平新乔课后习题详解(第11讲--广延型博弈与反向归纳策略)

平新乔《微观经济学十八讲》第11讲广延型博弈与反向归纳策略

1．考虑图11-1所示的房地产开发博弈的广延型表述：

（1）写出这个博弈的策略式表述。

（2）求出纯策略纳什均衡。

（3）求出子博弈完美纳什均衡。

图11-1 房地产开发商之间的博弈

解：（1）开发商A的策略为：①开发，②不开发。

开发商B的策略为：

①无论A怎样选择，B都会选择开发；用（开发，开发）表示。

②当A选择开发时，B选择开发；当A选择不开发时，B选择不开发；用（开发，不开发）表示。

③当A选择开发时，B选择不开发；当A选择不开发时，B选择开发；用（不开发，开发）表示。

④无论A怎样选择，B都会选择不开发；用（不开发，不开发）表示。

房地产开发博弈的策略式表述如表11-1所示：

表11-1 房地产开发商之间的博弈

（2）对于任意的参与人，给定对手的策略，在他的最优策略对应的支付下面画一条横线。对均衡的策略组合而言，相应的数字栏中有两条下划线，所以本题共有三个纯策略纳什均衡（如表11-1所示），它们分别为：

①｛不开发，（开发，开发）｝；②｛开发，（不开发，开发）｝；③｛开发，（不开发，不开发）｝。

（3）利用反向归纳法可知，子博弈完美的纳什均衡为｛开发，（不开发，开发）｝。

2．你是一个相同产品的双寡头厂商之一，你和你的竞争者生产的边际成本都是零。而市场的需求函数是：

=-

p Q

30

（1）假设你们只有一次博弈，而且必须同时宣布产量，你会选择生产多少？你期望的利润为多少？为什么？

（2）若你必须先宣布你的产量，你会生产多少？你认为你的竞争者会生产多少？你预

计你的利润是多少？先宣布是一种优势还是劣势？为了得到先宣布或后宣布的选择权，你愿意付出多少？

（3）现在假设你正和同一个对手进行十次系列博弈中的第一次，每次都同时宣布产量。你想要十次利润的总和（不考虑贴现）最大化，在第一次你将生产多少？你期望第十次生产多少？第九次呢？为什么？

解：（1）由于只有一次博弈，所以这里的产量为古诺解。由已知可得厂商1的利润函数为：

()()21111121213030pQ C Q Q Q Q Q Q π=-=--=-+- 利润最大化的一阶条件为1121

2300Q Q Q π∂=-+-=∂，可得厂商1的反应函数为： 12150.5Q Q =- ①

同理得到厂商2的反应函数为：

21150.5Q Q =- ②

联立①、②两式，解得110Q =，210Q =。

从而市场价格和厂商各自的利润为：10p =；1100π=，2100π=。

（2）这是一个斯塔克博格模型。在这个模型中，市场的领导者会根据竞争对手的反应函数（由第﹙1﹚问可知）来确定自己的最优产量，此时厂商1的利润函数为：

211111130300.5152Q Q Q Q Q π-⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭

利润最大化的一阶条件为：111

150Q Q π∂=-=∂，解得115Q =。 从而可得：27.5Q =；7.5p =；1112.5π=；256.25π=。

由以上的计算可知，先宣布产量是一种优势，为了得到先宣布产量的选择权，领导者愿意付出的代价应不大于两种情况下的利润差，即112.510012.5-=。

（3）当两企业进行有限次的博弈时，按照古诺模型确定的产量是各自的最优选择，所以在每次博弈中，两个企业的产量都为10。这是因为两企业为了实现利润最大的最优选择原本应是按照联合定价的卡特尔模型行事，但在第十次生产时，双方都知道这是最后一次博弈，为实现自身的利润最大，都会选择背叛，即实行先宣布产量的战略，从而使得市场的最后均衡为古诺均衡，而第九次博弈时，既然双方都知道在第十次博弈时，对方一定会背叛自己，那就没有理由在第九次博弈中合作，而市场的最终结果还是古诺均衡。依次类推，可知古诺产量是每一次博弈的均衡解。

3．考虑下列三个广延型博弈（如图11-2），哪一个博弈有多重反向归纳策略？

图11-2 广延型博弈的树形图

答：（1）有多重反向归纳策略。分析如下：这个动态博弈的子博弈完美的纳什均衡为：

①(){},,L L L "'；②(){},,R R R "'；③(){},,L R R "'（相应的均衡路径如图11-3中①L ；②

R R R -'-"；③L 所示）

。

图11-3 博弈的均衡路径

（2）只有单重的反向归纳策略。分析如下：当1选择L 后，2有两种选择：（L '，R '），对应的支付为()(){}0,4,5,1。此时2肯定会选择L '使自己得到数量为4的支付，从而1只能得到数量为零的支付。这对于1来说是不合意的，不如选择T 得到的支付多。同理，如果1选择R ，2也有两种选择：（L '，R '），对应的支付为()(){}1,2,3,1。2肯定会选择L '，使得自己得到数量为2的支付，此时1只能得到数量为1的支付，这还是比1选择T 的支付少。所以均衡的结果为1选择T ，然后博弈就此结束。如图11-4所示：

图11-4 利用反向归纳法得到均衡的结果

（3）有多重的反向归纳策略。分析如下：如果2选择L ，那么1肯定会选择L '，因为这样可以使他比选择R '获得更多的支付，此时2得到数量为1的支付；同样的原因，当2选择R 时，1肯定会选择R '，这样，2得到的支付仍然为1；可见2选择L 和R 对他是没有区别的，并且得到的支付都比他选择T 所得到的支付（2选择T 只能得到数量为0的支付）多，所以均衡的结果是2选择L 或R 。如图11-5所示。

图11-5 利用反向归纳法得到均衡的结果

4．请将图11-6所示的广延型博弈转化为策略型博弈，并求纳什均衡。

图11-6 广延型博弈

解：策略型博弈的支付矩阵如表11-2所示。

表11-2 策略型博弈的支付矩阵

（1）纯策略纳什均衡为：（L ，l ）和（R ，r ）。

（2）混合策略就是一个概率分布，表明参与人实行每个纯策略的概率。比如在本题中，设参与人1实行L 和R 的概率分别为p 和1p -，那么此人的混合策略就是()1,1p p σ-，类似的参与人2的混合策略就是()2,1q q σ-。下面求解混合策略均衡，设游戏者1、2选L 、l 的概率分别为p 、q ，则均衡时，游戏者1选择L 和R 可以获得相同的期望收益，即：

()31q q =- 解得34q =。同理可得14p =。所以()12,σσ为此博弈的混合策略纳什均衡，其中11344σ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，23144σ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

，。

5．两家电视台竞争周末黄金时段晚8点到10点的收视率，可选择把较好的节目放在前面还是后面。它们决策的不同组合导致收视率如表11-3所示（每个数字栏中，前一个数字表示电视台2的收益，后一个数字表示电视台1的收益）。

表11-3 电视台竞争收视率的博弈

（1）如果两家是同时决策，有纳什均衡吗？

（2）如果双方采用规避风险的策略，均衡的结果是什么？

（3）如果电视台1先选择，结果有什么？若电视台2先选择呢？

（4）如果两家谈判合作，电视台1许诺将好节目放在前面，这许诺可信吗？结果可能