第8章 图的基本概念
建筑力学第八章 结构体系的几何组成分析
第一节 几何组成分析的基本概念 第二节 平面体系的自由度 第三节 几何不变体系的组成规则 第四节 几何组成的分析方法 第五节 体系的几何组成与静定性的关系
第一节 几何组成分析的基本概念
几何组成分析，是以几何不变体系的组成规则为根据，确定体系的几何形状和空 间位置是否稳定的一种分析方法
分析时可针对体系的具体情况，从以下几个方面入手： ①、依次撤除体系上的一元片及二元片，使体系的组成简化，再根据基本组成 规则进行分析 ②尽可能地将体系中几何不变的局部归结为两个或三个刚片，然后考察刚片间 的连接方式是否满足几何不变体系的组成规则； ③体系仅用不共点的三根链杆与地基相连时，可先拆除这三根链杆，再由体系 的内部可变性确定整个体系的几何性质。
解：将图8-13a中的AEC、DFB与基础分别视为刚片I、II、III，刚片I和III以 铰A相联，A铰用(1，3)表示，B铰联系刚片II、III以(2，3)表示，刚片I和 刚片II是用CD、EF两链杆相联，相当于一个虚铰O用(1，2)表示，如图813b所示。则连接三刚片的三个铰(1，3)、(2，3)、(1，2)不在一直线上， 符合规则二，故为不变体系，且无多余约束。
二 、 三刚片规则
三刚片规则：三个刚片用不共线的三个铰两两相连，组成几何不变体系， 且无ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ余约束。
第三节 几何不变体系的组成规则
常变体系 瞬变体系
瞬变体系是不可以用于工程结构的
第四节 几何组成的分析方法
一、计算体系的自由度W，判别体系是否满足几何不变的必要条件。 若自由度W＞0，体系是几何可变的 若自由度W≤0，在此基础上进一步对体系进行几何组成分析。 二、对体系进行几何组成分析，判别其是否满足几何不变的充分条件。 (1)一元片撤除 (2)二元片撤除 (3)刚片的合成
运筹学8图与网络分析
e3 。在剩下的图中，再取一个圈
定理8.7充分性的证明，提供了一个 寻找连通图支撑树的方法叫做“破圈法”。 就是从图中任取一个圈，去掉一条边。再 对剩下的图重复以上步骤，直到不含圈时 为止，这样就得到一个支撑树。
例8.4 用破圈法求出图8-11的一个支
撑树。
v2
e1
e7 e4
v1
e3 v4
e8
v5
e2
e5
v3
e6
图8-11
取一个圈(v1,v2,v3,v1)，在一个圈中去掉边
3
4
初等链：链中所含的 点均不相同, 也称通 路；
5
6
为闭链或回路或圈；
简单圈：如果在一个圈中所含的边均不相同 初等圈：除起点和终点外链中所含的点 均
不相同的圈；
连通图：图中任意两点之间均
至少有一条通路，否则 v1
v4 v5 v8
称为不连通图。
v2
初等链: (v1 , v2 , v3 , v6 ,
图的连通性：
简单链：链中所含的 边均不相同；
圈：若 v0 ≠ vn 则称该链为开链，否 则称
1
2
链：由两两相邻的点及其相 关联的边构成的点边序列。 如:v0 ,e1 ,v1 ,e2 ,v2，e3 ,v3 ,…,vn1 , en ， vn ; v0 ，vn 分别为链的起点和终点 。记 作（ v0 ,v1 , v2， ,v3 , …, vn-1 , vn ）
v5
v7
(v5
,v1v6),(v6
(v4 ,v6),(v5 ,v7)}
,v3),(v5
v6
,v4),
v2
v4
图8.5
下面介绍一些常用的名词：
测量学8第八章
• 1.可量测性 • 2.直观性 • 3.一览性
§8－1 地形图的基本知识 （三）地形图
地形图是地图的一种。
它是将地球表面的地物和 地貌，用规定的符号和一 定的比例尺，按垂直（正 射）投影关系，测绘在图 纸上得到的地图。
地球表面的自然地理、行政区域、社会经济状况的图形。同时，地 图也是一个国家领土主权的重要标识。
• 地图与地面写景图或地面照片不同，它具有严格的数学基础，科学 的符号系统，完善的文字注记规则，并采用制图综合原则科学地反 映出自然和社会经济现象的分布特征及其相互联系。
§8－1 地形图的基本知识
• （二）地图的特性
的水流方向等。绘图的比例不同，则符号的大小和详略程 度也有所不同。
地形图的基本知识
数字地形图 digital topographicmap 将地形信息按一定的规则和方法采用计算机生成和计算机数据格式存储的地形图。
它不仅表示地面点的平面 位置，还表示地面点的高 低起伏状态。
1:2000
§8－1 地形图的基本知识
二、地形图比例尺
• 1.比例尺定义 • 地图上某线段的长度d与实地的水平长度D之比称为地图比例尺，即1/M＝D/d • 式中,M是比例尺分母。 • 数字式 • 可以用比的形式，如：1：50 000,1：10万，也可以用分数式，如：1/50
分水线和集水线在山区的工程设计中有重要意义。
山区一系列形成 河流流域的分水岭。例如 秦岭为黄河与长江的分水 岭。
2 8
3.鞍部的等高线
典型的鞍部是在相对的两个山脊和山谷的会聚处，形如马 鞍。它的左、右两侧的等高线是大致相对称的两组山脊线和两 组山谷线。山脉的鞍部称为“岭”。鞍部或岭在山区道路的选 线中是一个关节点，越岭道路常须经过鞍部。
《机械制图》(张雪梅)教学课件 第八章 零件图
第一道工序：单向上限值，Rz为1.6 μm，表面纹理没有要求，去除材料的工艺。
第二道工序：镀铬，无其他表面结构要求。
第三道工序：一个单向上限值，仅对长为50 mm的圆柱表面有效，Rz为6.3 μm，表面纹
➢ 4.表面结构要求在图纸中的注法
4.1 表面结构表示法
（1）表面结构要求对每一表面一般只注一次，并尽可能注在相应的尺寸及其公差的同一视图上。 除非另有说明，所标注的表面结构要求是对完工零件表面的要求。
（2）表面结构的注写和读取方向与尺寸的注写和读取方向一致。表面结构要求可标注在轮廓线 上，其符号应从材料外指向并接触表面，如图8-15所示。必要时，表面结构也可用带箭头或黑 点的指引线引出标注，如图8-16所示。
在零件图上标注尺寸时，不仅要考虑设计要求，还应使标注出的尺寸便于测量和校验。 如图8-11（a）所示，尺寸A不便于测量，应按图8-11（b）标注尺寸。
3.3 标注尺寸应注意的问题
图8-9 封闭尺寸链
图8-10 开口尺寸链
3.3 标注尺寸应注意的问题
（a）不正确
（b）正确
图8-11 标注尺寸应便于测量
图8-1 左端盖及其零件工作图
零件图的 内容
（1）一组图形。用一组恰当的图形（如局部视图、剖视图、断
1
面图及其他规定画法等）将零件各组成部分的内外形状和位置关 系正确、完整、清晰地表达出来。如图8-1所示，用一个基本视
图表达泵盖的外形，用A―A全剖视图表达泵盖的内部形状。
2
（2）全部尺寸。在零件图上应正确、完整、清晰、合理地标注零 件在制造和检验时所需要的全部尺寸，以确定其结构大小。
(图论)图的基本概念--第一章
证明 设G＝<V，E>为任意一图，令
V1＝{v|v∈V∧d(v)为奇数} V2＝{v|v∈V∧d(v)为偶数} 则V1∪V2＝V，V1∩V2＝ ，由握手定理可知
2m d (v) d (v) d (v)
vV
vV1
vV2
由于2m和 d (v) ，所以 d (v) 为偶数，
举例
NG(v1) ＝ {v2，v5} NG(v1) ＝ {v1，v2，v5} IG(v1) ＝ {e1，e2，e3}
Г+D(d ) ＝ {c} Г-D(d ) ＝ {a，c} ND(d ) ＝ {a，c} ND(d ) ＝ {a，c，d}
简单图与多重图
定义1.3 在无向图中，关联一对顶点的无向边如果多于1条，则 称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。 在有向图中，关联一对顶点的有向边如果多于1条，并且这些 边的始点和终点相同(也就是它们的方向相同)，则称这些边 为平行边。 含平行边的图称为多重图。 既不含平行边也不含环的图称为简单图。
无向图和有向图
定义1 一个无向图是一个有序的二元组<V，E>,记作G，其中 （1）V≠称为顶点集，其元素称为顶点或结点。 （2）E称为边集，它是无序积V&V的多重子集，其元素称为无向 边，简称边。
定义2 一个有向图是一个有序的二元组<V，E>，记作D，其中 （1）V≠称为顶点集，其元素称为顶点或结点。 （2）E为边集，它是笛卡儿积V×V的多重子集，其元素称为有向 边，简称边。
vV2
vV1
但因V1中顶点度数为奇数， 所以|V1|必为偶数。
问题研究
问题：在一个部门的25个人中间，由于意见不同，是否可能每 个人恰好与其他5个人意见一致？
第八章 图论8.4树及其应用.ppt
⑥ G中每一对结点之间有惟一一条基本通路。(n≥2)
2017/10/10 82-9
定理4.2.1 分析
直接证明这 6 个命题两两等价工作量太大，一 般采用循环论证的方法，即证明
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (1) 然后利用传递行，得到结论。
2017/10/10
证明 TG = <VT, ET> 是 G = <V, E> 的生 分析 必要性：假设 必要性由树的定义即得，充分性利用构造性 成树，由定义 4.2.1 ， TG 是连通的，于是 G 也是连通的。 方法，具体找出一颗生成树即可
充分性：假设G = <V, E>是连通的。如果G中无回 路， G 本身就是生成树。如果 G 中存在回路 C1 ，可删除 C1中一条边得到图G1，它仍连通且与G有相同的结点集。 如果G1中无回路，G1就是生成树。如果G1仍存在回路C2， 可删除 C2 中一条边，如此继续，直到得到一个无回路 的连通图H为止。因此，H是G的生成树。
2017/10/10 82-22
思考题
1、一个图的生成树是不是唯一的呢？
2、如果不是唯一的，3个顶点的无向完全图有几棵 生成树？4个顶点的无向完全图又有几棵生成树？n 个顶点的无向完全图又有几棵生成树？
完全图是边数最 多的简单无向图
2017/10/10
82-23
定理4.2.3
一个图G = <V, E>存在生成树TG = <VT, ET>的充分 必要条件是G是连通的。
由定理4.2.1(4) 在结点给定的无向图中， 由定理4.2.1(5) 树是边数最多的无回路图 树是边数最少的连通图 由此可知，在无向图G = (n, m)中， 若m＜n-1，则G是不连通的 若m＞n-1，则G必含回路
图论-图的基本概念
证明：按每个顶点的度来计数边，每条边恰数了两次。 推论 1.1.1 任何图中，奇度顶点的个数总是偶数（包括 0）。 4. 子图
子图(subgraph)：如果 V (H ) ⊆ V (G) 且 E(H ) ⊆ E(G) ，则称图 H 是 G 的子图，记为 H ⊆G。
生成子图(spanning subgraph): 若 H 是 G 的子图且V (H ) = V (G) ，则称 H 是 G 的生成子图。
这便定义出一个图。
2. 图的图示
通常，图的顶点可用平面上的一个点来表示，边可用平面上的线段来表示（直的或曲的）。 这样画出的平面图形称为图的图示。
例如，例 1.1.1 中图的一个图示为
v1
v2
e1
e6 e5
e2
e4
v5
e7
v3
e3 v4
注：（1）由于表示顶点的平面点的位置的任意性，同一个图可以画出形状迥异的很多图示。
图论—基本概念
3) 两结点vi，vj间相互平行的边的条数称为边(vi，vj) 或<vi，vj>的重数；
4) 含有平行边的图称为多重图； 5) 非多重图称为线图； 6) 无自回路的线图称为简单图。
2020年3月14日
计算机科学与技术学院
G3＝<V3,E3>＝<{1,2,3,4,5},{<1,2>,(1,4),<4,3>,
<3,5>,<4,5>}>
2020年3月14日
计算机科学与技术学院
第9页
几个基本概念
1) 在一个图中，关联结点vi和vj的边e，无论是有向的 还是无向的，均称边e与结点vI和vj相关联，而vi和 vj称为邻接点，否则称为不邻接的；
设V＝{v1, v2,…,vn}为图G的结点集，称 (deg(v1),deg(v2),…,deg(vn))为G的度数序列。
上图的度数序列为（3,3,5,1,0）。
2020年3月14日
计算机科学与技术学院
第18页
例
1) （3,3,2,3），（5,2,3,1,4）能成为图的度数序列吗？ 为什么？
2) 已知图G中有10条边，4个度数为3的结点，其余结点 的度数均小于等于2，问G中至少有多少个结点？为什 么？
对任意e∈E，都有e与<u,v>∈VV或者
(u,v)∈V&V相对应。
2020年3月14日
计算机科学与技术学院
第6页
图的分类(按边的方向)
1) 若边e与无序结点对(u，v)相对应，则称边e为无向边, 记为e＝(u，v)，这时称u，v是边e的两个端点；
第八章图论
3. 图的结点与边之间的关系 定义 如果边e={vi,vj}是G的边, 则称结点vi 和vj邻接的, 边e和结点vi ，边e和结点vj称为关联的。 没有与边关联的结点称为孤立点。 关联于同一结点的相异边称为邻接的。 不与任何边邻接的边称为孤立边。
例1
在上图中显然e1和e2, e1与e4是邻接的, 结点v1和v2,v2和v4等是邻接的, 没有孤立点和孤立边。
例2.如下图中:
图(a)是伪图。图(b)是有向多重 图。 最右第三个图是简单图有权图。
三、结点的度
1.定义 图G中关联于结点vi的边的总数称为 结点vi的度, 用deg(vi)表示。
2.定理1(握手定理) 图G的所有结点的度的总和为边数 的二倍。即若G为具有n结点的(n,m)图, 则有： n deg(vi ) 2m
例8 如下图
(a)是连通图。 (b)是一个具有三个分图 的非连通图。 结论： (1)一个图的分图必是连通的； (2)一个连通图一定只能有一个分图。
例11 对于图的连通性，常常由于删除了 图中的结点和边而影响了图的连通性。
在连通图(a)中删除边e后, 则变成了不连通 的图(b)。
8.2 图的矩阵表示
2. 有向图的定义 定义 设G=(V,E), V是一个有限非空集合, E是V中不同元素的有序对偶的集合, 则称G是一有向图。在有向图G中 若vi≠vj,则(vi,vj)和(vj,vi)表示两条 不同的边,且用一个从结点vi指向vj 的箭头表示边(vi,vj)。
定义 具有n个结点和m条边的图称为(n,m)图。 (n,0)图称为零图。(1,0)图称为平凡图。
三、边割集、点割集 定义3 设图G=<V,E>是连通图,若有E的子集S, 使得在图G中删去了S的所有边后, 得到的子图G-S变成具有两个分图的不连通图, 删去了S的任一真子集后所得子图仍是连通图， 则称S是G的一个边割集。 注：割边是边割集的一个特例。
图的基本概念 无向图及有向图
d (v4)=4
d (v5)=2
31
最大(出/入)度,最小(出/入)度
在无向图G中， 最大度: Δ(G) = max{ dG(v) | v∈V(G) } 最小度: δ(G) = min{ dG(v) | v∈V(G) } 在有向图D中， 最大出度: Δ+(D) = max{ dD+(v) | v∈V(D) } 最小出度: δ+(D) = min{ dD+(v) | v∈V(D) } 最大入度: Δ-(D) = max{ dD-(v) | v∈V(D) } 最小入度: δ-(D) = min{ dD-(v) | v∈V(D) } + + - 简记为Δ, δ, Δ , δ , Δ , δ
i 1
i
证明 必要性。由握手定理显然得证。 充分性。由已知条件可知，d中有偶数个奇数 度点。 奇数度点两两之间连一边，剩余度用环来实现。
5 3
3
1
例7.1： 1. (3, 3, 2, 3), (5, 2, 3, 1, 4)能成为图的度 数序列吗？为什么？ 2. 已知图G中有10条边，4个3度顶点，其余顶点的 度数均小于等于2，问G中至少有多少个顶点？为 什么？ 解： 1.由于这两个序列中，奇数度顶点个数均为奇数， 由握手定理的推论可知，它们都不能成为图的度 数序列。 2.显然，图G中的其余顶点度数均为2时G图的顶点 数最少. 设G图至少有x个顶点. 由握手定理可知， 3×4+2×(x-4)=2 ×10 解得: x=8 所以G至少有8个顶点。
度数列举例
按顶点的标定顺序，度数列为 4,4,2,1,3。
度数列举例
按字母顺序， 度数列：5,3,3,3 出度列：4,0,2,1
第8章图论方法
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【例题·计算题】某城市东到西的交通道路如下图所示，线 上标注的数字为两点间距离(单位：千米)。某公司现需从市 东紧急运送一批货物到市西。假设各条线路的交通状况相同， 请为该公司寻求一条最佳路线。
2 东3
4
3 1
7
2
5
7
3
3
4
4
7 5
6
4 6
7 3
7
西
8
【答案】
1-4-7-西 10 3
9
2
3
5
7
3.5
4
6
10
1
6
4
3
8
2
5
【答案】
2 5
4
6
1
3
5
3 3.5 4
2
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【解析】按照克鲁斯喀尔的算法很轻松得出答案。
1.（11年7月）已知连接5个城镇的公路交通图如图。为了沿公路架设5个城镇的
光缆线，并要求光缆线架设的总长度为最小，试以最小枝杈树方法求出Pa最ge优9 方 案并计算光缆线的总长度。
8.2 树和树的逐步生成法
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1、树：连通且不含圈（回路）的图称为树。 2、树的边数=结点数-1。
【选择题】以下叙述中，正确的是（ ） A．树的点数为线数加1 B．图的点数小于线数 C．图的点数大于线数 D．树可能含有圈 【答案】A 【解析】树的点数和边数差1，普通图的点数和边数谁多谁少不 确定。 【知识点】图和树的基本概念
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5.（09年7月）某网络如图，线上标注的数字是单位时间通过两节点的流量。
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试求单位时间由网络始点到网络终点的最大流量（单位：吨）。
Rational_Rose建模第8章_协作图
在项目中创建协作图案例分析
4. 确定元素间的关系
创建协作图的下一步是确定这些对象之间的连接关系，使用链和角色将 这些对象连接起来。在这一步中，我们基本上可以建立早期的协作图， 表达出协作图中的元素如何在空间上进行交互。
在项目中创建协作图案例分析
5. 完成协作图
练习题
（1）以“远程网络教学系统“为例，在该系统中，系统管理员需要 登录系统才能进行系统维护工作，如添加教师信息、删除教师信 息等。根据系统管理员添加教师信息用例，创建相关协作图。
1. 创建协作图的步骤
(1)根据系统的用例或具体的场景，确定协作图中应当包 含的元素。 (2)确定这些元素之间的关系，可以着手建立早期的协作 图，在元素之间添加链接和关联角色等。 (3)将早期的协作图进行细化，把类角色修改为对象实例， 并且链上添加消息并指定消息的序列。
在项目中创建协作图案例分析
2. 需求分析 我们可以通过更加具体的描述来确定工作流程，基本工作流程如 下： （1）李老师希望通过系统查询某名学生的学科成绩。 （2）李老师通过用户界面录入学生的学号以及学科科目请求学生 信息。 （3）用户界面根据学生的学号向数据库访问层请求学生信息。 （4）数据库访问层根据学生的学号加载学生信息。 （5）数据库访问层根据学生信息和学科科目获取该名学生的分数 信息。 （6）数据库访问层将学生信息和分数信息提供给用户界面。 （7）用户界面将学生信息和分数信息显示出来。
练习题
（2）在“远程网络教学系统”中，如果我们单独抽象出来一个数据 访问类来进行数据访问。那么，根据系统管理员添加教师信息用 例，重新创建相关协作图，并与前一章中的序列图进行对比，指 出有什么不同？
使用Rose创建协作图
3. 创建链
图学基础教程习题集答案
图学基础教程习题集答案第一章：图学基本概念1. 图的定义是什么？答案：图是由顶点（或称为节点）和边组成的数学结构，其中边是顶点之间的连接。
2. 什么是有向图？答案：有向图是一种图，其中的边具有方向性，从一个顶点指向另一个顶点。
第二章：图的表示方法1. 邻接矩阵的优缺点是什么？优点：易于实现，可以快速判断任意两个顶点之间是否存在边。
缺点：空间复杂度高，对于稀疏图来说效率较低。
2. 邻接表的优缺点是什么？优点：空间效率高，对于稀疏图特别适用。
缺点：需要额外的时间来检查两个顶点之间是否存在边。
第三章：图的遍历1. 深度优先搜索（DFS）的基本思想是什么？答案：从图中的一个顶点开始，沿着边尽可能深地搜索，直到无法继续，然后回溯到上一个顶点，继续搜索其他路径。
2. 广度优先搜索（BFS）的基本思想是什么？答案：从图中的一个顶点开始，逐层遍历所有可达的顶点，直到所有顶点都被访问过。
第四章：最小生成树1. 最小生成树问题的定义是什么？答案：在无向图中，最小生成树是一棵连接所有顶点的树，且边的总权重最小。
2. Kruskal算法的基本步骤是什么？答案：Kruskal算法通过按权重递增的顺序选择边，确保选择的边不会形成环，直到所有顶点都被连接。
第五章：最短路径问题1. Dijkstra算法的工作原理是什么？答案：Dijkstra算法通过维护一个优先队列，不断地选择距离起点最近的顶点，并更新其邻接顶点的距离。
2. Bellman-Ford算法与Dijkstra算法的主要区别是什么？答案：Bellman-Ford算法可以处理带有负权重边的图，而Dijkstra算法不能。
第六章：图的着色1. 图的着色问题的定义是什么？答案：图的着色问题是指给图中的每个顶点分配一种颜色，使得相邻的顶点颜色不同。
2. 贪心算法在图的着色问题中的应用是什么？答案：贪心算法在图的着色问题中，从顶点集合中选择一个顶点，为其分配一种颜色，然后移动到下一个顶点，并为其分配一种与相邻顶点不同的颜色。
图论讲义第8章-有向图
3
公共边的路 P 1 , Q1 ，它们的一端是 v1 ，另一端在 G1 上。给 P 1 定向为指向 v1 ， Q1 定向为指向
G1 ，令 G2 = G1 ∪ P 1 ∪ Q1 ，则 G2 是强连通的。
若 G2 仍不是生成子图，则存在 v2 ∈V (G ) − V (G2 ) ，同理，存在无公共边的路 P2 , Q2 ， 其 一 端 在 v2 处 ， 另 一 端 在 G2 中 。 给 P2 定 向 为 指 向 v2 ， Q2 定 向 为 指 向 G2 ， 令
+
S′
§8.3 有向图的连通性
定义 8.3.1 设 G 是一个有向图， (1) 若 G 的底图 G 是连通图，则称 G 是弱连通的。 (2) 若对 G 的任二顶点 u, v，要么存在有向路 P(u, v)，要么存在有向路 P(v, u)，则称 G 是单 连通的。 (3) 若对 G 的任二顶点 u, v，既存在有向路 P(u, v)，又存在有向路 P(v, u)，则称 G 是强连通 的（或称双向连通的） 。 注：易见，强连通 ⇒ 单连通 ⇒ 弱连通。 例：
ν =1 时定理显然成立。
假设对顶点数少于 ν 的所有有向图 G ，结论成立。考虑顶点数为 ν 的有向图 G 。
2
任取 v ∈V (G ) , 令 G ′ = G − ({v} ∪ N + ( v )) 。由归纳假设，存在 G ′ 的一个独立集 S ′ ，对
V (G ′) − S ′ 中任何顶点，可从 S ′ 中的某顶点出发，经过长度 ≤ 2 的有向路到达它。
4
+ −
定理 8.4.2 非平凡弱连通有向图 G 是 Euler 有向图的充分必要条件是 G 可分解为有向圈的并， 即： G = 正整数。 定理 8.4.3 非平凡弱连通有向图 G 有 Euler 有向迹的充分必要条件是 G 中存在两个顶点 u 和 w 满足 d (u ) = d (u ) +1， d ( w) = d ( w) −1，而其它顶点都有 d ( v ) = d ( v ) 。 定理 8.4.4 设 G 是弱连通有向图，如果 G 中存在两个顶点 u 和 w 满足 d (u ) = d (u ) +k，
离散数学(第二版)第8章图的基本概念
第八章 图的基本概念
用反证法，设G中各顶点的度数均不相同，则度数列 为0，1，2，…，n-1，说明图中有孤立顶点，这与有n-1度 顶点相矛盾(因为是简单图)，所以必有两个顶点的度数相 同。
2. 子图 在深入研究图的性质及图的局部性质时，子图的概念 是非常重要的。 所谓子图， 就是适当地去掉一些顶点或 一些边后所形成的图，子图的顶点集和边集是原图的顶点 集和边集的子集。
第八章 图的基本概念
一般称长度为奇数的圈为奇圈，称长度为偶数的圈为 偶圈。 显然，初级通路必是简单通路，非简单通路称为复 杂通路。 在应用中，常常只用边的序列表示通路，对于 简单图亦可用顶点序列表示通路，这样更方便。
第八章 图的基本概念
定理8.2.1 在一个n阶图中，若从顶点u到顶点v(u≠v) 存在通路， 则必存在从u到v的初级通路且路长小于等于n1。
第八章 图的基本概念
图8.1.2 图与子图
第八章 图的基本概念
3. 补图 定义8.1.3 G为n阶简单图，由G的所有顶点和能使G 成为完全图的添加边所构成的图称为G的相对于完全图的 补图，简称G的补图，记作。 【例8.1.6】图8.1.3(a)中的G 1是G1相对于K5的补图。 图8.1.3(b)中的G 2 是G2相对于四阶有向完全图D4的补图。 对于补图，显然有以下结论： (1) G与 G 互为补图，即 G =G。 (2) E(G)∪E(G )=E(完全图)且E(G)∩E( G )= 。 (3) 完全图与n阶零图互为补图。 (4) G与G 均是完全图的生成子图。
所谓子图就是适当地去掉一些顶点或一些边后所形成的图子图的顶点集和边集是原图的顶点第八章图的基本概念定义812设gvegve均是图同为第八章图的基本概念导出的导出子图记作gv第八章图的基本概念例815在图812中g均是g的真子图其中g第八章图的基本概念图812第八章图的基本概念补图定义813g为n阶简单图由g的所有顶点和能使g成为完全图的添加边所构成的图称为g的相对于完全图的补图简称g的补图记作
人教版高中数学新教材必修第8章-立体几何初步-教辅教案
②球心到截面的距离 d 与球半径 R 及截
面圆的半径 r 满足 d =
R2 -r2 ;
③球体被经过球心的平面截得的圆叫做
大圆, 被 不 经 过 球 心 的 平 面 截 得 的 圆 叫 做
小圆.
8. 2 立体图形的直观图
1. 直观图
对于立体图形,直观图是 最 常 用 的 描 述
方式. 在前面介绍各个基本立体图形时,使用
高)
正棱台
1
S 正棱台侧 = ( c′+c) h′
2
( c′、 c 为 上、 下 底 面
周长,h′为斜高)
S 表 = S 侧 + S 上底
+S 下底
2. 常见旋转体的侧面积和表面积
几何体
侧面积公式
表面积公式
圆柱
S 圆柱侧 = 2πrl ( r 为 底
S 圆柱表 = 2πr 2
圆锥
圆台
面半径,l 为母线长)
是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边
都相互平行,由这些面所围成的多面体叫做
棱柱.
两个互相平行的平面叫 做 棱 柱 的 底 面,
简称底. 除底面外的各面叫做棱柱的侧面. 相
邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱. 侧棱与底
面的公共点叫做棱柱的顶点.
127
5AAeP
一般用 表 示 底 面 各 顶 点 的 字 母 表 示 棱
成的多面体叫做棱锥. 其中,多边形面叫做棱
锥的底面;有公共顶点的各个三角形面叫做
棱锥的侧面;各侧面的公共顶点叫做棱锥的
顶点;相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.
2. 棱锥的分类与表示
底面是三角形、四边形、五边形……的棱
锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……其中
《应用数学基础》(陈冲)教学课件 第八章 图 论
第八章 图 论
目录
ONTENTS
1 图的基本概念 2 图的矩阵表示 3 图的连通性
01 图的基本 概念
1.1 图的定义
在某计算机网络中，两台计算机之间通过网络线连接起来，如图 8-1 所示．顶点表示每台计 算机的位置，边表示网络连线．这类图在绘制时，可用圆圈（或实心点）来表示顶点，对图的 所有顶点标以名称：v1 ，v2 ，v3 ，v4 ；用直线或曲线来表示边，同时对图的所有边标以名称：e1 ， e2 ， e3 ， e4 ， e5 ，如图 8-2 所示．
该定理之所以称为握手定理，因为它有非常直观而形象的解释：假定有若干个人握手，每握
一次手，需要 2 只手来完成．此时有人用自己的右手握自己的左手，也算一次握手．参加握手的 手的总数目（包含重复的）恰好等于握手次数的 2 倍．这里用到了图论模型解决实际问题：把每 个人看成一个顶点，某两人握一次手，则在相应顶点之间连上一条边；如果某人与自己握手，则
设 G (V ，E) 是有向图， v V ，称以 v 为终点的边数为 v 的入度，记为 d (v) ；称以 v 为起 点的边数为 v 的出度，记为 d (v) ．
若 d(v) 是奇数，就称 v 为奇点；若 d(v) 是偶数，就称 v 为偶点．度为 1 的点称为悬和是边数的 2 倍，这是图的一般性质．下面给出的定理是 Euler 在 1936 年提出 的，常称为握手定理，是图论中的基本定理．
定理 1（握手定理） 设 G (V ，E) 是图，G 中所有顶点度数之和 d (v) 等于 G 中边数 m 的 vV
两倍，即
d(v) 2m ．
vV
1.2 顶点的度
在图 8-3 中，由于 e3 (v2 ，v3 ) ，则点 v2 与点 v3 邻接，点 v2 与边 e3 关联，点 v3 与边 e3 关联； 由于边 e1 和边 e3 有共同的顶点 v2 ，则边 e1 和边 e3 邻接； v5 为孤立点．
图论 图的基本概念
闭的迹称为回（circuit）；闭的道路称作圈(cycle)
道路：v1v2v3v6
道路 (path)
若链 µ的边 e1e2...ek 均不相同，则称该链为 迹(trail)。
若所有顶点v0v1v2...vk均不相同(所有边必然不 相同)，则称该途径为道路(path) 。
子图
若V (H ) ⊆ V (G), E(H ) ⊆ E(G)，且H中边的重 数不超过G，则H称为G的子图，记作 H ⊆ G
若以下条件有一项成立，则H称为G的真子图。 (1) V (H ) ⊂ V (G); (2)E(H ) ⊂ E(G);
(3)H中至少有一条边的重数小于G中对应边重数
子图
生成子图(Spanning graph)，又称支撑子图。
哥尼斯堡七桥问题
图论起源于著名的哥尼斯堡七桥问题:
哥尼斯堡市跨越河的两岸，河中心有两个小岛。 小岛与河的两岸有七条桥连接。在所有桥都只 走一遍的前提下，如何才能把这个地方所有的 桥都走遍？
哥尼斯堡七桥问题
在任何顶点出发，必须从一条边进，从另一条边出 一进一出，每个顶点相关联的边必须为偶数。
莱昂哈德·欧拉 在1735年圆满地解决了这个问题， 证明七桥问题无解，同时，欧拉还给出了任意一种 河-桥图能否全部走一次的判定法则，以及怎样快速 找到所要求的路线。这些解析，最后发展成为了数 学中的图论。
d (v1) = 2, d (v2 ) = 4, d (v3) = 3, d (v4 ) = 3, d (v5 ) = 4
∑ d (vi ) = (2 + 4 + 3 + 3 + 4) = 16 v E =8
中职机械制图-第八章零件图(劳社版统编教材课件)
§8－5 零件图上的技术要求
三、几何公差（形、位公差） 4．几何公差标注示例
§8－6 读零件图
球阀轴测装配图
§8－6 读零件图
图8－54 阀杆
§8－6 读零件图
图8－55 阀盖
§8－6 读零件图
图8－57 阀体
§8－6 读零件图
综合实例－－支架零件图（补画A-A剖视图）
§8－6 读零件图
基轴制配合
§8－5 零件图上的技术要求
二、极限与配合
4．配合制 基孔制配合
基孔制配合
§8－5 零件图上的技术要求
二、极限与配合
4．配合制 基轴制配合
基轴制配合
§8－5 零件图上的技术要求
二、极限与配合
4．配合制 基本偏差系列
§8－5 零件图上的技术要求
二、极限与配合 5．优先、常用配合 GB/T 1801—2009对公差带和配合的选择作了进一步的限 制，规定了基本尺寸至3 150 mm的孔、轴公差带，分为优先、
公差带的三种标注法
§8－5 零件图上的技术要求
二、极限与配合 6．极限与配合的标注与查表
（3）极限偏差值的查表方法示例
φ18H8/f7
φ14N7/h6
§8－5 零件图上的技术要求
三、几何公差（形、位公差）
1．基本概念 为保证加工零件的装配和使用要求，在图纸上除给出尺寸 公差、表面结构要求外，还有必要给出几何公差要求。
§8－4 零件尺寸的合理标注
三、合理标注零件尺寸的方法和步骤
图8－25 标注零件尺寸示例（二）
§8－5 零件图上的技术要求
一、表面结构的图样表示法
二、极限与配合
三、几何公差
§8－5 零件图上的技术要求
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习题81. 给定下面两个图的集合表示，画出他们的图形表示。
>=<111,E V G ,其中},,,,{543211v v v v v V =，)},(),,(),,(),,(),,{(43415351211v v v v v v v v v v E =>=<222,E V D ,其中},,,,{543221v v v v v V =，},,,,,,,,,{43412552212><><><><><=v v v v v v v v v v E 注：2D 改为2G 解：2. 先将下图中各图的顶点标定次序，然后写出各图的集合表示。
解：顶点标定如下：图G1图G2V5V5（1）（2）（3）(1) 其中},,,{43211v v v v V =，)},(),,(),,(),,(),,{(43324131211v v v v v v v v v v E = (2) 其中},,,,{543221v v v v v V =，)},(),,(),,(),,{(545452212v v v v v v v v E = (3) 其中},,,,{543231v v v v v V =，},,,,,,,,,,,{4534133251213><><><><><><=v v v v v v v v v v v v E3. 写处下图中各图的度数列，对有向图还要写出出度列和入度列。
解：（1）4,2,2,2 （2）度数列：1,4,1,5,1；出度列：1，2，0，3，0；入度列：0，2，1，2，14. 设无向图中有6条边，3度与5度顶点各1各，其余的都是2度顶点，问该图有几个顶点？ 注：“各1各”改为“各1个”。
解：设该图有x 个顶点，3×1+5×1+2×(x-1-1)=6×2，x=45. 画以（1，2，2，3）为度数列的简单图和非简单图各一个。
解：（1）（2）（3）V5（1）（2）3v 1v 23v6．证明在任何有向完全图中，所有结点入度的平方之和等于所有结点的出度平方之和。
证明：设有向完全图有n 个结点v 1, v 2,…, v n ， 结点v i 的入度为d -(v i )=n-1，出度为d +(v i )=n-1， 所有结点入度的平方之和为()()()21122i-1-n 1-n )(v d ∑∑====n i ni n ，所有结点出度的平方之和为()()()21122i 1-n 1-n )(v d∑∑==+==ni ni n ，故所有结点入度的平方之和等于所有结点的出度平方之和。
7．写出下图相对于完全图的补图。
解：8．证明下图中的两个图不同构。
证明：将图的顶点标定如下：如果这两个图同构，那么对应结点的度数应相同。
度数为3的两个结点v 1与v 1'相对应。
但与v 1邻接的三个结点中一个结点v 2度数为2，两个结点v 3 ,v 4度数为1，而与v 1'邻接的三个结点中有两个结点v 2',v 3'度数为2，一个结点v 4'度数为1，故他们不同构。
9．一个图如果同构于它的补图，则该图称为自补图。
1）试给出一个五个结点的自补图。
2）是否有三个结点或六个结点的自补图。
3）一个图是自补图，其对应的完全图的变数必为偶数。
注：3）中“变数”应为“边数”。
解： 1)v 3 v 4'1v'2v '3v2)没有。
由3），n(n-1)/2应为偶数，而n=3,6时，n(n-1)/2为奇数。
3）若n 阶图G 与其补图G 同构，G 与G 的边数应相同，因此G 与G 的总边数为偶数。
而G 与G 的总边数为对应的完全图的边数，即n(n-1)/2，故对应的完全图的边数为偶数。
10．证明简单图的最大度小于结点数。
证明：设简单图G 有n 个结点。
对任一结点u ，由于G 没有环和平行边，u 至多与其余n-1个结点中每一个有一条边相连接，即deg(u)≤n -1，因此，⊿(G)＝max deg(u)≤n -1。
11．在无向图G 中，从结点u 到结点v 有一条长度为偶数的通路，从结点u 到结点v 有一条长度为奇数的通路，则在G 中必有一条长度为奇数的回路。
证明：设从结点u 到结点v 长度为偶数的通路是ue 1u 1e 2u 2…e 2k v ，长度为奇数的通路是ue 11u 11e 12u 12…e12h-1v ，那么路ue 1u 1e 2u 2…e 2k ve 12h-1…u 12e 12u 11e 11u 就是一条回路，它的边数＝2k+(2h-1)＝2(h+k)-1，是奇数，故这条回路的长度是奇数。
12．若无向图G 中恰有两个奇数度的结点，则这两结点间必有一条路。
证明：反证法。
证明：设G 中的两个奇数度结点分别为u 和v 。
假设u 和v 不连通，即它们之间无任何通路，则G 至少有两个连通分支G 1，G 2，使得u 和v 分别属于G 1和G 2 (否则,它们之间必有通路)，于是G 1和G 2各含有一个奇数度结点。
这与握手定理的推论矛盾（教材P136定理8.1.2）。
因而u 和v 一定是连通的。
13．若图G 是不连通的，则G 的补图G 是连通的。
注：图G 是无向图。
证明：若图G ＝<V ，E>是不连通的，可设图G 的连通分支是G(V 1)，G(V 2)，…，G(V m )(m≥2)。
由于任意两个连通分支G(V i )与G(V j )(i≠j)之间不连通，因此两个结点子集V i 与V j 之间的所有连线都在图G 的补图G 中。
任取两个结点u 和v ，有两种情形：(1)u 和v 分别属于两个不同结点子集V i 与V j 。
由上可知G 包含边(u,v)，故u 和v 在G 中是连通的。
(2)u 和v 属于同一个结点子集V i 。
可在另一个结点子集V j 中取一个结点w ，由上可知边(u ,w)及边(v,w)均在G 中，故邻接边(u,w)和(v,w)组成的路连接结点u 和v ，即u 和v 在G 中也是连通的。
由此可知，当图G 不是连通图时，G 必是连通图。
14. 设G 是n 阶自补图，证明n=4k 或n=4k+1，其中k 为正整数。
证明：由第9题3)，n(n-1)/2须是偶数。
(1)当n=4k 时，n(n-1)/2=4k(4k-1)/2=2k(4k-1)为偶数； (2)当n=4k+1时，n(n-1)/2=(4k+1)4k/2=2k(4k+1)为偶数；(3)当n=4k+2时，n(n-1)/2=(4k+2)(4k+1)/2=(2k+1)(4k+1)为奇数； (3)当n=4k+3时，n(n-1)/2=(4k+3)(4k+2)/2=(4k+3)(2k+1)为奇数； 故n=4k 或n=4k+1。
15. 已知n 阶无向简单图G 有m 条边，试求G 的补图G 的边数m ’。
解：m n n m --='2)1(16．分析下图，求1）从A 到F 的所有通路。
2）从A 到F 的所有迹。
注：1）改为求从A 到F 的所有初级通路。
解：1）ABCF,ABCEF,ABEF,ABECF,ADEF,ADEBCF,ADECF2)ABCF,ABCEF,ABEF,ABECF,ADEF,ADECF,ADECBEF,ADEBCF,ADEBCEF17．一个图是单侧连通的，当且仅当它有一条经过每一结点的路。
注：单侧连通即单向连通证明：充分性。
如果图G 中有一条通路u 1u 2…u n ，它至少包含每个结点一次，则G 中任两个结点u i ,u j (i ＜j)，u i 可达u j ，故G 是单向连通的。
必要性。
如果G 单向连通，必可作一通路经过图中所有各点。
若不然，设有一通路u 1u 2…un不包含某一结点v ，下面分三种情况讨论。
(1)若v 可达u 1，则可作通路v …u 1u 2…u n ，包含v 。
(2)若u n 可达v ，则可作通路u 1u 2…u n …v ，包含v 。
(3)若v 不可达u 1，且u n 不可达v ，顺序查找u 1u 2…u n 中各结点，从中找出第一个v 可达的结点u i ，则u i －1可达v 。
故可作通路u 1u 2…u i －1…v …u i …u n ，包含v 。
因此，总可以在原有通路u 1u 2…u n 的基础上，构造新的通路，包含原通路未包含的结点，最终作出经过图中所有各点的通路。
18. 无向图G 如下图所示。
1) 求G 的全部点割集和边割集，并指出其中的割点和割边。
解：点割集：{C},{E},{B,D}，节点C 和节点E 都是割点。
虽然删除节点A 和C 图成为不连通的，但因{C}是{A,C}的真子集，所以{A,C}不是点割集。
边割集：{E5},{E6}，{E1，E2}, {E1，E3}, {E1，E4}, {E2，E3}, {E2，E4}, {E3，E4},E5和E6为割边。
2）求G 的点连通度)(G k 和边连通度)(G λ。
解：)(G k =1，)(G λ=1。
19．求出下图中有向图的邻接矩阵A 和可达性矩阵。
解：E 365v 34邻接矩阵： 可达性矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000100000010110100000⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡100000110100101011110000120．写出下图中图G 的完全关联矩阵。
无向图完全关联矩阵定义：设>=<E V G ,是一个无向图，,,{21v v V =…，n v }，},...,,{21m e e e E =，则矩阵)()(ij m G M =称为G 的完全关联矩阵(Complete Incidence Matrix)，其中10i jij i jv e m v e ⎧⎪=⎨⎪⎩ 若关联 若不关联解：各边标注如下：完全关联矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡000010110000100101110100000011010000101001000000001011。