电磁场与电磁波矢量分析亥姆霍兹定理

divA =
DV ® 0
ò lim
S
A ×ds
DV
矢量的散度是一个标量
2、散度的物理意义 散度代表矢量场的通量源的分布特性 矢量的散度代表的是其通量的体密度
电磁场与电磁波
• A = 0 (无源）
第一章 矢量分析
• A = 0 (正源)
• A = 0 (负源)
哈密顿(W .R .Hamilton)引入倒三角算符表示下述矢量 形式的微分算子 ˆ y ˆ ˆ x z x y z
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
二、标量积和矢量积
1、标量积(点乘)
A B A B cosaAB
意义：一个矢量的模与另一个矢量在该矢量上的投影的乘积。 注意：
ˆ y ˆy ˆz ˆ0 ˆz ˆx x ˆx ˆy ˆy ˆz ˆz ˆ 1 x
直角坐标系中的 计算公式：
散度计算公式： divA A
Ax Ay Az ˆ y ˆ z ˆAx y ˆAy z ˆ ˆAz ) A (x x y z x y z x
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
三、散度定理
n2
记为： A B Ax Ay Az Bx B y Bz
ˆ x
ˆ y
ˆ z
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
三、三重积
1、标量三重积 A ( B C) B (C A) C ( A B)
意义：平行六面体的体积。
2、矢量三重积为
A B Ax Bx Ay By Az Bz 2 2 2 2 A A Ax Ay Az A
2、矢量积(叉乘)
ˆ A B sin aAB A B n
其中： n ˆ 方向与A , B成右手螺旋关系
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
意义：A和B矢量所围成的平行四边形面积。
求任意点处电通量密度的散度▽· D，并求穿出r为半径的
球面的电通量
[解]
ˆx y ˆy z ˆz q x ˆDx y ˆ Dy z ˆDz D x 2 2 2 3/ 2 4 ( x y z )
Dx q x 2 2 2 3/ 2 x 4 x ( x y z ) q r 2 3x 2 q 1 3x 2 2 2 2 2 3/ 2 2 2 5/ 2 4 ( x y z ) ( x y z ) 4 r5
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
通量定义：矢量 A 沿有向曲面S 的面积分，称为矢量 A 沿有向曲面S 的通量
ˆ ds A ds A n
s s
如果S是一个封闭面, 则通量为：

A ds
S
若Ψ＞0, 表示有净通量流出, 这说明S内必定有矢量场 的源;
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
第一章
矢 量 分 析
§1.1 矢量表示法和代数运算 §1.2 通量与散度,散度定理 §1.3 环量与旋度,斯托克斯定理 §1.4 方向导数与梯度,格林定理
§1.5 曲面坐标系
§1.6 亥姆霍兹定理
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
§1 .1
矢量表示法和代数运算
一、矢量表示法及其和差 矢量A的表示： ˆAx y ˆAy z ˆAz A x
n1
n1=-n2
散度定理：矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体 积的封闭面的总通量，也称为高斯定理

V
Adv A ds
电磁场与电磁波
第Leabharlann Baidu章 矢量分析
例1 .1
点电荷q在离其r处产生的电通量密度为
D=
q 2 2 2 1/2 ˆ ˆ ˆ r , r = xx + yy + zz , r = ( x + y + x ) 3 4p r
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第一章 矢量分析
A ( B C) B( A C) C( A B)
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
§1 .2 通量与散度, 散度定理
一、通量
面元:
ˆ ds ds n
ˆ 是面元的法线方向单位矢量 其中： n ˆ 的取向问题: n
对开曲面上的面元, 设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的, 则当选定绕行l的方向后, 沿绕行方向按右手螺旋的姆指方 ˆ 的方向 向就是n ˆ 取为封闭面的外法线方向。 对封闭曲面上的面元, n
A矢量的模：
2 2 A Ax Ay Az2
A矢量的单位矢量：
Ay Ax Az A ˆ ˆ ˆ ˆ A x y z A A A A ˆ cos a y ˆ cos z ˆ cos x
两个矢量的对应分量相加或相减：
ˆ( Ax Bx ) y ˆ ( Ay By ) z ˆ( Az Bz ) A B x
注意：x ˆx ˆ
ˆ y ˆz ˆ z ˆ0 y ˆ y ˆz ˆz ˆ, z ˆy ˆ ˆ, y ˆx ˆ x x
直角坐标系中的计算公式：
ˆ x yA ˆ y zA ˆ x yB ˆ y zB ˆ z ) ( xB ˆ z) A B ( xA ˆ ( Ay Bz Az By ) y ˆ ( Az Bx Ax Bz ) z ˆ( Ax By Ay Bx ) x

若Ψ＜0, 表示有净通量流入, 说明S内有洞(负的源)。
通过封闭面的电通量Ψe等于该封闭面所包围的自由电荷Q。 若Q为正电荷, Ψe为正, 有电通量流出; 反之, 若Q为 负电荷, 则Ψe为负, 有电通量流入。
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
二、散度
1、散度(divergence)定义：如果包围点P的闭合面S所 围区域V以任意方式缩小为点P时, 通量与体积之比的 极限存在，定义该极限为矢量场A在P点的散度。