厄密算符的定义是CA.ψφτφψτ*** F d F d =⎰⎰. B.ψφτφψτ** ( )F d F d =⎰⎰.C.( ) **F d F d ψφτψφτ=⎰⎰. D.***F d F d ψφτψφτ=⎰⎰.41.F 和G 是厄密算符,则A. FG 必为厄密算符.B.FG GF -必为厄密算符. C.i FG GF ()+必为厄密算符.D. i FG GF ( )-必为厄密算符.42.已知算符 xx =和 pi x x =- ∂∂,则AA. x和 p x 都是厄密算符. B. xp x 必是厄密算符. C. xp p x x x +必是厄密算符. D. xpp x x x -必是厄密算符. 43.自由粒子的运动用平面波描写,则其能量的简并度为 A.1. B. 2. C. 3. D. 4.44.二维自由粒子波函数的归一化常数为(归到δ函数)A.1212/()/π . B.12/()π . C.1232/()/π . D.122/()π45.角动量Z 分量的归一化本征函数为C A.12πϕ exp()im . B.)exp(21r k i⋅π. C.12πϕexp()im . D.)exp(21r k i⋅π.46.波函数)exp()(cos )1(),(ϕθϕθim P N Y ml lm m lm -= A. 是 L 2的本征函数,不是L z 的本征函数. B.不是 L 2的本征函数,是L z 的本征函数. C 是 L 2、L z 的共同本征函数. D. 即不是 L 2的本征函数,也不是L z 的本征函数. 47.若不考虑电子的自旋,氢原子能级n=3的简并度为 A. 3. B. 6. C. 9. D. 12. 48.氢原子能级的特点是A.相邻两能级间距随量子数的增大而增大.B.能级的绝对值随量子数的增大而增大.C.能级随量子数的增大而减小.D.相邻两能级间距随量子数的增大而减小.49一粒子在中心力场中运动,其能级的简并度为n 2,这种性质是A. 库仑场特有的.B.中心力场特有的.C.奏力场特有的.D.普遍具有的.50.对于氢原子体系,其径向几率分布函数为W r dr R r dr 323222()=,则其几率分布最大处对应于Bohr 原子模型中的圆轨道半径是 A.a 0. B. 40a . C. 90a . D. 160a .51.设体系处于ψ=--123231102111R Y R Y 状态,则该体系的能量取值及取值几率分别为A.E E 321434,;,. B.E E 321232,;,-. C.E E 321232,;,. D.E E 323414,;,. 52.接51题,该体系的角动量的取值及相应几率分别为A.21 ,.B. ,1.C.212,. D.212,.53. 接51题,该体系的角动量Z 分量的取值及相应几率分别为A.01434,;,- . B. 01434,;, . C.01232,;, -. D. 01232,;,--. 54. 接51题,该体系的角动量Z 分量的平均值为A.14 .B. -14 .C. 34 .D. -34 .55. 接51题,该体系的能量的平均值为A.-μe s 4218 .B.-3128842μe s .C.-2925642μe s . D.-177242μe s . 56.体系处于ψ=C kx cos 状态,则体系的动量取值为 A. k k ,-. B. k . C. - k . D. 12 k.57.接上题,体系的动量取值几率分别为A. 1,0.B. 1/2,1/2.C. 1/4,3/4/ .D. 1/3,2/3.58.接56题, 体系的动量平均值为A.0.B. k .C. - k .D. 12 k.59.一振子处于ψψψ=+c c 1133态中,则该振子能量取值分别为A.3252 ωω,.B. 1252 ωω,.C. 3272 ωω,.D. 1252 ωω,.60.接上题,该振子的能量取值E E 13,的几率分别为A.2321,c c . B.232121c c c +,232123c c c +. C.23211c c c +,23213c c c +. D.31,c c .61.接59题,该振子的能量平均值为A. ω232123215321c c c c ++. B. 5 ω. C. 92 ω. D.ω232123217321c c c c ++.62.对易关系[ ,()]p f x x 等于(f x ()为x 的任意函数)A.i f x '().B.i f x ().C.-i f x '().D.-i f x (). 63. 对易关系[ ,exp()]piy y 等于A.)exp(iy .B. i iy exp().C.- exp()iy .D.-i iy exp(). 64.对易关系[,]x p x 等于A.i .B. -i .C. .D. - . 65. 对易关系[,]L y x 等于A.i z. B. z . C.-i z . D.- z . 66. 对易关系[, ]L zy 等于A.-i x. B. i x . C. x . D.- x . 67. 对易关系[,]L z z 等于A.i x. B. i y. C. i . D. 0. 68. 对易关系[, ]x py 等于A. .B. 0.C. i .D. - . 69. 对易关系[ , ]pp y z 等于A.0.B. i x. C. i p x . D.p x . 70. 对易关系[ ,]L L x z 等于 A.i L y. B.-i L y. C. L y . D.- L y .71. 对易关系[ , ]L L z y等于A.i L x. B.-i L x. C.L x . D. -L x .72. 对易关系[ , ]L L x 2等于 A. L x . B. i L x . C.i L L z y ( )+. D. 0.73. 对易关系[ , ]L L z 2等于 A. L z . B. i L z . C.i L L x y ( )+. D. 0. 74. 对易关系[, ]L px y 等于A.i L z .B. -i L z .C. i p z .D. -i p z .75. 对易关系[,]p L z x 等于 A.-i py . B.i py . C.-i L y. D.i L y.76. 对易关系[ , ]L p zy 等于A.-i px . B. i p x . C. -i L x. D. i L x. 77.对易式[ , ]L x y 等于A.0.B. -i z. C. i z . D. 1. 78. 对易式[ , ]F F m n 等于(m,n 为任意正整数)A. Fm n +. B. F m n -. C. 0. D. F .79.对易式[ ,]F G 等于A. FG. B.GF . C. FG GF -. D.FG GF +. 80. .对易式[,]F c 等于(c 为任意常数)A.cF. B. 0. C. c . D. F ˆ. 81.算符 F 和G 的对易关系为[ , ]F G ik =,则 F 、G 的测不准关系是A.( )( )∆∆F G k 2224≥. B. ( )( )∆∆FG k 2224≥. C.( )( )∆∆F G k 2224≥. D. ( )( )∆∆F G k 2224≥. 82.已知[ , ]x p i x = ,则 x和 p x 的测不准关系是 A.( )( )∆∆x p x 222≥ . B. ( )( )∆∆x p 2224≥ . C. ( )( )∆∆x p x 222≥ . D.( )( )∆∆xp x 2224≥ . 83. 算符L x和L y 的对易关系为[ , ] L L i L x y z= ,则Lx、L y 的测不准关系是A.( )( ) ∆∆L L L x yz 22224≥ . B.( )( ) ∆∆L L L x y 22224≥ . C.( )( ) ∆∆FG L z 22224≥ . D.( )( ) ∆∆F G L 22224≥ . 84.电子在库仑场中运动的能量本征方程是A.[]-∇+=2222μψψzerEs. B.[]-∇+=22222μψψzerEs.C.[]-∇-=2222μψψzerEs. D.[]-∇-=22222μψψzerEs.85.类氢原子体系的能量是量子化的,其能量表达式为A.-μz ens22222 . B.-μ224222z ens. C.-μzens2222 . D.-μz ens24222 .86. 在一维无限深势阱U xx ax x a(),,,=<<∞≤≥⎧⎨⎩00中运动的质量μ为的粒子,其状态为ψππ=42a axaxsin cos,则在此态中体系能量的可测值为A.22222229,2aaμπμπ, B.πμπμ2222222a a,, C.323222222πμπμa a,,D.524222222πμπμa a,.87.接上题,能量可测值E1、E3出现的几率分别为A.1/4,3/4.B. 3/4,1/4.C.1/2, 1/2.D. 0,1.88.接86题,能量的平均值为A.52222πμa, B.2222πμa, C.72222πμa, D.5222πμa.89.若一算符 F的逆算符存在,则[ , ]F F-1等于A. 1.B. 0.C. -1.D. 2.90.如果力学量算符 F和G满足对易关系[ , ]F G=0, 则A. F和G一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表的力学量可同时具有确定值.B. F和G一定存在共同本征函数,且在它们的本征态中它们所代表的力学量可同时具有确定值.C. F和G不一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表的力学量不可能同时具有确定值.D. F和G不一定存在共同本征函数,但总有那样态存在使得它们所代表的力学量可同时具有确定值.91.一维自由粒子的能量本征值A. 可取一切实数值.B.只能取不为负的一切实数.C.可取一切实数,但不能等于零.D.只能取不为正的实数.92.对易关系式[ , ()]p p f xx x2等于A.-i p f xx'()2. B.i p f xx'()2. C.-i p f xx()2. D.i p f xx()2.93.定义算符yx L i L L ˆˆˆ±=±, 则[ ,]L L +-等于A.z L ˆ .B.2L z . C.-2 L z . D.z L ˆ-. 94.接上题, 则[ ,]L L z +等于A. L +.B. L z .C. -+ L .D. -L z . 95. 接93题, 则[ ,]L L z -等于A. L -.B. L z .C. -- L .D. -L z .96.氢原子的能量本征函数ψθϕθϕnlm nl lm r R r Y (,,)()(,)=A.只是体系能量算符、角动量平方算符的本征函数,不是角动量Z 分量算符的本征函数.B.只是体系能量算符、角动量Z 分量算符的本征函数,不是角动量平方算符的本征函数.C.只是体系能量算符的本征函数,不是角动量平方算符、角动量Z 分量算符的本征函数.D.是体系能量算符、角动量平方算符、角动量Z 分量算符的共同本征函数. 97.体系处于ψ=+c Y c Y 111210态中,则ψA.是体系角动量平方算符、角动量Z 分量算符的共同本征函数.B.是体系角动量平方算符的本征函数,不是角动量Z 分量算符的本征函数.C.不是体系角动量平方算符的本征函数,是角动量Z 分量算符的本征函数.D.即不是体系角动量平方算符的本征函数,也不是角动量Z 分量算符的本征函数. 98.对易关系式[ ,]FG H 等于A.[ , ] [ ,]F H G F G H +. B. [ , ] F H G C. [ , ]F G H . D. [ , ] [ ,]F H G F G H -. 99.动量为p '的自由粒子的波函数在坐标表象中的表示是)'exp(21)('x p ix P πψ=,它在动量表象中的表示是A.δ(')p p -.B.δ(')p p +.C.δ()p .D.δ(')p .100.力学量算符 x对应于本征值为x '的本征函数在坐标表象中的表示是 A.δ(')x x -. B.δ(')x x +. C.δ()x . D.δ(')x .101.一粒子在一维无限深势阱中运动的状态为)(22)(22)(21x x x ψψψ-=,其中ψ1()x 、ψ2()x 是其能量本征函数,则ψ()x 在能量表象中的表示是BA.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 02/22/2.B.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛- 02/22/2.C.222200//⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪.D.222200//-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪.102.线性谐振子的能量本征函数ψ1()x 在能量表象中的表示是BA.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1. B.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1. C.1⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪. D.1⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪.103. 线性谐振子的能量本征函数)()(1xbxaψψψ+=在能量表象中的表示是A.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++//2222babbaa. B.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++//2222babbaa. C.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ba. D.ab⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪.104.在( ,L Lz2)的共同表象中,波函数φ=⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪2211,在该态中Lz的平均值为A.. B. - . C. 2 . D. 0.105.算符 Q只有分立的本征值{}Qn,对应的本征函数是{()}u xn,则算符(,)F xi x∂∂在 Q表象中的矩阵元的表示是BA.F u x F xi xu x dxmn n m=⎰*()(,)()∂∂. B.F u x F xi xu x dxmn m n=⎰*()(,)()∂∂.C.F u x F xi xu x dxmn n m=⎰()(,)()*∂∂. D.F u x F xi xu x dxmn m n=⎰()(,)()*∂∂.106.力学量算符在自身表象中的矩阵表示是A.以本征值为对角元素的对角方阵. B一个上三角方阵. C.一个下三角方阵.D.一个主对角线上的元素等于零的方阵.107.力学量算符xˆ在动量表象中的微分形式是A.-ipx∂∂. B.ipx∂∂. C.-ipx2∂∂. D.ipx2∂∂.108.线性谐振子的哈密顿算符在动量表象中的微分形式是A.pp22222212μμω∂∂+. B.pp2222212μμω∂∂-. C.22222212pp∂∂μωμ-.D.--pp2222212μμω∂∂.109.在 Q表象中F=⎛⎝⎫⎭⎪0110,其本征值是A. ±1.B. 0.C. ±i.D. 1±i. 110.接上题, F的归一化本征态分别为A.22112211⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,.B. 1111⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,.C. 12111211⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,.D.22102201⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪,. 111.幺正矩阵的定义式为 A.SS +-=. B.S S +=*. C.S S =-. D.S S *=-.112.幺正变换A.不改变算符的本征值,但可改变其本征矢.B.不改变算符的本征值,也不改变其本征矢.C.改变算符的本征值,但不改变其本征矢.D.即改变算符的本征值,也改变其本征矢.113.算符()( )/axip=+μωμω212,则对易关系式[ , ]a a +等于 A. [ , ]a a +=0. B. [ , ]a a +=1. C. [ , ]a a +=-1. D.[ , ]a a i +=. 114.非简并定态微扰理论中第n 个能级的表达式是(考虑二级近似)A.E H H E E nnn mn nmm()()()''0200++-∑. B.E H H E E nnn mn nmm()()()'''0200++-∑.C.E H H E E nnn mn mnm()()()'''0200++-∑. D.E H H E E nnn mn mnm()()()''0200++-∑.115. 非简并定态微扰理论中第n 个能级的一级修正项为 A.H mn '. B.H nn '. C.-H nn '. D.H nm '.116. 非简并定态微扰理论中第n 个能级的二级修正项为A.H EE mnnmm'()()200-∑. B.''()()H EE mnnmm200-∑. C.''()()H EE mnmnm200-∑. D.H EE mnmnm'()()200-∑.117. 非简并定态微扰理论中第n 个波函数一级修正项为A.H EE mnnm mm '()()()000-∑ψ. B.''()()()H E E mn nmm m000-∑ψ.C.''()()()H E E mnm nm m000-∑ψ. D.H EE mnmnm m'()()()000-∑ψ.118.沿x 方向加一均匀外电场ε,带电为q 且质量为μ的线性谐振子的哈密顿为A. H d dx x q x =-++ 22222212μμωε. B. H d dx x q x =-++ 2222212μμωε.C. H d dx x q x =-+- 2222212μμωε. D. H d dx x q x =-+- 22222212μμωε.119.非简并定态微扰理论的适用条件是A.H E E mkkm'()()001-<<. B.H E E mk km'()()001+<<. C.H mk '<<1. D.E E k m()()001-<<.120.转动惯量为I ，电偶极矩为 D 的空间转子处于均匀电场ε中,则该体系的哈密顿为A.ε ⋅+=D I L H 2ˆˆ2.B. ε ⋅+-=D I L H 2ˆˆ2.C. ε⋅-=D I L H 2ˆˆ2. D. ε ⋅--=D I L H2ˆˆ2.121.非简并定态微扰理论中,波函数的一级近似公式为A.ψψψn n nm nm mm H E E =+-∑()()()()''0000. B.ψψψn n mn nm mm H E E =+-∑()()()()''0000.C.ψψψn nmn mnmm H E E =+-∑()()()()''0000. D.ψψψn nnm mnmm H E E =+-∑()()()()''0000.122.氢原子的一级斯塔克效应中,对于n =2的能级由原来的一个能级分裂为 A. 五个子能级. B. 四个子能级. C. 三个子能级. D. 两个子能级. 123.一体系在微扰作用下,由初态Φk 跃迁到终态Φm 的几率为A.202' )'exp('1⎰tmk mkdt t i H ω . B.2' )'exp('⎰tmk mkdt t i H ω.C.22')' exp(1⎰tmk mkdt t i Hω . D.2' )'exp(⎰tmk mkdt t i Hω.124.用变分法求量子体系的基态能量的关键是A. 写出体系的哈密顿. B 选取合理的尝试波函数.C 计算体系的哈密顿的平均值.D 体系哈密顿的平均值对变分参数求变分. 125.Stern-Gerlach 实验证实了A. 电子具有波动性.B.光具有波动性.C. 原子的能级是分立的.D. 电子具有自旋.126. S 为自旋角动量算符,则[ , ]S S y x 等于 A.2i . B. i . C. 0 .D. -i S z.127. σ为Pauli 算符,则[ , ]σσx z 等于A.-i y σ. B.i y σ. C.2i y σ. D.-2i y σ.128.单电子的自旋角动量平方算符 S 2的本征值为A.142 .B.342 .C.322 .D.122 .129.单电子的Pauli 算符平方的本征值为 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 130.Pauli 算符的三个分量之积等于 A. 0. B. 1. C. i . D. 2i .131.电子自旋角动量的x 分量算符在S z 表象中矩阵表示为A. Sx=⎛⎝⎫⎭⎪21001. B.S iix=-⎛⎝⎫⎭⎪2. C.Sx=⎛⎝⎫⎭⎪20110. D.Sx=-⎛⎝⎫⎭⎪21001.132. 电子自旋角动量的y分量算符在 Sz表象中矩阵表示为A. Sy=⎛⎝⎫⎭⎪21001. B.S iy=-⎛⎝⎫⎭⎪20110. C.S i iiy=-⎛⎝⎫⎭⎪2. D.S iiy=⎛⎝⎫⎭⎪2.133. 电子自旋角动量的z分量算符在 Sz表象中矩阵表示为A. Sz=⎛⎝⎫⎭⎪21001. B.Sz=-⎛⎝⎫⎭⎪20110. C.Sz=-⎛⎝⎫⎭⎪21001. D.S iz=-⎛⎝⎫⎭⎪21001.134.,J J12是角动量算符,J J J=+12,则[,]J J212等于A.J1. B.-J1. C. 1 . D. 0 .135.接上题, [,]J Jz12等于A. i J Jx y( )11+. B.i Jz1. C.Jz1. D. 0.136.接134题,]ˆ,ˆ[12zJJ等于A. i J Jx y( )11+. B.i Jz1. C.Jz1. D. 0.137.一电子处于自旋态χχχ=+-a sb sz z1212//()()中,则sz的可测值分别为A.0, .B. 0,- .C.22,. D.22,-.138.接上题,测得sz为22,-的几率分别是A.a b,.B. a b22,. C.a b2222/,/. D.a ab b a b222222/(),/()++.139.接137题,sz的平均值为A.0.B.)(222ba-. C.)22/()(2222baba+-. D..140.在sz表象中,χ=⎛⎝⎫⎭⎪3212//,则在该态中sz的可测值分别为A.,-. B./,2. C./,/22-. D.,/-2.141.接上题,测量sz的值为/,/22-的几率分别为A.3212/,/. B.1/2,1/2. C.3/4,1/4. D.1/4, 3/4.142.接140题,sz的平均值为A./2. B. /4. C.- /4. D.- /2.143.下列有关全同粒子体系论述正确的是A.氢原子中的电子与金属中的电子组成的体系是全同粒子体系.B.氢原子中的电子、质子、中子组成的体系是全同粒子体系.C.光子和电子组成的体系是全同粒子体系.粒子和电子组成的体系是全同粒子体系.D.144.全同粒子体系中,其哈密顿具有交换对称性,其体系的波函数A.是对称的.B.是反对称的.C.具有确定的对称性.D.不具有对称性.p态和d态的两个电子,它们的总角动量的量子数的取值是145.分别处于A. 0,1,2,3,4.B.1,2,3,4.C. 0,1,2,3.D.1,2,3.146. 下列各物体哪个是绝对黑体 (B)(A)不辐射任何光线的物体 (B)不能反射任何光线的物体 (C)不能反射可见光的物体(D)不辐射可见光的物体147. 金属的光电效应的红限依赖于:(C )(A)入射光的频率 (B)入射光的强度 (C)金属的逸出功 (D)入射光的频率和金属的逸出功148. 关于不确定(测不准)关系有以下几种理解:(1) 粒子的动量不可能确定 (2) 粒子的坐标不可能确定(3) 粒子的动量和坐标不可能同时确定 (4) 不确定关系不仅适用于电子和光子,也适用于其它粒子.其中正确的是:( )(A) (1),(2) (B) (2),(4) (C) (3),(4) (D) (4),(1)149. 完全描述微观粒子运动状态的是:( )(A) 薛定谔方程 (B)测不准关系 (C)波函数 (D) 能量150. 完全描述微观粒子运动状态变化规律的是:( )(A)波函数 (B) 测不准关系 (C) 薛定谔方程 (D) 能级151,卢瑟福粒子实验证实了[ ];斯特恩-盖拉赫实验证实了[ ];康普顿效应证实了[ ];戴维逊-革末实验证实了[ ].(A)光的量子性. (B) 玻尔的能级量子化假设. (C)X射线的存在. (D)电子的波动性(E)原子的有核模型. (F) 原子的自旋磁矩取向量子化.152. 关于光电效应有下列说法:(1)任何波长的可见光照射到任何金属表面都能产生光电效应;(2)若入射光的频率均大于一给定金属红限,则该金属分别受到不同频率,强度相等的光照射时,释出的光电子的最大初动能也不同;(3)若入射光的频率均大于一给定金属红限,则该金属分别受到不同频率,强度相等的光照射时,单位时间释出的光电子数一定相等;(4)若入射光的频率均大于一给定金属的红限,则当入射光频率不变而强度增大一倍时,该金属的饱和光电流也增大一倍. 其中正确的是:( )(A) (1),(2),(3) (B) (2),(3),(4) (C) (2),(3) (D) (2),(4) 153. 已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19eV,若氢原子从能量为-0.85eV的状态跃迁到上述定态时,所发射的光子的能量为:( )(A)2.56eV (B)3.41eV (C) 4.25eV (D) 9.95eV154. 若光子与电子的波长相等,则它们:( )(A)动量及总能量均相等 (B) 动量及总能量均不相等 (C)动量相等,总能量不相等(D)动量不相等,总能量相等155．量子力学能够正确地描述______的运动规律( )A.宏观物体B.微观粒子C.高速运动D.低速运动156、下列选项中不属于波函数标准条件的是（ ） A 连续性； B 有限性； C 周期性；D 单值性。
3(运动方程的建立)
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第2章 运动方程的建立
2.5.2 Lagrange方程法
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例 如图所示一复合摆，摆的杆长分别为l1和l2，摆的质量 分别为 m1 和 m2 ，忽略杆的分布质量，建立体系无阻尼 自由运动方程，并讨论。 广义坐标q1和q2取为 杆1和杆2的转角。
为方便计算体系的动 能，也给出了直角坐 标系，在直角坐标系 中更容易建立体系的 势能和动能公式。
V j= c j ∆ j
阻尼力
1 + c2 ( u 1 − u 2 ) f D1 = c1u
f D1 fD2
2 − u 1 ) fD2 = c2 ( u
1 u c1 + c2 −c2 = or f D cu −c 2 c2 2 u
m1 0
u
1 0 u f D1 f S1 p1 ( t ) + + = 2 m2 u fD2 fS 2 p2 ( t )
m1 u1 = m 0 u2 0 fD = m2 f D1 = fS fD2 f S1 = p fS 2 p1 p2 Biblioteka （例子见后）8/78
第2章 运动方程的建立
2.4 地基运动的影响
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地基运动问题： 结构的动力反应不是由直接作用到结构 上的动力引起的，而是由于结构基础的运动引起的。
运动学方程的建立与求解
运动学方程的建立与求解英文回答：The equations of motion are a set of equations that describe the motion of an object under the influence of external forces. These equations can be used to predict the object's position, velocity, and acceleration at any given time.The most basic equations of motion are the following:v = u + at.s = ut + 1/2 at^2。
v^2 = u^2 + 2as.where:v is the final velocity of the object.u is the initial velocity of the object.a is the acceleration of the object.t is the time elapsed.s is the distance traveled.These equations can be derived from the definition of acceleration:a = dv/dt.where:a is the acceleration of the object.v is the velocity of the object.t is the time elapsed.By integrating this equation, we can obtain the following equations of motion:v = u + at.s = ut + 1/2 at^2。
v^2 = u^2 + 2as.These equations can be used to solve a wide variety of problems involving the motion of objects. For example, they can be used to:Determine the velocity of an object at a given time.Determine the distance traveled by an object in a given time.Determine the acceleration of an object.The equations of motion are a powerful tool for understanding the motion of objects. They can be used tosolve a wide variety of problems, and they can also be used to develop more complex models of motion.中文回答：运动学方程是一组方程，描述了物体在外部力作用下的运动。
结构动力学(运动方程)
2 ，仅由弹簧的应变能表达的位能为 例：根据定义，体系的动能为 T (1/ 2)mu V (1/ 2)ku 2 ；该体系的非保守力为阻尼力 f D 和外荷载 p(t ) ，这些力所做功的变分 δu ，将以上各式代入哈密尔顿原理表达式，经相应的变分和整理 为 δwnc p(t )δu cu
2.2 运动方程建立举例
cu ) u ( P ( t ) mu
2.2 运动方程建立举例
2.2.1 单自由度体系运动方程 例-4) 试建立图示抗弯刚度为 EI 简支梁 的运动方程。（不计轴向变形） 解：图示结构只能产生竖向位移，显然这是单自由度 对称振动。设质量竖向位移为v，向下为正。 1R 利用对称性由（形常数）可得质量点 处所加支杆单位位移时的R（=？）。以 m为隔离体，加上惯性力fI、阻尼力fd如 f + f I d R R 图所示，根据达朗泊尔原理和阻尼假定 P(t) 因此由所示“外力”平衡可得 显然,整理後结果和例-2) -1 相同， k= m mv v c cv v 2 ku R P(t )
m P( t ) l/2 l/2
fc ) vv P (( tt )) ) 动方程 m 例-3) 试建立图示结构的运动方程。 P(t) h EI 解：由于横梁刚度无穷大，结构只能 产生水平位移。设质量m位移为u，向 u 右为正。根据达朗泊尔原理和假设的 P(t) m u 阻尼力理论，加惯性力和阻尼力后受 力如图。 h cu 显然，整理 由超静定位移计算可得（如图示意） 3 後结果和例 h -1）相同， 24EI 1 h k= -1 因此，外力下位移为 M1
后可得
t2
t1
δu cu δu kuδu p(t )δu]dt 0 [mu
清华大学结构动力学2-1
2.2 运动方程的建立 4. Hamilton原理
可以应用变分法（原理）建立结构体系的运动方程。 体系的平衡位置是体系的稳定位置，在稳定位置，体系 的能量取得极值,一般是极小值。 Hamilton原理是动力学中的变分法（原理）。
2.2 运动方程的建立 4. Hamilton原理(积分形式的动力问题的变分方法)
∫
t2 t1
用 Hamilton 原理推导 Lagrange 方程 对于有 N 个自由度的结构体系，体系的动能和位能分别为:
& & & T = T ( u1 , u 2 , L u N , u1 , u 2 , L u N ) V = V ( u1 , u 2 ,L u N )
(a) (b)
因此动能和位能的变分为：
∫
∫
t2 t1
t2
t1
& & & [ muδu − cuδu − kuδu + p(t )δu]dt = 0
对上式中的第一项进行分部积分
& & & muδudt = ∫ mu(δ
t2 t1 t t t t d d & & & && && u )dt = ∫ mu (δu )dt = ∫ mud (δu ) = muδu tt − ∫ δu ⋅ mudt = − ∫ muδudt t t t t dt dt
结构动力学
（2004秋）
结构动力学
第二章
运动方程的建立
运动方程： 描述结构中力与位移关系的数学表达式 （有时称动力方程） 运动方程是进行结构动力分析的基础 运动方程的建立是结构动力学的重点和难点
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24EIc h3
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6EIc h3
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2.1.5 阻尼力 （Damping Force）
阻尼：引起能量的耗散，
使振幅变小的一种作用。
阻尼的来源(物理机制)：
(1)材料变形时的内摩擦，或材料快速应变引起的热耗散； (2)构件连接部位的摩擦； (3)结构周围外部介质引起的阻尼。例如，空气、流体等。
◆ 牛顿(Newton)第二定律 ◆ D’Alembert原理 ◆ 虚位移原理 ◆ Hamilton原理 ◆ Lagrange方程
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运动方程：
描述结构中力与位移(包括速度和加速度)关系 的数学表达式，有时也称为动力方程。
运动方程是进行结构动力分析的基础 运动方程的建立是结构动力学的重点和难点
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2.1.6 线弹性体系和粘弹性体系
(Linearly Elastic System and Viscous Elastic System) 线弹性体系：由线性弹簧(或线性构件)组成的体系。
—最简单的理想化力学模型。
粘弹性体系：当线弹性系统中进一步考虑阻尼(粘性阻尼) 的影响时的体系。
—结构动力分析中的最基本力学模型。
粘性(滞)阻尼力可表示为：
fD cu
fD
u fD
fD
c 1
u
D — 表示阻尼(Damping)
(a)
c — 阻尼系数(Damping coefficient)
u — 质点的运动速度
(b)
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阻尼系数 c 的确定： 不能像结构刚度k那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸和
材料的力学性质等来获得，因为c是反映了多种耗能因 素综合影响的系数，阻尼系数一般是通过结构原型振 动试验的方法得到。 粘性(滞)阻尼理论仅是多种阻尼中最为简单的一种。 其它常用的阻尼： 摩擦阻尼：阻尼力大小与速度大小无关，一般为常数； 滞变阻尼：阻尼力大小与位移成正比(相位与速度相同)； 流体阻尼：阻尼力与质点速度的平方成正比。
动力自由度：决定结构体系质量位置所需的独立参数 称为结构的动力自由度。
动力自由度的数目：决定结构体系质量位置所需的独 立参数的数目称为结构的动力自由度的数目。
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2.1.2 实位移、可能位移和虚位移
可能位移： 满足所有约束方程的位移称为体系的可能位移。
实位移： 如果位移不仅满足约束方程，而且满足运动方程 和初始条件，则称为体系的实位移。
d 2u d 2t
mu
F(t) mu 0
fI mu
I — 表示惯性(Inertial)； m— 质量(mass)； ü — 质点的加速度。
坐标方向：向右为正
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2.1.4 弹簧的恢复力
（Resisting Force of Spring）
对弹性体系，弹簧的恢复力也被称为弹性恢复力 弹性恢复力：大小等于弹簧刚度与位移(弹簧变形)的乘积
首先通过对简单结构体系(单自由度体系)的讨论介 绍结构动力分析中存在的基本物理量及建立运动方程的 方法，然后介绍更复杂的多自由度体系运动方程的建立。
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单自由度体系： SDOF (Single-Degree-of-Freedom) System 结构的运动状态仅需要一个几何参数即可以确定
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The number of independent displacements required to define the displaced positions of all the masses relative to their original position is called the number of degrees of freedom (DOFs) for dynamic analysis. — A. K. Chopra
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2.1.7 非弹性体系 (Inelastic System)
结构构件的力—变形关系为非线性关系，结构刚度不再为常数。 构件(或弹簧)的恢复力可表示为
fs fs (u ,u)
fs 是位移和速度的 非线性函数。
非弹性体系中结构构件的力与位移关系
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第2章 运动方程的建立
2.2 运动方程的建立
方向指向体系的平衡位置。
fs ku
fs
k
1
a
d
-u0
O
b
u u0
fs k
1
u
s— 表示弹簧(Spring) c
(a)
k— 弹簧的刚度(Spring Stiffness)
u— 质点位移
(b)
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单层框架结构的水平刚度
k
24EIc h3
6 1 6 4
;
h(EIb ) / L(EIc )
h—框架结构的高度 L—梁的长度 E—弹性模量 Ib和Ic—梁和柱的截面惯性矩
虚位移： 在某一固定时刻，体系在约束许可的情况下可能 产生的任意组微小位移，称为体系的虚位移。
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2.1.3 惯性力（Inertial Force）
惯性：保持物体运动状态的能力。
惯性力：大小等于物体的质量与加速度的乘积?!，
方向与加速度的方向相反。
F
(t)
d dt
m
du dt
F (t )
m
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2.1.1 广义坐标与动力自由度
广义坐标：能决定质点系几何位置的彼此独立的量称为 该质点系的广义坐标。 广义坐标可以取长度量纲的量，也可以用角度甚 至面积和体积来表示。
静力自由度的概念：确定结构体系在空间中位置所需的 独立参数的数目称为结构的自由度。
动力自由度的定义：结构体系在任意瞬时的一切可能的 变形中，决定全部质量位置所需的独立参数的数目称 为结构的动力自由度(数)。
The number of displacement components which must be considered in order to represent the effects of all significant inertial forces of a structure may be termed the number of dynamic degrees of freedom of the structure. — R. Clough
结构动力学
教师：王君杰 助教：宋彦臣
同济大学 土木工程学院桥梁工程系 2014年秋
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结构动力学 第2章
运动方程
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第2章 运动方程的建立
2.1 基本概念
● 广义坐标与动力自由度 ★ 实位移、可能位移和虚位移 ★ 广义力 ● 惯性力 ● 恢复力 ● 阻尼力 ● 线弹性体系和粘弹性体系 ● 非弹性体系