平新乔课后习题详解(第11讲--广延型博弈与反向归纳策略)
平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(策略性博弈与纳什均衡)
第10讲 策略性博弈与纳什均衡1．假设厂商A 与厂商B 的平均成本与边际成本都是常数，10A MC =，8B MC =，对厂商产出的需求函数是50020D Q p =-（1）如果厂商进行Bertrand 竞争，在纳什均衡下的市场价格是多少？ （2）每个厂商的利润分别为多少？ （3）这个均衡是帕累托有效吗？解：（1）如果厂商进行Bertrand 竞争，纳什均衡下的市场价格是10B p ε=-，10A p =，其中ε是一个极小的正数。
理由如下：假设均衡时厂商A 和B 对产品的定价分别为A p 和B p ，那么必有10A p ≥，8B p ≥，即厂商的价格一定要高于产品的平均成本。
其次，达到均衡时，A p 和B p 都不会严格大于10。
否则，价格高的厂商只需要把自己的价格降得比对手略低，它就可以获得整个市场，从而提高自己的利润。
所以均衡价格一定满足10A p ≤，10B p ≤。
但是由于A p 的下限也是10，所以均衡时10A p =。
给定10A p =，厂商B 的最优选择是令10B p ε=-，这里ε是一个介于0到2之间的正数，这时厂商B 可以获得整个市场的消费者。
综上可知，均衡时的价格为10A p =，10B p ε=-。
（2）由于厂商A 的价格严格高于厂商B 的价格，所以厂商A 的销售量为零，从而利润也是零。
下面来确定厂商B 的销售量，此时厂商B 是市场上的垄断者，它的利润最大化问题为：max pq cq ε>- ①其中10p ε=-，()5002010q ε=-⨯-，把这两个式子代入①式中，得到：()()0max 1085002010εεε>----⎡⎤⎣⎦解得0ε=，由于ε必须严格大于零，这就意味着ε可以取一个任意小的正数，所以厂商B 的利润为：()()500201010εε-⨯--⎡⎤⎣⎦。
（3）这个结果不是帕累托有效的。
因为厂商B 的产品的价格高于它的边际成本，所以如果厂商B 和消费者可以为额外1单位的产品协商一个介于8到10ε-之间的价格，那么厂商B 的利润和消费者的剩余就都可以得到提高，同时又不损害厂商A 的剩余（因为A 的利润还是零）。
平新乔课后习题详解(第9讲--古诺(Cournot)均衡、Bertrand与不完全竞争)
平新乔《微观经济学十八讲》第9讲古诺(Cournot )均衡、Bertrand与不完全竞争1.考虑一个由两家企业组成的寡头垄断行业，市场的需求由p=10_Q给出。
这两家企业的成本函数分别为G =4 2Q,, C2 =3 3Q2。
(1)若两家企业串通追求共同的利润最大化，总的产量水平是多少？市场价格为多少？各自生产多少？各自利润多大？(2)若两家企业追求各自的利润最大化，利用古诺模型，各自生产多少？各自利润多大？市场价格多大？并给出各自的反应函数。
(3)若串通是非法的，但收购不违法。
企业1会出多少钱收购企业2？解：(1)若两家企业串通时，它们的目标是追求总利润的最大化，则总利润函数为：2 2 ■■:二p Q Q2 -G Q, -C2 Q2二-Q, 8Q, -2QQ2 -Q2 7Q2 -7利润最大化的一阶条件为：—= -2Q +8-2Q =0 QQ2 7-2Q =0Q上述两式无解，说明两家企业串通后只由一家企业生产，不存在两家企业同时生产的情况。
根据两家企业的成本函数可得MG =2 , MC2 =3。
由于两家企业的边际成本为常数，且企业1的边际成本小于企业2的边际成本，所以串通后所有的产量全部由企业1提供，故Q2 =0。
则总利润函数变为：2--Q ' 8Q1 - 7利润最大化的一阶条件为：—=-2Q +8 = 0 ,解得Q =4。
dQ1因此两家企业串通后，总的产量水平为Q r Q!・Q2=4；市场价格为p=10_Q=：6 ；企业1的利润为二1 =-Q12• 8Q1 -4 =12 ;企业2的利润为二1 =-3。
(2)由已知可得企业1的利润函数为：2 j-pQ1 - G Q1 二-Q1 8 -Q2 Q1 -4利润最大化的一阶条件为：卫匚=-2Q +8-Q2 =0，得企业1的反应函数为：Q1Q =4「0.5Q2类似的方法可以得到企业2的反应函数为：Q2 =3.5 - 0.5Q联立两企业的反应函数可以解得古诺均衡时每家企业的产量为：Q, =3 , 02^2。
平新乔课后习题详解(第13讲--委托—代理理论初步)
平新乔《微观经济学十八讲》第13讲 委托—代理理论初步1．一家厂商的短期收益由210R e e x =-给出，其中e 为一个典型工人（所有工人都假设为是完全一样的）的努力水平。
工人选择他减去努力以后的净工资w e -（努力的边际成本假设为1）最大化的努力水平。
根据下列每种工资安排，确定努力水平和利润水平（收入减去支付的工资）。
解释为什么这些不同的委托—代理关系产生不同的结果。
（1）对于e 1≥，2w =；否则0w =。
（2）/2w R =。
（3）12.5w R =-。
解：（1）对于e 1≥，2w =；否则0w =，此时工人的净工资为：211e e w e ee -≥⎧-=⎨-<⎩ 所以*1e =时，工人的净工资最大。
雇主利润为：*21021028R w e e x x x π=-=--=--=-工人的净工资线如图13-1所示。
图13-1 代理人的净工资最大化（2）当/2w R =时，工人的净工资函数为：22115422w e e e x e e x e -=--=-+净工资最大化的一阶条件为：()d 40d w e ex e-=-+=解得：4e x*=。
雇主利润2111441210222R R R x x x x π*⎡⎤⎛⎫=-==⨯-⋅=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦。
（3）当12.5w R =-时，工人的净工资函数为：221012.5912.5w e e e x e e x e -=---=-+-净工资最大化的一阶条件为：()d 290d we ex e-=-+=解得： 4.5e x*=。
此时雇主利润为()*12.512.5R R π=--=。
（4）这些不同的委托—代理关系之所以会产生不同的结果是因为：无论是代理人还是委托人，他们的行动标准都是实现自身利益的最大化，但两者的利益最大化目标有时会发生冲突，委托人制定激励机制正是要解决这一问题。
而以上的不同的工资制度所得到的不同的结果反映了委托人在这方面的努力，同时也说明了各种制度所激发的代理人的努力程度不同。
平新乔课后习题详解(第14讲--信息不对称、逆向选择与信号博弈)
平新乔《微观经济学十八讲》第14讲 信息不对称、逆向选择与信号博弈1．假定二手车的质量q 是服从于下列均匀分布的[](),0q u t z t >～证明：如果卖主和买主的效用函数分别为1u M qn =+和232u M qn =+，预算约束分别为1y M p n =+⋅和2y M p n =+⋅，那么： （1）当市场价格为p 时，平均质量必为：()1122t p p t μ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥= （2）市场不会彻底萎缩。
（3）与信息完全相对照，关于q 的信息不对称使交易缩小了多少？使买卖双方的利益损失了多少？证明：（1）卖主的效用函数为1u M qn =+，其中q 对于卖主来说是确定的，因此，将卖主的预算约束代入效用函数之中可得：()11u y q p n =+-当且仅当q p >时卖主才不会将车卖出，因此，一定有q p ≤，此时0n =，即出售二手车。
因此有：()2t Eq p p t μ+=≥= （2）把卖主的预算约束1y M p n =+⋅代入他的效用函数中，就有：()11u y q p n =+-当且仅当出售汽车可以带给他更高的效用时，卖主选择出售汽车，即：()11y q p n y +-≤从而解得p q ≥，即市场价格不低于汽车质量时，卖主会出售汽车，这就意味着，当对于给定的市场价格p ，只有质量低于p 的汽车会出售。
把买主的预算约束2y M p n =+⋅代入他的效用函数中，就有2232u y q p n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，由于买主不清楚市场上每辆汽车的具体质量，所以他只能最大化自己的期望效用，即：2232Eu y p n μ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭这里()E q μ=。
当且仅当买车可以带给他更高的效用时，买主购买汽车，即：2232y p n y μ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭其中()E q μ=。
从而得到32p μ≤，这就意味着买主的保留价格不会高于市场上汽车平均质量的1.5倍。
下面来求解市场均衡，分两种情况讨论：①3z t ≥时，假设均衡时市场上汽车的质量服从[],U t x ，那么市场上汽车的平均质量为2t x +，此时买主的保留价格为()33=224t x t x +⨯+，均衡时，买主的保留价格必然等于市场上最好的汽车的质量，即：()34x t x =+ 解得3x t =。
平新乔《微观经济学十八讲》课后习题和强化习题详解(1-3讲)【圣才出品】
lim
→0
1
x1 ln x1 1 x1
+ +
2 2
x2 x2
ln
x2
= exp
1 ln x1 +
2 ln x2
=
x1 1
x2 2
1 + 2 = 1
1
( ) （3）当 → − 时，对效用函数 u( x1, x2 ) = 1x1 + 2 x2 两边变换求极限有：
( ) ( ) lim u
3 / 62
4．设
u
(
x1,
x2
)
=
1 2
ln
x1
+
1 2
ln
x2
，这里
x1，x2
R+
。
（1）证明： x1 与 x2 的边际效用都递减。
（2）请给出一个效用函数形式，但该形式不具备边际效用递减的性质。
答：（1）将 u
关于
x1
和
x2
分别求二阶偏导数得
2u x12
=
−
1 2x12
y)
=
min
x,
y 2
，如图
1-3
所示。
图 1-3 喝一杯汽水就要吃两根冰棍 （4）如图 1-4 所示，其中 x 为中性品。
图 1-4 对于有无汽水喝毫不在意
2．作图：如果一个人的效用函数为 u ( x1, x2 ) = maxx1, x2
2 / 62
（1）请画出三条无差异曲线。 （2）如果 p1 = 1 ， p2 = 2 ， y = 10 。请在图 1-5 上找出该消费者的最优消费组合。 答：（1）由效用函数画出的三条无差异曲线如图 1-5 所示。
平新乔微观经济学试卷和答案
3
6
供关于损失的全额保险（丢多少赔多少），但要收取保险金 20 元。这时李兵
会接受该保险服务吗？为什么？
中级微观经济学（2 班） 北京大学中国经济研究中心
（2008 年春季）
期中考试试卷（共 100 分）
考试条件：1，闭卷；2，可带计算器；3，考试时间 120 分钟
一，简答题（共 20 分）
1．（ 10 分）设消费者只消费两种商品，设 x1 与 x2 为两种商品的数量，记 p1 0 和
8、 在北大百年纪念堂里放电影，周六下午对于电影票的需求反函数为 P 10 4Q（P
为价格， Q 为票数）；而周六晚上（ 7：00—9：00pm）对电影票的需求反函数为
P 12 2Q 。如果北大百年纪念堂管理处可以实行差别定价（价格歧视），且追求
利润极大化，并且设放映电影的边际成本在周六下午与周六晚上是相同的，都为 2。 问：电影票价在周六下午与周六晚上应各为多少？
（2）（ 5 分）以（1）为基础，请回答：为什么中国的消费税要选择以汽车、高档化妆 品、金银首饰、香烟、酒等为对象？
1
三，判断题（共 20 分）（若认为正确，务必以作图或别的方式讨论之；若认为错误，请给出 反例；只判断对错不得分） 1．（ 10 分）在公平保费时，保费金额必定等于风险升水（风险溢价）。
风险利率为 9%。请问：投资者在对股票 A 所要求的回报率与对股票 B 所要求的回 报率之间，哪一个高？应高出多少？ 4、 下列说法对吗？（请给出理由） “在长期，垄断竞争厂商的利润不为零，因为生产没有在平均成本最低点进行。” 5、 上世纪 70 年代前，河北白洋淀上有许多捕鱼船。假设每只捕鱼船每月的运行成本
五 、（ 20 分）证明：个人是风险中立的当且仅当下列三个条件中的每一个都满足：
平新乔微观经济学十八讲》答案
5.1. 当 ρ = 1 ，该效用函数为线性．
证明：当 ρ = 1 时，效用函数为
u(x1, x2 ) = α1x1 + α 2 x2 此时，函数 u 是线性的．
4
第一讲 偏好、效用……
5.2.
当ρ
→
0 时，该效用函数趋近于 u(x1 ,
x2 )
=
x α1 1
x α2 2
β1
证明：令
=
α1 α1 + α2
2 x12
因此 x1 的边际效用是递减的．同理， x2 的边际效用也是递减的．i
4.2. 请给出一个效用函数形式，使该形式不具备边际效用递减的性质．
答：可能的一个效用函数是 u(x1, x2 ) = x1 + x2 ．
5. 常见的常替代弹性效用函数形式为
请证明：
( )1
u(x1 , x2 ) = α1 x1ρ + α 2 x2 ρ ρ
述的偏好中，商品 1 与商品 2 是完全替代的．
4. 若某个消费者的效用函数为
u ( x1 ,
x2 )
=
1 2
ln
x1
+
1 2
ln
x2
其中， x1, x2 ∈ R+
4.1. 证明： x1 与 x2 的边际效用都递减．
证明： u(x1, x2 ) 对 x1 取二阶偏导：
∂2u = − 1 < 0
∂x12
不具有完备性．同理可以说明无差异关系也不具有完备性．
8.2. ≈ 满足反身性
说明：如果无差异关系不具有完备性，那么根据无差异关系的定义，则必存在一个消
费束严格偏好于它自身，也就是说，这个消费束同时既偏好于它本身又不偏好于它本
平新乔课后习题详解(第14讲--信息不对称、逆向选择与信号博弈)
平新乔课后习题详解(第14讲--信息不对称、逆向选择与信号博弈)平新乔《微观经济学十八讲》第14讲 信息不对称、逆向选择与信号博弈1．假定二手车的质量q 是服从于下列均匀分布的[](),0q u t z t >～证明：如果卖主和买主的效用函数分别为1u M qn =+和232u M qn =+，预算约束分别为1y M p n =+⋅和2y M p n =+⋅，那么：（1）当市场价格为p 时，平均质量必为：()1122t p p t μ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥= （2）市场不会彻底萎缩。
（3）与信息完全相对照，关于q 的信息不对称使交易缩小了多少？使买卖双方的利益损失了多少？证明：（1）卖主的效用函数为1u M qn =+，其中q 对于卖主来说是确定的，因此，将卖主的预算约束代入效用函数之中可得：()11u y q p n =+-当且仅当q p >时卖主才不会将车卖出，因此，一定有q p ≤，此时0n =，即出售二手车。
因此有：()2t Eq p p t μ+=≥= （2）把卖主的预算约束1y M p n =+⋅代入他的效用函数中，就有：()11u y q p n =+-当且仅当出售汽车可以带给他更高的效用时，卖主选择出售汽车，即：()11y q p n y +-≤从而解得p q ≥，即市场价格不低于汽车质量时，卖主会出售汽车，这就意味着，当对于给定的市场价格p ，只有质量低于p 的汽车会出售。
把买主的预算约束2yM p n =+⋅代入他的效用函数中，就有2232u y q p n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，由于买主不清楚市场上每辆汽车的具体质量，所以他只能最大化自己的期望效用，即：2232Eu y p n μ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭这里()E q μ=。
当且仅当买车可以带给他更高的效用时，买主购买汽车，即：2232y p n y μ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭其中()E q μ=。
从而得到32p μ≤，这就意味着买主的保留价格不会高于市场上汽车平均质量的 1.5倍。
任保平《微观经济学》笔记和课后习题详解(博弈论与企业策略)【圣才出品】
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来说明。在“囚徒困境”中，若两人都坦白，各被判 8 年；若两人都抵赖，则各被判 1 年； 若一人抵赖，一人坦白，则分别被判 8 年和释放。两人的支付矩阵如表 11-1 所示。
表 11-1 “囚徒困境”
①博弈的参与人集合： i ； 1, 2,..., n ；
②每个参与人的战略空间： Si ， i 1, 2,..., n ；
③每个参与人的支付函数： ui s1,, si ,, sn ， i 1, 2,..., n 。 所以， G S1，，Sn ;u1,un 代表战略式表述博弈。
（3）两人有限博弈的支付矩阵 支付矩阵是战略式表述的一种常用方法。两人有限博弈的支付矩阵可以通过“囚徒困境”
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任保平《微观经济学》笔记和课后习题详解 第十一章 博弈论与企业策略
11.1 复习笔记
一、博弈论概述 1．博弈论及其发展 （1）博弈论的研究对象 博弈又称为对策或游戏，是指一些人或组织在“策略相互依存”情形下相互影响、互相 作用的状态。博弈论就是研究在博弈情况下博弈参与者的环境选择行为的理论，或者说是竞 争者如何依据环境的变化，采取最优策略与行为的理论。 （2）博弈论的发展 1944 年，冯·诺依曼和摩根斯坦提出了预期效用理论等概念。1950 年，合作博弈发展 到鼎盛时期，同时，非合作博弈也开始创立。1960 年后，泽尔滕把纳什均衡的概念引入动 态分析，提出了“精练纳什均衡”的概念。海萨尼把不完全信息引入博弈论的研究。克瑞普 斯和威尔逊于 1982 年合作发表了关于不完全信息动态博弈的重要论文。
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平新乔课后习题详解(第12讲--子博弈与完美性)
平新乔《微观经济学十八讲》第12讲 子博弈与完美性1．在Bertrand 价格博弈中，假定有n 个生产企业，需求函数为()p Q a Q =-，其中p 是市场价格，Q 是n 个生产企业的总供给量。
假定博弈重复无穷多次，每次的价格都立即被观测到，企业使用“触发策略”（一旦某个企业选择垄断价格，则执行“冷酷策略”）。
求使垄断价格可以作为完美均衡结果出现的最低贴现因子σ？解释σ与n 的关系。
解：（1）①当n 个企业合谋时：假设该行业中任一企业的边际成本恒为c ，0a c >>。
n 个生产企业的总利润函数为：()()2pQ cQ a Q Q cQ Q a c Q π=-=--=-+- 利润最大化的一阶条件为：d 20d Q a c Q π=-+-=，解得垄断总产出为2m a c Q -=。
此时垄断价格为：2m m a c p a Q +=-= 从而垄断的总利润和每个厂商的利润分别为：()24m a c π-=()2,1,2,,4mi a c i n n π-== 考虑时期t 企业i 的选择，给定其他企业按照垄断条件生产，若企业仍遵守垄断定价，那么它从t 期开始的利润的现值为：()()()241i a c m n πσ-=- ②当有企业背叛时： 给定其他企业按照垄断条件生产，即()12m i t n Q a c n--=-，。
若企业i 选择背离垄断价格，那么它的利润最大化问题就是：(),,,,max mi t i t i t i t Q a Q Q cQ ----由一阶条件得：()14i t n Q a c n+=-， 厂商i 相应的利润为：()()222116i t n a c n π+-=，又因为在t 期，企业i 不遵守垄断定价规则，所以从1t +期开始，它的利润就恒为零。
因此(),i i t b ππ=，其中b 代表背叛垄断定价。
为了使垄断价格可以作为子博弈完美纳什均衡的结果出现，那么合谋时企业利润的现值就不应当低于背叛时的现值，即()()i i m b ππ≥，从而解得贴现因子的最小值为：2min 211n σ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭（2）因为min σ关于n 单调递增，这就意味着：n 越大，即行业中的企业越多时，不遵守垄断规则，图一时好处的吸引力就越大，因此，只有通过更高的折现率来提高未来收益在利润中的权重，才能保持厂商遵守垄断规则。
平新乔《微观经济学十八讲》(课后习题 第11讲 广延型博弈与反向归纳策略)【圣才出品】
第11讲广延型博弈与反向归纳策略1．考虑图11-1所示的房地产开发博弈的广延型表述：（1）写出这个博弈的策略式表述。
（2）求出纯策略纳什均衡。
（3）求出子博弈完美纳什均衡。
图11-1房地产开发商之间的博弈解：（1）开发商A的策略为：①开发，②不开发。
开发商B的策略为：①无论A怎样选择，B都会选择开发；用（开发，开发）表示。
②当A选择开发时，B选择开发；当A选择不开发时，B选择不开发；用（开发，不开发）表示。
③当A选择开发时，B选择不开发；当A选择不开发时，B选择开发；用（不开发，开发）表示。
④无论A怎样选择，B都会选择不开发；用（不开发，不开发）表示。
房地产开发博弈的策略式表述如表11-1所示：表11-1房地产开发商之间的博弈（2）对于任意的参与人，给定对手的策略，在他的最优策略对应的支付下面画一条横线。
对均衡的策略组合而言，相应的数字栏中有两条下划线，所以本题共有三个纯策略纳什均衡（如表11-1所示），它们分别为：①｛不开发，（开发，开发）｝；②｛开发，（不开发，开发）｝；③｛开发，（不开发，不开发）｝。
（3）利用反向归纳法可知，子博弈完美的纳什均衡为｛开发，（不开发，开发）｝。
2．你是一个相同产品的双寡头厂商之一，你和你的竞争者生产的边际成本都是零。
而市场的需求函数是：=-p Q30（1）假设你们只有一次博弈，而且必须同时宣布产量，你会选择生产多少？你期望的利润为多少？为什么？（2）若你必须先宣布你的产量，你会生产多少？你认为你的竞争者会生产多少？你预计你的利润是多少？先宣布是一种优势还是劣势？为了得到先宣布或后宣布的选择权，你愿意付出多少？（3）现在假设你正和同一个对手进行十次系列博弈中的第一次，每次都同时宣布产量。
你想要十次利润的总和（不考虑贴现）最大化，在第一次你将生产多少？你期望第十次生产多少？第九次呢？为什么？解：（1）由于只有一次博弈，所以这里的产量为古诺解。
由已知可得厂商1的利润函数为：()()21111121213030pQ C Q Q Q Q Q Q π=-=--=-+-利润最大化的一阶条件为11212300Q Q Q π∂=-+-=∂，可得厂商1的反应函数为：12150.5Q Q =-①同理得到厂商2的反应函数为：21150.5Q Q =-②联立①、②两式，解得110Q =，210Q =。
平新乔中微补充讲义
中级微观经济学补充讲义之一圣 . 彼得堡悖论 平新乔2008.3.19.圣.彼得堡悖论（St Peterburg Paradox ）关系到经济学理论的一个重要问题：如何对一个含风险的赌局进行评估？200多年前，瑞士数学家丹尼尔.伯努利（Daniel Bernoulli ）对该悖论提出了开创性的解，从此创立了效用理论以及期望效用理论。
该悖论是丹尼尔.伯努利的表兄尼古拉斯.伯努利于1713年提出来的。
1713年9月9日，尼古拉斯.伯努利在写给数学家M. de Montmort 的信中提出了5个问题，其中第5个问题是这样的：彼得掷一枚硬币，如果第一次掷硬币头面朝上，彼得答应给保尔一盾（荷兰盾）；如果第一次掷的结果是背面朝上，则掷第二次; 如果第二次掷硬币头面朝上, 彼得付保尔2个盾；如果第二次掷的结果是背面朝上，则掷第三次……，到第n 次，如结果是头面朝上，彼得付保尔12n -个盾。
这个博局可以无限期地玩下去。
保尔在该博局中所获的价值的期望值是多少？尼古拉斯.伯努利之所以提出这个问题，是由于他发现数学界对这个赌局的期望收益的计算与实际生活中发现的该博局的门票价之间存在着悖论。
他发现，如果计算保尔的期望收入，则23211111()*1()*2()*2...()*2...22221111......2222n n E w -=+++++=+++++=∞按这个估算，保尔在该博局中的所获为无穷大，他应该付无穷大来买这个机会。
但是，在实际生活中，任何一个理智正常的人若出卖这个机会，其卖价不会超过20盾，因为当时瑞士类似的赌局的门票不超过20盾。
如何解释这个悖论？大数学家M. de Montmort (1678-1719) 对此并没有回答，但将尼古拉斯.伯努利的信连同上述问题公开出版了。
从而引起了数学界后来者的兴趣。
1728年，数学家克莱姆（Cramer ）致信于尼古拉斯.伯努利，对上述悖论提出了下述解： 克莱姆认为，任何一个有理智的人，对超过242盾数量的货币都不认为会带来比242盾货币更多的价值，从而，保尔在上述赌局中价值的评估应为：252426242724111111*1*2*4...()*2()*2()*2 (248222)1111111(...)(24) (222224812113)+++++++=++++++++=+=次 这个结果比较接近于实际生活中上述赌局门票不超过20盾的事实。
平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(第10讲 策略性博弈与纳什均衡)
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1．假设厂商A 与厂商B 的平均成本与边际成本都是常数，10A MC =，8B MC =，对厂商产出的需求函数是50020D Q p =-（1）如果厂商进行Bertrand 竞争，在纳什均衡下的市场价格是多少？ （2）每个厂商的利润分别为多少？ （3）这个均衡是帕累托有效吗？ 解：（1）如果厂商进行Bertrand 竞争，纳什均衡下的市场价格是10B p ε=-，10A p =，其中ε是一个极小的正数。
理由如下：假设均衡时厂商A 和B 对产品的定价分别为A p 和B p ，那么必有10A p ≥，8B p ≥，即厂商的价格一定要高于产品的平均成本。
其次，达到均衡时，A p 和B p 都不会严格大于10。
否则，价格高的厂商只需要把自己的价格降得比对手略低，它就可以获得整个市场，从而提高自己的利润。
所以均衡价格一定满足10A p ≤，10B p ≤。
但是由于A p 的下限也是10，所以均衡时10A p =。
给定10A p =，厂商B 的最优选择是令10B p ε=-，这里ε是一个介于0到2之间的正数，这时厂商B 可以获得整个市场的消费者。
综上可知，均衡时的价格为10A p =，10B p ε=-。
（2）由于厂商A 的价格严格高于厂商B 的价格，所以厂商A 的销售量为零，从而利润也是零。
下面来确定厂商B 的销售量，此时厂商B 是市场上的垄断者，它的利润最大化问题为：max pq cq ε>- ①其中10p ε=-，()5002010q ε=-⨯-，把这两个式子代入①式中，得到：()()0max 1085002010εεε>----⎡⎤⎣⎦解得0ε=，由于ε必须严格大于零，这就意味着ε可以取一个任意小的正数，所以厂商B 的利润为：()()500201010εε-⨯--⎡⎤⎣⎦。
平新乔课后习题详解(第16讲--一般均衡与福利经济学的两个基本定理)
平新乔《微观经济学十八讲》第16讲 一般均衡与福利经济学的两个基本定理1．考虑一种两个消费者、两种物品的交易经济，消费者的效用函数与禀赋如下()()211212,u x x x x = ()118,4e = ()()()21212,ln 2ln u x x x x =+ ()23,6e =（1）描绘出帕累托有效集的特征（写出该集的特征函数式）； （2）发现瓦尔拉斯均衡。
解：（1）由消费者1的效用函数()()211212,u x x x x =，可得121122MU x x =，122122MU x x =，故消费者1的边际替代率为1211112212121212122MU x x x MRS MU x x x ===。
同理可得消费者2的边际替代率为22212212x MRS x =。
在帕累托有效集上的任一点，每个消费者消费两种物品的边际替代率都相同，即：121212MRS MRS =从而有：122212112x x x x = ① 又因为212210x x =-，211121x x =-，把这两个式子代入①式中，就得到了帕累托有效集的特征函数：1122111110422x x x x -=- ② （2）由于瓦尔拉斯均衡点必然位于契约曲线上，所以在均衡点②式一定成立。
此外在均衡点处，预算线和无差异曲线相切（如图16-1所示），这就意味着边际替代率等于预算线的斜率，即：1112121211211418x p x MRS p x x -===- ③ 联立②、③两式，解得：1158/4x =，1258/11x =。
进而有21112126/4x x =-=，21221052/11x x =-=。
图16-1 均衡时边际替代率等于预算线的斜率2．证明：一个有n 种商品的经济，如果（1n -）个商品市场上已经实现了均衡，则第n 个市场必定出清。
证明：假设第k 种商品的价格为k p ，{}1,2,,k n ∈ 。
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平新乔《微观经济学十八讲》第11讲广延型博弈与反向归纳策略1．考虑图11-1所示的房地产开发博弈的广延型表述：（1）写出这个博弈的策略式表述。
（2）求出纯策略纳什均衡。
（3）求出子博弈完美纳什均衡。
图11-1 房地产开发商之间的博弈解：（1）开发商A的策略为：①开发，②不开发。
开发商B的策略为：①无论A怎样选择，B都会选择开发；用（开发，开发）表示。
②当A选择开发时，B选择开发；当A选择不开发时，B选择不开发；用（开发，不开发）表示。
③当A选择开发时，B选择不开发；当A选择不开发时，B选择开发；用（不开发，开发）表示。
④无论A怎样选择，B都会选择不开发；用（不开发，不开发）表示。
房地产开发博弈的策略式表述如表11-1所示：表11-1 房地产开发商之间的博弈（2）对于任意的参与人，给定对手的策略，在他的最优策略对应的支付下面画一条横线。
对均衡的策略组合而言，相应的数字栏中有两条下划线，所以本题共有三个纯策略纳什均衡（如表11-1所示），它们分别为：①｛不开发，（开发，开发）｝；②｛开发，（不开发，开发）｝；③｛开发，（不开发，不开发）｝。
（3）利用反向归纳法可知，子博弈完美的纳什均衡为｛开发，（不开发，开发）｝。
2．你是一个相同产品的双寡头厂商之一，你和你的竞争者生产的边际成本都是零。
而市场的需求函数是：=-p Q30（1）假设你们只有一次博弈，而且必须同时宣布产量，你会选择生产多少？你期望的利润为多少？为什么？（2）若你必须先宣布你的产量，你会生产多少？你认为你的竞争者会生产多少？你预计你的利润是多少？先宣布是一种优势还是劣势？为了得到先宣布或后宣布的选择权，你愿意付出多少？（3）现在假设你正和同一个对手进行十次系列博弈中的第一次，每次都同时宣布产量。
你想要十次利润的总和（不考虑贴现）最大化，在第一次你将生产多少？你期望第十次生产多少？第九次呢？为什么？解：（1）由于只有一次博弈，所以这里的产量为古诺解。
由已知可得厂商1的利润函数为：()()21111121213030pQ C Q Q Q Q Q Q π=-=--=-+- 利润最大化的一阶条件为11212300Q Q Q π∂=-+-=∂，可得厂商1的反应函数为： 12150.5Q Q =- ①同理得到厂商2的反应函数为：21150.5Q Q =- ②联立①、②两式，解得110Q =，210Q =。
从而市场价格和厂商各自的利润为：10p =；1100π=，2100π=。
（2）这是一个斯塔克博格模型。
在这个模型中，市场的领导者会根据竞争对手的反应函数（由第﹙1﹚问可知）来确定自己的最优产量，此时厂商1的利润函数为：211111130300.5152Q Q Q Q Q π-⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭利润最大化的一阶条件为：111150Q Q π∂=-=∂，解得115Q =。
从而可得：27.5Q =；7.5p =；1112.5π=；256.25π=。
由以上的计算可知，先宣布产量是一种优势，为了得到先宣布产量的选择权，领导者愿意付出的代价应不大于两种情况下的利润差，即112.510012.5-=。
（3）当两企业进行有限次的博弈时，按照古诺模型确定的产量是各自的最优选择，所以在每次博弈中，两个企业的产量都为10。
这是因为两企业为了实现利润最大的最优选择原本应是按照联合定价的卡特尔模型行事，但在第十次生产时，双方都知道这是最后一次博弈，为实现自身的利润最大，都会选择背叛，即实行先宣布产量的战略，从而使得市场的最后均衡为古诺均衡，而第九次博弈时，既然双方都知道在第十次博弈时，对方一定会背叛自己，那就没有理由在第九次博弈中合作，而市场的最终结果还是古诺均衡。
依次类推，可知古诺产量是每一次博弈的均衡解。
3．考虑下列三个广延型博弈（如图11-2），哪一个博弈有多重反向归纳策略？图11-2 广延型博弈的树形图答：（1）有多重反向归纳策略。
分析如下：这个动态博弈的子博弈完美的纳什均衡为：①(){},,L L L "'；②(){},,R R R "'；③(){},,L R R "'（相应的均衡路径如图11-3中①L ；②R R R -'-"；③L 所示）。
图11-3 博弈的均衡路径（2）只有单重的反向归纳策略。
分析如下：当1选择L 后，2有两种选择：（L '，R '），对应的支付为()(){}0,4,5,1。
此时2肯定会选择L '使自己得到数量为4的支付，从而1只能得到数量为零的支付。
这对于1来说是不合意的，不如选择T 得到的支付多。
同理，如果1选择R ，2也有两种选择：（L '，R '），对应的支付为()(){}1,2,3,1。
2肯定会选择L '，使得自己得到数量为2的支付，此时1只能得到数量为1的支付，这还是比1选择T 的支付少。
所以均衡的结果为1选择T ，然后博弈就此结束。
如图11-4所示：图11-4 利用反向归纳法得到均衡的结果（3）有多重的反向归纳策略。
分析如下：如果2选择L ，那么1肯定会选择L '，因为这样可以使他比选择R '获得更多的支付，此时2得到数量为1的支付；同样的原因，当2选择R 时，1肯定会选择R '，这样，2得到的支付仍然为1；可见2选择L 和R 对他是没有区别的，并且得到的支付都比他选择T 所得到的支付（2选择T 只能得到数量为0的支付）多，所以均衡的结果是2选择L 或R 。
如图11-5所示。
图11-5 利用反向归纳法得到均衡的结果4．请将图11-6所示的广延型博弈转化为策略型博弈，并求纳什均衡。
图11-6 广延型博弈解：策略型博弈的支付矩阵如表11-2所示。
表11-2 策略型博弈的支付矩阵（1）纯策略纳什均衡为：（L ，l ）和（R ，r ）。
（2）混合策略就是一个概率分布，表明参与人实行每个纯策略的概率。
比如在本题中，设参与人1实行L 和R 的概率分别为p 和1p -，那么此人的混合策略就是()1,1p p σ-，类似的参与人2的混合策略就是()2,1q q σ-。
下面求解混合策略均衡，设游戏者1、2选L 、l 的概率分别为p 、q ，则均衡时，游戏者1选择L 和R 可以获得相同的期望收益，即：()31q q =- 解得34q =。
同理可得14p =。
所以()12,σσ为此博弈的混合策略纳什均衡，其中11344σ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，23144σ⎛⎫= ⎪⎝⎭，。
5．两家电视台竞争周末黄金时段晚8点到10点的收视率，可选择把较好的节目放在前面还是后面。
它们决策的不同组合导致收视率如表11-3所示（每个数字栏中，前一个数字表示电视台2的收益，后一个数字表示电视台1的收益）。
表11-3 电视台竞争收视率的博弈（1）如果两家是同时决策，有纳什均衡吗？（2）如果双方采用规避风险的策略，均衡的结果是什么？（3）如果电视台1先选择，结果有什么？若电视台2先选择呢？（4）如果两家谈判合作，电视台1许诺将好节目放在前面，这许诺可信吗？结果可能是什么？解：（1）如果两家同时决策，存在纳什均衡，均衡策略组合为：电视台1选择在后面播放，电视台2选择在前面播放，即（后面，前面）。
（2）风险回避的策略也就是最大最小策略。
当电视台2选择前面时，它获得的最小收益为()min 18,2318=。
当电视台2选择后面时，它获得的最小收益为()min 4,164=。
那么电视台2的最大最小策略就是()(){}max min 18,23,min 4,1618=，即电视台2会选择前面；同理可以知道电视台1也会选择前面。
所以均衡策略为：（前面，前面），其收益为（18，18）。
（3）如果电视台1先选择，那么利用反向归纳法，可知电视台1和2的选择分别为：（后面，前面）。
如图11-7所示。
图11-7 电视台1先决策的动态博弈如果电视台2先选择，结果同1先选择的情况，如图11-8所示。
图11-8 电视台2先决策的动态博弈（4）电视台1将好节目放在前面的许诺不可信。
这是因为对电视台2而言，“前”是其占优策略，所以在电视台1确定电视台2会选择“前面”时，电视台1只会选择“后面”来最大化它的收益。
6．两个厂商（A 与B ）考虑健康雪茄的竞争品牌。
厂商报酬如表11-4所示（A 的利润首先给定）。
表11-4 生产雪茄的厂商之间的博弈（1）这个对策有纳什均衡吗？（2）这个对策对于厂商A或者厂商B有先动优势吗？（3）厂商B发现欺骗厂商A，能把它赶出市场吗？答：（1）该博弈存在纳什均衡，均衡的策略组合为：（生产，不生产），（不生产，生产）。
当厂商B选择生产时，厂商A的最优策略为不生产，当厂商B选择不生产时，厂商A的最优策略是选择生产；当厂商A选择生产时，厂商B的最优策略为不生产，当厂商A选择不生产时，厂商B的最优策略为生产，因此最终存在两个纳什均衡（生产，不生产），（不生产，生产），对应的支付为（5，4），（4，5）。
（2）如果厂商A先行动（如图11-9所示），根据反向归纳法，这个动态博弈的均衡为（生产，不生产）；如果厂商B先行动（如图11-10所示），根据反向归纳法，这个动态博弈的均衡为（不生产，生产）。
可见每个厂商选择先行动都比选择后行动可以获得更高的收益，所以厂商A和厂商B都有先动优势。
图11-9 厂商A先行动的博弈的反向归纳图11-10 厂商B先行动的博弈的反向归纳（3）厂商B不能把厂商A赶出市场，这是因为无论厂商B实行什么策略，厂商A总是可以获得正的利润。
7．WET公司垄断了震动充水床垫的生产。
这种床垫的生产是相对缺乏弹性的——当价格为每床1000美元时，销售25000床；当价格为每床600美元，销售30000床。
生产充水床垫的惟一成本是最初的建厂成本。
WET公司已经投资建设生产能力达到25000床的工厂，滞留成本与定价决策无关。
（1）假设进入这个行业能够保证得到一半市场，但是要投资10000000美元建厂。
构造WET公司（1000p=）和潜在进入者（进入或者不进入）博弈的支付矩阵。
p=或者600这个对策有纳什均衡吗？（2）假设WET公司投资5000000美元将现有工厂的生产能力扩大到生产40000床充水床垫。
阻止竞争对手的进入是有利可图的策略吗？解：（1）由于WET公司是在位者，所以在本题的博弈中WET公司是先行者，当它把产品价格定为1000美元时：π=⨯=（美元）。
如果此时WET垄断市场，那么10002500025000000WET如果竞争对手进入市场，那么可得：π=⨯=（美元）10001250012500000WETπ=⨯-=（美元）100012500100000002500000ENTREANT当WET公司把产品价格定为600美元时：如果此时WET垄断市场，那么6002500015000000π=⨯=（美元）。