微分几何 2.7 常高斯曲率的曲面
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可得 A(v)=1，,B(v)=0。第一基本形式为
ds2 du2 cos2 K udv2
例：球心在原点，半径为 R 的球面。
（2）K=0 ，则微方程的通解为 G A(v) B(v)u ，由初始条 件得 G 1, 因此 du2 dv2 与平面的第一基本形式相同，或者说与平面等距。 （3）K<0，则微分方程的解为
2u a
ady dx dv, du y
y 1 2 2 2 2 22 0 , 11 1 , 12 21 0 , 22 1 , y y
代入测地线方程有 y 1 2x ( )(x y x y ) 0 x x 0 K=1时， y y 2 y 2 1 x (x x y y ) 0 y y 0 K=2时， y y y 2x x 0, y 所以测地线方程为 2 2 x y y 0. y 2x y x x x 由第一式 y 2 y 3 0 y2 0 y 2 (常数 )
y x y y y x 0 2 2 0 2 x 由第二式 y y y y y y
2 2
积分之
y x (常数) y
y 除以 x
积分 整理得
2
得
x dy y dx x y
dx dz { x , z } ，故切线上一点的坐标是 dt dt dx x 0 x dx 如果这点在 oz 轴上，则横坐标为0，即 dt dt
的方向为 {
dx dz , } dt dt
求得曲线在 P 点的切线与z 轴的交点的坐标为 {0, z xdz dx} 由两点间距离公式得 2 2 2 dz a x x 2 ( xdz ) 2 a 2 x 2 x 2 a 2 dz dx dx x dx 令 x=asint 并两边积分 x a sin t t z a (ln tan 得曳物线方程为： 2 cost )
2 a 2 2 2 ds ( dx dy ) 4、命题：若通过伪球面的第一基本形式 2 y 把它经过保角变换映射到平面上，则伪球面的测地线对应于 园心在 x 轴上的园。 u x v, y e a , 要证明这个命题，先作保角变换：
2 a ds2 du2 a 2e dv2 2 (dx2 dy2 ) y 与平面第一基本形式成比例，因此从曲面上的点到平面上 的点的变换是保角变换。现在来看看它的测地线： i j d 2u k k du du ij 0 , k 1,2 2 ds ds ds i, j 1 1 1 现在 u1 x , u 2 y , 11 0 , 12 21 1 ,
1 2 1 2 x x y (常数 ) 2 2
( x c)2 y Hale Waihona Puke Baidu r 2
这是 xoy 平面上园心在 x 轴上的园的方程，命题得到证明。
下面考虑 xoy 平面上在 x 轴上方的半平面，我们称之为罗氏 平面，伪球面上的测地线经过保角变换映成罗氏平面上园心在 x 轴上的半园，我们把这半园称为罗氏直线，因此经过罗氏平 面上任两点P1 到P2 正好有一条罗氏直线连结它们，通过保角 变换，过伪球面上任两点，也就有唯一条测地线连结它们。
3、伪球面 将 ozx 平面上的曳物线绕oz 由旋转一周所得的旋转面叫伪 球面，它的参数表示为 x a sin t cos y a sin t sin z a(ln tan t cost ) 2 计算知
ds du Gdv du a e dv2
7、3 罗氏几何 1、罗氏平面上的距离 设P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) 是罗氏平面上的两点，通过保角变换， 它们对应伪球面上两点，连结这两点有唯一条测地线，我们把 这两对应点之间的测地线的弧长定义为 P1 到P2 的罗氏距离。 2 a 由 ds2 2 (dx2 dy2 ) y ( x1 , y1 ) ( x1 , y1 ) dx 2 dy 2 s( P ds a 得 1, P 2) ( x2 , y 2 ) ( x2 , y 2 ) y 积分沿着P1 和P2对应的伪球面上两点之间的唯一测地线进行， 注意到测地线的方程为 ( x c)2 y 2 r 2 xi c r cosi 作坐标变换 x c r cos i 1,2 令 yi r sin i y r sin
以上三种情形可从微分方程的理论中推得，例如：
（1）正常数高斯曲率（K>0）的曲面，方程
2 G K G 0. 2 u
的通解为
G A(v) cos K u B(v) sin K u
这里A(v),B(v)都是 v 的函数，由初始条件
G(0, v) 1, Gu (0, v) 0.
2 2 2 2 2
2u a
因此它的坐标曲线网是一个半测在坐标网，u线是测地线，其高 斯曲率为 2
K 1 G 1 1 2 2u a ( a e ) . 2 2 2u 2 a G u a e a
所以伪球面为负高斯曲率的曲面。 这样我们得到：常高斯曲率的曲面有：当K>0 时，曲面与 球面等距，K=0 时与平面等距，K<0 时与伪球面等距。
G A(v) cosh K u B(v) sinh K u
由初始条件得 A(v)=1，,B(v)=0
ds2 du2 cosh2 K udv2
下一节讨论这种情形。
7.2 伪球面
（负高斯曲率的曲面）
1、定义：设曲线（C）上任一点的切线上介于切点和z 轴之间的 线段始终保持定长a ，此曲线称为曳物线，z 轴称为它的渐近线。 2、曳物线的方程 设它的参数表示为 x=x(t) , z=z(t) ,曲线上一点 P(x,z) 的切线的
ds2 du2 cos2 K udv2
例：球心在原点，半径为 R 的球面。
（2）K=0 ，则微方程的通解为 G A(v) B(v)u ，由初始条 件得 G 1, 因此 du2 dv2 与平面的第一基本形式相同，或者说与平面等距。 （3）K<0，则微分方程的解为
2u a
ady dx dv, du y
y 1 2 2 2 2 22 0 , 11 1 , 12 21 0 , 22 1 , y y
代入测地线方程有 y 1 2x ( )(x y x y ) 0 x x 0 K=1时， y y 2 y 2 1 x (x x y y ) 0 y y 0 K=2时， y y y 2x x 0, y 所以测地线方程为 2 2 x y y 0. y 2x y x x x 由第一式 y 2 y 3 0 y2 0 y 2 (常数 )
y x y y y x 0 2 2 0 2 x 由第二式 y y y y y y
2 2
积分之
y x (常数) y
y 除以 x
积分 整理得
2
得
x dy y dx x y
dx dz { x , z } ，故切线上一点的坐标是 dt dt dx x 0 x dx 如果这点在 oz 轴上，则横坐标为0，即 dt dt
的方向为 {
dx dz , } dt dt
求得曲线在 P 点的切线与z 轴的交点的坐标为 {0, z xdz dx} 由两点间距离公式得 2 2 2 dz a x x 2 ( xdz ) 2 a 2 x 2 x 2 a 2 dz dx dx x dx 令 x=asint 并两边积分 x a sin t t z a (ln tan 得曳物线方程为： 2 cost )
2 a 2 2 2 ds ( dx dy ) 4、命题：若通过伪球面的第一基本形式 2 y 把它经过保角变换映射到平面上，则伪球面的测地线对应于 园心在 x 轴上的园。 u x v, y e a , 要证明这个命题，先作保角变换：
2 a ds2 du2 a 2e dv2 2 (dx2 dy2 ) y 与平面第一基本形式成比例，因此从曲面上的点到平面上 的点的变换是保角变换。现在来看看它的测地线： i j d 2u k k du du ij 0 , k 1,2 2 ds ds ds i, j 1 1 1 现在 u1 x , u 2 y , 11 0 , 12 21 1 ,
1 2 1 2 x x y (常数 ) 2 2
( x c)2 y Hale Waihona Puke Baidu r 2
这是 xoy 平面上园心在 x 轴上的园的方程，命题得到证明。
下面考虑 xoy 平面上在 x 轴上方的半平面，我们称之为罗氏 平面，伪球面上的测地线经过保角变换映成罗氏平面上园心在 x 轴上的半园，我们把这半园称为罗氏直线，因此经过罗氏平 面上任两点P1 到P2 正好有一条罗氏直线连结它们，通过保角 变换，过伪球面上任两点，也就有唯一条测地线连结它们。
3、伪球面 将 ozx 平面上的曳物线绕oz 由旋转一周所得的旋转面叫伪 球面，它的参数表示为 x a sin t cos y a sin t sin z a(ln tan t cost ) 2 计算知
ds du Gdv du a e dv2
7、3 罗氏几何 1、罗氏平面上的距离 设P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) 是罗氏平面上的两点，通过保角变换， 它们对应伪球面上两点，连结这两点有唯一条测地线，我们把 这两对应点之间的测地线的弧长定义为 P1 到P2 的罗氏距离。 2 a 由 ds2 2 (dx2 dy2 ) y ( x1 , y1 ) ( x1 , y1 ) dx 2 dy 2 s( P ds a 得 1, P 2) ( x2 , y 2 ) ( x2 , y 2 ) y 积分沿着P1 和P2对应的伪球面上两点之间的唯一测地线进行， 注意到测地线的方程为 ( x c)2 y 2 r 2 xi c r cosi 作坐标变换 x c r cos i 1,2 令 yi r sin i y r sin
以上三种情形可从微分方程的理论中推得，例如：
（1）正常数高斯曲率（K>0）的曲面，方程
2 G K G 0. 2 u
的通解为
G A(v) cos K u B(v) sin K u
这里A(v),B(v)都是 v 的函数，由初始条件
G(0, v) 1, Gu (0, v) 0.
2 2 2 2 2
2u a
因此它的坐标曲线网是一个半测在坐标网，u线是测地线，其高 斯曲率为 2
K 1 G 1 1 2 2u a ( a e ) . 2 2 2u 2 a G u a e a
所以伪球面为负高斯曲率的曲面。 这样我们得到：常高斯曲率的曲面有：当K>0 时，曲面与 球面等距，K=0 时与平面等距，K<0 时与伪球面等距。
G A(v) cosh K u B(v) sinh K u
由初始条件得 A(v)=1，,B(v)=0
ds2 du2 cosh2 K udv2
下一节讨论这种情形。
7.2 伪球面
（负高斯曲率的曲面）
1、定义：设曲线（C）上任一点的切线上介于切点和z 轴之间的 线段始终保持定长a ，此曲线称为曳物线，z 轴称为它的渐近线。 2、曳物线的方程 设它的参数表示为 x=x(t) , z=z(t) ,曲线上一点 P(x,z) 的切线的