一维方势阱中粒子的能量本征值

一维方势阱中粒子的能量本征值

王雅楠

赤峰学院物理与电子信息工程学院，赤峰024000

摘要：量子力学教学中一个基本的问题是用薛定谔方程处理一维方势阱中运动的粒子， 关键词：

1 一维势场中粒子的能量本征态的一般性质

设质量为m 的粒子在一维势场()V x 中(考虑定态的情况下)的能量本征方程为

22

2

()()()2d Vx x E x m d x ψψ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦

（1） 在上式中，()()V x V x *

=（实数值）；E 为能量本征；()x ψ为相应的能量本征态。

以下是该方程的解，即能量本征态的一般性质：

定理一：设()x ψ施能量本征方程（１）的一个解，对应的能量本征值为E ，则()x ψ*也是方程（１）的一个解，对应的能量也是E 。

定理二：对应于能量的某个本征值E ，总可以找到方程（１）的一组实解，凡是属于E 的任何解，均可表示为这一组实解的线性叠加。

定理三：设()V x 具有空间反射不变性，()()x V x V =-。如()x ψ是方程（１）的对应于能量本征值E 的解，则()x ψ-也是方程（１）的对应于能量E 的解。

定理四：设()()V x Vx -=，则对应于任何一个能量本征值E ，总可以找到方程（１）的一组解（每个解都有确定的宇称），而属于能量本征值E 的任何解，都可用它们来展开。

定理五：对于()21V V -有限的阶梯形方位势12,;

(),,

V x a V x V x a <⎧=⎨

>⎩能量本征函数()x ψ及其

导数()x ψ'必定是连续的（但如果21V V -→∞，则定理不成立）。

定理六：对于一维粒子，设()1

x ψ与()2x ψ均为方程（１）的属于同一能量E

的解，

则

()()12x x ψψ'－()()21x x ψψ'＝常数（与x 无关）。

定理七：设粒子在规则势场()V x 中运动（()V x 无奇点），如存在束缚态，则必定不简并。

2 方势

方势阱是指如图所示一种理想的势能位形，当电子处在这样的一个势能的阱中时，其能量将产生量子化，即只可取一些分立的值，相应于这样的一些能量值1E , 2

E , 3

E

，…的

波函数1()x ϕ，2()x ϕ，3()x ϕ ，…的形状也将不相同。

3理论推导并计算各种一维方势阱的能量本征值

3.1理论推导并计算一维无限深方势阱的能量本征值

所谓一维无限深方势阱，就是粒子在势阱中的势能为零，而在势阱外势能等于无限大

一种情况是一维非对称无限深方势阱，即

质量为m

a

x

∞

∞

U U

()0

,0;

,0,.

x a V x x x a <<⎧=⎨

∞<>⎩

定态薛定谔方程为：

()2

22

02d E x a m d x

ψ

ψ-=<< 当0x <和x a >时，

()0x ψ=；

当0x a <<时 ，

2

222d E m d x

ψψ-= ()()()222

200d x m E x xa

d x

ψψ+=<< 令

k 代入薛定谔方程得：

()()22

2

0d x k x d x

ψψ+= 此方程的通解为：

()

s i n c o s x A k xB k x ψ=+ 由于阱壁无限高，所以()00ψ= ()0a ψ=

()()()()s i n 0c o s 00(

1)s i n c o s 0

(2)A B A a B a +=+=　

由式（1）得B =0 波函数为：

()s i n x A

k x ψ= 由式（2）得：

s i n 0A k a =

于是

k a n

π= 即

()

1,2,3m E n a n π

== 由此得到粒子的能量本征值：

22

2

2

2m a

π

⎛⎫

⎪

⎭

质量为m的粒子只能在x a

<的区域内自由运动，势能函数为:

()

0,;

2

,.

2

a

x

V x

a

x

⎧

<

⎪⎪

=⎨

⎪∞≥

⎪⎩

定态薛定谔方程为：

阱外：()()

22

22

2

-

2

d

x E x

m d x

ψψ

⎡⎤

+∞=

⎢⎥

⎣⎦

阱内：()()

22

11

2

-

2

d

x E x

m d x

ψψ

=

当

2

a

x≥时，

()0

x

ψ=；

当

2

a

x<时，

22

2

2

d

E

m d x

ψ

ψ

-=

令

k

代入薛定谔方程得：

()

()

2

2

2

d x

k x

d x

ψ

ψ

+=

此方程的通解为：

()s i n c o s

x A k xB k x

ψ=+