抛物线的焦点弦公式总结
2.4.2抛物线焦点弦的性质
tan 2 1 2p 2p 2 tan sin 2
二、抛物线 y 2 2 px ( p 0) 的焦点弦性质：
下记AB为焦点弦， H1 H 2为通径
O
y
F A
B
x
性质1
若A、B的纵坐标为 y1、y2，则 y1 y2 p 2
2
p 1. 若A、B的横坐标为 x1、x2，则x1 x2 4 2 2. 若A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 )在抛物线 y 2 px ( p 0)上， 2 则 y1 y2 p 直线AB过焦点F
2
性质1:
若A、B的纵坐标为 y1、y2，则 y1 y2 p
2
2
p 1. 若A、B的横坐标为 x1、x2，则x1 x2 4
2
2. 若直线与抛物线 y 2 px ( p 0)的两个交点 的纵坐标 是否经过焦点F ？分析： y1、y2，满足 y1 y2 p ，则该直线
2
2
4.焦点弦长 | AB | x A xB p。 2p 5.焦点弦长 | AB | 2 si n
(其中 为L AB的倾角）
6.焦点弦长 | AB | 小=2p。 p 7.SAOB = . 2sin 8.以焦点弦AB为直径的圆与准线L相切. p 1 1 2 9.若x1x 2＝ ，则 。 4 AF BF p 10.MFN =90 .
2
2. 若直线与抛物线 y 2 2 px ( p 0)的两个交点的纵坐标y1、y2， 满足 y1 y2 p 2，则该直线是否经过焦 点F ？
设交点为A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 ) p 1) 若 x1 x2，则| y1 | | y2 | p x1 x2
抛物线焦点弦
抛物线焦点弦
抛物线的焦点弦是：焦点弦长就是两个焦半径长之和。
焦半径长可以用该点的横坐标来表示，与纵坐标无关。
由于焦点弦经过焦点，其方程式可以由其斜率唯一确定，很多问题可以转化为对其斜率范围或取值的讨论。
相关简介：
在抛物线y²=2px中，弦长公式为d=p+x1+x2。
若直线AB的倾斜角为α，则|AB|=2p/sin²α。
y²=2px或y²=-2px时，x1x2=p²/4,y1y2=-p²。
x²=2py或x²=-2py 时，y1y2=p²/4,x1x2=-p²。
焦点弦是指椭圆、双曲线或者抛物线上经过一个焦点的弦，是指同一条圆锥曲线或同一个圆上两点连接而成的线段。
焦点弦是由两个在同一条直线上的焦半径构成的。
焦半径是由一个焦点引出的射线与椭圆或双曲线相交形成的。
而由于椭圆或双曲线上的点与焦点之间的距离(即焦半径长)可以用椭圆或双曲线离心率和该点到对应的准线之间的距离来表示。
焦点在y轴抛物线焦点弦长公式
焦点在y轴抛物线焦点弦长公式
抛物线是数学中的一个经典曲线，其焦点在y轴上的抛物线具有独特的性质。
通过研究这种抛物线，我们可以得出一个重要的公式，即焦点在y轴上的抛物线焦点弦长公式。
该公式可以表示为：l=4p，其中，l代表焦点在y轴上的抛物线焦点弦长，p代表抛物线顶点到焦点的距离。
这个公式的证明可以通过抛物线的标准方程进行推导。
根据抛物线的标准方程y^2=4px，我们可以得出焦点坐标为(0,p)。
同时，我们可以通过勾股定理，求出焦点到顶点的距离为p，再根据抛物线的对称性，得出焦点在y轴上的抛物线焦点弦长为4p。
这个公式在数学、物理等领域有着广泛的应用，例如在抛物线反射问题中，可以通过这个公式来求解反射角度；在天文学中，太阳能焦聚器也是基于这个公式来设计的。
总之，焦点在y轴上的抛物线焦点弦长公式是一个重要的数学公式，它深刻地揭示了抛物线的本质特点，并为相关领域的研究提供了重要的理论基础。
- 1 -。
高二数学抛物线焦点弦的性质
下记AB为焦点弦，H 1 H 2为通径 1. 若 H 1、 H 2的纵坐标为 y1、 y 2，则 y1 y 2 p 2 2. 若 A、 B的纵坐标为 y1、 y 2，则 y1 y 2 ？ p2
2 y y p 1) 若 AB x轴 ， 则 由 1 .知 1 2
课本P119习题 8.5的第7题
2 ) 若 AB不 垂 直 于 x轴 ， 则设 l AB
由 2 y 2 px 2p 2 消x，得 : y y p2 0 k y k( x
p ) 2
p : y k( x ) 2
y
B F
O
y1 y 2 p
2
xБайду номын сангаас
A
二、抛物线 y 2 px ( p 0 ) 的焦点弦性质
p 当 90 时 ， l AB : y ( x ) tan 2 p y ( x ) tan 2 由 2 y 2 px
2p , 2 tan x1 x 2 p 4
p 2
2p 2 p2 2 | AB | 1 tan ( p ) 4 2 tan 4
tan 2 1 2p 2p 2 tan sin 2
二、抛物线 y 2 px ( p 0 ) 的焦点弦性质
2
下记AB为焦点弦，H 1 H 2为通径 若 A、 B的纵坐标为 y1、 y 2，则 y1 y 2 p 2 p2 1. 若 A、 B的横坐标为 x1、 x 2，则x1 x 2 4 2. 若 A( x1 , y1 )， B ( x 2 , y 2 )在抛物线 y 2 2 px ( p 0)上， 则 y1 y 2 p 2 直线AB过焦点F
抛物线焦点弦性质
焦点弦的角平分线性质
总结词
通过抛物线焦点的弦也是该弦所夹角的角平分线。
详细描述
对于给定的抛物线和通过该抛物线焦点的弦，该弦将把与之相交的两个射线平分，也就是说，它是一 个角平分线。这一性质在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与角平分线相关的问题时。
04 焦点弦的应用
在几何作图中的应用
抛物线的性质
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看的性质和定理将被发现和证明。
未来研究可以进一步探索抛物线焦点弦与其他几何图形之间的关系，以 及在各个领域的应用前景。
同时，随着计算机技术的发展，数值模拟和可视化技术可以为抛物线焦 点弦性质的研究提供更多的手段和方法，有助于更深入地理解这一概念。
物体的运动规律。
05 结论
对抛物线焦点弦性质的总结
抛物线焦点弦性质是几何学中的重要概念，它涉及到抛物线、焦点和弦的一系列特 性。
焦点弦是指通过抛物线焦点的弦，它具有一些特殊的性质，如长度、倾斜角等。
这些性质在几何学、光学、天文学等领域有着广泛的应用，对于解决实际问题具有 重要的意义。
对未来研究的展望
焦点弦的面积性质
总结词
抛物线焦点弦将抛物线划分为两个面 积相等的部分。
详细描述
对于给定的抛物线，通过焦点的弦将 该抛物线分为两个面积相等的区域。 这一性质在几何和解析几何中都有所 应用，是抛物线的一个重要特性。
焦点弦的切线性质
总结词
焦点弦在抛物线上的切点与焦点的连线垂直于该弦。
详细描述
对于抛物线上的任意一点，该点处的切线与通过该点和焦点的连线垂直。这一 性质在解决几何问题时非常有用，因为它揭示了切线、弦和焦点之间的特殊关 系。
焦点弦的性质是抛物线几何性质的一 个重要部分，它在解决一些数学问题 中有着广泛的应用。
抛物线过焦点的弦长公式及其应用
抛物线过焦点的弦长公式及其应用抛物线可以由以下方程表示：y = ax^2 + bx + c，其中a是抛物线的曲率，b是x的线性项，c是常数项。
焦点可以通过计算公式 x = -b/(2a) 得到。
当抛物线过其焦点时，我们可以通过焦点的纵坐标f来表示抛物线。
弦是抛物线上两个点之间的线段，过焦点的弦称为焦弦。
如果我们找到抛物线上两个点，使它们的y坐标等于f，则这两个点就是焦弦的端点。
假设焦弦的两个端点分别是(x1,f)和(x2,f)。
首先，我们需要找到抛物线方程的两个根，即两个与x轴交点。
根可以通过解以下方程得到：ax^2 + bx + c = 0。
通过因式分解或使用求根公式，我们可以找到方程的解。
假设根为x1和x2然后，我们可以计算焦弦的长度。
对于线段(y1, y2)，其长度可以使用勾股定理表示为：L = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)。
由于焦弦是过焦点且与x轴平行的线，因此y1 = y2 = f。
因此，焦弦的长度可以进一步简化为：L = sqrt((x2 - x1)^2 + (f - f)^2) = sqrt((x2 - x1)^2) = ，x2 - x1即焦弦的长度等于焦点纵坐标两边的x值之差，也就是焦点横坐标两边的距离。
通过抛物线方程求解根以及计算焦弦的长度，我们可以进一步应用这个公式。
首先，焦弦的长度可以用于计算抛物线的宽度。
抛物线的宽度定义为通过焦点且垂直于焦弦的线段的长度。
由于焦弦与x轴平行，垂直于焦弦的线段可以通过计算焦点的纵坐标和横坐标之差得到。
因此，抛物线的宽度等于2f。
其次，焦弦的长度可以用于计算抛物线的面积。
抛物线的面积可以通过计算焦弦的长度和抛物线的高度得到。
抛物线的高度可以通过计算焦点的纵坐标f和焦点到抛物线的最低点的距离得到。
由于抛物线是对称的，最低点就是焦点，因此高度等于f。
因此，抛物线的面积等于焦弦的长度乘以抛物线的高度，即2f^2此外，焦弦的长度还可以用于计算抛物线上其他点的坐标。
抛物线焦点弦性质
抛物线焦点弦性质（1）过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点 且A 与B 在准线上的射影分别为A 1与B 1 结论1：p x x AB ++=21p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB = 证: (1)若2πθ=时, AB 为抛物线的通径,2,AB p =结论得证(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot 1pp y y AB =+=-+=结论3： 过焦点的弦中通径长最小，最小值为p 2.结论4：抛物线焦点弦的两个端点的同名坐标之积分别为常数42p 和2p -。
(证明见结论9)结论5： 焦点弦AB 被焦点F 分成m ，n 两部分，112m n p+= 即p FB FA 211=+ 证法1：过A 点作AR 垂直X 轴于点R ，过B 点作BS 垂直X 轴于点S ，设准线与x 轴交点为E,θ的倾斜角为因为直线L 则θθcos 1cos -=∴=+=+=P AF AF AF P FR EF ER PAF θcos 11-=∴同理可得P BF θcos 11+= ∴pFB FA 211=+证法2：12p m x =+ ， 22pm x =+ 代入整理即可。
结论6：过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB 、CD ，则1112AB CD p+=结论7：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，切点即为11B A 的中点。
证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1，过M 点作准线的垂线 MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知222111AB BFAF BB AA MM =+=+=结论得证。
抛物线焦点弦长公式推导过程
抛物线焦点弦长公式推导过程抛物线焦点弦长公式是指在一个抛物线上，通过焦点的弦长的长度公式。
推导过程如下：假设抛物线的方程为 y = ax^2，其中 a 是常数，焦点坐标为(0, p)。
1. 假设抛物线上一点为 P(x,y)，则有 y = ax^2。
2. 然后，我们将 P 点到焦点的距离表示为 d，可以通过几何关系得到：d = sqrt(x^2 + (y-p)^2)3. 我们还可以通过另一种方式计算 d，即利用抛物线焦点的特性：焦点到抛物线上任意一点 P 的距离等于 P 点到抛物线的准线的距离。
因此，我们可以将 d 表示为：d = |y - p| / (2a)4. 将步骤 1 的方程代入步骤 3 的公式中，得到：d = |ax^2 - p| / (2a)5. 再次利用绝对值的性质，我们可以将式子转化为两种情况：当 ax^2 > p 时，d = (ax^2 - p) / (2a) = x^2 / (2a) - p / (2a)当 ax^2 < p 时，d = (p - ax^2) / (2a) = p / (2a) - x^2 / (2a)6. 接下来，我们考虑通过这个弦长公式来求抛物线上两点 A 和 B 之间的弦长。
假设点 A 的坐标为 (x1, y1)，点 B 的坐标为 (x2, y2)。
首先，我们需要求出抛物线焦点到直线 AB 的距离 h。
h = (|y1 - p| + |y2 - p|) / 2将步骤 4 中的公式代入上面的式子，可得：h = |x1^2 - x2^2| / (4a)7. 然后，我们可以通过勾股定理计算出弦长 L：L = sqrt((x2 - x1)^2 + h^2)将步骤 6 中的 h 公式代入上面的式子，可得：L = sqrt((x2 - x1)^2 + (|x1^2 - x2^2| / (4a))^2)8. 最后，我们可以将步骤 5 中的两种情况代入上面的公式中，得到抛物线焦点弦长公式：当 ax1^2 > p 且 ax2^2 > p 时，L = sqrt((x2 - x1)^2 + ((x1^2 - x2^2) / (4a))^2) 当 ax1^2 < p 且 ax2^2 < p 时，L = sqrt((x2 - x1)^2 + ((x2^2 - x1^2) / (4a))^2) 至此，我们就成功推导出了抛物线焦点弦长公式。
焦点弦公式
焦点弦公式焦点弦公式是描述椭圆、双曲线和抛物线的几何性质的基本公式之一。
它用于计算公式中焦点和弦之间的关系，可以帮助我们更好地理解曲线的形态和特性。
椭圆的焦点弦公式对于一个椭圆而言，焦点弦公式可以表示为：PF1 + PF2 = 2a在这个公式中，PF1和PF2分别表示焦点F1和F2到弦的距离之和，2a是椭圆的长轴长度。
椭圆是一种闭合曲线，它的形状类似于拉长的圆。
焦点弦公式告诉我们，椭圆上每一点到焦点的距离之和恒定为2a，其中a是长轴的一半。
双曲线的焦点弦公式对于一个双曲线而言，焦点弦公式可以表示为：PF1 - PF2 = \\pm 2a在这个公式中，PF1和PF2分别表示焦点F1和F2到弦的距离之差，±2a取决于双曲线的类型和方向。
双曲线是一种开放的曲线，它的形状类似于两支打开的弧线。
焦点弦公式告诉我们，双曲线上每一点到焦点的距离之差的绝对值恒定为2a，其中a是双曲线的距离焦点的常量。
抛物线的焦点弦公式对于一个抛物线而言，焦点弦公式可以表示为：PF = 2a在这个公式中，PF表示焦点F到弦的距离，2a是抛物线的焦半径。
抛物线是一种特殊的曲线，它的形状类似于开口朝上或朝下的碗。
焦点弦公式告诉我们，抛物线上每一点到焦点的距离恒定为2a，其中a是焦半径的一半。
理解焦点弦公式的重要性焦点弦公式在几何学中起着重要的作用，它不仅帮助我们理解曲线的形态和特性，还可以用于解决与曲线相关的各种问题。
例如，通过焦点弦公式，我们可以计算椭圆的长轴和焦点之间的关系，双曲线的焦点距离等。
另外，焦点弦公式在其他学科中也有广泛的应用，如天文学中描述行星和彗星的运动轨迹，工程领域中描述声波的传播路径等等。
总结焦点弦公式是描述椭圆、双曲线和抛物线的几何性质的基本公式之一。
它用于计算曲线上焦点和弦之间的关系，帮助我们理解曲线的形态和特性。
无论是从几何学的角度还是从其他学科的应用角度，焦点弦公式都具有重要的意义。
我们可以通过掌握焦点弦公式，更好地理解曲线的几何性质，解决相关问题，并将其应用于其他学科中。
抛物线焦点弦长公式二级结论
抛物线焦点弦长公式二级结论
抛物线焦点弦长公式是：<a>AB=2*a*sqrt{c^2-(b^2)/4a^2}</a>
一、抛物线焦点弦长定义
1、抛物线焦点弦（AB）是抛物线的一部分，它由焦点之间的两个点构成，它们分别为上抛物线上的焦点F1和下抛物线上的焦点F2；
2、抛物线焦点弦的长度表示两个焦点连线的长度，即两点F1，F2之间的直线距离；
二、抛物线焦点弦长公式
抛物线焦点弦长公式是：AB=2*a*sqrt{c^2-(b^2)/4a^2}，其中a为抛物线顶点到水平轴的距离，b为抛物线顶点到垂线的距离，c为抛物线焦点到垂线的距离。
三、抛物线焦点弦长使用
1、由抛物线焦点弦长公式可知，我们可以利用这个公式求出若干特定抛物线的焦点弦的长度；
2、抛物线焦点弦的长度也可用于解决日常生活中的物理问题，比如可以确定抛物线上任意两点之间的距离等；
四、抛物线焦点弦长结论
抛物线焦点弦长公式可以使用来求解抛物线的焦点弦的长度，而且该长度也可以用于解决实际中的一些物理问题。
抛物线焦点弦长公式的证明与应用
抛物线焦点弦长公式的证明与应用假设我们有一个以焦点F为顶点的抛物线，并且抛物线上的一点为P。
我们可以将点P的横坐标设为x，纵坐标设为y。
由于抛物线的对称性，我们知道焦点F的横坐标为a，纵坐标为b。
首先，我们需要知道抛物线的定义。
根据定义，抛物线是一条曲线，使得从焦点到曲线上任意一点的距离与该点到直线准线的距离相等。
现在，我们可以使用距离公式来得到抛物线焦点弦长公式。
根据距离公式：距离公式1：PF=√((x-a)²+(y-b)²)（1）根据焦准关系，我们可以得到焦点到点P的距离：距离公式2：PF=√((x-a)²+y²)（2）将公式1和公式2相等，我们可以得到：√((x-a)²+y²)=√((x-a)²+(y-b)²)（3）将上述方程两边平方，我们得到：(x-a)²+y²=(x-a)²+(y-b)²（4）我们可以将方程4进行整理，得到：y²=(y-b)²（5）展开方程5，我们得到：y² = y² - 2by + b² （6）同时，我们可以将方程6进行整理，得到：2by = b² （7）化简方程7，我们得到：y=b/2（8）因此，我们可以得出结论，在抛物线上，从焦点到抛物线上其中一点的线段的长度为焦点到准线的距离的二倍。
现在，我们将探讨一些抛物线焦点弦长公式的应用。
1.焦点弦长和顶点连线的关系根据抛物线焦点弦长公式，从顶点到焦点的弦长等于焦点到准线的距离的二倍。
这个性质使我们能够通过其中一抛物线焦点弦长的已知量，推导出顶点与焦点之间的距离。
2.确定抛物线焦点抛物线焦点弦长公式允许我们通过已知线段的长度和线段的一个端点，确定焦点和抛物线的形状。
例如，我们可能已知抛物线上其中一点到焦点的距离为d，以及该点横坐标的值。
通过使用抛物线焦点弦长公式，我们可以联立方程并求解焦点的坐标。
抛物线焦点弦的弦长公式
关于抛物线焦点弦的弦长公式在高中教材第八章中有关于倾斜角的焦点弦，求焦点弦的弦长的问题，其中只介绍了开口向右时的焦点弦的长度计算问题：(1)：抛物线的方程为px y22=)0(>p ，过焦点F 的弦AB 交抛物线于A B 两点，且弦AB 的倾斜角为θ，求弦AB 的长。
解：由题意可设直线AB 的方程为)2(p x k y -=)2(πθ≠将其代入抛物线方程整理得： 0)84(422222=++-kp k xkx p p ，且θtan =k设A,B 两点的坐标为),(),,(2211y x y x 那么：kk xx p p 22212+=+，4221px x =)(sin )(2212224211||θpAB x x x x k=-+=+当2πθ=时，斜率不存在，1sin =θ，|AB|=2p.即为通径而如果抛物线的焦点位置发生变化，那么以上弦长公式成立吗？这只能代表开口向右时的弦长计算公式，其他几种情况不尽相同。
现在我们来探讨这个问题。
(2)：抛物线的方程为)0(22>=p py x，过焦点的弦AB 交抛物线于A,B 两点，直线AB 倾斜角为θ，求弦AB 的长。
解：设A,B 的坐标为),(),,(2211y x y x ，斜率为k )tan (θ=k ，而焦点坐标为)2,0(p ，故AB 的方程为kx py =-2，将其代入抛物线的方程整理得： ,0222=--pxpkx 从而p x x x x pk 22121,2-==+，弦长为：)(cos )(2212224211||θpAB x x x x k=-+=+p AB 2||,1cos ,0===θθ，即为通径。
而px y22-=与〔1〕的结果一样，py x 22-=与〔2〕的结果一样，但是〔1〕与〔2〕的两种表达式不一样，为了统一这两种不同的表达式，只须作很小的改动即可。
现将改动陈述于下：〔3〕：抛物线的方程为px y22=)0(>p ，过焦点F 的弦AB 交抛物线于A ，B 两点，且弦AB 与抛物线的对称轴的夹角为θ，求弦AB 的长。