暂态混沌动力学在神经网络优化计算中的应用

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混沌系统的应用与控制研究

混沌系统的应用与控制研究混沌系统是指不断变化且表现出无序、随机、非线性等复杂性质的系统。

混沌系统在自然界中有着广泛的应用，如气象系统、生物系统、电路系统等。

此外，混沌系统在通信、保密、图像处理等领域也有很多实际应用。

混沌系统的产生是由于非线性系统中微小扰动在演化过程中不断放大，从而导致系统的表现出混乱的状态。

混沌系统的特点是不可预测、不稳定、无常、复杂等。

混沌系统对于一些领域的发展有着重要的作用，但是控制混沌系统是个挑战。

混沌控制一般是指通过一种控制手段去调节并稳定混沌状态以达到控制的目的。

下面我们将会详细介绍一些混沌系统的应用和控制方法。

一、混沌系统的应用1. 混沌通信混沌通信是一种新型的保密通信方式，它利用混沌系统的混乱性来保证通信的安全性。

混沌通信具有抗干扰、抗窃听等特点，已经被广泛应用于军事、金融和通信等领域。

其基础原理是通过混沌系统，将明文转化为混沌信号，然后发送到接收端，再通过相同的混沌系统进行解密。

混沌通信的保密性大大增加了通信的安全性，也为信息的保密传输提供了新的方法。

2. 混沌控制混沌控制可以用于一些实际应用中。

例如，在磁悬浮列车、空气动力学、化学反应等领域，混沌控制可以用于实现对系统的优化和调节。

混沌控制的方法有很多，例如针对可逆系统的方法、基于自适应控制的方法、基于反馈控制的方法等。

混沌控制的研究对于提高系统性能和稳定性具有重要意义。

3. 混沌密码学混沌密码学是一种新的密码保护方式，它使用混沌系统来生成随机数，这些随机数用于加密信息。

混沌密码学大大提高了密码保护的安全性。

混沌密码学与其他传统密码学的不同在于，混沌密码学生成的密钥是基于混沌系统的随机序列，这种序列是没有可确定规律的，从而可以提高密码的随机性和保密性。

二、混沌系统的控制方法1. 混沌控制的反馈控制方法反馈控制方法是一种常见的混沌控制方法，它通过在混沌系统中引入反馈控制，实现对混沌系统的稳定和控制。

在反馈控制策略中，系统的输出被量化，并与目标量进行比较，然后产生一个控制信号，该信号与系统中引入的反馈信号相加，修正系统的状态。

改进暂态混沌神经网络在信道分配中的应用

年来许多启发式算法被用来解决这类问题，如神经网络并行算法（Ｎ）Ｎ、微正则退火算法（Ａ）、自适应遗传算、ｓＪ和
法ＳＡ等。但这些算法在搜索最优解过程中，然存在收Ｇ依敛时问较长、收敛率较低、容易陷入局部最优解等缺点。１９９１年Ｋｎ首先应用Ｈｐｅｄｕｚｏｆｌ神经网络（Ｎ解决频ｉＨＮ）率分配问题Ｊ但ＨＮ极易陷入局部极小而难以达到全局，Ｎ最优，使得研究结果具有很大的局限性。混沌理论的发展，
ｏｌｗ－ｔｇｎｅｉｇａｐｉｄｓｔａｉｎ，ｔｅｏｔｌｏｕｉｎｒｔａｅｎｇｅｔｍｐｏｅｎｙｔｏｓａｅａｎａｎｐｌｉｔｌｅｕｏｈｐｉｌｔａｅｈｓｂｅｒａｌｉｒｖｄ，ａｄｔｅｎｔｒｏ — ｍａｓｏｙｎｅｗｏｋｃｎｈｖｒｅｃｐｅｓａｃｌｒｔｄｂｒｈ２．Ｆｎｌｅｇｎｅｓｅｄｉｃｅｅａｅｙｍｏｅｔａ１％ｎｉａｌｙ，ｓｍｅｃｎｌｓｏｓａｏｔｈｆｃｆａａｔｒｎｔｅｎｔｏｏｃｕｉｎｂｕｅｅｆｔｒｍｅｅｓｏｈｅ－ｔｅｏｐｗｏｋｍｏｅｒｕｒｄｌｗｅｅｓｍｍｅｐｄｕ．ＫＥＹＷＯＲＤＳ：ＭＴＣＮＮ；Ｔｍｅｖｒｉｇｇｉｉ－ａｎａｎ；Ｔｏｓａｅａｎａｉｇ；Ｃａｎｌａｓｇｍｅｔｙｗ－ｔｇｅｌｎｎｈｎｅｓｉｎｎ

复杂系统理论与混沌动力学

复杂系统理论与混沌动力学复杂系统理论与混沌动力学是研究复杂系统和混沌现象的重要理论框架。

复杂系统理论是对包含多个相互作用部分的系统进行综合分析的方法，而混沌动力学则是研究非线性系统中表现出的无规则、不可预测的行为。

本文将围绕复杂系统理论与混沌动力学展开探讨，并阐述其在不同领域的应用意义。

首先，我们将从基本概念入手，介绍复杂系统和混沌现象的定义和特征。

复杂系统是由大量相互作用的元素组成，元素之间的相互作用可以是线性的也可以是非线性的。

复杂系统具有自组织、自适应和鲁棒性等特征，表现出的行为不容易被简单的规律所描述。

而混沌现象则是指某些非线性系统在特定条件下出现的无规则、高度敏感的动力学行为，即使微小的扰动也会导致系统演化的巨大不同。

接着，我们将探讨复杂系统理论的基本原理和方法。

复杂系统理论主要包括自组织理论、网络理论和协同现象等方面的内容。

自组织理论研究的是系统内部元素之间的相互作用和组织方式，通过相互作用的调整和自适应的过程，系统可以形成有序的结构和功能。

网络理论则关注系统中元素之间的连接和信息传递方式，通过构建网络模型和分析网络结构，可以揭示系统的整体性质和行为。

协同现象则注重元素之间的协同作用和协作行为，通过研究复杂系统中的正反馈和负反馈机制，可以揭示系统演化的规律和特征。

进一步，我们将讨论混沌动力学的基本原理和方法。

混沌动力学研究的是非线性系统的演化行为，通过数学模型和计算实验，可以揭示系统的非周期性、敏感依赖于初始条件和随机性等特征。

混沌动力学中的经典模型包括洛伦兹系统、Henon映射、Logistic映射等，这些模型通过非线性方程的迭代运算，展示了混沌现象的丰富性和复杂性。

接下来，我们将探讨复杂系统理论与混沌动力学在不同领域的应用。

复杂系统理论在社会科学、生态学、经济学和管理学等领域有着广泛的应用。

例如，在社会科学领域，复杂系统理论可以用来研究群体行为、社会网络和社会演化等问题，揭示了群体动力学的规律性和非线性特征。

混沌优化算法

混沌优化算法1. 简介混沌优化算法（Chaos Optimization Algorithm，简称COA）是一种基于混沌理论的全局优化算法。

它通过模拟混沌系统中的非线性动力学过程，实现对目标函数的最小化或最大化。

COA算法具有快速收敛、全局搜索能力强等特点，在解决复杂优化问题方面具有很大的潜力。

2. 混沌理论基础混沌理论是描述非线性系统动力学行为的数学理论。

在混沌系统中，微小的初始条件差异会导致系统演化出完全不同的结果，这种现象被称为“蝴蝶效应”。

混沌系统具有无序、不可预测、灵敏依赖于初始条件等特点。

3. COA算法原理COA算法基于混沌系统中的非线性动力学过程，通过引入粒子群搜索和随机扰动机制来实现全局优化。

3.1 粒子群搜索COA算法中，将待求解问题看作一个目标函数在多维空间中的最小值寻找问题。

每个个体（粒子）代表一个潜在解，并通过自身的经验和群体的协作来搜索全局最优解。

粒子群搜索算法的核心思想是模拟鸟群觅食的行为，每个粒子根据自身经验和邻居的信息更新自己的位置。

3.2 随机扰动COA算法引入随机扰动机制，通过在搜索过程中引入一定程度的随机性，增加算法的多样性，从而避免陷入局部最优解。

随机扰动可以通过改变粒子个体位置、速度等方式实现。

3.3 算法流程COA算法流程如下：1.初始化种群：随机生成一定数量的粒子，并初始化其位置和速度。

2.计算适应度：根据目标函数计算每个粒子的适应度。

3.更新全局最优解：根据适应度更新全局最优解。

4.更新个体最优解：根据适应度更新每个粒子自身的最优解。

5.更新速度和位置：根据粒子群搜索和随机扰动更新粒子的速度和位置。

6.判断终止条件：如果满足终止条件，则输出全局最优解；否则，返回步骤3。

4. COA算法特点COA算法具有以下特点：•全局搜索能力强：COA算法通过引入粒子群搜索和随机扰动机制，能够在解空间中进行全局搜索，避免陷入局部最优解。

•快速收敛：COA算法通过模拟混沌系统的非线性动力学过程，具有快速收敛的特点，能够在较短时间内找到较优解。

一种基于改进暂态混沌神经网络的信道分配算法

维普资讯
第２９卷第９期
２００７年９月
电
子
与信Βιβλιοθήκη 息学报Ｖｌ．９．０２ＮＯ９１Ｓｐ．２０ｅｔ０７
Ｊｕｎｌｏｅｔｏｉｓ＆ＩｆｒｔｏｅｈｏｏｙｏｒａｆＥｌｃｒｎｃｎｏｍａｉｎＴｃｎｌｇ
ａｖｔｇｆｔｅｃａｓｔｅｒｈｔｅｇｏａｉｉｍｎｎａｃｈｏｖｒｅｃａｅｎｔｅ７ｃｌｃｌｌｒｄａａｅｏｈｈｎｏｏｓａｃｈｌｂｍｎｍｕａｄｅｈｎｅｔｅｃｎｅｇｎｅｒｔ．Ｉｈ－ｅｌｅｌａｌｕ
ＺｕＸｉｏｊｈａ－ｉｎＣｈｎＹｎｃｕｅａ・ｈｎ・ＭａＳｉｅｈ・ｉ－ｗＱｉｎ－ａｎＴｉｇｇｏ
（ｃｏｌｆｌｔＭｅｈｎｃｌｎｉｅｒｇＡｔｍｔｎＳａｇａＫｅａｏａｒｏｏｅｔｉｎＳｈｏｏＥｅｒｃａｉｇｅｉ＆ｕｏａｏｈｎｈｉｙｂｒｔｙｆｗｒａｏｃｏａＥｎｎｉＬｏＰＳｔＡｔｔｎＴｃｎｌｙＳａｇａＵｉｅｉ，ｈｎｈｉ００２Ｃｉａｕｏｉｅｏｇ，ｈｎｈｉｎｖｒｔＳａｇａ２０７，ｈｎ）ｍａｏｈｏｓｙＡｓａｔＩｉｐｐｒｔｅｒｎｉｔｈｔｅｒｅｏｋＴＮ）ｓｓｄｔｓｌｅｈｎｅＡｓｎｎｂｔｃｎｔｓａｅ，ｈａｓｎａｉＮｕａＮｔｒ（ＣＮｉｕｅｖｔａｎｌｓｇｍｅｔｒ：ｈＴｅＣｏｃｌｗｏｏｅｈＣｉＰｏｌＣＰ，ｄｅｅｈｄａｅｏｓｇｎｅｉｔｏＣＮｉｐｏｏｅ．ｈｅｒｅｏｋｒｂｍ（Ａ）ａｎｗｍｔｏｍｄｔ — ａｅｎａｎｍｅｄｉＴＮｒｐｓｄＴｅｕａｎｔｒｅｎａｎｗｔａｌｇｈｎｓｎｌｗ

混沌理论及其应用研究

e综述e 唐巍等混沌理论及其应用研究
23
蝶效应仅仅是蝴蝶翅膀的一次小小扇动就有可能改变一个月以后的天气情况
图对初值的敏感性
具有分形的性质如图所示混沌的奇异吸引子在微小尺度上具有与整体自相似的几何结
构对它的空间描述只能采用分数维
c神经网络将混沌与神经网络相融合使神经网络由最初的混沌状态逐渐退化到一般的神经网
络利用中间过程混沌状态的动力学特性使神经网
络逃离局部极小点从而保证全局最优可用于联想
记忆 Z机器人的路径规划等 U图像数据压缩把复杂的图像数据用一组能
b 混沌的应用前景
混沌应用可分为混沌综合和混沌分析前者利用人工产生的混沌从混沌动力学系统中获得可能的
功能如人工神经网络的联想记忆等Q后者分析由复杂的人工和自然系统中获得的混沌信号并寻找隐藏
的确定性规则如时间序列数据的非线性确定性预测等混沌的具体的潜在应用可 ‘a 概括如下
优化利用混沌运动的随机性Z遍历性和规律性寻找最优点可用于系统辨识Z最优参数设计等众多方面
成步对每个固定的参量值变量从某一个
初值统一用
开始迭代舍去最初暂态
过程的个迭代值再把后继个轨道点都画
到所选参量的纵方向上这样扫过全部的参量范围
图为图中小矩形区域的放大图
不断地经历倍周期分叉最终达到混沌
称当
时由系统产生的序列0 1为混
沌变量混沌变量0 1的运动形式有如下特征
比例也趋于一个极限 >* 4?5435@A3@
B 混沌的识别

混沌优化算法及其在组合优化问题中的应用

混沌优化算法及其在组合优化问题中的应用混沌优化算法是一种基于复杂非线性系统的自适应优化方法，它使用混沌动力学来模拟复杂系统的行为，以解决复杂优化问题。

混沌优化算法具有自我组织、分布式、可扩展和高效性等特点，在复杂优化问题中得到广泛应用。

混沌优化算法是根据混沌理论的原理开发出的一种新型的进化计算算法，它将混沌理论中的多种元素如混沌映射、混沌动力学、时变环境、信息传输等应用于优化问题的求解中。

它具有自适应性强、非线性、分布式、可扩展など特点，能够同时处理多个变量和多个约束。

混沌优化算法在组合优化问题中得到了广泛应用，其优势在于它可以找到给定问题的最优解，而不受约束条件的影响。

组合优化是一种复杂的优化问题，因为它涉及到许多变量的搜索，其中一些变量之间存在着相互关系，因此需要有一种特殊的优化方法来处理这种情况。

混沌优化算法正是针对这种非线性、非凸、非可微、非稳定的组合优化问题而设计的。

混沌优化算法是一种自适应优化技术，它能够在给定的变量空间中快速搜索出最优解。

它主要利用混沌系统动力学的结构特性，建立一种模拟现实环境的模型，然后将该模型用于优化问题的求解。

在混沌优化算法的运行过程中，通过迭代计算，不断改变变量的值，最终找到最优解。

混沌优化算法能够有效处理多变量、非凸的优化问题，而且具有自适应特性、可扩展性、可并行性等优点，因此在组合优化问题中得到了广泛应用。

例如，它可以用于求解资源分配、交通流量模拟、工程优化等组合优化问题。

混沌优化算法作为一种新兴的优化算法，是一种有效的复杂优化算法，可以用于处理复杂的组合优化问题，具有自适应性、可并行性、可扩展性等特点，因此被广泛应用于工程优化、资源分配、交通流量模拟等复杂的组合优化问题。

暂态混沌神经网络及其在优化问题中的应用研究

暂态混沌神经网络及其在优化问题中的应用研究作者：彭景斌叶进宝王雪娇来源：《现代电子技术》2009年第04期摘要：为了分析研究暂态混沌神经网络特性及其优化机制，在分析与研究暂态混沌神经元模型基础上,通过在Matlab软件中编程仿真分析，比较神经网络的动力学特性及各参数对于网络的寻优过程影响。

暂态混沌神经网络模型利用混沌所固有的随机性和轨道遍历性，在大范围内按其自身规律进行搜索,搜索过程按混沌轨道遍历,不受目标函数限制,从而具有克服陷入局部极小的能力可有效地解决一系列组合优化问题。

这里根据网络动力学特性合理选择控制网络参数，通过仿真很好地解决了非线性函数优化问题和10个城市的TSP问题。

相对于传统参数选择依靠经验使优化结果更具说服力，优化结果令人满意。

从而有利于这种混沌神经网络在优化问题中的推广。

关键词：暂态混沌神经网络;优化问题;非线性函数优化;TSP中图分类号：TP183 文献标识码：A 文章编号：1004－373X(2009)04－076－04Transient Chaotic Neural Netwgork and Its Optimization ofthe Applied ResearchPENG Jingbin1,2,YE Jinbao2,3,WANG Xuejiao3(1.Hengyang Transport Machinery Co.Ltd.,Hengyang,421002,China;2.Hunan Sci.andTech.Economy Trade Vocational College,Hengyang,421009,China;3.University of South China,Hengyang,421001,China)Abstract：For analysing and studing the characteristic and optimized mechanism of transient chaotic neural network,based on analysis of transient chaotic neuron model,through programming the simulation analysis in the Matlab software to compare the neural network dynamic characteristic and various parameters regarding the network optimization process influence.Transient chaotic neural network model by the chaos inherent in the use of random traversal of the track,and carries on the search in wide range according to its own rule,the search process,according to traverse chaotic orbit,free from restrictions on the objective function,which has overcome the local minimum The ability to effectively can solve a series of combinatorial optimization problems.The control network parameter is selected according to the network dynamic characteristic,through thesimulation,problems of non－linear function optimization and 10 city TSP problems are solved.The optimization results is satisfied.And thus is conducive to such a chaotic neural network optimization problem in the promotion.Keywords：transient chaotic neural network;optimization;non－liear function optimization;TSP0 引言生物神经网络是一个非常复杂的非线性巨系统,存在各种复杂的动力学行为,在生物学实验中人们已观察到人脑和动物神经系统中的各种混沌行为。

基于混沌神经网络算法的永磁同步电动机优化设计

ｑｘ＋ｘ一ＸＸ７１ｘ６８４６ — ０－Ｘ７１ — Ｘｌ－ｘ２－－Ｘ２５＞０２７２２３Ｘ３４４－ｘ５￣
当自反馈连接权ｚ（以指数方式（ｉ）ｉ）ｔ即ｚ（＝ｆ
Ｚ（） ’ 趋于零时，网络逐渐退化为一个ｉ０ｅ）此ＨＮＮ。故此网络用来求解非线性优化问题的过ｖ程可分为两个阶段：混沌搜索阶段和梯度收ｇＹｎｅｇＬ
ＣＳＺｈｚｏｅｔｉｃｍｏｉｅＣｏ，ｔＲｕｈｕＥｌｃｒｃＬｏｏｔ．ｄｖＬ
摘
要：沌神经网络算法是把混沌特性和ＨＯ．混Ｐ
常的活动，沌动力学为人们研究神经网络提供混
本文选择的混沌神经网络算法在电机效率、
演化了足够小时后，过一个连续的混沌搜索过通
神经元ｉ的输入偏置；
一
正的参数；
程，网络逐渐趋于稳定的平衡点。利用此特性对
一
正的标度参数；
时变参量（≤ ）Ｏ ≤１；
一
永磁同步电动机进行优化设计，取得了较好效
果。
一
神经膜的阻尼因子（ ≤后）０ ≤１；
计得到合理的电磁结构。电机的优化设计实而
质上是一种多约束变量的复杂的非线性优化问题。多年来，人们研究了各种优化算法，取得了很大的成绩。但随着永磁电机等各种特种电机的广
ｂｚｆ随时间的演化）（）图１单个神经元的时间演４ａ０＝．０９ｇ＝，Ｏ００

混沌神经网络模型及其应用研究

科
科技论研究
高春涛
（尔滨商业大学基础科学学院，哈黑龙江哈尔滨１００）５００
摘要：介绍了两种混沌神经网络模型，了其构成和特点，了混沌神经网络的主要应用领域，分析综述并试探『生地指出了混沌神经网络的发展趋势。关键词：混沌；人工神经网络；混沌神经网络１概述３混沌神经网络模型人工神经网络理论是２０世纪８０年代在国描述混沌神经网络的模型主要有Ａｈｒ依ｉａａ０抑制）（，其他际上迅速发展起来的—个前沿研究领域。近年来，据动物试验提出的模型和Ｉｕ依据Ｌｇｔ映ｎｅｏｏｉｉｓｃ更是掀起了一股人工神经网络研究、开发应用的象提出的模型两种。ｓ是同步的临界参数。热潮。由于神经网络是高度非线性动力学系统，又３ｉｒ的混沌神经网络模型．Ａｈａ１ａ接着，ｏｅＩｕ等又用一个混沌振荡子实现上ｎ是自适应自组织系统，可用来描述认知、决策及控１９年，ｉｒ等目０Ａｈａ在前人推导和实验的基述功自９ａ。进而，ｏｅＩｕ等又将上述晴况推广到模拟ｎ制等智能行为，使得智能的认知和模拟成为神经础上，给出了—个混沌神经元模型：态口。另外，据相关文献日苣已有对上述两类模型报ｊ网络理论研究的一个重要方面，而这方面的研究『Ｍ，１的结合进行的研究。与我们对人脑结构的认识和研究有着密切的关除上述两种模型外，还有多种混沌神经网络ｊｌ＝＝ｒＯｌ系。事实上，神经网络理论研究的前沿问题将渗透模型，其中由ｗｎ等基于Ｅｌ离散化Ｈｐｅａｇｕｒｅｏｆｌｉｄ到２世纪科学的挑战性问题中。然而，１由于人类其中，１ｘ）是在离散时刻ｔ时第ｉ＋ｌ个神经网络提出的一种通过改变其时间步长进行混沌模对真实生物神经系统只了解非常有限的一部分，元的输出，取１ｘ（激活）０非激活）Ｕ或（。定义如：拟退火的神经网络模型，以及通过Ｈｐｅ网络ｏｆｌｉｄ对于自身脑结构及其活动机理的认识还十分肤中引入混沌噪声的神经网络模型也是较为常见的）一浅，当今的神经网络模型实际上是极为简略和粗混沌神经网络模型。糙，目是带有某种先验的。因此，并人神经网络ｗ（≠ｊｉ）是第ｊ个神经元激活ｒ１＋个时间单４混沌神经网络的主要应用的完善与发展有待于神经生理学、神经解剖学的位后影响第ｉ个神经元的联结权值，Ｗ是第ｉ个随着混沌神经网络的研究，混沌神经网络的研究给予更加详细的信息和证据ｌ ¨ ｏ神经元激活什１个时间单位后保持的对自己的影应用也逐渐为人们所重视，近几年来混沌神经网混沌是近代非常引人注目的热点研究，它掀响的记系数，与不应性相对应，是第ｉ０个神经络以其独特的结构和处理信息的方法，在许多实起了继相对论和量子力学以来基础科学的第ｊ次元的全或无激活的阈值。这里，不应性指神经元激际领域中取得了显著的成效，主要应用如下大革命。科学中的混沌概念不同于古典哲学与日活后其阈值增加的性质。ｌ混沌的优化算法常生活语言中的理解，简单地说，混沌是一种确定由混沌神经元构造混沌神经网络时，要考虑混沌具有不重复地经历一定范围内的所有的系统中出现的无规则的运动。混沌理论所决定几个不同于普通神经网络的方面：类似Ｈｐｅ状态的遍历。利用这一特点，ｏｆｌｉｄ混沌可以有效的避的是非线性动力学混沌。目的是揭示貌似随机的结构的自来内部神经元的反馈项和类似Ｂ算法免在搜索全局最优解的过程中陷入局部最小解，Ｐ现象背后可能隐藏的简单规律，以求发现一大复的外部输入项，以及不应性响应和阈值。因此描述它和禁忌搜索、模拟退火、遗传算法等一样都可以杂问题普遍遵循的共同规律。混沌神经网络的数学模型为：有效的避免局部最小，使得神经网络不用再利用从２Ｏ世纪９年代开始，０人们发现人脑中存其它的启发式算法来减少这一缺陷造成的解质量 ‘ｆ１ｌ（） ∑ ∑ ．＝ｒ＋））在着｛沌现象，昆利用混沌理论可解释人脑中某些不高的问题。而且，混沌也是具有内在规律性的，不规则的活动，因此，混沌动力学为人们研究神经是由确定性的迭代产生的、介于确定性和随机性 ∑ （）ｎ（（）之间， ∑ｋ，卜ｒ ∑ｋ，卜ｒ一Ｉｇ‘ ）网络提供了新的契机，并由此产生了对神经网络具有丰富的动力学行为，系统的演变可以导和混沌现象相互融合的研究，并于１９９０年Ｋ — Ａｄ其中，Ｍ是混沌神经元的个数，Ｎ是外部输入致吸引子的转移。所以利用混沌的这两个特性可ｈｒＴａａｅｅｅ，．ｋｂ等人根据生物神经元的混沌特性个数，Ｔｗ．是第ｊ个混沌神经元到第ｉ个混沌神经以在搜索过程中达到良好的优化效果。４混沌的预测２首次提出混沌神经网络模型，将混沌引入神经网元的联结权值，ｖ是第ｉ个外部输入到第ｉ个混沌￡个混沌神经元的连续预测系统是一个复杂的动力学系统，由于混络中，使得人工神经网络具有混沌行为，更加接近神经元的联结权值，是第ｉ实际的人脑神经网络。输出函数，ｊｈ是第ｊ个混沌神经元的内部反馈函沌系统对初值的敏感眭，混沌系统的长期预测是２混沌与神经网络的结合数，ｆｒＩ＿）Ｉ是离散时刻ｔｒｉ－第个外部输入的强度，．不可能的，ｇ但基于Ｌａｕｏ指数可以进行短期预ｙｐｎｖ测。混沌预测是基于相空间重构的预测方法：由标混沌是一种非线性的动力学行为，而Ｈｐ是第ｉｏ— 个混沌神经元的不应性函数。ｉｄｆｌ结构正是神经网络与非线性动力学行为的良ｅ３ｎｕ等的混沌神经网络模型．Ｉｏｅ２量观测数据构造延时坐标，得到与原始相空间轨好结合，因而它可以作为研究混沌神经网络１９年ｌｏｅ等以耦合的混沌振荡子作为线微分同胚的重构相空间轨线，从而得到以相空９１ｎｕ（Ｎ的基础网络圈Ｂ算法可用来观察、ＣＮ）；Ｐ学习混单个神经元，提出了另一种构造混沌神经网络的间点映射表达的动力学行为，据此可推测系统下沌动力学系统，用被破坏的输入数据集重构二维方法耦合的混沌振荡子的同步和异步分别对应个状态点位置，。取出合适的延时坐标分量，得到混沌系统的吸引子，得到相应的几何信息。神经元的激活和抑制两个状态。虽然混沌是由简下一个时刻观测数据的预测位置混沌神经网络的研究起于并基于混沌神经单的确定性规则产生的，但它包含规则性和不规４．３混沌的动态联想记元的研究混沌神经元是构造混沌神经网络的基则性两个方面。耦合的混沌振荡子的同步来自规利用混沌系统对初值的敏感依赖性，有可能本单位对于单个神经元的混沌特征的了解可为混则性，而不规则性可产生随机搜索能力。对于离散对仅有微小区别的记忆模型进行识别。假设把混己『乙ｌ沌神经网络提供必要前提和认识基础。混沌神经时间，耦合的振荡子的运动方程由和艏述沌吸引子看作一个记忆单位来表示网络所｝Ｊ的元的研究中，振荡子是一种典型的研究对象因为 ‘ １，（）口（Ｅ，＋）（ｎ＋ｎｙ１＋）３某一特定信息，通过调整参数改变网络动力学行＝））＋）一１）ｉ（振荡子或它们的组合可表现出丰富的混沌动力学Ｙｎ１ｇｎ＋（Ｉｎ１（＋）（）为，就可以实现动态记。动态记是指对贮存的＋）（）ｎ（＋）ｎ１（＝（））一ｌ４行为。对于在动力系统平衡点不满足Ｌｐｈｔ条ｉｓｃｉｚ其中《是时刻ｎｉｎ１第个神经元的耦合系数，信息ｉｉ变换或者处理。井亍相空间的—个周期轨迹，件所引起的极限混沌的现象的研究显示：神经元ｘｎＹｎｌ和＿分别是时刻ｎｉ（）ｆ１第个神经元第一和第可以作为一

一种新型暂态混沌神经网络及其在函数优化中的应用

ａｄＩｓＡｐｌａｉｎｉｎｔｏｔｍｉａｉｎｎｔｐｉｔｏｎＦｕｃｉｎＯｐｉｚｔｏｃ
唐运虞，刘向东。春波修
ＴＡＮＧｎｙ。ＵＸｉｎ－ｏｇＸＩａ－ｏＹｕ－ｕＬＩａｇｄｎ。ＵＣｈｂｎ
ｍｉａｉｎｐｏｌｍｓＥｘｅｓｖｕｒｃｌｓｌｔｎｈｗｈｔｔｅｎｔｒａｉｈｒａｉｔｆｓａｃｉｇｆｒｇｏａｌｐｚｔｒｂｅ．ｏｔｎｉｅｎｍｅｉａｉａｉｓｓｏｔａｈｅｗｏｋｈｓａｈｇｅｂｌｙｏｅｒｈｎｌｂｌｏ－ｍｕｏｉｏｙｔａｏｕｉｎｎａａｔｒｓｅｄｉｌｓｌｔｓａｄｈｓａｆｓｅｐｅｍｏ．
２ＧＳ混沌神经元及混沌神经网络－模型
２１．ｓ沌神经元模型混
混沌神经网络是在混沌吸引子的相空间内按照一定的
Ｅ３４将其应用于旅行商（Ｓ）ＴＰ问题。还有应用于函数优化，如文献［，］但它们在收敛速度上都不是很理想。文献５６，［］神经元模型的激励函数采用Ｓｍｉ函数，５中，ｉｏｇｄ文献［］６
维普资讯
ＣＮ４ — ２８ＴＰ３１５／
ＩＳ１０ — ３ＸＳＮ０７１０
计算机工程与科学
ＣＯＭＰＥＮＮＥＲＩ＆ＳＩＮＥＵＴＲＥＧＩＥＮＧＣＥＣ
２０年第２０６８卷第３期
神经元模型的激励函数采用的是正弦函数。本文提出的混沌神经元模型采用一种新的激励函数，并将其构成具有暂态混沌动力学的神经网络，应用于函数优化计算中。实验

混沌优化算法在组合优化问题中的应用

混沌优化算法在组合优化问题中的应用作者：陈双郭建勤来源：《现代电子技术》2008年第18期摘要：组合优化问题一直都受到理论界和工程界的重视，此类问题的求解方法也有很多，却各有缺点和局限性，不能满足实际应用的需要。

混沌优化算法在解决数值优化问题上具有一定的普遍性，可以很快找到全局最优解，不过组合优化问题的解不是一个数值，因此在前人研究的基础上，提出求解组合优化问题的混沌优化算法。

首先分析混沌优化，并针对组合优化问题中的TSP问题，提出一种混沌优化策略，探讨在TSP问题中应用混沌优化算法的方法。

结果表明了该方法的有效性。

关键词：混沌优化算法；组合优化；TSP;数值优化中图分类号：TP18 文献标识码：B 文章编号：1004373X(2008)1806803Application of Chaos Optimization Algorithm in the Solution ofCombination Optimization ProblemsCHEN Shuang1,GUO Jianqin2(1.School of Computer Science and Technology,Shandong University,Jin′an,250014,China;2.Shandong College of Electronic Technology,Jin′an,250014,China)Abstract：The combination optimization problems have been paid more attention in the field of theory and the engineering,there also has many solutions of this kind of problems,but actually they all have their disadvantages and limitations,so they cannot satisfy the need of the practical application.The chaos optimization algorithm has certain universality in the solution of the value optimization problems,and they can find the globally optimal solution very quickly,but the solution of the combination optimization problems is not a value,therefore this article proposes the solution of the combination optimization problems chaos optimization algorithm on the studies of the predecessors.This article first analyzes the chaos optimization,and aims at the TSP problems in the combination optimization problems,proposes one kind of strategy of the chaos optimization,and discusses application ofchaos optimization algorithm in the TSP problems,and finally it indicates that this method is effective.Keywords：chaos optimization algorithm;combination optimization;TSP;value optimization1 引言许多实际工程问题都可以转换成组合优化问题加以解决，例如目标识别、特征点匹配、以及路径优化，火力分配等问题。

混沌理论在金融领域的应用分析

混沌理论在金融领域的应用分析混沌理论是近几十年来发展起来的一个新兴科学，它涉及到非线性系统和复杂系统等多个领域。

混沌意味着随机、不可预测和不可控，因此，混沌理论的提出和发展引起了物理学、化学、生物学以及金融学等领域的关注。

特别是在金融领域，混沌理论提供了新的思路，为金融风险管理和金融市场研究提供了新的工具和方法。

本文将从混沌的概念、混沌理论与金融市场的关系、混沌在金融市场中的应用等方面进行分析。

一、混沌的概念混沌一词最早出现在希腊神话中，意思是混合、无序、无法掌握。

在物理学上，混沌指非线性物理系统中出现似乎随机无序而又有规律的运动状态的现象。

混沌现象最早在20世纪60年代被研究出来，着名的洛伦兹吸引子是混沌现象的经典例子之一。

洛伦兹吸引子的出现让人们认识到了传统物理学中固有的逐渐趋于平稳的观点是有很大例外的。

在混沌状态下，事物的变化是实际上是由一系列远离平稳的运动组成的。

这使得混沌成为了研究非线性系统中的随机性、周期性、复杂性等现象的有效工具。

二、混沌理论与金融市场的关系混沌理论在金融市场的应用得到了广泛的探讨和应用。

金融市场就是由众多交易者在不断地交互中形成的一个复杂系统，其中包含了无数的变化和波动。

混沌理论的基本思想是混沌并不是无规律的，而是隐藏在看似无序的过程之中。

金融市场的波动和变化也是这样，看似混乱无序，但实际上内部产生了规律性的变化。

通过混沌理论来分析金融市场，可以揭示这些规律的内部机制，为未来的预测提供了理论支持。

三、混沌在金融市场中的应用1、混沌分形理论混沌分形理论是混沌理论的重要应用之一。

分形本意是指“分数维”或“碎片形态”。

分形理论尝试用数学语言将自然界中的复杂形态表达出来。

股票指数的走势曲线可以用分形理论中的一种分形图形——曼德布集来描述。

曼德布集具有吸引和排斥分岔的特点，具有复杂的内在结构。

通过分形理论，可以揭示股价走势曲线背后隐藏的规律性，使得投资者在分析股价走势时更加有效。

一种混沌Hopfield网络及其在优化计算中的应用

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摘要文章讨论了神经网络算法在约束优化问题中的应用，出了一种混沌神经网络模型在Ｈｅｄ网络中；八混提０ｌｉ沌机制，先在混沌动态下搜索，首然后利用ＨＮ梯度优化搜索。非线性函数的优化问题仿真表明算法具有很强的克服Ｎ对
维普资讯
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徐耀群孙尧郝燕玲。（尔滨５程大学自动化学院，尔滨１００）哈－哈５０１！哈尔滨商业大学基础部，尔滨１０７）（哈５０６
陷入局部极小能力关键词神经网络优化算法函数
文章编号１０ — ３１（０２０ — ０１０文献标识码Ａ０２８３－２０）６０４ — ２中国分类号ｒ１３Ｐ８
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非线性动力学的基本原理和应用实例

非线性动力学的基本原理和应用实例非线性动力学，又称为混沌理论，是一门研究复杂系统行为的学科。

它研究的领域包括物理学、化学、生物学、社会学等多个领域。

本文将介绍非线性动力学的基本原理和应用实例。

一、非线性动力学的基本原理非线性动力学研究的是具有非线性行为的系统。

所谓非线性行为，指的是系统对初始条件的微小变化极其敏感，这种敏感性在系统中表现为不可预测性和不规则性。

一个非线性系统可以用微分方程的形式表示。

因此，非线性动力学的基本原理是微分方程的求解。

非线性系统的微分方程通常较为复杂，无法通过解析方法求解。

因此，在非线性动力学中，常常使用数值计算方法来模拟系统的行为。

另一个非线性动力学的基本原理是混沌理论。

混沌理论表明，在一些非线性系统中，微小的扰动可以引起系统行为的剧烈变化。

这是由于在非线性系统中，不同的初值条件会引起系统的行为非常不同。

这种不确定性被称为“混沌”。

二、非线性动力学的应用实例1. 布朗运动布朗运动是指在液体中漂浮的物质在水分子的撞击下不断做无规则的运动。

这个过程可以用随机游走模型来描述，也可以用布朗粒子模型来描述。

布朗粒子模型是一个非线性系统，在模拟过程中需要使用非线性动力学的方法。

布朗运动在化学动力学、生物化学、统计物理学等领域有广泛应用。

2. 汇流问题汇流问题是指在不同流域中通过河道流动的水汇合到同一个点的问题。

这个问题可以用非线性水力模型来描述。

非线性水力模型是一个非线性系统，在模拟过程中需要使用非线性动力学的方法。

汇流问题在水文学和水资源管理等领域有广泛应用。

3. 神经网络神经网络是一种模拟大脑神经元之间相互作用的数学模型。

神经网络可以看作是一个非线性系统，因为神经元之间的连接是多样的、强弱不一的。

用非线性动力学的方法可以对神经网络模型进行仿真和分析。

神经网络在人工智能、模式识别等领域有广泛应用。

4. 生态系统生态系统是指生物体之间以及生物体与周围环境之间相互作用形成的系统。

生态系统通常是非线性的，因为生物体之间的相互作用和生物体与环境之间的相互作用都是非线性的。

一种解决非光滑非凸优化问题的暂态混沌神经网络

小型微型计算机系统Journal of Chinese Computer Systems 2020年12月第12期 Vol.41 N o.12 2020一种解决非光滑非凸优化问题的暂态混沌神经网络喻昕，汪炎林，徐柳明，伍灵贞(广西大学计算机与电子信息学院，南宁530004)E-mail ：****************摘要：提出了一个新的递归神经网络模型，目标是解决一类带等式与不等式约束的非光滑非凸优化问题.证明了当可行域有界时，递归神经网络能在有限时间内收敛到可行域，并且能最终收敛到优化问题的一个关键点•并针对一般的递归神经网络在解决非凸优化问题过程中容易陷入局部最优解的情况，本文的递归神经网络扩展为暂态混沌神经网络，能通过混沌遍历收敛到优化问题的全局最优点.最终通过实验验证了提出模型的有效性和全局寻优能力.关键词：神经网络;非凸优化问题;暂态混沌神经网络;最优解中图分类号：T P183 文献标识码:A文章编号：1000-1220(2020)12-2522>07Transient Chaotic Neural Network for Nonsmooth and Nonconvex Optimization ProblemsY U X i n.W A N G Yan-lin,XU Liu-m i n g,W U Ling-zhen(Department of Computer and Electronic Information,Guangxi University,Nanning 530004 .China)Abstract：A new r e c u r r e n t n e u r a l network model i s proposed t o s o l v e a c l a s s of nonsmooth nonconvex o p t i m i z a t i o n problems with e-q u a l i t y and i n e q u a l i t y c o n s t r a i n t s I t i s proved t h a t when t h e f e a s i b l e r e g i o n i s bounded,t h e r e c u r r e n t n e u r a l network can converge t o t h e f e a s i b l e r e g i o n i n f i n i t e time and f i n a l l y t o a key p o i n t of t h e o p t i m i z a t i o n problem.For t h e g e n e r a l r e c u r r e n t n e u r a l network i s easy t o f a l l i n t o t h e l o c a l optimal s o l u t i o n i n t h e p r oc es s of s o l v i n g t h e nonconvex o p t i m i z a t i o n problem,t h e r e c u r r e n t n e u r a l network i n t h i s paper i s extended t o t h e t r a n s i e n t c h a o t i c n e u r a l network,which can converge t o t h e g l o b a l optimal s o l u t i o n of t h e o p t i m i z a t i o n problem through c h a o t i c ergodic.F i n a l l y,t h e e f f e c t i v e n e s s and g l o b a l o p t i m i z a t i o n a b i l i t y of t h e proposed model a r e v e r i f i e d by e x p e r iments.Key words：n e u r a l network；nonconvex o p t i m i z a t i o n problems；t r a n s i e n t c h a o t i c n e u r a l network；optimal s o l u t i o ni前言在科学与工程应用中，优化问题作为一类重点问题在最近几十年内得到了广泛的关注与发展.在1986年，由Hopfield 和 Tank⑴提出一种Hopfield 神经网络（Hopfield Neural Network,H N N)作为解决优化问题的并行计算模型，引起了大家的兴趣并开始广泛应用.Zhang等人利用Laga-range乘子法创建了一个新的递归神经网络来处理凸光滑非线性优化问题,Xia等人[3]提出了基于投影方法的递归神经网络用以解决光滑凸（伪凸）优化问题.不久后，应用范围从光滑问题发展到非光滑优化问题，如 L i等人[4]在基于Clark次梯度的递归神经网络模型之中引人投影方法以解决R"上闭凸子集的非凸非光滑优化问题.Liu 等人[5]尝试投影方法建立递归神经网络模型解构线性等式和R"上闭凸子集共同约束的非光滑非凸优化问题.Bian等人[6]也开始利用光滑递归神经网络来解决非光滑非凸的优化问题，使用光滑逼近技术即用一个与目标函数逼近的光滑函数构造光滑神经网络模型.Y u等人[7]基于微分包含的思想，建立了一个不依赖罚参数的神经网络模型用以解决非光滑非凸优化问题.然而上述的模型的本质仍是基于“梯度”或“次梯度”下降的动力系统，无法避免“陷人”局部最优解.尤其是当优化的目标函数是非凸时会存在多处局部最优解,这将无法保证获得全局最优解.为了解决这个问题，Aihara等人[8]受生物神经元混沌特性的启发，于1990年在H N N中增加一个自反馈项以引人混沛机制开创了混纯神经网络（Chaotic Neural Network,C N N).此后，C h e n和Aihara[9]将模拟退火优化算法引人到C N N中提出了暂态混纯神经网络（T r a n s i e n t l y Chaotic Neural Net-work，T C N N).T C N N的动力系统对自反馈链接权值敏感，它可以类比模拟退火算法中一直衰减的温度.当“温度”较大时，整个系统处于“粗搜索”阶段，搜索过程符合混沌动态的特性，会按照混沌轨道进行遍历，并且不受目标函数的限制，能克服陷人局部最优解；当“温度”开始减少并达到一定程度时，系统进入“细搜索”阶段，这时的自反馈权值对系统的影响变得很小，这时的神经网络类似于以粗搜索得到的解为初始点，根据_梯度下降机制在小范围进行搜索，并收敛到一个平衡点，最终T C N N会收敛到一个全局最优解.TCNN提出后，不少学者对此展开研究.文献[1〇，11]分别将TCNN应用于解决组播路由和蜂窝信道分配等组合优收稿日期:2〇2〇>01-14收修改稿日期:202(M)3>09基金项目：国家自然科学基金项目（61862004)资助.作者简介：喻昕，男，1973年生，博士，教授,CCF会员，研究方向为神经网络、优化计算;汪炎林，男，1995年生，硕士，研究方向为神经网络;徐柳明，男，1994年生，硕士，研究方向为神经网络;伍灵贞，女，1995年生，硕士，研究方向为神经网络.喻昕等:一种解决非光滑非凸优化问题的暂态混沌神经网络2523 12期化问题;Zhang等人0]利用小波函数作为激活函数的T C N N 来解决函数优化问题;Babak等人[|3]利用T C N N改进了反应曲面法在函数优化问题中应用的性能.借助脑电波的生物机制，分析不同频率的正弦信号叠加形成的脑电波模型，H u等人[14]用变频正弦（Frequency Conv e r s i o n Sinusoidal,F C S)函数与 Sigmoid 函数加权和作为混纯神经元的激励函数，建立了一个新的神经网络模型一变频正弦混沛神经网络（Frequency Conversion S i n u s o i d a l Chaotic Neural Network,F C S C N N)模型，并在文献[15,16]进一步分析和优化了这种新的模型.综上，为了解决非凸非光滑优化问题，本文提出一个能收敛到优化问题关键点集的递归神经网络，并在此基础上构建了一个暂态混沌神经网络，用于实现非凸优化问题的全局寻优.2预备知识考虑如下问题：min f(x)s.t.g(x)^0A x-b(1)当j c= U,;c2,T e R",/:R”—R，目标函数是正则的，但可以是非凸的和非光滑的,= (A U) ,g2(x)，…，SPU))T:1R R P 是 P-维向量值函数U= 1，2,…，P)是凸的，但可能是非光滑的，A e R是满行秩矩阵，而且办=(办1，2,"-九）^1?'我们假设优化问题（1)具有至少一个局部最小解.定义：\ = |x:衮U)矣0!S2 = \x：Ax= b\贝I J S= \n s2,S= U e R"j U)«0，/U= 是优化问题 (1)的可行域.为便于后续的证明，首先给出下面两个假设：假设1.存在一个点i e R",满足i e i n t(\)n\,使得 i>0.其中 min-gy+(i).假设2.存在义€11”，;*>0，使得;^池（451)门152,5(=5 (i,r).其中 5(i,r) = U e R n:||x- i|| 矣rl.在假设1和2成立的前提下，根据罚函数思想，对\引人罚函数=$111狀丨0,容;(文）丨，则U:Z)U)系0丨=5■卜因为以;〇〇1,2,:",/〇是凸的，那么1)(;〇为凸函数，且对任意 a:e R n:0，x e i n t(5,)明u)=,;玉)[0，1]啤⑴，xebd(s')Z[0,l]^y(^)+I d g j(x)1X^S lVsJ〇(*);«■/+(*)这里：U) = U e 11,2,…，pi :g;(A：) >〇1,U) = b'e|l，2r__，p|:&(j c)=0|定义1.若对于集合£C R"上的任意点;c，都存在一个非空集合R j c)C R",则；c—F(j c)是£—R"上的集值映射.若对于任意的开集V3F(;c。

小波自反馈混沌神经网络的研究与应用

（）中（）在ｘ∈ 卜１１２ｘ，］区间上存在沌的存在。其中显示了小波自反馈网络求解Ｈｐｅｏｆｌｉｄ神经网络通过梯度下降动力学能不动点；ｌ０城市旅行商问题的混沌区域。网络参数ｋ够收敛到稳定的平衡点，找到旅行商问题的解（）３（在ｘｘ）Ｅ卜１１，１区间上有一 ≤ １在区间［，ｌ０】内变化，其他参数不变。也显ｌｌｌ然而很容易陷入局部极小点或找不到解。（），ｘ ≤ｌ表明在Ｘ卜１１区间内，ｘ是一个示了小波自反馈网络求解ｌ，］（）Ｏ城市旅行商问题混沌神经网络通过自反馈引入混沌搜索机制，自映射。的暂态混沌搜索。具有丰富的混沌动力学特性，能够通过混沌搜３小波自反馈暂态混沌神经网络４２最大Ｌａｕｏ．ｙｐｎｖ指数及散度暂态混沌搜索状态的混沌行为可由系统索遍历到系统的各个点但却不能稳定地收敛。为了使混沌神经网络稳定的收敛，Ｃｅｈｎ暂态混沌神经网络通过引入模拟退火机制，使和Ａｈａ把指数模拟退火引入到混沌神经网的最大Ｌａｕｏ指数和散度共同刻画ｌ。ｉａｒｙｐｎｖ１０１网络既能表现出暂态混沌搜索行为又能稳定地络中，使混沌神经网络表现出暂态混沌动力学Ｎ维相空间体积的时间变化率即雅克比收敛于一点，从而有效地克服了Ｈｏｆｌｐｅｄ网络行为。除了指数模拟退火外，其他模拟退火方矩阵的迹为向量场的散度。对于小波自反馈暂ｉ的缺点，很大程度地提高了网络求解优化问题式也可以为混沌神经网络引入暂态混沌动力行态混沌神经网络，其相空间向量场的散度描述如下：的准确度和速度。现将小波函数引入到混为［７１。采用指数模拟退火方式，描述如下沌神经网络的自反馈，使网络表现出了不同于ｚ，）１）（＋１＝（一ｚｆ【）（）３ｋ－Ｚｔ－（）ａ线性自反馈网络的新特性，分析了小波自反馈其中ｚｔ（）为指数模拟退火的温度，可（）ｆ出ｆ（ｙ（【））ｆ）４，对模拟退火的影响，并利用小波自反馈的伸缩作为混沌神经网络的自反馈连接项；Ｂ为指数平移优化了网络求解旅行商问题的性能，研究模拟退火参数。了网络求解１市旅行商问题的内部状态的０城小波自反馈暂态混沌神经网络模型可由卅）｛叫混沌动力学，包括暂态混沌搜索、最大Ｌａ公式（）（）以及（）来描述。模拟退火ｙ— １、２３ｐｎｖ数、混沌区域以及相空间的散度。１的温度ｚｔ以及退火参数Ｂ对暂态混沌神ｕｏ指Ｏ。（）！（！！二城市旅行商问题的仿真实验证明了小波自反馈经网络求解组合优化问题有着重要的影响。较ａ【ｅ（Ｅ）ｙ１ｘ一ｙ＋ｐ】的伸缩和平移有效地提高了网络求解旅行商问高的初始退火温度能使网络获得丰富的混沌动『）巾１＿ｄｖ＋１ｙ（）ｔ（）８题的性能。力学行为，而较低的初始退火温度更适合于网ａ ¨ ｙＬ２小波自反馈混沌神经网络模型络求解组合优化问题［。大的退火参数Ｂ使Ｉ１１混沌神经网络模型描述如下［３１网络具有比较短暂的暂态混沌搜索并能快速收其中ＴＪ（］为雅克比矩阵的迹，即相［ｔ）敛到稳定的平衡点，但容易陷入到组合优化问空间向量场的散度；ｉ＝ … Ｎ对于１，ｉ１。０城市 ” （）： ————— ——一ｆ１ｅｐ一ｅｆ）＋ｘ（ｙ（）ｒ、１题的局部极小点；相反，小的退火参数Ｂ使旅行商问题，Ｎ１０＝０。系统的Ｌａｕｏ指数之和可以借助系统ｙｐｎｖ网络获得较长的暂态混沌搜索��

混沌理论及其在人工智能中的应用

混沌理论及其在人工智能中的应用混沌理论指的是一类看似随机、无法预测的动态系统的理论研究。

混沌理论被普遍应用在许多领域，包括天气预报、生态系统、股票市场、流体力学等方面。

近年来，混沌理论在人工智能领域中的应用也备受瞩目。

在传统的计算机科学中，大部分的应用都是基于确定性逻辑的，即事前已经为系统指定好输入和输出。

但是，当系统面临不确定变量时，确定性逻辑就失去了效用。

换言之，当面对某些完全是随机变量时，计算机无法学习和预测。

混沌理论在这时起到了重要的作用。

它是随机性和确定性的融合，是一种旨在对高度不规则的动态过程建立结构性模型的方法。

混沌系统的行为是无规则的，但是它们有固定的规律和特征。

这种特殊的规律就是系统的“混沌行为”。

在人工智能中，混沌理论可以应用于很多方面，包括模式识别、数据挖掘、神经网络、遗传算法等。

其中，神经网络和遗传算法的应用最为广泛。

对于神经网络来说，混沌理论可以被用来生成更好的权重和偏置，来提高网络的性能。

一般而言，利用随机方式初始化权重和偏置，会导致网络在训练过程中陷入“局部最优解”的问题。

利用混沌序列等随机数，可以改善这个问题，从而达到更好的训练效果。

遗传算法也可以利用混沌理论来提高效率，特别是在寻找最优解的时候。

通常情况下，遗传算法的选择、交叉和变异的过程是基于概率的，所以会存在搜索效率低下的问题。

使用混沌序列和混沌映射，可以提高选择和变异的随机性，从而达到更好的搜索效果。

除此之外，混沌理论还可以应用在非线性动力学建模、信息隐藏等方面，这些应用最近也得到了研究人员的关注。

总的来说，混沌理论是一种广泛应用的理论，能够为人工智能领域的发展带来很多新的思路和方法。

虽然混沌系统看起来很难掌握，但是只要理解了混沌思想，就能在实际应用中发挥出重要的作用。

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暂态混沌动力学在神经网络优化计算中的应用⒇杨立江　陈天仑　黄五群(南开大学物理科学学院,天津,300071)摘　要通过在神经网络状态空间演化方程中引入一个非线性反馈项,使神经网络系统的动力学表现出混沌特性.为将混沌动力学作为搜索机制应用于优化问题,又引入一个调节机制构成了暂态混沌神经网络模型.本文着重分析了暂态混沌神经网络动力学行为,并将其应用于旅行推销员问题.实现了全局优化且有较快的收敛速度.关键词:神经网络;暂态混沌动力学;组合优化;T SP0　引　言神经网络是一个非常复杂的非线性巨系统,存在各种复杂动力学行为.在生物学实验中人们已观察到人脑和动物神经系统中的各种混沌行为,因此在人工神经网络中引入和讨论混沌动力学必将提高人工神经网络的智能化程度,使人工神经网络具有更为广阔的应用前景.迄今已提出了许多具有混沌动力学的神经网络模型[1～3],本文通过在神经网络演化方程中引入一个非线性自反馈项,提出了一个混沌神经网络模型.为了利用混沌动力学作为优化问题中的搜索机制,我们进一步讨论了暂态混沌神经网络模型,预期能在优化问题中获得更好的跳出局域坑并收敛到全局最小的能力.在旅行推销员问题的应用中,也确实验证了本文提出的暂态混沌神经网络具有较好的收敛结果和速度.1　暂态混沌神经网络模型首先引入非线性自反馈项构成了混沌神经网络模型(CNN),在此基础上,通过一个调节机制又构成了暂态混沌神经网络模型.1.1　混沌神经网络模型混沌神经网络模型可描述如下[1,3] V i (t )=11+e -U i/X (1) U i (t +1)=KU i (t )+T ∑Nj =1W ij V i (t )+I i +g [U i (t )-U i (t -1)],i =1,2,…,n (2)其中U i 为第i 个神经元的内部状态;V i 为第i 个神经元的输出;W ij 为神经元j 到i 的互连权重;I i 为第i 个神经元的输入偏置;k 为神经膜阻尼系数(0≤k ≤1);X 是输出函数的陡度参数.混沌神经网络模型与一般的神经网络模型的重要区别在于演化方程(2)式右端的自反馈项g [U i (t )-U i (t -1)].正是由于这个自反馈项的引入.才使混沌神经网络具有更加丰富的时空动力学行为,而一般的神经网络系统则仅仅通过梯度下降收敛到一个稳定状态.通常自反馈项的函数g (x )取为非线性函数,非线性函数的具体形式在问题中至关重要.本文中,第32卷　第3期南开大学学报(自然科学)V o l.32　№31999年9月Acta Scientiarum N aturalium Universitatis N ankaiensis Sep.1999⒇收稿日期:1999-06-10*国家九五攀登计划非线性科学项目资助课题g (x )函数形式的选取基于以下几点考虑[1～2].(1)通过反馈项,应能改变系统不动点的稳定性,却不改变原系统的不动点位置,即要求g (0)=0.(2)Δ=[U i (t )-U i (t -1)]可以被视为系统趋向不动点的速度.大的Δ值表示系统离不动点较远.为保证系统具有趋近不动点的能力.g (Δ)在Δ值很大时必须足够小,以使系统具有类似于Ho pfield 模型的下降动力学.图1　函数g (x ),p 1=p 2=5Fig 1　A plot of function g (x ),p 1=p 2=5(3)在中等的Δ值处,系统进入了某一不动点的邻城,反馈项应使得系统能在该区域中停留一段时间之后离开这一区域,进入另一不动点邻城.根据以上三条原则,在本文中g (x )取如下形式:g (x )=p 1x ex p(-p 2|x |)其中p 1,p 2是控制函数幅度和陡度的参数,在以后的相关讨论中,p 1,p 2都被取作5,函数g (x )的形状如图(1)所示.注意到(2)式中的反馈项g [U i (t )-U i (t -1)]是在t =2时刻开启,它是对于ΔU i =U i (t )-U i (t -1)的非线性响应,而不是以ΔV i =V i (t )-V i (t -1)或V i -I 0为宗量[3],因此,输出函数f =1/[1+e U i (t )/X ]的饱和性能被充分利用.即对于较大的ΔU i 由(1)式只能导致较小的ΔV i ,反馈项g [U i (t )-U i (t -1)]的这一特性使系统能够到达相应于能量极小值的那些状态,但是却有机会脱离一些局域极小.基于以上的讨论,我们知道通过反馈项的引入,混沌神经网络系统能够在状态演化中沿着一分形结构搜索,这种混沌轨道的游动性可与优化问题的状态空间寻优联系起来.1.2　暂态混沌神经网络模型在实际的优化问题中要求作为搜索机制的混沌动力学只是暂时存在,否则系统将会在相空间不停地运动.为了在优化问题中利用混沌动力学跳出能量局域坑,但最后又要保证系统在游动到全局最优解或其附近时能稳定下来,因此在演化方程(2)式中将再引入一个分岔参数Z (t ).Z (t )可被认为是控制反馈项强度的一个参数.随着Z (t )的减小,系统中的混沌动力学将逐渐消失,最后系统通过倒分岔到达一个平衡状态,此系统的动力学行为可以被认为是一种暂态混沌动力学.暂态混沌神经网络模型描述如下: V i (t )=11+e -U i (t )/X (4)U i (t +1)=kU i (t )+T ∑nj =1,j ≠i W ij V j (t )+I i +Z (t )g [U i (t )-U i (t -1)],　i =1,2,…,n (5)Z (t +1)=(1-U )Z (t )(6)其中U 是依赖于时间的分岔参数Z (t )的衰减系数(0≤U ≤1).在开始阶段Z (t )足够大,系统将表现出混沌的特性.随后Z (t )逐渐减小,直到Z (t )小到不足以对系统的演化起作用,整个系统退化为一个单纯的Hopfield 神经网络,模型的动力学行为是敏感地依赖于Z (t )的.通过分析单个神经元的内部状态U (t )及最大李雅普诺夫指数随时间的演化,可以看到一个清晰的暂态混沌动力学过程.由确定性混沌开始,随着分岔参数Z (t )的减小,系统通过倒分岔途径逐渐收敛到一个稳定不动点解.这意味着暂态混沌动力学的引入使得此神经网络系统获得了在相空间中混沌漫游的能力,它可以仅通过改变参数U 值来控制.因此,这一特性很适合作为搜索机制在优化问题中得到应用.2　在旅行推销员问题中的应用旅行推销员问题(TSP)是一个经典的组合优化问题.它表述起来很简单,简言之就是寻找一条最短的遍历n 个城市的路径,且每个城市只经过一次,这是一个N P-困难问题,随着城市数目的增长,可行解的数·100·　南开大学学报(自然科学版)第32卷目增长很快,且其中有许多局域极小解.1985年,Hopfield 和Ta nk 提出具有下降动力学的Hopfield 神经网络模型[4],并把它应用于求解TSP 问题.这一方法的优点是利用了神经网络很强的并行处理能力,但其结果并不十分令人满意.由于能量函数的拓扑空间非常复杂,全局极小往往只有很小的吸引域,Hopfield 网络稳定到某一局域极小态就无法离开,因此不易获得最优解.由前面的分析,可以看出如果采用暂态混沌神经网络模型将具有以下一些优点:首先,非线性反馈项是外加的驱动项,它可以引入到各种各样的优化问题当中,而且它的引入并不改变问题的解(不动点);其次,系统能否在态空间巡游,以及它对能量局域极小态访问的范围的大小,可以容易地通过改变驱动项的参数来调节;再其次,可以引入某些参数调节的机制,使得能量的全局最小解或它的好的近似解处于稳定状态,而其它的局域极小处于不稳定状态,从而进一步改善寻优的能力.下面我们将暂态混沌神经网络应用于TSP 问题中,以提高搜索的性能.本文对TSP 问题的描述采用了与Hopfield 和Ta nk 文中一样的表述问题的编码方法[4].假设神经元的输出V i j 代表以历经顺序j 访问第i 个城市,因此满足各方面约束的能量函数可表述为[3]　E =W 12∑n i =1(∑n j =1V ij -1)2+∑n j =1(∑n i =1V ij -1)2+W 22∑n i =1∑n j =1∑n k =1(V k ,j +1+V k ,j -1)V ij d ik (7)其中下标表达式是模n 的,即V i 0=V in ,V in +1=V i 1;W 1和W 2是分别相应于合法路径约束条件和旅行路径长度约束的关联参数;d ij 代表城市i 与j 之间的距离.应用于TSP 问题的暂态混沌神经网络系统的动力学演化方程如下 V ij (t )=11+e -U ij (t )/X V ij (t +1)=kU ij (t )+T {-W 1∑n i ≠j V il (t )+∑n k ≠i x k j (t )-W 2[∑nk ≠id ik V k ,j +1(t )+∑n k ≠i d ik V k ,j -1(t )+W 1}+Z (t )g [U ij (t )-U ij (t -1)],　i ,j =1,2,…,n (9) Z (t +1)=(1-U )Z (t )(10)为了更清楚地看到用于解决旅行推销员问题的暂态混沌神经网络的基本特征及分析其中的动力学,先来研究一个简单的4城市TSP 问题.数值模拟中,4个城市的位置取文献[5]中10城市数据的前4个城市,方程(8)～(10)中的各参数取为: W 1= 1.0 W 2=1/4 T =0.05k =0.9X =1/250U =0.0035基于方程(7)～(10),我们计算了网络的能量演化及神经元的内部状态U ij ,并得到这4城市TSP 问题的最短路径为 1.342(此时对应的能量值为0.34).图2(a )和图2(b )分别显示了能量的演化和第一个神经元的内部状态U 11,从图2中可以清楚的看到系统从混沌运动逐渐收敛并稳定到能量最小态的过程.由图2(a),我们可以看到在达到1000步迭代之前,系统能量值的跳变很大,呈现出混沌特性,在1000步迭代以后,系统能量的变化幅度逐渐减小,最终稳定下来并收敛到系统能量的最小值处,第一个神经元的内部状态U 11的演化也正与图2(a)中能量的演化相呼应,开始1000步内U 11作不可预期的混沌运动,随着Z (t )值的衰减,U 11的混沌运动逐渐减弱,最终U 11在1500步迭代之后收敛到一个稳定状态.(10)式中的参数U 也是一个控制系统收敛速度的重要参数,为了检验U 在此系统动力学中的影响,我们通过在(10)式中取不同的U 值进行了研究.图3(a)和图3(b)分别对应能量在U =0.005及U =0.0015时的时间演化.图3(a )中由于U 值较大,系统中的混沌动力学消失地较快,约在800步时系统能量就收敛到了稳定点.而在图3(b)中由于U 值较小,Z (t )的衰减很缓慢,所以系统的混沌行为持续时间较长,甚至到了2000步迭代,系统仍未收敛.在图3(b)中由于退火过程较慢,还清楚地看到了一个系统跳出能量局域坑的过程,在迭代1250步左右,系统陷入一个局域坑,Eenerg y =0.45,由于此时的Z 值已较小,反馈项的影响相对要小一些,因而系统在此处稳定了大约200步之后,才又跳出了此局域极小,继续在能量空间中作混沌漫游.·101·　第3期杨立江等:暂态混沌动力学在神经网络优化计算中的应用图2　四城市TSP 问题中神经网络系统的能量及第一个神经元的内部状态U 11随时间演化Fig 2　Time evolutions of the system energy and the internal state U 11of the f irst neuron in 4-cityTSP图3　四城市TSP 问题中对应不同β值,神经网络系统能量的演化Fig 3　Time evolutions of system energy in 4-city TSP with dif ferent values of β 由上面对4城市T SP 问题求解过程中的动力学分析以及实际得到的结果,可以看到利用暂态混沌动力学确实能提高神经网络系统跳出局域极小的能力,下面我们尝试暂态混沌神经网络应用于10城市的旅行推销员问题中,进一步检验暂态神经网络在组合优化问题中的寻优能力.为了提高系统的搜索效率及收敛速度,将再引入一套网络初始化方法和一种不同的退火策略.本文网络的初始化方法是采用文献[5]中的方法,系统的退火策略则是采取文献[1]、[2]中的方法,其形式如下: Z (t )=Z (t )/ln(t +1)(11)在实际的计算中,城市的分布也取文献[5]中的数据,各参数的取值为: W 1= 1.0;　W 2=1/2;　T =0.08;　k =0.7;　X =1/250我们随机产生了5000个初始状态,当Z (t )取为5.0,得到的结果是:5000次计算中收敛到全局最小的比率是99.52%,4976次系统达到了全局最小(路径长度l = 2.69),其余次计算中系统也都收敛到了一些局域极小(路径长度l = 2.78,2.83,…),在所有5000次模拟中没有一次不可行路径.这一结果明显要优于单纯的H o pfield 网络及文献[1]、[2]中的结果,且在5000次计算中达到收敛的平均迭代次数为39步,这也显然要比文献[3]的平均数100～400步要快得多.3　讨论·102·　南开大学学报(自然科学版)第32卷在研究非线性系统的动力学时,人们的注意力大多集中在系统长时间的行为,即吸引子结构上,然而本文表明暂态混沌动力学在对优化问题的应用中也具有重要的价值.本文通过在下降动力学系统中引入一个非线性反馈项构成一个结构相对简单的混沌神经网络模型.当把混沌动力学作为搜索机制应用于优化问题时,它的主要优点是提供了一个跳出局域极小的机制.为使系统在游动到全局最优解或其近似解时能稳定下来,我们在反馈项上附加一个控制系数Z (t ),引入了一个暂态混沌神经网络模型,它使得系统随着Z (t )的衰减即混沌的减弱,搜索的范围也逐渐缩小,更加局限于能量较低的态空间的区域,直到混沌消失时,系统最终稳定于一个能量很低的极小态.虽然我们所做的研究只是基于较小规模的问题,如10个城市的旅行推销员问题,但是已经清楚揭示出它的动力学过程.如何将暂态混沌神经网络应用于更多城市数的TSP 问题中,并将它与已有的模拟退火法、遗传算法、列表寻优法(T ABU 法)等优化算法进行比较,是值得今后进一步研究的.参　考　文　献　1　Zhou Cha ng song ,Chen Tianlun,Huang W uqun.Chao tic neural netwo r k with no nlinea r self-feedback and its appli-cation in o ptimizatio n .N eurocomputing ,1997,14:209～222　2　Zhou Cha ng song ,Chen Tianlun .Chao tic annea ling fo r o ptimizatio n .Phys Rev ,1997,E 55:2580～2587　3　Che n Luonan,Aiha ra Kazwy uki.Chao tic simula ted a nnealing by a neur al ne two rk mo del with transient chaos.N erual N etwork s ,1995,8:915～930　4　Hopfield J J ,T ank D W .“N eural ”com putation of decisio n in optimizatio n pro blems .Biol C ybernetics ,1985,52:141～152　5　W ilson G V ,Paw ley G S.O n the stability o f the T rav eling Salesman Pro blems.Biol C ybernetics ,1988,58:63～70APPLICA T ION O F T RAN SIEN T LY CHAO TICDYN AM ICS IN N EU RAL COM PU T IN GYa ng Lijiang ,Chen Tianlun,Huang W uqun(The Institute of Physics ,N ankai Univ ersity ,Tianjin ,300071)Abstract The dy namics of neural netw ork sy stem will present chao tic cha racters th roug h adding a nonlinear feedback term in the state evo lution equa tion .In o rder to use the chao tic dynamics asthe heuristic mechanism in the o ptimization problem s ,w e also introduced a n adjusting methodto co nstruct a transiently chao tic neural netwo rk model.In this paper,w e mainly a naly zed thedynamical behaviour of the transiently chao tic neural netw ork sy stem,and applied the mo del tothe traveling salesman problem .In the applica tio n ,g lobal o ptimization is realized w ith fasterconv ergence speed. Key words :neur al ne two rk;tra nsient chao tic dy na mics;combina to rial optimiza tio n;T SP ·103·　第3期杨立江等:暂态混沌动力学在神经网络优化计算中的应用。