221一元二次方程
一元二次方程公式
一元二次方程公式
一元二次方程的公式是：x=−b±b2−4ac2a(b2−4ac≥0)。
只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax+bx+c=0（a≠0）。
其中ax叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
一元二次方程的求解方法
1、公式法
在一元二次方程y=ax²+bx+c（a、b、c是常数）中，当△＝b²-4ac＞0时，方程有两个解，根据求根公式x=（－b±√（b²-4ac））／2a即刻求出结果；△＝b²-4ac=0时，方程只有一个解x=-b/2a；△＝b²-4ac＜0时，方程无解。
2、配方法
将一元二次方程化成顶点式的表达式y=a（x-h）²+k（a≠0），再移项化简为（x-h）²=-k/a，开方后可得方程的解。
3、因式分解法
通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，即交点式的表达式y=a（x-x1）（x-x2），再分别令这两个因式等于0，它们的解就是原方程的解。
21.2解一元二次方程——直接开平方法教学反思
21.2解一元二次方程——直接开平方法教学反思第一篇：21.2解一元二次方程——直接开平方法教学反思21.2解一元二次方---直接开平方法的教学反思解一元二次方程是初中数学学习中非常重要的一部分，而直接开平方法则是解一元二次方程的基础方法，它看似简单，却不容忽视。
在这节教材编写中还突出体现了换元、转化等重要的数学思想方法。
因此，这节课不仅是为后续学习打下坚实基础的一节课，更是让学生体验并逐步掌握相关数学思想方法的一节课。
本节课我以出示学习目标开场，让学生明确本节课的学习任务，抓住学习重点。
在复习近平方根的知识，为本节课的教学做好准备，符合学生的认知规律。
然后接着从实际问题切入向学生提出问题，激发学生的学习热情和问题探索的强烈欲望，然后通过一系列的问题让学生在合作与探究中逐步理解并掌握直接开平方法解一元二次方程，同时在问题的解决过程中让学生体会类比的学习方法和换元、转化的数学思想，从而培养学生良好的数学学习学习方法和数学思维方式。
其中教学问题的设计围绕目标环环相扣，同时注重层次性与启发性;在典例解析、巩固新知和达标检测环节中，注重突出重点，分层评价。
整节课学生的参与积极性较高，达到了预期的教学效果。
当然，这节课也存在不足之处，还有学生参与讨论的过程中个别学生参与程度不足，教师应关照这些边缘人员。
今后，我会更努力,多渠道向优秀老师学习，不断地提升自我、完善自我，使课堂教学更高效。
第二篇：配方法解一元二次方程教学反思在“一元二次方程”这一章里，《配方法》是作为解一元二次方程的第三种解法出现的，学生往往会把配方法和前面学过的直接开平方法以及因式分解法等同理解，所以在用配方法解题时只是简单模仿老师的解题步骤，对为什么要配方理解不到位，因此在需要用配方法证明一个代数式一定为正数或负数时往往不知所措。
而我认为配方法更多的是一种代数式变形的技巧，她可以为解一元二次方程服务，但不仅仅只是一种解方程的方法。
事实上，一个一元二次方程在配方后还是要结合直接开平方法才能解出方程的解。
人教版九年级上册数学《一元二次方程》课件教学说课
二 一元二次方程的根
一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二
次方程的解（又叫做根）.
练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解? -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4
解： 3和-2.
你注意到了吗？ 一元二次方程可
能不止一个根.
例4. ：已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求 2a2+4a+
知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次 项系数等于0的字母的值．
例3：将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它 们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x, 系数是-8；常数项是-10. 注意 系数和项均包含前面的符号.
A.x2
1 x2
0
不是整式方程
B. 3x2 5xy y2 0
C. (x 1)(x 2) 0
D. ax2 bx c 0
化简整理成 x2-3x+2=0
少了限制条件 a≠0
提示 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是 整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断.
例2:a为何值时，下列方程为一元二次方程？
该方程中未知 数的个数和最 高次数各是多 少？
问题2 要组织要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要 比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安 排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
解析：设应邀请x个队参赛，每个
1元二次方程式解法
一元二次方程解法
想象一下，你手里有个苹果，我再给你两个，现在你手里有几个？简单吧，三个！但要是换成数学式子，说x加2等于5，求x是多少，这就成了一元一次方程。
那咱今天升级一下，来个带平方的，比如x的平方减4x加4等于0，这就是一元二次方程啦！
看到这式子，别急着皱眉，咱们先找找规律。
一元二次方程一般长这样：ax的平方加bx加c等于0。
记住这个模板，接下来咱们玩点花样。
第一种玩法，叫做“因式分解”。
就像咱们分苹果，看能不能把式子拆成两部分，让它们相乘等于0。
比如刚才那个式子，其实就是(x-2)的平方等于0，那x不就是2嘛，简单吧！
第二种，稍微复杂点，叫“公式法”。
有个万能公式，x等于负的b加减根号下b的平方减4ac，再除以2a。
听起来挺绕的，但其实就是把a、b、c的值往里头一套，计算器一按，答案就出来了。
这就像是咱们做菜，配方都给你了，照着做就行！
还有一种，叫“配方法”，这个得动点脑子。
你得想办法把式子变成完全平方的形式，然后开方求解。
这就像是拼图，得把碎片拼起来，才能看出全貌。
说了这么多，是不是觉得一元二次方程也没那么可怕了呢？其实啊，数学这东西，就像是咱们生活中的小工具，学会了，真的能帮上大忙。
下次遇到难题，别急着逃避，试着用这些方法去攻克它，说不定你会发现，原来自己也挺厉害的嘛！
好了，今天的数学小课堂就到这里啦，记得多练练手，让这些解法成为你的“数学秘籍”，下次咱们再聊点更有趣的！。
专题21.1 一元二次方程的定义及配方法解一元二次方程(原卷版)(八大考点)-2024-2025学年
专题21.1 一元二次方程定义及配方法解一元二次方程【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一一元二次方程的识别】 (1)【考点二利用一元二次方程的定义求参数的值】 (2)【考点三一元二次方程的一般形式、各项系数】 (2)【考点四已知一元二次方程的解求参数（式子）的值】 (3)【考点五解一元二次方程——直接开平方法】 (3)【考点六解一元二次方程——配方法】 (4)【考点七用配方法解一元二次方程错解复原】 (5)【考点八配方法的应用】 (7)【过关检测】 (9)【典型例题】【考点一一元二次方程的识别】【例题1】（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）下列方程中属于一元二次方程的是（）2y x【变式1-1】（2023程的是（）0c 中，属于一元二次方程的有D ．4个【考点二 利用一元二次方程的定义求参数的值】【例题2】（2023·全国·九年级假期作业）当m =______时，关于x 的方程()32690m m x x +++-=是一元二次【考点三 一元二次方程的一般形式、各项系数】【例题3】（2023·全国·九年级假期作业）若方程22533x x x x --=-+的二次项系数是4，则方程的一次项系数是______，常数项是_______．【变式3-1】（2022秋·海南省直辖县级单位·九年级校考阶段练习）将方程221x x -=-化为一般形式为__________，其中=a ________，b =________，c =________．【变式3-2】（2022秋·云南昭通·九年级统考期中）方程3(1)5x x -=的二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______．【变式3-3】（2023秋·河北廊坊·九年级统考期末）将方程()()32183x x x -+=-化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数为a ，一次项系数为b ，常数项为c ，则a b c ++=______．【考点四 已知一元二次方程的解求参数（式子）的值】【例题4】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）关于x 的一元二次方程2210x x a ++-=的一个根是0，则a 的值为______．【变式4-1】（2023·湖南长沙·校考二模）若1x =是一元二次方程220x x m -+=的一个根，则m 的值是________．【变式4-2】（2023·甘肃平凉·统考二模）若m 是方程22310x x -+=的一个根，则2692023m m -+的值为______．【变式4-3】（2023·全国·九年级假期作业）若m 是一元二次方程230x x --=的根，则325m m m +-的值为_____【考点五 解一元二次方程——直接开平方法】【例题5】（2023·上海·八年级假期作业）解关于x 的方程：251250x -=．【变式5-1】（2023·上海·八年级假期作业）解关于x 的方程：290x ．【变式5-2】（2023·江苏·九年级假期作业）解下列一元二次方程：()2(21)42140x x ++++=；【变式5-3】（2023·上海·八年级假期作业）解下列方程： (1) ()()22231+=-x x ； (2)229(21)16(2)0+--=x x ；(3)24410x x -+=； (4)21236=--x x ．【考点六解一元二次方程——配方法】2210x．【考点七 用配方法解一元二次方程错解复原】 【例题7】（2023·全国·九年级假期作业）以下是圆圆在用配方法解一元二次方程2240x x --=的过程： 解：移项得224x x -=配方：2214x x -+=()214x -=开平方得：12x -=±移项：21x =±+所以：13x =，23x =圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．【变式7-1】（2023秋·河北沧州·九年级统考期末）阅读材料，并回答问题： 佳佳解一元二次方程2640x x +-=的过程如下：解：2640x x +-=264x x +=-------------------------------- ①2694x x ++=----------------------------- ②2(3)4x += -------------------------------③32+=±x --------------------------------④3232x x +=+=-，1215x x ==-，．问题：(1)佳佳解方程的方法是______；A ．直接开平方法B ．配方法C ．公式法D ．因式分解法(2)上述解答过程中，从______步开始出现了错误（填序号），发生错误的原因是______；(3)在下面的空白处，写出正确的解答过程．24x，……………………该同学的解答从第______步开始出错；请写出正确的解答过程．【考点八 配方法的应用】【例题8】（2023秋·甘肃庆阳·八年级统考期末）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如()20ax bx c a ++≠的多项式变形为()2a x m n ++的形式，我们把这样的变形方法叫作“配方法”．运用多项式的配方法及平方差()()()()232351x x x x =+++-=+-．根据以上材料，解答下列问题：(1)分解因式：228x x +-．(2)求多项式287x x +-的最小值．【变式8-1】（2023春·浙江·七年级专题练习）代数式243x x -+的最小值为（ ）． A ．1- B ．0 C ．3 D ．5【变式8-2】（2023春·浙江·七年级专题练习）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：243a a ++，解：原式()22=441=21a a a ++-+- ()()()()=2121=31a a a a +++-++②226M a a =-+，利用配方法求M 的最小值：解：()222=26=215=15M a a a a a -+-++-+因为()210a -≥，所以当1a =时，M 有最小值5请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式28x x -+ ；(2)用配方法因式分解22412x xy y --；(3)若2=421M x x +-，求M 的最小值．【变式8-3】（2023秋·河南信阳·八年级统考期末）教材中这样写道：“我们把多项式222a ab b ++及222a ab b -+叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式223x x +-．原式22(21)4(1)4(12)(12)(3)(1)x x x x x x x =++-=+-=+++-=+-；；例如：求代数式246x x ++的最小值．原式22442(2)2x x x =+++=++．2(2)0x +≥，∴当2x =-时，246x x ++有最小值是2．根据阅读材料用配方法解决下列问题：(1)分解因式：245m m --= ；(2)求代数式2612x x -+的最小值；(3)若22y x x =--当x ＝ 时，y 有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ．【过关检测】一、选择题二、填空题三、解答题11．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知方程21(1)(2)10aa x a x +++--=是关于x 的一元二次方程，求a 的值．12．（2023春·浙江·八年级专题练习）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、。
九年级数学上册第21章一元二次方程21.2一元二次方程解法复习
第十九页，共二十二页。
课外作业
如OC图=，55AcmO，=5蚂0c蚁m，甲以2cm/sA P O
B
的速度(sùdù)从A爬到0，蚂蚁
乙以3的面积为
Q
300cm2?
12/11/2021
第二十页，共二十二页。
C
2021/12/11
第二十一页，共二十二页。
直接(zhíjiē)开平方法： 典型例题讲解
例1 (2x-1)2=1
左边是完全(wánquán)平方式，右边是非负
数
解: (2x-1)=±1
两边(liǎngbiān)直接开平 方
2x-1=1 或 2x-1= -1 降次－ 转化为一元一次方程
x1=1, x2=0
解一元一次方程
12/11/2021
第八页，共二十二页。
算出b 2-4ac的值，并 判断根的情况。
y=
(2)
121
3 代入求根公式x1•2 b
b2 4ac 2a
22
2
y = 1 2 3, 1 12/11/2021
y2= 1 3 2 第十三页，共二十二页。
四、因式分解 法 (yīn shìfēn jiě)
1.因式分解的方法有：
(1) 用提公因式法;(2)应用公式法；（3）十字相乘法。
（3）得到形如： x = a . 的一元一次方程。
x x （4）写出方程的解
=1 ?
=?
2
12/11/2021
第九页，共二十二页。
典型例题(lìtí)讲解
例 用配方法解下列(xiàliè)方程
x2+6x=7
解 ：x26x7
x26x979
x32 16
x34
1元二次方程的公式法
1元二次方程的公式法一元二次方程啊，这可是数学里的一个重要知识点。
咱们先来说说啥是一元二次方程，它的一般形式是 ax² + bx + c = 0 ，这里的 a、b、c 都是常数，而且 a 还不能等于 0 。
要说一元二次方程的公式法，那可是解决这类问题的一把“万能钥匙”。
公式法就是 x = [-b ± √(b² - 4ac)] / （2a）。
这公式看起来有点复杂，但是只要搞清楚每个字母代表的意思，用起来那叫一个顺手。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生就特别迷糊，怎么都理解不了。
我就拿了个很简单的例子，比如说 x² + 2x - 3 = 0 ，这里 a = 1，b = 2，c = -3 。
咱们把这些数字带进公式里，先算 b² - 4ac ，就是2²- 4×1×（-3）= 16 。
然后再把b 和算出来的这个值带到公式里，x = [-2 ± √16] / （2×1），算出来 x₁ = 1 ，x₂ = -3 。
那孩子眼睛一下子亮了，直说：“老师，原来这么简单！”在实际应用中，公式法可厉害了。
比如说要算一个物体的运动轨迹，或者算一个工程的进度啥的，都可能用到一元二次方程的公式法。
而且啊，这公式法还能检验我们前面用其他方法解出来的答案对不对。
咱再说说怎么能熟练掌握这个公式法。
首先，得把那几个字母代表啥记得牢牢的，可别弄混了。
然后就是多做几道题，俗话说得好，熟能生巧嘛。
还有啊，有些同学一看到根号就害怕，其实没啥好怕的，不就是个数学符号嘛，就把它当成一个普通的运算符号就行。
还有计算的时候要仔细，别粗心大意，一个小数字弄错了，结果可就全错啦。
总的来说，一元二次方程的公式法虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去学，多练习，就一定能掌握好，让它成为我们解决数学问题的有力武器。
就像那个一开始迷糊的同学，后来不也搞明白了嘛。
一元2次方程4种解法
一元2次方程4种解法
标题：四种解法揭示一元二次方程的奥秘
引言：一元二次方程是数学中的重要概念，它可以用来解决很多实际问题。
本文将介绍四种不同的解法，帮助读者更好地理解和应用一元二次方程。
第一种解法：因式分解法
当一元二次方程可以被因式分解为两个一次因子时，我们可以通过将方程两边因式分解后，令每个因子等于零来求解方程。
这种解法适用于一元二次方程的解为整数或分数的情况。
第二种解法：配方法
对于一元二次方程，如果无法直接因式分解，我们可以采用配方法。
通过将方程两边用合适的常数进行配方，将方程转化为完全平方的形式，从而求解方程。
这种解法适用于无理数根的情况。
第三种解法：求根公式法
一元二次方程的求根公式是解决方程的重要工具。
该公式是通过将方程转化为标准形式后，利用公式计算出方程的根。
这种解法适用于无法通过因式分解或配方法求解的复杂方程。
第四种解法：图像法
通过绘制一元二次方程的图像，我们可以直观地看出方程的解。
根据图像的形状和位置，我们可以判断方程有几个解，以及解的范围。
这种解法适用于对方程的整体特征有较好了解的情况。
结论：通过以上四种解法，我们可以更全面地理解和应用一元二次方程。
无论是因式分解法、配方法、求根公式法还是图像法，都可以帮助我们解决不同类型的一元二次方程。
掌握这些解法，可以提高我们解决实际问题的能力，并在数学学习中更加得心应手。
一元2次方程公式
一元2次方程公式
在数学中，一元二次方程公式是一种非常重要的概念，它可以用
来解决多种问题。
一元二次方程公式通常写成 ax^2 + bx + c = 0 的
形式，其中a、b、c是已知的数（a ≠ 0），x是未知数。
这样的方程也被称为二次方程。
尽管这个公式看起来很简单，但求解它的过程却非常复杂。
首先，我们可以使用这个公式来求解未知数x 的值，从而得出方程的解。
具体来说，我们需要将给定的数a、b和c代入公式，并使用求根公式来
求解x。
如果方程有两个实数解，则表示a、b和c的值满足特定关系。
如果方程没有实数解，则称该方程无解。
另外，我们也可以使用二次方程公式来解决实际生活中的问题。
例如，假设我们知道一个物体从地面上抛出，最高点的高度为h，抛出角度为α，则可以使用二次方程公式计算出物体抛出的初始速度v。
具体来说，我们可以使用以下公式：
v²sin²α/2g = h
其中，v表示物体的初始速度，α表示抛出角度，g表示重力加速度。
通过解这个方程，我们可以计算出初始速度v的值，从而得出物
体的抛出速度。
总的来说，一元二次方程公式是一种非常重要的数学公式，它可以被广泛应用到各个领域。
了解这个公式的意义和用途，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
一元2次方程的公式
一元2次方程的公式一元二次方程的公式在数学的世界里，一元二次方程是一个非常重要的概念。
它不仅在数学学科中有着广泛的应用，在物理、工程等领域也发挥着关键作用。
今天，咱们就来好好聊聊一元二次方程的公式。
一元二次方程的一般形式是：＄ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（其中$a$、＄b$、＄c$是常数，且$a ＼neq 0$）。
对于这个方程，我们有一个神奇的求解公式，那就是：＼x ＝＼frac{b ＼pm ＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＼这个公式看起来可能有点复杂，但只要我们把它拆解开来，逐步理解，就会发现其实并没有那么难。
先来说说这个公式中的各个部分。
＄a$是二次项系数，它决定了方程的“形状”和“弯曲程度”。
＄b$是一次项系数，它在方程中也有着重要的作用。
＄c$是常数项，它是方程中的一个固定值。
那这个求解公式是怎么来的呢？这就得从配方法说起。
我们先将方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$变形为$x^2 ＋＼frac{b}｛a}x＝＼frac{c}｛a}＄。
然后在等式两边加上$＼left(＼frac{b}｛2a}＼right)＾2$，得到：＼x^2 ＋＼frac{b}｛a}x ＋＼left(＼frac{b}｛2a}＼right)＾2 ＝＼left(＼frac{b}｛2a}＼right)＾2 ＼frac{c}｛a}＼左边可以写成完全平方式：＼（＼left(x ＋＼frac{b}｛2a}＼right)＾2\），右边经过化简得到：＼（＼frac{b^2 4ac}｛4a^2}＼）然后开平方，就得到了我们前面提到的求解公式。
有了这个公式，我们就可以求解任意一个一元二次方程的根。
但在使用这个公式的时候，要先计算$b^2 4ac$的值，这个值被称为判别式，通常用$＼Delta$表示。
当$＼Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根；当$＼Delta ＝0$时，方程有两个相等的实数根；当$＼Delta ＜ 0$时，方程没有实数根，但有两个共轭复数根。
一元二次方程 公式
一元二次方程公式
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0。
一元二次方程的求解公式，也称为根的公式，给出了方程的两个
解x1和x2的计算公式：
x1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / (2a)
x2 = (-b - √(b^2 - 4ac)) / (2a)
这个公式成立的前提是方程的判别式 D = b^2 - 4ac大于等于零。
当D大于零时，方程有两个不相等的实根；当D等于零时，方程有两
个相等的实根；当D小于零时，方程没有实根，但有两个共轭复根。
拓展部分：
1.方程的判别式D有着重要的几何意义，它等于二次曲线所对应
的抛物线与x轴交点的个数。
当D大于零时，抛物线与x轴有两个交点；当D等于零时，抛物线与x轴相切于一个交点；当D小于零时，
抛物线与x轴没有交点。
2.一元二次方程的解还可以用完全平方的形式表示。
将方程写成(x + p)^2 = q的形式，其中p和q分别为常数，可以通过展开完全平方得到一元二次方程的标准形式。
3.当一元二次方程的系数为实数时，如果方程有两个不相等的实根，那么这两个实根一定是互为相反数。
也就是说，如果x1和x2是方程的两个实根，那么必须有x1 = -x2。
4.一元二次方程在物理学、工程学和经济学等领域中具有重要的应用。
例如，二次函数可以描述物体的运动轨迹、电路中的电流电压关系以及成本函数与收益函数之间的关系等。
求解一元二次方程可以帮助我们预测、优化和解决实际问题。
212 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
解:(1)∵方程有两个不相等的实数根,
∴Δ=(-2)2-4(m-1)>0,
即4-4m+4>0,解得m<2.
(2)设方程的另一个实数根为x2,
∵5+x2=2,
∴x2=-3.
∴当方程有一个实数根是5时,另一个根为-3.
(x+m)2=n(n≥0)的形式;
④用直接开平方法解变形后的方程.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
(3)因式分解法
①平方差公式法;
②完全平方公式法;
③提取公因式法;
④十字相乘法.
(4)公式法:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为:
2
-± -4
当 b2-4ac≥0 时,x1,的关系
- .
-1-
首页
课标阐释
1.理解一元二次方程,会求
一元二次方程的解集.
2.明确一元二次方程根与
系数的关系并会灵活应用.
思维脉络
课前篇
自主预习
一
二
知识点一、一元二次方程的解集
1.思考
什么是一元二次方程?其解的情况如何?
提示:形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程叫做一元二次方程.
一
二
2
-- -4
2
2
提示:(1)x1=
,x2=
2
-+ -4
x1+x2=
-2
2
-+ -4
2
2
+
-- -4
2
一元二次方程详细解法大全
判别式法解一元二次方程详细过程7x2−4x−3=0a=7;b=−4;c=−3确定各项系数∆=b2−4ac=(−4)2−4×7×(−3)=16+84=100x1=−b+√∆2a x2=−b−√∆2a必背公式代入数值：x1=4+√1002×7=4+1014=1414=1x2=4−√1002×7=4−1014=−614=−37若∆<0，则方程无解。
此方法为解一元二次方程的万能方法。
配方法解一元二次方程详细过程7x2−4x−3=0x2−47x−37=0 除以7，二次项系数化1x2−2×27×x−37=0x2−2×27×x+(27)2−(27)2−37=0x2−2×27×x+(27)2−(27)2−37=0绿色部分为完全平方公式(x−27)2−(27)2−37=0(x−27)2=2549①x−27=±57x1=57+27=1 x2=−57+27=−37此方法为解一元二次方程的万能方法若上面①式中等号右边为负数，方程无解。
十字相乘法解一元二次方程详细过程7x2−4x−3=0二次项系数：7一次项系数：-4常数项：-3对二次项系数和常数项进行拆分7= 7 × 1−3=3 × −1交叉相乘之和等于中间一次项系数7×(−1)+3×1=−7+3=−4则该方程可写为：(7x+3)(x−1)=0则方程的解为：7x+3=0 或 x−1=0x1=−37x2=1此方程为解一元二次方程最快速的方法但仅适用于有解且解为整数或分数的方程当解为根式时不能用。
上面讲的都是普通一元二次方程的解法对于一些特殊的一元二次方程，则还有一些特殊的解法，下面为同学们一一列举1.无常数项型ax2+bx=0例如：5x2+3x=0把一个x提到“( )”外面得到：x(5x+3)=0x=0 或5x+3=0x1=0 x2=−3 52.无一次项型ax2+c=0例如：5x2−7=05x2=7x2=75x=±√7 53.完全平方型(ax+b)2=c例如：(5x+3)2=95x+3=±35x=3 或 5x=−3x1=35 x2=−35。
一元二次方程课件ppt
• 问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼 房之间，开辟面积为900平方米的一块长方 形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长 和宽各为多少？
（x＋10）
x
问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间， 开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且 长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次 方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次
项系数及常数项．
• 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此， 方程（8-2x） （•5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括 去括号、移项等．
• 解：去括号，得： • 40-16x-10x+4x2=18 • 移项，得：4x2-26x+22=0 • 其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．
3
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
二次函数 y=x2的图象 形如物体抛 射时所经过 的路线,我们 把它叫做抛 物线
方程
二次项 一次项 常数 系数 系数 项
2x2 x 3 0 2
1
－3
3x2 5 0
3
0
－5
x2 3x 0 1
－3
0
2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
21.1 一元二次方程
x
(100-2x)
(100-2x)(50-2x)=3600
你能把它整理成形如x2+bx+c=0的形式吗？
(100-2x)(5ห้องสมุดไป่ตู้-2x)=3600 5000－100x－200x+4x2=3600 4x2－300x+1400=0 x2－75x+350=0
21.1 一元二次方程 ——一元二次方程的相关概念
R·九年级上册
新课导入
情景：要设计一座高2m的人体雕像,使 它的上部(腰以上)与下部(腰以 下)的高度比等于下部与全身的 高度比,则雕像的下部应设计多 少米高?
问题1：列方程解应用题的一般步骤是什么？
知识点4
一元二次方程的解
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
下面哪些数是方程x2+3x-10=0的根？
-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5.
分析：根据一元二次方程的根的定义，将这些数作为未知数x的值分别代入方程x2+3x-10=0中，能够使方程左右两边相等的数就是方程的根，通过代入检验可知，当且仅当x=-5或2时，方程x2+3x-10=0左右两边相等.
先去括号
移项、合并同类项
系数化为1
问题2中，本次排球比赛的总比赛场数为 场. 设邀请 支队参赛，则每支队与其余 支队 都要赛一场.根据题意，你列出的方程是 . 整理为 .
C
解：－4， 3.
3. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出该方程的二次项系数、一次项系数和常数项. （1）3x2+1=6x； （2）4x2=81－5x；
一元二次方程-2023年新九年级数学 (苏科版)(解析版)
一元二次方程理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；一、一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.类型一、关于一元二次方程的判定例1．判定下列方程是不是一元二次方程:(1)；(2)．【答案】（1）是；（2）不是.【解析】(1)整理原方程，得，所以．其中，二次项的系数，所以原方程是一元二次方程．(2)整理原方程，得，所以．其中，二次项的系数为，所以原方程不是一元二次方程．【总结升华】识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 例2.判定下列方程是否关于x 的一元二次方程：(1)a 2(x 2-1)+x(2x+a)=3x+a ； (2)m 2(x 2+m)+2x=x(x+2m)-1． 【答案与解析】(1)经整理，得它的一般形式(a2+2)x2+(a-3)x-a(a+1)=0，其中，由于对任何实数a 都有a2≥0，于是都有a2+2＞0，由此可知a2+2≠0，所以可以判定： 对任何实数a ，它都是一个一元二次方程． (2)经整理，得它的一般形式 (m2-1)x2+(2-2m)x+(m3+1)=0，其中，当m ≠1且m ≠-1时，有m2-1≠0，它是一个一元二次方程；当m=1时方程不存在， 当m=-1时，方程化为4x=0，它们都不是一元二次方程．【总结升华】对于含有参数的一元二次方程，要十分注意二次项系数的取值范围，在作为一元二次方程进行研究讨论时，必须确定对参数的限制条件．如在第(2)题，对参数的限定条件是m ≠±1．例如，一个关于x 的方程，若整理为(m-4)x2+mx-3=0的形式，仅当m-4≠0，即m ≠4时，才是一元二次方程(显然，当m=4时，它只是一个一元一次方程4x-3=0)．又如，当我们说：“关于x 的一元二次方程(a-1)x2+(2a+1)x+a2-1=0……”时，实际上就给出了条件“a-1≠0”，也就是存在一个条件“a ≠1”．由于这个条件没有直接注明，而是隐含在其他的条件之中，所以称它为“隐含条件”． 【变式】判断下列各式哪些是一元二次方程． ①21x x ++；②2960x x −=；③2102y =；④215402x x −+=；⑤ 2230x xy y +−=；⑥ 232y =；⑦ 2(1)(1)x x x +−=． 【答案】②③⑥.【解析】①21x x ++不是方程；④215402x x −+=不是整式方程；⑤2230x xy y +−=含有2个未知数，不是一元方程；⑦ 2(1)(1)x x x +−=化简后没有二次项，不是2次方程. ②③⑥符合一元二次方程的定义．类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定例3.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：(1)-3x 2-4x+2=0； (2)．【答案与解析】(1)两边都乘-1，就得到方程 3x2+4x-2=0．各项的系数分别是： a=3，b=4，c=-2． (2)两边同乘-12，得到整数系数方程 6x2-20x+9=0．各项的系数分别是：．【总结升华】一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程．值得注意的是，确定各项的系数时，不应忘记系数的符号，如(1)题中c=-2不能写为c=2，(2)题中不能写为．例4. 已知关于y 的一元二次方程m 2(y 2+m)-3my=y(8y-1)+1，求出它各项的系数，并指出参数m 的取值范围． 【答案与解析】将原方程整理为一般形式，得(m2-8)y2-(3m-1)y+m3-1=0，由于已知条件已指出它是一个一元二次方程，所以存在一个隐含条件 m2-8≠0，即 m ≠±．可知它的各项系数分别是 a=m2-8(m ≠±)，b=-(3m-1)，c=m3-1．参数m 的取值范围是不等于±的一切实数．【总结升华】在含参数的方程中，要认定哪个字母表示未知数，哪个字母是参数，才能正确处理有关的问题．【变式1】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项： （1）2352x x =−； （2）(1)(1)2a x x x +−=−．【答案】（1）235+2=0x x −，二次项系数是3、一次项系数是-5、常数项是2.（2）(1)(1)2a x x x +−=−化为220,ax x a +−−=二次项系数是a 、一次项系数是1、常数项是-a-2.【变式2】关于x 的方程的一次项系数是-1，则a .【答案】原方程化简为x2-ax+1=0,则-a=-1,a=1.类型三、一元二次方程的解（根）例5.若0是关于x 的方程()2223280m x x m m −+++−=的解，求实数m 的值，并讨论此方程解的情况．【思路点拨】根据一元二次方程解的性质，直接求出m 的值，根据若是一元二次方程时，注意二次项系数不为0，再利用根的判别式求出即可． 【答案与解析】解：∵0是关于x 的方程()2223280m x x m m −+++−=的解，∴2280m m +−=∴24m m ==−或 ①当20m −≠ ∴4m =−∴原方程为：2630x x −+=2490b ac =−=>∴此方程有两个不相等的根．2630x x −+=()3210x x −−=解得：00.5x =或 ②当2m = ∴30x = ∴0x =【总结升华】此题主要考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练记忆根的判别式公式是解决问题的关键．例6.已知关于x 的方程（m ﹣1）x 2+5x+m 2﹣3m+2=0的常数项为0，（1）求m 的值； （2）求方程的解． 【答案与解析】解：（1）∵关于x 的方程（m ﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0， ∴m2﹣3m+2=0， 解得：m1=1，m2=2， ∴m 的值为1或2；（2）当m=2时，代入（m ﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0得出： x2+5x=0 x （x+5）=0，解得：x1=0，x2=﹣5． 当m=1时，5x=0， 解得x=0．【总结升华】此题是一元一次方程与一元二次方程的解法的小综合，注意本题中说的是“方程”，而不是“一元二次方程”． 【变式】（1）x=1是的根，则a= .（2）已知关于x 的一元二次方程 22(1)210m x x m −++−=有一个根是0，求m 的值.【答案】（1）当x=1时，1-a+7=0,解得a=8.（2）由题意得一、单选题【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．【详解】解：A 、当0a =时，该方程不是关于x 的一元二次方程，故A 不符合题意；B 、方程整理后不含有二次项，该方程不是关于x 的一元二次方程，故B 不符合题意；C 、该方程属于分式方程，不是关于x 的一元二次方程，故C 不符合题意；D 、符合一元二次方程的定义，故D 符合题意． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是()200ax bx c a ++=≠．特别要注意0a ≠的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．A ．解的整数部分是3，十分位是1B ．解的整数部分是3，十分位是2C ．解的整数部分是3，十分位是3D ．解的整数部分是3，十分位是4【答案】B【分析】通过观察表格可得20x px q ++=时，3.2 3.3x <<，即可求解．【详解】解：由表格可知，当 3.2x =时，20x px q ++<，当 3.3x =时，20x px q ++>，∴20x px q ++=时，3.2 3.3x <<，∴解的整数部分是3，十分位是2． 故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程的解，通过观察所给的信息，确定一元二次方程解的范围是解题的关键． 3．（2022秋·江苏徐州·九年级校考期末）关于x 的一元二次方程()22110a x x a −++−=的一个根是0，则a 的值是（ ） A ．1− B ．1C ．1或1−D ．1−或0【答案】A【分析】根据方程是一元二次方程，可得10a −≠，将0x =代入解析式，求出a 的值即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()22110a x x a −++−=的一个根是0，∴10a −≠，210a −=，∴1a =−； 故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程二次项系数不为0，使等式成立的未知数的值是方程的解，是解题的关键． 二、填空题4．（2023·江苏扬州·统考一模）若关于x 的方程220x mx =－－的一个根为3，则m 的值为_______． 【答案】73【分析】根据题意把3代入方程，得到关于m 的方程，解方程即可得．【详解】解：依题意得23320m =－－，解得：73m =，故答案为：73．5．（2023春·江苏南京·九年级统考期中）若m 是方程210x x +−=的一个根，则代数式22023m m −−的值为________． 【答案】2022【分析】根据m 是方程210x x +−=的一个根，得到210m m +−=，进而得到21m m +=，代入代数式计算即可得解．【详解】解：∵m 是方程210x x +−=的一个根，∴210m m +−=，∴21m m +=，∴()2220232023202312022m m m m −−=−+=−=；故答案为：2022．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，熟练掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．【答案】4−【分析】根据一元二次方程的定义得出40a −≠且22a −=，再求出a 即可．【详解】解：∵关于x 的方程()24 320a a x x −−+−=是一元二次方程，∴40a −≠且22a −=， 解得：4a =−． 故答案为：4−．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和绝对值，能根据一元二次方程的定义得出40a −≠且22a −=是解此题的关键． 三、解答题【答案】212a a +，9．【分析】先计算括号内的分式的减法，再把除法化为乘法运算，约分后可得结果，再把2290a a +−=化为229a a −=，再整体代入计算即可．【详解】解：22441(2)44a a a a ⎛⎫+⋅−÷− ⎪−⎝⎭()()244412242a a a a a a +−=+−−()()()22412242a a a aa −=+−−()12a a =+212a a =+，∵2290a a +−=，∴229a a +=，∴原式19=．【点睛】本题考查的是分式的化简求值，一元二次方程的解的含义，掌握“分式的混合运算以及整体代入法求值”是解本题的关键．【答案】(1)②③ (2)74(3)5522⎛⎫− ⎪⎝⎭，【分析】（1）设两个不同的点P （m ，n ）和Q （－n ，－m ）是一对 “反换点”；①假设图象上存在“反换点”P Q 、，将P （m ，n ），Q （－n ，－m ）坐标分别代入解析式，计算两等式是否有解，若有解，则图象存在反换点；（2）设(),3P a a −，则()3,Q a a −−，其中3a >，由题意得()()()22233362OPQa Sa a a −=−−−⨯−=，求出a的值，进而得到P 点坐标，然后代入ky x =中计算求解即可；（3）假设24y x x =−−图象上存在“反换点”P Q 、，则有2244n m m m n n ⎧=−−⎨=−⎩①②，①+②式得()()50m n m n ++−=，有50m n +−=即5n m =+，将5n m =+代入①中求解m 的值，n 的值，进而得到P Q 、的点坐标，计算两点的中点坐标即可．（1）解：设两个不同的点P （m ，n ）和Q （－n ，－m ）是一对 “反换点”，且m n ≠−即0m n +≠①假设2y x =−+图象上存在“反换点”P Q 、，将P （m ，n ）代入2y x =−+，则有2n m =−+即2n m +=将Q （－n ，－m ）代入2y x =−+，则有()2m n −=−−+即2n m +=−2n m +=与2n m +=−矛盾 ∴P （m ，n ）和Q （－n ，－m ）不能同时在2y x =−+图象上∴2y x =−+图象上不存在“反换点”故①不符合题意；②假设2y x =−图象上存在“反换点”P Q 、，将P （m ，n ）代入2y x =−，则有2n m =− 即mn 2=− 将Q （－n ，－m ）代入2y x =−，则有2m n −=−−即mn 2=− mn 2=−与mn 2=−相同 ∴P （m ，n ）和Q （－n ，－m ）均在2y x =−图象上 ∴2y x =−图象上存在“反换点” 故②符合题意； ③假设22y x =−图象上存在“反换点”P Q 、，将P （m ，n ）代入22y x =−，则有22n m =−① 将Q （－n ，－m ）代入22y x =−，则有()22m n −=−−即22m n =② 将①代入②中得()2222m m =⨯−即48m m = 解得12m =或0m =（舍去）∴存在,m n 使P （m ，n ）和Q （－n ，－m ）均在22y x =−图象上∴22y x =−图象上存在“反换点”故③符合题意；故答案为：②③．（2）解：设(),3P a a −，则()3,Q a a −−，其中3a >∴()()()22233362OPQ a S a a a −=−−−⨯−= 解得72a = 132a −= ∴71,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 将71,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入k y x =得1722k = 解得74k = ∴k 的值为74．（3）解：假设24y x x =−−图象上存在“反换点”P Q 、则有2244n m m m n n ⎧=−−⎨=−⎩①② ①+②式得2244n m m m n n +=−−+−()()50m n m n ++−=∴50m n +−=或0m n +=（舍去）5n m =+将5n m =+代入①中得2550m m ++=解得m =或m =当52m −=时，52n =，此时P ⎝⎭，Q ⎛ ⎝⎭，两点的中点坐标为55,22⎛⎫− ⎪⎝⎭；当m =时，n =，此时P ⎝⎭，Q ⎝⎭，两点的中点坐标为55,22⎛⎫− ⎪⎝⎭；∴存在“反换点”，线段中点坐标为55,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，反比例函数与几何综合，解一元二次方程等知识．解题的关键在于理解题意并用适当的方法解方程．一、单选题 1．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）一元二次方程2323x x −=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A ．3、2、3−B ．3、2、3C ．3、2−、3D ．3、2−、3−【答案】D【分析】将一元二次方程2323x x −=化为一般形式即可求得结果． 【详解】解：将一元二次方程2323x x −=化为一般形式，得23230x x −−=，二次项系数为3，一次项系数为2−，常数项为3−．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式以及多项式的有关概念，解决问题的关键是将一元二次方程化为一般形式． 2．（2022秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）若关于x 的一元二次方程()2215320m x x m m −++−+=的常数项为0，则m ＝（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．0【答案】B【分析】根据一元二次方程成立的条件和常数项为0列出方程组，解方程组即可求解．【详解】若关于x 的一元二次方程()2215320m x x m m −++−+=的常数项为0，则232010m m m ⎧−+=⎨−≠⎩，解得2m =，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的含义，熟练掌握知识点是解题的关键．A ． 1.073−B ． 1.089−C ． 1.117−D ． 1.123− 【答案】C 【分析】根据表格中的数据，可判断代数式23x x −的值为4.61和4.56时，对应x 的值为−1.12和−1.11，观察原方程可理解为求代数式23x x −的值为4.6时，对应的x 的值，由此判断即可．【详解】解：∵x=−1.12时，23 4.61x x −=；x=−1.11时，23 4.56x x −=； ∴23 4.6x x −=时，对应x 应满足，∴原方程的近似解为：−1.117．故选C ．【点睛】本题考查一元二次方程的近似解，理解表格中的数据，掌握求近似解的方法是解题关键．二、填空题4．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）若关于x 的一元二次方程()2100ax bx a +−=≠有一根为1x =，则一元二次方程()()21110a x b x −+−−=必有一根为______．【答案】2【分析】利用整体思想设1x t −=，得到方程210at bt +−=，再根据210(0)ax bx a +−=≠即可得到t 的值，最后得出结论．【详解】解：∵在2(1)(1)10−+−−=a x b x 中，设1x t −=∴210at bt +−=∵210(0)ax bx a +−=≠有一个根1x =∴在210at bt +−=中1t =∴即在2(1)(1)10−+−−=a x b x 中，11x −=∴2x =故答案为：2【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，利用整体思想解一元二次方程是解题的关键． 5．（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）已知m 是方程2210x x +−=的一个根，则代数式2242021m m ++的值为_________【答案】2023【分析】由方程根的定义得到221m m +=，整体代入2242021m m ++即可得到答案．【详解】解：∵m 是方程2210x x +−=的一个根，∴2210m m +−=，∴221m m +=，∴()222420212220212120212023m m m m ++=++=⨯+=．故答案为：2023【点睛】此题考查了一元二次方程的解和代数式的值，熟练掌握一元二次方程解的定义是解题的关键． 6．（2023春·江苏南京·九年级校联考阶段练习）已知方程20x bx c ++=的两个根分别是2、1，则b c +=______．【答案】1−【分析】把1x =代入20x bx c ++=得出10b c ++=，整理即可得出答案．【详解】解：把1x =代入20x bx c ++=得：10b c ++=，∴1b c +=−．故答案为：1−．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握方程解的定义，得出10b c ++=．三、解答题【答案】(1)m＝1±(2)m=【分析】（1）根据方程中只含有一个未知数且未知数的最高次数是1次的整式方程是一元一次方程，可得答案；（2）根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：(1) 未知数的最高次数是2；(2) 二次项系数不为0；由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【详解】（1）解：由题意，得m2﹣1＝1，解得m＝当m＝m0，解得m当mm2﹣1＝0，解得m＝±1，m＝±1时，该方程是一元一次方程，综上，当m＝±1时，该方程是关于x的一元一次方程；（2）解：由题意，得m2﹣1＝2且m，解得m当m x的一元二次方程．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0 (且a≠0) ，特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．8．（2022秋·九年级课时练习）已知关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0．(1)m为何值时，此方程是一元一次方程？求出该一元一次方程的解；(2)m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．【答案】(1)m ＝1；x ＝﹣1(2)m≠1；二次项系数为m ﹣1，一次项系数为m ﹣2，常数项为﹣2m+1【分析】（1）当二次项系数为0，一次项系数不为0时，方程为一元一次方程，然后解方程即可；（2）当二次项系数不为0时，方程是一元二次方程．（1）解：若关于x 的方程（m ﹣1）x2+（m ﹣2）x ﹣2m+1＝0是一元一次方程，则m ﹣1＝0且m ﹣2≠0，解得m ＝1．∴原方程变形为﹣x ﹣2+1＝0解得x ＝﹣1．（2）解：当m≠1时，关于x 的方程（m ﹣1）x2+（m ﹣2）x ﹣2m+1＝0是一元二次方程，此时该方程的二次项系数为m ﹣1，一次项系数为m ﹣2，常数项为﹣2m+1．【点睛】本题考查了一元二次方程、一元一次方程的定义及解一元一次方程，难度不大．掌握一元一次方程及一元二次方程的相关定义是解决本题的关键．【答案】（1）0m ≥且1m ≠；（2）9【分析】（1）根据一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件进行求解即可；（2）把1x =代入230ax bx ++=中得到3a b +=−，再由22()4()a b ab a b −+=+进行求解即可．【详解】解：（1）∵方程2(1)1m x −+=是关于x 的一元二次方程，∴100m m −≠⎧⎨≥⎩，∴0m ≥且1m ≠；（2）∵1x =是方程230ax bx ++=的一个根，∴30++=a b ，即3a b +=−∴222222()4242()9a b ab a ab b ab a ab b a b −+=−++=++=+=． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，二次根式有意义的条件，完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的相关知识．10．（2022秋·江苏·九年级阶段练习）已知m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，求（m﹣2）2+（m+3）（m ﹣3）的值．【答案】1【分析】根据方程的根的定义，得到m2﹣2m﹣3＝0，化简得m2﹣2m＝3，再化简原式得原式=2（m2﹣2m）﹣5，将m2﹣2m＝3代入原式，从而求得原式的值．【详解】解：∵m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，∴m2﹣2m﹣3＝0，∴m2﹣2m＝3，∴（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3）＝m2﹣4m+4+m2﹣9＝2（m2﹣2m）﹣5＝2×3﹣5＝1．【点睛】本题考查了方程的根的定义，整式的乘法，掌握相关定义并进行正确的运算是解题的关键，解题中注意整体代入法的运用．【答案】(1)±3(2)见解析【分析】（1）认真阅读题目，理解新运算的定义，然后计算即可；（2）先判断出（﹣3x2＋6x﹣5）与（﹣x2＋2x＋3）大小关系，然后根据新运算定义计算．（1）解：∵x2*（x2﹣2）＝30，x2≥（x2﹣2）∴x2＋3（x2－2）＝30，解得x＝±3，故答案为：±3．（2）解：∵（﹣3x2+6x﹣5）－（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+4x﹣8＝﹣2（x﹣1）2﹣6＜0，∴﹣3x2+6x ﹣5＜﹣x2+2x+3，（﹣3x2+6x ﹣5）*（﹣x2+2x+3）＝（﹣3x2+6x ﹣5）﹣3（﹣x2+2x+3）＝﹣3x2+6x ﹣5+3x2﹣6x ﹣9＝﹣14， ∵化简后的结果与x 取值无关，∴不论x 取何值，结果都应该等于﹣14，不可能等于40，∴小华说小明计算错误．【点睛】本题考查解一元二次方程的能力和新定义的应用，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 12．（2022秋·九年级课时练习）已知方程()22(a x)a x x a 8a 16−=++−+是关于x 的一元二次方程． （1）求a 的取值范围；（2）若该方程的一次项系数为0，求此方程的根．【答案】（1）a 1≠；（2）1x 4=−，2x 4=【分析】（1）先把方程化为一元二次方程的一般形式，再考虑二次项系数不为0即可；（2）把方程化为一般形式后，根据条件一次项系数为0列出方程，求出a 的值，再代入原方程，解出方程即可.【详解】解：()1化简，得()2a 1x 3ax 8a 160−+−+=．方程()22(a x)a x x a 8a 16−=++−+是关于x 的一元二次方程，得a 10−≠，解得a 1≠，当a 1≠时，方程()22(a x)a x x a 8a 16−=++−+是关于x 的一元二次方程；()2由一次项系数为零，得a 0=．则原方程是2x 160−+=，即2x 160−=．因式分解得()()x 4x 40+−=， 解得1x 4=−，2x 4=．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项的系数不能为0，一元二次方程不含一次项时可选用因式分解法解一元二次方程.13．（2022秋·九年级课时练习）当m 为何值时，关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5．(1)为一元二次方程；(2)为一元一次方程．【答案】(1)m ＝3(2)m ＝﹣1或m ＝0，m ＝2【分析】（1）根据一元二次方程的定义，可得答案；（2）根据一元一次方程的定义，可得答案．（1）由关于x 的方程（m+1）x|m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5一元二次方程，得1210m m ⎧−=⎨+≠⎩，解得m ＝3．当m ＝3时，关于x 的方程（m+1）x|m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5的一元二次方程．（2）由关于x 的方程（m+1）x|m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5的一元一次方程，得m+1＝0或11130m m m ⎧−=⎨++−≠⎩，解得m ＝﹣1或m ＝0，m ＝2，当m ＝﹣1或m ＝0，m ＝2时，关于x 的方程（m+1）x|m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5的一元一次方程．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．。
一元二次方程(讲义)
是一元二次方程的重要组成部分。
方程，只有当时，才叫做一元二次方程。
如果且，它就是一元二次方程了。
解题时遇到字母系数的方程可能出现以下情况：（1）一元二次方程的条件是确定的，如方程（），把它化成一般形式为，由于，所以，符合一元二次方程的定义。
（2）条件是用“关于的一元二次方程”这样的语句表述的，那么它就隐含了二次项系数不为零的条件。
如“关于的一元二次方程”，这时题中隐含了的条件，这在解题中是不能忽略的。
（3）方程中含有字母系数的项，且出现“关于的方程”这样的语句，就要对方程中的字母系数进行讨论。
如：“关于的方程”，这就有两种可能，当时，它是一元一次方程；当时，它是一元二次方程，解题时就会有不同的结果。
ax2+bx+c=0 (a≠0)1）．提问a＝0时方程还是一无二次方程吗?为什么?(如果a＝0、b≠就成了一元一次方程了)。
2）．讲解方程中ax2、bx、c各项的名称及a、b的系数名称．3）．强调：一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现、但二次项必须存在、而且左边通常按x的降幂排列：特别注意的是“＝”的右边必须整理成0。
1．说出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项：（1）x2十3x十2＝O （2）x2—3x十4＝0； (3)3x2-5＝0（4）4x2十3x—2＝0； (5)3x2—5＝0； (6)6x2—x=0。
2.把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数、常数项：(1)6x2＝3-7x； (3)3x(x-1)＝2(x十2)—4；(5)(3x十2)2＝4(x-3)2一、关于一元二次方程概念的题目（一）选择题1．下列方程中有（）是一元二次方程（1）（2）（3）（4）（5）（6）（A）（1）（5）（6）（B）（1）（4）（5）（C）（1）（3）（4）（D）（2）（4）（5）2．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（）（A）（B）（C）或（D）且（二）填空题已知关于的方程当时，方程为一元二次方程，当时，方程为一元一次方程。
人教版九年级数学上册 21.1一元二次方程 导学案
分析：设切去的正方形的边长为 x cm，则盒底的长为 100-2x，宽为 50-2x. 得方程(100-2x)·(50-2x)=3 600， 整理得 4x2-300x+1 400=0.化简，得 x2-75x+350=0.
A．9
B．3
C．0
D．﹣3
4．方程 4x2=81-9x 化成一般形式后，二次项的系数为 4，它的一次项是（ ）
A．9
B．-9x
C．9x
D．-9
5．把一元二次方程 (x + 3)2 = x (3x −1) 化成一般形式，正确的是（ ）
A． 2x2 − 7x − 9 = 0 B． 2x2 − 5x − 9 = 0 C． 4x2 + 7x + 9 = 0 D． 2x2 − 6x −10 = 0
15．已知 a 是一元二次方程 x2 − 2x − 5 = 0 的一个解，则 2a2 − 4a +1 = _____．
【课前预习】
【参考答案】
1．D 2．C 3．D 4．C 5．A 6．B 7．C 8．D 9．D 10．B
【课后练习】
1．C 2．B 3．C 4．C 5．D 6．C 7．B 8．C 9．C 10．D
D．10
4．若 a 是方程 x2 − x −1 = 0 的一个根，则 −a3 + 2a + 2020 的值为（ ）
A．2020
B． −2020
C．2019
D． −2019
一元2次方程4种公式
一元2次方程4种公式一元二次方程是数学中常用的式子，它可以用来解决许多实际问题。
一元二次方程的表达式一般为 ax2 + bx + c = 0，其中a、b、c均为实数，x为未知数。
一元二次方程可以按照a的值来分为4种公式。
1.a=0，此时一元二次方程转换为一元一次方程。
这个情况下，一元二次方程的公式变成了bx + c = 0，可以使用简单的求解方法来求解，原方程的解为x=-c/b。
2.a≠0，此时一元二次方程称为二次项不为零的一元二次方程，有两种根。
具体求解方法为：原方程先化为bx2 + c’x + c” = 0的形式，其中b’为b/a，c为c/a，c”为-c/a。
此时原方程的解为：x1={-b+√(b2 - 4cc”)}/2， x2={-b -(b2 - 4cc”)}/2。
3.a=0，b=0，c=0，此时原方程为0=0，恒成立，所以此时所有实数都是解。
4.a=0，b=0，c≠0，此时原方程为0=c≠0，显然不成立，这个方程没有实数解。
在高中数学中，一元二次方程是不可避免的主题，它可以让我们更好地理解数学中的关系，具有很强的实际意义。
要求解一元二次方程，应该先根据二次项的系数是否为零来区分，再根据情况使用不同的求解方法。
理解了这四种公式，我们就可以对由一元二次方程表示的实际问题有更深入的认识，并加以解决。
一元二次方程广泛用于日常生活中，比如可以用来求解计算机技术中的二次函数表达式，例如求解抛物面的切线方程。
此外，一元二次方程可以解决经济学中的经济规划问题，例如求解最优购买量的线性组合问题，以及求解工资的满意度的最大化问题。
一元二次方程还可以用来求解物理中的问题，例如在力学中，可以用它求解质点运动的轨迹方程。
此外，一元二次方程在数字滤波技术中仍然被广泛应用，可以用来更好地模拟图像信息。
从上面可以看出，一元二次方程在现实生活中有着广泛的应用，可以简洁而有效地解决许多实际问题。
要想更好地使用一元二次方程，首先应深入理解4种公式，然后再根据实际问题的情况，使用正确的求解方法，最终达到运用一元二次方程解决实际问题的目的。
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课本第16页习题1.2两题
试一试: 用开平方法解下列方程:
(1) x2=4;
(2) x2=0;
(3)3x2－27=0;
归纳：
一般地，对于方程x2=p ①
（1）当p＞ 0时，根据平方根的意义， 方程① 有两个不等的实数根x1= ＿＿ x2= ＿＿
（2）当 p=0时，方程① 有两个＿＿的实 数根x1= x2 = ＿＿
（3）当p＜ 0时，因为对任意实数x， 都有x2 ≥ 0,所以方程① ＿＿实数根。
?思 考
把此方程“降次”， 转化为两个一元 一次方程
怎样解方程(2x?1)2 ? 5及 方程 x2 ? 6x ? 9 ? 2?
对于可化为 (mx ＋n)2＝p(p≥0)或（ ax +b）2=(cx +d)2
的方程，可以用直接开平方发求解吗？
1.当方程的一边容易变形为含未知数的完全平方式，另 一边是非负数时，可以用直接开平方法求解，
即：对于(mx ＋n)2＝p(p≥0)，得： mx ? n ? ? p
2.若两边都是完全平方式，
即：（ax +b）2=(cx +d)2，得 ax ? b ? ? (cx ? d )
训练拓展
解下列方程： （1）2x2-8=0 (2)(x+6) 2-9=0 (3)x2＋6x+9=1 （4） 9x2+5=1
人教版九年级数学（上册）第二十一章 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 直接开平方法
授课教师：张小刘
1.会利用开平方法解形如 x2=p 或 (x+n)2=p (p ≥ 0）的方程；
2.解一元二次方程的过程中，体会 解一元二次方程降次的转化思想 。
2. 完全平方公式：
（2）整理方程，得： ＿＿＿＿
（3）根据平方根的意义，得x= ＿＿,即 x1= ＿＿ ,x2= ＿＿ （4） 通过验证可知： ＿和＿是方程的 两个根，但棱长不能为负值，所以正方 体的棱长为＿＿dm.
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程, 根据平方根的定义,可解得 x1 ? a,x2 ? ? a 这种解一元二次方程的方法叫做开平方 法.
a 2 ? 2ab ? b2 ? (a ? b)2 ; a 2 ? 2ab ? b2 ? (a ? b)2 .
问题1 一桶油漆可刷的面积为 1500 d m2 ，李林用这桶
油漆恰好刷完 10个同样的正方体形状的盒子的全部 外表面，你能算出盒子的棱长吗？
自学质疑
阅读教材第5页，完成以下问题；
（1）问题1中可列出的方程是: ＿＿