高等代数线性变换分解

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《高等代数》第七章线性变换

线性变换的多项式有以下性质：
1) f (A ) 是一线性变换.
2) 如果在 P[ x ] 中，有 h(x) = f (x) + g(x) , p(x) = f (x) g(x) ,
那么
h(A ) = f (A ) + g(A ) , p(A ) = f (A ) g(A ) .
特别地，
f (A ) g(A ) = g(A ) f (A ) .
定义为数乘k变A 换= ,K可A用, K 表示. 显然，当 k = 1 时
即
们(k便A得)恒(等) =变K换(，A当(k) =) =0 K时A，便(得) .零变换.
显然，k A 还是线性变换. 2. 运算规律 1) ( kl ) A = k ( l A ) , 2) ( k + l ) A = k A + l A , 3) k (A + B ) = k A + k B , 4) 1 A = A .
证毕
五、线性变换的多项式
下面引进线性变换的多项式的概念.
1. 线性变换的幂
既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线
性变换 A 重复相乘时，其最终结果是完全确定的,
与乘积的结合方式无关. 因此当 n 个( n 是正整数)
线性变换 A 相乘时，我们就可以用 A A ... A
n个
来表示，称为 A 的 n 次幂，简单地记作 A n. 即
对于线性变换，我们已经定义了乘法、加法与数量乘法三种运算. 由加法与数量乘法的性质可知, 线性空间 V 中全体线性变换，对于如上定义的加法与数量乘法，也构成数域 P 上一个线性空间.
对于线性变换，我们也可定义逆变换.
四、线性变换的逆变换
1. 定义定义5 线性空间 V 的线性变换 A 称为可逆的如果有 V 的变换 B 存在，使

《高等代数》线性变换PPT课件

的列是
x 1
A
x2
.
x n
综合上面所述, 我们得到坐标变换公式：
定理7.3.1 令V是数域F上一个n 维向量空间，σ是 V的一个线性变换，而σ关于V的一个基
{1,2, ,的n 矩}阵是
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
an1 an2 ann
如果V中向量ξ关于这个基的坐标是 (x1,x2, ,xn，) 而σ(ξ)的坐标是 (y1,y2, ,yn)，
例1 对于 R 2 的每一向量x1,x2定义
x 1 ,x 1 x 2 ,x 1 x 2 R 3
σ是 R 2到 R 3的一个映射，我们证明，σ是一个线
性映射.
例2 令H是V 3 中经过原点的一个平面.对于 V 3 的每一
向量ξ，令表示向量ξ在平面H上的正射影.根据射影的性质， : 是到V 3 的V一3 个线性映射.
x1
( 1,
2
,
,
n
)
x2
.
xn
因为σ是线性变换，所以
() x1(1)x2(2)xn(n)
（2）
x1
((1),(2),,(n))
x2
.
xn
将（1）代入（2）得
x1
(
)
(1,2
,,
n
)
A
x2
.
xn
最后，等式表明，( )关 ( 1 , 于 2 , n )的坐标所组成
定理7.1.2 设V和W是数域F向量空间，而是一个线性
射，那么
:VW
(i) σ是满射 Im)(W
(ii) σ是单射 K(e )r{0}

(完整word版)第七章线性变换总结篇(高等代数).docx

第 7 章线性变换7.1 知识点归纳与要点解析一．线性变换的概念与判别1. 线性变换的定义数域P 上的线性空间 V 的一个变换称为线性变换，如果对 V中任意的元素,和数域 P 中的任意数k ，都有：，kk。

注： V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。

2. 线性变换的判别设为数域 P 上线性空间 V 的一个变换，那么：为 V 的线性变换k l k l , , V , k,l P3. 线性变换的性质设 V 是数域 P 上的线性空间，为 V 的线性变换，1 ,2 ,, s ,V 。

性质 1.0 0,;性质 2. 若 1 , 2 , , s 线性相关，那么1,2 ,,s也线性相关。

性质 3. 设线性变换为单射，如果 1 , 2 ,, s 线性无关，那么1 ,2,,s也线性无关。

注：设 V 是数域 P 上的线性空间，1,2 ,, m，1,2,, s 是 V 中的两个向量组，如果：1 c111c122 c1ss2c211c222c2ssmcm1 1cm22cms s记：c11c21cm11, 2 ,, m1, 2 ,c12c22 cm2, sc1sc2scms于是，若 dim Vn ， 1, 2 , ,n 是 V 的一组基，是 V 的线性变换， 1 , 2 , , m 是V 中任意一组向量，如果：1 b111b12 2b1n n2b 21 1 b 22 2 b 2 n nmbm11bm22bmnn记：1 ,2 ,, m1 ,2 m那么：b11b21cm11, 2 ,, m1, 2 ,b12 b22 cm2, nb1nb2ncmnb11b21cm1设 Bb 12b 22c m2， 1 ,2 ,,m 是矩阵B 的列向量组，如果i , i ,, i 是12rb1n b2n cmn1 , 2,, m 的一个极大线性无关组，那么i 1 ,i 2 i r就是1,2m 的一个极大线性无关组，因此向量组1,2m的秩等于秩B 。

高等代数第7章线性变换[1]

一、线性变换的乘法及其性质
设A,BL(V), 定义A与B 的乘积为V 的一个变换, "aV, 有 (AB)(a) = A(B(a))． 1. AB 也是线性变换．
证因为"a, bV和"k, lP, 有 (AB)(ka+lb) = A(B(ka+lb)) = A(kB(a)+lB(b)) = A(kB(a))+A(lB(b)) = kA(B(a))+lA(B(b)) = k(AB)(a )+l(AB)(b)．
称矩阵
a11 a12 a1n a a a 2n 21 22 A a n1 a n 2 a nn
为线性变换A在基e1, e2, …, en下的矩阵.
采用矩阵形式记号，可写成 [ Ae1, Ae2, …, Aen]
a11 = [e1, e2, …, en ] a 21 a n 1 a12 a 22 an 2 a1n a2 n a nn
设
f (x)=amxm+am-1xm-1+…+a0
是P[x]中一多项式, A是V的线性变换,
定义
f(A)=amAm+am-1Am-1+…+a0E f(A)是线性变换,称为线性变换A的多项式
若在P[x]中 h(x)=f(x)+g(x)， p(x)=f(x)g(x)，则 h(A)=f(A)+g(A)， p(A)=f(A)g(A)，特别地，
三、线性变换的数量乘法及其性质
设AL(V), kP, 定义k与A的数量乘积为V的一个变换, 使得
kA = KA
其中K为由k决定的数乘变换, 即"a V

高代考研辅导第8章线性变换

八．线性变换1.（中国科学院2006）若α为一实数，试计算11lim nn n nαα→+∞⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭。

解令11n A nαα⎛⎫⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，容易求得A 的两个特征值为1,1i i n n αα+-，相应的特征向量为1,1i i ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

令11i P i ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1111112i i P i i --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，使得11001i n A P P i n αα-⎛⎫+ ⎪= ⎪ ⎪-⎪⎝⎭，1(1)00(1)n nn i n A P P i n αα-⎛⎫+ ⎪=⎪ ⎪- ⎪⎝⎭。

注意1(1)1lim lim in in in n n i i e n ααααα→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎢⎥+=+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦，(1)lim n i n i e nαα-→∞-=，所以11011120lim ini n i i e A i i e αα-→∞-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos sin 1sin cos 2i ii i iii i e e ie ie ie ie e e αααααααααααα----⎛⎫+-+⎛⎫== ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭。

2.（华南理工大学2006）设()n V M F =表示数域F 上n 阶全体矩阵的向量空间。

定义：(),()T n A A A M F σ=∀∈。

（1）证明：σ是线性变换；（2）求σ的全部特征子空间；（3）证明：σ可对角化。

证明（1）,(),n A B M F k F ∀∈∀∈，有()()()()T T T A B A B A B A B σσσ+=+=+=+，()()()T T kA kA kA k A σσ===，所以σ是线性变换；（2）设λ是σ的特征值，A 为对应于λ的特征向量（某个非零矩阵），则()A A σλ=，22()()T T A A A A σλ===，于是21λ=，得1λ=±。

第七章线性变换

1
,即A
1
B .
可以证明，可逆线性变换一定是双射，从而它就是线性空间到其自身的同构映射。
类似于方阵的幂与多项式概念，关于线性变换，也有所谓幂与多项式概念，具体如下定义 1.7 设 A L(V ), 利用乘法定义可以归纳地定义线性变换的正整数次幂：
2
A
A A , A
3
A
2
A , , A
第七章
线性变换
变换的思想是数学中一个十分重要的思想，几乎可以说无处不在，也可以这么说，如果不研究变换，数学就变得死水一潭、没有意义。线性变换是高等代数中一个重要概念，它对研究线性空间本身结构有着重要作用，为矩阵运算的简化以及矩阵的分解提供了方法。
§1
线性空间上的线性变换及其运算
如果说同构映射反映了两个线性空间之间的关系，那么，这一节将要介绍的线性空间上的线性变换反映的将是线性空间到其自身的关系。定义 1.1 设 V 是数域 P 上一个线性空间，如果映射 A : V V 满足：
3
( x, y, z )T 3 , 定义 A ( x, y, 0)T 3 , 证明： A 是 3 上的线性变换。
4. 设 A 是实数域上 3 维线性空间中绕 Oz 轴由 Ox 向 Oy 方向旋转 90 的变换，证
3
明： A 是上的线性变换，并且 A 5. 6. 证明性质 1.1, 1.3.
3
4
E .
在 P[ x] 中，对任意 f ( x) P[ x], A f ( x) f' ( x), B f ( x) xf ( x), 其中 f' ( x) 是 f ( x) 的导函数，证明： AB BA E , 这里E 为恒等变换。

清华大学高等代数讲义-6

Lesson 4 Example 9 设
22
J =
2
1 2 2 3 1 3 1 3 3 3
,
则 J 的极小多项式是 mJ (x) = [(x − 2)2 , (x − 2), (x − 3)3 , (x − 3), (x − 3)] = (x − 2)2 (x − 3)3 . Theorem 20 A 可对角化 ⇐⇒ A 的极小多项式无重根.
···⊕
Hale Waihona Puke ⊕···在每个循环子空间上选定一个循环基，合起来就是 V 的基. σ 限制到每个循环子空间上，是一个循环变换 ρ 和一个数乘变换 λε 的和. 循环变换 ρ 在循环基下的矩阵是 0 1 . 0 .. , N = . .. 1 0
Lesson 4 而数乘变换 λε 的矩阵是 λI = λ λ .. . λ 因此，σ = ρ + λε 在循环基下的矩阵是 λ 1 λ N + λI = Deﬁnition 19 形如 .. .. . . . 1 λ .. .. . . 1 λ ,
λ
Lemma 2 当 µ = λ 时，(σ − µε) 证明思路: (σ − µε) U 是可逆变换
λ
Uλ
是可逆变换.
⇔ (σ − µε) U 是双射 λ ⇔ (σ − µε) U 是单射 λ ⇔ ker(σ − µε) U = {0}.
λ
Lemma 3 根子空间 U1 , U2 , · · · , Us 的和 U1 + U2 + · · · + Us 是直和. 证明思路：对子空间个数 s 作数学归纳法. 只要证明对于 αi ∈ Ui ，i = 1, 2, · · · , s， α1 + α2 + · · · + αs = 0 ⇔ αi = 0, i = 1, 2, · · · , s.

高等代数7线性变换

⾼等代数7线性变换⾼等代数7 线性变换⽬录线性变换的定义线性空间V到⾃⾝的映射通常称为V的⼀个变换。

定义线性空间V的⼀个变换A称为线性变换，如果对于V中任意的元素α,β和数域P中的任意数k都有A(α+β)=A(α)+A(β)A(kα)+k A(α)线性变换A保持向量的加法和数量乘法。

恒等变换、单位变换 E(α)=α (α∈V)零变换0 0(α)=0 (α∈V)数乘变换设V是数域P上的线性空间，k是数域P上的某个数，定义V的变换：α→kα,α∈V这是⼀个线性变换，称为由数k决定的数乘变换。

简单性质1. 线性空间V的⼀个线性变换A，则A(0)=0,A(−a)=−A(a)2. 线性变换保持线性组合不变β=k1α1+k2α2+⋯+k rαr A(β)=k1A(α1)+k2A(α2)+⋯+k r A(αr)3. 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。

线性变换的运算线性变换作为映射的特殊情形可以定义乘法运算乘法设A,B是线性空间V上的两个线性变换，它们的乘积AB为(AB)(α)=A(B(α)) (α∈V)线性变换的乘积也是线性变换。

适合结合律 (AB)C=A(BC)⼀般是不可交换的单位变换E EA=AE=A加法设A,B是线性空间V上的两个线性变换，它们的和A+B为(A+B)(α)=A(α)+B(α) (α∈V)线性变换的和还是线性变换交换律 A+B=B+A结合律 (A+B)+C=A+(B+C)零变换0 A+0=A负变换 A+(−A)=0 .负变换也是线性的。

线性变换乘法对加法具有左右分配律A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA数量乘法数域P中的数与线性变换的数量乘法为k A=KA(kl)A=k(l A)(k+l)A=k A+l Ak(A+B)=k A+k B1A=A线性空间V上全体线性变换，对于如上定义的加法与数量乘法，也构成数域P上的⼀个线性空间逆变换V上的变换A称为可逆的，如果有V的变换B存在，使 AB=BA=E这时，变换A称为A的逆变换，称为A−1如果线性变换A是可逆的，那么它的逆变换A−1也是线性变换。

高等代数第七章线性变换

高等代数第七章线性变换一、定义：变换：线性空间V到自身的映射通常称为V的一个变换线性变换=线性映射+变换更准确地说线性变换的特点就是满足线性性以及定义域和陪域都是同一个线性空间*这里说的陪域是丘维生的高等代数里提出的一个概念，与值域的每一个自变量都有因变量相对应不同的是陪域包含自变量没有因变量相对应的情况这样解释是为了类比：同构映射=线性映射+双射也就是说同构映射的特点是满足线性性以及每一个自变量都有一个因变量相对应下面引出线性变换的准确定义线性变换：如果对于V中任意的元素 \alpha,\beta和数域P 中任意数k，都有\sigma(\alpha+\beta )=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta) ，\sigma(k\alpha)=k\sigma(\alpha) 则称线性空间V的一个变换 \sigma 称为线性变换。

二、线性变换的矩阵所有线性变换的全体可以通过选取V的一组基与所有矩阵的全体建立一一对应的关系，将几何对象和代数对象建立转化。

只要取一组足够好的基，就可以得到足够好的矩阵。

某些特殊情况下，矩阵可以取成对角阵，就称线性变换可以对角化，不可对角的矩阵可以写成若尔当块的形式，则选取的基就为循环基，当做不到选取循环基时就只能上三角化或者下三角化。

三、矩阵的相似1.定义Ⅰ.①相似的定义： A,B\in P^{n\times n} ，若存在可逆矩阵 P ，使得 P^{-1}AP=B ,则称A与B是相似的②相似的标准型：若尔当标准型Ⅱ.类比合同（相抵）：本质是初等变换①合同的定义： A,B\in P^{n\times n} 若存在可逆矩阵P ，使得 PAQ=B ,则称A与B是合同的②合同的标准型：PAQ=\left( \begin{array}{cc} E_{r}&0\\ 0&0 \end{array} \right),r=r(A),E(r)=\left( \begin{array}{cc} 1&&\\ &1 &\\ &...\\ &&1 \end{array} \right)_{r\times r}③性质：若 A\sim B ，则 \left| A \right|=\left| B \right| ,r(A)=r(B)若A\sim B ，则 A,B 的特征多项式相同，极小多项式相同若 A\sim B ，则 A'\sim B'*根据定义有 P^{-1}AP=B ，两边同时转置： P'A'(P')^{-1}=B' ,则 A'\sim B'若 A\sim B ，A可逆，则 A^{-1}\sim B^{-1}若 A\sim B ，则 A^{k}\sim B^{k}若 A\sim B ， f(x)\in k[x] （f(x)是数域K上的多项式）则 f(A)\sim f(B) (A与B的多项式相似）*多项式的形式是 f(x)=x^{k}+x^{k-1}+...+x+m ,由A^{k}\sim B^{k} ，则 f(A)\sim f(B)若 A\sim B，则 A^{*}\sim B^{*} (A的伴随矩阵相似于B的伴随矩阵）四、矩阵的特征值和特征向量1.定义：对于矩阵A，若存在 x\ne0 (非零向量）， x\inK^{n} ,s,t, Ax=\lambda x ，则称 \lambda 是 A 的一个特征值， x 是 \lambda 对应的特征向量2.求特征值、特征向量①求解特征多项式f(\lambda)=\left| \lambda E_{n} -A\right|=0\Rightarrow\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n} 为特征值②求 (\lambda_{i} E_{n} -A)x=0\Rightarrowx_{1},x_{2},...,x_{n} 为特征向量3.性质：若矩阵A的特征值为 \lambda_{1},...,\lambda_{n}① tr(A)=\lambda_{1}+...+\lambda_{n} （ tr(A) 为矩阵的迹：对角线元素之和为矩阵特征值之和）② \left| A\right|=\lambda_{1}\lambda_{2}...\lambda_{n}③哈密顿-凯莱定理：特征多项式一定是零化多项式f(\lambda)=\left| \lambda E_{n}-A \right|,f(A)=0*零化多项式： f(x)\in k[x] （ f(x) 是数域K上的多项式）,若 f(A)=0 则称 f(x) 是 A 的零化多项式eg. f(x)=x^2-3x+1 则有 A^2-3A+E_{n}=0④若 f(A)=0\Rightarrow f(\lambda)=0eg. A^2-3A+E_{n}=0\Rightarrow\lambda^2-3\lambda+1=0则根据④若矩阵A的特征值为\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n}\Rightarrow A^{-1} 的特征值为\frac{1}{\lambda_{1}},\frac{1}{\lambda_{2}},...,\frac{ 1}{\lambda_{n}}\Rightarrow aA 的特征值为a\lambda_{1},a\lambda_{2},...,a\lambda_{n}\Rightarrow A^{k} 的特征值为\lambda_{1}^k,\lambda_{2}^k,...,\lambda_{n}^k五、矩阵A可对角化的判别办法① A_{n\times n} 可对角化 \Leftrightarrow n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量设 \lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{s} 是两两不同的特征值②A可对角化 \LeftrightarrowdimV_{\lambda_{1}}+dimV_{\lambda_{2}}+...+dimV_{\lambd a_{s}}=n③（充分但不必要条件）A的特征多项式无重根 \Rightarrow A可对角化六、不变子空间定义：W是线性空间V的子空间，线性变换 \sigma：V\rightarrow V ，若 \sigma(W)\subseteq W ，则称W是\sigma 的不变子空间利用定义求不变子空间。

高等代数第四章线性变换

故A在基 ,a , a 下的矩阵为
B= =
4)由2)知A = ,A =
易知A , A , 是V的一组基,且
(A , A , )=( , )
故A在基A , A , 下的矩阵为
C=
=
15.给定P 的两组基
定义线性变换A:
A = ( =1,2,3)
1)写出由基到基的过度矩阵;
2)写出在基下的矩阵;
3)写出在基下的矩阵.
A =
故A在基下的矩阵为
2)因
A = +
A(k )= + +
A = + ( )+
故A在下的矩阵为
3)因
A( )=( )( )+( ) +( )
A = ( )+( ) +
A = ( )+( ) +
故A基下的矩阵为
10.设A是线性空间V上的线性变换,如果A 0,但A =0,求证
,A , A ( >0)线性无关.
A
A(A )= + A + A + A
…………………………………………………
A（A ）= + A + A + A
故A在这组基下的矩阵为
12．设V是数域P上的维线性空间，证明：V的全体线性变换可以交换的线性变换是数乘变换.
证因为在某组确定的基下,线性变换与n级方阵的对应是双射,而与一切n级方阵可交换的方阵必为数量矩阵kE,从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换K.
Ca=(-y,x,z),C a=(-x,-y,z)
C a=(y,-x,z),C a=(x,y,z)
所以
A =B =C =E

高等代数.第七章.线性变换.课堂笔记

第七章线性变换§7.1 线性变换的定义与判别一、线性变换的定义：定义1 设V 为数域P 上线性空间，A 为V 的一个变换(即V ⟶V 的映射)，若A 保持加法和数乘运算，即A (α+β)=A (α)+ A (β),∀α,β∈V ，A (kα)=k A (α),∀k ∈P ，则称A 为V 的一个线性变换.注记：以后我们用花体拉丁字母A,B,C,...表示V 的线性变换，除了特别说明外，本章节中V 均指数域P 上有限维线性空间.例1.说明下列变换均为线性变换： (1)把V 中任一向量都映射为0（称为零变换，记作0）； (2)把V 中任一向量α映射为本身（恒等变换，记作E ）； (3)取定k ∈P ，把V 中的每一个向量α映射为kα（数乘变换，记作k ）.例2.判定下列规则σ是否为指定线性空间的线性变换： (1)ℝ,x -:σ(f (x ))=f′(x );(2)C ,a,b -: σ(f (x ))=∫f (t )dt x0;(3)P n×n : σ(A )=A +A ′,σ2(A )=SAT ，S,T 为固定二个n ×n 矩阵. (4)ℝ,x -n : σ1(f (x ))=xf (x ),σ2(f (x ))=f (x )+1. 解：可验证(1)-(3)均为线性变换，下面证明(1)： ∀ f (x )∈ℝ,x -，其导函数唯一确定，且f (x )∈ℝ,x -，因而σ为V ⟶V 的变换，即V 的一个变换，σ(f (x )+g (x ))=(f (x )+g (x ))′=f ′(x )+g ′(x )= σ(f (x ))+ σ(g (x )), ∀k ∈ℝ,σ(kf (x ))=(kf (x ))′=kf ′(x )=kσ(f (x )).(4): σ1与σ2均不是线性变换，取f (x )=x n−1+1=ℝ,x -n ，但σ1(f (x ))=xf (x )=x n +x ∉ℝ,x -n ，因而σ1不是ℝ,x -n 的一个变换， σ2是ℝ,x -n 的一个变换，但运算不保持，因而不是线性变换.习题：P320、1例3.设α为通常几何空间ℝ3中固定的向量，把空间中每个向量η映射为η在α上的内映射（正投影），即Πα: η⟶(α∙η)(α∙α)α是ℝ3的线性变换，这里(α∙η),(α∙α)表示通常向量的内积.证：如图，Πα(η)=OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =ηcos (η∙α)α|α|=(α∙η)(α∙α)α，唯一确定，从而Πα为ℝ3的一个变换，如图，AC ⊥W(垂足为C)，OCD LA Wα1α2η因此L 与W 为ℝ3的子空间且ℝ3=W ⊕L ，令 η=α1+α2,α1=OD⃗⃗⃗⃗⃗ =Πα(η),α2∈W , δ=β1+β2,β1=Πα(δ)∈L,β2∈W ，则η+δ=(α1+β1)+(α2+β2),α1+β1∈L,α2+β2∈W ，从而Πα(η+δ)=α1+β1=Πα(η)+Πα(δ)，同理，Πα(kη)=kΠα(η).二、线性变换的性质：设A 为V 的线性变换，则： (1) A (0)=0, A (−α)=−A (α),∀α∈V ; (2) A (k 1α1+k 2α2+⋯+k t αt )=k 1A (α1)+k 2A (α2)+⋯+k t A (αt ); (3) A 把线性相关的向量组映射为线性相关的向量组（反之不真）.2011-04-02A : V ⟶V 线性变换性质： (3) A 为V 中线性相关的向量组，映为V 中线性相关的向量组，即α1,α2,…,αs 相关⟹A (α1), A (α2),…, A (αs )相关;但A (α1), A (α2),…, A (αs )线性相关⇒α1,α2,…,αs 相关. 如A =0,∀ α∈V,α≠0, A (α)=0.(4)设α1,α2,…,αn 为V 的一个基，∀ α∈V,α=x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn ⟹A (α)=A (x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn ) 线性变换A 由V 中一个基中的像唯一确定;(5)设α1,α2,…,αn 为V 的一个基，则对V 中任一向量组β1,β2,…,βn 必存在一个线性变换 A : V ⟶V ，使得：A (αi )=βi ,1≤i ≤n ;证：作V ⟶V 映射：A (α)= x 1β1+x 2β2+⋯+x n βn ，其中：α=x 1β1+x 2β2+⋯+x n βn ,则A (αi )=βi ,1≤i ≤n ; 下证：A 为V 的线性变换：∀ α=x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn ∈V,β=y 1α1+y 2α2+⋯+y n αn ∈V,A (α+β)= A .(x 1+y 1)α1+(x 2+y 2)α2+⋯+(x n +y n )αn /=(x 1+y 1)β1+(x 2+y 2)β2+⋯+(x n +y n )βn=(x 1β1+x 2β2+⋯+x n βn )+(y 1β1+y 2β2+⋯+y n βn ) = A (x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn )+ A (y 1α1+y 2α2+⋯+y n αn )= A (α)+A (β)同理，∀k ∈P ，A (kα)=k A (α).§7.2 线性变换的运算为方便，引入记号：Hom (V,V )，它表示数域P 上线性空间V 的所有线性变换的集合。

高等代数线性变换

线性变换 (1) (2) (3) (4)
§1 线性变换的定义
例1 判断下列所定义的变换 A 是否为线性变换。在线性空间V中，A x = x+a，a为V中一固定向量；在线性空间V中，A x = a，a为V中一固定向量；在P [x]中，A f (x) = f (x+1) ；在P [x]中，A f (x) = f (x0)，x0为P中一固定数；
则h(A) = f(A)+g(A), p(A) = f(A)g(A)。特别地, f(A)g(A)=g(A)f(A)，
例4 设 A 是n维线性空间V的一个线性变换, A3=2E, B =A2-2A+2E，证明：A，B都是可逆变换。
线性变换
§3 线性变换的矩阵
§3 线性变换的矩阵
定理1 设 1 , 2 ,, n 是线性空间V的一组基, 对V中任意n个向量任何元素都可以是基 1 , 2 ,, n 存在唯一的线性变换 A∈L(V) 使得的像，只要选取适当
(3)
A ( BC ) = ( A B )C
(4) k( AB ) = ( kA )B = A ( kB ) 例1 在R 2中，设A(x, y)=(y, x)，B(x, y)=(0, x)，则A, B是R2中的线性变换，求A + B，AB，BA，3A-2B。
线性变换
§2 线性变换的运算
三、可逆的线性变换
则对∀A∈L(V) ， f (A) anA n an1A n1 a1A a0E 称为线性变换 A 的多项式。
结论6 设f(x), g(x)∈P[x], A ∈L(V), 若h(x)=f(x)+g(x), p(x)=f(x)g(x)
即同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的。

【高等代数】05-线性变换

【⾼等代数】05-线性变换线性变换是线性代数的核⼼概念，包含的内容和结论⼗分丰富。

之前的讨论其实已经⽐较完备了，但这⾥我还是想把它的主要脉络再梳理⼀遍，然后再补充⼀些重要的问题和结论。

1. 线性变换和不变⼦空间1.1 线性变换线性变换\mathscr{A}\alpha（或线性映射）的概念⾃⽆需多说，它是线性空间V之间的⼀种映射关系。

⽽映射最重要的概念就是象和原象，尤其是变换的象\mathscr{A}V与核\text{Ker}\mathscr{A}，通过关系式（1）搭建起了变换\mathscr{A}的基本机构。

它直观地描述了线性变换在维度上的意义，你可以轻松说出V,\,\text{Ker}\mathscr{A},\,\mathscr{A}V三者之间的关系。

更甚地，可以把V表⽰成某个直交和\text{Ker}\mathscr{A}\oplus U，⽽这⾥U必定与\mathscr{A}V同构。

这个简单的关系很容易被忽略，但它在复合变换的论证中起到了核⼼的作⽤，⽐如关于复合变换的秩（象的维数）的估算，再⽐如后⾯关于幂零变换的归纳法证明。

V/\text{Ker}\mathscr{A}\cong\mathscr{A}V\tag{1} 式（1）说明，变换使得V的维数减少了\text{dim}(\text{Ker}\mathscr{A})，这个⾓度⾮常便于讨论复合变换的秩。

对于复合变换\mathscr{AB}，它的秩显然有上界\max\{\text{rank}\mathscr{A},\text{rank}\mathscr{B}\}。

从维度减少的⾓度，不难有式（2）的上界式，从⽽轻松得到复合变换秩的下界式（3）。

使⽤这个⾓度，你可以尝试⼀下下⾯的两个问题。

\text{dim}(\text{Ker}\mathscr{AB})\leqslant\text{dim}(\text{Ker}\mathscr{A})+\text{dim}(\text{Ker}\mathscr{B})\tag{2}\text{rank}(\mathscr{AB})\geqslant\text{rank}{\mathscr{A}}+\text{rank}{\mathscr{B}}-\text{dim}(V)\tag{3} • 如果\text{rank}(\mathscr{AB})=\text{rank}(\mathscr{B})，则对任意变换\mathscr{C}都有\text{rank}(\mathscr{ABC})=\text{rank}(\mathscr{BC})。

线性空间直和分解定理的两个证明

线性空间直和分解定理的两个证明
喻厚义;王正攀
【期刊名称】《西南师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2015(000)004
【摘要】The direct sum decomposition theorem of a linear space is a classical result about linear transfor‐mation in linear algebra ,two new proofs for this theorem are given by means of mathematical induction and by generalizing an exercise in linear algebra ,respectively .%线性空间直和分解定理是高等代数中关于线性变换的一个经典结果，分别利用数学归纳法和一个习题的推广形式给出了直和分解定理的两个新证明。

【总页数】3页(P1-3)
【作者】喻厚义;王正攀
【作者单位】西南大学数学与统计学院，重庆400715;西南大学数学与统计学院，重庆400715
【正文语种】中文
【中图分类】O151.2
【相关文献】
1.线性变换不变子空间直和分解定理注 [J], 谭尚旺
2.线性空间直和分解定理的推广及应用 [J], 李毛亲
3.线性空间直和分解定理的一点思考 [J], 邓贵新
4.线性空间直和分解一个定理的证明的教学建议 [J], 梁庆光
5.关于线性子空间直和几个等价命题的证明 [J], 赵云平
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高等代数第七章线性变换复习讲义

⾼等代数第七章线性变换复习讲义第七章线性变换⼀.线性变换的定义和运算1.线性变换的定义（1）定义：设V是数域p上的线性空间，A是V上的⼀个变换，如果对任意α，β∈V和k∈P都有A（α＋β）=A（α）+A（β），A（kα）=kA（α）则称A为V的⼀个线性变换。

（2）恒等变换（单位变换）和零变换的定义：ε（α）=α，ο（α）=0，任意α∈V.它们都是V的线性变换。

（3）A是线性变换的充要条件：A（kα+lβ）=kA(α)+lA(β),任意α，β∈V，k，l∈P.2.线性变换的性质设V是数域P上的线性空间，A是V的线性变换，则有（1）A（0）=0；（2）A（-α）=-A（α），任意α∈V；（3）A（∑kiαi）=ΣkiA（α），α∈V，ki∈P，i=1,…,s;（4）若α1，α2，…,αs∈V,且线性相关，则A（α1），A （α2），…,A(αs)也线性相关，但当α1，α2，…,αs线性⽆关时，不能推出A（α1），A（α2），…,A(αs)线性⽆关。

3.线性变换的运算4.线性变换与基的关系（1）设ε1，ε2，…,εn是线性空间v的⼀组基，如果线性变换A和B在这组基上的作⽤相同，即Aεi=Bεi，i=1,2，…,n,则有A=B.（2）设ε1，ε2，…,εn是线性空间v的⼀组基，对于V 中任意⼀组向量α1，α2，…,αn,存在唯⼀⼀个线性变换A 使Aεi=αi,i=1,2，…,n.⼆．线性变换的矩阵1.定义：设ε1，ε2，…,εn是数域P上n维线性空间v的⼀组基，A是V中的⼀个线性变换，基向量的像可以被基线性表出Aε1=a11ε1+a21ε2+…an1εnAε2=a12ε1+a22ε2+…an2εn……Aεn= a1nε1+a2nε2+…annεn⽤矩阵表⽰就是A（ε1，ε2，…,εn）=（ε1，ε2，…,εn）A,其中a 11 a 12 …… a 1na 21 a 22 …… a 2nA= ……a n1 a n2 …… a nn称为A在基ε1，ε2，…,εn下的矩阵。

高等代数线性变换解析

(3)
A ( BC ) = ( A B )C
(4) k( AB ) = ( kA )B = A ( kB ) 例1 在R 2中，设A(x, y)=(y, x)，B(x, y)=(0, x)，则A, B是R2中的线性变换，求A + B，AB，BA，3A-2B。
线性变换
§2 线性变换的运算
三、可逆的线性变换
A m n A m A n ,
(A m )n A mn ,
m, n N
若A是可逆的，则以上法则对任意整数m，n都成立。
注意：由于线性变换的乘法不满足交换律，故( AB ) ≠ A B 。
n
n n
线性变换定义5 设
§2 线性变换的运算
f ( x) an xn an1xn1 a1x a0 P[ x]
线性变换
§3 线性变换的矩阵
定理2 设 1 , 2 ,, n 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一组基，
A, B∈L(V), 且 A, B 在这组基下的矩阵分别为A和B，则在该组基下： (1) A + B 的矩阵是 A+B；
(2) AB 的矩阵是 AB； (3) kA 的矩阵是 kA； (4) 若A 是可逆的，则矩阵 A 也可逆，且A-1的矩阵是A-1。
矩阵的相似性是由线性变换所决定的
则 B 为线性变换 A 在基 1 ,2 ,,n 下的矩阵。 A A
1 , 2 ,, n
A可逆的充要条件是它在一组基下的矩阵A可逆
例5 设 V是数域P上的n维线性空间，则L(V)与P n×n同构。
例6 设 A1，A2是 n 维线性空间 V 的两个线性变换，证明： A2V⊂A1V 的充要条件是存在线性变换 A 使得 A2=A1A 。

高等代数第7章线性变换PPT课件

特征向量定义
对应于特征值m的非零向量x称为A的对应于特征值 m的特征向量。
设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量x，使得Ax=mx成立，则称m是A的一个特征值。
求解方法
通过求解特征多项式f(λ)=|A-λE|的根得到特征值，再代入原方程求解对应的特征向量。
特征多项式及其性质分析
特征多项式定义
量子力学
在量子力学中，特征值和特征向量用于描述微观粒子的状态和能量级别。
图像处理
在图像处理中，特征值和特征向量可以用于图像压缩和图像识别等任务。
经济学
在经济学中，特征值和特征向量可以用于分析和预测经济系统的稳定性和发展趋势。
04
线性变换对角化条
件及步骤
可对角化条件判断方法
判断矩阵是否可对角化
线性变换的性质与矩阵性质对应
线性变换的性质如保持加法、数乘等运算可以通过其对应的矩阵性质来体现。例如，两个线性变换的和对应两个矩阵的和；线性变换的复合对应两个矩阵的乘积等。
02
线性变换矩阵表示
法
标准基下矩阵表示法
定义
设V是n维线性空间，e1,e2,...,en 是V的一个基，T是V上的一个线性变换，则T在基e1,e2,...,en下的矩阵A称为T在基e1,e2,...,en下的标准矩阵表示。
计算矩阵的高次幂
对于可对角化的矩阵A，可以利用对角化公式A=PDP^(-1)将A的高次幂转化为对角矩阵D的高次幂，从而简化计算过程。
求解线性方程组
对于系数矩阵为可对角化矩阵的线性方程组，可以通过对角化将系数矩阵转化为对角矩阵，进而简化方程组的求解过程。
计算行列式和逆矩阵
对于可对角化的矩阵A，其行列式值等于对角矩阵D的行列式值，逆矩阵可以通过对角化公式求得，从而简化相关计算。

线性变换的零化多项式与线性空间的直和分解

线性变换的零化多项式与线性空间的直和分解邹宗兰【摘要】一个线性变换的特征多项式是它的零化多项式,很多高等代数教材讨论了用一个线性变换的特征多项式将线性空间分解为不变子空间的直和问题.本文将这一结果进行了推广,利用线性变换的任意零化多项式可以将线性空间分解为不变子空间的直和.这个结果对于学习模论是有益的.【期刊名称】《四川职业技术学院学报》【年(卷),期】2017(027)006【总页数】3页(P163-165)【关键词】零化多项式;特征多项式;;不变子空间;直和【作者】邹宗兰【作者单位】四川职业技术学院应用数学与经济系,四川遂宁 629000【正文语种】中文【中图分类】O156.11 预备知识设V是数域P上的一个n维线性空间，σ是V的一个线性变换，f（x）是数域P 上的一个多项式，如果f（σ）=0，则称f（x）零化σ．我们用σ（V）或σV表示σ的值域，σ-1（0）表示σ的核．根据哈密顿-凯莱定理，线性变换σ的特征多项式是σ的零化多项式．参考文献[1]第309页的定理12证明了如果线性变换σ的特征多项式f（λ）可分解为一次多项式的乘积那么V可分解为不变子空间的直和其中Vi={ξ│(σ-λi)ri ξ=0,ξ∈V},i=1,2,…，s．（ε表示恒等变换）本文将把上述结果推广到线性变换σ的任意零化多项式的情形，即设f（x）是线性变换σ的任意一个零化多项式，我们利用f（x）的标准分解式把线性空间V分解成的σ一些不变子空间的直和．2 利用线性变换的零化多项式对线性空间作直和分解定理1设σ是数域P上的n维线性空间V的一个线性变换，数域P上的多项式使得f（σ）=0,f1（x）,f2（x）,…,fs（x）两两互素，再设那么1）fi（σ）-1（0）=gi（σ）-1V,gi（σ）-1（0）=fi（σ）V,i=1,2,…，s；2）V可分解为σ的不变子空间的直和证明：1）由gi（x）的定义知fi（x）gi（x）=f（x），于是另一方面，因为f1（x）,f2（x）,…,fs（x）两两互素，所以fi（x）与gi（x）=f1（x）…fi-1（x）fi+1（x）…fs（x）互素，从而存在ui（x）,vi（x）∈P[x]使得这样对于Vi的任意一个向量α有因此α∈gi（σ）V这就证明了由（1），（3）得gi（σ）V=fi（σ）-1（0）=Vi，i=1,2,…，s.2）由于σ与fi（σ），gi（x）可交换，所以fi（σ）的核fi（σ）-1（0）和gi（σ）的gi（σ）像gi（σ）V都是σ的不变子空间．由f1（x）,f2（x）,…,fs（x）两两互素不难知道g1（x）,g2（x）,…,gs（x）是互素的，因此存在多项式hi（x）∈P[x],i=1,2,…，s使得于是对于V的任意一个向量ξ，由（4）式得下证（5）是直和．设γi∈Vi,i=1,2,…，s,使得因为gi（σ）=f1（σ）…fi-1（σ）fi+1（σ）…fs（σ），所以当j≠i时，Vj=fj（σ）-1（0）的元γj在gi（σ）之下的象为零，即于是用gi（σ）作用于（6）的两边得根据（2）和（7）式得这就证明了由（5）和（8）式得根据这个定理，我们立刻知道参考文献[1]第309页的定理12给出的结果是定理1的一个推论.对于线性变换σ的最小多项式m（x）∈P[x]同样可得到下面的结论：定理2设σ是数域P上的n维线性空间V的一个线性变换，为σ的最小多项式，它在数域P上的标准分解式为证明：取f（x）=m（x），令f1（x）=Piki（x），i=1,2,…，s，则f1（x），f2（x），fs（x）和f（x）适合定理1的条件．定理3设σ是数域P上的n维线性空间V的一个线性变换，m（x）为σ的最小多项式，那么存在V的一组基，使得σ在这组基下的矩阵是对角形矩阵当且仅当证明：如果σ在基α1，α2，…，αn下的矩阵是对角形矩阵A．不妨设其中EKi表示ki级单位矩阵，λ1，λ2，…，λs互不相等，k1+k2+，…，ks=n，那么σ的最小多项式m（x）=（x-c1）（x-c2）…（x-cs），这里ci=cj,i=1,2,…，s．反之，如果σ的最小多项式m（x）可分解为不相等的一次因式的乘积设αi1，αi2，…，αiri为Vi的一组基，i=1,2,…，s,r1+r2+,…，rs=n，那么α11，α22，…，αir1，…αs1，αs2，…αsrs是V的基，而αi1，αi2，…，αiri是σ的属于特征值ci的特征向量，故σ在这组基下的矩阵是3 结语由前面的讨论可知，定理1给出的结果具有一般性，而将f（x）取为线性变换σ的特征多项式或最小多项式时，都是定理1的特殊情形，可作为定理1的推论处理．因此在讲授这部分教材时我们建议将参考文献[1]第309页的定理12改为本文的定理1．我们知道，数域上的一个线性空间的全体线性变换的集合做成数域上一元多项式环的上的模．在这个模中,一个线性变换零化多项式的集合是环的一个理想，称为这个线性变换的零化子．在模论里，模元素的零化子可用来刻画模的结构．因此，在高等代数里讨论用一个线性变换的零化多项式来构作线性空间的直和分解问题，对于学生将来学习模论是有益的．【相关文献】[1] 万哲先.代数导引[M].北京：科学出版社，2004：231-239．[2] 北京大学数学系几何与代数教研室.高等代数［M］.北京：高等教育出版社，2003：242-272．。