北师大版九年级数学上册期中专题复习 ：第四章 图形的相似 (含答案)

期中专题复习：第四章图形的相似
一．选择题
1．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（）A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1
2．如图，△ABC∽△DEF，相似比为1：2．若BC＝1，则EF的长是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知4x﹣5y＝0，则＝（）
A．B．C．D．
4．如图，已知直角坐标系中四点A（﹣2，4）、B（﹣2，0）、C（2，﹣3）、D（2，0）．若点P在x轴上，且PA、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，则所有符合上述条件的点P的个数是（）
A．1个B．2个C．3 个D．4个
5．如图，在边长为9的正方形ABCD中，F为AB上一点，连接CF．过点F作FE⊥CF，交AD于点E，若AF＝3，则AE等于（）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
6．如图，线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2），B（4，2），以原点O为位似中心，将线段AB缩小后得到线段DE．若DE＝1，则端点D的坐标为（）
A．（2，1）B．（2，2）C．（1，1）D．（1，2）
7．彼此相似的矩形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…，和点C1，C2，C3，…，分别在直线y＝kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1、B2的坐标分别为（1，2），（3，4），则Bn的坐标是（）
A．（2n﹣1，2n）B．（2n﹣，2n）
C．（2n﹣1﹣，2n﹣1）D．（2n﹣1﹣1，2n﹣1）
8．如图，△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝6，则点F到BC的距离为（）
A．1 B．2 C．12﹣6 D．6﹣6
9．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB．若
AD＝2BD，则的值为（）
A．B．C．D．
10．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（）
A．两人都对B．两人都不对
C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对
11．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD：DE＝3：5，AE＝8，BD＝4，则DC的长等于（）
A．B．C．D．
12．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：4，则S△BDE：S△ACD＝（）
A．1：16 B．1：18 C．1：20 D．1：24
二．填空题
13．如果＝，那么＝．
14．两个相似三角形的对应边比是0.6，那么它们的对应高比是，面积比是．15．图中ABCD是平行四边形，AB＝6，EC＝2，则S△DEF：S△FAB＝．
16．如图，已知AB∥EF∥CD，若AB＝2，CD＝3，则EF＝．
17．如图，已知点A（0，1），B（﹣2，0），以坐标原点O为位似中心，将线段AB放大2倍，放大后两个端点A′，B′的坐标分别为．
18．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠BCD＝90°，BC＝CD，E在BC的延长线上，且BE＝AE，AE交CD于F，过点B作BH⊥AE，垂足为H，延长BH交AD于G，若AG＝5，AF＝10，则BG的长为．
三．解答题
19．如图，已知四边形ABCD是平行四边形．
（1）求证：△MEF∽△MBA；
（2）若AF、BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，求证：DF＝EC．
20．两棵树的高度分别是AB＝16米，CD＝12米，两棵树的根部之间的距离AC＝6米．小强沿着正对这两棵树的方向从右向左前进，如果小强的眼睛与地面的距离为1.6米，当小强与树CD的距离等于多少时，小强的眼睛与树AB、CD的顶部B、D恰好在同一条直线上，请说明理由．
21．如图，图中的△ABC是格点三角形，建立平面直角坐标系，点C的坐标为（5，﹣1）．（1）把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1的图形并写出点A1的坐标；
（2）把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C，画出△A2B2C的图形并写出B2的坐标；
（3）把△ABC以点A为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为1：2，画出AB3C3的图形．
22．如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片．AD是边BC上的高，BC＝40cm，AD＝30cm．从这张硬纸片剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH．使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上．AD与HG的交点为M．
（1）求证：；
（2）求这个矩形EFGH的周长．
23．已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AE＝10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；
（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2＝AC•AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．
24．（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ 交DE于点P，求证：＝；
（2）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．
①如图2，若AB＝AC＝1，直接写出MN的长；
②如图3，求证：MN2＝DM•EN．
参考答案一．选择题
1．解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，
∴△ABC与△A′B′C′的面积的比为1：4．
故选：C．
2．解：∵△ABC∽△DEF，相似比为1：2，
∴＝，
∴EF＝2BC＝2．
故选：B．
3．解：∵4x﹣5y＝0
∴4x＝5y
∴．
故选：B．
4．解：设OP＝x（x＞0），分三种情况：
一、若点P在AB的左边，如图1，有两种可能：
①此时△ABP∽△PDC，则PB：CD＝AB：PD，
则（x﹣2）：3＝4：（x+2）
解得x＝4，
∴点P的坐标为（﹣4，0）；
②若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝PB：PD，
则（x﹣2）：（x+2）＝4：3
解得：x＝﹣14
不存在．
二、若点P在AB与CD之间，如图2，有两种可能：①若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝BP：PD，
∴4：3＝（x+2）：（2﹣x）
解得：x＝，
∴点P的坐标为（，0）；
②若△ABP∽△PDC，则AB：PD＝BP：CD，
∴4：（2﹣x）＝（x+2）：3，
方程无解；
三、若点P在CD的右边，如图3，有两种可能：
①若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝BP：PD，
∴4：3＝（2+x）：（x﹣2），
∴x＝14，
∴点P的坐标为（14，0），
②若△ABP∽△PDC，则AB：PD＝BP：CD，
∴4：（x﹣2）＝（x+2）：3，
∴x＝4，
∴点P的坐标为（4，0）；
∴点P的坐标为（，0）、（14，0）、（4，0）、（﹣4，0）．故选：D．
5．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC＝9，∠A＝∠B＝90°，
∵FE⊥CF，
∴∠EFC＝90°，
∴∠AEF+∠EFA＝90°，∠AFE+∠CFB＝90°，
∴∠AEF＝∠CFB，
∴△AEF∽△BFC，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝2，
故选：C．
6．解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2），B（4，2），以原点O为位似中心，将线段AB缩小后得到线段DE，DE＝1，
∴两线段的位似比为2：1，
∴端点D的坐标为：（1，1）．
故选：C．
7．解：∵B1（1，2），
∴相似矩形的长是宽的2倍，
∵点B1、B2的坐标分别为（1，2），（3，4），
∴A1（0，2），A2（1，4），
∵点A1，A2在直线y＝kx+b上，
∴，
解得，
∴y＝2x+2，
∵点A3在直线y＝2x+2上，
∴y＝2×3+2＝8，
∴点A3的坐标为（3，8），
∴点B3的横坐标为3+×8＝7，
∴点B3（7，8），
…，
B n的坐标为（2n﹣1，2n）．
故选：A．
8．解：过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H，∵AB＝AC，AD＝AG，
∴AD：AB＝AG：AC，
∵∠BAC＝∠DAG，
∴△ADG∽△ABC，
∴∠ADG＝∠B，
∴DG∥BC，
∵四边形DEFG是正方形，
∴FG⊥DG，
∴FH⊥BC，AN⊥DG，
∵AB＝AC＝18，BC＝12，
∴BM＝BC＝6，
∴AM＝＝12，
∴，
∴，
∴AN＝6，
∴MN＝AM﹣AN＝6，
∴FH＝MN﹣GF＝6﹣6．
故选：D．
9．解：∵DE∥BC，EF∥AB，AD＝2BD，
∴＝＝2，＝＝2，
∴＝，
故选：A．
10．解：甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，
∴∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴甲说法正确；
乙：∵根据题意得：AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，则A′B′＝C′D′＝3+2＝5，A′D′＝B′C′＝5+2＝7，
∴，，
∴，
∴新矩形与原矩形不相似．
∴乙说法正确．
故选：A．
11．解：∵∠C＝∠E，∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC∽△BDE，
∴＝，
又∵AD：DE＝3：5，AE＝8，
∴AD＝3，DE＝5，
∵BD＝4，
∴＝，
∴DC＝，
故选：A．
12．解：∵S△BDE：S△CDE＝1：4，
∴设△BDE的面积为a，则△CDE的面积为4a，∵△BDE和△CDE的点D到BC的距离相等，
∴＝，
∴＝，
∵DE∥AC，
∴△DBE∽△ABC，
∴S△DBE：S△ABC＝1：25，
∴S△ACD＝25a﹣a﹣4a＝20a，
∴S△BDE：S△ACD＝a：20a＝1：20．
故选：C．
二．填空题（共6小题）
13．解：由分比性质，得
＝＝﹣，
故答案为：﹣．
14．解：∵两个相似三角形的对应边比是0.6，
∴它们的对应高比是0.6，面积比＝0.62＝0.36，
故答案为：0.6，0.36．
15．解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴△FDE∽△FAB，
∵AB＝6，EC＝2，
∴DE＝CD﹣CE＝4，
∴DE：AB＝2：3，
∴S△DEF：S△FAB＝4：9，
故答案为：4：9．
16．解：∵AB∥EF∥CD，
∴△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，AB＝2，CD＝3，
∴，
∴，
∴解得：EF＝．
故答案为：
17．解：如图所示：放大后两个端点A′，B′的坐标分别为：（0，2），（﹣4，0）或（0，﹣2），（4，0）．
故答案为：（0，2），（﹣4，0）或（0，﹣2），（4，0）．
18．解：连接BF．作BI⊥DA于I．
∵∠IDC＝∠BCD＝∠I＝90°，
∴四边形BCDI是矩形，
∵BC＝CD，
∴四边形BCDI是正方形，
∴DI∥BC，
∴∠1＝∠ABE，
∵BE＝BA，
∴∠ABE＝∠2，
∴∠1＝∠2，
∵BI⊥AI．BH⊥AE，
∴BI＝BH，
∴Rt△BAI≌Rt△BAH，
∴AI＝AH，设AI＝AH＝a，
∵△AHG∽△ADF，
∴＝＝＝，
∴AD＝2a，
∴ID＝IB＝BC＝CD＝3a，
∵BF＝BF，BH＝BC，
∴Rt△BFH≌Rt△BFC，
∴HF＝FC＝10﹣a，DF＝3a﹣10+a＝4a﹣10，
∴GH＝2a﹣5，BG＝5a﹣5，
在Rt△BIG中，∵BI2+IG2＝BG2，
∴（3a）2+（a+5）2＝（5a﹣5）2，
解得a＝5或0（舍弃），
∴BG＝15．
三．解答题（共6小题）
19．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EFM＝∠MAB，∠FEM＝∠MBA，
∴△MEF∽△MBA；
（2）∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠FAB，
∵AF、BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，
∴∠DAF＝∠FAB，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴DA＝DF，
同理得出CE＝CB，
∴DF＝EC．
20．解：设小强的眼睛的位置为O，过O点作平行于地面的线段交CD于E，交AB于F，连接O、D、E得△ODE和△OBF，
设小强与树CD的距离为x，有OE＝x，OF＝6+x．
因为△ODE∽△OBF，
所以：＝，
解得x＝15.6米．
21．解：（1）如图所示：A1的坐标是（﹣5，3）．
（2）如图所示：B2的坐标是（5，5）．
（3）如图所示：有两种情况：
．
22．（1）证明：∵四边形EFGH为矩形，
∴EF∥GH，
∴∠AHG＝∠ABC，
又∵∠HAG＝∠BAC，
∴△AHG∽△ABC，
∴；
（2）解：由（1）得：设HE＝xcm，MD＝HE＝xcm，∵AD＝30cm，
∴AM＝（30﹣x）cm，
∵HG＝2HE，
∴HG＝（2x）cm，
可得，
解得，x＝12，
故HG＝2x＝24
所以矩形EFGH的周长为：2×（12+24）＝72（cm）．
答：矩形EFGH的周长为72cm．
23．（1）证明：由题意可知OA＝OC，EF⊥AO，
∵AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，
∴△AOE≌△COF，
∴AE＝CF，又AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
由图形折叠的性质可知，AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：∵四边形AECF是菱形，
∴AF＝AE＝10cm，
设AB＝a，BF＝b，
∵△ABF的面积为24cm2，
∴a2+b2＝100，ab＝48，
∴（a+b）2＝196，
∴a+b＝14或a+b＝﹣14（不合题意，舍去），
∴△ABF的周长为14+10＝24cm；
（3）解：存在，过点E作BC的垂线，交AC于点P，点P就是符合条件的点；证明：∵∠AEP＝∠AOE＝90°，∠EAO＝∠EAO，
∴△AOE∽△AEP，
∴＝，
∴AE2＝AO•AP，
∵四边形AECF是菱形，
∴AO＝AC，
∴AE2＝AC•AP，
∴2AE2＝AC•AP．
24．（1）证明：在△ABQ和△ADP中，
∵DP∥BQ，
∴△ADP∽△ABQ，
∴＝，
同理在△ACQ和△APE中，
＝，
∴＝．
（2）①作AQ⊥BC于点Q．
∵BC边上的高AQ＝，
∵DE＝DG＝GF＝EF＝BG＝CF
∴DE：BC＝1：3
又∵DE∥BC，
∴AD：AB＝1：3，
∴AD＝，DE＝，
∵DE边上的高为，MN：GF＝：，∴MN：＝：，
∴MN＝．
故答案为：．
②证明：∵∠B+∠C＝90°∠CEF+∠C＝90°，∴∠B＝∠CEF，
又∵∠BGD＝∠EFC，
∴△BGD∽△EFC，
∴＝，
∴DG•EF＝CF•BG，
又∵DG＝GF＝EF，
∴GF2＝CF•BG，
由（1）得＝＝，∴×＝•，
∴（）2＝•，
∵GF2＝CF•BG，
∴MN2＝DM•EN．。