2015宜宾一诊 四川省宜宾市2015届高三第一次诊断考试数学理试题 Word版含答案
四川省宜宾市宜宾县2015届高考数学适应性试卷(理科)(二) 含解析
2015年四川省宜宾市宜宾县高考数学适应性试卷（理科)（二）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．已知集合A=｛（x，y）｜y2=4x},B=｛（x,y）|y=x+1}，则A∩B=（)A．{(1，﹣2）} B．｛（1，2）｝C．（1，2） D．（1，﹣2）2．下列说法正确的是（)A．已知p：∃x0∈R，x02+x0﹣1=0,q：∀x∈R，x2+x+1＞0，则p∧q是真命题B．命题p：若,则的否命题是：若，则C．∀x∈R，x2+x﹣1＜0的否定是∃x0∈R,x02+x0﹣1＞0 D．x=是取最大值的充要条件3．若a＜b＜0,则下列选项正确的是（）A． B．C．a n＜b n（n∈N，n≥2)D．∀c≠0，都有ac＜bc4．如图是某几何体的三视图，其中正视图是斜边长为2的直角三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（）A．B．C．D．+π5．如果执行如图所示的程序框图，输入x=6，则输出的y 值为( ）A．2 B．0 C．﹣1 D．6．487被7除的余数为a（0≤a＜7），则展开式中x﹣3的系数为( )A．4320 B．﹣4320 C．20 D．﹣207．已知f（x）=x+sinx，若x∈[1，2]时，f(x2﹣ax）+f（1﹣x）≤0，则a的取值范围是（）A．a≤1B．a≥1C．a≥D．a≤8．高考临近，学校为丰富学生生活,缓解高考压力，特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛．由于爱好者众多，高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．首发要求每个班至少1人，至多2人，则首发方案数为( ) A．720 B．270 C．390 D．3009．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C 交于点M,N，若|MF2|=｜F1F2|，且|MF1｜=4，｜NF1｜=3，则椭圆Г的离心率为( )A． B． C． D．10．已知y=f(x)为R上的可导函数，当x≠0时，，则关于x的函数的零点个数为（）A．1 B．2 C．0 D．0或2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．若复数z=x+yi的共轭复数为且满足z，则复数z 在复平面内的对应点的轨迹方程为．12．已知A，B是y=sin(ωx+φ)的图象与x轴的两个相邻交点，A，B之间的最值点为C．若△ABC为等腰直角三角形,则ω的值为．13．已知(x，y)满足，若z=ax﹣y取最小值时有无数个最优解，则a= ．14．已知圆C：（x﹣2）2+y2=4．过点的直线与圆C交于A，B两点,若，则当劣弧AB所对的圆心角最小时，= ．15．已知命题：①将一组数据中的每个数都变为原来的2倍，则方差也变为原来的2倍;②在△ABC中，若A＞B，则sinA＜sinB；③在正三棱锥S﹣ABC内任取一点P，使得V P﹣ABC＜的概率是；④若对于任意的n∈N＊，n2+(a﹣4）n+3+a≥0恒成立，则实数a的取值范围是．以上命题中正确的是（填写所有正确命题的序号)．三、解答题:本大题共6小题，共75分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．在△ABC中,角A为锐角,且+cos2A．(1)求f(A）的最大值;（2）若，求△ABC的三个内角和AC边的长．17．根据国家考试院的规定，各省自主命题逐步过渡到全国统一命题,2016年已经有25个省、直辖市参与全国统一命题．每年根据考试院出具两套试题，即全国高考新课标卷Ⅰ和全国新课标卷Ⅱ．已知各省选择全国高考新课标卷Ⅰ和全国新课标卷Ⅱ是等可能的，也是相互独立的．（Ⅰ）在四川省选择全国新课标卷Ⅱ的条件下,求四川省在内的三个省中恰有两个省在2016年选择全国新课标卷II 的概率．（Ⅱ）假设四川省在选择时排在第四位，用X表示四川省在选择选择全国新课标卷Ⅱ前，前三个省选择选择全国新课标卷Ⅱ的省的个数，求X的分布列及数学期望．18．如图1在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，D，E分别是AC，BC边上的中点，M为CD的中点，现将△CDE沿DE折起，使点A在平面CDE内的射影恰好为M．（I)求AM的长；(Ⅱ)求面DCE与面BCE夹角的余弦值．19．数列{a n}满足na n+1﹣（n+1）a n=0，已知a1=2．（I)求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=，b n的前n项和为S n，求证：S n＜．20．给定椭圆C：=1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆"．若椭圆C的一个焦点为,其短轴上的一个端点到F的距离为．(Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程．（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点,过点P作直线l1，l2,使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点,且l1，l2分别交其“准圆"于点M，N．①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求l1，l2的方程;②求证：|MN|为定值．21．已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ)若函数y=f(x）的图象在点（2，f(2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数,求m的取值范围；（Ⅲ）求证：．2015年四川省宜宾市宜宾县高考数学适应性试卷(理科）(二）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．已知集合A=｛（x，y)｜y2=4x}，B={(x，y）｜y=x+1｝,则A∩B=（)A．{（1,﹣2）｝B．{(1，2）} C．（1,2）D．（1,﹣2)【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】联立方程组，求得方程组的解集得答案．【解答】解：由A=｛（x，y）｜y2=4x｝，B=｛（x，y)|y=x+1},得A∩B=｛（x,y）｜｝=｛（1，2）｝．故选：B．【点评】本题考查交集及其运算，考查了方程组的解法，是基础题．2．下列说法正确的是（）A．已知p：∃x0∈R，x02+x0﹣1=0，q:∀x∈R，x2+x+1＞0，则p∧q是真命题B．命题p：若，则的否命题是:若，则C．∀x∈R，x2+x﹣1＜0的否定是∃x0∈R，x02+x0﹣1＞0 D．x=是取最大值的充要条件【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】A．p：由于△＞0，因此方程有实数根,p是真命题，q：由x2+x+1=＞0,是真命题,即可判断出p∧q的真假;B．利用否命题的定义即可判断出正误;C．利用命题的否定即可判断出正误;D．例如x=+π时函数也可以取得最大值，即可判断出正误．【解答】解：A．p：∃x0∈R，x02+x0﹣1=0，由于△＞0，因此方程有实数根,是真命题，q：∀x∈R，x2+x+1=＞0,是真命题，因此p∧q是真命题，正确；B．命题p：若，则的否命题是：若与不垂直,则,不正确；C．∀x∈R，x2+x﹣1＜0的否定是∃x0∈R，x02+x0﹣1≥0，因此不正确；D．x=是取最大值的充分不必要条件,例如x=+π时也可以取得最大值，因此不正确．故选：A．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、三角函数的性质、一元二次方程的解与判别式的关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．3．若a＜b＜0，则下列选项正确的是（）A． B．C．a n＜b n(n∈N,n≥2）D．∀c≠0,都有ac＜bc【考点】不等式比较大小．【专题】不等式的解法及应用．【分析】A．由a＜b＜0，可得a2＞b2，ab＞0,利用不等式的基本性质，即可判断出正误；B．由a＜b＜0，可得ab＞0,利用不等式的基本性质，即可判断出正误；C．由a＜b＜0，可得a2＞b2,即可判断出正误；D．取c＜0时，可得ac＞bc，即可判断出正误．【解答】解:A．∵a＜b＜0，∴a2＞b2，ab＞0，∴,因此正确；B．∵a＜b＜0，∴ab＞0,∴,因此不正确；C．∵a＜b＜0，∴a2＞b2，因此不正确；D．取c＜0时，可得ac＞bc，因此不正确．故选：A．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．4．如图是某几何体的三视图,其中正视图是斜边长为2的直角三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（）A．B．C．D．+π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是平放的半圆锥体,根据图中数据求出它的表面积．【解答】解:根据几何体的三视图,得;该几何体是平放的半圆锥体，且半圆锥体的底面圆半径为1,母线长为2，高为；∴该半圆锥体的表面积为π•12+•22•sin60°+π•1•2=+．故选：A．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了求几何体的表面积的应用问题，是基础题目．5．如果执行如图所示的程序框图，输入x=6，则输出的y 值为（）A．2 B．0 C．﹣1 D．【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的x,y的值，当x=﹣1，y=﹣时，满足条件｜y﹣x|＜1，退出循环，输出y的值为﹣．【解答】解：执行程序框图，可得x=6y=2不满足条件｜y﹣x|＜1,x=2，y=0不满足条件｜y﹣x|＜1,x=0，y=﹣1不满足条件｜y﹣x｜＜1，x=﹣1,y=﹣满足条件|y﹣x|＜1，退出循环，输出y的值为﹣．故选：D．【点评】本题主要考察了程序框图和算法，根据赋值语句正确得到每次循环x,y的值是解题的关键，属于基础题．6．487被7除的余数为a（0≤a＜7），则展开式中x﹣3的系数为（）A．4320 B．﹣4320 C．20 D．﹣20【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题；二项式定理．【分析】先确定487被7除的余数为a,再利用展开式的通项，可得结论．【解答】解：487=(49﹣1）7=﹣+…+﹣1，∵487被7除的余数为a（0≤a＜7），∴a=6,∴展开式的通项为T r+1=，令6﹣3r=﹣3，可得r=3,∴展开式中x﹣3的系数为=﹣4320，故选:B．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用二项式定理是关键．7．已知f（x）=x+sinx，若x∈[1,2］时，f（x2﹣ax)+f（1﹣x）≤0,则a的取值范围是( ）A．a≤1B．a≥1C．a≥D．a≤【考点】函数的单调性与导数的关系．【专题】函数的性质及应用;不等式的解法及应用．【分析】求出函数的导数,判断函数的单调性,推出函数的奇偶性，即可转化不等式为二次不等式恒成立，即可求出a 的范围．【解答】解:因为f（x）=sinx+x,x∈R，而f（﹣x）=sin（﹣x）+(﹣x)=﹣sinx﹣x=﹣f（x)，所以函数的奇函数;又f′（x）=cosx+1≥0，所以函数是增函数，若x∈［1，2]时，f(x2﹣ax）+f(1﹣x)≤0,f（x2﹣ax）≤﹣f（1﹣x）=f(x﹣1），所以x2﹣ax≤x﹣1在x∈[1,2]恒成立,即有1﹣a﹣1+1≤0且4﹣2a﹣2+1≤0，即有a≥1且a≥，则a≥．故选C．【点评】本题考查函数的单调性、奇偶性的判断与应用，考查不等式恒成立问题的解决方法,属于中档题．8．高考临近,学校为丰富学生生活，缓解高考压力，特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛．由于爱好者众多,高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．首发要求每个班至少1人，至多2人,则首发方案数为（）A．720 B．270 C．390 D．300【考点】排列、组合的实际应用；分层抽样方法．【专题】排列组合．【分析】求出各个班的人数,然后按照题意求出首发的方案即可．【解答】解：高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．各个班的人数有5班的3人、16班的4人、33班的5人，首发共有1、2、2；2、1、2;2、2、1类型；所求方案有:++=390．故选：C．【点评】本题考查排列组合的实际应用,考查分析问题解决问题的能力．9．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C 交于点M，N，若｜MF2|=|F1F2｜，且｜MF1｜=4,|NF1｜=3，则椭圆Г的离心率为（）A． B． C． D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设椭（a＞b＞0），运用椭圆的定义,可得|NF2|=2a﹣｜NF1|=2a﹣3,|MF2｜+｜MF1|=2a，即有2c+4=2a，取MF1的中点K，连接KF2，则KF2⊥MN，由勾股定理可得a+c=12，解得a，c,运用离心率公式计算即可得到．【解答】解：设椭圆（a＞b＞0），F1（﹣c,0)，F2（c，0），｜MF2|=｜F1F2｜=2c，由椭圆的定义可得｜NF2|=2a﹣｜NF1|=2a﹣3,|MF2|+|MF1|=2a,即有2c+4=2a,即a﹣c=2，①取MF1的中点K，连接KF2,则KF2⊥MN，由勾股定理可得|MF2｜2﹣|MK|2=|NF2｜2﹣|NK｜2，即为4c2﹣4=（2a﹣3)2﹣25，化简即为a+c=12，②由①②解得a=7，c=5，则离心率e==．故选：D．【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用和离心率的求法,考查运算能力，属于中档题．10．已知y=f（x）为R上的可导函数，当x≠0时，，则关于x的函数的零点个数为（）A．1 B．2 C．0 D．0或2【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得，x≠0，因而g（x）的零点跟xg（x）的非零零点是完全一样的．当x＞0时，利用导数的知识可得xg（x）在（0，+∞）上是递增函数，xg（x）＞1恒成立，可得xg（x）在(0，+∞）上无零点．同理可得xg（x）在(﹣∞，0）上也无零点，从而得出结论．【解答】解：由于函数，可得x≠0，因而g(x）的零点跟xg（x)的非零零点是完全一样的，故我们考虑xg（x）=xf（x）+1 的零点．由于当x≠0时，,①当x＞0时,（x•g（x））′=（xf（x）)′=xf′（x)+f（x）=x（f′(x)+）＞0,所以，在（0，+∞）上，函数x•g（x）单调递增函数．又∵［xf(x)+1］=1，∴在(0，+∞）上，函数x•g（x）=xf(x）+1＞1恒成立，因此，在（0,+∞）上，函数x•g(x）=xf（x)+1 没有零点．②当x＜0时，由于（x•g（x))′=(xf（x)）′=xf′（x）+f(x）=x（f′（x）+)＜0，故函数x•g（x）在（﹣∞，0）上是递减函数,函数x•g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，故函数x•g（x）在(﹣∞,0）上无零点．综上可得，函在R上的零点个数为0，故选C．【点评】本题考查了根的存在性及根的个数判断，导数与函数的单调性的关系,体现了分类讨论、转化的思想，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题,每小题5分，共25分．11．若复数z=x+yi的共轭复数为且满足z，则复数z 在复平面内的对应点的轨迹方程为x2+y2=10; ．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】根据复数的基本运算和几何意义进行求解即可．【解答】解:∵足z，∴（x+yi）(x﹣yi）=x2+y2=10；即复数z在复平面内的对应点的轨迹方程为x2+y2=10；故答案为：x2+y2=10;【点评】本题主要考查复数的几何意义，以及复数的基本运算,比较基础．12．已知A，B是y=sin（ωx+φ）的图象与x轴的两个相邻交点，A，B之间的最值点为C．若△ABC为等腰直角三角形，则ω的值为．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】由图象得到等腰直角三角形斜边AB上的高，则斜边AB可求，即函数y=sin（ωx+φ)的周期可求，由周期公式求得ω的值．【解答】解：由题意可知，点C到边AB的距离为2，即△ABC 的AB边上的高为4，∵△ABC是以∠C为直角的等腰三角形，∴AB=2×2=4．即函数y=sin（ωx+φ）的周期T=4．∴ω==．故答案为：．【点评】本题考查了由y=Asin(ωx+φ）的部分图象求函数解析式,解答的关键是明确等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，是基础题．13．已知（x,y)满足，若z=ax﹣y取最小值时有无数个最优解，则a= 3或﹣1 ．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到使z=ax﹣y取最小值时有无数个最优解的a的值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由z=ax﹣y,得y=ax﹣z．由图可知，若a＞0,则当直线y=ax﹣z与y=3x+3重合时,z=ax﹣y取最小值时有无数个最优解，此时a=3;若a＜0，则当直线y=ax﹣z与x+y=6重合时，z=ax﹣y取最小值时有无数个最优解，此时a=﹣1．故答案为：3或﹣1．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．已知圆C：（x﹣2）2+y2=4．过点的直线与圆C交于A，B两点,若，则当劣弧AB所对的圆心角最小时，= 3 ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意，N为AB的中点，当劣弧AB所对的圆心角最小时,M，N重合，并且CM⊥AB，由此得到所求为CM2．【解答】解：由可知N为AB的中点,当劣弧AB 所对的圆心角最小时，AB⊥CM，即M，N重合,所以==（1﹣2）2+()2=3；故答案为：3．【点评】本题考查了直线与圆;解答本题的关键是:由题意明确M，N的位置关系，确定所求的实质．15．已知命题：①将一组数据中的每个数都变为原来的2倍，则方差也变为原来的2倍；②在△ABC中,若A＞B，则sinA＜sinB;③在正三棱锥S﹣ABC内任取一点P，使得V P﹣ABC＜的概率是；④若对于任意的n∈N＊，n2+（a﹣4）n+3+a≥0恒成立，则实数a的取值范围是．以上命题中正确的是③④（填写所有正确命题的序号）．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】①利用方差的性质可得：方差变为原来的4倍，即可判断出正误；②在△ABC中，若A＞B，则a＞b，由正弦定理可得sinA ＞sinB，即可判断出正误;③如图所示，O是正△ABC的中心，分别取棱SA，SB，SC 的中点D,E,F，则在△DEF及其内部任取一点P，则V P﹣=，因此使得V P﹣ABC＜的概率P=，即ABC可判断出正误;④若对于任意的n∈N＊，n2+（a﹣4）n+3+a≥0恒成立，则=﹣，令f（x）=（x≥2)，利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解:①将一组数据中的每个数都变为原来的2倍，则方差变为原来的4倍,因此①不正确;②在△ABC中，若A＞B，则a＞b，由正弦定理可得：，∴sinA＞sinB，因此②不正确；③如图所示，O是正△ABC的中心，分别取棱SA,SB，SC 的中点D，E，F，则在△DEF及其内部任取一点P，则V P﹣ABC=×=，因此使得V P﹣ABC＜的概率P==，即③正确；④若对于任意的n∈N*,n2+（a﹣4)n+3+a≥0恒成立,则=﹣,令f(x)=（x≥2）,f′（x）=1﹣=,当x≥3时，f′（x）＞0，函数f（x)单调递增，∴f（x）≥f（3)==，f（4）=6，当x=2时，f（2）=6,∴a≥﹣（﹣6）=,∴实数a的取值范围是,因此④正确．以上命题中正确的是③④．故答案为：③④．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、方差的性质、正弦定理、三棱锥的体积、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，角A为锐角，且+cos2A．(1）求f(A)的最大值；(2）若，求△ABC的三个内角和AC边的长．【考点】运用诱导公式化简求值；二倍角的余弦．【分析】（1）先利用诱导公式化简f（A），根据A为锐角,确定f（A)的最大值．（2）利用f（A）=1求出A、B、C三个角，再用正弦定理求出AC边的长．【解答】解：(I）由已知得f（A）=∴取值最大值，其最大值为（II）由f（A）=1得sin(2A+）=在△ABC中，由正弦定理得：【点评】本题考查诱导公式的化简求值,二倍角的余弦公式等知识,是中档题．17．根据国家考试院的规定，各省自主命题逐步过渡到全国统一命题，2016年已经有25个省、直辖市参与全国统一命题．每年根据考试院出具两套试题，即全国高考新课标卷Ⅰ和全国新课标卷Ⅱ．已知各省选择全国高考新课标卷Ⅰ和全国新课标卷Ⅱ是等可能的，也是相互独立的．（Ⅰ）在四川省选择全国新课标卷Ⅱ的条件下，求四川省在内的三个省中恰有两个省在2016年选择全国新课标卷II的概率．（Ⅱ）假设四川省在选择时排在第四位，用X表示四川省在选择选择全国新课标卷Ⅱ前，前三个省选择选择全国新课标卷Ⅱ的省的个数,求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（I)设四川省在内的三个省为A，B，S，四川省选择全国新课标卷II表示为S2，另两省选择全国新课标卷i 表示为A i,B i(i=1，2),在四川省选择全国新课标卷II的条件下，所有可能的有S2A1B1，S2A2B1，S2A1B2,S2A2B2四个基本事件,其中恰有两个省选择全国新课标卷II有两个基本事件，利用条件概率计算公式即可得出;(II）由题意,每个省选择全国高考新课标卷I和全国新课标卷II的概率都是，四川省在选择选择全国新课标卷II前，前三个省选择全国新课标卷II的省份个数为X，则，即可得出分布列及其数学期望．【解答】解：（I）设四川省在内的三个省为A，B，S，四川省选择全国新课标卷II表示为S2，另两省选择全国新课标卷i表示为A i，B i（i=1，2）,在四川省选择全国新课标卷II的条件下，所有可能的有S2A1B1，S2A2B1,S2A1B2，S2A2B2四个基本事件，其中恰有两个省选择全国新课标卷II有两个基本事件,设“四川省选择全国新课标卷II的条件下，四川省在内的三个省中恰有两个省在2016年选择全国新课标卷II"为事件M，∴．（II）由题意，每个省选择全国高考新课标卷I和全国新课标卷II的概率都是，四川省在选择选择全国新课标卷II前,前三个省选择全国新课标卷II的省份个数为X,则，∴X=0,1，2，3,，，，，∴X的分布列为X0123P∴．【点评】本题考查了条件概率计算公式、二项分布列及其数学期望,考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．如图1在直角三角形ABC中,∠A=90°，AB=2,AC=4，D，E分别是AC，BC边上的中点,M为CD的中点，现将△CDE沿DE折起,使点A在平面CDE内的射影恰好为M．（I）求AM的长；(Ⅱ）求面DCE与面BCE夹角的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角;点、线、面间的距离计算．【专题】空间向量及应用．【分析】（I）由题意和等边三角形的知识可得；（II）在平面ABED内，过AD的中点O作AD的垂线OF，交BE于F点，以OA为x轴，OF为y轴，OC为z轴建立坐标系，由垂直关系可得面BCE的法向量，进而可得cos＜，＞的值,即得答案．【解答】解：（I）由已知可得AM⊥CD，又M为CD的中点，∴；(II）在平面ABED内,过AD的中点O作AD的垂线OF，交BE于F点，以OA为x轴,OF为y轴，OC为z轴建立坐标系,可得,∴，，设为面BCE的法向量，由可得=（1,2，﹣），∴cos＜，＞==,∴面DCE与面BCE夹角的余弦值为【点评】本题考查空间向量与立体几何，建系是解决问题的关键，属中档题．19．数列{a n}满足na n+1﹣（n+1）a n=0,已知a1=2．（I）求数列｛a n｝的通项公式;(Ⅱ）若b n=，b n的前n项和为S n，求证：S n＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（I)通过na n+1=（n+1）a n可得=2，进而可得结论；（II）通过a n=2n可得b n=2n（2n+1），放缩即得＜(﹣），并项相加即得结论．【解答】（I）解：∵na n+1=（n+1）a n,∴,∴a n+1=2（n+1)，∴a n=2n;（II）证明：∵a n=2n,∴a2n=4n，a2n+1=2(2n+1)，∴，∴，∴=（n∈N＊）．【点评】本题考查求数列的通项及数列的和的范围,利用放缩法及并项相加法是解决本题的关键,注意解题方法的积累，属于中档题．20．给定椭圆C：=1(a＞b＞0）,称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆"．若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程．（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l1，l2,使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，且l1，l2分别交其“准圆”于点M，N．①当P为“准圆"与y轴正半轴的交点时,求l1，l2的方程;②求证：|MN|为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；压轴题；分类讨论．【分析】（I）由椭圆的方程与准圆的方程关系求得准圆的方程(II）(1）由准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P（0，2）,设椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2，与准圆方程联立，由椭圆与y=kx+2只有一个公共点，求得k．从而得l1，l2方程（2)分两种情况①当l1，l2中有一条无斜率和②当l1，l2都有斜率处理．【解答】解：（I）因为,所以b=1所以椭圆的方程为,准圆的方程为x2+y2=4．（II）（1)因为准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P(0，2）,设过点P（0，2），且与椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2，所以，消去y,得到（1+3k2）x2+12kx+9=0，因为椭圆与y=kx+2只有一个公共点，所以△=144k2﹣4×9（1+3k2)=0，解得k=±1．所以l1，l2方程为y=x+2，y=﹣x+2．（2)①当l1，l2中有一条无斜率时,不妨设l1无斜率，因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，当l1方程为时，此时l1与准圆交于点,此时经过点(或）且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1（或y=﹣1）,即l2为y=1（或y=﹣1），显然直线l1，l2垂直；同理可证l1方程为时,直线l1，l2垂直．②当l1，l2都有斜率时,设点P(x0，y0），其中x02+y02=4，设经过点P（x0，y0）与椭圆只有一个公共点的直线为y=t （x﹣x0）+y0，则，消去y得到x2+3（tx+（y0﹣tx0））2﹣3=0,即（1+3t2）x2+6t（y0﹣tx0）x+3(y0﹣tx0）2﹣3=0,△=[6t（y0﹣tx0）］2﹣4•(1+3t2）［3（y0﹣tx0)2﹣3］=0，经过化简得到：(3﹣x02）t2+2x0y0t+1﹣y02=0，因为x02+y02=4，所以有(3﹣x02）t2+2x0y0t+(x02﹣3）=0，设l1，l2的斜率分别为t1,t2,因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点，所以t1，t2满足上述方程（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）=0，所以t1•t2=﹣1,即l1，l2垂直．综合①②知：因为l1，l2经过点P（x0，y0）,又分别交其准圆于点M,N，且l1，l2垂直，所以线段MN为准圆x2+y2=4的直径，所以|MN｜=4．【点评】本题主要考查直线与曲线的位置关系,通过情境设置，拓展了圆锥曲线的应用范围，同时渗透了其他知识，考查了学生综合运用知识的能力．21．已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3(a∈R）．(Ⅰ)求函数f（x）的单调区间；(Ⅱ)若函数y=f（x）的图象在点(2，f（2））处的切线的倾斜角为45°,对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数,求m的取值范围;（Ⅲ）求证：．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】压轴题．【分析】利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′(x）;②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函数的增区间（或减区间)，对于本题的（1）在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况；(2）点（2,f（2))处的切线的倾斜角为45°，即切线斜率为1，即f’(2）=1,可求a值，代入得g（x)的解析式,由t∈[1,2］，且g（x)在区间（t，3）上总不是单调函数可知：，于是可求m的范围．（3）是近年来高考考查的热点问题,即与函数结合证明不等式问题，常用的解题思路是利用前面的结论构造函数,利用函数的单调性，对于函数取单调区间上的正整数自变量n 有某些结论成立，进而解答出这类不等式问题的解．【解答】解：（Ⅰ）当a＞0时，f（x)的单调增区间为（0，1］，减区间为[1，+∞）；当a＜0时,f(x)的单调增区间为［1，+∞),减区间为（0，1]；当a=0时，f(x）不是单调函数（Ⅱ）得a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g’(x）=3x2+（m+4)x﹣2∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0)=﹣2∴由题意知：对于任意的t∈[1，2］，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（Ⅲ）令a=﹣1此时f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以f（1)=﹣2，由(Ⅰ)知f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增,∴当x∈（1，+∞)时f(x）＞f（1）,即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，∵n≥2,n∈N＊，则有0＜lnn＜n﹣1,∴∴【点评】本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间,已知函数曲线上一点求曲线的切线方程即对函数导数的几何意义的考查，考查求导公式的掌握情况．含参数的数学问题的处理，构造函数求解证明不等式问题．。
宜宾市2015届一诊考试数学文试题 含答案
宜宾2014年一诊文科数学1. 已知全集{}4,3,2,1,0=U ,集合{}3,2,1=A ，则=A C U(A) {}4,0 (B) {}3,2,1 (C) {}4,3,2,1,0 (D) {}4,3,2,0 2．抛物线24y x =的焦点坐标是 (A) (0,1) (B) (0，-1) (C) (-1,0)(D) (1,0)3. 函数)2sin(x y -=π的图象(A) 关于x 轴对称 (B) 关于y 轴对称 (C) 关于原点对称 (D) 关于直线2π=x 对称 4.给出下列三个命题：①命题p ：x R ∃∈,使得012<-+x x ， 则p ⌝：x R ∀∈，使得012≥-+x x② ”或“15-<>x x 是“2450x x -->”的充要条件.③若q p ∨为真命题，则p q ∧为真命题.其中正确．．命题的个数为 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 35.执行如图所示的程序框图，输出的S 值是 (A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 16 6.已知),10(12log ≠><a a a 且则a 的取值范围是 (A) ∞（2,+） (B) (0,1) (C) 12∞(0,)（2,+）(D) ∞(0,1)(2,+)7.已知单位向量m 和n 的夹角为60,记a =n -m , 2b =m , 则向量a 与b 的夹角为 (A) 30(B) 60 (C) 120 (D) 1508.一个三棱柱的侧视图、俯视图如图所示，则三棱柱的表面积是 (A) 2616+ (B) 3616+是k=0,S=1开始 k<3? S=S .2kk=k+1 输出S结束 否(C) 2612+ (D) 3614+9.在平面直角坐标系中，椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦距为)0(2>c c ，以O 为圆心，a 为半径作圆，过点)0,2ca （作圆的两条切线互相垂直，则离心率e 为 (A)22 (B) 21(C) 23 (D) 33 10.设函数⎩⎨⎧><=0,log 0,2)(2x x x x f x ，若存在唯一的x ，满足a a x f f 28))((2+=，则正实数．．．a 的最小值是 (A)81 (B) 41 (C) 21(D)211.已知i 是虚数单位，则21i i=+▲.12.函数x x x f ln )(2+=的图像在点)1,1(A 处的切线方程为▲.13.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足B a A b cos sin =，则角B 的大小为 14.如图是一容量为100的样本的重量频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为▲.15.对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个结论： ①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立；②()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；③函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； ④对任意0x >，不等式2()f x x≤恒成立． 则其中所有正确结论的序号是▲. 16.（本题满分12分）已知函数)0(sin cos sin 2cos)(22>-+=ωωωωωx x x x x f ，且周期为π.（I ）求ω的值； （II ）当x ∈[20π，]时，求)(x f 的最大值及取得最大值时x 的值.17.（本题满分12分）某校从高中部年满16周岁的学生中随机抽取来自高二和高三学生各10名，测量他们的身高，数据如下（单位：cm ） 高二：166,158,170,169,180,171,176,175,162,163 高三：157,183,166,179,173,169,163,171,175,178（I ）若将样本频率视为总体的概率，从样本中来自高二且身高不低于．．．170的学生中随机抽取3名同学，求其中恰有两名同学的身高低于．．．．．．．．．．．175的概率；（II ）根据抽测结果补充完整下列茎叶图，并根据茎叶图对来自高二和高三学生的身高作比较，写出两个统计．．．．．．结论．．.18.（本题满分12分）如图，一简单几何体的一个面ABC 内接于圆O, G 、H 分别是AE 、BC 的中点，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，且DC ⊥平面ABC.（I ）求证: GH //平面ACD ； （II ）若AB =2，BC =1，23tan =∠EAB ,试求该几何体的V.19.（本题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，首项21=a ，公差为)0(≠d d ，且1131,,a a a 成等比数列. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）令2nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本题满分13分）已知函数b a x x x x f 3)ln()(2++-+=在0=x 处取得极值0. （I ）求实数b a ,的值； （Ⅱ）若关于x 的方程m x x f +=25)(在区间[]20，上恰有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围.21.（本题满分14分）已知焦点在x 轴上的椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，焦距为32，长轴长为4.（I ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆交于,A B 两点.(i) 证明：点O 到直线AB 的距离为定值，并求出这个定值；（ii ）求的最小值AB .一、选择题ADBCC DCAAB 二、填空题11. 1+i 12. 3x-y-2=0 13. 4π14. 12 15. ①③④三、解答题16.解：(1)∵)2sin 222cos 22(22sin 2cos )(x x x x x f ωωωω+=+=.....（2分） =)42sin(2πω+x ..................................................................（4分）∵π=T 且0ω>， 故1,22==ωπωπ则......................................................................（6分） (2):由(1)知)42sin(2)(π+=x x f∵20π≤≤x ∴45424πππ≤+≤x ................................................................................（7分） ∴1)42sin(22≤+≤-πx . ∴2)42sin(21≤+≤-πx .......................................................................................（9分）∴当242ππ=+x 时，即8π=x ，y 取得最大值为2............................................（12分）17.解：（Ⅰ）高二学生身高不低于170的有170，180，175，171，176有5人，从中抽取3个共有10种抽法；“恰有两名同学的身高低于175”的情况有3种…………………（3分） 故P （“恰有两名同学的身高低于175”）=310 ……………… （6分）（Ⅱ）茎叶图：高二高三…………………………………（9分）统计结论：（考生只要答对其中两个即给3分，给出其他合理答案可酌情给分） ①高三学生的平均身高大于高二学生的平均身高； ②高二学生的身高比高三学生的身高更整齐；③高二学生的身高的中位数为169.5cm ，高三学生的身高的中位数为172cm ；④高二学生的身高基本上是对称的，且大体上集中在均值附近，高三学生的身高的高度较为分散； ……………………………………（12分）18. (1)证明：连结GO,OH∵GO//AD,OH//AC ...................................................................................................................（2分） ∴GO//平面ACD,OH//平面ACD,又GO 交HO 于O ................................................................（4分） ∴平面GOH//平面ACD..........................................................................................................（5分） ∴GH//平面ACD..........................................................................................................（6分） (2)法一：∵ACD E ABC E V V V --+=..............................................................................................（8分） ∵AB=2,BC=1. ∵23tan =∠EAB ∴3,322=-==BC AB AC BE .ACD E ABC E V V V --+=21133213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆-DE S V ACD ACD E .21313213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆-EB S V ACB ACB E .........................................................（11分）∴12121=+=+=--ACD E ABC E V V V .............................................................................（12分）法二：∵DC ⊥平面ABC ∴DC ⊥AC又∵AC ⊥BC ∴A C ⊥平面BCDE .......................................................（8分） ∵AB=2,BC=1. ∵23tan =∠EAB ∴3,322=-==BC AB AC BE ........（10分） ∴ 13313131=⨯⨯⨯=⋅⋅=-AC S V BCDE BCDE A 矩形................................................（12分）0 18 3 6 5 1 0 17 1 3 5 8 9 9 6 3 2 16 3 6 9815719．（Ⅰ）12a =，设公差为d ，则由1311,a ,a a 成等比数列，得2(22)2(210)d d +=⨯+， ...................................... （2分 ） 解得0d =（舍去）或3d =， .................................... （4分） 所以数列{}n a 的通项公式为31n a n =- .............................. （6分）（Ⅱ） nn n b 213-=， nn n n n T 2132432825221321-+-+⋅⋅⋅+++=-143221324328252221+-+-+⋅⋅⋅+++=n n n n n T-得1432213-23232323121+-+⋅⋅⋅++++=n n n n T ------（9分）1121321-1)21-1413121+---⋅+=n n n n T （11213)21-123121+---+=n n n n T （n n n n T 213)21-1321--+=-（nn n n T 21323-321--+=- nn n T 253-5+= ......................... （12分 ） 20.解：（Ⅰ）由题设可知1()21f x x x a'=+-+………………………………（1分）当0x=时，()f x 取得极值0(0)0(0)0f f '=⎧∴⎨=⎩解得1,0a b == ………………………………………（4分） 经检验1,0a b ==符合题意 ………………………………………（5分） （Ⅱ）由（1）知2()ln(1)f x x x x =+-+，则方程5()2f x x m =+即为25ln(1)02x x x x m +-+--=令25()ln(1)2x x x x x m ϕ=+-+--则方程()0x ϕ=在区间[0,2]恰有两个不同实数根.13(45)(1)()2122(1)x x x x x x ϕ+-'=--=++ ………………………………（8分） 当(0,1)x ∈时，()0x ϕ'<，于是()x ϕ在(0,1)上单调递减；当(1,2)x ∈时，()0x ϕ'>，于是()x ϕ在(1,2)上单调递增；…………………（10分）依题意有(0)01(1)ln 202(2)1ln 30m m m ϕϕϕ=-≥⎧⎪⎪=---<⎨⎪=--≥⎪⎩ 1ln 21ln 3 (132)m ∴--<≤-（分）21.（Ⅰ） 解 223,24c a == ........................ （2分 ）2,3a c == 2221b a c =-=所以椭圆的标准方程为2214x y += . .................. （4分）（Ⅱ）（ⅰ）设),(),,(2211y x B y x A ,① 当直线AB 的斜率不存在时，则AOB ∆为等腰直角三角形，不妨设直线OA ：x y =将x y =代入1422=+y x ，解得552±=x 所以点O 到直线AB 的距离为552=d ； .................. （6分 ） ② 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为m kx y +=，代入椭圆2214x y +=联立消去y 得：222(14)8440k x kmx m +++-=122814km x x k +=-+，21224414m x x k -=+ ..................（ 7分）因为OB OA ⊥，所以02121=+y y x x ，1212()()0x x kx m kx m +++= 即0)()1(221212=++++m x x km x x k所以2222222448(1)01414m k m k m k k-+-+=++，整理得2254(1)m k =+，所以点O 到直线AB 的距离21m d k =+255=综上可知点O 到直线AB 的距离为定值552.............（10分） （ⅱ）在Rt AOB ∆中，因为OB OA AB d ⋅=⋅ 又因为OB OA ⋅2≤222AB OB OA =+，所以2AB ≥AB d ⋅2所以AB ≥4525AB d ≥=，当OB OA =时取等号，即AB 的最小值是554………（14分）。
四川省宜宾市高三上学期第一次诊断考试数学(理)试题参考答案.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高2013级高三第一次诊断性测试数 学（理工农医类）答案说明：一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BACDACBDBC二、填空题 11.12 12. 32(原创有错, 建议全部给分) 13. ()(],01,3-∞ 14.67 15.①③④三、解答题16. 解：（Ⅰ）由题已知:3sin cos 3A A ⋅=+=m n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分2sin()3,6A π∴+=3sin()62A π+=. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分由A 为锐角得:63A ππ+=,6A π=.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知12sin A =, ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分2()cos22sin 12sin 2sin f x x x x x =+=-+=213222(sin )x --+. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅9分x ∈R ,[]sin 11x ∴∈-,,因此,当12sin A =时,()f x 有最大值23,当sin 1x =-时,()f x 有最小值3-, ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅11分 故所求函数()f x 的值域是23[3]-,. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分17. 解：（Ⅰ）所有可能的申请方式有43种，恰有3人申请A 类助学金的申请方式有81234=⋅C C 种，所以，所求概率为818384==P ； ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分 方法二：()8183231313344=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=C P ；（Ⅱ）ξ的所有可能取值为1、2、3. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分()27131413===C P ξ()()27143242234222423=+==A C C C C P ξ ()943343324===A C P ξ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅9分综上知：ξ的分布列为所以：.2765943271422711=⨯+⨯+⨯=ξE ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分 18. 解：（Ⅰ）在图2中，过P 作//PQ BC 交A B '于Q .………………………………1分3CP PA '=,14PQ A P BC A C '∴==' ξ 123P271 2714 944,1BC PQ =∴=， …………………2分 //,1DE BC DE = //DE PQ ∴，得,//DEQP DP EQ ∴………………………………………………………………4分DP ⊄平面,A BE EQ '⊂平面A BE '//DP ∴平面A BE '. ………………………………………………………………5分（Ⅱ）在图2中，过A '作A F BE '⊥于F .平面A BE '⊥平面BCDE ,∴A F '⊥平面BCDE ……………………………6分90BA E '∠=︒，33A B A E ''==， 30A EB '∴∠=︒，33322A F EF '==， 过F 作FG DE ⊥交DE 延长线于G ，则39344FG EG ==，…………………7分 如图，建立空间直角坐标系D xyz - 则9333(,,)442EA '=，933(,,0)(1,0,0)44EF DE ==， ………8分设平面A BE '的法向量(,,)n x y z = ，则93330442933044x y z x y ⎧++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,可取(1,3,0)n =- ………………………………………9分 设平面A DE '的法向量111(,,)m x y z = ，则1111933304420x y z x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩,可取(0,2,3)m =- …………………………………10分 2321cos ,71343m n -∴<>==-+⋅+ ……………………………………11分 二面角B A E D '--为钝角 ∴二面角B A E D '--的余弦的大小为21.7- ………………………………………12分 注：（Ⅰ）向量法参照给分；（Ⅱ）传统法：过D 作DH BE ⊥交BE 延长线于H ，再过H 作HN A E '⊥交A E '延长线于N …参照给分.19. 解：（1）∵3482++=n n n a a S∴3481121++=---n n n a a S （2≥n ）∴1122144)(8-----+=-n n n n n n a a a a S S ∴)(41122--+=-n n n n a a a a ∵0>n a ∴41=--n n a a （2≥n ）∴数列{n a }是以4为公差的等差数列 ………3分 又∵3481211++=a a S ∴034121=+-a a而31<a ∴11=a ………5分 ∴34-=n a n （n *∈N ） ………6分 (2) 12-=n n n b ………7分122102121)1(......213212211--⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n T n n n n n T 2121)1(......2122112121⨯+⨯-++⨯+⨯=- ， 两式相减得n n n n n n T 2222121......21212121210+-=⨯-++++=-， 1224-+-=∴n n n T ………9分 1224)1(--<-∴n n λ若n 为偶数，则3 ,2241<∴-<∴-λλn ………10分若n 为奇数，则2,2,2241->∴<-∴-<-∴-λλλn ………11分32<<-∴λ ………12分20.（Ⅰ）∵224230+--+=x y x y ∴()()22212-+-=x y ． ………1分设圆C 的圆心为C (,)a b ，又因为圆C 与圆D 关于直线4250+-=x y 对称，即圆心D (2,1)与(,)a b 关于直线4250+-=x y 对称．∴()121221425022-⎧⋅-=-⎪⎪-⎨++⎪⋅+⋅-=⎪⎩b a a b ………3分 ∴00=⎧⎨=⎩a b ． 所以圆C 的方程为222+=x y ． ………4分（Ⅱ）①因为点(2,0)P ，(0,2)M ，所以22=PM ………5分 设点Q 到PM 的距离为h ，圆心C 到PM 的距离为d ， 所以122∆=⋅=QPM S PM h h ． ∆QPM 面积的最大值即需要h 取的最大值，此时点Q 与圆心C 的连线与PM 垂直，故有最大值2222=+=+=h d r ，最大面积2224∆=⋅=QPM S ， ………7分此时点Q 坐标为点()1,1--． ………8分 ②直线AB 与直线PM 垂直,理由如下: ………9分因为过点Q ()1,1--作两条相异直线分别与圆C 相交于A 、B 两点，直线QA 、QB 的倾斜角互补，所以直线QA 、QB 斜率都存在．设直线QA 的斜率为k ，则直线QB 斜率为-k ，所以直线QA 的方程：1(1)+=+y k x221(1)2+=+⎧⎨+=⎩y k x x y ()()222121210⇒++-+--=k x k k x k k ………10分 又因为点Q ()1,1--在圆C 上，故有2221(1)1--⋅-=+A k k x k ，所以22211-++=+A k k x k ，同理22211--+=+B k k x k ， ………11分(1)1(1)1()21--+--++-+-====---B A B A B A AB B A B A B Ay y k x k x k x x kk x x x x x x ， ………12分又20102-==--PM k ，所以有1⋅=-PM AB k k ， 故直线AB 与直线PM 垂直． ………13分21. 解：（Ⅰ）由2()ln ()f x x x ax x a =+-∈R 可知0x >，有：()ln 12f x x a x '=++- ∵函数()f x 在区间[)e,+∞ 上为减函数，∴当[)e,x ∈+∞时()0f x '≤,即ln 120x a x ++-≤在区间[)e,+∞ 上恒成立， ……2分 ∴2ln 1a x x ≤--在[)e,x ∈+∞ 上恒成立．令()2ln 1g x x x =--，121()2x g x x x -'=-=,当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时,()0,()g x g x '≥单增; 1(0,2x ⎤∈⎥⎦时, ()0,()g x g x '≤单减.∴[)e,x ∈+∞时,min ()(e)2e 2g x g ==-∴2e 2a ≤-． ……………5分 （Ⅱ）若对任意(1,)x ∈+∞，2()(1)f x x k a x k >-++--恒成立， 即(1)ln k x x x x -<+恒成立. 法一:∵(1,)x ∈+∞，∴10x ->． 则问题转化为ln 1x x xk x +<- 对任意(1,)x ∈+∞恒成立， ……………7分设函数ln ()1x x xh x x +=-，则2ln 2()(1)x x h x x --'=-，再设()ln 2m x x x =--，则1()1m x x'=-． ∵(1,)x ∈+∞，∴()0m x '>，则()ln 2m x x x =--在(1,)x ∈+∞上为增函数， ∵(3)1ln30m =-<，(4)2ln 40m =->, ∴0(3,4)x ∃∈，使000()ln 20m x x x =--=．∴当0(1,)x x ∈时，()0,()0m x h x <<;当0(,)x x ∈+∞时，()0,()0m x h x >> ……10分 ∴ ln ()1x x xh x x +=-在0(1,)x x ∈上递减，在0(,)x x ∈+∞上递增.∴()h x 的最小值为00000ln ()1x x x h x x +=-．∵000()ln 20m x x x =--=，∴00ln()11x x +=-，代入函数00000ln ()1x x x h x x +=-得00()h x x =,∵0(3,4)x ∈，且()k h x <,对任意(1,)x ∈+∞恒成立， ∴min 0()k h x x <=，∴3k ≤，∴k 的值为1，2，3． ……………14分法二(同比例给分): 令()()()1ln (1)=-+--=--+⎡⎤⎣⎦g x f x k a x k x x k x k (1)>x ∴()ln 1(1)ln 2'=+--=+-g x x k x k当20-≥k 时，即2≤k 时，()0'>g x ，()g x 在(1,2)上单调递增， ∴()(1)10>=>g x g 恒成立，而k *∈N ∴1=k 或2=k ．当20-<k 时，即2>k 时，2()0e-'=⇒=k g x x ，∴()g x 在2(1,e )-k 上单调递减，在2(e ,)-+∞k 上单调递增，∴2222min ()(e )e (2)(1)e e0---->=---+=->k k k k g x g k k k k 恒成立， ∴2>e-k k ，而k *∈N ，∴3=k ．综上可得,1=k 或2=k 或3=k 时成立．。
宜宾市2015数学中考试题和答案(word版)
DCBA正面宜宾市2015年高中阶段学校招生考试数学试卷(考试时间：120分钟， 全卷满分120分)本试卷分选择题和非选择题两部分，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回. 注意事项：1答题前，考生在答题卡上务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2在作答选择题时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选潦其他答案标号，在试题卷．．．．上作．．答无效．．．. 3在作答非选择题时，请在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷．．．．上作．．答无效．．．. 一、选择题：(本大题共8小题，每小题3分，共24分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答题卡对成题目上. (注意．．：在试题卷．．．．上作．．答无效．．．) 1.–15的相反数是( )A .5B . 15 C . – 15 D .–5 2. 如图，立体图形的左视图是( )3. 地球绕太刚每小时转动经过的路程约为110000米，将110000用科学记数法表示为 A .11⨯104 B . 0.11⨯107 C . 1.1⨯106 D . 1.1⨯1054. 今年4月，全国山地越野车大赛在我市某区举行，其中 8名选手某项得分如下表：则这8A .85、85 B .87、85 C .85、86 D .85、87 5. 把代数式3x 3 –12x 2+12x 分解因式，结果正确的是（ ） A .3x (x 2–4x +4) B . 3x (x –4)2C . 3x (x +2)(x –2)D . 3x (x –2)26. 如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为l ：2，∠OCD =90°，CO =CD . 若B (1，0)，则点C 的坐标为( )A .(1,2)B .(1,1)C .(2, 2)D .(2,1)ED C BAx H P A B C D EF 7. 如图，以点O 为圆心的20个同心圆，它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、……、 20，阴影部分是由第l 个圆和第2个圆，第3个圆和第4个圆，……，第l9个圆和第 20个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为（ ）A .231πB .210πC .190πD .171π8. 在平面直角坐标系中，任意两点A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)规定运算：①A ○+B =( x 1+ x 2, y 1+ y 2)；②A ○⨯B = x 1 x 2+y 1 y 2； ③当x 1= x 2且y 1= y 2时A =B. 有下列四个命题：（1）若A (1，2)，B (2，–1)，则A ○+B =(3,1)，A ○⨯B =0； （2）若A ○+B =B ○+C ，则A =C ； （3）若A ○⨯B =B ○⨯C ，则A =C ； （4）对任意点A 、B 、C ，均有（A ○+B )○+C =A ○+( B ○+C )成立 其中正确命题的个数为（ ）A . 1个B . 2个C . 3个D .4个二、填空题：(本大题共8小题，每小题3分，共24分)请把答案直接填在答题卡对应题中横线上(注意．．：在试题卷．．．．上作．．答无效．．．) 9. 一元一次不等式组⎩⎨⎧x +2≥05x –1>0的解集是10. 如图,AB ∥CD ，AD ∥BC ，AD 与BC 交于点E ，若∠B =35°，∠D =45°，则∠AEC = .11．关于x 的一元一次方程x 2–x +m =0没有实数根，则m 的取值范围是 .12．如图，在菱形ABCD 中，点P 是对角线AC 上的一点，PE ⊥AB 于点E ，若PE =3，则点P 到AD 的距离为13．某楼盘2013年房价为每平方米8100元，经过两年连续降价后，2015年房价为7600元.设该楼盘这两年房价平均降低率为x ，根据题意可列方程为 14．如图，AB 为⊙O 的直径，延长AB 至点D ，使BD =OB ，DC 切⊙O 于点C ，点B 是CF ⌒ 的中点，弦CF 交AB 于点F 若⊙O 的半径为2，则CF = .15．如图， 一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，将△AOB 沿直线AB 翻折，得△ACB .若C (32，32)，则该一次幽数的解析式为（12题图） （14题图） （15题图） （16题图） 16．如图，在正方形ABC'D 中，△BPC 是等边三角形，BP 、CP 的延长线分别交AD 于点E 、F ，连结BD 、DP ，BD 与CF 相交于点H .给出下列结论：DE CBA①△ABE ≌△DCF ； ②FP PH = 35； ③DP 2=PH ·PB ； ④ S △BPD S 正方形ABCD= 3–14.其中正确的是 (写出所有正确结论的序号)三、解答题：(本人题共8个题，共72分)解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分10分）(．注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．) （1）计算：（–3)0– ||–3 + (–1)2015+ (12)–1(2) 化简：(1a –1 – 1a 2–1)÷a 2– a a 2–118．（本小题满分6分）(．注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．) 如图，AC =DC ，BC =EC ，∠ACD = ∠BCE 求证：∠A =∠D19．（本小题满分8分）(．注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．)为进一步增强学生体质，据悉，我市从2016年起，中考体育测试将进行改革，实行必测项目和选测项目相结合的方式，必测项目有三项：立定跳远、坐位体前屈、跑步；选测项目：在篮球(记为X1)、排球(记为X2)、足球(记为X3)中任选一项。
【名师解析】四川省绵阳市2015届高三第一次诊断性考试数学(理)试题(解析版)
四川省绵阳市2015届高三第一次诊断性考试数学（理）试题（解析版）【试卷综析】本套试卷能从学科结构上设计试题，已全面覆盖了中学数学教材中的知识模块，同时，试卷突出了学科的主干内容，集合与函数、不等式、数列、概率统计、解析几何、导数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例，也达到了必要的考查深度．本套试卷没有刻意追求覆盖面，还有调整和扩大的空间，注重了能力的考查，特别是运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力的强调比较突出，实践能力和创新意识方面也在努力体现.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）。
第I 卷1至2页，第II 卷2至4页.共4页。
满分150分。
考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 第I 卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．【题文】1.已知集合A ={x ∈Z |x 2-1≤0}，B ={x |x 2-x -2=0}，则A ∩B =(A) ∅(B) {2}(C) {0}(D) {-1}【知识点】集合运算. A1【答案解析】D 解析：因为A={-1，0，1}, B={-1，2}，所以=⋂B A {}1-，故选B. 【思路点拨】化简集合A 、B,从而求得A B ⋂. 【题文】2．下列说法中正确的是(A) 命题“)0(∞+∈∀，x ，12>x ”的否定是“)0(0∞+∉∃，x ，02x ≤1” (B) 命题“)0(∞+∈∀，x ，12>x ”的否定是“)0(0∞+∈∃，x ，02x ≤1” (C) 命题“若b a >，则22b a >”的逆否命题是“若22b a <，则b a <” (D) 命题“若b a >，则22b a >”的逆否命题是“若2a ≥2b ，则a ≥b ” 【知识点】四种命题 A2【答案解析】B 解析：根据命题之间的关系可知命题的否定是只否定结论，但全称量词要变成特称量词，而逆否命题是即否定条件又否定结论，所以分析四个选项可知应该选B. 【思路点拨】根据命题之间的关系可直接判定.【题文】3．设各项均不为0的数列{a n }满足n n a a 21=+(n ≥1)，S n 是其前n 项和，若5422a a a =，则S 4=(A) 42 (B) 28 (C) 233+(D) 266+【知识点】等比数列. D3【答案解析】D 解析：由)1(21≥=+n a a n n 知数列{}n a 是以2为公比的等比数列，因为5422a a a =，所以34111122a q a q a q a ⋅=⇒=，所以()414161a q S q-==+- D.【思路点拨】由已知条件确定数列{}n a 是等比数列，再根据5422a a a =求得1a ，进而求3a . 【题文】4．如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，则DBAD ⋅=(A) -3 (B) 3- (C) 3(D)3【知识点】向量的数量积. F3【答案解析】A 解析：因为,AD AB BD AB BD =+⊥,所以=⋅()203AB BD DB AB DB BD DB BD+⋅=⋅+⋅=-=-,故选 A.【思路点拨】利用向量加法的三角形法则，将数量积中的向量表示为夹角、模都易求的向量的数量积.【题文】5．已知53)4cos(=-x π，那么sin 2x = (A)2518 (B) 2524±(C) 257-(D)257 【知识点】二倍角公式；诱导公式.C2,C6 【答案解析】C 解析：因为53)4cos(=-x π，所以 27cos 22cos 14425x x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即7cos 2sin 2225x x π⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，故选C.【思路点拨】利用二倍角公式求得cos 2x π⎛⎫-⎪⎝⎭值，再用诱导公式求得sin2x 值. 【题文】6．已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-，，，0330101y x y x y x 则2x -y 的最大值为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 http//www【知识点】简单的线性规划.E5【答案解析】B 解析：画出可行域如图：平移直线z=2x-y 得 ，当此直线过可行域中的点A （1,0）时 2x-y 有最大值2，故选B. 【思路点拨】设目标函数z=2x-y ，画出可行域平移目标函数得点A （1,0）是使目标函数取得最大值的最优解.【题文】7.已知x ∈[π-，π]，则“x ∈]22[ππ，-”是“sin(sin x )<cos(cos x )成立”的(A) 充要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分不必要条件(D) 既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 A2【答案解析】C 解析：解：（1）∵x∈[﹣，]，∴sinx+cosx≤，即＜sinx ＜﹣cosx，∴sin（sinx ）＜sin （﹣cosx ），即sin （sinx ）＜cos （cosx ）成立， （2）∵sin（sinx ）＜cos （cosx ） ∴sin（sinx ）＜sin （﹣cosx ），sinx ＜﹣cosxsinx+cosx ＜，x ∈[﹣π，π]， ∴x∈[，]，不一定成立，根据充分必要条件的定义可判断：“x∈[﹣，]是“sin（sinx ）＜cos （cosx ）成立”的充分不必要条件， 故选：C【思路点拨】利用诱导公式，结合三角函数的单调性判断，命题成立，再运用充分必要条件定义判断【题文】8．)(x f 是定义在非零实数集上的函数，)(x f '为其导函数，且0>x 时，0)()(<-'x f x f x ，记5log )5(log 2.0)2.0(2)2(22222.02.0f c f b f a ===，，，则 (A) c b a <<(B) c a b << (C) b a c <<(D) a b c <<【知识点】函数的单调性.B3【答案解析】C 解析：因为对任意两个不相等的正数21,x x ，都有0)()(212112<--x x x f x x f x ，即对任意两个不相等的正数21,x x ，都有21121212121212()()()()0x f x x f x f x f x x x x x x x x x --=<--，所以函数()()f x h x x=是()+∞,0上的减函数，因为20.220.22log 5<<，所以b>a>c,故选C. 【思路点拨】构造函数()()f x h x x=，根据条件可以判断它是()+∞,0上的减函数，由此可以判断a,b,c 的大小关系.【题文】9．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≠><-=0)10(log 01)2sin()(x a a x x x x f a ，，且，，π的图象上关于y 轴对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是 (A) )330(，(B) )155(， (C) )133(， (D) )550(，【知识点】分段函数的应用 B1【答案解析】D 解析：解：若x ＞0，则﹣x ＜0， ∵x＜0时，f （x ）=sin （）﹣1，∴f（﹣x ）=sin （﹣）﹣1=﹣sin （）﹣1，则若f （x ）=sin （）﹣1，（x ＜0）关于y 轴对称， 则f （﹣x ）=﹣sin （）﹣1=f （x ），即y=﹣sin （）﹣1，x ＞0，设g （x ）=﹣sin （）﹣1，x ＞0作出函数g （x ）的图象，要使y=﹣sin （）﹣1，x ＞0与f （x ）=log a x ，x ＞0的图象至少有3个交点，则0＜a ＜1且满足g （5）＜f （5）， 即﹣2＜log a 5， 即log a 5＞，则5，解得0＜a ＜，故选：A【思路点拨】求出函数f （x ）=sin （）﹣1，（x ＜0）关于y 轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论【题文】10．已知∈b a ，R ，且1+x e ≥b ax +对x ∈R 恒成立，则ab 的最大值是(A)321e (B)322e (C)323e (D) 3e【知识点】分类讨论 E8【答案解析】A 解析：由1+x e ≥b ax +对x ∈R 恒成立，显然a ≥0，b ≤1+x e -ax ．若a =0，则ab =0．若a >0，则ab ≤a 1+x e -a 2x ．设函数=)(x f x a ae x 21-+，求导求出f (x )的最小值为a a a a f ln 2)1(ln 22-=-．设)0(ln 2)(22>-=a a a a a g ，求导可以求出g(a )的最大值为32321)(e e g =， 即ab 的最大值是321e ，此时232321e b e a ==，．【思路点拨】利用导数证明不等关系第II 卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。
四川省宜宾市高三数学第一次诊断考试试题 文
2014年秋期普通高中三年级第一次诊断测试数 学（文史类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑． 一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分；在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{}4,3,2,1,0=U ,集合{}3,2,1=A ，则=A C U (A) {}4,0(B) {}3,2,1 (C) {}4,3,2,1,0 (D) {}4,3,2,0 2．抛物线24y x =的焦点坐标是 (A) (0,1) (B) (0，-1)(C) (-1,0)(D) (1,0)3. 函数)2sin(x y -=π的图象(A) 关于x 轴对称 (B) 关于y 轴对称 (C) 关于原点对称(D) 关于直线2π=x 对称4.给出下列三个命题：①命题p ：x R ∃∈,使得012<-+x x ， 则p ⌝：x R ∀∈，使得012≥-+x x② ”或“15-<>x x 是“2450x x -->”的充要条件. ③若q p ∨为真命题，则p q ∧为真命题. 其中正确．．命题的个数为 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 35.执行如图所示的程序框图，输出的S 值是(A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 166.已知),10(12log ≠><a a a 且则a 的取值范围是 (A) ∞（2,+） (B) (0,1)(C) 12∞U (0,)（2,+）(D) ∞U (0,1)(2,+)7.已知单位向量m 和n 的夹角为60o ,记a =n -m , 2b =m , 则向量a 与b 的夹角为 (A) 30o(B) 60o (C) 120o (D) 150o8.一个三棱柱的侧视图、俯视图如图所示，则三棱柱的表面积是 (A) 2616+ (B) 3616+ (C) 2612+ (D) 3614+9.在平面直角坐标系中，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦距为)0(2>c c ，以O 为圆心，a 为半径作圆，过点)0,2ca （作圆的两条切线互相垂直，则离心率e 为 (A)22(B)21(C)23 (D) 3310.设函数⎩⎨⎧><=0,log 0,2)(2x x x x f x ，若存在唯一的x ，满足a a x f f 28))((2+=，则正实数．．．a 的最小值是 (A)81 (B) 41 (C) 21(D)2第Ⅱ卷（非选择题，共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．试题卷上作答无效. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.已知i 是虚数单位，则21i i=+▲.12.函数x x x f ln )(2+=的图像在点)1,1(A 处的切线方程为▲.13.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足B a A b cos sin =，则角B 的大小为▲.14.如图是一容量为100的样本的重量频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为▲.15.对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个结论： ①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立；②()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；③函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； ④对任意0x >，不等式2()f x x≤恒成立． 则其中所有正确结论的序号是▲.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．不能答试卷上，请答在答题卡相应的方框内. 16.（本题满分12分）已知函数)0(sin cos sin 2cos )(22>-+=ωωωωωx x x x x f ，且周期为π. （I ）求ω的值；（II ）当x ∈[20π，]时，求)(x f 的最大值及取得最大值时x 的值.17.（本题满分12分）某校从高中部年满16周岁的学生中随机抽取来自高二和高三学生各10名，测量他们的身高，数据如下（单位：cm ）高二：166,158,170,169,180,171,176,175,162,163 高三：157,183,166,179,173,169,163,171,175,178（I ）若将样本频率视为总体的概率，从样本中来自高二且身高不低于．．．170的学生中随机抽取3名同学，求其中恰有两名同学的身高低于．．．．．．．．．．．175的概率；（II ）根据抽测结果补充完整下列茎叶图，并根据茎叶图对来自高二和高三学生的身高作比较，写出两个统．．．．．计结论．．．.18.（本题满分12分）如图，一简单几何体的一个面ABC 内接于圆O, G 、H 分别是AE 、BC 的中点，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，且DC ⊥平面ABC. （I ）求证: GH //平面ACD ； （II ）若AB =2，BC =1，23tan =∠EAB ,试求该几何体的V.19.（本题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，首项21=a，公差为)0(≠d d ，且1131,,a a a 成等比数列.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）令2nnn a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20．（本题满分13分）已知函数b a x x x x f 3)ln()(2++-+=在0=x 处取得极值0. （I ）求实数b a ,的值； （Ⅱ）若关于x 的方程m x x f +=25)(在区间[]20，上恰有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围.21.（本题满分14分）已知焦点在x 轴上的椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，焦距为32，长轴长为4.（I ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆交于,A B 两点.(i) 证明：点O 到直线AB 的距离为定值，并求出这个定值； （ii ）求的最小值AB .高中2012级一诊测试数学(文史类)参考答案说明：一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题 题号 12345678910答案ADBCCDCAAB二、填空题11. 1+i 12. 3x-y-2=0 13.4π14. 12 15. ①③④ 三、解答题16.解：(1)∵)2sin 222cos 22(22sin 2cos )(x x x x x f ωωωω+=+=.....（2分） =)42sin(2πω+x ..................................................................（4分） ∵π=T 且ω>， 故1,22==ωπωπ则......................................................................（6分） (2):由(1)知)42sin(2)(π+=x x f∵20π≤≤x ∴45424πππ≤+≤x ................................................................................（7分） ∴1)42sin(22≤+≤-πx . ∴2)42sin(21≤+≤-πx .......................................................................................（9分） ∴当242ππ=+x 时，即8π=x ，y取得最大值为2............................................（12分）17.解：（Ⅰ）高二学生身高不低于170的有170，180，175，171，176有5人，从中抽取3个共有10种抽法；“恰有两名同学的身高低于175”的情况有3种…………………（3分） 故P （“恰有两名同学的身高低于175”）=310 ……………… （6分）（Ⅱ）茎叶图：…………………………………（9分）统计结论：（考生只要答对其中两个即给3分，给出其他合理答案可酌情给分） ①高三学生的平均身高大于高二学生的平均身高； ②高二学生的身高比高三学生的身高更整齐；③高二学生的身高的中位数为169.5cm ，高三学生的身高的中位数为172cm ；④高二学生的身高基本上是对称的，且大体上集中在均值附近，高三学生的身高的高度较为分散； ……………………………………（12分）18. (1)证明：连结GO,OH∵GO//AD,OH//AC...................................................................................................................（2分） ∴GO//平面ACD,OH//平面ACD,又GO 交HO 于O................................................................（4分） ∴平面GOH//平面ACD..........................................................................................................（5分） ∴GH//平面ACD..........................................................................................................（6分） (2)法一：∵ACD E ABC E V V V --+=..............................................................................................（8分） ∵AB=2,BC=1. ∵23tan =∠EAB ∴3,322=-==BC AB AC BE .ACD E ABC E V V V --+=21133213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆-DE S V ACD ACD E .21313213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆-EB S V ACB ACB E .........................................................（11分）8 15 7∴12121=+=+=--ACD E ABC E V V V .............................................................................（12分） 法二：∵DC ⊥平面ABC ∴DC ⊥AC又∵AC ⊥BC ∴AC ⊥平面BCDE.......................................................（8分） ∵AB=2,BC=1. ∵23tan =∠EAB ∴3,322=-==BC AB AC BE ........（10分） ∴13313131=⨯⨯⨯=⋅⋅=-AC S V BCDE BCDE A 矩形................................................（12分）19．（Ⅰ）12a =，设公差为d ，则由1311,a ,a a 成等比数列， 得2(22)2(210)d d +=⨯+， ...................................... （2分 ）解得0d =（舍去）或3d =， .................................... （4分） 所以数列{}n a 的通项公式为31n a n =- .............................. （6分）（Ⅱ） nn n b 213-=， nn n n n T 2132432825221321-+-+⋅⋅⋅+++=- 143221324328252221+-+-+⋅⋅⋅+++=n n n n n T-得1432213-23232323121+-+⋅⋅⋅++++=n n n n T ------（9分）1121321-1)21-1413121+---⋅+=n n n n T （11213)21-123121+---+=n n n n T （n n n n T 213)21-1321--+=-（nn n n T 21323-321--+=- nn n T 253-5+= ......................... （12分 ）20.解：（Ⅰ）由题设可知1()21f x x x a'=+-+………………………………（1分） Q 当0x =时，()f x 取得极值0(0)0(0)0f f '=⎧∴⎨=⎩解得1,0a b == ………………………………………（4分） 经检验1,0ab ==符合题意 ………………………………………（5分）（Ⅱ）由（1）知2()ln(1)f x x x x =+-+，则方程5()2f x x m =+即为25ln(1)02x x x x m +-+--=令25()ln(1)2x x x x x m ϕ=+-+--则方程()0x ϕ=在区间[0,2]恰有两个不同实数根.13(45)(1)()2122(1)x x x x x x ϕ+-'=--=++Q ………………………………（8分） 当(0,1)x ∈时，()0x ϕ'<，于是()x ϕ在(0,1)上单调递减； 当(1,2)x ∈时，()0x ϕ'>，于是()x ϕ在(1,2)上单调递增；…………………（10分）依题意有(0)01(1)ln 202(2)1ln 30m m m ϕϕϕ=-≥⎧⎪⎪=---<⎨⎪=--≥⎪⎩ 1ln 21ln 3 (132)m ∴--<≤-（分）21.（Ⅰ） 解224c a == ........................ （2分 ）2,a c == 2221b a c =-=所以椭圆的标准方程为2214x y += . ..................（4分）（Ⅱ）（ⅰ）设),(),,(2211y x B y x A ,① 当直线AB 的斜率不存在时，则AOB ∆为等腰直角三角形，不妨设直线OA ：x y =将x y =代入1422=+y x ，解得552±=x 所以点O 到直线AB 的距离为552=d ； .................. （6分 ）② 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为m kx y +=，代入椭圆2214x y +=联立消去y 得：222(14)8440k x kmx m +++-=122814km x x k +=-+，21224414m x x k-=+ ..................（ 7分） 因为OB OA ⊥，所以02121=+y y x x ，1212()()0x x kx m kx m +++= 即0)()1(221212=++++m x x km x x k所以2222222448(1)01414m k m k m k k-+-+=++，整理得2254(1)m k =+，所以点O 到直线AB 的距离d =综上可知点O 到直线AB 的距离为定值552.............（10分）（ⅱ）在Rt AOB ∆中，因为OB OA AB d ⋅=⋅又因为OB OA ⋅2≤222AB OB OA =+，所以2AB ≥AB d ⋅2所以AB ≥2AB d ≥，当OB OA =时取等号，即AB 的最小值是554………（14分）。
四川省宜宾市2015届高三第一次诊断考试数学(理)试题Word版含解析
宜宾市2014年秋期普通高中三年级第一次诊断测试数 学（理工农医类）【试卷综述】试卷贴近中学教学实际,在坚持对五个能力、两个意识考查的同时,注重对数学思想与方法的考查,体现了数学的基础性、应用性和工具性的学科特色.以支撑学科知识体系的重点内容为考点来挑选合理背景,考查更加科学.试卷从多视角、多维度、多层次地考查数学思维品质,考查考生对数学本质的理解,考查考生的数学素养和学习潜能.【题文】第Ⅰ卷（选择题，共50分）【题文】一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分；在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.【题文】1.已知集合{}{}102,73<<=<≤=x x B x x A ,则=B A(A) {}73<≤x x (B) {}73<<x x (C) {}72<≤x x (D) {}102<≤x x 【知识点】交集的运算.A1【答案】【解析】A 解析：因为{}{}102,73<<=<≤=x x B x x A ，所以=B A{}73<≤x x ，故选A 。
【思路点拨】直接利用交集的定义即可. 【题文】2.函数)2sin(1π-+=x y 的图象(A) 关于x 轴对称 (B) 关于y 轴对称 (C) 关于原点对称 (D)关于直线2π=x 对称【知识点】余弦函数的图象．C3【答案】【解析】B 解析：∵余弦函数cos y x =是偶函数,∴函数)2sin(1π-+=x y 1cos x =-是偶函数，故关于y 轴对称，故选B ．【思路点拨】根据余弦函数cos y x =是偶函数关于y 轴对称可得答案．【题文】3．二项式52)1xx +（的展开式中，x 的系数为 (A) 10 (B) 15 (C) 20 (D) 25【知识点】二项式定理的应用．J3【答案】【解析】A 解析：二项式52)1xx +（的展开式的通项为 ()5r 2r 103r 155C C R rr T x x x ---+=?；令10﹣3r=1解得r=3，∴二项式52)1xx +（的展开式中x 的系数为C 53=10， 故选A ．【思路点拨】先求出二项式52)1xx +（的展开式的通项，然后令x 的指数为1，求出r ，从而可求出x 的系数．【题文】4.给出下列三个命题：①命题p ：x R ∃∈,使得012<-+x x ，则p ⌝：x R ∀∈，使得012≥-+x x ② ”或“15-<>x x 是“2450x x -->”的充要条件. ③若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题.其中正确．．命题的个数为 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【知识点】命题的真假判断与应用．A2 【答案】【解析】C 解析：若命题p ：x R ∃∈,使得012<-+x x ，则p ⌝：x R ∀∈，使得012≥-+x x ，故①正确；“2450x x -->”⇔”或“15-<>x x ，故”或“15-<>x x 是“2450x x -->”的充要条件②正确．若p q ∨为真命题，则p ，q 中至少存在一个真命题，若此时两个命题一真一假，则p q ∧为假命题，故③错误；故正确的命题个数为：2个，故选：C【思路点拨】写出原命题的否定形式，可判断①；根据充要条件的定义，可判断②；根据充要条件的定义，可判断③.【题文】5．执行如图所示的程序框图，输出的S 值是(A) 2(B) 4(C) 8(D) 16【知识点】循环结构．L1【答案】【解析】C 解析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加012S 1222=+++的值，∵012S 12228=+++=， 故选C.【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加012S 1222=+++的值，并输出．【题文】6.顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点)24(--，P 的抛物线的标准方程是(A) x y -=2(B) y x 82-=(C) x y 82-=或y x -=2(D) x y -=2或y x 82-=【知识点】抛物线的标准方程．H7【答案】【解析】D 解析：设抛物线方程为2y mx =，代入点)24(--，P 可得，44m =-，解得1m =-，则抛物线方程为x y -=2，设抛物线方程为2x ny =，代入点)24(--，P 可得162n =-，解得8n =-， 则抛物线方程为y x 82-=，故抛物线方程为x y -=2或y x 82-=．故选：D ．【思路点拨】设抛物线方程分别为2y mx =，或2x ny =，代入点)24(--，P ，解方程，即可得到m ，n ．进而得到抛物线方程．【题文】7.有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中小明必须站在正中间，并且小李、小张两位同学要站在一起， 则不同的站法有 (A) 192种(B) 120种(C) 96种 (D) 48种【知识点】排列、组合及简单计数问题．J2 J1【答案】【解析】A 解析：不妨令小李、小张在小明左侧，先排小李、小张两人，有A 22种站法，再取一人站左侧有C 41×A 22种站法，余下三人站右侧，有A 33种站法 考虑到小李、小张在右侧的站法，故总的站法总数是2×A 22×C 41×A 22×A 33=192 故选：A ．【思路点拨】由于小明必须站正中间，故先安排小明，两边一边三人，不妨令小李、小张在小明左边，求出此种情况下的站法，再乘以2即可得到所有的站法总数，计数时要先安排小李、小张两人，再安排小明左边的第三人，最后余下三人，在小明右侧是一个全排列． 【题文】8.已知单位向量m 和n 的夹角为60,记a =n -m , 2b =m , 则向量a 与b 的夹角为(A)30(B) 60 (C) 120 (D)150【知识点】平面向量数量积的运算．F3【答案】【解析】C 解析：由于单位向量m 和n 的夹角为60， 则m n ×=1×1×cos60°=12， 则()2122112a bm n m骣琪??=?=-琪桫，2221a n m m n =+-?，2b =，即有1cos ,2a b a b a b×<>==-×， 则由于000,180a b ?>?，则向量a 与b 的夹角为120．故选C ．【思路点拨】运用向量的数量积的定义，求得单位向量m 和n 的数量积，再求向量a 与b 的数量积和模，运用向量的夹角公式计算即可得到夹角．【题文】9.双曲线)0,012222>>=-b a by a x （的左右焦点为21F F ，,P 是双曲线右支上一点，满足条件212F F PF =,直线1PF 与圆222a y x =+相切，则双曲线的离心率为(A)45(B)3 (C)332 (D)35【知识点】双曲线的简单性质．H6【答案】【解析】D 解析：设1PF 与圆相切于点M ，因为212F F PF =，所以△1PF 2F 为等腰三角形，所以1114F M PF =，又因为在直角△1F MO 中，|1F M |2=|1F O |2﹣a 2=c 2﹣a 2，所以1114F M a PF ==①又12222PF PF a c a =+=+ ②，222c a b =+ ③由①②③解得53c a =．故选D ． 【思路点拨】先设PF 1与圆相切于点M ，利用212F F PF =，及直线1PF 与圆222a y x =+相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的离心率的值．【题文】10.设函数⎩⎨⎧>≤=0,log 0,2)(2x x x x f x ，若对任意给定的),1(+∞∈t ，都存在唯一的R x ∈，满足at t a x f f +=222))((，则正实数．．．a 的最小值是(A) 2 (B) 12 (C) 14 (D)【知识点】分段函数的应用．B9【答案】【解析】B 解析：根据()f x 的函数，我们易得出其值域为：R ， 又∵()()2,0xf x x =?时，值域为(]0,1；()()x x 0f x 2=log ＞时，其值域为R ， ∴可以看出()f x 的值域为(]0,1上有两个解， 要想at t a x f f +=222))((，在()1,t ??上只有唯一的x R Î满足，必有()()1ff x >（因为2220a t at +>）， 所以：()f x ＞2，解得：x ＞4，当 x ＞4时，x 与f （f （x ））存在一一对应的关系， ∴2221a t at +>，()1,t ??，且a ＞0，所以有：（2at ﹣1）（at+1）＞0，解得：12t a >或者1t a <-（舍去）， ∴112a £，∴12a ³，故选：B 【思路点拨】此题的突破口在于如何才会存在唯一的x 满足条件，结合()f x 的值域范围或者图象，易知只有在()f x 的自变量与因变量存在一一对应的关系时，即只有当()f x ＞2时，才会存在一一对应．【题文】第Ⅱ卷（非选择题，共100分） 【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 【题文】11.已知i 是虚数单位，则21i i=+▲.【知识点】复数的基本运算.L4【答案】【解析】1+i 解析：()()()2121111i i ii i i i -==+++-，故答案为1i +. 【思路点拨】在分式的分子分母同时乘以分母的共轭复数再进行化简即可。
2015年四川省宜宾市高考数学一诊试卷(理科)
2015年四川省宜宾市高考数学一诊试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知集合A={x|3≤x＜7}，B={2＜x＜10}，则A∩B（）A.{x|3≤x＜7}B.{x|3＜x＜7}C.{x|2≤x＜7}D.{x|2≤x＜10}2.函数y=1+sin（x-）的图象（）A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线x=对称3.二项式（x2+）5的展开式中，x的系数为（）A.10B.15C.20D.254.给出下列三个命题：①命题p：∃x∈R，使得x2+x-1＜0，则¬p：∀x∈R，使得x2+x-1≥0．②“x＞5或x＜-1”是“x2-4x-5＞0”的充要条件．③若p∨q为真命题，则p∧q为真命题．其中正确命题的个数为（）A.0B.1C.2D.35.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A.2B.4C.8D.166.顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P（-4，-2）的抛物线的标准方程是（）A.y2=-xB.x2=-8yC.y2=-8x或x2=-yD.y2=-x或x2=-8y7.有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中小明必须站在正中间，并且小李、小张两位同学要站在一起，则不同的站法有（）A.192种B.120种C.96种D.48种8.已知单位向量和的夹角为60°，记=-，=2，则向量与的夹角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°9.双曲线＞，＞的左右焦点为F1，F2，P是双曲线上一点，满足|PF2|=|F1F2|，直线PF1与圆x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.10.设函数f（x）=，，＞，若对任意给定的t∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=2a2t2+at，则正实数a的最小值是（）A.2B.C.D.二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.已知i是虚数单位，则= ______ ．12.函数f（x）=x2+lnx的图象在点A（1，1）处的切线方程为______ ．13.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bsin A=acos B，则角B 的大小为______ ．14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1的中心，点Q在线段PD上运动，则异面直线BQ与A1D1所成角θ最大时，cosθ= ______ ．15.对于函数f（x）=∞，有下列4个命题：①任取x1、x2∈[0，+∞），都有|f（x1）-f（x2）|≤2恒成立；②f（x）=2kf（x+2k）（k∈N*），对于一切x∈[0，+∞）恒成立；③函数y=f（x）-ln（x-1）有3个零点；④对任意x＞0，不等式f（x）≤恒成立．则其中所有真命题的序号是______ ．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.已知函数f（x）=cos2ωx+2sinωxcosωx-sin2ωx（ω＞0），且周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求f（x）最大值及取得最大值时x的值．17.在2014年11月4日宜宾市举办的四川省第十四届少数民族传统体育运动会的餐饮点上，某种茶饮料一天的销售量与该天的日平均气温（单位：℃）有关，若日平均气温不超过15℃，则日销售量为100瓶；若日平均气温超过15℃但不超过20℃，则日销售量为150瓶；若日平均气温超过20℃，则日销售量为200瓶．据宜宾市气象部门预测，该地区在运动会期间每一天日平均气温不超过15℃，超过15℃但不超过20℃，超过20℃这三种情况发生的概率分别为P1，P2，P3，又知P1，P2为方程5x2-3x+a=0的两根，且P2=P3．（Ⅰ）求P1，P2，P3的值；（Ⅱ）记ξ表示该茶饮料在运动会期间任意两天的销售量总和（单位：瓶），求ξ的分布列及数学期望．18.如图，一简单几何体ABCDE的一个面ABC内接于圆O，G、H分别是AE、BC的中点，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC⊥平面ABC．（Ⅰ）证明：GH∥平面ACD；（Ⅱ）若AC=BC=BE=2，求二面角O-CE-B的余弦值．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，向量=（S n，1），=（2n-1，），满足条件=λ，λ∈R且λ≠0．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设函数f（x）=（）x，数列{b n}满足条件b1=2，f（b n+1）=，（n∈N+）（i）求数列{b n}的通项公式；（ii）设c n=，求数列{c n}的前n项和T n．20.已知点P，Q的坐标分别为（-2，0），（2，0），直线PM，QM相交于点M，且它们的斜率之积是-．（Ⅰ）求点M的轨迹方程；（Ⅱ）过点O作两条互相垂直的射线，与点M的轨迹交于A、B两点．试判断点O到直线AB的距离是否为定值．若是请求出这个定值，若不是请说明理由．21.已知函数f（x）=x4+ax3+bx2+c，其图象在y轴上的截距为-5，在区间[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，又当x=0，x=2时取得极小值．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）能否找到垂直于x轴的直线，使函数f（x）的图象关于此直线对称，并证明你的结论；（Ⅲ）设使关于x的方程f（x）=λ2x2-5恰有三个不同实根的实数λ的取值范围为集合A，且两个非零实根为x1、x2．试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+2≤|x1-x2|对任意t∈[-3，3]，λ∈A恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．。
2015年四川宜宾中考数学试题(全解全析)
宜宾市2015年高中阶段学校招生考试数学试卷（考试时间：102分钟，全卷满分120分）本试卷分选择题和非选择题两部分，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必将自己的姓名、座位号、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.在作答选择题时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号，在试卷上作答无效。
3.在作答非选择题时，请在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。
一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答题卡对应题目上。
（注意：在试题卷上作答无效）1.（2015·四川省宜宾市，1，3分）15-的相反数是（ ） A.5 B.15 C. 15- D.5 【答案】B【考点解剖】本题考查了相反数，解题的关键是相反数的概念．【解题思路】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，故选B.【易错点津】此类问题容易出错的地方是混淆绝对值、倒数和相反数的概念，造成错选．【思维模式】对于一个数，主要是由符号和绝对值构成的，符号不同绝对值相等的两个数就互为相反数．【试题难度】★【关键词】相反数2. （2015·四川省宜宾市，2，3分）如图，立体图形的左视图是（ ）【答案】A【考点解剖】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是准确掌握三视图的概念．【解题思路】根据三视图的概念：主视图是指从立体图形的正面看到的平面图，左视图指从立体图形的左面看到的平面图，俯视图指从立体图形的上面看到的平面图．对四个几何体逐个进行分析判断．其中A 是左视图，B 是俯视图，C 是主视图，D 不是该立体图形的视图。
故选A.【易错点津】此类问题容易出错的地方是对三种视图的定义理解不清或没有掌握如何确定三视图的方法而导致乱选一通．【方法规律】三视图问题一直是中考必问题，解题的关键是要分清上、下、左、右各个方位．学习三视图主要是掌握三视图的基本特征：主俯长对正，主左高平齐，左俯宽相等．【试题难度】★★【关键词】 视图与投影；视图；画三视图3. （2015·四川省宜宾市，3，3分）地球绕太阳每小时转动经过的路程约为110000米，将110000用科学记数法表示为正面A. B C. D.A.11×104B. 0.11×107C. 1.1×106D. 1.1×105【答案】D【考点解剖】本题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是正确确定a的值以及n的值．【解题思路】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．表示较大的数时，n的值是原数整数位数减1.110 000共6个整数位，所以n=6-1=6.【解答过程】解：将110 000用科学记数法表示为：1. 1×105，故选择B .【易错点睛】此类问题容易出错的地方是忽视了a的取值范围，认为只要和原数大小一样就行，错选D.【方法规律】用科学记数法表示一个数时，需要从下面两个方面入手：（1）关键是确定a和n的值：①确定a：a是只有一位整数的数，即1≤a＜10；②确定n：当原数≥10时，n等于原数的整数位数减去1，或等于原数变为a时，小数点移动的位数；当0＜原数＜1时，n是负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数的零）；或n的绝对值等于原数变为a时，小数点移动的位数；（2）对于含有计数单位并需转换单位的科学记数法，可以利用1亿=1×108，1万=1×104，1千=1×10³来表示，能提高解题的效率.【试题难度】★【关键词】科学记数法4. （2015·四川省宜宾市，4，3分）今年4月，全国山地越野车大赛在我市某区举行，其中8名选手某项得分如下表：得分80 85 87 90人数 1 3 2 2则这8名选手得分的众数、中位数分别是A.85、85B.87、85C.85、86D.85、87【答案】C【考点解剖】本题考查中位数、众数的概念，解题的关键是正确掌握统计中的基本概念.【解题思路】找到题目中8个数据中出现次数最多的数据即为众数；把这8个数按从小到大排序，其中第4、5两个数据的平均数是中位数。
2015年四川省高考数学试题及答案(理科)【解析版】
2015年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．（5分）（2015•四川）设集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=2．（5分）（2015•四川）设i是虚数单位，则复数i3﹣=（）通分得出，==3．（5分）（2015•四川）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）C﹣的值为．，的值为2x+2x+）sin）sin5．（5分）（2015•四川）过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的2﹣=1，2．6．（5分）（2015•四川）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比400007．（5分）（2015•四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（）=+==，•=﹣，，∴根据图形可得：==，===•（）2﹣2=222||2a b或＜或9．（5分）（2015•四川）如果函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，那么mn的最大值为（）（[[[，（（[][[（（n（[，②③即或或y=，=k=2x，=．，=10．（5分）（2015•四川）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围，，相减，得（因为直线与圆相切，所以，所以，，∴，二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）（2015•四川）在（2x﹣1）5的展开式中，含x2的项的系数是﹣40（用数字填写答案）．=12．（5分）（2015•四川）sin15°+sin75°的值是．（sin60=故答案为：．13．（5分）（2015•四川）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k、b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是24小时．，×14．（5分）（2015•四川）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为．，从而可求出向量=，对函数=；）取到最大值故答案为：．15．（5分）（2015•四川）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有①④（写出所有真命题的序号）．）递减，在（﹣三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2015年四川省高考数学试题及答案(理科)【解析版】
2015年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．（5分）（2015?四川）设集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）2．（5分）（2015?四川）设i是虚数单位，则复数i3﹣=（）通分得出﹣，∴===i（5分）（2015?四川）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）3．﹣﹣的值为=，．4．（5分）（2015?四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）2x+2x+））y=sin2x+cos2x=）y=sinx+cosx=）5．（5分）（2015?四川）过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）24﹣=1﹣=2，∴|AB|=46．（5分）（2015?四川）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）7．（5分）（2015?四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（）根据图形得出=+=，==，=?（=﹣满足，∴根据图形可得：=+=，==∴=∵=（=﹣，2=22=22，||=4∴=228．（5分）（2015?四川）设a、b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的（），或根据对数函数的性质∴即＜或9．（5分）（2015?四川）如果函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，那么mn的最大值为（）=（][，）≤0，f′（=（]，[）≤0，f′（m≤∴mn≤n（[﹣②即③即设或或y=，y′=，①﹣=k=2x=②﹣=﹣．，=，=10．（5分）（2015?四川）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）y=±2则，相减，得（因为直线与圆相切，所以﹣，所以，∴，在圆上，∴，∴r，二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
数学理卷·2014届四川省宜宾市高三第一次诊断性测试(2013.12)
宜宾市2014届高中毕业班第一次诊断性检测数学（理）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。
满分150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，将本试题卷和答题卡上一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1. 【理】设{3,5,6,7,8}A =，{4,5,7,8,}B =，则A B =（A ）{5,7} （B ）{5,7,8} （C ）{7,8} （D ）{5,8} 2. 【理】已知复数a bi +和c di +的积为虚数，则有（A ）0ab cd +≠ （B ）0ac bd += （C ）ac bd = （D ）ad bc = 3. 执行如图所示的程序框图.若输入7x =，则输出k 的值是（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）54. 将正方体截去一个三棱锥，得到的几何体如图1所示，则该几何体的侧视图是（A ）（B ） （C ） （D ） 5. 已知命题2:,10p x R x ∀∈->；命题:,sin()13q x R x π∃∈+=.则下列判断正确的是（A ）p ⌝是假命题 （B ）q 是假命题 （C ）()p q ∨⌝是真命题 （D ）()p q ⌝∧是真命题6.【理】若双曲线221mx y -=过抛物线22y x =的焦点，则双曲线的离心率等于（A （B （C （D 7. 【理】已知函数2()(3)xf x x x e =-的图像大致是8. 【理】已知5名医生和3名护士被分配到甲、乙两所学校为学生体检，每校至少要分配2名医生和1名护士，则不同的分配方案共有（A ）30种 （B ）60种 （C ）90种 （D ）120种9. 在平面区域5650:{(,)|214}0,0x y A x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩内投掷一个质点，则该质点同时又落在区域22:{(,)|9}B x y x y += 内的概率是（A ）52π （B ）326π （C ）352π （D ）26π10. 已知函数1(),02()1(),0xx x f x x e⎧≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，若对任意的[12,12x a a ∈-+，不等式3(2)[()]f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是（A ）1(0,)3 （B ）1(0,]3 （C ）11[,)43 （D ）11(,]43第II 卷 （非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。
2015年高考真题——数学理（新课标Ⅰ卷）解析版
绝密★启封并使用完毕前试题类型：A注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2015年新课标1理 设复数z 满足=i ，则|z|=1+z 1z-（A ）1 （B （C （D ）2【答案】A考点：1.复数的运算；2.复数的模.2015年新课标1理 （2）sin20°cos10°-co s 160°sin10°=（A ）（B （C ） （D ）12-12【答案】D【解析】试题分析：原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=，故选D.12考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式2015年新课标1理 （3）设命题P ：n N ，>，则P 为∃∈2n 2n ⌝ （A ）n N, > （B ） n N, ≤∀∈2n 2n ∃∈2n 2n（C ）n N, ≤ （D ） n N, =∀∈2n 2n ∃∈2n 2n【答案】C【解析】试题分析：:，故选C.p ⌝2,2n n N n ∀∈≤考点：特称命题的否定2015年新课标1理 （4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（A ）0.648 （B ）0.432（C ）0.36（D ）0.312【答案】A【解析】试题分析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.6C ⨯+=0.648，故选A.考点：独立重复试验；互斥事件和概率公式2015年新课标1理 （5）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：上的一点，2212x y -=F 1、F 2是C 上的两个焦点，若＜0，则y 0的取值范围是1MF ∙2MF（A ）（）（B ）（）（C ）（） （D ）（【答案】A考点：向量数量积；双曲线的标准方程2015年新课标1理 （6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
四川省宜宾市宜宾县2015届高考数学适应性试卷(理科)(
2015年四川省宜宾市宜宾县高考数学适应性试卷（理科）（二）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．已知集合A={（x，y）|y2=4x}，B={（x，y）|y=x+1}，则A∩B=（）A．{（1，﹣2）} B．{（1，2）} C．（1，2） D．（1，﹣2）2．下列说法正确的是（）A．已知p：∃x0∈R，x02+x0﹣1=0，q：∀x∈R，x2+x+1＞0，则p∧q是真命题B．命题p：若，则的否命题是：若，则C．∀x∈R，x2+x﹣1＜0的否定是∃x0∈R，x02+x0﹣1＞0D．x=是取最大值的充要条件3．若a＜b＜0，则下列选项正确的是（）A．B．C．a n＜b n（n∈N，n≥2）D．∀c≠0，都有ac＜bc4．如图是某几何体的三视图，其中正视图是斜边长为2的直角三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（）A． B．C．D．+π5．如果执行如图所示的程序框图，输入x=6，则输出的y值为（）A．2 B．0 C．﹣1 D．6．487被7除的余数为a（0≤a＜7），则展开式中x﹣3的系数为（）A．4320 B．﹣4320 C．20 D．﹣207．已知f（x）=x+sinx，若x∈[1，2]时，f（x2﹣ax）+f（1﹣x）≤0，则a的取值范围是（）A．a≤1 B．a≥1 C．a≥D．a≤8．高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力，特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛．由于爱好者众多，高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．首发要求每个班至少1人，至多2人，则首发方案数为（）A．720 B．270 C．390 D．3009．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．10．已知y=f（x）为R上的可导函数，当x≠0时，，则关于x的函数的零点个数为（）A．1 B．2 C．0 D．0或2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．若复数z=x+yi的共轭复数为且满足z，则复数z在复平面内的对应点的轨迹方程为．12．已知A，B是y=sin（ωx+φ）的图象与x轴的两个相邻交点，A，B之间的最值点为C．若△ABC 为等腰直角三角形，则ω的值为．13．已知（x，y）满足，若z=ax﹣y取最小值时有无数个最优解，则a=．14．已知圆C：（x﹣2）2+y2=4．过点的直线与圆C交于A，B两点，若，则当劣弧AB所对的圆心角最小时，=．15．已知命题：①将一组数据中的每个数都变为原来的2倍，则方差也变为原来的2倍；②在△ABC中，若A＞B，则sinA＜sinB；③在正三棱锥S﹣ABC内任取一点P，使得V P＜的概率是；﹣ABC④若对于任意的n∈N*，n2+（a﹣4）n+3+a≥0恒成立，则实数a的取值范围是．以上命题中正确的是（填写所有正确命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，角A为锐角，且+cos2A．（1）求f（A）的最大值；（2）若，求△ABC的三个内角和AC边的长．17．根据国家考试院的规定，各省自主命题逐步过渡到全国统一命题，2016年已经有25个省、直辖市参与全国统一命题．每年根据考试院出具两套试题，即全国高考新课标卷Ⅰ和全国新课标卷Ⅱ．已知各省选择全国高考新课标卷Ⅰ和全国新课标卷Ⅱ是等可能的，也是相互独立的．（Ⅰ）在四川省选择全国新课标卷Ⅱ的条件下，求四川省在内的三个省中恰有两个省在2016年选择全国新课标卷II的概率．（Ⅱ）假设四川省在选择时排在第四位，用X表示四川省在选择选择全国新课标卷Ⅱ前，前三个省选择选择全国新课标卷Ⅱ的省的个数，求X的分布列及数学期望．18．如图1在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，D，E分别是AC，BC边上的中点，M为CD的中点，现将△CDE沿DE折起，使点A在平面CDE内的射影恰好为M．（I）求AM的长；（Ⅱ）求面DCE与面BCE夹角的余弦值．19．数列{a n}满足na n+1﹣（n+1）a n=0，已知a1=2．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=，b n的前n项和为S n，求证：S n＜．20．给定椭圆C：=1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程．（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，且l1，l2分别交其“准圆”于点M，N．①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求l1，l2的方程；②求证：|MN|为定值．21．已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：．2015年四川省宜宾市宜宾县高考数学适应性试卷（理科）（二）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．已知集合A={（x，y）|y2=4x}，B={（x，y）|y=x+1}，则A∩B=（）A．{（1，﹣2）} B．{（1，2）} C．（1，2） D．（1，﹣2）【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】联立方程组，求得方程组的解集得答案．【解答】解：由A={（x，y）|y2=4x}，B={（x，y）|y=x+1}，得A∩B={（x，y）|}={（1，2）}．故选：B．【点评】本题考查交集及其运算，考查了方程组的解法，是基础题．2．下列说法正确的是（）A．已知p：∃x0∈R，x02+x0﹣1=0，q：∀x∈R，x2+x+1＞0，则p∧q是真命题B．命题p：若，则的否命题是：若，则C．∀x∈R，x2+x﹣1＜0的否定是∃x0∈R，x02+x0﹣1＞0D．x=是取最大值的充要条件【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】A．p：由于△＞0，因此方程有实数根，p是真命题，q：由x2+x+1=＞0，是真命题，即可判断出p∧q的真假；B．利用否命题的定义即可判断出正误；C．利用命题的否定即可判断出正误；D．例如x=+π时函数也可以取得最大值，即可判断出正误．【解答】解：A．p：∃x0∈R，x02+x0﹣1=0，由于△＞0，因此方程有实数根，是真命题，q：∀x∈R，x2+x+1=＞0，是真命题，因此p∧q是真命题，正确；B．命题p：若，则的否命题是：若与不垂直，则，不正确；C．∀x∈R，x2+x﹣1＜0的否定是∃x0∈R，x02+x0﹣1≥0，因此不正确；D．x=是取最大值的充分不必要条件，例如x=+π时也可以取得最大值，因此不正确．故选：A．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、三角函数的性质、一元二次方程的解与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．若a＜b＜0，则下列选项正确的是（）A．B．C．a n＜b n（n∈N，n≥2）D．∀c≠0，都有ac＜bc【考点】不等式比较大小．【专题】不等式的解法及应用．【分析】A．由a＜b＜0，可得a2＞b2，ab＞0，利用不等式的基本性质，即可判断出正误；B．由a＜b＜0，可得ab＞0，利用不等式的基本性质，即可判断出正误；C．由a＜b＜0，可得a2＞b2，即可判断出正误；D．取c＜0时，可得ac＞bc，即可判断出正误．【解答】解：A．∵a＜b＜0，∴a2＞b2，ab＞0，∴，因此正确；B．∵a＜b＜0，∴ab＞0，∴，因此不正确；C．∵a＜b＜0，∴a2＞b2，因此不正确；D．取c＜0时，可得ac＞bc，因此不正确．故选：A．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．4．如图是某几何体的三视图，其中正视图是斜边长为2的直角三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（）A． B．C．D．+π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是平放的半圆锥体，根据图中数据求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是平放的半圆锥体，且半圆锥体的底面圆半径为1，母线长为2，高为；∴该半圆锥体的表面积为π•12+•22•sin60°+π•1•2=+．故选：A．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了求几何体的表面积的应用问题，是基础题目．5．如果执行如图所示的程序框图，输入x=6，则输出的y值为（）A．2 B．0 C．﹣1 D．【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当x=﹣1，y=﹣时，满足条件|y﹣x|＜1，退出循环，输出y的值为﹣．【解答】解：执行程序框图，可得x=6y=2不满足条件|y﹣x|＜1，x=2，y=0不满足条件|y﹣x|＜1，x=0，y=﹣1不满足条件|y﹣x|＜1，x=﹣1，y=﹣满足条件|y﹣x|＜1，退出循环，输出y的值为﹣．故选：D．【点评】本题主要考察了程序框图和算法，根据赋值语句正确得到每次循环x，y的值是解题的关键，属于基础题．6．487被7除的余数为a（0≤a＜7），则展开式中x﹣3的系数为（）A．4320 B．﹣4320 C．20 D．﹣20【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题；二项式定理．【分析】先确定487被7除的余数为a，再利用展开式的通项，可得结论．【解答】解：487=（49﹣1）7=﹣+…+﹣1，∵487被7除的余数为a（0≤a＜7），∴a=6，∴展开式的通项为T r+1=，令6﹣3r=﹣3，可得r=3，∴展开式中x﹣3的系数为=﹣4320，故选：B．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用二项式定理是关键．7．已知f（x）=x+sinx，若x∈[1，2]时，f（x2﹣ax）+f（1﹣x）≤0，则a的取值范围是（）A．a≤1 B．a≥1 C．a≥D．a≤【考点】函数的单调性与导数的关系．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，推出函数的奇偶性，即可转化不等式为二次不等式恒成立，即可求出a的范围．【解答】解：因为f（x）=sinx+x，x∈R，而f（﹣x）=sin（﹣x）+（﹣x）=﹣sinx﹣x=﹣f（x），所以函数的奇函数；又f′（x）=cosx+1≥0，所以函数是增函数，若x∈[1，2]时，f（x2﹣ax）+f（1﹣x）≤0，f（x2﹣ax）≤﹣f（1﹣x）=f（x﹣1），所以x2﹣ax≤x﹣1在x∈[1，2]恒成立，即有1﹣a﹣1+1≤0且4﹣2a﹣2+1≤0，即有a≥1且a≥，则a≥．故选C．【点评】本题考查函数的单调性、奇偶性的判断与应用，考查不等式恒成立问题的解决方法，属于中档题．8．高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力，特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛．由于爱好者众多，高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．首发要求每个班至少1人，至多2人，则首发方案数为（）A．720 B．270 C．390 D．300【考点】排列、组合的实际应用；分层抽样方法．【专题】排列组合．【分析】求出各个班的人数，然后按照题意求出首发的方案即可．【解答】解：高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．各个班的人数有5班的3人、16班的4人、33班的5人，首发共有1、2、2；2、1、2；2、2、1类型；所求方案有：++=390．故选：C．【点评】本题考查排列组合的实际应用，考查分析问题解决问题的能力．9．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设椭（a＞b＞0），运用椭圆的定义，可得|NF2|=2a﹣|NF1|=2a﹣3，|MF2|+|MF1|=2a，即有2c+4=2a，取MF1的中点K，连接KF2，则KF2⊥MN，由勾股定理可得a+c=12，解得a，c，运用离心率公式计算即可得到．【解答】解：设椭圆（a＞b＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0），|MF2|=|F1F2|=2c，由椭圆的定义可得|NF2|=2a﹣|NF1|=2a﹣3，|MF2|+|MF1|=2a，即有2c+4=2a，即a﹣c=2，①取MF1的中点K，连接KF2，则KF2⊥MN，由勾股定理可得|MF2|2﹣|MK|2=|NF2|2﹣|NK|2，即为4c2﹣4=（2a﹣3）2﹣25，化简即为a+c=12，②由①②解得a=7，c=5，则离心率e==．故选：D．【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用和离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．10．已知y=f（x）为R上的可导函数，当x≠0时，，则关于x的函数的零点个数为（）A．1 B．2 C．0 D．0或2【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得，x≠0，因而g（x）的零点跟xg（x）的非零零点是完全一样的．当x＞0时，利用导数的知识可得xg（x）在（0，+∞）上是递增函数，xg（x）＞1恒成立，可得xg（x）在（0，+∞）上无零点．同理可得xg（x）在（﹣∞，0）上也无零点，从而得出结论．【解答】解：由于函数，可得x≠0，因而g（x）的零点跟xg（x）的非零零点是完全一样的，故我们考虑xg（x）=xf（x）+1 的零点．由于当x≠0时，，①当x＞0时，（x•g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（f′（x）+）＞0，所以，在（0，+∞）上，函数x•g（x）单调递增函数．又∵[xf（x）+1]=1，∴在（0，+∞）上，函数x•g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，因此，在（0，+∞）上，函数x•g（x）=xf（x）+1 没有零点．②当x＜0时，由于（x•g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（f′（x）+）＜0，故函数x•g（x）在（﹣∞，0）上是递减函数，函数x•g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，故函数x•g（x）在（﹣∞，0）上无零点．综上可得，函在R上的零点个数为0，故选C．【点评】本题考查了根的存在性及根的个数判断，导数与函数的单调性的关系，体现了分类讨论、转化的思想，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．若复数z=x+yi的共轭复数为且满足z，则复数z在复平面内的对应点的轨迹方程为x2+y2=10；．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】根据复数的基本运算和几何意义进行求解即可．【解答】解：∵足z，∴（x+yi）（x﹣yi）=x2+y2=10；即复数z在复平面内的对应点的轨迹方程为x2+y2=10；故答案为：x2+y2=10；【点评】本题主要考查复数的几何意义，以及复数的基本运算，比较基础．12．已知A，B是y=sin（ωx+φ）的图象与x轴的两个相邻交点，A，B之间的最值点为C．若△ABC为等腰直角三角形，则ω的值为．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】由图象得到等腰直角三角形斜边AB上的高，则斜边AB可求，即函数y=sin（ωx+φ）的周期可求，由周期公式求得ω的值．【解答】解：由题意可知，点C到边AB的距离为2，即△ABC的AB边上的高为4，∵△ABC是以∠C为直角的等腰三角形，∴AB=2×2=4．即函数y=sin（ωx+φ）的周期T=4．∴ω==．故答案为：．【点评】本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数解析式，解答的关键是明确等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，是基础题．13．已知（x，y）满足，若z=ax﹣y取最小值时有无数个最优解，则a=3或﹣1．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到使z=ax﹣y取最小值时有无数个最优解的a的值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由z=ax﹣y，得y=ax﹣z．由图可知，若a＞0，则当直线y=ax﹣z与y=3x+3重合时，z=ax﹣y取最小值时有无数个最优解，此时a=3；若a＜0，则当直线y=ax﹣z与x+y=6重合时，z=ax﹣y取最小值时有无数个最优解，此时a=﹣1．故答案为：3或﹣1．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．已知圆C：（x﹣2）2+y2=4．过点的直线与圆C交于A，B两点，若，则当劣弧AB所对的圆心角最小时，=3．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意，N为AB的中点，当劣弧AB所对的圆心角最小时，M，N重合，并且CM⊥AB，由此得到所求为CM2．【解答】解：由可知N为AB的中点，当劣弧AB所对的圆心角最小时，AB⊥CM，即M，N重合，所以==（1﹣2）2+（）2=3；故答案为：3．【点评】本题考查了直线与圆；解答本题的关键是：由题意明确M，N的位置关系，确定所求的实质．15．已知命题：①将一组数据中的每个数都变为原来的2倍，则方差也变为原来的2倍； ②在△ABC 中，若A ＞B ，则sinA ＜sinB ；③在正三棱锥S ﹣ABC 内任取一点P ，使得V P ﹣ABC ＜的概率是；④若对于任意的n ∈N *，n 2+（a ﹣4）n+3+a ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是．以上命题中正确的是 ③④ （填写所有正确命题的序号）． 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】简易逻辑．【分析】①利用方差的性质可得：方差变为原来的4倍，即可判断出正误；②在△ABC 中，若A ＞B ，则a ＞b ，由正弦定理可得sinA ＞sinB ，即可判断出正误；③如图所示，O 是正△ABC 的中心，分别取棱SA ，SB ，SC 的中点D ，E ，F ，则在△DEF 及其内部任取一点P ，则V P ﹣ABC =，因此使得V P ﹣ABC ＜的概率P=，即可判断出正误；④若对于任意的n ∈N *，n 2+（a ﹣4）n+3+a ≥0恒成立，则=﹣，令f （x ）=（x ≥2），利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：①将一组数据中的每个数都变为原来的2倍，则方差变为原来的4倍，因此①不正确；②在△ABC 中，若A ＞B ，则a ＞b ，由正弦定理可得：，∴sinA ＞sinB ，因此②不正确；③如图所示，O 是正△ABC 的中心，分别取棱SA ，SB ，SC 的中点D ，E ，F ，则在△DEF 及其内部任取一点P ，则V P ﹣ABC =×=，因此使得V P ﹣ABC ＜的概率P==，即③正确；④若对于任意的n ∈N *，n 2+（a ﹣4）n+3+a ≥0恒成立，则=﹣，令f（x）=（x≥2），f′（x）=1﹣=，当x≥3时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）≥f（3）==，f（4）=6，当x=2时，f（2）=6，∴a≥﹣（﹣6）=，∴实数a的取值范围是，因此④正确．以上命题中正确的是③④．故答案为：③④．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、方差的性质、正弦定理、三棱锥的体积、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，角A为锐角，且+cos2A．（1）求f（A）的最大值；（2）若，求△ABC的三个内角和AC边的长．【考点】运用诱导公式化简求值；二倍角的余弦．【分析】（1）先利用诱导公式化简f（A），根据A为锐角，确定f（A）的最大值．（2）利用f（A）=1求出A、B、C三个角，再用正弦定理求出AC边的长．【解答】解：（I）由已知得f（A）=∴取值最大值，其最大值为（II）由f（A）=1得sin（2A+）=在△ABC中，由正弦定理得：【点评】本题考查诱导公式的化简求值，二倍角的余弦公式等知识，是中档题．17．根据国家考试院的规定，各省自主命题逐步过渡到全国统一命题，2016年已经有25个省、直辖市参与全国统一命题．每年根据考试院出具两套试题，即全国高考新课标卷Ⅰ和全国新课标卷Ⅱ．已知各省选择全国高考新课标卷Ⅰ和全国新课标卷Ⅱ是等可能的，也是相互独立的．（Ⅰ）在四川省选择全国新课标卷Ⅱ的条件下，求四川省在内的三个省中恰有两个省在2016年选择全国新课标卷II的概率．（Ⅱ）假设四川省在选择时排在第四位，用X表示四川省在选择选择全国新课标卷Ⅱ前，前三个省选择选择全国新课标卷Ⅱ的省的个数，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（I）设四川省在内的三个省为A，B，S，四川省选择全国新课标卷II表示为S2，另两省选择全国新课标卷i表示为A i，B i（i=1，2），在四川省选择全国新课标卷II的条件下，所有可能的有S2A1B1，S2A2B1，S2A1B2，S2A2B2四个基本事件，其中恰有两个省选择全国新课标卷II有两个基本事件，利用条件概率计算公式即可得出；（II）由题意，每个省选择全国高考新课标卷I和全国新课标卷II的概率都是，四川省在选择选择全国新课标卷II前，前三个省选择全国新课标卷II的省份个数为X，则，即可得出分布列及其数学期望．【解答】解：（I）设四川省在内的三个省为A，B，S，四川省选择全国新课标卷II表示为S2，另两省选择全国新课标卷i表示为A i，B i（i=1，2），在四川省选择全国新课标卷II的条件下，所有可能的有S2A1B1，S2A2B1，S2A1B2，S2A2B2四个基本事件，其中恰有两个省选择全国新课标卷II 有两个基本事件，设“四川省选择全国新课标卷II的条件下，四川省在内的三个省中恰有两个省在2016年选择全国新课标卷II”为事件M，∴．（II）由题意，每个省选择全国高考新课标卷I和全国新课标卷II的概率都是，四川省在选择选择全国新课标卷II前，前三个省选择全国新课标卷II的省份个数为X，则，∴X=0，1，2，3，，，，，∴X的分布列为∴．【点评】本题考查了条件概率计算公式、二项分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．如图1在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，D，E分别是AC，BC边上的中点，M为CD的中点，现将△CDE沿DE折起，使点A在平面CDE内的射影恰好为M．（I）求AM的长；（Ⅱ）求面DCE与面BCE夹角的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算．【专题】空间向量及应用．【分析】（I）由题意和等边三角形的知识可得；（II）在平面ABED内，过AD的中点O作AD的垂线OF，交BE于F点，以OA为x轴，OF为y轴，OC为z轴建立坐标系，由垂直关系可得面BCE的法向量，进而可得cos＜，＞的值，即得答案．【解答】解：（I）由已知可得AM⊥CD，又M为CD的中点，∴；（II）在平面ABED内，过AD的中点O作AD的垂线OF，交BE于F点，以OA为x轴，OF为y轴，OC为z轴建立坐标系，可得，∴，，设为面BCE的法向量，由可得=（1，2，﹣），∴cos＜，＞==，∴面DCE与面BCE夹角的余弦值为【点评】本题考查空间向量与立体几何，建系是解决问题的关键，属中档题．19．数列{a n}满足na n+1﹣（n+1）a n=0，已知a1=2．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=，b n的前n项和为S n，求证：S n＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（I）通过na n+1=（n+1）a n可得=2，进而可得结论；（II）通过a n=2n可得b n=2n（2n+1），放缩即得＜（﹣），并项相加即得结论．【解答】（I）解：∵na n+1=（n+1）a n，∴，∴a n+1=2（n+1），∴a n=2n；（II）证明：∵a n=2n，∴a2n=4n，a2n+1=2（2n+1），∴，∴，∴=（n∈N*）．【点评】本题考查求数列的通项及数列的和的范围，利用放缩法及并项相加法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．20．给定椭圆C：=1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程．（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，且l1，l2分别交其“准圆”于点M，N．①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求l1，l2的方程；②求证：|MN|为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；压轴题；分类讨论．【分析】（I）由椭圆的方程与准圆的方程关系求得准圆的方程（II）（1）由准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P（0，2），设椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2，与准圆方程联立，由椭圆与y=kx+2只有一个公共点，求得k．从而得l1，l2方程（2）分两种情况①当l1，l2中有一条无斜率和②当l1，l2都有斜率处理．【解答】解：（I）因为，所以b=1所以椭圆的方程为，准圆的方程为x2+y2=4．（II）（1）因为准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P（0，2），设过点P（0，2），且与椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2，所以，消去y，得到（1+3k2）x2+12kx+9=0，因为椭圆与y=kx+2只有一个公共点，所以△=144k2﹣4×9（1+3k2）=0，解得k=±1．所以l1，l2方程为y=x+2，y=﹣x+2．（2）①当l1，l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率，因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，当l1方程为时，此时l1与准圆交于点，此时经过点（或）且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1（或y=﹣1），即l2为y=1（或y=﹣1），显然直线l1，l2垂直；同理可证l1方程为时，直线l1，l2垂直．②当l1，l2都有斜率时，设点P（x0，y0），其中x02+y02=4，设经过点P（x0，y0）与椭圆只有一个公共点的直线为y=t（x﹣x0）+y0，则，消去y得到x2+3（tx+（y0﹣tx0））2﹣3=0，即（1+3t2）x2+6t（y0﹣tx0）x+3（y0﹣tx0）2﹣3=0，△=[6t（y0﹣tx0）]2﹣4•（1+3t2）[3（y0﹣tx0）2﹣3]=0，经过化简得到：（3﹣x02）t2+2x0y0t+1﹣y02=0，因为x02+y02=4，所以有（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）=0，设l1，l2的斜率分别为t1，t2，因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点，所以t1，t2满足上述方程（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）=0，所以t1•t2=﹣1，即l1，l2垂直．综合①②知：因为l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，且l1，l2垂直，所以线段MN为准圆x2+y2=4的直径，所以|MN|=4．【点评】本题主要考查直线与曲线的位置关系，通过情境设置，拓展了圆锥曲线的应用范围，同时渗透了其他知识，考查了学生综合运用知识的能力．21．已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】压轴题．【分析】利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函数的增区间（或减区间），对于本题的（1）在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况；（2）点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，即切线斜率为1，即f'（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由t∈[1，2]，且g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数可知：，于是可求m的范围．（3）是近年来高考考查的热点问题，即与函数结合证明不等式问题，常用的解题思路是利用前面的结论构造函数，利用函数的单调性，对于函数取单调区间上的正整数自变量n有某些结论成立，进而解答出这类不等式问题的解．【解答】解：（Ⅰ）当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a=0时，f（x）不是单调函数（Ⅱ）得a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=﹣2∴由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（Ⅲ）令a=﹣1此时f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以f（1）=﹣2，由（Ⅰ）知f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴∴【点评】本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，已知函数曲线上一点求曲线的切线方程即对函数导数的几何意义的考查，考查求导公式的掌握情况．含参数的数学问题的处理，构造函数求解证明不等式问题．。
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2014年秋期普通高中三年级第一次诊断测试数 学（理工农医类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑． 一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分；在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}102,73<<=<≤=x x B x x A ,则=B A(A) {}73<≤x x (B) {}73<<x x (C) {}72<≤x x (D) {}102<≤x x 2.函数)2sin(1π-+=x y 的图象(A) 关于x 轴对称 (B) 关于y 轴对称 (C) 关于原点对称 (D)关于直线2π=x 对称3．二项式52)1xx +（的展开式中，x 的系数为 (A) 10 (B) 15 (C) 20 (D) 254.给出下列三个命题：①命题p ：x R ∃∈,使得012<-+x x ， 则p ⌝：x R ∀∈，使得012≥-+x x② ”或“15-<>x x 是“2450x x -->”的充要条件.③若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题.其中正确．．命题的个数为 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 35．执行如图所示的程序框图，输出的S 值是 (A) 2 (B) 4(C) 8(D) 166.顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点)24(--，P 的抛物线的标准方程是 (A) x y -=2 (B) y x 82-=(C) x y 82-=或y x -=2(D) x y -=2或y x 82-=7.有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中小明必须站在正中间，并且小李、小张两位同学要站在一起， 则不同的站法有 (A) 192种(B) 120种(C) 96种 (D) 48种8.已知单位向量m 和n 的夹角为60,记a =n -m , 2b =m , 则向量a 与b 的夹角为 (A)30(B) 60 (C) 120 (D)1509.双曲线)0,012222>>=-b a by a x （的左右焦点为21F F ，,P 是双曲线右支上一点，满足条件212F F PF =,直线1PF 与圆222a y x =+相切，则双曲线的离心率为(A)45(B)3 (C)332 (D)3510.设函数⎩⎨⎧>≤=0,log 0,2)(2x x x x f x ，若对任意给定的),1(+∞∈t ，都存在唯一的R x ∈，满足at t a x f f +=222))((，则正实数．．．a 的最小值是(A) 2 (B)12 (C) 14 (D)第Ⅱ卷（非选择题，共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．试题卷上作答无效. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.已知i 是虚数单位，则21i i=+▲.12.函数x x x f ln )(2+=的图像在点)1,1(A 处的切线方程为▲.13.在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为,,a b c ，且满足B a A b cos sin =，则角B 的大小为▲.14.在正方体1111D C B A ABCD -中，点P 是上底面1111D C B A 的中心，点Q 在线段PD 上运动，则异面直线BQ 与11D A 所成角θ最大时，=θcos ▲.15.对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个结论：①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立； ②()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立； ③函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； ④对任意0x >，不等式2()f x x≤恒成立． 则其中所有正确结论的序号是▲.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．不能答试卷上，请答在答题卡相应的方框内. 16.（本题满分12分）已知函数)0(sin cos sin 2cos )(22>-+=ωωωωωx x x x x f ，且周期为π. （I ）求ω的值；（II ）当x ∈[20π，]时，求)(x f 的最大值及取得最大值时x 的值.17.（本题满分12分）在2014年11月4日宜宾市举办的四川省第十四届少数民族传统体育运动会的餐饮点上，某种茶饮料一天的销售量与该天的日平均气温(单位：℃)有关，若日平均气温不超过15 ℃，则日销售量为100瓶；若日平均气温超过15℃但不超过20 ℃，则日销售量为150 瓶；若日平均气温超过20 ℃，则日销售量为200瓶．据宜宾市气象部门预测，该地区在运动会期间每一天日平均气温不超过15 ℃，超过15 ℃但不超过20 ℃，超过20 ℃这三种情况发生的概率分别为P 1，P 2，P 3，又知P 1，P 2为方程5x 2－3x ＋a ＝0的两根，且P 2＝P 3. （I ）求P 1，P 2，P 3的值；（II ）记ξ表示该茶饮料在运动会期间任意两天的销售量总和(单位：瓶)，求ξ的分布列及数学期望．18.（本题满分12分）如图，一简单几何体ABCDE 的一个面ABC 内接于圆O, G 、H 分别是AE 、BC 的中点，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，且DC ⊥平面ABC. （I ）证明:GH //平面ACD ；（II ）若AC=BC=BE =2,求二面角O-CE-B 的余弦值.19. （本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，向量)1,n S （=a ,)21,12-=n（b ,满足条件b a λ=,R ∈λ且0≠λ.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设函数xx f )21()(=，数列{}n b 满足条件21=b ，)(,)3(1)(1*+∈--=N n b f b f n n(i) 求数列{}n b 的通项公式；(ii)设nnn a b c =，求数列{}n c 的前n 和n T .20. （本题满分13分）已知点Q P ,的坐标分别为(2,0)-，(2,0)，直线QM PM ,相交于点M ,且它们的斜率之积是14-（I ）求点M 的轨迹方程；（II ）过点O 作两条互相垂直的射线，与点M 的轨迹交于,A B 两点.试判断点O 到直线AB 的距离是否为定值.若是请求出这个定值，若不是请说明理由.21. （本题满分14分）已知函数c bx ax x x f +++=234)(，在y 轴上的截距为5-，在区间[]10，上单调递增，在[]21，上单调递减，又当2,0==x x 时取得极小值. （I ）求函数)(x f 的解析式；（II ）能否找到函数)(x f 垂直于x 轴的对称轴，并证明你的结论；（Ⅲ）设使关于x 的方程5)(22-=x x f λ恰有三个不同实根的实数λ的取值范围为集合A ，且两个非零实根为12,x x ,试问：是否存在实数m ，使得不等式2122x x tm m -≤++对任意[]A t ∈-∈λ,3,3恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.高中2012级一诊测试数学（理工类）试题参考答案及评分意见说明：一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题（每小题5分，共25分）11. 1+i 12. 3x-y-2=0 13. 4π14.615. ①③④三、解答题（共75分）16.解：(1)∵)2sin 222cos 22(22sin 2cos )(x x x x x f ωωωω+=+=.....（2分） =)42sin(2πω+x ..................................................................（4分）∵π=T 且0ω>， 故1,22==ωπωπ则......................................................................（6分）(2):由(1)知)42sin(2)(π+=x x f∵20π≤≤x ∴45424πππ≤+≤x ................................................................................（7分） ∴1)42sin(22≤+≤-πx . ∴2)42sin(21≤+≤-πx .......................................................................................（9分）∴当242ππ=+x 时，即8π=x ，y 取得最大值为2............................................（12分）17.解：（I ）由已知得1231223135P P P P P P P++=⎧⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，解得：12122,,.............4555P P P ===（分） （II ）ξ的可能取值为200，250，300，350，400 ...........................5（分）11(200),55124(250)2,552512228(300)2,555525228(350)2,5525224(400) (105525)P P P P P ξξξξξ==⨯==⨯⨯===⨯⨯+⨯===⨯⨯===⨯=（分）随机变量ξ的分布列为所求的数学期望为14884200250300350400320() (122525252525)E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=瓶（分） 18.解： (1)证明：连结GO,OH∵GO//AD,OH//AC ...................................................................................................................（2分）∴GO//平面ACD,OH//平面ACD,又GO 交HO 于O ...............................................................（.4分）∴平面GOH//平面ACD..........................................................................................................（5分） ∴GH//平面ACD.....................................................................................................................（6分） (2)法一：以CB 为x 轴，CB 为y 轴，CD 为z 轴，建立如图所示的直角坐标系 则C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),O(1,1,0),E(2,0,2)平面BCE 的法向量)0,1,0(=，设平面OCE 的法向量),,(000z y x =.......................（8分）)0,1,1(),2,0,2(==∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00CO n 则⎩⎨⎧=+=+0220000y x z x ，故⎩⎨⎧-=-=0000x y x z令)1,1,1(,10-=-=n x ..........................................................................................................（10分）∵二面角O-CE-B 是锐二面角，记为θ，则33311,cos cos =⨯==⋅><=θ................................................................（12分） 法二：过H 作HM ⊥CE 于M ，连结OM∵DC ⊥平面ABC ∴平面BCDE ⊥平面ABC 又∵AB 是圆O 的直径 ∴AC ⊥BC,而AC//OH∴OH ⊥BC ∴OH ⊥平面BCE ..........................................................................................（8分） ∴OH ⊥CE ,又HM ⊥CE 于M ∴CE ⊥平面OHM∴CE ⊥OM ∴OMH ∠是二面角O-CE-B 的平面角...................................................（10分） 由,~CBE Rt CMH Rt ∆∆且CE=22. ∴2212=⇒=HM CE CH BE HM ∴22=HM 又OH=121=AC在2622122=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∆OH OHM Rt 中，. .................................................................（11分） ∴332622cos ===∠OH HM OMH ......................................................................................（12分）19.（Ⅰ）因为a=λb 所以22,12211-=-=+n n n n S S .当2≥n 时，n n n n n n S S a 2)22()22(11=---=-=+- ...........................................（2分）当1=n 时，2221111=-==+S a ，满足上式所以n n a 2= ..................................................................（4分）（Ⅱ）（ⅰ）)3(1)(,)21()(1n n x b f b f x f --==+ 11(b )(3)n n f f b +=-- n n b b --=∴+3)21(1)21(1nn b b +=∴+321211∴ 31+=+n n b b3-1=+n n b b ，又2)1(1=-=f b ∴{}n b 是以2为首项3为公差的等差数列∴13-=n b n ................................................................（8分）（ⅱ） n n n n n a b c 213-==n n n n n T 2132432825221321-+-+⋅⋅⋅+++=-143221324328252221+-+-+⋅⋅⋅+++=n n n n n T-得1432213-23232323121+-+⋅⋅⋅++++=n n n n T112132-1)21-1413121+---⋅+=n n n n T （11213)21-123121+---+=n n n n T （n n n n T 213)21-1321--+=-（n n n n T 21323-321--+=-nn n T 253-5+= ................................................................（12分）20.（Ⅰ）解：,)Mx y （，由题可得1.224y y x x =-+- ..............................（4分） 2214x y +=所以点M 的轨迹方程为2214x y +=2)x ≠±（ . .............................（6分 ） （Ⅱ）点O 到直线AB 的距离为定值 ，设),(),,(2211y x B y x A ,① 当直线AB 的斜率不存在时，则AOB ∆为等腰直角三角形，不妨设直线OA ：x y =将x y =代入1422=+y x ，解得552±=x 所以点O 到直线AB 的距离为552=d ； ............................（8分） ② 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为m kx y +=与2212)4x y x +=≠±（联立消去y 得222(14)8440k x kmx m +++-=122814km x x k +=-+，21224414m x x k -=+ ............................（9分） 因为OB OA ⊥，所以02121=+y y x x ，1212()()0x x kx m kx m +++= 即0)()1(221212=++++m x x km x x k所以2222222448(1)01414m k m k m k k-+-+=++，整理得2254(1)m k =+，........................（12分 ）所以点O 到直线AB 的距离d ==综上可知点O 到直线AB 的距离为定值552........................（13分 ）21.解：（Ⅰ）易知5c =- ……………………(1分)又32()432f x x ax bx '=++由(1)0f '=，得32 4.................................a b +=-①……………………(2分) 令()0f x '=，得2(432)0x x ax b ++=由(2)0f '=，得380.................................a b ++=②……………………(3分)由①②得4,4b a ==- 432()445f x x x x ∴=-+- ……………………(4分)（Ⅱ）若()f x 关于直线x t =对称（显然0t ≠）， 则取点(0,5)A -关于直线对称的点(2,5)A t '-必在()f x 上，即(2)5f t =-，得22(21)0t t t -+= ……………………(6分) 又0t≠1t ∴= ……………………(7分)验证，满足(1)(1)f x f x -=+ ……………………(9分)（也可直接证明()()f t x f t x -=+，计算较繁琐；） （Ⅲ）由（1）知，432224455x x x x λ-+-=-，即4322244x x x x λ-+=又0x=为其一根，得224(4)0x x λ-+-=22164(4)40λλ∴∆=--=>且21240x x λ=-≠故{|022}A R λλλλ=∈≠≠≠-且且 ……………………(10分)又1221244x x x x λ+=⎧⎨=-⎩，得222121212()()44x x x x x x λ-=+-=，12||2||x x λ∴-=，故,2||0A λλ∀∈>且2||4λ≠ , ……………………(11分)2[3,3],,22||t A m tm λλ∴∀∈-∈++≤对使恒成立’即只需[3,3],t ∀∈-220m tm ++≤恒成立 ……………………(12分)设2()2,[3,3]g t mt m t =++∈-(3)012(3)021g m g m ≤≤≤⎧⎧∴⇒⇒⎨⎨-≤-≤≤-⎩⎩无解 即不存在满足题意的实数m. ……………………(14分)。