复变函数B练习题参考答案

复变函数与积分变换B 参考答案

1． 4331i i z --=-=

， 2

1=z ， 43)Re(-=

z ，65arg π-=z 三角表示和指数表示分别为i e i z 652

165sin 65cos 21π

ππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-

+⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=.

2．⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=--=43sin 43cos 21ππi i z ，

44=z

() ,2,1,0,24±±==k k z Arg π.

3．⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫

⎝⎛-

=-=3sin 3cos 4322ππi i z ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢

⎢⎢⎣⎡

-+-=332sin 332cos 43

3

ππππk i k z ,

.2,1,0=k

4．

i

k Ln e e

z π22

1

22

1

===，

()()()()

ππk z k z 22sin Im ,22cos Re ==, ,2,

1,0±±=k .

5．i e z

97--=， 92-=πk Argz （ ,2,1,0±±=k ）， 92arg -=πz .

6．()

⎪⎭⎫ ⎝

⎛-+=--+--=--4325ln 2122ln )2(ππk i i iArg i i Ln ， ,2,

1,0±±=k

主值i i 4

35ln 21)2ln(π-=--.

7．()0sin 23

=-+⎰

=z z

dz z z e

.

8．函数)(z f 在2-=z 处的去心邻域δ<+<20z 内的洛朗展式为

()() ++-++-++=2282

1

23)(2

z z z z f （1）2-=z 是本性奇点； （2）[]12,

)(Re -=-z f s .

9．（1）[]()i i z z i z f s i z 433lim ,)(Re 2='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=→，[]()i i z z i z f s i z 433lim ,)(Re 2-='

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--=--→；

（2）[][]0,)(Re 2,)(Re 2)(=-+=⎰i z f s i i z f s i dz z f c

ππ.

10．

2

2

)1(2)1(341,452Re 2452e i z z e s i dz z z e z z c

z z ππ-=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-=+-++⎰

. 11．

i z z i z z i dz z z z z z c

πππ25)12(lim 2)

3(2lim 2)3)(12(2322

12-=-++=+--→→⎰

.

12．

()0cos !

222cos 23

="=⎪

⎭⎫

⎝

⎛

-=⎰πππz c z i

dz z z

. 13．()()∑∞

+=⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+-=+02121!21121

cos n n

n

z n z ,

021,121cos Re 2121cos

3

=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

-+=+⎰

=z s i dz z z π. 14．2sin 41

2cos 218382sin 412cos 212sin 221

11-+--=+-=-====⎰e i e i z z z zdz z i

z z i

z z i

.

15．

2212)(iy x z f -+= , 22,12y v x u -=+=,由柯西黎曼方程⎩⎨

⎧-=-=0

024y

x ，解得

x y 2-=，所以函数)(z f 只在()R x xi x z ∈-=2处可导，复平面处处不解析。

导数为

x z f xi x z 4)(2='-= ()R x ∈.

16．:C t i z )1(+=,10:→t

()()()14

11)Re(21

22

2

-+=

+=⎰⎰

e i dt te i dz z e

t c

z

.

17．:C 02:,2→=πθθ

i e z ，

i id dz z c

πθπ8420

-=-=⎰

⎰.

18. []1

)2(2

1)2(21)2()(2

22+-++--=+-=

s s s s s t f L t e t e s s

L t f t t sin 2cos 1)2()(222

1+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-=-. 19. 4)

2(1

)]([+=

s t f L ， 40)2(1])([+=⎰s s dt t f L t .