第四章-电磁波的传播

1
2
B
0
c2 t 2
3．介质的色散
对均匀介质
各种形式的电磁波，c是电磁波在真空 中的传播速度。在真空中，一切电磁 波都以速度c传播。
研究介质中电磁波传播问题时，必须
给出
D
和
E
以及
B
和
H间的关系。
在线性介质中
r
r
D E B H
() 即在线性介质中，ε和μ不再是常数，
2
r B
k
2
r B
0
r E
i
r B
B 0
k
v
E(
x)
iH (
x)
H(x) iE(x)
E(x)
0
H(
x)
0
因而，解出电场后，磁场可由下 式给出
r B
i
r E
（或者
H
i
E）
同样，解出磁场后，可以进一步
求出电场。归纳如左式
亥姆霍兹方程
rr 2E k2E 0
源自文库
r B
i
r E
平面波：波(阵)面为平面
波阵面
波线
§4.1 平面电磁波
一、电磁场波动方程 一般情况下，麦克斯韦方程组为
1．自由空间电磁场 的基本方程
E B t
E
B
H
t D
J
t
D
B 0
H D t
自由空间中ρ = 0，J 0 ，麦克斯韦 方程组可写为左式。
D 0
B 0
2．真空中电磁场的 波动方程
第四章 电磁波的传播
本章重点： 1、电磁场波动方程、亥姆霍兹方程和平面电磁波 2、反射和折射定律的导出、振幅和相位关系 3、导体内的电磁波特性、良导体条件、趋肤效应 4、了解谐振腔和波导管中电磁波的运动形式
本章难点： 1、振幅和相位关系 2、导体内的电磁波 3、谐振腔和波导中电磁波求解
随时间变化的运动电荷和电流辐射电磁场，电磁场 在空间互相激发，以波动的形式存在，这就是电磁波。
xr ,
t
r E
xr
ei
t
Bx, t Bxeit
E ( x,
t)
iE(
x, t ),
t
2 E ( x, t ) t 2
2E(x,t)
因此
2E(x,t)
2
v2
E ( x, t )
0
eit 可以被销去
2E(x)
2
v2
E(x)
0
亥姆霍兹方程
2E k2E 0
对磁场
2B k2B 0
E 0
2
r B
k
2
r B
0
r E
i
r B
B 0
k
v
亥姆霍兹方程是一定频率下电磁 波的基本方程，其解代表电磁波场强 在空间中的分布情况。
波动方程的推导过程中利用了条件
E 0 B 0
但是，亥姆霍兹方程本身并不能
保证上述条件成立，因而必须加上该
条件才能代表电磁波的解。
亥姆霍兹方程每一个满足限制条 件的解代表一种可能存在的波模。
Ex, t
E0
ei
kxt
由条件
E
0
得
ikex
Ex,
t
0
即要求
Ex
0，因此，只要与x轴垂
直，其解就代表一种可能的模式。
二、平面电磁波
1．平面波解的形式
Ex, t
E0ei
kxt
Bx,
t
2E(x)
2
v2
E(x)
0
可以写作
2E
2
v2
E
0
令 k 可得亥姆霍兹方程
v
这里
E
E(x)
B B(x)
另外，时谐情形下的麦氏方程组为
E(
x)
iH (
x)
H(
x)
i E( x)
E(x) 0
H(x) 0
亥姆霍兹方程
rr 2E k2E 0
r B
i
r E
E 0
程。
4．时谐波及其方程
许多实际问题中，电磁波的激发源以 大致确定的频率作正弦振荡，辐射的 电磁波也以相同的频率作正弦振荡。
以单一频率ω做正弦（或余弦）振荡
的电磁波称为时谐波（又称单色波或
定态电磁波）。
电磁场对时间的依赖
关系
r E
xr ,
t
r E
xr
ei
t
这种波的空间分布与时间t无关，时间
部分可以表示为左式
二、平面电磁波
1．平面波解的形式
时谐平面波场强
Ex, t
E0ei
kxt
E0 是电场振幅， eikxt 代表波动的
相位因子。
亥姆霍兹方程
2E k2E 0
对平面电磁波，亥姆霍兹方程化为一
维的常微分方程
d
2
E(
x)
dx2
k
2
E(
x)
0
它的一个解是
Ex
E0eikx
因而时谐平面波场强的全表示式为
自由空间中 E B
t H D
t D 0
B 0
在真空中，D 0E，B 0H ，对上
第一式取旋度并利用第二式得
(
E)
(
B
)
B
t
t
0
t
H
0
D t
0 0
E t
2．真空中电磁场的 波动方程
2E
1 c2
2E t 2
0
2B
1
2
B
0
c2 t 2
( E)
传播问题是指：研究电磁场在空间存在一定介质和 导体的情况下的运动。在真空与介质、介质与介质、介 质与导体的分界面上，电磁波会产生反射、折射、衍射 和衰减等等，因此传播问题本质上是边值问题。
电磁波传播问题在无线电通讯、光信息处理、微波 技术、雷达和激光等领域都有着重要的应用。
§4.1 平面电磁波
电磁波在空间传播有各种各样的形式， 最简单、最基本的波型是平面电磁波。
(
B )
B
0
t t
H
t
0
D t
0 0
E
t
利用下述公式及 E 0
(
E)
(
E)
2
E
2
E
可得电场的偏微分方程
2
E
0 0
2
E
t 2
0
令 c 1
0 0
同理可得磁场的偏微分方程
2．真空中电磁场的
波动方程
左式称为电磁场波动方程，其解包括
2E
1
2
E
0
c2 t 2
2B
亥姆霍兹方程有多种形式的解：
平面波解，球面波解，等等。其中最
简单、最基本的形式为平面波解。
二、平面电磁波
设电磁波沿x轴方向传播，其强度在
与x轴正交的平面上各点具有相同的
值，即
E
和
B
仅与x，t有关，而与y，
z无关。此即平面电磁波。
电磁波传播方向
x
研究平面波解的意义： ①简单、直观、物理意义明显； ②一般形式的波都可以视为不同频率 平面波的线性叠加。
同样的，有
Dx, t Dxeit
Bx, t Bxeit
Hx, t Hxeit
2E(x,t)
1 v2
2 E ( x, t )
t 2
0
2B(x,t)
1 v2
2 B( x, t )
t 2
0
其中 v 1
对单一频率 D E 、B H 成立。介
质中波动方程为左式
由
r E
的现象称为介质的色 而是频率的函数
散。
()
电磁波的频率成分一般不是单一的 （非正弦变化），可能含有各种频率 成分。因此，一般地
Dx,t Ex,t Bx,t Hx,t
故不能推出电场和磁场的一般波动方 程
由于一般情况下，D E 及B H ，
不能将真空中的波动方程简单地用
代 0 、 代 0转化为介质中的波动方