学案—— 7一元二次方程
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设横、竖两条路的宽分别为2x、 3x，可列方程
（答案不唯一） .
（三）冲刺名校（C组）
9.已知 x1、x2 是关于x的方程 x2 2m 1 x m2 5 0 的两实数根，且 x1 + x2 =2（m+1）.
（1）求m的取值范围；
（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若 x1 、x2 恰好是△ABC另两
（2）一元二次方程的一般形式为 ax2 bx c 0(a 0)
2. 一元二次方程的基本解法公式法、直接开平方法、配方法、
因式分解法；求根公式为
.
3. 一元二次方程根的判别式
b2 4ac . 当 0 时，方程有 的实数根；当 0 时， 方程有 的实数根；当 0 时，方程 实数根.
（1）1.5×4＝6（万座）．答：略．
（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增 长率为x，依题意，得：6（1+x）2＝17.34，解得：x1＝0.7＝ 70%，x2＝﹣2.7（舍去）．答：略．
（二）能力提升（B组）
8．如图1，在一块长为30米、宽为18米的矩形地面上，要修建 两条互相垂直的道路，横、竖两条路的宽度比为2：3（两条道 路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积 为300平方米．请设未知数，并列出方程（不要求解）.
6.因式分解法的根据是 “若ab=0 ，则a=0 或b=0 ”，由此得
x(2x 1) 0 方程的解为
.
7.某一种药原价为100元，经过两次降价后，现价为50元，
设平均每次降价的百分率为x，可列方程为
.
二、考点梳理
1．一元二次方程的概念 （1）定义：只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的 整式方程；
A．-1或2 B．-1 C．2 D．0
5．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆 植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈 利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？ 设每盆多植x株，则可以列出方程是（ A ）
A.（3+x）（4-0.5x）=15 B.（x+3）（4+0.5x）=15
边的长，求m的值和△ABC的周长.
（1）
（2）①当7为腰长时，则7为方程的一个解，代入求得 ，
，当
时， + =2（m+1）＝22，解得 ＝15，而
7+7<15，舍去；当
时，同样可求 ＝3，此时周长为17；
②当7为底边长时，则 ＝ ，m＝2，可求 ＝ ＝3，而 3+3<7，舍去.综上所述，m的值是4，周长为17.
5．一元二次方程应用问题主要类型
（1）增长率问题：设基数为a，平均增长百分率为 ，则一次增长后的值为 ；
两次增长后的值为
；增长率问题基本模型为 a(1 x)2 b .
（2）面积问题：分析图形时，注意用“平移”的方法将散的面积部分集中.
三、典例解析
例1．用适当的方法解方程：4x2 12x 9 81
4.一元二次方程 x2 2x 3 0 的根的情况是（ C ）
A．有两个不相等的实数根 C．没有实数根
B．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
5.用配方法解一元二次方程 x2 4x 5 时，此方程可变形为（ D ）
A. x 22 1
B. x 22 1 C. x 22 9 D. x 22 9
第7课时 一元二次方程
一、以题点知
1.方程 ax2 bx c 0 ，当
时，是一元二次方程；当 a 0
而
时是一元一次方程.
2.方程 x2 mx k 1 化为一般形式为
，
其中常数项是
.
3.若 x1，x2 是一元二次方程 x2 3x 2 0 的两根，
则 x1 x2 ___3__, x1 x2 ___2__
例2．（2020玉林）已知关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有两
个不相等的实数根.
（1）求k的取值范围； （2）若方程的两个不相等的实数根是a，b，求
awenku.baidu.com
a 1
b
1
1
的值.
（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，即4－ 4×1×（－k）＞0，∴k＞－1；
（2）
＝
∵a＋b＝-2，ab＝k，∴原式＝
＝
四、中考演练
（一）基础训练（A组）
1．（2020扬州）方程（x+1）2=9的根是
.
2．方程 (x 1)(2x 1) 0 的解是
.
3. （2020北京）已知关于x的方程 x2 2x k 0 有两个相等的 实数根，则k的值为 1 ．
4.（2020武威）已知x＝1是一元二次方程（m-2）x2+4x-m2＝ 0的一个根，则m的值为（ B ）
C.（x+4）（3-0.5x）=15 D.（x+1）（4-0.5x）=15
6. 解方程：(1) 2x2 4x 1 0
(2) x2 2 1 6
x2
x2
x1=-3，x2=2（舍去）
7.（2019广州）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正 加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东 5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是 目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座． （1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？ （2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的 年平均增长率．
（答案不唯一） .
（三）冲刺名校（C组）
9.已知 x1、x2 是关于x的方程 x2 2m 1 x m2 5 0 的两实数根，且 x1 + x2 =2（m+1）.
（1）求m的取值范围；
（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若 x1 、x2 恰好是△ABC另两
（2）一元二次方程的一般形式为 ax2 bx c 0(a 0)
2. 一元二次方程的基本解法公式法、直接开平方法、配方法、
因式分解法；求根公式为
.
3. 一元二次方程根的判别式
b2 4ac . 当 0 时，方程有 的实数根；当 0 时， 方程有 的实数根；当 0 时，方程 实数根.
（1）1.5×4＝6（万座）．答：略．
（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增 长率为x，依题意，得：6（1+x）2＝17.34，解得：x1＝0.7＝ 70%，x2＝﹣2.7（舍去）．答：略．
（二）能力提升（B组）
8．如图1，在一块长为30米、宽为18米的矩形地面上，要修建 两条互相垂直的道路，横、竖两条路的宽度比为2：3（两条道 路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积 为300平方米．请设未知数，并列出方程（不要求解）.
6.因式分解法的根据是 “若ab=0 ，则a=0 或b=0 ”，由此得
x(2x 1) 0 方程的解为
.
7.某一种药原价为100元，经过两次降价后，现价为50元，
设平均每次降价的百分率为x，可列方程为
.
二、考点梳理
1．一元二次方程的概念 （1）定义：只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的 整式方程；
A．-1或2 B．-1 C．2 D．0
5．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆 植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈 利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？ 设每盆多植x株，则可以列出方程是（ A ）
A.（3+x）（4-0.5x）=15 B.（x+3）（4+0.5x）=15
边的长，求m的值和△ABC的周长.
（1）
（2）①当7为腰长时，则7为方程的一个解，代入求得 ，
，当
时， + =2（m+1）＝22，解得 ＝15，而
7+7<15，舍去；当
时，同样可求 ＝3，此时周长为17；
②当7为底边长时，则 ＝ ，m＝2，可求 ＝ ＝3，而 3+3<7，舍去.综上所述，m的值是4，周长为17.
5．一元二次方程应用问题主要类型
（1）增长率问题：设基数为a，平均增长百分率为 ，则一次增长后的值为 ；
两次增长后的值为
；增长率问题基本模型为 a(1 x)2 b .
（2）面积问题：分析图形时，注意用“平移”的方法将散的面积部分集中.
三、典例解析
例1．用适当的方法解方程：4x2 12x 9 81
4.一元二次方程 x2 2x 3 0 的根的情况是（ C ）
A．有两个不相等的实数根 C．没有实数根
B．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
5.用配方法解一元二次方程 x2 4x 5 时，此方程可变形为（ D ）
A. x 22 1
B. x 22 1 C. x 22 9 D. x 22 9
第7课时 一元二次方程
一、以题点知
1.方程 ax2 bx c 0 ，当
时，是一元二次方程；当 a 0
而
时是一元一次方程.
2.方程 x2 mx k 1 化为一般形式为
，
其中常数项是
.
3.若 x1，x2 是一元二次方程 x2 3x 2 0 的两根，
则 x1 x2 ___3__, x1 x2 ___2__
例2．（2020玉林）已知关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有两
个不相等的实数根.
（1）求k的取值范围； （2）若方程的两个不相等的实数根是a，b，求
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a 1
b
1
1
的值.
（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，即4－ 4×1×（－k）＞0，∴k＞－1；
（2）
＝
∵a＋b＝-2，ab＝k，∴原式＝
＝
四、中考演练
（一）基础训练（A组）
1．（2020扬州）方程（x+1）2=9的根是
.
2．方程 (x 1)(2x 1) 0 的解是
.
3. （2020北京）已知关于x的方程 x2 2x k 0 有两个相等的 实数根，则k的值为 1 ．
4.（2020武威）已知x＝1是一元二次方程（m-2）x2+4x-m2＝ 0的一个根，则m的值为（ B ）
C.（x+4）（3-0.5x）=15 D.（x+1）（4-0.5x）=15
6. 解方程：(1) 2x2 4x 1 0
(2) x2 2 1 6
x2
x2
x1=-3，x2=2（舍去）
7.（2019广州）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正 加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东 5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是 目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座． （1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？ （2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的 年平均增长率．