高等数学课件：6-2 可分离变量的微分方程

称②为方程①的隐式通解, 或通积分.
例1.
解方程 x 2 y2 y'1 y.
y2 1 解： 分离变量 dy 2 dx. 1 y x
两端积分

2
y2 dx dy 2 . y 1 x
y 1 通解为 y ln | y 1 | C . 2 x
例2.
解方程 (1 e x ) yy' e x , 满足条件 y(0) 1.
例+. 求微分源自文库程
的通解.
dy 解: 分离变量得 3 x 2 d x 说明: 在求解过程中 y 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 两边积分 减解. 或 3 ln y x C1 得
即
令C e
C1
ln y x 3 ln C
( C 为任意常数 )
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
dy x 解: 分离变量得 dx 2 y 1 x
两边积分得
即
y x 2 1 C
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x 1 1
2
例. 求下述微分方程的通解:
解: 令 u x y 1, 则
故有 即 解得
1 u sin 2 u
tan u x C
ex 解： 分离变量 ydy dx. x 1 e
两端积分

ydy
ex dx . x 1 e
y2 通解为 ln( e x ) C . 1 2
e 由初始条件 y(0) 1, 可得C ln 2 2 y e x 所求特解为 ln( e ) ln 1 . 2 2
例3. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求 降落伞下落速度与时间的函数关系. dv 解: 根据牛顿第二定律列方程 m mg k v dt 初始条件为 v t 0 0 对方程分离变量, 然后积分 : 得


( 此处 mg k v 0 )
思考与练习
求下列方程的通解 :
y x dy dx 提示: (1) 分离变量 2 2 1 y 1 x (2) 方程变形为 y 2 cos x sin y y ln tan 2 sin x C 2
备用题
例. 解初值问题
x yd x ( x 2 1) d y 0 y(0) 1
1 t 足够大时 利用初始条件, 得 C ln ( mg ) k k v mg t k mg 代入上式后化简, 得特解 v (1 e m ) k
内容小结
1. 微分方程的概念
微分方程; 阶; 定解条件; 解; 通解; 特解
说明: 通解不一定是方程的全部解 . 例如, 方程 ( x y ) y 0 有解 y=–x 及 y=C 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .
§6.2
可分离变量的微分方程
可分离变量方程
dy f1 ( x) f 2 ( y ) dx M1 ( x)M 2 ( y) d x N1 ( x) N 2 ( y) d y 0
转化
解分离变量方程 g ( y) d y f ( x) d x
分离变量方程的解法:
g ( y ) d y f ( x) d x
所求通解: tan( x y 1) x C ( C 为任意常数 )
例. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原
子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. dM M ( 0 ) 解: 根据题意, 有 d t M t 0 M 0 (初始条件) 求在
对方程分离变量, 然后积分:


M
M0
得 ln M t ln C , 即 M C e t
利用初始条件, 得 C M 0 故所求铀的变化规律为 M M 0 e t .
o
t
①
设 y＝ (x) 是方程①的解, 则有恒等式
g ( ( x)) ( x) d x f ( x) d x
两边积分, 得
f ( x) d x
②
则有
当G(y) 与F(x) 可微且 G’(y) ＝g(y)≠0 时, 上述过程可逆, 说明由②确定的隐函数 y＝(x) 是①的解. 同样,当F’(x) = f (x)≠0 时, 由②确定的隐函数 x＝(y) 也是①的解.