郑州大学 自动控制原理第四章PPT
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i 1 i
n
0
对于稳定的控制系统有
( s ) a
i 1 i
n
0
s
i 1
n
i
a0
例.已知系统G ( s ) H ( s )
k 的根轨迹与虚轴相交时的两个 s ( s 1)( s 2)
闭环极点s1,2 j 2.试确定这种情况下的第三闭环极点s3 .
解：
1 G ( s) H ( s) 0 s 3 3s 2 2 s k 0
s zi (i 1, 2,, m)
根轨迹终止于开环零点
四.根轨迹的渐近线
渐近线与实轴正向夹角：
(2l 1) a nm
l 0,1, 2, , n m 1
举例 求下面闭环特征方程式根轨 迹的渐近线
s( s 4)( s2 2s 2) k( s 1) 0
i 1 i 1 n
1
2、相角条件
G( s ) H ( s ) 180 i 360
G(s)H(s) (s-zi )- (s-pi )
i 1 i 1 m n
( i 0,1, 2)
3、举例说明
已知系统开环传递函数 k ( s z1 ) G( s ) H ( s ) s( s p2 )( s p3 )
1、根轨迹分支数等于4；
-2.73 0
2、根轨迹起点和终点；
3、根轨迹的渐近线：n=4,m=0,四条
n m
a
p z
i 1 i j 1
j
nm
0 1 j 1 j 2.73 1.18 4
渐近线与实轴正向夹角分别是
(2l 1) a ,( l 0,1, 2, 3), 45,135, 135, 45 nm
j
解： 令 s 2 3s 3.25 0, 解得 p 1.5 j 1,2
令 s 1 0,解得 z1 -1
1、根轨迹分支数等于2； 2、根轨迹起点和终点； 3、根轨迹的渐近线：n=2,m=1,只有一条，是负实轴； 4、实轴上的根轨迹: (, 1) 5、根轨迹与实轴会合点的坐标：
即
dK 0 ds
n (S P d i i) 1 0 m ( S Z j ) ds j1 S
k 例1.已知某负反馈系统开环传递函数为 G ( S ) H ( S ) S ( S 1)( S 2)
试画出其根轨迹。 解：令 s( s 1)( s 2) 0, 解得
K
d
°
b)
°
a）
※根轨迹上的分离点和会合点是与特征方程式的重根相对应的。
分离点（或会合点）坐标值的求取方法:
令 G s H s KB s A s
方程出现重根的条件是S 必须同时满足下列方程 D s A s KB s 0 D s A s KB s 0 由上述两式导出确定分离点和会合点的方程 A s B s A s B s 0
2
kc 6
方法2
上例中
应用劳斯判据
k G(S ) H (S ) S ( S 1)( S 2)
s3 3s 2 2s k 0
劳斯表如下
s s
s s
3 2
1
3
2 k
令
6k =0,得 kc 6 3
辅助方程为
1
0
6k 3 k
F (s) 3s2 kc 0
根轨迹方程
R( s )
( s)
-
G ( s)
C (s)
H (s)
(i 0,1, 2)
m
G( s) H ( s) e jG( s ) H ( s ) 1 e j ( 180 i360 )
1、幅值条件
G( s ) H ( s ) 1
即 |G(s)H(s)|
k | s zi | | s pi |
第四章 根轨迹法
根轨迹法
伊凡思（W.R.Evans)提出： 闭环极点的图解法 规则
开环零极 点的分布
闭环极点 随参数的 变化轨迹
分析系统
4.1 控制系统的根轨迹
一、根轨迹、根轨迹法的基本概念
举例说明
R( s )
( s)
-
G ( s)
C (s)
G s
2K k K s s 2 s s 2 s(0.5s 1)
s1 s2 s3 3
s3 3 s1 s2 3 j 2 j 2 3
kc s1 s2 s3 6
十.放大倍数的求取
幅值条件
|G(s)H(s)|
k | s zi | | s pi |
i 1 i 1 n
m
1
对应于根轨迹上确定点sl
d s 2 3s 3.25 ds s 1 2 2 0.25 0 0
0
s=
解得 1 -2.12, 2 0.12(舍去)
6、求出射角
p 180 ( p1 z1 ) ( p1 p2 )
1
180 116.6 90 206
z1
3
p3
s s
p2
2
1
p1
1
4
z2
p
2
4
s
3
③试探点左边的极点p2对试探点构成的向量的相角为0°； ④试探点右边的极点p1对试探点构成的向量的相角为180°； 所以s1点满足根轨迹相角条件，于是[-p2 ,-p1]为实轴上的根轨迹。 2再看s2点：
不满足根轨迹相角条件，所以不是根轨迹上的点。
p1 0, p2 1, p3 2
1、根轨迹分支数等于3；
2、根轨迹起点和终点；
3、根轨迹的渐近线：n=3,m=0,三条
n m
-2
-1
0
a
p z
i 1 i j 1
j
nm
01 2 0 1 3
渐近线与实轴正向夹角分别是
(2l 1) a ,( l 0.1.2), 60,180, 60 nm
同样s3点也不是根轨迹上的点。
Βιβλιοθήκη Baidu论
实轴上某段区域右边的开环实数零点和开环实数极点总 数为奇数时，这段区域必为根轨迹的一部分。
p3
j
0
p2
°
z2
p1
°
z1 p4
六.根轨迹与实轴的交点
分离点（或会合点）：根轨迹在S平面某一点相遇后又立即分开。 分离点 会合点
K 0
d
K 0
K
n阶系统根轨迹有n个分支，也等于开环极点数目。
二.根轨迹的对称性和连续性 根轨迹各分支连续且关于实轴对称。 三.根轨迹的起点和终点
当k 0时, ( s p1 )( s p2 )( s pn ) 0
s pi (i 1, 2,, n)
根轨迹起于开环极点
当k 时, ( s p1 )( s p2 ) ( s pn ) ( s z1 )( s z 2 ) ( s z m ) 0 k
,
k 2K
零极点表达式
两个开环极点
C s
p1 0 ; p2 2
G( s ) k ( s) 2 R s 1 G( s ) s 2s k
D( s) s 2s k 0
2
k0
s1 0 ; s2 2
开环极点 不等实根 相等实根 共轭复数根
1
p
j 1
m
1
z j ) p1 pi
i2
n
z
i 1
n
1
pi z1 z j
j2
m
k ( s 1) 例2.已知某负反馈系统开环传递函数为 G ( s ) H ( s ) 2 s 3s 3.25
试画出其根轨迹。
解： G s H s
k ( s 1) s( s 4)( s 2 2 s 2)
j
渐近线与实轴的交点：
a
p z
i 1 i j 1
n
m
j
nm
4
5 3
1
0
五. 实轴上的根轨迹
举例说明
系统的开环零极点分布如右图所示。 1先看试验点s1点： ①成对出现的共轭极点p3、 p4对实轴上任意 试探点构成的两个向量的相角之和为0°； ②成对出现的共轭零点z1、 z2对实轴上任意 试探点构成的两个向量的相角之和为0°；
4、实轴上的根轨迹: (, 2), (1, 0)
5、根轨迹与实轴会合点的坐标：
d ds
[ s ( s 1)( s 2)]s 0
3 2 6 2 0
1 0.423
2 1.577(舍)
-2
-1
0
七.根轨迹与虚轴的交点
方法1
把s j代入1 G(s) H (s) 0得 1 G(j )H(j ) 0
kl
| sl pi | | sl z j |
j 1 i 1 m
n
k 例3.已知某负反馈系统开环传递函数为 G ( s) H ( s) s( s 2.73)( s 2 2s 2)
试画出其根轨迹。 解：
令 s(s 2.73)(s 2 2s 2) 0, 解得 p1 0, p2 1 j, p3 1 j, p4 2.73
幅值条件
p3 p 3
k
s1 s1 p2 s1 p3 s1 z1
※根轨迹的绘制过程为：
（1）寻找平面上所有满足相角条件的s； （2）利用幅值条件确定各点的k值。
4.2 绘制根轨迹的基本规则
设控制系统的开环传递函数为
k ( s z1 )( s z 2 )( s z m ) G( s ) H ( s ) ( s p1 )( s p2 )( s pn )
k (s z j )
m
(s p )
i 1 i
j 1 n
式中,s z j ( j 1, 2,, m)为系统的开环零点; s pi (i 1, 2,, n)为系统的开环极点.
一.根轨迹的分支数
( s p1 )( s p2 )( s pn ) k( s z1 )( s z 2 )( s zm ) 0
Re[1 G(j )H(j )] 0 令 Im[1 G(j )H(j )] 0
kc
上例中
G(S ) H (S )
k S ( S 1)( S 2)
s3 3s 2 2s k 0
-j3 -3 2 j2 k 0
-3 2 k 0 - 3 2 0
p 206
2
j
0
九.闭环极点的和与积
设系统的特征方程为：
D(s) sn an1sn1 a1s a0 0
D(s) (s s1 )(s s2 )(s sn ) 0
根据代数方程根与系数的关系，可得出
s
i 1
n
i
an 1
( s ) a
解之得
s 2j
八.根轨迹的出射角与入射角
出射角 根轨迹离开开环复数极点处的切线方向与实轴正向的夹角。 入射角 根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与实轴正向的夹角。
j
j
s1
s1
p1
p1
p1
z1
°
z1
°
z1
z1
p3
0
p2
p2
p3
0
z2
°
p2
p 180
1
z 180
其开环零、极点如图所示。 相角条件
p2
p2
s1
j
p1
z1
z1
0 p1
G( s) H ( s) ( s1 z1 ) ( s1 p1 ) ( s1 p2 ) ( s1 p3 ) z1 p1 p2 p3 = 180 i 360
1 k 0
k 1
s1,2 1 1 k
s1 s2 1
k 1
s1,2 1 j k-1
二阶系统根轨迹
j
k 1
k0
2
1
0
※根轨迹：指当系统中某个参量由零到无穷大变化时，其闭 环极点在s平面上移动的轨迹。
二、绘制根轨迹依据的条件
D( s ) 1 G( s ) H ( s ) 0 G( s ) H ( s ) 1
n
0
对于稳定的控制系统有
( s ) a
i 1 i
n
0
s
i 1
n
i
a0
例.已知系统G ( s ) H ( s )
k 的根轨迹与虚轴相交时的两个 s ( s 1)( s 2)
闭环极点s1,2 j 2.试确定这种情况下的第三闭环极点s3 .
解：
1 G ( s) H ( s) 0 s 3 3s 2 2 s k 0
s zi (i 1, 2,, m)
根轨迹终止于开环零点
四.根轨迹的渐近线
渐近线与实轴正向夹角：
(2l 1) a nm
l 0,1, 2, , n m 1
举例 求下面闭环特征方程式根轨 迹的渐近线
s( s 4)( s2 2s 2) k( s 1) 0
i 1 i 1 n
1
2、相角条件
G( s ) H ( s ) 180 i 360
G(s)H(s) (s-zi )- (s-pi )
i 1 i 1 m n
( i 0,1, 2)
3、举例说明
已知系统开环传递函数 k ( s z1 ) G( s ) H ( s ) s( s p2 )( s p3 )
1、根轨迹分支数等于4；
-2.73 0
2、根轨迹起点和终点；
3、根轨迹的渐近线：n=4,m=0,四条
n m
a
p z
i 1 i j 1
j
nm
0 1 j 1 j 2.73 1.18 4
渐近线与实轴正向夹角分别是
(2l 1) a ,( l 0,1, 2, 3), 45,135, 135, 45 nm
j
解： 令 s 2 3s 3.25 0, 解得 p 1.5 j 1,2
令 s 1 0,解得 z1 -1
1、根轨迹分支数等于2； 2、根轨迹起点和终点； 3、根轨迹的渐近线：n=2,m=1,只有一条，是负实轴； 4、实轴上的根轨迹: (, 1) 5、根轨迹与实轴会合点的坐标：
即
dK 0 ds
n (S P d i i) 1 0 m ( S Z j ) ds j1 S
k 例1.已知某负反馈系统开环传递函数为 G ( S ) H ( S ) S ( S 1)( S 2)
试画出其根轨迹。 解：令 s( s 1)( s 2) 0, 解得
K
d
°
b)
°
a）
※根轨迹上的分离点和会合点是与特征方程式的重根相对应的。
分离点（或会合点）坐标值的求取方法:
令 G s H s KB s A s
方程出现重根的条件是S 必须同时满足下列方程 D s A s KB s 0 D s A s KB s 0 由上述两式导出确定分离点和会合点的方程 A s B s A s B s 0
2
kc 6
方法2
上例中
应用劳斯判据
k G(S ) H (S ) S ( S 1)( S 2)
s3 3s 2 2s k 0
劳斯表如下
s s
s s
3 2
1
3
2 k
令
6k =0,得 kc 6 3
辅助方程为
1
0
6k 3 k
F (s) 3s2 kc 0
根轨迹方程
R( s )
( s)
-
G ( s)
C (s)
H (s)
(i 0,1, 2)
m
G( s) H ( s) e jG( s ) H ( s ) 1 e j ( 180 i360 )
1、幅值条件
G( s ) H ( s ) 1
即 |G(s)H(s)|
k | s zi | | s pi |
第四章 根轨迹法
根轨迹法
伊凡思（W.R.Evans)提出： 闭环极点的图解法 规则
开环零极 点的分布
闭环极点 随参数的 变化轨迹
分析系统
4.1 控制系统的根轨迹
一、根轨迹、根轨迹法的基本概念
举例说明
R( s )
( s)
-
G ( s)
C (s)
G s
2K k K s s 2 s s 2 s(0.5s 1)
s1 s2 s3 3
s3 3 s1 s2 3 j 2 j 2 3
kc s1 s2 s3 6
十.放大倍数的求取
幅值条件
|G(s)H(s)|
k | s zi | | s pi |
i 1 i 1 n
m
1
对应于根轨迹上确定点sl
d s 2 3s 3.25 ds s 1 2 2 0.25 0 0
0
s=
解得 1 -2.12, 2 0.12(舍去)
6、求出射角
p 180 ( p1 z1 ) ( p1 p2 )
1
180 116.6 90 206
z1
3
p3
s s
p2
2
1
p1
1
4
z2
p
2
4
s
3
③试探点左边的极点p2对试探点构成的向量的相角为0°； ④试探点右边的极点p1对试探点构成的向量的相角为180°； 所以s1点满足根轨迹相角条件，于是[-p2 ,-p1]为实轴上的根轨迹。 2再看s2点：
不满足根轨迹相角条件，所以不是根轨迹上的点。
p1 0, p2 1, p3 2
1、根轨迹分支数等于3；
2、根轨迹起点和终点；
3、根轨迹的渐近线：n=3,m=0,三条
n m
-2
-1
0
a
p z
i 1 i j 1
j
nm
01 2 0 1 3
渐近线与实轴正向夹角分别是
(2l 1) a ,( l 0.1.2), 60,180, 60 nm
同样s3点也不是根轨迹上的点。
Βιβλιοθήκη Baidu论
实轴上某段区域右边的开环实数零点和开环实数极点总 数为奇数时，这段区域必为根轨迹的一部分。
p3
j
0
p2
°
z2
p1
°
z1 p4
六.根轨迹与实轴的交点
分离点（或会合点）：根轨迹在S平面某一点相遇后又立即分开。 分离点 会合点
K 0
d
K 0
K
n阶系统根轨迹有n个分支，也等于开环极点数目。
二.根轨迹的对称性和连续性 根轨迹各分支连续且关于实轴对称。 三.根轨迹的起点和终点
当k 0时, ( s p1 )( s p2 )( s pn ) 0
s pi (i 1, 2,, n)
根轨迹起于开环极点
当k 时, ( s p1 )( s p2 ) ( s pn ) ( s z1 )( s z 2 ) ( s z m ) 0 k
,
k 2K
零极点表达式
两个开环极点
C s
p1 0 ; p2 2
G( s ) k ( s) 2 R s 1 G( s ) s 2s k
D( s) s 2s k 0
2
k0
s1 0 ; s2 2
开环极点 不等实根 相等实根 共轭复数根
1
p
j 1
m
1
z j ) p1 pi
i2
n
z
i 1
n
1
pi z1 z j
j2
m
k ( s 1) 例2.已知某负反馈系统开环传递函数为 G ( s ) H ( s ) 2 s 3s 3.25
试画出其根轨迹。
解： G s H s
k ( s 1) s( s 4)( s 2 2 s 2)
j
渐近线与实轴的交点：
a
p z
i 1 i j 1
n
m
j
nm
4
5 3
1
0
五. 实轴上的根轨迹
举例说明
系统的开环零极点分布如右图所示。 1先看试验点s1点： ①成对出现的共轭极点p3、 p4对实轴上任意 试探点构成的两个向量的相角之和为0°； ②成对出现的共轭零点z1、 z2对实轴上任意 试探点构成的两个向量的相角之和为0°；
4、实轴上的根轨迹: (, 2), (1, 0)
5、根轨迹与实轴会合点的坐标：
d ds
[ s ( s 1)( s 2)]s 0
3 2 6 2 0
1 0.423
2 1.577(舍)
-2
-1
0
七.根轨迹与虚轴的交点
方法1
把s j代入1 G(s) H (s) 0得 1 G(j )H(j ) 0
kl
| sl pi | | sl z j |
j 1 i 1 m
n
k 例3.已知某负反馈系统开环传递函数为 G ( s) H ( s) s( s 2.73)( s 2 2s 2)
试画出其根轨迹。 解：
令 s(s 2.73)(s 2 2s 2) 0, 解得 p1 0, p2 1 j, p3 1 j, p4 2.73
幅值条件
p3 p 3
k
s1 s1 p2 s1 p3 s1 z1
※根轨迹的绘制过程为：
（1）寻找平面上所有满足相角条件的s； （2）利用幅值条件确定各点的k值。
4.2 绘制根轨迹的基本规则
设控制系统的开环传递函数为
k ( s z1 )( s z 2 )( s z m ) G( s ) H ( s ) ( s p1 )( s p2 )( s pn )
k (s z j )
m
(s p )
i 1 i
j 1 n
式中,s z j ( j 1, 2,, m)为系统的开环零点; s pi (i 1, 2,, n)为系统的开环极点.
一.根轨迹的分支数
( s p1 )( s p2 )( s pn ) k( s z1 )( s z 2 )( s zm ) 0
Re[1 G(j )H(j )] 0 令 Im[1 G(j )H(j )] 0
kc
上例中
G(S ) H (S )
k S ( S 1)( S 2)
s3 3s 2 2s k 0
-j3 -3 2 j2 k 0
-3 2 k 0 - 3 2 0
p 206
2
j
0
九.闭环极点的和与积
设系统的特征方程为：
D(s) sn an1sn1 a1s a0 0
D(s) (s s1 )(s s2 )(s sn ) 0
根据代数方程根与系数的关系，可得出
s
i 1
n
i
an 1
( s ) a
解之得
s 2j
八.根轨迹的出射角与入射角
出射角 根轨迹离开开环复数极点处的切线方向与实轴正向的夹角。 入射角 根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与实轴正向的夹角。
j
j
s1
s1
p1
p1
p1
z1
°
z1
°
z1
z1
p3
0
p2
p2
p3
0
z2
°
p2
p 180
1
z 180
其开环零、极点如图所示。 相角条件
p2
p2
s1
j
p1
z1
z1
0 p1
G( s) H ( s) ( s1 z1 ) ( s1 p1 ) ( s1 p2 ) ( s1 p3 ) z1 p1 p2 p3 = 180 i 360
1 k 0
k 1
s1,2 1 1 k
s1 s2 1
k 1
s1,2 1 j k-1
二阶系统根轨迹
j
k 1
k0
2
1
0
※根轨迹：指当系统中某个参量由零到无穷大变化时，其闭 环极点在s平面上移动的轨迹。
二、绘制根轨迹依据的条件
D( s ) 1 G( s ) H ( s ) 0 G( s ) H ( s ) 1