第17章早期量子物理

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第十七章量子力学简介解答和分析

习题十七17－1 计算电子经过V U 1001=和V U 100002=的电压加速后，它的德布罗意波长1λ和2λ分别是多少？分析本题考察的是德布罗意物质波的波长与该运动粒子的运动速度之间的关系。

解：电子经电压U 加速后，其动能为eU E k =，因此电子的速度为：m2e v U = 根据德布罗意物质波关系式，电子波的波长为：)(23.12nm U emU h m h ==v ＝λ若V U 1001=，则12301.＝λnm ；若V U 100002=，则012302.＝λnm 。

17－2 子弹质量m =40 g, 速率m/s 100=v ,试问:(1) 与子弹相联系的物质波波长等于多少?(2) 为什么子弹的物质波性不能通过衍射效应显示出来?分析本题考察德布罗意波长的计算。

解：(1)子弹的动量)s /m kg (410010403⋅=⨯⨯==-v m p与子弹相联系的德布罗意波长)m (1066.141063.63434--⨯=⨯==p h λ (2) 由于子弹的物质波波长的数量级为m 1034-, 比原子核的大小(约m 1014-)还小得多,因此不能通过衍射效应显示出来.17－3 电子和光子各具有波长0.2nm ，它们的动量和总能量各是多少？分析本题考察的是德布罗意物质波的波长公式。

解：由于电子和光子具有相同的波长，所以它们的动量相同，即为： )/(1032.3102.01063.624934s m kg hp ⋅⨯=⨯⨯==---λ 电子的总能量为：)(1030.81420J hcc m E e -⨯=+=λ而光子的总能量为：)(1095.916J hcE -⨯==λ17－4 试求下列两种情况下，电子速度的不确定量：（1）电视显像管中电子的加速电压为9kV ，电子枪枪口直径取0.10mm ；（2）原子中的电子，原子的线度为1010－m 。

分析本题考察的是海森堡不确定关系。

解：（1）由不确定关系可得： 2≥∆⋅∆x p x 依题意此时的mm x 10.01=∆，因此有：)/(6.021s m x m m p x =∆≥∆=∆ x v 电子经过9kV 电压加速后，速度约为s m /1067⨯。

初期量子论优秀课件

称为普朗克常量
黑体例二
2.898×10 -3 m ·K
4.965
4.965
4.965 2.898×10 -3 m ·K
黑体例三
黑体例四
5.6705×10 -8 W·m-2·K-4
5.6705×10 -8 W·m-2·K-4
例设有一音叉尖端的质量为0.050kg ，将其频
率调到 480，H振z幅 A1.0m.m求
（1）尖端振动的量子数；
（2）当量子数由 n增加到 n 1时，振幅的变
化是多少？
解（1）E1m 2A 21m (2π)2A 20.22 J
2
2
Enh
n E 7.131029
h
基元能量 h3 .1 8 1 0 3J 1
（2）Leabharlann Enh A22π2E m2 2πn2m h
2AdA2π2hmdn
A n A n2
单位时间、单位面积上所辐射出的各种频率（或各种波长）的电磁波的能量总和.
EB(T)0eB(,T)d EB(T)0eB(,T)d
辐射的定性图述（略）
一般辐射的复杂性
*黑体
(1).单色吸收、反射、透射系数
a (,T ) E a (,T )r (,T ) E r (,T )w (,T ) E w (,T )
物理学家以谐振子为基础来构造辐射模型。奇怪的是, 无论怎么努力, 理论算出的黑体辐射曲线都不能与实验曲线一致。维恩的模型在长波波段偏离较大。瑞利和金斯的模型则在短波波段偏离很大。
这就是开尔文勋爵谈的第一朵乌云－-黑体辐射困难。
热辐射
d 表示为 e(,T)
d
表示为 e(,T)
总辐射本领（辐出度）
总辐射本领（辐出度）

第17章量子物理基础19世纪末、二十世纪初,为解决经典物理在解释一

第17章量子物理基础19世纪末、二十世纪初，为解决经典物理在解释一系列物理实验（如黑体辐射、光电效应、康普顿散射等）时所遇到的巨大困难，物理学家们创立了量子理论，它与相对论理论一起，是现代物理学的两大理论支柱。

本章介绍量子理论基础。

主要内容有：普朗克能量子假设；爱因斯坦光量子假设和光电效应方程；光子和自由电子互相作用的康普顿效应；德布罗意物质波假设；不确定关系；量子力学波函数；薛定谔方程以及薛定谔方程用于求解一维势阱和势垒问题；氢原子的玻尔理论、量子力学关于氢原子的主要结果和原子的壳层结构等。

17.1 黑体辐射普朗克量子假设17.1.1 热辐射黑体辐射定律当加热一块铁块时，温度在3000C以下，只感觉到它发热，看不见发光。

随着温度的升高，不仅物体辐射的能量越来越大，而且颜色开始呈暗红色，继而变成赤红、橙红、黄白色，达15000C，出现白光。

其它物体加热时发光的颜色也有类似随温度而改变的现象。

这说明在不同温度下物体能发出不同波长的电磁波。

实验表明，任何物体在任何温度下，都向外发射波长不同的电磁波，在不同的温度下发出的各种电磁波的能量按波长的分布不同。

这种能量按波长的分布随温度而不同的电磁辐射叫做热辐射。

实验表明:热辐射具有连续的辐射能谱,并且辐射能按波长的分布主要决定于物体的温度。

温度越高,光谱中与能量最大的辐射所对应的波长越短。

同时随着温度升高,辐射的总能量也增加。

为定量描述某物体在一定温度下发出的能量随波长的分布，引入“单色辐射本领”（也叫单色辐射度）的概念：温度为T时,辐射体表面上单位面积在单位时间内所辐射的波长在λ附近单位波长范围内电磁波能量。

通常用e(λ,T)表示，单位:瓦/米3（W/m3）。

任何物体在任何温度，不仅能辐射电磁波，还能吸收电磁波。

不同物体发射(或吸收)热辐射的本领往往是不同的。

理论和实验表明：热辐射吸收本领大的物体，发射热辐射的本领也大。

白色表面吸收热辐射的能力小,在同温度下它发出热辐射的本领也小;表面越黑, 吸收热辐射的能力就越大,在同温度下它发出热辐射的本领也越大。

17.4 薛定谔方程

波函数
( x)
2 nπ sin x a a
概率密度
2 2 nπ ( x) sin ( x) a a
2
例如，当 n =1时，粒子在 x = a /2处出现的概率最大
第17章量子物理基础
18
大学物理学
17.4
薛定谔方程
( x) 定态波函数：
3 含时波函数
2 nπ sin x A sin kx a a
i
2π ( Et px ) h
第17章量子物理基础
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大学物理学
17.4
薛定谔方程
带入下面两式
2 粒子在势能为 Ep的势场中运动 p2 Ep E Ek Ep 2m
Ψ i2π EΨ t h
2Ψ 4π 2 p 2 Ψ 2 2 x h
得到：
一维运动粒子的含时薛定谔方程
17.4
薛定谔方程
Ep
通解：
( x) A sin kx B cos kx
A、B和 k 是待定常数
5
由波函数自然条件和边界条件定特解 o
连续性： (0) (a) 0
(0) Asin 0 B cos 0 0 (a) Asin ka B cos ka 0
大学物理学
17.4
薛定谔方程
一.经典力学的动力学方程
dp F mav c dt
实验规律
r
p
已知F
a
v
描述粒子运动
二.量子力学的动力学方程描述粒子运动

薛定谔方程
1
假定和建立（不是推导）薛定谔方程
第17章量子物理基础

《初期量子论》课件

电子衍射实验
通过电子衍射实验证实了电子具有波动性，证明了德布罗意理论的正确性。
原子干涉实验
原子干涉实验进一步证实了物质波的存在，为量子力学的发展奠定了基础。
意义
物质波理论为理解微观世界的本质提供了重要工具，推动了量子力学的发展和应用。
THANKS
感谢观看
光量子理论的出现，打破了经典物理学中光的波动说，为量子力学的诞生奠定了基础。
光子的能量和动量
根据爱因斯坦的光量子理论，每个光子都具有能量和动量，其大小分别由公式E=hν和p=h/λ给出。
VS
其中E是光子的能量，h是普朗克常数，ν是光子的频率，p是光子的动量， λ是光子的波长。
爱因斯坦的光电效应理论
物质波的波长和动量
波长公式
物质波的波长 $lambda$ 与其对应的动量 $p$ 满足 $lambda = frac{h}{p}$，其中 $h$ 是普朗克常数。
动量定义
动量是描述粒子运动状态的物理量，定义为质量与速度的乘积。
波长意义
物质波的波长反映了粒子运动的特征，如衍射和干涉等现象。
物质波理论的验证与意义
能量子假设的意义
打破了经典物理学中能量连续变化的观念，开启了量子力学的研究。
为解释黑体辐射等实验现象提供了理论支持，推动了物理学的发展。
普朗克公式与黑体辐射
普朗克式之一。
该公式为解决黑体辐射问题提供了重要的理论工具，对物理学和工程学等领域产生了深远影响。
1905年，爱因斯坦在论文中提出了光电效应理论，解释了光照射在金属表面时，金属表面会释放出电子的现象。
根据光电效应理论，当光照射在金属表面时，金属表面的电子吸收光子的能量后，能够克服金属的束缚力而逸出金属表面。

优选早期量子物理

(2)能量不连续，ε nε0 (3)能量子 ε0 hν
实用中常取
h
2
普朗克黑体辐射公式
能量不连续，只能取某一最小能
Mν(T )
2πν2 c2
hν
hν
ekT 1
量的整数倍—能量是量子化的
βν
Mν (T ) αν3e T
M(T ) σ T 4
Mν (T )
2πν 2 c2
hν
hν
e kT 1
B
OO
I 1905年
Nobel Prize
饱和 Im
电流
光强较强光强较弱
U 0 (V)
Cs
Na Ca
U U0
ν0
ν(1014 Hz )
二.经典物理学所遇到的困难
截止电压
红限频率弛豫时间小于10-9 s
三.爱因斯坦的光量子论
19((0125))年光光，是子爱由的因光能斯子量坦组提成出的h ν了光光子子流假最说大初逸动出hv能功：：12A12mmhm2m2v0
1924年，吴有训对不同物质的康普顿效应的进行了仔细研究
波动性
五、光电效应的应用
光控继电器示意图
光
放大器接控件机构
§3 康普顿散射
1922-1923年，康普顿研究X射线的散射
一、实验装置
X 射线管
晶体
光阑散射波 l
探
l0
q
测器
石墨
X 射线谱仪
(散射物质)
入射X光：钼的K线 l 7.126 nm 利用X射线谱仪测量不同散射角q上的散射波长
二、实验结果
)
Mν (T
(ν, T
) )
F(n,T )为与物体无关的普适函数

大学物理17章答案

第17章量子物理基础17.1 根据玻尔理论，计算氢原子在n = 5的轨道上的动量矩与其在第一激发态轨道上的动量矩之比．[解答]玻尔的轨道角动量量子化假设认为电子绕核动转的轨道角动量为2π==n n hL mvr n ，对于第一激发态，n = 2，所以L 5/L 2 = 5/2．17.2设有原子核外的3p 态电子，试列出其可能性的四个量子数．[解答] 对于3p 态电子，主量子数为n = 3，角量子数为 l = 1，磁量子数为 m l = -l , -(l - 1), …, l -1, l ，自旋量子数为 m s = ±1/2．3p 态电子的四个可能的量子数(n ,l ,m l ,m s )为(3,1,1,1/2)，(3,1,1,-1/2)，(3,1,0,1/2)，(3,1,0,-1/2)，(3,1,-1,1/2)，(3,1,-1,-1/2) ．17.3 实验表明，黑体辐射实验曲线的峰值波长λm 和黑体温度的乘积为一常数，即λm T = b = 2.897×10-3m·K ．实验测得太阳辐射波谱的峰值波长λm = 510nm ，设太阳可近似看作黑体，试估算太阳表面的温度．[解答]太阳表面的温度大约为392.8971051010λ--⨯==⨯m b T = 5680(K)．17.4 实验表明，黑体辐射曲线和水平坐标轴所围成的面积M （即单位时间内从黑体单位表面上辐射出去的电磁波总能量，称总辐射度）与温度的4次方成正比，即M = σT 4，其中σ =5.67×10-8W·m -2·K -4．试由此估算太阳单位表面积的辐射功率（太阳表面温度可参见上题）．[解答]太阳单位表面积的辐射功率大约为M = 5.67×10-8×(5680)4 = 5.9×107(W·m -2)．17.5宇宙大爆炸遗留在宇宙空间的均匀背景辐射相当于3K 黑体辐射．求：（1）此辐射的单色辐射强度在什么波长下有极大值？（2）地球表面接收此辐射的功率是多少？[解答]（1）根据公式λm T = b ，可得辐射的极值波长为λm = b/T = 2.897×10-3/3 = 9.66×10-4(m)．（2）地球的半径约为R = 6.371×106m ，表面积为 S = 4πR 2．根据公式：黑体表面在单位时间，单位面积上辐射的能量为 M = σT 4，因此地球表面接收此辐射的功率是P = MS = 5.67×10-8×34×4π(6.371×106)2= 2.34×109(W)．17.6 铝表面电子的逸出功为6.72×10-19J，今有波长为λ = 2.0×10-7m 的光投射到铝表面上．试求：（1）由此产生的光电子的最大初动能；（2）遏止电势差；（3）铝的红限波长．[解答]（1）光子的能量为E = hν = hc/λ，根据爱因斯坦光电效应方程hν = E k + A，产生的光电子的最大初动能为E k= hν - A= 6.63×10-34×3×108/2.0×10-7-6.72×10-19= 3.23×10-19(J)．（2）遏止电势差的公式为eU s = E k，遏止电势差为U s = E k/e = 3.23×10-19/1.6×10-19=2.0(V)．（3）铝的红限频率为ν0= A/h，红限波长为λ0= c/ν0= hc/A= 6.63×10-34×3×108/6.72×10-19= 2.96×10-7(m)．17.7 康普顿散射中入射X射线的波长是λ = 0.70×10-10m，散射的X 射线与入射的X射线垂直．求：（1）反冲电子的动能E K ；（2）散射X 射线的波长；（3）反冲电子的运动方向与入射X 射线间的夹角θ．[解答]（1）（2）根据康普顿散射公式得波长变化为21222sin 2 2.42610sin 24ϕπλΛ-∆==⨯⨯= 2.426×10-12(m)，散射线的波长为λ` = λ + Δλ = 0.72426×10-10(m)．反冲电子的动能为`k hchcE λλ=-34834810106.6310310 6.63103100.7100.7242610----⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯= 9.52×10-17(J)．（3）由于 /`tan /`hc hc λλθλλ==，0.70.96650.72426==，所以夹角为θ = 44°1`．17.8 求波长分别为λ1 = 7.0×10-7m 的红光；λ2 = 0.25×10-10m 的X 射线的能量、动量和质量．[解答]X 射线的能量为E = h ν = hc/λ，动量为 p = h/λ；由E = hc/λ = mc 2，得其质量为m = h/cλ．对于红光来说，能量为348176.6310310710E --⨯⨯⨯=⨯= 2.84×10-19(J)，动量为34176.6310710p --⨯=⨯= 9.47×10-25(kg·m·s -1)，质量为341876.6310310710m --⨯=⨯⨯⨯= 3.16×10-36(kg)．对于X 射线来说，能量为3482106.63103100.2510E --⨯⨯⨯=⨯= 7.956×10-15(J)，动量为342106.63100.2510p --⨯=⨯= 2.652×10-23(kg·m·s -1)，质量为3428106.63103100.2510m --⨯=⨯⨯⨯= 8.84×10-32(kg)．17.9 处于第四激发态上的大量氢原子，最多可发射几个线系，共几条谱线？那一条波长最长．[解答]第四激发态的氢原子处于第5个能级，最多可发射四个线系．（1）能级5到4，1条谱线；（2）能级5和4到3，2条谱线；（3）能级5、4和3到2，3条谱线；（3）能级5、4、3和2到1，4条谱线．共10条谱线．从能级5跃迁到4发射的光谱频率最小，波长最长．17.10 设氢原子中电子从n = 2的状态被电离出去，需要多少能量．[解答]氢原子能级公式为4222018n me E h n ε=-，当n =1时，基态能级的能量为412208me E h ε=-≈-2.18×10-18(J) = -13.6(eV)，因此 12n E E n =．当电子从n 能级跃迁到m 能级时放出（正）或吸收（负）光子的能量为12211()n m E E E E n m ∆=-=-．电离时，m 趋于无穷大．当电子从n = 2的能级电离时要吸收能量 221113.6()2E ∆=--∞= -3.4(eV)，因此需要3.4eV 的能量．17.11 质量为m 的卫星，在半径为r 的轨道上环绕地球运动，线速度为v ．（1）假定玻尔氢原子理论中关于轨道角动量的条件对于地球卫星同样成立．证明地球卫星的轨道半径与量子数的平方成正比，即r = Kn 2，（式中K 是比例常数）；（2）应用（1）的结果求卫星轨道和下一个“容许”轨道间的距离，由此进一步说明在宏观问题中轨道半径实验上可认为是连续变化的（利用以下数据作估算：普朗克常数h = 6.63×10-34J·s ，地球质量M = 6×1024kg ，地球半径R = 6.4×103km ，万有引力常数G =6.7×10-11N·m 2·kg -2．[解答]（1）卫星绕地球运动的向心力是万有引力22Mm mv G r r =；根据玻尔理论，角动量为mvr = nh /2π．将前式乘以mr 3得2222()()4nh GMm r mvr π==，所以 222224h n r Kn GMm π==，即：卫星的轨道半径与量子数的平方成正比．（2）假设卫星质量m = 100kg ，比例系数为2224h K GMm π=342211242(6.6310)4 6.710610(100)π--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯ = 2.77×10-87．可见：比例系数很小．当r = R 时，地球表面的量子数为460 4.810n ⨯．可见：地球表面处的量子数很大．地面以上的量子数设为n `，(n` = 1,2,3,…)，则总量子数可表示为两个量子数之和：n =n 0 + n`．轨道间的距离为Δr = K [(n 0 + n` + 1)2 - (n 0 + n`)2]= K [2(n 0 + n`) + 1]．由于n 0>>1，所以Δr = 2Kn 0 + 2Kn`．设n` = kn 0，即：取地面以上的量子数为地球表面量子数的倍数，有n = (k + 1)n 0，则r = Kn 02(k + 1)2，Δr = 2Kn 0(k + 1) = 2.66×10-40(k + 1)．这说明：当地面以上的量子数按k + 1成倍地增加时，半径将按k + 1的平方的规律增加，而轨道之间的距离只按k + 1的一次方的规律增加；由于Δr 的系数很小，所以轨道间距是非常非常小的，因此可认为轨道半径是连续变化的．17.12 电子和光子各具有波长2.0×10-10m ，它们的动量和总能量各是多少？[解答]它们的动量都为34106.6310210h p λ--⨯==⨯= 3.315×10-24(kg·m·s -1)．根据公式E 2 = p 2c 2 + m 02c 4，电子的总能量为E ==3×108×[(3.315×10-24)2+ (9.1×10-31×3×108)2]1/2=8.19×10-14(J)．光子的静止质量为零，总能量为E = cp= 3×108×3.315×10-24 = 9.945×10-16(J)．17.13 室温下的中子称为热中子T = 300K ，试计算热中子的平均德布罗意波长．[解答]中子热运动的平均速度为=v其中k为玻尔兹曼常数k= 1.38×10-23J·K-1，m p是电子的质量m p= 1.675×10-27kg，可得平均速度为v= 2.509×104(m·s-1)，平均动量为=np m v= 4.2×10-27(kg·m·s-1)．平均德布罗意波长为/λ=h p= 1.58×10-10(m) = 0.158(nm)．17.14 一束动量是p的电子，通过缝宽为a的狭缝，在距离狭缝为R 处放置一屏，屏上电子衍射图样中央最大的宽度是多少？[解答]根据动量和位置的不确定关系Δp x·Δx≧h，其中位置不确定量为Δx = a，动量的不确定量为Δp x = p sinθ．设电子衍射图样的中央最大半宽度为w，则sinθ = w/R，可得wp a hR⋅≥，宽度为22hRwpa≥．[注意]如果将h改为ћ/2，则宽度为2w≧ћR/pa．两者相差很小．17.15 一宽度为a的一维无限深势阱，试用不确定关系估算阱中质量为m的粒子最低能量为多少？[解答]粒子坐标的不确定范围是Δx ≦a ，动量的不确定范围是Δp ≧h /Δx ≧h /a ．这也就是动量p 的范围．因此能量为E = p 2/2m ≧ h 2/2ma 2，最低能量可估计为E min = h 2/2ma 2．17.16 设有一宽度为a 的一维无限深势阱，粒子处于第一激发态，求在x = 0至x = a /3之间找到粒子的几率？[解答]粒子在一维无限深势阱中的定态波函数为(0)(),(1,2,3,...)πψ≤≤==n x a n x x n a ，Ψ(x ) = 0，(x < 0，x > a )．当粒子处于第一激发态时，n = 2，在x = 0至x = a /3之间被发现的几率为/3220|()|d ψ⎰a x x /32022sin d π=⎰a x x a a23== 0.391．17.17 设粒子在宽度为a 的一维无限深势阱运动时，其德布罗意波在阱内形成驻波，试利用这一关系导出粒子在阱中的能量计算式．[解答]当粒子在势阱中形成稳定驻波时，势阱宽度必然为半波长的整数倍，即n (λ/2) = a ，(n = 1,2,3,…)．根据德布罗意假设 λ = h/p ，可得粒子的动量为2λ==h nhp a 能量为 222228==p h E n m ma ．17.18假定对某个粒子动量的测定可精确到千分之一，试确定这个粒子位置的最小不确定量．（1）该粒子质量为5×10-3kg ，以2m·s -1的速度运动；（2）该粒子是速度为1.8×108m·s -1的电子．[解答]粒子的动量为 p = mv ，动量的不确定量为 Δp = p /1000，根据动量和位置的不确定关系Δp ·Δx ≧ћ/2，位置的不确定量为 Δx = ћ/2Δp ．（1）100024h x p mv π∆≥=∆h3431000 6.631045102-⨯⨯=π⨯⨯⨯= 5.276×10-30(m)．（2）100024h x p mv π∆≥=∆h343181000 6.631049.110 1.810--⨯⨯=π⨯⨯⨯⨯= 3.22×10-10(m)．17.19设有某线性谐振子处于第一激发态，其波函数为2221ψ-=a x ．式中a =，k 为常数，则该谐振子在何处出现的概率最大？[解答]第一激发态的概率为22221||a xw e ψ-==，对x 求导得222222d (2)]d a x a x w xe x a x e t --=+-2222(1)a xx x a e -=-，令d w /d t = 0，得概率最大的位置为x = ±1/a ．17.20一维运动的粒子，处于如下的波函数所描述的状态,(0);()0,(0).x Axe x x x λψ-⎧>=⎨<⎩式中λ > 0，A 为常数．（1）将此波函数归一化；（2）求粒子位置的概率分布函数；（3）粒子在在何处出现的概率最大？[解答]（1）归一化得222201||d d x x A xe x λψ∞∞--∞==⎰⎰ 22201d 2x A x e λλ∞--=⎰2222001{2d }2x x A x e xe x λλλ∞∞---=-⎰222012()d 2xA x e λλ∞--=-⎰ 22220012(){d }2xx A xe e x λλλ∞∞---=--⎰22323012()24xA A e λλλ∞--==，所以A =2λ3/2 ．归一化波函数为3/22,(0);()0,(0).x xe x x x λλψ-⎧>=⎨<⎩（[注]利用Γ函数的性质可简化积分过程．10()d n x n x e x∞--Γ=⎰，当n 为整数时，Γ(n ) = (n - 1)!．设y = 2λx ，则d x = d y /2λ，可得22331001d ()d 2x y x ex y e y λλ∞∞---=⎰⎰ 3311()(3)2()22λλ=Γ=，可以得出同一结果．）（2）粒子坐标的几率分布函数为32224,(0);()|()|0,(0).x x e x w x x x λλψ-⎧>==⎨<⎩（3）利用上一题的方法求导可得几率最大的位置为x = 1/λ．17.21 设有某一维势场如下：0,(0);,(0,).≤≤⎧=⎨<>⎩x LVV x x L该势场可称为有限高势阱，设粒子能量E < V0，求E所满足的关系式．[解答]粒子运动的薛定谔方程为222()0mE Vψψ∇+-=h．在三个区域的方程为210122d2()0,(0);dmE V xxψψ+-=<h22222d20,(0);dmE x Lxψψ+=<<h230322d2()0,().dmE V x Lxψψ+-=>h设1k=h，2k=h，则得221112d0,(0);dk xxψψ-=<（1）222222d0,(0);dk x Lxψψ+=<<（2）223132d0,().dk x Lxψψ-=>（3）方程的通解为ψ1(x) = A1exp(k1x) + B1exp(-k1x),(x<0);（4）ψ2(x ) = A 2cos(k 2x ) + B 2sin(k 2x ),(0<x <L );（5）ψ3(x) = A 3exp(k 1x ) + B 3exp(-k 1x ),(x >L )．（6）当x →-∞时，ψ1有限，所以B 1 = 0；当x →∞时，ψ3有限，所以A 3 = 0．当x = 0时，ψ1(0) = ψ2(0)，可得A 1 = A 2；（7）同时ψ1`(0) = ψ2`(0)，可得k 1A 1 = k 2B 2．（8）当x = L 时，ψ2(L ) = ψ3(L )，ψ2`(L ) = ψ3`(L )，可得A 2cos k 2L +B 2sin k 2L = B 3exp(-k 1L )；（9）-k 2A 2sin k 2L + k 2B 2cos k 2L = -k 1B 3exp(-k 1L )(10)将（9）乘以k 1加（10）得k 1A 2cos k 2L + k 1B 2sin k 2L-k 2A 2sin k 2L + k 2B 2cos k 2L = 0．即 (k 1A 2 + k 2B 2)cos k 2L = (k 2A 2 - k 1B 2)sin k 2L ，亦 122222212t a n k A k B k L k A k B +=-．（11）由（7）和（8）得k 1A 2 = k 2B 2，即 B 2 = k 1A 2/k 2，（12）（12）代入（11）式得12222212tan kk k L k k =-，即0t a n =h （13）这就是总能量满足的关系式．17.22 原子内电子的量子态由n 、l 、m l 、m s 四个量子数表征，当n 、l 、m l 一定时，不同的量子态数目为多少？当n 、l 一定时，不同量子态数目为多少？当n 一定时，不同量子态数目为多少？[解答]当n 、l 、m l 一定时，m s 只取两个值，所以量子态数目为2．当n 、l 一定时，m l 有(2l + 1)种不同取值，所以量子态数目为2(2l + 1)．当n 一定时，l 从0到(n - 1)共有n 种不同取值，量子态数目为1110002(21)421n n n l l l l l ---===+=+∑∑∑2(1)4222n n n n -=⨯+=．。

大学物理第17章.量子力学基础

第17章量子力学
§17.1 物质的波粒二象性 §17.2 不确定关系 §17.3 薛定谔方程 §17.4 一维无限深势阱 §17.5 势垒贯穿 §17.6 氢原子的量子力学处理 §17. 7 多电子原子 §17. 8 量子力学的理论假设
§17.1 物质的波粒二象性
一、德布罗意物质波假设 1.光的二象性
p2 eU , p 2meU
2m h 1.225 nm =0.167nm
pU
2. 汤姆逊（G.P.Thomson）实验（1927）电子通过金薄膜的衍射实验
实验原理 3. 约恩逊(Jonsson)实验（1961）
电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验基本数据
a 0.3μm d 1μm
V 50kV 0.5nm
微粒的波动性的应用 -----电子束代替光波来实现成像(电子显微镜)
电子与物质相互作用会产生透射电子，弹性散射电子，能量损失电子，二次电子，背反射电子，吸收电子，X射线，俄歇电子，阴极发光等等。电子显微镜就是利用这些信息来对试样进行形貌观察、成分分析和结构测定。
由于微观粒子具有波粒二象性，这就要求在描述微观粒子的运动时，要有创新的概念和思想来统一波和粒子这样两个在经典物理中截然不同的物理图像。波函数就是作为量子力学基本假设之一引入的一个新的概念。
量子力学认为：微观粒子的运动状态可用一个复
函数(x,y,z,t)来描述，函数(x,y,z,t) —称为波函数。
2.波函数的统计解释
波动观点
粒子观点
明纹处: 电子波强(x,y,z,t)2大, 电子出现的概率大;
暗纹处: 电子波强(x,y,z,t)2小, 电子出现的概率小。
可见，波函数模的平方(x,y,z,t)2与粒子在该处

量子概念的提出

E E 11 1 N 7.4 10 s h hc
第 17章
量子物理基础
29
大学物理学
1.1 量子概念的提出例2. 钙的逸出功是2.71eV，如果用波长为400nm的光照射在钙上。试求（1）遏止电势差；（2）光电子的初动能； (me =9.11×10-31 kg，e =1.6 ×10-19 C， h =6.626 ×10-31 J· s）解：（2）光电子的初动能 c 1 2 mv h A h A 2 8 3 10 34 6.626 10 J 2.71eV 9 400 10
德国理论物理学家，量子论的奠基人. 1900年他在德国物理学会上，宣读了以《关于正常光谱中能量分布定律的理论》为题的论文. 劳厄称这一天是“量子论的诞生日”.量子论和相对论构成了近代物理学的研究基础.
第 17章量子物理基础
10
大学物理学
1.1 量子概念的提出
三普朗克能量子假设
0
U
所以在同种频率的光入射下，光强越大，光子数N越多，单位时间内产生光电子数目越多,光电流的饱和值越大.
第 17章量子物理基础
24
大学物理学
1.1 量子概念的提出
遏止电势差
1 2 h mv W 2
外加反向的遏止电势差 U c 恰能阻碍光电子到达阳极, 即
V A
1 2 eU c mv 2
第 17章量子物理基础
18
大学物理学
1.1 量子概念的提出（2）光电子的最大初动能与 i I im2 入射光的频率有关，入射光的 I i m1 光强无关
2
1
I 1 2 mv eU a o U 2 1 2 I1 I 2 I 3 , U a 相同， mv 与入射光强无关 2 实验发现： Ua = K（- 0）

物理3-5第17章第一节能量量子化

第一节能量量子化光的粒子考点1 黑体和黑体辐射1．热辐射现象（1）定义：任何物体在任何温度下都要发射各种波长的电磁波，并且其辐射能量的大小及辐射能量按波长的分布都与温度有关。

（2）热辐射：①我们周围的一切物体都在辐射电磁波，这种辐射与物体温度有关，所以叫热辐射②这种由于物质中的分子、原子受到热激发而发射电磁波的现象称为热辐射。

（3）热辐射的特性①.物体在任何温度下都会辐射能量。

②.物体既会辐射能量，也会吸收能量。

物体在某个频率范围内发射电磁波能力越大，则它吸收该频率范围内电磁波能力也越大。

③辐射强度按照波长的分布情况随物体的温度变化而有所不同：a当物体温度较低时（如室温），热辐射的主要成分是波长较长的电磁波（在红外线区域），不能引起人的视觉b当温度升高时，热辐射中较短波长的成分越来越强，可见光所占份额增大，如燃烧饿炭块会发出醒目的红光④辐射和吸收的能量恰相等时称为热平衡。

此时温度恒定不变。

⑤实验表明：物体辐射能多少决定于物体的温度（T）、辐射的波长、时间的长短和发射的面积。

2.黑体（1）定义：如果某种物体能够完全吸收入射的各种波长的电磁波而不发生反射，这种物体就是绝对黑体，简称黑体（2）理解：能全部吸收各种频率的电磁辐射，是理想模型，绝对黑体实际是不存在的。

（3）模型：不透明的材料制成带小孔的空腔，可近似看成黑体（4）物体具有向四周辐射能量的本领，又有吸收外界辐射来的能量的本领（5）黑体是指在任何温度下，全部吸收任何波长的辐射的物体3.黑体辐射黑体辐射的特点：①一般物体辐射的电磁波的情况除了与温度有关之吻，还与材料的种类以及表面的情况有关②黑体辐射电磁波的强度按波长的分布只与温度有关4.黑体辐射的实验规律（1）温度一定时，黑体辐射强度随波长的分布有一个极大值（2）随着温度的升高，一方面，各种波长的黑体辐射强度都有增加；另一方面，辐射强度的极大值向波长较短方向移动。

（3）19世纪末，物理学家从实验和理论两方面严重各种温度下的黑体辐射，测量了他们的黑体辐射强度按波长分布如图所示5.黑体辐射的实验规律的理论解释（1）黑体中存在大量不停运动的带电微粒，带电微粒的振动产生变化的电磁场，向外辐射电磁波（2）维恩公式解释：1896年，德国物理学家维恩从热力学理论出发得到一个公式，但是它只在短波区与实验非常接近，在长波区则与实验偏离很大（3）瑞利公式解释：1900年，英国物理学家瑞利从经典电磁波理论出发推导出一个公式，其预测结果如图所示，在长波区与实验基本一致，但是在短波区与实验严重不符，不符合，而且当波长趋于0时，辐射强度竟变成无穷大，这种情况当时称为“紫外灾难”考点2 普朗克能量量子化假说1.量子论1.创立标志：1900年普朗克在德国的《物理年刊》上发表《论正常光谱能量分布定律》的论文，标志着量子论的诞生。

2020高中物理第十七章波粒二象性第1节能量量子化课时训练(含解析)3-5

第1节能量量子化1．了解黑体、热辐射和黑体辐射的概念，了解黑体辐射的规律.2．了解能量子的概念,了解宏观物体和微观粒子的能量变化特点。

3．了解能量子概念的提出过程，体会物理学发展的艰辛.4．了解科学家探索微观世界规律的方法，培养热爱科学的科学态度与责任.一、黑体与黑体辐射1．热辐射(1)定义：我们周围的一切物体都在辐射□，01电磁波，这种辐射与错误!物体温度有关,所以叫热辐射.(2）特性：热辐射强度按波长的分布情况随物体的错误!温度而有所不同。

2．黑体(1)定义：某种物体能够错误!完全吸收入射的各种波长的电磁波而不发生错误!反射,这种物体就是绝对黑体，简称黑体。

（2）黑体辐射特点:黑体辐射电磁波的强度按波长的分布只与黑体的错误!温度有关。

二、黑体辐射的实验规律1．如图所示，随着温度的升高，各种波长的辐射强度都有增加。

2．辐射强度的极大值向着波长错误!较短的方向移动。

三、能量子1．定义：普朗克认为,带电微粒辐射或吸收能量时，只能是辐射或吸收某个最小能量值的错误!整数倍,这个不可再分的最小能量值ε叫做能量子。

2．大小:ε＝hν，其中ν是电磁波的错误!频率，h是错误!普朗克常量,数值h＝□046。

626×10－34J·s。

(一般h取6.63×10－34J·s）判一判(1)黑体就是黑色的物体。

（)(2)黑体是一种理想模型，生活中并不存在.但有些情况物体可近似看成黑体。

( )(3)普朗克的能量子假说，使人类对微观世界的本质有了全新的认识，对现代物理学的发展产生了革命性的影响。

（）提示：(1）×（2）√（3）√想一想(1）热辐射在高温下才能发生吗？提示：任何温度的物体都发出一定的热辐射，只是辐射强度按波长的分布情况随物体的温度而有所不同。

（2)投在炉中的铁块一开始是什么颜色？过一会儿又是什么颜色？提示:投在炉中的铁块一开始是黑色,过一会儿随着温度的升高，铁块逐渐变为红色，这是因为同一物体热辐射的强度与温度有关.（3）一般物体的热辐射与黑体辐射有什么区别?提示：错误!课堂任务黑体辐射1．对黑体的理解(1）绝对的黑体实际上是不存在的，但可以用某装置近似地代替。

第17章教材习题解答

第17章量子物理基础17.1 夜间地面降温主要是由于地面的热辐射。

如果晴天夜里地面温度为-5°C ，按黑体辐射计算，每平方米地面失去热量的速率多大？解：每平方米地面失去热量的速率即地面的辐射出射度2484W/m 2922681067.5=⨯⨯==-T M σ17.2 在地球表面，太阳光的强度是1.0⨯103W/m 2。

地球轨道半径以1.5⨯108 km 计，太阳半径以7.0⨯108 m 计，并视太阳为黑体，试估算太阳表面的温度。

解： ,44422T R I R M SE σππ==K 103.51067.5)107.6(100.1)105.1(348283211422⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==-σS E R I R T 17.3宇宙大爆炸遗留在宇宙空间的均匀背景辐射相当于3K 黑体辐射．求：（1）此辐射的单色辐射强度在什么波长下有极大值？（2）地球表面接收此辐射的功率是多少？解：（1）根据公式λm T = b ，可得辐射的极值波长为λm = b/T = 2.897×10-3/3 = 9.66×10-4(m)．（2）地球的半径约为R = 6.371×106m ，表面积为 S = 4πR 2．根据公式：黑体表面在单位时间，单位面积上辐射的能量为 M = σT 4，因此地球表面接收此辐射的功率是P = MS = 5.67×10-8×34×4π(6.371×106)2= 2.34×109(W)．17.4 铝的逸出功是eV 2.4，今有波长nm 200=λ（1 （2）截止电压；（3）铝的红限波长。

解：（1） AchA h E k -=-=λνeV 0.22.4106.1102001031063.6199834=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯=--- （2）V 0.21/0.2/===e E U k c（3）A hc c==00νλnm 296m 1096.2106.12.41031063.6719834=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=--- 17.5 康普顿散射中入射X 射线的波长是λ = 0.70×10-10m ，散射的X 射线与入射的X 射线直．求：（1）反冲电子的动能E K ；（2）散射X 射线的波长；（3）反冲电子的运动方向与入射X 射线间的夹角θ．解：（1）（2）根据康普顿散射公式得波长变化为21222sin 2 2.42610sin 24ϕπλΛ-∆==⨯⨯= 2.426×10-12(m)，散射线的波长为λ` = λ + Δλ = 0.72426×10-10(m)．反冲电子的动能为`k hchc E λλ=-34834810106.6310310 6.63103100.7100.7242610----⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯= 9.52×10-17(J)．（3）由于/`tan /`hc hc λλθλλ==0.70.96650.72426==，所以夹角为θ = 44°1`．17.6 求波长分别为71100.7-⨯=λm 的红光和波长1021025.0-⨯=λm 的X 射线光子的能量、动量和质量。

大学物理-量子物理：早期量子论

测定黑体单色辐射本领按波长分布的实验装置
T
绝对黑体
平行光管三棱镜
可以分辨出不同波长的辐射能量
实验可测出：
M (T )—曲线
M (T )
M (T ) M (T )d
且窗口越小越暗（似空腔）。炼钢炉孔也可视为黑体（但红色）
实验上用绕有电热丝的空
腔开小孔实现黑体
铂铑
加热
加热空腔，小孔辐射能
量，从孔外可探测辐射，测
量辐射规律
二、黑体辐射实验规律
测定黑体单色辐射本领按波长分布的实验装置
T
绝对黑体
平行光管三棱镜
热电偶测温
不同波长分开
可以分辨出不同波长的辐射能量
1-1 普朗克“能量子”假说
普朗克假说是在解释黑体热辐射实验时提出的，什么是黑体？什么是热辐射？
不断向外发射电磁波，在一定时间内，发射电磁波的能量多少及所含波长成分都决定于物体的温度，这种现象叫做热辐射。
简言之，由物体温度决定的电磁辐射叫做热辐射。
研究黑体是为了研究实际物体的辐射规律。可以证明，实际物体的辐出度与黑体辐出度有关系
M aM B
虽然实际物体不是黑体，但可以设计黑体模型
设想，用不透明材料制成一个空腔并开一小孔。
光线从小孔射入，很难出去（腔壁多次反射吸收）。带有小孔的空腔物体就是黑体，小孔相当于黑体表面。
实例：白天远看楼房窗口，显得黑暗，
正是这两朵小小的“乌云”导致了物理学史上的一场巨大的革命，从而产生了近代物理。
而20世纪初的3个重大发现（x射线、放射性、电子的发现），揭开了近代物理序幕，为人们深入到物质的微观领域奠定了基础（ x射线的发现使人们认识到原子可分，放射性的发现使人们认识到原子核可分）。