第三讲 地下水系统分布参数数学模型

4.1 地下水流动数学模型及其求解方法
2 地下水流数学模型的求解方法 （1）解析法是利用经过严格的推理和数学推演获得的各种计算公
式进行计算的方法，裘布依公式和泰斯公式即属此类。其特点是：在 一定的假设条件下所进行的数学推导是非常严密的，所获得的解是精 确的。但水文地质条件非常复杂，用此法求解，误差非常大。
b 有限单元法：基本思想是用有限个单元的集合代替渗透区，用比较 简单的函数代替每个单元上的实际水头函数，然后通过某种变换处理， 把偏微分方程的定解问题转化为求解线性方程组的问题。
c 边界元法：边界元的剖分仅仅在边界上进行，然后利用边界积分方 程求出边界上的未知量，并进而计算区域内的未知量。
4.2 地下水流动数学模型求解的有限单元法
第四章 地下水系Fra Baidu bibliotek分布参数数学模型
4.1 地下水流动数学模型及其求解方法 4.2 地下水流动数学模型求解的有限单元法
4.1 地下水流动数学模型及其求解方法
一 地下水流数学模型 分布参数地下水流数学模型可分为不同的类型。按赋存介质的不同，
可分为孔隙水、裂隙水和岩溶水等模型；按流动要素的特点，可分为稳 定流、非稳定流、承压流、非承压流、饱和流、非饱和流、单相流、多 相流、一维流、二维流和三维流等模型。
地下水系统是一个受多因素控制的系统，这些因素中有些是随机的、 不确定的。严格地说，地下水流动数学模型应该用随机的微分方程（或 积分方程）来表示。
随着地下水赋存介质的特征不同，地下水的流动特点也就不相同，相 应的地下水流数学模型的建立和研究途径也就存在着差异。
4.1 地下水流动数学模型及其求解方法
1 孔隙水 在孔隙介质中，地下水的运动服从达西定律。
有限单元法可分为变分有限元法和迦辽金有限元法。变分有限元法的 基本思想是：利用变分原理，把地下水流偏微分方程的定解问题转化 为某一泛函I[H]的极值问题，再通过剖分和插值，可将该泛函I[H]转 化为一个普通的二次函数。这个二次函数的极值问题等价于一个线性 代数方程的求解问题，求解该方程组，即可得到地下水流问题的解。
2 裂隙水 （1）裂隙介质的特点 ①其渗透性具有较强的非均质性和各向异性，在一个计算区内往往可以划出许
多非均值区，每个区之间的导水系数或渗透系数有时可以相差数百倍。 ②渗透性往往随深度发生变化，在不同地点或不同的岩层，渗透系数随深度的
变化规律也不相同。因此，在厚层裂隙介质中确定含水层的厚度比较困难。 ③储水能力比孔隙介质小。 ④裂隙介质的储水性主要取决于微裂隙和岩层的孔隙（如粒间孔隙、气孔等），
而导水性则主要取决于一些较大的裂隙。 ⑤由于压力对裂隙张开的程度有明显的影响，故压力变化与岩层的透水性之间
存在着密切的关系。
4.1 地下水流动数学模型及其求解方法
（2）裂隙介质渗透性研究的途径 ①把裂隙介质视为连续介质，认为裂隙水的运动基本上服从达西定
律，可以用与孔隙水相同的数学模型来计算裂隙水流。 ②仍然认为裂隙水的运动符合达西定律，但地下水的传导和运动主
4.1 地下水流动数学模型及其求解方法
3 岩溶水
岩溶水与裂隙水在许多方面有共同之处，因而裂隙水的某些特点对岩溶水也同 样使用。但是，岩溶介质比裂隙介质具有更强的非均质性，使建立岩溶水流数学模 型更困难。
北方与南方岩溶水在分布、径流、补给、动态等方面存在着差异。南方岩溶地区， 地下水流动以管道流为主；北方地区，岩溶发育相对较弱，多数裂隙-岩溶水，含水 层中的地下水往往具有统一的地下水面。
（2）数值法是一种只能求出计算区内有限个点在某些时刻近似解 的计算方法。也就是说，数值法不能求出解的解析表达式，只能求出 解（未知量）在若干个离散点的近似值。
数值法在处理渗透区的非均质性和不规则性等方面具有很大的灵 活性。
4.1 地下水流动数学模型及其求解方法
a 有限差分法：原理就是在空间域时间离散的基础上用差商代替微商， 最后把地下水运动的偏微分方程的求解问题转化为差分方程的求解问 题；
第一节 地下水系统的控制 第二节 地下水系统的管理 第三节 目标函数、约束条件、决策变量、状态变量
第五章 地下水系统的控制与管理
第一节 地下水系统的控制
地下水系统由自然系统转为自然-人工复合系统，其行为、功能及活 动方式受到人为活动的影响，使其具有目的性并具有适应目标价值多样 化的特点。为使地下水的开采利用不至于造成系统的失稳，又使其活动 和状态朝着我们所希望的方向发展，就需对施加给地下水系统的（人为) 作用进行选择。这种选择过程就是控制。
4.1 地下水流动数学模型及其求解方法
二、地下水流数学模型的内容及其求解方法 1 一般包含两方面的内容： （1）有一个或一组能描述地下水运动规律的偏微分方程。一般，可把它 理解为是水量（或质量）平衡方程的一种微分表达形式；【注意对水文地质 条件的分析】 （2）有相应的定解条件。定解条件包括初始条件和边界条件。当模拟稳 定流时，只需要边界条件；当模拟非稳定流时，则要同时给出初始条件和边 界条件。 初始条件是指某一选定的初始时刻渗流区内地下水的水头分布状况；边 界条件是指渗流区的边界位置及边界上地下水应满足的条件，一般包括有已 知水头边界、已知流量边界和混合边界等三类。
一 基本知识 1 泛函 2 变分原理 （1）描述地下水运动的偏微分方程的定解问题等价于求某一泛函的 极小值问题；（2）求二次泛函的极小值问题与求解某一线性代数方 程的解是等价的。 3 剖分与插值
4.2 地下水流动数学模型求解的有限单元法
二 稳定流问题的解法 三 非稳定流问题的解法
第五章 地下水系统的控制与管理
要沿裂隙进行，而地下水的储存主要在孔隙中，孔隙和裂隙中各有不同 的水头，它们之间存在着水量交换，由此建立的数学模型称为双重介质 模型。
③把裂隙岩石看作是一种按一定几何规律分布的裂隙系统所割裂的 介质，此时，研究裂隙的参数和建立裂隙介质的水力学（层流或紊流模 型）就应该考虑单个裂隙的形状、规模及排列。
目前在实际工作中，研究途径主要有： （1）北方地区，由于岩溶发育程度相对较弱，多数情况，地下水的运动基本上 服从达西定律，所以常用孔隙水的数学模型或双重介质模型近似地进行地下水研究。 （2）南方地区，可考虑同时存在裂隙流和管道流两种水流情况，裂隙流服从达 西定律，管道流则不服从，裂隙流区与管道流区的分界线上存在着水量交换，这样 可推导出相应的地下水流模型。