第8章 图的基本概念

习题8

1. 给定下面两个图的集合表示，画出他们的图形表示。

>=<111,E V G ,

其中},,,,{543211v v v v v V =，)},(),,(),,(),,(),,{(43415351211v v v v v v v v v v E =

>=<222,E V D ,

其中},,,,{543221v v v v v V =，},,,,,,,,,{43412552212><><><><><=v v v v v v v v v v E 注：2D 改为2G 解：

2. 先将下图中各图的顶点标定次序，然后写出各图的集合表示。

解：顶点标定如下：

图G1

图G2

V5

V5

（1）

（2）

（3）

(1) 其中},,,{43211v v v v V =，)},(),,(),,(),,(),,{(43324131211v v v v v v v v v v E = (2) 其中},,,,{543221v v v v v V =，)},(),,(),,(),,{(545452212v v v v v v v v E = (3) 其中},,,,{543231v v v v v V =，

},,,,,,,,,,,{4534133251213><><><><><><=v v v v v v v v v v v v E

3. 写处下图中各图的度数列，对有向图还要写出出度列和入度列。

解：（1）4,2,2,2 （2）度数列：1,4,1

,5,1；出度列：1，2，0，3，0；入度列：0，2，1，2，1

4. 设无向图中有6条边，3度与5度顶点各1各，其余的都是2度顶点，问该图有几个顶点？ 注：“各1各”改为“各1个”。

解：设该图有x 个顶点，3×1+5×1+2×(x-1-1)=6×2，x=4

5. 画以（1，2，2，3）为度数列的简单图和非简单图各一个。 解：

（1）

（2）

（3）

V5

（1）

（2）

3

v 1v 23v

6．证明在任何有向完全图中，所有结点入度的平方之和等于所有结点的出度平方之和。 证明：设有向完全图有n 个结点v 1, v 2,…, v n ， 结点v i 的入度为d -(v i )=n-1，出度为d +

(v i )=n-1， 所有结点入度的平方之和为

()()

()2112

2i

-1-n 1-n )(v d ∑∑====n i n

i n ，

所有结点出度的平方之和为

()()

()21

1

2

2

i 1-n 1-n )

(v d

∑∑==+

==n

i n

i n ，

故所有结点入度的平方之和等于所有结点的出度平方之和。

7．写出下图相对于完全图的补图。

解：

8．证明下图中的两个图不同构。

证明：将图的顶点标定如下：

如果这两个图同构，那么对应结点的度数应相同。度数为3的两个结点v 1与v 1'相对应。但与v 1邻接的三个结点中一个结点v 2度数为2，两个结点v 3 ,v 4度数为1，而与v 1'邻接的三个结点中有两个结点v 2',v 3'度数为2，一个结点v 4'度数为1，故他们不同构。

9．一个图如果同构于它的补图，则该图称为自补图。 1）试给出一个五个结点的自补图。

2）是否有三个结点或六个结点的自补图。

3）一个图是自补图，其对应的完全图的变数必为偶数。 注：3）中“变数”应为“边数”。 解： 1)

v 3 v 4

'

1v

'2

v '

3

v

2)没有。由3），n(n-1)/2应为偶数，而n=3,6时，n(n-1)/2为奇数。

3）若n 阶图G 与其补图G 同构，G 与G 的边数应相同，因此G 与G 的总边数为偶数。而G 与G 的总边数为对应的完全图的边数，即n(n-1)/2，故对应的完全图的边数为偶数。

10．证明简单图的最大度小于结点数。

证明：设简单图G 有n 个结点。对任一结点u ，由于G 没有环和平行边，u 至多与其余n-1个结点中每一个有一条边相连接，即deg(u)≤n -1，因此，⊿(G)＝max deg(u)≤n -1。

11．在无向图G 中，从结点u 到结点v 有一条长度为偶数的通路，从结点u 到结点v 有一条长度为奇数的通路，则在G 中必有一条长度为奇数的回路。

证明：设从结点u 到结点v 长度为偶数的通路是ue 1u 1e 2u 2…e 2k v ，长度为奇数的通路是ue 1

1u 1

1e 1

2u 1

2…e

1

2h-1

v ，那么路ue 1u 1e 2u 2…e 2k ve 1

2h-1

…u 12e 12u 11e 1

1u 就是一条回路，它的边数＝2k+(2h-1)＝2(h+k)-1，是奇数，故这条回路的长度是奇数。

12．若无向图G 中恰有两个奇数度的结点，则这两结点间必有一条路。

证明：反证法。证明：设G 中的两个奇数度结点分别为u 和v 。假设u 和v 不连通，即它们之间无任何通路，则G 至少有两个连通分支G 1，G 2，使得u 和v 分别属于G 1和G 2 (否则,它们之间必有通路)，于是G 1和G 2各含有一个奇数度结点。这与握手定理的推论矛盾（教材P136定理8.1.2）。因而u 和v 一定是连通的。

13．若图G 是不连通的，则G 的补图G 是连通的。 注：图G 是无向图。

证明：若图G ＝是不连通的，可设图G 的连通分支是G(V 1)，G(V 2)，…，G(V m )(m≥2)。由于任意两个连通分支G(V i )与G(V j )(i≠j)之间不连通，因此两个结点子集V i 与V j 之间的所有连线都在图G 的补图G 中。任取两个结点u 和v ，有两种情形：

(1)u 和v 分别属于两个不同结点子集V i 与V j 。由上可知G 包含边(u,v)，故u 和v 在G 中是连通