正项级数的审敛法
11-2正项级数及其审敛法
(方法 比较法 un 方法2) 方法
−n−( −1)n =2
≤ 2−n ⋅ 2 =
1 2n−1
(n ≥ 1)
Q ∑
. 收敛，∴ 原级数收敛 收敛， n−1 n=1 2
∞
1
注 对于∑2
n=1
∞
−n−(−1)n
, 比值法失效！ 比值法失效！
2, n偶数 −1+2(−1)n = 1 =2 ， n奇数 8
但 p > 1, 级数收敛 ; p ≤ 1, 级数发散 .
判别下列级数的收敛性: 例11 判别下列级数的收敛性 ∑2
n=1
∞
−n−(−1)n
.
方法1) 方法 解 (方法 根值法
(−1)n −1− n Q lim n un = lim 2 n→∞ n→∞
. = 2−1< 1 ∴ 原级数收敛
−n ⋅ 2( −1)n+1 =2
n=1 n=1 ∞ ∞
(c ≠ 0) 同敛散 同敛散.
(ⅰ) 若 ⅰ 则 (ⅱ) 若 ⅱ 则
收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 .
c
(n ≥ N ),
c
(n ≥ N ),
比较法的使用思路： 比较法的使用思路： 欲证收敛(发散 ，则放大(缩小 缩小) 欲证收敛 发散)，则放大 缩小 发散
2 . 的敛散性 例2 判断正项级数 ∑ n=1 n(n + 1)
n
3d x
o
1 2 n −1 n
= 1+ ∫
n
1
1 1 1 1 d x= 1+ (1 − p−1 ) < 1 + (n = 2,3,L) p p −1 p −1 x n
级数收敛. 级数收敛 p -级数部分和 n有上界， 级数部分和 级数部分和S 有上界， 故当p > 1时, p -级数收敛 时
正项级数审敛法的应用探析
正项级数审敛法的应用探析正项级数是数学中的一个重要概念，它在实际问题中有着广泛的应用。
审敛法是研究正项级数收敛性的一种方法，通过审敛法，我们可以判断正项级数的收敛和发散，进而应用于实际问题中。
本文将探索正项级数审敛法的应用，并通过实例分析其在实际问题中的作用。
我们来看一下正项级数的定义。
正项级数指的是级数的每一项都是非负数的级数，即a_n\geq0，级数的通项为a_1,a_2,a_3,...,a_n。
正项级数的收敛性与实际问题中的应用有着密切的联系，对于一个正项级数\sum_{n=1}^{\infty}a_n，如果它收敛，那么我们可以得出\lim_{n \to \infty}a_n=0的结论，这对于实际问题中的分析是非常有用的。
接下来，我们来介绍一下正项级数审敛法的概念。
正项级数审敛法是通过比较或判别正项级数的通项a_n与已知的收敛或发散的级数进行判断的一种方法。
常用的审敛法有比较审敛法、比值审敛法、根式审敛法等。
这些审敛法都是在判断正项级数的收敛性时非常有用的工具。
比较审敛法是判断正项级数的收敛性的一种方法，它的基本思想是通过将待判断的正项级数与一个已知的收敛或发散的级数进行比较，从而得出待判断级数的收敛性。
比较审敛法常用的形式有两个，一个是比较审敛法，另一个是极限比较审敛法。
比较审敛法的核心是找到一个与待判断级数有着相同数量级的级数进行比较，从而得出结论。
比值审敛法也是判断正项级数收敛性的重要方法，它的思想是通过计算级数的相邻项的比值来判断级数的收敛性。
比值审敛法适用于通过计算\lim_{n \to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}来判断级数的收敛性，如果极限存在且小于1，则级数收敛；如果极限大于1，则级数发散；如果极限等于1，则无法判断。
以上介绍了一些常用的正项级数审敛法，这些方法在判断正项级数的收敛性时非常有用。
接下来，我们将通过实际问题来探讨正项级数审敛法的应用。
在实际问题中，正项级数的应用非常广泛，比如在金融数学中，我们常常会遇到复利计算的问题。
正项级数的比较审敛法
正项级数的比较审敛法正项级数的比较审敛法是数学中一种常用的判别级数收敛性的方法。
通过与已知的收敛或发散级数进行比较，我们可以判断一个正项级数的收敛性。
本文将介绍正项级数的比较审敛法的基本原理和应用。
正项级数是指所有项都是非负数的级数。
我们知道，一个正项级数的收敛性与其项的大小相关。
如果一个级数的每一项都小于等于另一个级数的对应项，并且后者收敛，那么我们可以推断前者也收敛。
同样地，如果一个级数的每一项都大于等于另一个级数的对应项，并且后者发散，那么我们可以推断前者也发散。
这就是正项级数的比较审敛法的基本思想。
比较审敛法分为两种情况：比较法和极限比较法。
下面我们将分别介绍这两种方法。
一、比较法比较法是通过比较待判定级数与已知级数的大小关系来判断待判定级数的收敛性。
具体而言，我们选择一个已知的收敛级数和一个待判定级数，然后比较它们的项的大小。
如果待判定级数的每一项都小于等于已知级数的对应项，那么待判定级数也收敛；如果待判定级数的每一项都大于等于已知级数的对应项，那么待判定级数也发散。
比较法的关键在于选择合适的已知级数。
常用的已知级数包括调和级数、几何级数和指数级数等。
例如，我们可以使用调和级数来判断一个正项级数的收敛性。
调和级数是指形如1+1/2+1/3+1/4+...的级数。
根据比较法的原理，如果一个正项级数的每一项都小于等于调和级数的对应项，那么该正项级数也收敛。
二、极限比较法极限比较法是比较法的一种特殊情况。
当我们无法直接比较待判定级数和已知级数的项时，可以通过比较它们的极限值来判断待判定级数的收敛性。
具体而言，我们选择一个已知的收敛级数和一个待判定级数，然后比较它们的极限值。
如果待判定级数的极限值与已知级数的极限值相等或者待判定级数的极限值无穷大，那么待判定级数也收敛；如果待判定级数的极限值与已知级数的极限值比较大，那么待判定级数也发散。
极限比较法的关键在于计算级数的极限值。
对于一些常见的级数，我们可以通过取极限值来判断其收敛性。
正项级数比值审敛法
正项级数比值审敛法正项级数比值审敛法是数学分析中常用的一种判定级数收敛性的方法。
它利用级数的比值来判断级数的收敛性或发散性。
本文将详细介绍正项级数比值审敛法的原理、应用例子以及一些注意事项，希望能对读者们有所指导和帮助。
首先，我们来探讨正项级数比值审敛法的原理。
对于一个正项级数∑an ，其中an≥0 ，我们可以求出级数相邻两项之比的极限值L=lim（n→∞）（an+1/an）。
当 L<1 时，级数∑an 收敛；当 L>1 时，级数∑an 发散；当 L=1 时，比值试验不能确定级数的收敛性，需采用其他方法进行判定。
接下来，让我们通过一个具体的例子来解释正项级数比值审敛法的应用。
考虑级数∑1/n! ，我们可以计算相邻两项之比的极限值L=lim（n→∞）（（n+1)!/n!） = lim（n→∞）（n+1）=∞。
由于L>1 ，根据比值审敛法的原理，我们知道该级数发散，也就是说级数∑1/n! 是发散的。
在应用正项级数比值审敛法时，需要注意以下几点。
首先，要确保级数的各项都是正数，否则无法使用比值审敛法。
其次，比值试验只适用于正项级数，对于含有负项的级数是不适用的。
此外，当极限值 L=1 时，比值试验无法确定级数的收敛性，此时需要借助其他判定方法。
最后，正项级数比值审敛法是一种快速判断级数收敛性的方法，但并不是万能的，对于一些特殊级数可能会失效，需要采用其他方法进行判断。
总结起来，正项级数比值审敛法是一种简单有效的判定级数收敛性的方法。
通过计算级数相邻项的比值的极限值，我们可以快速判断级数的收敛性或发散性。
然而，在使用比值审敛法时需要注意级数的正性、不适用于负项级数以及极限值为1时的特殊情况。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和应用正项级数比值审敛法，从而在数学分析中取得更好的成绩。
正项级数及其审敛法
n
n
∴ 原级数发散.
(2)
lni mn2
n2 1 n1
∴ 原级数收敛.
3、比较审敛法3 (比阶审敛法)
设an和bn均为正项 , 级数
n1
n1
通 项 an和bn均 为 n时 的 无. 穷 小
(1) 当an 为bn 的同阶或高阶无穷, 小时
由bn 收敛可推出an 收敛.
n1
n1
(2) 当an 为bn 的同阶或低阶无穷 , 小时
n 1
1,
而 1发散,
n1n
∴ 原级数发散.
n
1
(2)
lim
n
n2
n 1
1
ln im n2
n2 n1
1,
n2
而
1
n1n2
收敛,
∴ 原级数收敛.
1
(3)
lim
n
4n
1
3n
4n
lim
n
1
1
3 4
n
1,
而
1
n14n
收
敛,
∴原级数收敛.
推论(比较审敛法 2)：
设 级 数
n 1
an为 正 项 级 数 ，(1)若
n1
若极 ln i m na 限 n有确,定 则意 有义
(1) 当 0 1 时, 级数收敛 ；
(2) 当 1 时, 级数发散 ；
(3) 当 1 时, 级数敛散性需另行判定.
当一般nn项 ,an等 ln 中 i m nan 含 易有 求 级的 数 常用根. 值审敛法
例:1)判
定
级 1数 的 n1nn
n1
思 路 ： 构 造 一 个 单 调 递 减 函 数 f(x)， 使 得 f(n)an
正项项级数的审敛法
例
级数
1 发散,
n1 n
级数
n1
1 n2
收敛,
(
1)
2.条件是充分的,而非必要.
例
un
2
(1)n 2n
3 2n
vn ,
级数 un
n1
2 (1)n
n1
2n
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2n1
3, 2
lim un1 u n
1
1
(1)
解
sin ; (2) n1 n
(1) lim nsin 1
n
n
n1
3
n
;
n sin 1
lim n
n 1
1,
原级数发散.
1
n
(2)
lim
n
3n
1
n
3n
lim 1
n
1
n 3n
1,
n1
31n收敛,
故原级数收敛.
6.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)：
设 un
lim un n vn
l,
则(1) 当 0 l 时,二级数有相同的敛散性;
(2) 当 l 0时，若 vn 收敛,则 un 收敛;
n1
n1
(3) 当 l 时, 若 vn 发散,则 un 发散;
n1
n1
证明 (1)由lim un l v n
n
对于 l 0,
2
N , 当n N时, l l un l l
(1)若对一切n > N0,成立不等式
13.2 正项级数及其审敛法
时，lim n
un
0.
3.
若出现
ρ=1 或
lim
n
n
un
不存在,
则改用其它方法.
4. 条件是充分的, 并非必要.
由
un(, un 0)
收敛
lim n
n
un
1；
n1
由 un(, un 0)
发散
lim n
n
un
1.
n1
均可能出现 1，或不存在.
例14 判定正项级数的敛散性.
解
(1)
lim n
1
但 p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)
设
为正项级数，且
lim n
n
un
,
则
(1) 当 1 时,级数收敛; (2) 当 1 时, 级数发散 .
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
为正项级数, 且 lim un1 , 则
当 x=1时,
级数是调和级数
1 ,
发散.
例12 判定正项级数
解
因为
0
n 2n
cos2
nn1
3
n 2n
cos
n 2n
2
n3n1的n敛散性.
(n 1,2,)
且
lim
n
n1 2n1
2n n
n1 lim
n 2n
1 2
1
,所以
n1
n 2n
收敛,
再由比较判别法知, 原级数也收敛.
例13 利用级数敛散性, 证明
部分和数列 有上界 .
正项级数审敛法的应用探析
正项级数审敛法的应用探析正项级数审敛法是解析学中的一个基础概念，它是判断无穷级数的敛散性的一种方法。
在实际应用中，特别是在数学分析、科学和工程领域中，正项级数审敛法的应用非常广泛，本文将就此进行探析。
首先，我们来看一下正项级数审敛法的定义。
一个正项级数是指所有项都是正数的级数。
若正项级数的部分和（即前n项的和）有极限，那么该级数收敛；若部分和无极限，则该级数发散。
正项级数审敛法即是通过对一个正项级数逐项比较或使用其它方法来判断该级数的敛散性。
下面，我们来看几个实际应用的例子。
（1）在工程应用中，正项级数审敛法通常用于估计误差。
例如，若我们要通过一个级数展开式来近似表达某个函数，我们需要知道级数的敛散性，以此判断我们使用级数展开式得到的近似解的误差大小。
如果级数收敛，那么我们可以使用它作为函数的近似解，并估计其误差；如果级数发散，我们则需要使用别的方法来估计函数的误差。
例如，在解微积分中的求和运算时，我们常常需要使用级数展开式，比如泰勒级数、幂级数等，并通过正项级数审敛法来确定级数的敛散性。
（3）在科学研究中，正项级数审敛法也广泛应用。
例如，在物理学中，正项级数审敛法在量子力学和热力学领域中得到广泛应用。
在量子力学中，通过正项级数审敛法，我们可以计算出各种粒子的能量本征态，从而理解这些粒子的运动特性。
在热力学中，我们可以通过正项级数审敛法来求解各种物理系统的热力学函数，比如内能、熵等。
总之，正项级数审敛法在实际应用中有非常广泛的应用。
从微积分到金融，从物理学到工程学，正项级数审敛法一直是解决问题的重要工具之一。
因此，学习正项级数的性质与应用，对我们日常生活和工作中的决策和分析都有很大帮助。
正项级数的审敛法
k 1
即 un收敛. n1
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铃
(2)若 1,取正数 0,使 1, N 0,当n N时有
un1 1,
un
也即un1 un , 从而lim un 0, 故 un发散.
n
n1
(3)当lim un1 时, n un
取M 1 0, 存在N 0,当n N时, 有 un1 M 1, un
2
N,
当n>N时, 有不等式
l 1 l un l 1 l , 2 vn 2
即
1 2
lvn
un
3 2
lvn
,
再根据比较审敛法, 即得所要证的结论.
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铃
❖定理4(比较审敛法的极限形式)
设 un 和 vn 都 是 正 项 级 数 ,
n 1
n 1
(1)如果 lim un l (0l), n vn
级数∑vn收敛, 由已证结论, 级数∑un也收敛, 矛盾.
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❖定理2(比较审敛法)
设∑un和∑vn都是正项级数, 且unkvn(k>0, nN). 若级数 ∑vn收敛, 则级数∑un收敛 若级数∑un发散, 则级数∑vn发散.
例
1
讨论
p级
数
n 1
1 np
( p 0) 的 收 敛 性 .
而级
数
n 1
1 n 1
发散
,
故级数 n 1
1 也发散. n(n 1)
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铃
级数的审敛法
级数的审敛法
级数的审敛法是一种判定级数是否收敛或发散的方法。
下面介绍几种常用的审敛法：
1. 正项级数判别法：如果级数的各项都是非负数，并且级数的通项递减，则该级数收敛。
这是因为正项级数的部分和一定是递增有界的。
2. 比较判别法：设有两个级数∑a_n和∑b_n，如果在有限项后
总有a_n ≤ b_n，则如果∑b_n收敛，∑a_n也收敛；如果∑a_n
发散，∑b_n也发散。
这个方法常用于比较一个级数与已知的
收敛或发散的级数。
3. 比值判别法：对于一个级数∑a_n，如果在有限项后总有
a_(n+1)/a_n ≤ r < 1，则级数绝对收敛；如果在有限项后总有
a_(n+1)/a_n ≥ 1，则级数发散；如果在有限项后总有
a_(n+1)/a_n ≥ r > 1，则级数发散或者条件收敛。
4. 积分判别法：对于一个非负递减的函数f(x)，如果∫f(x)dx从
1到无穷收敛，则级数∑f(n)也收敛；如果∫f(x)dx从1到无穷发散，则级数∑f(n)也发散。
这个方法利用了级数与函数的关系。
以上只是一些常用的审敛法，对于特定的级数，可能需要使用其他方法进行判断。
高等数学第二节 正项级数审敛法1
1
）;
n 1
n
1
(6)n2 (ln n)2 .
解
(1)因为
sin
n2
1 a2
1 n2
,
级数
n 1
1 n2
收敛，因此该级数收敛；
(2 )因为 n 1 1 , n2 1 n
级数
1发散，因此该级数发散；
n=1 n
1
(3) 因为
lim 3n n 1, n 1
~
k np
(k
0)，那么当p>1时级数
un 是收敛的，当p≤1时级数
n 1
un是发散的．
n 1
例 4 设 an 为正项级数，下列正确的是( )． n1
（A）若
lim
n
nan
0
，则级数
n1
an
收敛
（B）若存在非零常数
，使得
lim
n
nan
，则级数
n1
则则当当rr<<11时时级级数数收收敛敛；；当当rr>>11((或或lnnilnmimnnnuunnn ))时时级级数数发发散散；；当当rr11
k 1
n 1
若ρ>1,则…………
例６ 判别下列级数的敛散性：
(1)
ann!(a 0),并在a e时求极限 lim ann!;
(2) 4 4 7 4 7 10
nn
n1
n n n
2 2 6 2 610
(3)
n 1
n 3n
sin2
第二节：正项级数的审敛法
v2
1 1 1 1 1 1 1 + 取 u1 = < 1+ = v1 , u2 = ( 4 + 4 ) = < + = v 2 2 2 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 u3 = ( + + + ) = < + + + = v 3 , L 8 8 8 8 2 5 6 7 8
因此有
∞
1 un ≤ v n , 而 un = ( n= 1 , 2, 3 , L ) 2
收敛。 则级数 ∑ un 收敛。 例如级数 ∑
n =1 ∞
∞
n→∞
n =1
n + 1(1 − cos ) , n
π
un = n + 1(1 − cos ) n
π
1 π 2 π 2 n+ 1 + 当 n → ∞ 时， un ~ n + 1 ⋅ ( ) = 2n 2n2
∴ lim
n→∞ 3 n2 un
= lim
第二节 正项级数及审敛法 如果级数
n =1
∑ un = u1 + u2 + L + un + L
称为正项级数
∞
满足条件： 满足条件： un ≥ 0 ( n = 1, 2 , L ) ,
s1 = u1 ≥ 0 , s 2 = u1 + u2 ≥ u1 = s1 , s 3 = u1 + u2 + u3 ≥ u1 + u2 = s 2 LL 0 ≤ s 1 ≤ s 2 ≤ s 3 ≤ L ≤ s n−1 ≤ sn ≤ L
n =1 n =1 ∞ ∞ 1 1 （1）取 vn = , 则 ∑ v n = ∑ ） 发散， 因此若 发散， n n =1 n =1 n ∞ un = lim nu lim n = l > 0 （或为 + ∞），则 ∑ un ），则 n→∞ n→∞ vn n =1
正项级数及其审敛法
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
说明 :
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
n
un
1 nn
p
1
(n
)
p 1, 级数收敛 ; 但
p 1, 级数发散 .
例6. 证明级数
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
n
un
n
1 nn
1 n2
的敛散性.
ln(1
1 n2
)
～
1 n2
解:
lim n2
n
ln
1
1 n2
lim
n
n2
1 n2
1
根据比较审敛法的极限形式知
ln 1
n1
1 n2
收敛.
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
为正项级数, 且 lim un1 , 则
n un
(1) 当 1 时, 级数收敛 ;
(2) 若弱级数 发散 , 则强级数 也发散 .
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
设对一切
都有
分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
(1) 若强级数 收敛, 则有
因此对一切
有
由定理 1 可知, 弱级数 也收敛 .
(2) 若弱级数
发散, 则有
因此
这说明强级数
也发散 .
例1.
讨论
p
0l
lim
n
n pun
l
p 1, 0l
un 发散 un 收敛
例3. 判别级数 sin 1 的敛散性 . n1 n
正项级数的根值审敛法证明
正项级数的根值审敛法证明正项级数的根值审敛法是一种判别正项级数是否收敛的方法，其思路是将级数化为一个根号形式，然后比较与一个 $frac{1}{n}$ 级数的大小。
具体证明如下：对于正项级数 $sum_{n=1}^infty a_n$，设 $lim_{nto infty} sqrt[n]{a_n}=l$，则有：$$lim_{nto infty} frac{a_n}{frac{1}{n^p}} = lim_{nto infty} a_ncdot n^p = lim_{nto infty}left(sqrt[n]{a_n}right)^ncdot n^p$$由于 $lim_{nto infty} sqrt[n]{a_n}=l$，所以 $lim_{nto infty} left(sqrt[n]{a_n}right)^n=l^n$，进而有：$$lim_{nto infty} frac{a_n}{frac{1}{n^p}} = lim_{nto infty} l^ncdot n^p$$当 $l<1$ 时，取 $p$ 为任意小于 $1$ 的正实数，则有$l^ncdot n^pto 0$，即 $frac{a_n}{frac{1}{n^p}}to 0$，故级数$sum_{n=1}^infty a_n$ 收敛。
当 $l>1$ 时，取 $p$ 为任意大于 $1$ 的正实数，则有$l^ncdot n^pto infty$，即 $frac{a_n}{frac{1}{n^p}}to infty$，故级数 $sum_{n=1}^infty a_n$ 发散。
当 $l=1$ 时，无法确定级数是否收敛，需采用其他方法判别。
综上所述，正项级数的根值审敛法可用于判别正项级数的收敛性。
- 1 -。
7.2 正项级数及其审法敛
收敛。
2)
n.
n1 2 n5
因为
0
n
2 n5
n n5
1 n2
n 1,2,,
1
而级数
n2
n 1
是收敛的 p 级数 p 2 1,
由比较审敛法知级数
n
收敛。
n1 2 n5
例2 判断下列级数的敛散性:
1） sin 1；
n 1
n
2）
2n 1 .
n1 n5 2
解： 1） sin 1；
所以由比较审敛法知正项级数
n n
n1 2n 1
也收敛。
课堂练习：
判断级数 n! 的敛散性，并说明理由。 nn n 1
小结: 1.正项级数的比较审敛法； 2.正项级数的比值审敛法；
作业: P150. 1（2）；2（2）；3（2）.
因为单调有界数列必有极限所以收敛二正项级数的比较审敛法定理比较审敛法一是两个正项级数且若级数收敛则级数若级数发散则级数上述定理可以简单地这样记忆
§7.2 正项级数及其审敛法
对于一个无穷级数，通常需要考虑解决两个问题： 1. 如何判别级数是否收敛？ 2. 如果收敛，怎样求和？
第二个问题通常比第一个问题要难得多，本节将介绍 如何判别正项级数是否收敛的方法，即审敛法。
大收小收，小发大发
定义. 形如
1 1 1 1 1
np
n 1
2p 3p
np
1
的级数称为 p 级数． p=1 时 n1 n 称为调和级数。
p 级数的敛散性有如下定理：
定理 当
p
1时，p
级数
n 1
1 np
收敛；
当
p 1
正项级数及其审敛法
判别法与极限审敛法
判别法是根据正项级数的通项性质来判断其收敛性的方法。通过对通项的分析，可以找到一些关键的 量，如相邻项的比值、绝对值的增长速度等，来判断级数的收敛性。
极限审敛法是通过分析级数部分和的极限行为来判断其收敛性的方法。它基于极限的性质，通过分析部 分和的极限是否存在或趋于无穷大，来判断级数的收敛性。
正项级数在数值分析中用于求解 微积分问题，例如数值积分、数 值微分等。
在物理中的应用
热力学
正项级数在热力学中用于描述热传导、热辐射 等过程，例如求解热传导方程。
波动理论
正项级数在波动理论中用于描述波动现象，例 如求解波动方程。
原子结构
正项级数在原子结构中用于描述电子的能级分布，例如求解薛定谔方程。
几何审敛法的优点
直观易懂，易于操作。
调和审敛法
调和审敛法
通过观察级数的调和级数部分（即分母）的增长情况来判断级 数的收敛性。如果调和级数部分增长速度较慢，则级数收敛；
反之，则发散。
调和审敛法的适用范围
适用于分母为连续正整数或分母为等差数列的正项级数。
调和审敛法的优点
适用于某些特殊类型的级数，计算简便。
详细描述
自然数幂级数的通项公式为$a_n = n^m$，其中$m$是一个常数。自然数幂级数的和可以通过公式$S_n = frac{n^{m+1}}{m+1}$计算。当$m = 1$时，自然数幂级数退化为等差级数。
几何级数
总结词
几何级数是每一项都与前一项成固定比例的级数。
详细描述
几何级数的通项公式为$a_n = a_1 times r^{(n-1)}$，其中$a_1$是首项，$r$是公比。几何级数的和可 以通过公式$S_n = frac{a_1 times (r^n - 1)}{r - 1}$计算，其中$S_n$表示前$n$项的和。当$r = 1$时， 几何级数退化为等差级数。
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❖定理7(莱布尼茨（ Leibnitz ）定理)
如 果 交 错 级 数 (1)n1un 满 足 条 件 n 1
(1)un un1(n 1, 2, 3, )
(2)
lim
n
u
n
0
,
则级数收敛, 且其和su1, 其余项rn的绝对值|rn|un1.
1或 lim n n
un
,则 un发散.
n1
例 判断级数 ( 2n 3)n的敛散性.
3n 2
解： n
1或 lim n n
un
,则 un发散.
n1
例
9
判
定
级
数
2
n 1
( 1) n 2n
的收敛性.
解 因为
lim n
n
un
lim
n
1 2
n
2 ( 1)n
1 2
,
所以, 根据根值审敛法可知所给级数收敛.
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思考 :
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
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❖定理2(比较审敛法)
设 un 和 vn 都 是 正 项 级 数 , 且 unvn (n1, 2, ).
n 1
n 1
若 vn 收敛, 则 un 收敛 若 un 发散, 则 vn 发散.
n 1
n 1
n 1
n 1
❖定理3
(2)若 lim n
n pun
l
0(
p
1),则
n1
un收敛.
例4 判断 sin 1的敛散性.
n1 n
解:
1
lim n sin 1 0,
n
n
所以 sin 1发散. n1 n
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思考：
设正项级数 un 收敛, 能否推出 un2 收敛 ?
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调和级数与 p 级数是用于正项级数收敛性判断的两个
常用的比较级数.
若存在 N Z , 对一切 n N ,
(1)
un
1, n
则un 发散 ;
n1
(2)
un
1 np
( p 1), 则un 收敛.
n1
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调和级数与 p 级数是用于正项级数收敛性判断的两个
(1)若 1，则 un收敛. n1
(2)若
1或
n1
un1 un
，则 un发散.
n1
证明： 由lim un1 ， 0，N 0，当n N时有
n un
un1 .
un
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(1)若 1,取正数 0,使 q 1,N 0,当n N时有
即部分和数列{sn}有界. 因此级数∑un收敛. 反之, 若级数∑un发散, 则级数∑vn必发散. 这是因为如果
级数∑vn收敛, 由已证结论, 级数∑un也收敛, 矛盾.
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❖定理2(比较审敛法)
设∑un和∑vn都是正项级数, 且unkvn(k>0, nN). 若级数 ∑vn收敛, 则级数∑un收敛 若级数∑un发散, 则级数∑vn发散.
设 un 和 vn 都是正项级数,
n1
n 1
(1)如果 lim un n vn
l (0l),
且 vn 收敛, n1
则 un 收敛 n1
(2)如果 nlim
un vn
l
(0l),
且 vn 发散, n1
则 un 发散. n1
简要证证 明明
判断级数(1)
n1
n! nn
,
(2)
n1
n! 10n
的
敛
散性.
解：
(1) un1 un
(n 1)! (n 1)n1
/
n! nn
(n 1)n n
1 (1 1 )n
1 .
e
n
(2) un1 un
(n 1)! n! 10n1 / 10n
n1 10
.
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例如 , p – 级数
n
un
1 nn
p
1
(n
)
p 1, 级数收敛 ;
但
p 1, 级数发散 .
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❖定理9(根值审敛法, 柯西判别法)
对
正
项
级
数
n1
un
,
如
果
lim
n
n
un
,
(1)若 1,则 un收敛. n1
(2)若
)
(
1 8p
1 9p
1 15 p
)
1
(
1 2p
1 2p
)
(
1 4p
1 4p
1 4p
1 4p
)
(
1 8p
1 8p
1 8p
)
1
1 2 p1
1 ( 2 p1
)2
1 ( 2 p1
)3
当p>1时，上式中的最后一个级数是收敛的几何级数，其部 分和σn有界，从而p-级数的部分和sn满足
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❖定理9(根值审敛法, 柯西判别法)
对
正
项
级
数
n1
un
,
如
果
lim
n
n
un
,
(1)若 1,则 un收敛. n1
(2)若
1或 lim n n
un
,则 un发散.
n1
例
8
证
明
级
数
1
1 22
1 33
1 nn
是收敛的.
n 1
n 1
(1)如果 lim un l (0l), n vn
且 vn 收敛, n1
则 un 收敛 n1
(3)如果 lim un l (0l), n vn
且 vn 发散, n1
则 un 发散. n1
例3
判断
n1
1 2n
的敛散性. 1
§1.3 正项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
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一、正项级数及其审敛法
❖正项级数 各项都是正数或零的级数称为正项级数.
❖定理1(正项级数收敛的充要条件) 正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界. 这是因为正项级数的部分和数列{sn}是单调增加的, 而单
调有界数列是有极限.
un1 1,
un
也即un1 un ,
从而lim un 0, 故 un发散.
n
n1
(3)当lim un1 时, n un
取M 1 0, 存在N 0,当n N时, 有 un1 M 1, un
也即un1 un , 可得 un发散. n1
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思考：
正项级数
n1
un
,
若
lim
n
un1 un
1，级数的收敛性如何？
提示:
un
1 np
1
lim un1 lim (n 1) p 1
u n n
n
1
np
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思考：
正项级数
n1
un
,
若
lim
n
un1 un
不存在，则级数一定发散吗？
例例510
证
明
级
数
(
n 1
1)n
1
1 n
收敛,
并估计和及余项.
解 这是一个交错级数. 因为此级数满足
(1)
un
1 n
1 n 1
u n 1
(n1,
2,
),
(2)
lim
n
u
n
lim
n
1 n
0
,
由莱布尼茨定理, 级数是收敛的, 且其和s<u11,
余
项
| rn
|
n1
n1
提示:
un (1)n