三角函数在实际中的应用

专题3 锐角三角函数在实际中的应用解题技巧：1．如果图形不是直角三角形，一定要考虑添加适当的辅助线（作平行线或作垂线），构造直角三角形，然后选择恰当的三角函数（正弦、余弦或正切）；2．在求线段长度的时候，如果不能直接求出长度，可以考虑列方程求值。

一仰角、俯角问题1．某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度．已知小亮站着测量，眼睛与地面的距离（AB）是1.7米，看旗杆顶部E的仰角为30°；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（CD）是0.7米，看旗杆顶部E的仰角为45°．两人相距5米且位于旗杆同侧（点B、D、F在同一直线上）．（1）求小敏到旗杆的距离DF．（结果保留根号）（2）求旗杆EF的高度．（结果保留整数，参考数据：≈1.4，≈1.7）2．如图所示，某古代文物被探明埋于地下的A处，由于点A上方有一些管道，考古人员不能垂直向下挖掘，他们被允许从B处或C处挖掘，从B处挖掘时，最短路线BA与地面所成的锐角是56°，从C处挖掘时，最短路线CA与地面所成的锐角是30°，且BC=20m，若考古人员最终从B处挖掘，求挖掘的最短距离．（参考数据：sin56°=0.83，tan56°≈1.48，≈1.73，结果保留整数）3．(2014潍坊)如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行，飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是45°，然后沿平行于AB的方向水平飞行1.99×104米到达点D处，在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是60°，求两海岛间的距离AB.4.一电线杆PQ立在山坡上，从地面的点A看，测得杆顶端点A的仰角为45°，向前走6m 到达点B，又测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别为60°和30°，（1）求∠BPQ的度数；（2）求该电线杆PQ的高度．（结果精确到1m）5.如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机测量一岛屿两端A、B的距离，飞机以距海平面垂直同一高度飞行，在点C处测得端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米，在点D测得端点B的俯角为45°，已知岛屿两端A、B的距离541.91米，求飞机飞行的高度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.73，≈1.41）6． (2015丹东10分)如图，线段AB ，CD 表示甲、乙两幢居民楼的高，两楼间的距离BD 是60米．某人站在A 处测得C 点的俯角为37°，D 点的俯角为48°(人的身高忽略不计)，求乙楼的高度CD .(参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin48°≈710，tan48°≈1110)7.如图，一楼房AB 后有一假山，其斜坡CD 坡比为1：，山坡坡面上点E 处有一休息亭，测得假山坡脚C 与楼房水平距离BC=6米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得点E 的俯角为45°．（1）求点E 距水平面BC 的高度；（2）求楼房AB 的高．（结果精确到0.1米，参考数据≈1.414，≈1.732）8．如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF＝3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD.(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20)9.（2015•荆门）如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C 处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）．10．（2015•达州）学习“利用三角函数测高”后，某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度AB，其测量步骤如下：（1）在中心广场测点C处安置测倾器，测得此时山顶A的仰角∠AFH=30°；（2）在测点C与山脚B之间的D处安置测倾器（C、D与B在同一直线上，且C、D之间的距离可以直接测得），测得此时山顶上红军亭顶部E的仰角∠EGH=45°；（3）测得测倾器的高度CF=DG=1.5米，并测得CD之间的距离为288米；已知红军亭高度为12米，请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB．（取1.732，结果保留整数）11．（2015•河南）如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若坡角∠FAE=30°，求大树的高度（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）12．（2014•河南）在中俄“海上联合﹣2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°，位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°，试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．（结果保留整数，参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5， 1.7）二坡度、坡角问题13．如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE＝45°，坝高BE＝20米．汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡BF的坡角∠F＝30°，求AF的长度．(结果精确到1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)1 14．(2014山西)如图，点A、B、C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB，BC表示连接缆车站的钢缆，已知A，B，C三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AA′，BB′，CC′分别为110米，310米，710米，钢缆AB的坡度i1＝1∶2，钢缆BC的坡度i2＝1∶1，景区因改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)15．（2015•广安）数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB的高度，如图，老师测得升旗台前斜坡FC的坡比为i=1：10（即EF：CE=1：10），学生小明站在离升旗台水平距离为35m （即CE=35m）处的C点，测得旗杆顶端B的仰角为α，已知tanα=，升旗台高AF=1m，小明身高CD=1.6m，请帮小明计算出旗杆AB的高度．三方向角问题16．如图，小岛在港口P的北偏西60°方向，距港口56海里的A处，货船从港口P出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P，4小时后货船在小岛的正东方向．求货船的航行速度．（精确到0.1海里/时，参考数据：≈1.41，≈1.73）17．某海域有A、B两个港口，B港口在A港口北偏西30°的方向上，距A港口60海里．有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处．求该船与B 港口之间的距离即CB的长(结果保留根号)．18.如图，要测量A 点到河岸BC 的距离，在B 点测得A 点在B 点的北偏东30°方向上，在C 点测得A 点在C 点的北偏西45°方向上，又测得BC ＝150 m ．求A 点到河岸BC 的距离．(结果保留整数)(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)19.(2013年河南省)我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位，如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE ，背水坡坡角68BAE ︒∠=，新坝体的高为DE ，背水坡坡角60DCE ∠=︒。

求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC .(结果精确到0.1米，参考数据：sin 680.93,cos 680.37,tan 683 1.73︒︒︒≈≈≈≈）答案1．考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析:（1）过点A作AM⊥EF于点M，过点C作CN⊥EF于点N．设CN=x，分别表示出EM、AM的长度，然后在Rt△AEM中，根据tan∠EAM=，代入求解即可；（2）根据（1）求得的结果，可得EF=DF+CD，代入求解．解：（1）过点A作AM⊥EF于点M，过点C作CN⊥EF于点N，设CN=x，在Rt△ECN中，∵∠ECN=45°，∴EN=CN=x，∴EM=x+0.7﹣1.7=x﹣1，∵BD=5，∴AM=BF=5+x，在Rt△AEM中，∵∠EAM=30°∴=，∴x﹣1=（x+5），解得：x=4+3，即DF=（4+3）（米）；（2）由（1）得：EF=x+0.7=4++0.7≈4+3×1.7+0.7≈9.8≈10（米）．答：旗杆的高度约为10米．点评:本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．考点:解直角三角形的应用．2．分析:作AD⊥BC交CB延长线于点D，线段AD即为文物在地面下的深度．设AD=x．通过解直角△ABD求得BD=；通过解直角△ACD求得CD=x，由此列出关于x 的方程，通过方程求得AD的长度．最后通过解直角三角形ABD来求AB的长度即可．解：作AD⊥BC交CB延长线于点D，线段AD即为文物在地面下的深度．根据题意得∠CAD=30°，∠ABD=56°．设AD=x．在直角△ABD中，∵∠ABD=56°，∴BD==．在直角△ACD中，∵∠ACB=30°，∴CD=AD=x，∴x=+20．解得x≈18.97，∴AB=≈≈23．答：从B处挖掘的最短距离为23米．点评:此题考查了解直角三角形的应用，主要是正切、余弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．3．【思路分析】首先，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，易得四边形ABFE为矩形，根据矩形的性质，可得AB＝EF，AE＝BF.由题意可知，AE＝BF＝1100－200＝900米，CD＝1.99×104米，然后分别在Rt△AEC与Rt△BFD中，利用三角函数求得CE与DF的长，继而求得两海岛间的距离AB.解：如解图，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD，交CD的延长线于点F.则四边形ABFE 为矩形，∴AB＝EF，AE＝BF.由题意可知AE＝BF＝1100－200＝900(米)，CD＝19900(米)．∴在Rt△AEC中，∠C＝45°，AE＝900(米)，∴CE ＝AE tan ∠C ＝AE tan 45°＝900(米)， 在Rt △BFD 中，∠BDF ＝60°，BF ＝900(米)，∴DF ＝BF tan ∠BDF ＝900tan 60°＝3003(米)， ∴AB ＝EF ＝CD ＋DF －CE ＝19900＋3003－900＝(19000＋3003)米．答：两海岛之间的距离AB 是(19000＋3003)米．4.考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析:（1）作PQ ⊥AB 交AB 的延长线于H ，根据三角形的外角的性质计算；（2）设PQ=xm ，根据正、余弦的定义表示出QH 、BH ，根据等腰直角三角形的性质列式计算即可．解：（1）作PQ ⊥AB 交AB 的延长线于H ， 由题意得，∠QBH=30°，∠PBH=60°，∴∠BQH=60°，∠PBQ=30°，∴∠BPQ=∠BQH ﹣∠PBQ=30°；（2）设PQ=xm ，∵∠BPQ=∠PBQ ，∴BQ=PQ=xm ，∵∠QBH=30°，∴QH=BQ=x ，BH=x ，∵∠A=45°，∴6+x=x x ， 解得x=2+6≈9． 答：该电线杆PQ 的高度约为9m ．点评:本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．5.考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析:过点A 作AE ⊥CD 于点E ，过点B 作BF ⊥CD 于点F ，设高度为x 米，在Rt △AEC 中可得CE==，在Rt △BFD 中有DF==x ，根据AB=EF=CD+DF ﹣CE 列出方程，解方程可求得x 的值．解：过点A 作AE ⊥CD 于点E ，过点B 作BF ⊥CD 于点F ，设高度为x 米∵AB ∥CD ，∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°，∴四边形ABFE 为矩形．∴AB=EF ，AE=BF ．由题意可知：AE=BF=x 米，CD=500米．在Rt △AEC 中，∠C=60°，∴CE==（米）．在Rt △BFD 中，∠BDF=45°，∴DF==x （米）．∴AB=EF=CD+DF ﹣CE ，即500+x ﹣x=541.91 解得：x=99答：飞机行飞行的高度是99米．6．【思路分析】本题考查三角函数的实际应用．题中有角度没直角三角形，先考虑过点C 向AB 作垂线CE 构造直角三角形，利用正切分别求得AB 、AE ，最后利用线段和差关系求解即可．解：过点C 作CE ⊥AB 交AB 于点E ，则四边形EBDC 为矩形，∴BE ＝CD ，CE ＝BD ＝60米．(2分)根据题意可得，∠ADB ＝48°，∠ACE ＝37°.在Rt △ADB 中，tan48°＝AB BD ， 则AB ＝tan48°·BD ≈1110×60＝66(米)；(5分)在Rt △ACE 中，tan37°＝AE CE ， 则AE ＝tan37°·CE ≈34×60＝45(米)，(8分) ∴CD ＝BE ＝AB －AE ＝66－45＝21(米)，∴乙楼的高度CD 为21米．(10分)7.考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析:（1）过点E 作EF ⊥BC 于点F ．在Rt △CEF 中，求出CF=EF ，然后根据勾股定理解答；（2）过点E 作EH ⊥AB 于点H ．在Rt △AHE 中，∠HAE=45°，结合（1）中结论得到CF 的值，再根据AB=AH+BH ，求出AB 的值．解：（1）过点E 作EF ⊥BC 于点F ．在Rt △CEF 中，CE=20，， ∴EF 2+（EF ）2=202， ∵EF ＞0，∴EF=10．答：点E 距水平面BC 的高度为10米．（2）过点E 作EH ⊥AB 于点H ．则HE=BF ，BH=EF ．在Rt △AHE 中，∠HAE=45°，∴AH=HE ，由（1）得CF=EF=10（米） 又∵BC=6米，∴HE=6+10米，∴AB=AH+BH=6+10+10=16+10≈33.3（米）． 答：楼房AB 的高约是33.3米．8． 解：设EC ＝x ，在Rt △BCE 中，tan ∠EBC ＝EC BE， 则BE ＝EC tan ∠EBC ＝EC tan 50°≈56x (米)， 在Rt △ACE 中，tan ∠EAC ＝EC AE，则AE ＝EC tan ∠EAC ＝EC tan 45°＝x (米)， ∵AB ＋BE ＝AE ，∴300＋56x ＝x ， 解得：x ＝1800(米)，∴这座山的高度CD ＝DE －EC ＝AF －CE ＝3700－1800＝1900(米)．答：这座山的高度是1900米．14．【思路分析】对于解直角三角形的实际应用问题，首先要考虑把要求的线段和已知线段、角放到直角三角形中求解．如解图，过点A 作AE ⊥CC ′于点E ，交BB ′于点F ，过点B 作BD ⊥CC ′于点D .分别在Rt △AFB 和Rt △BDC 中根据坡度求得AF ，BD 的长度，再在Rt △AEC 中，根据勾股定理求得AC 的长度．解：如解图，过点A 作AE ⊥CC ′于点E ，交BB ′于点F ，过点B 作BD ⊥CC ′于点D .则△AFB ，△BDC 和△AEC 都是直角三角形，四边形AA ′B ′F ，BB ′C ′D 和BFED 都是矩形．∴BF ＝BB ′－FB ′＝BB ′－AA ′＝310－110＝200(米)，∴CD ＝CC ′－DC ′＝CC ′－BB ′＝710－310＝400(米)．∵i 1＝1∶2，i 2＝1∶1，∴AF ＝2BF ＝400(米)，BD ＝CD ＝400(米)．又∵FE ＝BD ＝400(米)，DE ＝BF ＝200(米)．∴AE ＝AF ＋FE ＝800(米)，∴CE ＝CD ＋DE ＝600(米)．∴在Rt △AEC 中，AC ＝AE 2＋CE 2＝8002＋6002＝1000(米)． 答：钢缆AC 的长度为1000米．16.考点:解直角三角形的应用-方向角问题．第8题解图分析:由已知可得AB ⊥PQ ，∠QAP=60°，∠A=30°，AP=56海里，要求货船的航行速度，即是求PB 的长，可先在直角三角形APQ 中利用三角函数求出PQ ，然后利用三角函数求出PB 即可．解：设货船速度为x 海里/时， 4小时后货船在点B 处，作PQ ⊥AB 于点Q ． 由题意AP=56海里，PB=4x 海里，在直角三角形APQ 中，∠APQ=60°，所以PQ=28．在直角三角形PQB 中，∠BPQ=45°，所以，PQ=PB ×cos45°=2x ．所以，2x=28，解得：x=7≈9.9．答：货船的航行速度约为9.9海里/时．17.解：设MB ＝x ，∵DF ⊥CB ，∠CDF ＝45°，∴△CDF 是等腰直角三角形，∴DF ＝CF .(1分)∵EN 、DM 、CB 分别垂直于AB ，DF ⊥CB ，∴四边形ENMD 、四边形DMBF 为矩形，∴EN ＝DM ＝BF ，ED ＝MN ，∴CF ＝DF ＝BM ＝x ，∵BC ＝4，∴EN ＝BF ＝4－x ，(3分)∵AN ＝AB －MN －MB ，MN ＝DE ＝1，AB ＝6，∴AN ＝5－x ，(5分)∵tan ∠EAN ＝EN AN ，∠EAN ＝31°，∴4－x5－x ≈0.6，解得x ≈52.(7分)即DM 与BC 的水平距离BM 的长为52(米)．(8分) 18．【思路分析】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，设AD ＝x m ．用含x 的代数式分别表示BD ，CD .再根据BD ＋CD ＝BC ，列出方程并求解即可．解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，设AD ＝x m.在Rt △ABD 中，∵∠ADB ＝90°，∠BAD ＝30°，∴BD ＝AD ·tan30°＝33x .(3分)在Rt △ACD 中，∵∠ADC ＝90°，∠CAD ＝45°，∴CD ＝AD ＝x .∵BD ＋CD ＝BC ，∴33x ＋x ＝150，∴x ＝75(3－3)≈95.即A 点到河岸BC 的距离约为95 m ．(8分)。