考研级数典型例题完美版讲析

内容要点 一， 概念与性质

（一） 概念由数列 u 1,u 2, ,u n , 构成的式子

称为无穷级数，简称为级数 . u n 称为级数的一般项， s n

级数的部分和

二）性质

3, 级数增减或改变有限项，不改变其敛散性 . 4, 若级数收敛，则任意加括号后所成的级数仍收敛 5（收敛的必要条件 ）, 若 u n 收敛，则 lim u n 0.

n 1

n

注意：若 l n

im u n 0.则 u n 必发散. 而若 u n 发散, n n

n 1 n n 1 n

lim u n

0.

n

（三） 两个常用级数 1, 等比级数

1, 若 u n 收敛，则 ku

n 1

n 1

k u n

.

n1

2, 若 u n , v n 收敛，则

n1 n 1

u n v

n1

u

n1

v n .

n1

n

u i 称为

i1

如果 lim s n s , 则称级数

u n 收敛， s 称为该级数的

和 n1

. 此时记

u n

n1

s . 否则称级数发散

则不一定

2, p 级数 二，正项级数敛散性判别法 （ 一 ） 比较判别法

设 u n , v n 均为正项级数，且 u n v n （n 1,2, ）, 则 n 1 n1

v n 收敛

u n 收敛；

n1

n 1

u n 发散

v n 发散

n1

n 1

（ 二） 极限判别法

如果对 p 1, l n im n p u n l(0 l

), 则 n1u n 则收敛 .

（ 三 ） 比值判别法

设 u n 为正项级数，若 n1

二， 交错级数收敛性判别法 莱布尼兹判别法：设

1n 1u n （u n 0）为交错级数，如果满足：

n1

1, u n u n 1（n 1,2, ）2, lim u n

n

则此交错级数收敛 .

三， 任意项级数与绝对收敛

（一） 绝对收敛如果 u n 收敛，则称 u n 绝对收敛 .

n 1

n 1

二） 条件收敛如果 u n 收敛，但 u n 发散,则称 u n 条件收

n 1 n 1 n 1

敛.

（三） 定理若级数绝对收敛，则该级数必收敛 . 函数项级数 一、主要内容

1、基本概念 函数列（函数项级数）的点收敛、一致收敛、内闭

如果 lim nu n l(0 l n

）,则 u n 发散；

n1

一致收敛、绝对收敛、和函数

幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域

2、一致收敛性

A、函数列{ f n（x）}

一致收敛性的判断：

（1）定义：用于处理已知极限函数的简单函数列的一致收敛性（2）Cauchy 收敛准则：用于抽象、半抽象的函数列的一致收敛性的判断

（3）确界（最大值方法）：||f

n

（x） f （x）|| 0

（4）估计方法：| f n（x） f（x）| a n 0

（5）Dini- 定理：条件1）闭区间[ a, b]；2）连续性；3）关于n的单调性

注、除Cauchy 收敛准则外，都需要知道极限函数，因此，在判断一致收敛性时，一般应先利用点收敛性计算出极限函数。注、定义法、确界方法和估计方法的本质是相同，定义方法通常处理抽象的对象，估计方法是确界方法的简化形式，估计方法处理较为简单的具体的对象，确界方法是通过确界的计算得到较为精确的估计，通常用于处理具有一般结构的具体的函数列，也可以用于非一致收敛性的判断。

注、Dini 定理中，要验证的关键条件是关于n 的单调性，定理中相应的条件为“对任意固定的x [a,b]，{ f n(x)}作为数列关于n 是单调的”，注意到收敛或一致收敛与函数列前面的有限项没有关系，

上述条件也可以改为“存在N，当n>N时”条件成立即可，但是，要注意N必须是与x 无关的，即当n>N时，对所有任意固定的x [a,b]，{ f n(x)}关于n 单调，因此，此时的单调性也称为对n 的单调性关于x 一致成立。

非一致收敛性的判断

(1)定义

(2)Cauchy 收敛准则

(3)确界法：存在x n，使得|| f n(x n) f(x n)||不收敛于0 (4)和函数连续性定理

(5)端点发散性判别法：{ f n(x)}在c 点左连续，{ f n(c)}发散，则{ f n(x)} 在

(c ,c)内非一致收敛注、在判断非一致收敛性时，按照使用时的难易程度，可以按如下顺序使用相应的方法进行判断：端点发散性判别法、和函数连续性定理、确界方法、定义法、Cauchy 收敛准则。

B、函数项级数u n (x)

致收敛性的判断 （1）定义

（2）Cauchy 收敛准则 （3）转化为函数列（部分和） （4）余项方法： {r n

（x ）}

一致收敛于 0

（5）几个判别法： W-法， Abel 法， Dirichlet 法， Dini- 法 经典

例题

例 1 判断级数 (1) 1

； (2) n

1 的敛散性 . n 1n n

n 1

n

解： (1) 1

=

1

3 n 1

n n n 1 2 n 2

性.

n

级数

n1

n 32n 发散.

别法可知

(p 32 1)收敛 (2) 由于 lim n

n 1

n

lim u n

1 n1n n

l n im n 1n 1 0,故

1

发散. 例 2 判别级数 .（1）

n 2

(n 1)(n 3)

；(2)

n

1 n 32n

；(3)

n1 n 1 n(n

2)

的敛散

解： （1） 由于

(n 1)(n 3) (n 3)

1 1

2( n 2,3 ),而

n 2

(n 3) 1

2

1

2

收敛

n 5

n

故由比较判别法可知级数 1 收敛 .

n 2

(n 1)(n 3)

n

(2) 由于

n 32n

n

n2

n

1（ n 1,2, ）,而 1发散，由比较判别法可知

n1

n

（3） 由于

n1

n1 n(n 2) (n 1)(n 2) n 2 n 1 n 2

, 而

发散， 由比较判

n 3 n