高等代数线性变换分解
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线性变换的加法满足以下运算规律： (1) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C (2) A + B = B + A
线性变换
§2 线性变换的运算
( kA ) k A , V
定义2 设 A∈L(V)，k∈P，对k与 A 的数量乘积 kA 定义为：
结论2 对∀A ∈L(V)，k∈P 有 kA∈L(V)。 线性变换的数量乘法满足以下运算规律： (1) (kl)A = k(lA) (2) (k+l)A = kA + lA (3) k(A + B) = kA + kB (4) 1A = A 结论3 设V是数域P上的线性空间，L(V)对以上定义的加法和
(3)
wk.baidu.com
A ( BC ) = ( A B )C
(4) k( AB ) = ( kA )B = A ( kB ) 例1 在R 2中，设A(x, y)=(y, x)，B(x, y)=(0, x)，则A, B是R2中的 线性变换，求A + B，AB，BA，3A-2B。
线性变换
§2 线性变换的运算
三、可逆的线性变换
A m n A m A n ,
(A m )n A mn ,
m, n N
若A是可逆的，则以上法则对任意整数m，n都成立。
注意： 由于线性变换的乘法不满足交换律，故( AB ) ≠ A B 。
n
n n
线性变换 定义5 设
§2 线性变换的运算
f ( x) an xn an1xn1 a1x a0 P[ x]
2 ) (4) A( x1, x2 , x3 ) ( x12 , x2 x3 , x3
线性变换
§1 线性变换的定义
二、线性变换的性质
性质1 设 A 是V的线性变换，则 A (0) 0, A ( ) A ( )
性质2 线性变换保持线性组合与线性关系式不变。
性质3 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。 注意： 线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的 向量组。 例3 设 1 , 2 ,, r 是线性空间V的一组向量，A 是V的一个线 性变换。证明：
线性变换
§2 线性变换的运算
四、线性变换的多项式
线性变换的幂 设 A∈L(V)，由于线性变换的乘法满足结合律，
因此对任意取定的正整数n，n个A 的乘积AA…A是一个确定的
线性变换，记为: An。
-n -1 n 0
若A是可逆的，定义A = (A ) 。对任意的A∈L(V)，定义A =E。
根据线性变换幂的定义，其指数运算规律为：
线性变换
第七章
线性变换
线性变换
§1 线性变换的定义
§1 线性变换的定义
一、线性变换的定义
定义1 设V与W是数域P上的线性空间，A 是V到W的一个映射， 如果下列两个条件满足，则称 A 是V到W的一个线性映射： (1) , V , A( ) A( ) A( ) (2) V , k P, A(k ) kA( ) 特别：当W = V时，A 称为线性空间V的一个线性变换。
例2 在P 3中，下面定义的变换 A 是否为线性变换。 (1) A( x1 , x2 , x3 ) ( x1 x2 , x2 x3 , x3 x1 ) (2) A( x1 , x2 , x3 ) (1, x1 x2 x3 ,1) (3) A( x1 , x2 , x3 ) (0, x1 x2 x3 , 0)
A L(1 , 2 ,, r ) L(A1 , A 2 ,, A r )
线性变换
§2 线性变换的运算
§2 线性变换的运算
一、线性变换的加法和数量乘法
定义1 设A，B∈L(V)，对A 与B 的和 A + B 定义为：
( A B) A B , V
结论1 对∀A，B ∈L(V)，有 A +B ∈L(V)。
则对∀A∈L(V) ， f (A) anA n an1A n1 a1A a0E 称为线性变换 A 的多项式。
结论6 设f(x), g(x)∈P[x], A ∈L(V), 若h(x)=f(x)+g(x), p(x)=f(x)g(x)
即同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的。
数量乘法也构成数域P上的一个线性空间。
线性变换
§2 线性变换的运算
二、线性变换乘法
定义3 设 A, B∈L(V)，对A 与 B 的乘积 AB 定义为：
( AB) A(B ), V
结论4 对∀A, B ∈L(V)，有 AB ∈L(V)。 线性变换的乘法满足以下运算规律： (1) A ( B + C ) = AB + AC (2) ( B + C )A = BA + CA 注意：线性变换的 乘积不满足交换律。
则h(A) = f(A)+g(A), p(A) = f(A)g(A)。特别地, f(A)g(A)=g(A)f(A)，
定义4 设 A∈L(V)，若存在B∈L(V)，使得 AB = BA = E，则称 A 是可逆的，且B 是 A 的逆变换，记为：B = A-1。 结论5 若A∈L(V)，且 A 是可逆的，则A-1唯一，且 A-1∈L(V)。 简单性质： (1) ( A-1)-1 = A (2) ( AB)-1 = B-1A-1 例2 设1 , 2 ,, n 是线性空间V的一组基，A 是V的一个线性 变换，证明：A 可逆当且仅当 A1 , A 2 ,, A n 线性无关。 例3 设 A 是n维线性空间V的一个线性变换，V1与V2是V的子空 间，且 V V1 V2 , 证明：A 可逆当且仅当 V AV1 AV2 .
线性变换 (1) (2) (3) (4)
§1 线性变换的定义
例1 判断下列所定义的变换 A 是否为线性变换。 在线性空间V中，A x = x+a，a为V中一固定向量； 在线性空间V中，A x = a，a为V中一固定向量； 在P [x]中，A f (x) = f (x+1) ； 在P [x]中，A f (x) = f (x0)，x0为P中一固定数；
线性变换
§2 线性变换的运算
( kA ) k A , V
定义2 设 A∈L(V)，k∈P，对k与 A 的数量乘积 kA 定义为：
结论2 对∀A ∈L(V)，k∈P 有 kA∈L(V)。 线性变换的数量乘法满足以下运算规律： (1) (kl)A = k(lA) (2) (k+l)A = kA + lA (3) k(A + B) = kA + kB (4) 1A = A 结论3 设V是数域P上的线性空间，L(V)对以上定义的加法和
(3)
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A ( BC ) = ( A B )C
(4) k( AB ) = ( kA )B = A ( kB ) 例1 在R 2中，设A(x, y)=(y, x)，B(x, y)=(0, x)，则A, B是R2中的 线性变换，求A + B，AB，BA，3A-2B。
线性变换
§2 线性变换的运算
三、可逆的线性变换
A m n A m A n ,
(A m )n A mn ,
m, n N
若A是可逆的，则以上法则对任意整数m，n都成立。
注意： 由于线性变换的乘法不满足交换律，故( AB ) ≠ A B 。
n
n n
线性变换 定义5 设
§2 线性变换的运算
f ( x) an xn an1xn1 a1x a0 P[ x]
2 ) (4) A( x1, x2 , x3 ) ( x12 , x2 x3 , x3
线性变换
§1 线性变换的定义
二、线性变换的性质
性质1 设 A 是V的线性变换，则 A (0) 0, A ( ) A ( )
性质2 线性变换保持线性组合与线性关系式不变。
性质3 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。 注意： 线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的 向量组。 例3 设 1 , 2 ,, r 是线性空间V的一组向量，A 是V的一个线 性变换。证明：
线性变换
§2 线性变换的运算
四、线性变换的多项式
线性变换的幂 设 A∈L(V)，由于线性变换的乘法满足结合律，
因此对任意取定的正整数n，n个A 的乘积AA…A是一个确定的
线性变换，记为: An。
-n -1 n 0
若A是可逆的，定义A = (A ) 。对任意的A∈L(V)，定义A =E。
根据线性变换幂的定义，其指数运算规律为：
线性变换
第七章
线性变换
线性变换
§1 线性变换的定义
§1 线性变换的定义
一、线性变换的定义
定义1 设V与W是数域P上的线性空间，A 是V到W的一个映射， 如果下列两个条件满足，则称 A 是V到W的一个线性映射： (1) , V , A( ) A( ) A( ) (2) V , k P, A(k ) kA( ) 特别：当W = V时，A 称为线性空间V的一个线性变换。
例2 在P 3中，下面定义的变换 A 是否为线性变换。 (1) A( x1 , x2 , x3 ) ( x1 x2 , x2 x3 , x3 x1 ) (2) A( x1 , x2 , x3 ) (1, x1 x2 x3 ,1) (3) A( x1 , x2 , x3 ) (0, x1 x2 x3 , 0)
A L(1 , 2 ,, r ) L(A1 , A 2 ,, A r )
线性变换
§2 线性变换的运算
§2 线性变换的运算
一、线性变换的加法和数量乘法
定义1 设A，B∈L(V)，对A 与B 的和 A + B 定义为：
( A B) A B , V
结论1 对∀A，B ∈L(V)，有 A +B ∈L(V)。
则对∀A∈L(V) ， f (A) anA n an1A n1 a1A a0E 称为线性变换 A 的多项式。
结论6 设f(x), g(x)∈P[x], A ∈L(V), 若h(x)=f(x)+g(x), p(x)=f(x)g(x)
即同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的。
数量乘法也构成数域P上的一个线性空间。
线性变换
§2 线性变换的运算
二、线性变换乘法
定义3 设 A, B∈L(V)，对A 与 B 的乘积 AB 定义为：
( AB) A(B ), V
结论4 对∀A, B ∈L(V)，有 AB ∈L(V)。 线性变换的乘法满足以下运算规律： (1) A ( B + C ) = AB + AC (2) ( B + C )A = BA + CA 注意：线性变换的 乘积不满足交换律。
则h(A) = f(A)+g(A), p(A) = f(A)g(A)。特别地, f(A)g(A)=g(A)f(A)，
定义4 设 A∈L(V)，若存在B∈L(V)，使得 AB = BA = E，则称 A 是可逆的，且B 是 A 的逆变换，记为：B = A-1。 结论5 若A∈L(V)，且 A 是可逆的，则A-1唯一，且 A-1∈L(V)。 简单性质： (1) ( A-1)-1 = A (2) ( AB)-1 = B-1A-1 例2 设1 , 2 ,, n 是线性空间V的一组基，A 是V的一个线性 变换，证明：A 可逆当且仅当 A1 , A 2 ,, A n 线性无关。 例3 设 A 是n维线性空间V的一个线性变换，V1与V2是V的子空 间，且 V V1 V2 , 证明：A 可逆当且仅当 V AV1 AV2 .
线性变换 (1) (2) (3) (4)
§1 线性变换的定义
例1 判断下列所定义的变换 A 是否为线性变换。 在线性空间V中，A x = x+a，a为V中一固定向量； 在线性空间V中，A x = a，a为V中一固定向量； 在P [x]中，A f (x) = f (x+1) ； 在P [x]中，A f (x) = f (x0)，x0为P中一固定数；