山西省2013专升本 高等代数 证明题
高等代数专升本辅导材料
高等代数专升本辅导材料一、填空题1． 多项式可整除任意多项式。
2．若242(1)1x ax bx -∣++，则a = ，b = 。
3、设f(x)=x 4+3x 2-kx+2用x-1除余数为3，则k= 。
4、若n 元齐次线性方程组AX=0满足r(A)= r ，则AX=0的基础解系中有 _____________个解向量。
5、若矩阵运算A+BC-X=2E ，则X= 。
6、设A==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1,003020100A 则7、在行列式1314021b a -中, b 的代数余子式为-24, 则a =________．8. 当矩阵A=______时, 秩A=0.9、(1) 二次型()2234,y xy x y x f +-=的矩阵=A 。
(2) 323121321),,(x x x x x x x x x f -+=的矩阵为 。
(3) 244323322241312143217865423),,,(x x x x x x x x x x x x x x x x f -++--+-= 的矩阵 。
(4) 244323222121432142),,,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=的矩阵 。
(5)()()n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x f 12321312121222222),(-++++++++= 的矩阵 。
二、判断题 1、设12n ααα是n P 中n 个向量，若n P β∀∈，有12,n αααβ线性相关，则12n ααα线性相关。
（ ）2、若向量组的秩为r ，则其中任意r 个向量都线性无关。
（ ）3、若向量组的秩为r ，则其中任意r+1个向量都线性相关。
（ ）4、若两个向量组等价，则它们含有相同个数的向量。
（ ）5、当a 1=a 2=…a r =0时，有a 1α1+a 2α2+…+a r αr =0, 那么α1,α2,…,αr 线性无关。
山西数学文精校版-2013普通高等学校招生统一考试
绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题共12小题。
每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x |x =n 2，n ∈A｝，则A∩B=（） （A ）｛1，4｝ （B ）｛2，3｝ （C ）{9，16} （D ）｛1，2} （2）1＋2i (1－i)2＝ （）（A ）－1－12i （B ）－1＋12i （C ）1＋12i （D ）1－12i（3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）（A ）12 （B ）13（C ）14 （D ）16（4）已知双曲线C:x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）的离心率为52，则C 的渐近线方程为（）（A ）y =±14x （B ）y =±13x （C ）y =±12x （D ）y =±x（5）已知命题p ：∀x ∈R,2x ＞＜3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3=1－x 2，则下列命题中为真命题的是（）（A ） p∧q （B ）￢p∧q （C ）p∧￢q （D ）￢p∧￢q （6）设首项为1，公比为23 的等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，则（）（A ）S n =2a n －1 （B ）S n =3a n －2 （C ）S n =4－3a n （D ）S n =3－2a n （7）执行右面的程序框图，如果输入的 t ∈[－1，3]，则输出的s 属于（）（A ）[－3,4] （B ）[－5,2] （C ）[－4,3] （D ）[－2,5]（8）O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y ²=42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|=42，则△POF 的面积为（）（A ）2 （B ）2 2 （C ）2 3 （D ）4（9）函数f （x ）=（1－cos x ）sin x 在[－π，π]的图像大致为（）（A ） （B ） （C ） （D ）（10）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23cos²A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（）（A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5 （11）某几何体的三视图如图所示，则该几何的体积为（） （A ）16+8π （B ）8+8π （C ）16+16π （D ）8+16π（12）已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x x ≤0ln(x ＋1) x ＞0，若| f （x ）|≥ax ，则a 的取值范围是（）（A ）（－∞，0] （B ）（－∞，1] （C ）[－2，1] （D ）[－2，0]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
山西省2013专升本 高等代数 证明题
山西省2013专升本高等代数证明题高等代数作为数学领域的重要分支，对于专升本的考生来说是具有一定挑战性的。
在 2013 年山西省专升本考试中，高等代数的证明题更是对考生的知识掌握和逻辑思维能力进行了深入的考查。
高等代数中的证明题通常需要考生对基本概念、定理和性质有深刻的理解，并能够熟练运用各种数学方法和技巧进行推理和论证。
在面对这些证明题时，考生首先要有清晰的思路，明确题目所涉及的知识点和需要证明的结论。
比如说，有这样一道证明题：证明若一个 n 阶矩阵 A 满足 A²＝ A ，则 A 可对角化。
这道题就需要我们从矩阵可对角化的定义和性质出发进行思考。
我们知道，一个矩阵可对角化的充要条件是它有 n 个线性无关的特征向量。
那么对于 A²＝ A 这个条件，我们可以先考虑它的特征值。
设λ 是A 的特征值，x 是对应的特征向量，那么有 Ax ＝λx 。
将 A²＝ A 两边同时乘以 x ，得到 A²x ＝ Ax ，即λ²x ＝λx ，从而得到λ² λ ＝ 0 ，解得λ ＝ 0 或λ ＝ 1 。
接下来，我们要证明 A 有 n 个线性无关的特征向量。
因为 A²＝ A ，所以 A(A E) ＝ 0 ，其中 E 是单位矩阵。
这意味着矩阵 A E 的列向量都是方程 Ax ＝ 0 的解。
又因为秩(A) ＋秩(A E) ＝ n ，所以矩阵 A E 的零空间的维数等于n 秩(A E) ，也就是矩阵 A 属于特征值 1 的线性无关的特征向量的个数。
同理，矩阵 A 属于特征值 0 的线性无关的特征向量的个数为 n 秩(A) 。
而秩(A) ＋秩(A E) ＝ n ，所以属于特征值 0 和 1 的线性无关的特征向量的个数之和为 n ，即 A 可对角化。
再看另一道证明题：设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间，σ 是 V 上的线性变换，证明σ 可逆当且仅当σ 是双射。
高等代数(专升本)
高等代数(专升本)单选题1. 设多项式，则该多项式的阶数为_____(10分)(A) 5；(B) 2；(C) 3；(D) 1标准答案是：A2. 下列结论正确的是_____(10分)(A) n次多项式必有n个实根；(B) 整系数多项式的根都是整数；(C) 多项式与互素的充要条件是没有重因式(D) 5次多项式必有5个复根。
标准答案是：C3. 多项式_____(10分)(A) 有重因式；(B) 没有复根；(C) 是不可约的；(D) 是本原的。
标准答案是：D4. 对任意实数，必有实根的多项式是_____。
(10分)(A) (B) (C) (D)标准答案是：A5. 排列的逆序数是_____(10分)(A) (B) (C) (D)标准答案是：B6. 行列式的数值为_____。
(10分)(A) 0；(B) 6；(C) 24；(D) -24.标准答案是：C7. 行列式的数值为_____(10分)(A) 0；(B) 6；(C) 24；(D) -24.标准答案是：C8. 行列式的数值为_____(10分)(A) 0；(B) 6；(C) 24；(D) -24.标准答案是：C9. 两个多项式，互素的充分必要条件是。
(10分)(A) (B) (C) (D)标准答案是：B10. 线性方程组的解为_______。
(10分)(A) (B) (C) (D)标准答案是：D单选题1. 线性方程组有解的充要条件是_____(10分)(A) 向量可由的行向量组线性表示(B) 向量可由的列向量组线性表示(C) 矩阵的行向量组线性无关(D) 矩阵的行列式不为零标准答案是：B2. 下列论断不正确的是_____(10分)(A) 线性方程组的任意两个解之和仍为其解(B) 线性方程组的任意两个解之差仍为其解(C) 线性方程组的任意两个解之差仍为的解(D) 线性方程组的任意两个解之和仍为其解标准答案是：D3. 设，均为阶可逆矩阵，则仍为可逆矩阵的是_____(10分)(A) (B) (C) (D)标准答案是：B4. 若均为对称矩阵，则有_____(10分)(A) 可逆；(B) 正交；(C) 对称；(D) 奇异标准答案是：C5. 设为阶方阵，则_______(10分)(A) (B) (C) ；(D) 。
2013年10月自考线性代数真题及答案
全国2013年10月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184一、单项选择题(本大题共5小题，每小题1分，共5分) 1．设行列式1122a b a b =1，1122a c a c =-2，则111222a b c a b c ++=（ ） A ．-3 B ．-1 C ．1 D ．3 2．设矩阵A =10010021003⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则A -1=（ ） A ．001020300⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ B ．100020003⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ C ．300020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ D ．003020100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3．设A 为m ×n 矩阵，A 的秩为r ，则（ ） A ．r =m 时，Ax =0必有非零解 B ．r =n 时，Ax =0必有非零解 C ．r<m 时，Ax =0必有非零解D ．r<n 时，Ax =0必有非零解4．设4阶矩阵A 的元素均为3，则r(A )=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．设1为3阶实对称矩阵A 的2重特征值，则A 的属于1的线性无关的特征向量个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）6．设A 为2阶矩阵，将A 的第1行加到第2行得到B ，若B =1234⎛⎫ ⎪⎝⎭，则A =__________．7．设A 为3阶矩阵，且|A |=2，则|2A |=__________．8．若向量组12(2,1,),(4,,4),T T a a ==αα线性无关，则数a 的取值必满足__________． 9．设向量T T (1,0,1),(3,5,1)==αβ，则2-βα=__________． 10．设A =111221223132a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，b =123b b b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，若非齐次线性方程组Ax =b 有解，则增广矩阵A 的行列式A =__________．11．齐次线性方程组x 1+x 2+x 3=0的基础解系中所含解向量的个数为__________． 12．设向量(3,4)T =-α，则α的长度α=__________． 13．已知-2是矩阵A =022x -⎛⎫⎪⎝⎭的特征值，则数x =__________．14．已知矩阵A =122212221⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与对角矩阵D =10001000a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭相似，则数a =__________．15．已知二次型222123123(,,)f x x x x x tx =++正定，则实数t 的取值范围是__________． 三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分） 16．计算行列式D =222222a b c a ab b ac b c c c a b------. 17．已知向量11(1,2,),(1,,),23k ==αβ且3,T T ==A βααβ，求（1）数k 的值； （2）A 10.18．已知矩阵A =123231340⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，B =101200-⎛⎫ ⎪⎝⎭，求矩阵X ，使得XA =B .19．求向量组1234(1,0,2,0),(1,1,2,0),(3,4,4,1),(6,14,6,3)T T T T ==---=--=--αααα的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出.20．已知齐次线性方程组Ax =0的一个基础解系为12231,001ξξ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求r(A )及该齐次线性方程组.21．设向量组123(1,1,1,1),(1,1,0,0),(1,1,2,0)T T T =--==-ααα.求一个非零向量4α，使得4α与123,,ααα均正交.22．用配方法化二次型22123121323(,,)2248f x x x x x x x x x =--+为标准形，并写出所用的可逆性变换.四、证明题（本题7分）23．设A 是m ×n 矩阵，证明齐次线性方程组Ax =0与A T Ax =0同解.全国2013年10月线性代数(经管类)试题答案课程代码：04184一、单项选择题(本大题共5小题，每小题1分，共5分)1-5 BBDAC二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）6．1222⎛⎫ ⎪⎝⎭7．16 8．2a = 9．T(1,5,1)- 10．0 11．2 12．5 13．-4 14．5 15．(0,)+∞三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16．解：311111122002200a b c b b a c b a b c a b c a b c c c c a b a b c++--=++---=++-----原式=（）（）（）. 17．解：（1）因为1113, 3.3k k =++==T 则βα（2）A 1011231099991122333211(()332(1,,)321331⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T T T T )= αβ αβαβαβ 18.解：（A T ，B T ）= 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 234 0 00-1-2 -2 -40-1-2 -2 -43 10 -1 00 -5-9 -4 -60 0 1 6 14⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1 2 0 -17 -40 1 0 0 3 8 0-1 0 10 24010 -10 -240 0 1 6 140 01 6 14⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则T 3 8 X -10 -24 6 14⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故 3 -10 6X 8 -24 14⎛⎫= ⎪⎝⎭19．解：1234 1 -1 -3 -6 1 -1 -3 -6 1 -1 -3 -6 0 -1 4 14 0 -1 4 14 0 1 -4 -14 (,,,) 2 -2 -4 -6 0 0 2 60 0 1 30 0 1 3 0 0 1 3 ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪αααα=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0 0 0 0 ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1 -1 0 3 1 0 0 1 0 1 0 -2 0 1 0 -2 0 0 1 30 0 1 30 0 0 00 0 0 0⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭向量组的秩为3，一个极大线性无关组为123,,ααα，且412323α=α-α+α. 20．解：易知n =3，且()2,n r A -=则r(A )=1又自由未知量为23,x x ，则0Ax =同解方程组为12323x x x =-+，即123230x x x +-=为所求方程组. 21．解：设41234(,,,)x x x x α=，由于4α与123,,ααα均正交，则123412123002 0x x x x x x x x x --+=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩，系数矩阵 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 0 0 0 2 1 -11 -1 2 00 0 3 -1A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2133111122331113331 -1 0 1 0 0 1 -1 -1 10 1 -0 1 0 -0 1 0 -0 0 1 -0 0 1 -0 0 1 -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭同解方程组为1143124431343,x x x x x x x =-⎧⎪=⎨⎪=⎩为自由未知量一个基础解系为T (1,1,1,3)-，即T 4(1,1,1,3)=-α.22．解：配方法得22212313233(,,)2()2(2)6f x x x x x x x x =---+，令113223332y x x y x x y x =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 即可逆线性变换为1122331 0 -10 1 -20 0 1y x y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故标准行为222123123(,,)226f y y y y y y =-+.四、证明题（本题7分）23．证明：22212120,0,0.0()0,,()0,0(1,2,),0000.T T T T T T T T n n i T A A A A Ax A A A A A A A a a a A A a a a a i n A Ax Ax A Ax =======+++======设则即是的解若，则令（,,,）则=故即=，是的解.综上可知，和同解ξξξηηηηηηηηηη。
高等代数题目
一、多项式习题课例1设与是实数域上的多项式.证明:若则.分析只要证,用反证法.证明由于非零实系数多项式的平方的首项系数是正数,假设不全为零,则,从而在上面这个等式中,左边的次数为偶数,右边的次数为奇数,矛盾.注对于复数域上的多项式来说本题的结论不成立.例如,设则,而与不全为零.例2 证明:如果,，且为与的一个组合，那么是与的一个最大公因式.分析用最大公因式的定义.证明由题设,是与的一个公因式,且有多项式使由上式知与的任一公因式必为的因式,因此, 是与的一个最大公因式.注关于最大公因式的证明常用本题的结论.例3 证明:,(首项系数是1).分析设,根据例2,只要证是与的一个公因式,且为与的一个组合.证明设,则,,且有多项式使得于是,,,且即是与的一个公因式,且为与的一个组合.因而.例4设,且,证明:.分析只要证的公因式与的公因式完全相同.证明因为(1)且,所以(2) 由(1)知的公因式必为的公因式,由(2)知的公因式必为的公因式.故的公因式与的公因式完全相同,从而.例5如果不全为零,证明:.分析只要证有多项式使得证明有多项式使得于是故.例6证明: 如果,,那么.分析由已知条件得到两个等式,利用它们来证.证明 因为,,所以有多项式使得于是即因此.例7 设都是多项式,而且,求证:.分析 根据两个多项式不互素必有不可约公因式这一事实,用反证法来证明.证明 假设,则有不可约多项式使得,故对某个与某个有,,这与,矛盾.注本题是例6的推广,还可以用数学归纳法来证明.例8证明当且仅当分析考虑标准分解式.证明若,则显然.反过来,设,来证.若,则,这时结论成立;若,则,设，其中分别为的首项系数,为互不相同的首项系数是1的不可约多项式,.则，因为,所以,从而,故.例9设是次数的多项式,如果对于任何多项式,由可以推出或,那么是不可约多项式.分析本题要证具有“对于任何多项式,由可以推出或”这种性质的次数的多项式不可约.假设可约,证明存在多项式满足而不能推出或,就导致矛盾.证明假设可约,则存在次数比底的两个多项式使显然,但是既不整除也不整除.矛盾.例10证明: 次数且首项系数为的多项式是一个不可约多项式方幂的充分必要条件是:对任意的多项式必有,或者对某一正整数,.分析证必要性用不可约多项式的性质,证充分性用反证法.证明必要性. 设,其中是不可约多项式, 是正整数,则对任意的多项式必有,或者.因此有,,或者.充分性. 假设不是不可约多项式方幂,则它必有两个不同的首项系数为的不可约因式.取,则,且对任一正整数,不整除.例11 求多项式在复数范围和在实数范围内的因式分解.分析求出在复数范围内的全部根,并确定哪些是实根,哪些是两两共轭的虚根.解在复数范围内的根全部根就是个次单位根，它们是,其中在复数范围内在实数范围内因为,且,,所以,当为奇数时当为偶数时例12 求值使有重根.分析的重根是与的公共根.解.设是的重根,则解出,例13求多项式有重根的条件.分析有重根的条件是.解用去除余式为于是当,即时,有重根.当时,用去除余式为当,即时,有重根.综上可知,有重根的充分必要条件是.例14如果,求.分析是的重根.解因为是的重根,所以是与的公共根,即解出.注此题也可用带余除法或综合除法求解.例15证明:不能有重根.分析若,则无重根.证明设则,无重根.故,从例16如果是的一个重根,证明是的一个重根.分析求,就可以用上已知条件证明,,易见.因为是的一个重根,所以是的重根,从而是的重根,是的重根.例17证明:如果,那么分析用余式定理.证明有多项式使例18 证明:如果,那么,.分析只要证.证明因为,所以的两个根,都是的根,于是,即,以上二式相减得,因此,.例19 设是大于的整数,是次数大于零的多项式,证明:如果,那么的根只能是零或单位根.分析的根必为的根.证明设是的任一非零根,因为,所以也是的根,从而,故是的任意一个根.依次类推可知,都是的根.由于的次数有限,必有使,故,因此是单位根.例20 如果,证明:有重根，其中.分析考虑.证明因为,所以是的最大公因式,因此是次多项式,而是次多项式,故只有一个单根.但是与有完全相同的根,而没有重根，所以是的根,且为重根.例21 设是一个整系数多项式,证明:若,都是奇数,则无整数根.分析用反证法.证明假设有整数根,则其中,是整系数的,于是因为,与之中至少有一个是偶数,所以,与之中至少有一个是偶数.这与与都是奇数矛盾.注本题可推广为:设是一个整系数多项式,若有一个偶数与一个奇数,使与都是奇数,则无整数根.例22 设是数域上的多项式,对任意有,证明存在使.分析在中,令得,故欲证之结论即为.证明令,则,假定,则由此知,一切自然数都是的根,故,从而,其中为常数.二、行列式习题课计算行列式常用以下方法:(ⅰ)三角形法将行列式化为三角形,从而求出它的值.(ⅱ)降阶法选适当的行(列)将行列式展开,化高阶行列式为低阶行列式.(ⅱ)递推法行列式降阶后得递推公式,根据递推公式,求出行列式的值.这些方法不是彼此孤立的,我们应该根据行列式的特点选择计算的方法,并且注意将各种方法结合起来应用.例1 计算行列式.分析将第1行的-1倍加到其余各行,可使行列式中出现较多的零.解将第1行的-1倍加到其余各行.(将第2～列加到第1列)例2 计算行列式.解按第1行展开例3 计算行列式(级).解按第1列展开.例4 计算行列式.解依次将第2～n列加到第1列;第3～n列加到第2列;…最后,将第n列加到第列例5 计算行列式.解依次将第2列的倍,第3列的倍,…,第列的倍,第列的倍都加到第1列,则例6 计算行列式.解按第1列展开得到递推公式,即,类推下去可得于是即,从而.附注一般地,若递推公式可以写成则从而得到与之间的递推关系.例7 计算行列式.解最后一列加到前边各列注意到关于与对称,有若,显然;若,解出.无论哪种情况均有.三、线性方和组习题课例1．单项选择⑴非齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为r，增广矩阵的秩为，则r与的关系为（）。
高等代数综合考试试题
高等代数综合考试试题一、选择题（每题3分，共20题，总分60分）1. 高等代数的基本概念中，下列哪个选项是正确的？A. 定理B. 命题C. 运算D. 推论2. 下列哪个不是线性代数的研究内容？A. 矩阵与行列式B. 向量空间与线性方程组C. 群论与环论D. 特征值与特征向量3. 设A是一个n阶方阵，若有2个不同的正整数p和q使得$A^p = A^q = I$，则矩阵A的阶数n最小可能是：A. 3B. 4C. 5D. 64. 对于线性方程组$AX=B$，若$A^{-1}$存在，则方程组的解为：A. $X=A^{-1}B$B. $X=AB^{-1}$C. $X=A^{-1}AB$D. $X=BA^{-1}B$5. 设矩阵A的特征值为-1和2，特征向量分别为$\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$和$\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$，则矩阵A 的转置$A^T$的特征值和特征向量分别为：A. -1，2 和 $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$，$\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$B. 1，-2 和 $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$，$\begin{bmatrix} -2 \\ -3 \end{bmatrix}$C. -1，2 和 $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$，$\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$D. 1，-2 和 $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$，$\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$6. 设A为n阶矩阵，若A的行列式$|A|=0$，则下列哪个选项是正确的？A. A是可逆矩阵B. A的逆矩阵不存在C. A的秩为n-1D. A的行向量线性相关...二、填空题（每空3分，共10题，总分30分）1. 设A为对称矩阵，若$A^2 = 4I$，则A的特征值为______。
2013年专转本高等数学试卷及答案解析
四、综合题（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分）
21.设 D1 是抛物线 y = 2x2 和直线 x = a, x = 2 及 y = 0 所围成的平面区域； D2 是 由 抛 物 线 y = 2x2 和 直 线 y = 0, x = a 所 围 成 的 平 面 区 域 ， 其 中 0<a<2.
一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分，在每
小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字
母填在题后的括号内）
1.已知函数
f
(x)
=
1
1
−x ln
+ x
2 x2 −1 +a
x −1
0< x <1
， 若极限 lim f (x) 存在，则 a 等
x >1
x →1
xt
f (u)du = t
x
f (u)du + x
t f (u)du ，求 f (x) .
0
1
1
五、证明题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，满分 18 分）
23.设 f (x) = ex − 2 ，求证在区间 (0, 2) 内至少有一点 x0 ，使 ex0 − 2 = x0 . 24.求证：当 x > 0 时， (x2 −1) ln x ≥ (x −1)2 .
母填在题后的括号内）
1
1.设 lim (1+ ax2 )2 −1 = 1 ，则必有 a = （ ）
x→0 cos x −1
A.2
B.1
C. −2
D.-1
2.曲线
y
=
x x2 −1
有（
山西省专升本英语真题2013年
山西省专升本英语真题2013年(总分：150.00，做题时间：90分钟)一、Ⅰ．Vocabulary & Structure(总题数：20，分数：20.00)1.Well get in all the wheat before the sun ______.（分数：1.00）A.will setB.was setC.setD.sets √解析：[考点] 动词时态[解析] 一般现在时可用来表示客观事实和普遍真理，而在时间或条件状语从句中，要用一般现在时代替一般将来时。
before“在……之前”引导时间状语从句，因此用set代替will set。
故应选D。
2.The composition ______ any more.（分数：1.00）A.need not to be correctedB.doesn need be correctedC.need not correctD.doesn need to be corrected √解析：[考点] 情态动词[解析] 本题主要考查need作为情态动词和一般性动词的用法。
当need作为情态动词时，其否定形式为need not+动词原形；而当其作为一般性动词时，其否定形式为don /doesn /didn +need to+动词原形。
故应选D。
3.The roof fell ______ he had time to clash into the room to save his baby.（分数：1.00）A.sinceB.asC.before √D.until解析：[考点] 状语从句[解析] before“在……之前”，常引导时间状语从句。
since：自从；as：当……时；until：直到……。
此句意指“在……之前”，故选C。
4.After studying in a medical college for five years, Jane ______ her job as a doctor in the countryside.（分数：1.00）A.set outB.took up √C.took overD.set up解析：[考点] 词语搭配[解析] set out：出发，动身；take up：开始从事(某项工作)，占用；take over：接管，控制；set up：竖立，建立。
《高等代数》（上）题库
《高等代数》上题库第一章多项式填空题 1.71、设用x-1除fx余数为5用x1除fx余数为7则用x2-1除fx余数是。
1.52、当px是多项式时由px fxgx可推出pxfx或pxgx。
1.43、当fx与gx 时由fxgxhx可推出fxhx。
1.54、设fxx33x2axb 用x1除余数为3用x-1除余数为5那么a b 。
1.75、设fxx43x2-kx2用x-1除余数为3则k 。
1.76、如果x2-12x4-3x36x2axb则a b 。
1.77、如果fxx3-3xk有重根那么k 。
1.88、以l为二重根21i为单根的次数最低的实系数多项式为fx 。
1.89、已知1-i是fxx4-4x35x2-2x-2的一个根则fx的全部根是。
1.410、如果fxgx1hxgx1 则。
1.511、设px是不可约多项式pxfxgx则。
1.312、如果fxgxgxhx则。
1.513、设px是不可约多项式fx是任一多项式则。
1.314、若fxgxhxfxgx则。
1.315、若fxgxfx hx则。
1.416、若gxfxhxfx 且gxhx1则。
1.517、若px gxhx且则pxgx或pxhx。
1.418、若fxgxhx且fxgx-hx则。
1.719、α是fx的根的充分必要条件是。
1.720、fx没有重根的充分必要条件是。
答案1、-x6 2、不可约3、互素4、a0b1 5、k3 6、a3b-7 7、k±2 8、x5-6x415x3-20x214x-4 9、1-i1i 121-2 10、fxhxgx1 11、pxfx或pxgx 12、fxhx 13、pxfx或pxfx1 14、fxhx 15、fxgxhx 16、gxhxfx 17、px是不可约多项式18、fxgx且fxhx 19、x-αfx 20、fxf’x1 判断并说明理由1.11、数集12ibabia是有理数是数域 1.12、数集12ibabia是整数是数域 1.33、若fxgxhxfxgx则fxhx 1.34、若fxgxhxfxgx则fxhx 1.45、若gxfxhxfx则gxhxfx 1.46、若fxgxhx1则fxhx1 gxhx1 7、若fxgxhx且fxgx则fxhx1 1.68、设px是数域p上不可约多项式那么如果px是fx的k重因式则px是fx的k-1重因式。
【专升本】2013年数学试题及答案
绝密★启用前2013年成人高等学校招生全国统一考试数 学（文史财经类）考生注意：本试题分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共85分）一、选择题：本大题共17小题，每小题5分，共85分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将所选项的字母填涂在答题卡相应题号的信息点上．．．．．．．．．．．．。
（1）函数1)3sin(2)(++=πx x f 的最大值为（ ）。
（A ）-1（B ）1（C ）2（D ）3（2）下列函数中，为减函数的是（ ）。
（A ）3x y =（B ）x y sin =（C ）3x y -=（D ）x y cos =（3）（3）设集合{}1|2==x x A ，{}1|3==x x B ，则A ∩B =（ ）。
（A ）φ（B ）{}1（C ）{}1- （D ）{}1,1- （4）函数x x f cos 1)(+=的最小正周期是（ ）。
（A ）2π（B ）π （C ）π23（D ）2π（5）函数1+=x y 与xy 1=的图像交点个数为（ ）。
（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3（6）若20πθ<<，则（ ）。
（A ）θθcos sin >（B ）θθ2cos cos < （C ）θθ2sin sin <（D ）θθ2sin sin >（7）抛物线x y 42-=的准线方程为（ ）。
（A ）1-=x（B ）1=x（C ）1=y（D ）1-=y（8）不等式1||<x 的解集为（ ）。
（A ）{}1|>x x（B ）{}1|<x x （C ）{}11|<<-x x（D ）{}1|-<x x（9）过点)1,2(且与直线0=y 垂直的直线方程为（ ）。
（A ）2=x（B ）1=x（C ）2=y （D ）1=y（10）()52y x -的展开式中，23y x 的系数为（ ）。
年专升本《高等代数》试题
专升本《高等代数》试题注：请将答案全部写在答题纸上. 一.填空题（每小题2分，共20分）1.设:f A B →是集合A 到B 的映射，对任意的y B ∈，都存在x A ∈，使得()f x y =，就称映射f 为 。
2.设(),()[]f x g x F x ∈，则()()0f x g x ⋅=的充要条件是 。
3.设()f x 实系数多项式，()7f x ∂=且()()()()()5322x x i x x i f x -++-，则()f x 实数根的个数为 。
4.假设n 阶行列式D 中零元素的个数比n 2 -n 多，则D= 。
5.m 个方程n 个未知数的线性方程组AX B =，其增广矩阵为A ，当 时，此方程有无穷多个解。
6.矩阵1234⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为 。
7.(){}123123,,,,0i W a a a a F a a a =∈++=。
则dim W = 。
8.向量空间[]2F x 上的线性变换()()'f x f x σ=（()f x 导数）关于它的基2{1,,}x x 的矩阵 。
9.在欧空间3R 中，向量()123β=，，在由12002222αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，-生成的子空间H 上的正射影的长度为 。
10.三元二次型2222323x y z xy xz yz +++++的矩阵为 。
二.判断正误（每小题2分，共20分）1. 集合 A 有 m 个元素，B 有 n 个元素，则 A B 有 m+n 个元 （ ）2.若整数,a b 互素，则存在唯一的一对整数,s t ，使得1sa tb +=（ ）3.设()()[],f x g x F x ∈，且()()f x g x ≠，则对任给的i a F ∈，()()i i f a g a ≠（ ）4.秩为r 的矩阵必有一个1r -阶子式不为0（2r ≥）（ ）5.线性方程组有解的充要条件是其增广矩阵的最后一列可由前面的列向量线性表示（ ）6.若{}1,m αα和{}1,n ββ线性无关，则{}11,,,m n ααββ线性无关（ ）7.一个向量空间不可能与它的真子空间同构（ ）8.数域F 上的向量空间上的线性变换的集合对线性变换的加法与数乘运算构成一个向量空间（ ）9.由规范正交基到规范正交基的过渡矩阵是正交矩阵（ ） 10.实对称矩阵一定与一个对角形矩阵合同（ ） 三.单项选择（每小题3分，共30分）１.若()()(),1f x g x =且()()()f x g x h x ，则（ ）A.()()f x h x 且()()f x g xB.()()f x h x 或()()f x g xC. ()()f x g xD. ()()f x h x2.艾森斯坦因判别法是判断一个多项式在有理数域上不可约的一个（ ）Ａ.必要非充分条件 Ｂ.必要且充分条件Ｃ.充分非必要条件Ｄ.既非充分条件又非必要条件3.设111212122212n n n n nn a a a a a a D a a a =，1112121222112n n n n nnb b b b b b D b b b =且ij ij b a =-，则1D =（ ）Ａ.ＤＢ.－ＤＣ.()()121n n D +-Ｄ.()1nD -4.若,A B 为任意n 阶实方阵，则（ ）Ａ.秩{}max AB A B =秩,秩 Ｂ.秩{}min AB A B =秩,秩 Ｃ.秩AB =秩BAＤ.以上都不对5.若数域F 上的n 元齐次线性方程组有非零解，则该方程组（ ）Ａ. 有无限个非零解Ｂ.有有限个非零解Ｃ. F 上任意n 个数均是方程组的解 Ｄ.有唯一非零解6.设(){}'n T A M F A A =∈=-，则dim T =（ ）Ａ.()12n n +Ｂ.()12n n -Ｃ.2n n -Ｄ.22n7.设()L V στ∈，下列命题正确的是（ ）Ａ.若2στ=，则στ=±Ｂ.2σσστθ=，则=或Ｃ.32στσστστ=++=，可逆，则 Ｄ.(),,mστθσθτθ===若则或 8.设αβ，是欧氏空间n R 中的非零向量，0αβαβ=，是，正交的（ ）Ａ.充分而不必要条件 Ｂ.必要而不充分条件 Ｃ.充分必要条件Ｄ.什么条件也不是９、二次型()()112312243,,21x q x x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的矩阵是（ ） Ａ.4 2.52.51⎛⎫⎪⎝⎭Ｂ.4321⎛⎫ ⎪⎝⎭Ｃ.4 2.502.510000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭Ｄ420310000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭10.下列命题不正确的是（ ）Ａ.两个数环的交是数环 Ｂ.两个数域的交是数域 Ｃ.两个数环的并是数环Ｄ.两个数域的并不是数域四.计算题（每小题10分，共40分）1．计算n 阶行列式 000000000000x y x y D x y y x=。
高等代数作业
⾼等代数作业⾼等代数专题研究”是中央⼴播电视⼤学数学与应⽤数学专业本科的⼀门必修课程。
该课程是针对中央⼴播电视⼤学数学与应⽤数学专业的学⽣开设的。
它将已学过的代数知识（数的本质认识，数的发展历史，不等式、多项式理论、因式分解、初等排列组合和多项式的求根等）直接⽤到中学数学的教学与研究中。
本门课程的主要任务是,⼀⽅⾯使学⽣加深对代数学的理解，另⼀⽅⾯使学⽣从⾼等数学和⾼等代数的观点出发，对初等数学进⾏深⼊的研究，并能够建⽴起初等数学的严格的科学体系，有利于更好地进⾏初等数学的教学。
Ⅰ.关于课程考核说明与实施要求1.“⾼等代数专题研究”是中央⼴播电视⼤学本科开放教育数学与应⽤数学专业学⽣必修的⼀门专业基础课程。
通过本课程的学习，使学⽣掌握代数学的基本概念和基本原理，进⼀步提⾼抽象思维和逻辑推理的能⼒。
课程的结业考核合格⽔准应达到⾼等学校该专业本科教育的要求。
本考核说明是以本课程的教学⼤纲和指定的参考教材《⾼等代数专题研究》(王仁发主编中央⼴播电视⼤学出版社出版)为依据制定的。
2.考核要求分三个层次，有关概念、性质和定理等理论⽅⾯的要求从⾼到低为理解、了解和知道；有关⽅法、公式和法则等的要求从⾼到低为熟练掌握，掌握和会。
3.本课程的结业考核实⾏形成性考核和期末考试相结合的⽅式。
结业考核成绩满分100分，其中形成性考核成绩占20%,期末考试成绩占80%。
结业考核成绩满60分为合格。
4．关于形成性考核的说明形成性考核由平时作业成绩构成，根据教学进度，及时完成作业。
作业的内容和要求以及评定请参考⼴播电视⼤学“⾼等代数专题研究课程教学设计⽅案”5.关于终结性考试的说明终结性考试实⾏全国统⼀考试，根据本课程考核说明，由中央电⼤统⼀命题，统⼀评分标准，统⼀考试时间。
考试的组织实施和试卷的评定，由有关的各省、⾃治区和直辖市完成。
(1)终结性考试的内容和要求以本考核说明为准，要求考核基本概念、基本原理和基本运算。
命题覆盖⾯可适当宽些，但试题难度要适中，题量要适当。
山西省2013专升本 高等代数 证明题
山西省2013专升本高等代数证明题在山西省 2013 年专升本的高等代数考试中，证明题一直是许多考生感到棘手的部分。
高等代数作为一门抽象且逻辑性极强的学科，证明题的解答往往需要我们对基本概念、定理有着深刻的理解，以及熟练的推理和运算能力。
我们先来看看一道常见的线性方程组相关的证明题。
假设给定了一个线性方程组，要求证明其解的存在性和唯一性。
要解决这类问题，首先我们需要明确线性方程组解的判定定理。
通常，我们会通过计算系数矩阵的秩与增广矩阵的秩来进行判断。
如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且等于未知数的个数，那么方程组有唯一解；如果秩相等但小于未知数的个数，方程组有无穷多解；若秩不相等，则方程组无解。
再来看一道关于矩阵特征值和特征向量的证明题。
比如，已知矩阵A 及其特征值λ和对应的特征向量 x，要证明对于任意正整数 k，λ^k 是矩阵 A^k 的特征值，且 x 仍是 A^k 的特征向量。
这道题就需要我们熟练掌握特征值和特征向量的定义和性质。
根据定义，Ax ＝λx，那么A^2x ＝ A(Ax) ＝A(λx) ＝λ(Ax) ＝λ^2x，通过这样的逐步推导，可以证明出对于任意正整数 k，都有 A^kx ＝λ^kx。
还有一类常见的证明题是关于向量空间的。
比如证明某个集合是向量空间，这就需要我们根据向量空间的定义和性质来进行判断。
向量空间需要满足加法封闭性、数乘封闭性，并且存在零向量、每个向量都有负向量等条件。
在证明过程中，我们需要对集合中的任意两个向量进行加法和数乘运算，并验证结果是否仍在集合中。
另外，多项式相关的证明题也是考试中的常客。
例如，证明两个多项式的最大公因式的存在性和唯一性。
这就需要运用到辗转相除法以及相关的定理。
通过不断地进行除法运算，最终可以得到最大公因式，从而完成证明。
在解答高等代数证明题时，清晰的思路和严谨的逻辑是至关重要的。
每一步推理都要有依据，不能凭空臆想。
同时，要善于利用已知条件，将复杂的问题逐步化简，转化为我们熟悉的形式。
山西省专升本综合英语真题2013年
山西省专升本综合英语真题2013年(总分：150.00，做题时间：90分钟)一、Ⅰ．Vocabulary & Structure(总题数：20，分数：20.00)1.Children should be taught how to get along with ______.（分数：1.00）A.anotherB.otherC.others √D.any other解析：[考点] 代词不定代词another既有名词性用法也有形容词性用法，表示“又一个，另一个”；other做代词时表示两者中另一个，用作形容词时指“另外的，别的”，如：the other day，every other week等；others是代词other。
的复数形式，指其他的、另外的人或物；any other表示“任何其他的”，常做定语修饰人或物。
由题意可知应用others表示“其他人”，故选C。
2.In the geography lesson, the teacher told the children that the earth ______ round like a ball. （分数：1.00）A.wasB.is √C.wereD.had been解析：[考点] 动词时态一般现在时可表示客观事实和普遍真理，虽然本题主句谓语用的是过去时，但宾语从句所表述的“地球是圆的”是一种客观事实，因此应用一般现在时。
故选B。
3.It was difficult for him to buy good shoes because he had such a big ______ of feet.（分数：1.00）A.pair √B.sizeC.coupleD.number解析：[考点] 词语搭配pair：一双，一对，常用a pair of结构；couple：一对，夫妻；size：尺寸；number：数字，编号，号码。
故选A。
2013年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案
2013年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案第一篇：2013年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案2013年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
参考答案：C参考答案：A参考答案：B参考答案：D参考答案：B参考答案：A参考答案：D参考答案：B参考答案：C参考答案：A二、填空题：本大题共10小题。
每小题4分，共40分，将答案填在题中横线上。
参考答案：2e参考答案：2(x+3)参考答案：2ex-1参考答案：参考答案：sin(x+2)+C参考答案：2(e-1)参考答案：2x-y+x=0参考答案：ydx+xdy参考答案：1参考答案：π三、解答题：本大翘共8个小题，共70分。
解答应写出推理，演算步骤。
第二篇：2012年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案2012年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
参考答案：A参考答案：C参考答案：D参考答案：A参考答案：B参考答案：D参考答案：C参考答案：B参考答案：A参考答案：B二、填空题：本大题共10小题。
每小题4分，共40分，将答案填在题中横线上。
第11题参考答案：0 第12题设y=sin(x+2)，则Y'=_________ 参考答案：cos(x+2)第13题设y=ex-3，则dy=_________．第14题参考答案：5sinx+C 第15题第16题曲线Y=x2-x在点(1，0)处的切线斜率为_________．参考答案：1 第17题设y=x3+2，则y''=__________．参考答案：6x 第18题设z=x2-y，则dz=_________．参考答案：2xdx-dy 第19题过点M(1，2，3)且与平面2x—Y+z=0平行的平面方程为_________．参考答案：2x—y+z=3 第20题参考答案：3π三、解答题：本大翘共8个小题，共70分。
13年专升本高数真题答案
2023年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学 解析及解析一、选择题（每小题2分,共60分）1．解析:C【解析】:易知,需满足⎩⎨⎧>-≤≤-0111x x ,即21≤<x ,故应选C.2．解析:D【解析】:因为1()1f x x =-,则()[]x x x x f f 11111-=--=,{}[()]f f f x =()[]x xx x f f =--=111,故应选D.3．解析:B【解析】:因为()x x -+21ln 为奇函数,则)y x =-∞<<+∞也为奇函数,应选B.4．解析:B 【解析】:因为22lim 2sin lim 00==→→x xxx x x ,故0x =是()f x 地可去间断点,应选B.5．解析:A【解析】:当0x →时,()1112lim 11lim00=-++=--+→→x x x xxx x x x ,则x x --+11与x 是等价无穷小量,应选A.6．解析:C【解析】:因0()()lim x f x g x x →--=()()()()()()()()b a x x g g x f x f x x g g f x f x x x +=--+-=--+-→→→0lim 0lim 00lim 000,应选C.7．解析:B【解析】:因为曲线cos (0,0)sin x a t a b y b t=⎧>>⎨=⎩,则t a b t a t b dt dx dt dy dx dy cot sin cos //-=-==,故4π=t 对应点处地法线斜率为ba,应选B.8．解析:D【解析】: 因为()()f x g x '=,则2d (sin )f x =()()xdx x g xdx x x f 2sin sin cos sin 2sin 22=',应选D.9．解析:A【解析】:设函数()f x 具有任意阶导数,且2()[()]f x f x '=,则()()()()[]322x f x f x f x f ='=''；()()[]()()[]42!332x f x f x f x f ='⨯='''；()()()[]()()[]534!4432x f x f x f x f ='⨯⨯=()()n f x =1![()]n n f x +10．解析:A【解析】:方程x yxy e+=两边对y 求导,其中x 看作y 地函数,()1+'⋅=+'+x ex y x yx ,所以()()11--=--=--=='++x y y x y xy xy x y e e x dy dx x y x y x ,应选A.11．解析:B【解析】:因为()0(0)f x x a ''><<,则()f x '在[0,]a 上单调增加,应选B.12．解析:A【解析】:点(0,1)是曲线32y x bx c =++地拐点,则()()00,10=''=y y ,故0,1b c ==,应选A.13.解析:A【解析】:因为2216x y x x +=+--()()3221-+++=x x x ,则()()543221lim 621lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛--++-→-→x x x x x x x x ；()()∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛--++→→3221lim 621lim 323x x x x x x x x ；故3=x 是曲线地垂直渐近线,应选A.14.解析:B【解析】: 因为()xxf x e e -=-,则()()C e e dx e ex F x x x x++=-=--⎰,故应选B.15.解析:D【解析】: 根据不定积分地相关性质,易知,22d ()d ()d f x x f x x =⎰正确,应选D.16．解析:D【解析】:因为x x sin 2为奇函数,故0sin 2=⎰-dx x x ππ,应选D.17．解析:A 【解析】:方程221()d x x f t t xe ++=⎰两边对x 求导,得()x x xe e x f +++=+222,则()()x x e x e x f 2-+=,故()f x '=x xe ,应选A.18．解析:C【解析】:由P 无穷广义积分地结论可知,应选C.19．解析:B【解析】:微分方程地阶数是指微分方程中最高导数地阶数,应选B.20．解析:B【解析】:对方程2d 2d 0y xy x -=分离变量,得xdx y dy 22=,两边积分,得C x y+=-21,代入(1)1y =-,0=C ,故方程地特解是21y x-=,应选B.21．解析:C【解析】:向量地方向角需满足1cos cos cos 222=++γβα,应选C.22．解析:B【解析】:直线地方向向量与平面法向量平行,故L 与π垂直相交,应选B.23．解析:D【解析】:缺少变量地二次曲面方程为柱面,应选D.24．解析:C 【解析】:00x y →→=()()41421lim 42lim 0000-=++-=++-→→→→xy xy xy xy y x y x ,应选C.25．解析:B【解析】:因为22(,23)z f x y x y =-+,则zy∂=∂1223yf f ''-+26．解析:A 【解析】:因为2 22 00 2d (, )d (, )d x I x f x y y x f x y y =+⎰⎰⎰为X 型积分,则交换积分次序后,Y 型积分地积分区域为:(){}282,20,y x y y y x -≤≤≤≤,故I可以化为2d (, )d y f x y x ⎰⎰,应选A.27.解析:C 【解析】: 积分 1221d d x x y y =⎰⎰21213121210321102=⋅=⋅⎰⎰x x ydy dx x ,应选C.28. 解析:D【解析】:L 参数方程()10,2≤≤⎩⎨⎧==y yy y x ,则22d d Lxy x x y +=⎰[]1522105141042===+⋅⋅⎰⎰y dy y dy y ydy y y,应选D.29.解析:C 【解析】:因为121lim lim 1=++=∞→+∞→n n u u n n n n ,则收敛半径1=R ,收敛区间为(1,1)-,应选C.30．解析:A【解析】:A 为交错级数,且11+n 单调递减,011lim=+∞→n n ,故收敛；B 、C 中111sinlim ,1111ln lim ==⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→nn n n n n ,且∑∞=11n n发散,故B 、C 均发散；D 中∞=∞→!lim n n nn ,故D 发散；应选A.二、填空题（每小题2分,共20分）31．解析:既不充分也不必要【解析】:函数()f x 在点0x 有定义与极限0lim ()x x f x →存在没有关系,故为既不充分也不必要条件.32．解析:32【解析】:因为2331lim --∞→==⎪⎭⎫⎝⎛-e e x p pxx ,故p =32.33．解析:21【解析】:因为函数为连续函数,则()()a x x a a a e x axx =+-=-+-→→2cos lim ,1lim 0,得a a =-1,故21=a .34．解析:32x -【解析】:因为421f x x ⎛⎫=⎪⎝⎭,则()21x x f =,故()32x x f -='．35．解析:C x x ++sin 2ln 【解析】:2cos d 2sin x x x x +=+⎰()Cx x x x x x d ++=++⎰sin 2ln sin 2sin 236．解析:π32【解析】:21221,cos -=⋅-=⋅⋅>=<→→→→→→ba ba b a ,则32,π>=<→→b a ．37．解析:1-+=-xCex y 【解析】:由一阶线性微分方程地通解公式得,()1-+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=---⎰⎰xxxdx dx Cex C dx xe e C dx xe e y .38．解析:-5【解析】:令()xyz z y x y x F 22,-++=,则xy F yz F z x 21,21-='-=',将1,0==y x 代入方程,则2-=z ,故52121101010-=---=''-=∂∂======y x y x z x y x xyyz F F xz.39．解析:542=-+z y x 【解析】:令()1,2,2,,,22-='='='-+=z y x F y F x F z y x z y x F ,故点()5,2,1处地切平面法向量{}1,4,2-,故切平面方程为()()()052412=---+-z y x ,即542=-+z y x .40．解析:()()nn n n x 44101-⋅-∑∞=+【解析】:()()()()∑∑∞=+∞=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+⋅=-+==010441441414411414411n nn n nn n x x x x x x f .三、计算题（每小题5分,共50分）41．011lim ln(1)x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦．【解析】:原式=()()()()21211lim 2111lim 1ln lim 1ln 1ln lim 200200-=+-=-+=-+=+-+→→→→x x x x x x x x x x x x x x .42．已知函数()x x y =由方程arctanyx=所确定,求d d x y .【解析】:方程两边同时对y 求导,可知,2222222222111yx y x x yx x x y x xy ++'⋅+='-⋅+,即2222y x y x x y x x y x ++'=+'-,故d d x y yx yx y x x y x x +-=+'-='=22.43.求不定积分x ⎰．【解析】:Cx x x x C t t t t dt tt t t dtt t t t tdt dx x tx tdt dx ++-=++-⋅=+-+-⋅=+-⋅==⎰⎰⎰⎰==arctan arctan arctan arctan 111arctan 1arctan arctan arctan 222222222.44．设21,0(),0x x x f x e x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,求31(2)d f x x -⎰.【解析】:()()()e e t t dt e dt t dt tf dx x f ttt x +=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++==----=-⎰⎰⎰⎰3131210131001211312.45．求微分方程23xy y y e '''+-=地通解．【解析】:原方程对应地齐次方程为02=-'+''y y y ,则特征方程为0122=-+r r ,特征根为21,121=-=r r ,故原方程对应地齐次方程地通解为()为任意常数2121211,,C C e C eC y x x+=-.又知1=λ不是特征根,则原方程地特解可设为xAe y =*,代入原方程可得xxxx e Ae Ae Ae 32=-+,即23=A ,故原方程地通解为x x xe e C e C y 232121++=-.46．设2+sin2+xyu x y e =,求全微分d u ．【解析】:方法一:由题意可知,,2cos 2,2xy xy xe y yuye x x u +=∂∂+=∂∂所以()()dy xe y dx ye x dy yudx x u du xy xy +++=∂∂+∂∂=2cos 22.方法二:对等式两边同时求微分,可知()()()()dyxe y dx ye x ydx xdy e ydy xdx xy d e ydy xdx de y d dx du xy xy xy xy xy +++=+⋅++=++=++=2cos 222cos 222cos 222sin 2.47．一平面过点(1,0,1)-且平行于向量{2,1,1}a =-和{1,1,2}b =- ,求此平面方程.【解析】:由题意可知,所求平面平行于向量{2,1,1}a =-和{1,1,2}b =- ,则所求平面地法向量→→→⨯=b a n ,即{}3,5,135211112--=--=--=⨯=→→→→→→→→→k j i kj ib a n ,又知平面过点(1,0,1)-,由平面地点法式方程可知,平面方程为()()01351=+---z y x ,即435=--z y x .48．计算d d xyDex y ⎰⎰,其中D 是由1,,2,0y y x y x ====所围成地闭区域.【解析】:由题意可知,如下图所示,该区域为Y 型区域,则d d x yDex y ⎰⎰()()()1232112122121021-=-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰⎰⎰⎰e y e dy e y dy ye dx e dy y y x yyx.49．计算积分2222(210)d (215)d Lx xy y x x xy y y +-++--+⎰,其中L 为曲线cos y x =上从点π,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭到点π,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭一段弧.【解析】:由题意可知,()()152,,102,2222+--=+-+=y xy x y x Q y xy x y x P ,则y x xQ y x y P 22,22-=∂∂-=∂∂,即x Q y P ∂∂=∂∂,说明该曲线积分与积分路径无关,选取直线路径⎪⎭⎫ ⎝⎛-→=22:,0ππx y ,故2222(210)d (215)d Lxxy y x x xy y y +-++--+⎰()ππππππ1012103103222232--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎰--x x dx x .50．求幂级数0(1)2(1)nn n x n ∞=-+∑地收敛域．【解析】:该幂级数地为非标准不缺项地类型,令t x =-1,则原幂级数可变形为()∑∞=+012n n nn t ,因为()()2221121lim lim11=++=+∞←+∞←n n u u n n n n nn ,则幂级数()∑∞=+012n nn n t 地收敛半径为2=R ,故幂级数()∑∞=+012n n n n t 地收敛区间为()2,2-；当2-=t 时,级数()()∑∞=+-011n n n 收敛；当2=t 时,级数()∑∞=+011n n 收敛发散；则幂级数()∑∞=+012n n n n t 地收敛域为[)2,2-,故原幂级数0(1)2(1)nn n x n ∞=-+∑地收敛域为[)3,1-.四、应用题（每小题6分,共12分）51．某房地产公司有50套公寓要出租,当月租金定为2000元时,公寓会全部租出去,当月租金每增加100元时,就会多一套公寓租不出去,而租出去地公寓每月需花费200元地维修费,试问租金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少?【解析】:设租金定位x 元时,收入为()x S ,则()()200100200050-⎪⎭⎫⎝⎛--=x x x S ,即()()2000,14000721002≥-+-=x x x x S ,令()07250=+-='x x S ,得唯一地驻点3600=x ,又知()0501<-=''x S ,则3600=x 为()x S 地极小值点,结合实际情况,也就是对应地最大值,所以当租金定位3600元时,有最大收入,最大收入为115600元.52．曲线3(0)y x x =≥,直线2x y +=以及y 轴围成一平面图形D ,试求平面图形D 绕y 轴旋转一周所得旋转体地体积.【解析】:由题意可知,如下图所示,该区域为X 型区域,则体积=()()ππππ151453222221053214213=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=--⎰⎰x x x dx x x x dx x x x .五、证明题（8分）53．设()f x 在区间[0,1]上连续,且()1f x <,证明:方程02()d 1xx f t t -=⎰在区间（0,1）内有且仅有一个实根.【证明】:存在性:令()()[]1,0,120∈--=⎰x dt t f x x F x,因为()f x 在区间[0,1]上连续,则()x F 在区间[0,1]上也连续,而且()()()()()1,011,101<>-=-=⎰x f dt t f F F ,由零点定理可知,在区间（0,1）内至少存在一点ξ,使得()0=ξF ；唯一性:因为()()()()1,02<>-='x f x f x F ,则()x F 在区间（0,1）内单调递增,故方程02()d 1xx f t t -=⎰在区间（0,1）内至多有一实根；综上所述,方程02()d 1xx f t t -=⎰在区间（0,1）内有且仅有一个实根.。
专升本高数练习题山西
专升本高数练习题山西### 专升本高数练习题山西#### 一、选择题1. 函数的连续性设函数f(x)在点x=a处连续，下列哪个选项是正确的？A. f(a)存在B. 左极限lim(x→a-)f(x)存在C. 右极限lim(x→a+)f(x)存在D. 所有以上2. 导数的定义若函数f(x)在点x=a处可导，则下列哪个条件是正确的？A. f'(a)存在B. lim(h→0) [f(a+h) - f(a)]/h 存在C. f(a)存在D. 所有以上3. 积分的几何意义设f(x)为连续函数，其在区间[a, b]上的定积分表示什么？A. 曲线y=f(x)与x轴围成的面积B. 曲线y=f(x)与x轴围成的体积C. 曲线y=f(x)与x轴围成的弧长D. 以上都不是#### 二、填空题1. 若函数f(x) = 3x^2 + 2x - 5，求f'(x) = __________。
2. 已知某物体的位移函数为s(t) = 4t^3 - 6t^2 + 2t，求该物体在t=1时的瞬时速度为 __________。
#### 三、解答题1. 求极限求极限lim(x→2) [(x^2 + 3x - 2) / (x - 1)]。
2. 求导数求函数f(x) = sin(x) + cos(x)的导数f'(x)。
3. 求定积分求定积分∫(0 to 1) (2x + 1) dx。
#### 四、证明题1. 证明中值定理证明：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，且f(a) = f(b)，则至少存在一点c ∈ (a, b)，使得f'(c) = 0。
2. 证明泰勒公式证明：函数f(x) = e^x在x=0处的泰勒展开式为e^x = 1 + x +x^2/2! + x^3/3! + ...。
#### 五、应用题1. 物理应用一辆汽车以初速度v0 = 30m/s开始减速，其减速度a(t) = -0.5t，求汽车在t=10s时的速度。
专升本证明题
证明题一、方程0)(=x f 的根例如：又例：证明方程1ln -=exx ，在区间),0(+∞内有两个实根（3）利用罗尔定理证明方程的根存在把所给方程一端减去一端，再把变量ξ换成x，观察哪个函数求导之后为这个代数式，这个函数就是要构造的函数；然后根据题设确定区间，验证是否满足罗尔中值定理。
二、证明不等式例如（3）利用函数图形的凹凸性证明不等式例如).,0,0(,2ln )(ln ln y x y x yx y x y y x x ≠>>++>+证明不等式证 ),0(ln )(>=t t t t f 令,1ln )(+='t t f 则 ,01)(>=''tt f.0,0),,(),(ln )(是凹的或在>>=∴y x x y y x t t t f)2()]()([21y x f y f x f +>+于是 ,2ln 2]ln ln [21y x y x y y x x ++>+即.2ln )(ln ln y x y x y y x x ++>+即（4）利用拉格朗日中值定理（罗尔定理）证明不等式。
把式子变形出现两个函数值之差，构造函数，确定在所给范围内满足拉格朗日中值定理，求出导数，对导数进行放大和缩小 例如以上方法的共同特点是：选取变量构造辅助函数，研究辅助函数的单调性、凹凸性、极值等。
构造辅助函数的基本思想是：从欲证问题的结论入手，通过逆向分析，去寻找一个满足题设条件和结论要求的函数。
在做此类题时，证明代数式不等式一般用中值定理；证明函数不等式一般用单调性；证明函数与数之间的不等式一般用最大、最小值求证。
三、证明等式成立（1）利用罗尔定理（拉格朗日中值定理）证明等式成立把所给等式一端减去一端，再把变量ξ换成x ，观察哪个函数求导之后为这个代数式，这个函数就是要构造的函数；然后根据题设确定区间，验证是否满足罗尔中值定理。