初值问题解的存在唯一性.pdf
常微分方程12解的存在唯一性
1 x2
),
y(x) 0 ,
c2
exp(
1 x2
)
,
x 0. x 0. x 0.
3
1.2.1例子和思路
例 4: 证明初值问题
dy y, dx
的解存在且惟一。
y(0) 1
(1 .2 .1)
证：若 y y(x) 是初始值问题的解, (1 .2 .1) 两端积分
y ( x ) 满足 y(x)=1+ xy(s)ds 0
y 1 , 1 x
x( ,1).
初值问题 yy2,y(0)2的解:
y
2 1 2x
.
它的存在区间为
(
1 2
,
)
例2: 初值问题 yx,y(0)a(a0)的解为: y
y a2 x2存在区间为 (a,a)
2
例3:初始值问题:
2y yx3
x0 ,
0 x0
y(0)0
有无穷多解,存在区间为: (,).
c1
exp(
x 2 (x )1 (x )x 0f(s ,1 (s )) f(s ,0 (s ))d s 13
x 2 (x )1 (x )x 0f(s ,1 (s )) f(s ,0 (s ))d s
x
L 2
其中第二个不等式由Lipschitz条件可以得到，
（ 1 x） =y0＋xx0 f(s,0(s))ds （ 2 x） M =y0＋xx0 f(s,1(s))ds （ n x） =y0＋xx0 f(s,n1(s))ds
这样就得到一个连续函数列 n ( x)
它称为 Picard迭代序列。
11
（ 3 ) Picard 序列的收敛性
引理1.1 对于一切 n 和 x [x0,x0h],n(x)
存在唯一性定理
注: 每一个 n 阶线性微分方程可化为 n 个一阶线性 微分方程构成的方程组, 反之却不成立. 如:
1 0 方程组 x x , 0 1
不能化为一个二阶微分方程.
x 5 y 7 x 6 y e t 例 将初值问题 y 2 y 13 y 15 x cos t x ( 0 ) 1 , x ( 0 ) 0 , y ( 0 ) 0 , y ( 0 ) 1
则(5.6)可化为一阶线性微分方
程组的初值问题:
x A( t )x f ( t ) . x( t0 ) η
(5.6)与(5.7)两者关系：
若已知 (t )是(5.6)的解, 则作向量函数
1 ( t ) ( t ) 2 ( t ) ( t ) φ( t ) , ( n1) ( t ) n ( t )
其中已知函数aij ( t ) 、f i ( t ) C [a , b], ( i , j 1,2, , n)
(5.1)
满足(5.1)每一个方程的一组函数 x1 ( t ), x2 ( t ) , xn ( t )
称为(5.1)的一个解.
设函数组 xi (t ) C[a, b], (i 1,2,, n), 且有：
故向量 u( t ) 是所给初值问题的解.
5. n 阶线性微分方程可化为一阶线性微分方程组 n阶线性微分方程的初值问题 x ( n ) a1 ( t ) x ( n1) an1 ( t ) x an ( t ) x f ( t ) , ( n1) x ( t ) , x ( t ) , , x ( t0 ) n 0 1 0 2 引进代换 x1 x , x2 x, x3 x ,, xn x ( n1) ,
2.2解的存在唯一性定理
常微分方程
绵阳师范学院
下面分五个命题来证明定理,为此先给出 下面分五个命题来证明定理 为此先给出 积分方程 如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符 号下含有未知函数, 则称这样的关系式为积分方程. 号下含有未知函数 则称这样的关系式为积分方程
如 : y = e + ∫ y( t )dt , 就是一个简单的积分方程 .
0
x
≤ L ∫ n (ξ ) n 1 (ξ ) dξ
x0
x
MLn ≤ n!
MLn n (ξ x0 ) dξ = ( x x0 ) n +1 , ∫x0 (n + 1)!
x
17
常微分方程
绵阳师范学院
于是由数学归纳法得知,对所有正整数 有 于是由数学归纳法得知 对所有正整数n,有 对所有正整数
则 (x, y)在 上 于 满 Lipschitz条 . f R 关 y 足 件 f (x, y1) f (x, y2 ) = f y (x, y2 +θ ( y1 y2 )) y1 y2 ≤ L y1 y2
2
常微分方程
绵阳师范学院
b (2) 定理中h = min{a , }的几何意义 M 在矩形R中有 f ( x , y ) ≤ M ,
故初值问题(2.1)的解曲线的斜率必介于 M 与M 之间,
过点( x0 , y0 )分别作斜率为 M 和M的直线,
b 当M ≤ 时(如图(a ) a 所示 ), 解y = ( x )在 x0 a ≤ x ≤ x0 + a 中有定义;
3
常微分方程
绵阳师范学院
b 而当M > 时(如图(b)所示), 不能保证解y = ( x )在 a x0 a ≤ x ≤ x0 + a中有定义;它有可能在区间内跑到矩形 b b R外去, 使得无意义, 只有当x0 ≤ x ≤ x0 + 时, 才能保 M M 证解y = ( x )在R内.
第3章_第1节_解的局部存在唯一性定理(续)
(1)
–1
当 y0 0, 1时， 所给方程过点( x0 , y0 ) 的解(积分曲线)是 y( x ) x 1 y0 y ln y dy x0dx
由被积函数，知
积分
y0 y( x ) 0
y( x ) x 1 dy dx , 得 x0 y ln y
y0
ln ln y( x ) ln ln y0 x x0
证 f y ( x , y )在D上连续, 必有界
dy f ( x, y) (1) dx y( x0 ) y0
常数 L 0, 使
f y ( x , y) L (( x , y) D )
从而 ( x , y1 )，( x , y2 ) D，
(介于y1与y2之间), 使
f ( x , y )在D上关于y 满足 Lipschitz 条件
反例： 取 f ( x , y) y，
( x , y) D {( x , y) x x0 a, y 0 b}
( x , y1 )，( x , y2 ) D
f ( x , y2 ) f ( x , y1 ) y2 y1 y2 y1
L1
即 f ( x, y) y 在D上关于y 满足 Lipschitz条件
但点( x ,0)( D )处，f y ( x , y) 不存在
f y ( x , y )在D上不连续.
的条件(2).
上述关系表明：推论1中的条件(2)强于定理1
2. 可将定理1中的有界闭矩形区域 D 推广；
若 f ( x , y) 在闭带形区域： 推论2 D {( x , y) x , y }
一类非线性抛物方程初值问题整体解的存在唯一性
Ｃ Ｉ （・ ｔ ， “ ， 其中 Ｃ ＞ 是常数和以后 的 Ｃ（ ） ｉ ２ ３ …） ） ，０ Ｔ （ ＝ ， ， 为仅依赖于 的常数． 由引理 １和引理 ２ ｓ ， 对任何初始值 Ｈ ∈ （ ， Ｍ＝Ｉ。 ， 。 Ｒ）令 ｛ 定义集合 Ｐ Ｍ，） ¨ ∈ ） “ （ ＝｛ Ｉ （ ，
收 稿 日期 ：０ ０—１ ２１ １—２ ５ 基 金项 目 ： 南 省 教 育 厅 自然 科 学 基 金 （ ０ ９Ｂ １ ０ ７）； 南 工 业 大学 校 基 金 （ ０ Ｔ ０ 河 ２ ０ １０ ０ 河 １ ＸＰ ０ ２）
作 者 简 介 ： 长 顺 （ ９ Ｏ ） 男 ， 南 平 顶 山人 ， 南 工 业 大学 理 学 院 讲 师 ． 侯 １８一 ， 河 河
（） １
（ ２）
其中 ＞ ０为 常数 ， ， ， ， ｆ ｈ ｇ为 给 定 的 非 线 性 函数 ， ） 给 定 的初 值 函数 ． 程 （ ） 如 下 的 非 线 性 抛 ｕ（ 为 方 １和
有 紧 密 联 系 ， 中 Ｏ， ， ＞ 为 常 数 ． 显 然 方 程 （ ） 方 程 （ ） 特 殊 情 况 ， 含 Ｇ Ｂ 方 程 和 Ｓ ｂ ｌ 其 ／ ０ 卢 １ 是 ３ 的 包 Ｂ Ｍ ｏ ｏｅ ｖ—
引理 ２ 假设／ Ｒ） ０ ＝ ， ∈Ｈ ｎＬ 且 ＝［ ］ ， 中 ＞ ． Ｊ ≤Ｍ， ∈Ｃ （ ， ） ０ Ｍ ｓ ＋１其 ０ 若 ｌ “ 则有 Ｉ（ ） ≤ ｌ ｕ Ｉ 厂
（ ） ， 中 （ ） 其 为依 赖 于 的常数 ．
引理 ３
（ ）ｌ 一 ｌ， Ｉ Ｉ
Ｉｌ ） １１ Ⅱ
。 ， ）
Ｖ“ （ ・ ∈ ）
易见 （ 是 一 Ｂ ｎ ｃ ） ａ ａｈ空 间． 定义算 子 Ｊ （ 一 （ 为 再 ｓ ） ： ）
第1节 解的局部存在唯一性定理
1 ( x ) y0 y0
x
x0 x
f [ x , 0 ( x )]dx f ( x , y0 )dx
x0
在I上连续，且 当 x I时，有
1 ( x ) y0
x0 f ( x, y0 ) dx x0
x
x
f ( x , y0 ) dx
x0 M dx
即
y0 M x x0 ( x ) y0 M x x0
这意味着： x I时， y ( x )必介于两直线： 当 L1 : y y0 M ( x x0 )
与
L2 :
y y0 M ( x x0 )
所夹的两个阴影区域中.
b b (1) 当 a 时，即 M 时 a M
b 当M 时 a y = (x)不可能从D的
上下边界越出D, 故
y0 b
y
(k
b ) a
当 x [ x0 a, x0 a]时， 曲线 y = (x)完全落
在 f (x, y ) 的定义域
y0
( x0 , y0 )
L2
y = (x)
y0 b
L1
x0 a
x0
D中. 故此时可取
考虑级数：
0 ( x ) [ k ( x ) k 1 ( x )]
k 1
( x I ) (5)
其部分和： n1 ( x ) 0 ( x ) [ 1 ( x ) 0 ( x )] S
[ n ( x ) n1 ( x )] n ( x) (x I)
b h min( a, ) M
4. 定理1的证明思路 (1) 解的存在性 (2) 解的唯一性 (分四步进行证明)
常微分方程图文 (5)
第5章 存在和唯一性定理
定理5.1 设初值问题:
d y f (x, y), dx
y(x0 ) y0,
其中f(x,y)在矩形区域
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
R : x x0 a, y y0 b
内连续，而且对y满足李氏条件.则初值问题式(5.1)在区间I= ［x0-h,x0+h］上有且只有一个解，其中常数
h min{a, b }, M max f (x, y).
x sup x : y1(x) y2 (x)
x[ x0 ,x1 ]
显然有 x0 x x1 ，而且
r(x) def y1(x) y2(x) 0 (x x x1)
第5章 存在和唯一性定理
和 r (x) 0 .因此，我们有
r(x) y1(x) y2 (x) f (x, y1(x)) f (x, y2 (x))
u(x) v(x) (x J ).
也就是说，积分方程(5.2)的解是唯一的.
第5章 存在和唯一性定理 定理5.1的证明到此结束. 有了皮卡定理，对于一般微分方程
d y f (x, y), dx
(5.10)
只要能判别函数f(x,y)在某个区域D内连续并且对y有连续的
偏微商（或满足李氏条件），我们就可断言在区域D内经过
注意，李氏条件是Osgood条件的特例，这是因为
F(r)=Lr满足上述要求.
现在，我们把最先由美国数学家Osgood证明的有关解
的一个唯一性定理叙述如下.
第5章 存在和唯一性定理
定理5.2 设f(x,y)在区域G内对y满足Osgood条件，则微 分方程(5.10)在G内经过每一点的解都是唯一的.
证明 假设在G内可以找到一点(x0,y0)使得方程(5.10)有 两个解y=y1(x)和y=y2(x)都经过(x0,y0) 值x1≠x0，使得y1(x1)≠y2(x1).不妨设x1>x0，且y1(x1)>y2(x1). 令
抽象常微分方程初值问题解的存在性
第 24 期
△
王仲平等： 抽象常微分方程初值问题解的存在性
81
t （ Au） （ t） = x0 + ∫ 0 f （ s， u （ s ） ） ds， t ∈ J 则 u 是初 值问题（ 1 ） 的解当且仅当 u 是算子 A 的不动点。令 t （ Tu） （ t） = ∫ 0 M（ s） u（ s） ds， t u（ s） ds， （ Gu） （ t） = x0 + ∫ 0
{
T） w0 ≤w0 。 若存在一个半序 Banach 空间 Y， 增算子 B ： D → X 及算子 G： ［ Bu0 ， B B v0］→ X ， 使得 λA + T = GB ， 且 有 （ i） （ λI + T） － 1 G 是增算子， （ ii） 对任何单调列 ｛ x n ｝ D， ｛ Bx n ｝ 是相对弱紧 的， 则 A 在 D 中必有最大不动点和最小不动点 。
t x （ t） = x0 + ∫ 0 f（ t， x） ds， t ∈J
（ 2）
x ） 不连续时， 故当 f（ t， 就把积分方程 （ 2 ） 的解 定义为初值问题（ 1 ） 的解。
* h 定义 1 设 x（ t） ： J → E ， 如果对任意的 h ∈ E ， ［ x（ t） ］ 都是 J 上的可测函数， 则 x （ t ） 是 J 上的弱可
p L p［ J， E］= ｛ x： J → E x （ t ） 强可测， 且， ∫ x （ t ） dt J i ＜ +∞｝ ， J， E］ 可知 L p［ 在范 数 x （ t ） p = 下为一 Banach 空间。 ［6 ］ J， E］也是自反 引理 1 若 E 是自反的， 则 L p［
得到如下结果： P 是 E 中的 定理 设 E 是自反的 Banach 空间， 锥， 如果下列条件成立： u （ t） ） ） 把 C （ C1 ） 算子 F （ 其中 （ Fu ） （ t ） = f （ t， ［ J， E］ 映成强可测函数集； （ C2 ） 存在 v0 ， w0 ∈C［ J， E］ ， v0 ≤ w0 对几乎所有 的 t∈J 成立。v' 0 （ t） 与 w' 0 （ t） 存在且满足 v0 （ 0 ） ≤ x 0 ， v' 0 （ t） ≤f（ t， v0 （ t） ） a. e. t∈J， w0 （ 0 ） ≥ x0 ， w' 0 （ t ） ≥ f （ t， w0 （ t ） ） a. e. t ∈ J； v0 （ t ） ≤ （ C3 ） 存在非负连续函数 M（ t） ， 使得当 t∈J， x ≤y ≤w0 （ t ） 时， 有 f（ t， y） － f（ t， x） ≥ － M（ t） （ y － x） ； （ C4 ） 存在 1 ＜ p ＜ + ∞ ， 使 ｛ ‖ Fu （ t ） + M （ t ） u （ t） ‖∶ u∈D｝ 是 L p［ 0， a］ 中的有界集， 那么初值问 题（ 1 ） 在 D 中存在最大连续解和最小连续解 。 J， E］ J， E］ 证明 易知 C［ 和 L p［ 在 E 中在以锥 p 导出的自然半序“≤ ” 下成为半序 Banach 空间。 我 们定义算子如下
5.1 存在唯一性定理
一、记号和定义
考察形如
′ x1 = a11 (t ) x1 + a12 (t ) x2 + L + a1n (t ) xn + f1 (t ) x′ = a (t ) x + a (t ) x + L + a (t ) x + f (t ) 2 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLL ′ xn = an1 (t ) x1 + an 2 (t ) x2 + L + ann (t ) xn + f n (t )
如果令
R − L I1 I = , A = R I2 2L
R E L ,f = L 2R − 0 L
则上面的方程组就可以表示为： 则上面的方程组就可以表示为： ′ = I
AI + f .
e−t 0 1 1 例2 验证向量 u ( t ) = 是初值问题 x′ = x, x (0) = −1 −t 1 0 −e
f1 (t ) f (t ) 2 , f (t ) = M f n (t ) x1 x 2 , x= M xn ′ x1 x′ ′ = 2 x M ′ xn
(5.2)
(5.3)
u ′(t ) = A(t )u (t ) + f (t ), α ≤ t ≤ β
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
微分方程组初值问题的解的定义
定义2 定义 初值问题
x ′ = A ( t ) x + f ( t ), x ( t 0 ) = η
Picard存在和唯一性定理
Picard存在和唯一性定理本节利用逐次逼近法，来证明微分方程(2.1)的初值问题(2.2)的解的存在与唯一性定理.定理 2.2(存在与唯一性定理)如果方程(2.1)的右端函数在闭矩形域上满足如下条件：(1) 在R上连续;(2) 在R上关于变量y满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数N，使对于R上任何一对点和有不等式：则初值问题(2.2)在区间上存在唯一解其中在证明定理之前，我们先对定理的条件与结论作些说明:1. 在实际应用时，李普希兹条件的检验是比较费事的.然而，我们能够用一个较强的，但却易于验证的条件来代替它.即如果函数在闭矩形域R上关于y的偏导数存在并有界，.则李普希兹条件成立，事实上，由拉格朗日中值定理有其中满足，从而.如果在R上连续，它在R上当然就满足李普希兹条件.（这也是当年Cauchy证明的结果）2．可以证明，如果偏导数在R上存在但是无界，则Lipschitz条件一定不满足，但是Lipschitz 条件满足，偏导数不一定存在，如(,)||f x y y 。
3.现对定理中的数h 0做些解释.从几何直观上，初值问题(2.2)可能呈现如图2-5所示的情况. 这时，过点的积图 2-5分曲线当或 时，其中，，到达R 的上边界或下边界.于是，当时，曲线便可能没有定义.由此可见，初值问题(2.2)的解未必在整个区间上存在. 由于定理假定在R 上连续,从而存在于是，如果从点引两条斜率分别等于M 和-M 的直线，则积分曲线(如果存在的话)必被限制在图2-6的带阴影的两个区域内，因此，只要我们取则过点 的积分曲线 (如果存在的话)当x 在区间上变化时，必位于R 之中.图 2-6存在性的证明求解初值问题（2.2）求解积分方程（2.3）.因此，只要证明积分方程(2.3)的连续解在 上存在而且唯一就行了. 下面用毕卡(Picard )逐次逼近来证明积分方程(2.3)的连续解的存在性，可分三个步骤进行:1.构造逐次近似序列.近似序列或写成01()(,())xn n x x y f d ϕξϕξξ--=⎰的每一项都在 上有定义，这是因为 于是．这样，我们在区间上，按逐次逼近手续得到了一个连续函数列(近似序列)2. 证明近似序列在区间上一致收敛.“ 函数序列的一致收敛1．设（1）是定义在I 上的函数序列，若对，数列收敛，则称为序列（1）的收敛点．收敛点的全体叫收敛域．在收敛域上每一点，序列（1）都有极限，这极限形成收敛域上的一个函数，称为极限函数．设此函数为，即2．若对，总存在一个只与 有关的自然数N，使得对I上任何一点，当时，有，则称序列（1）在I上一致收敛．证明分如下二步：（1）序列在上一致收敛级数（2.7）在上一致收敛（级数）．因为级数（2.7）的部分和“ 函数项级数的一致收敛1．设函数项级数（1）在区间I上收敛于和函数，即对，数项级数收敛于，或级数（1）的部分和所组成的数列=由数列极限定义，对，，使得时，有2．级数（1）在I上一致收敛对，，使得对，当时，有．3．若函数项级数（1）的每一项都在I上连续，并且在I上一致收敛，则（1）的和函数在I上连续．（2）级数（2.7）在上一致收敛．用数学归纳法，易证级数（2.7）从第二项开始，每一项绝对值都小于正项级数的对应项，而上面这个正项级数显然是收敛的.所以，由优级数判别法，“ 函数项级数的一致收敛判别法（魏尔斯特拉斯优级数判别法）函数项级数（1）若函数项级数（1）在区间I上满足（I ）；（II ）正项级数收敛．则函数项级数（1）在区间I上一致收敛．数项级数收敛的判别法（比值判别法，达朗贝尔（）判别法）若正项级数的后项与前项的比值的极限等于：则当时级数收敛，时（或）时级数发散；时级数可能收敛，也可能发散．级数(2.7)在区间上不仅收敛，而且一致收敛.设其和函数为，从而近似序列在区间上一致收敛于.由于在区间上连续，因而也是连续的.3.证明是积分方程(2.3)的解，从而也是初值问题(2.2)的解. 在n次近似序列（2.6）两端取极限有因为所以要证明是积分方程（2.3）的解，即成立，只需证明这是由函数(,)f x y 的连续性及Picard 序列()n x ϕ的一致收敛性质保证的。
3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法
问题的提出
在前一章中，我们学习了用初等方法求解一阶
方程的几种类型。但是，大量的一阶方程一般是不
能用初等解法求出其通解，而实际问题中所需要的
往往是要求满足某种初始条件的解。因此对初值问 题(又称Cauchy问题)的研究被提到了重要的地位。
dy f ( x, y ) dx y ( x0 ) y0
下面分五个命题来证明定理1： 命题1 设 y ( x) 是方程(3.1)的定义于区间
x0 x x0 h 上，满足初始条件 ( x0 ) y0 的解，则 y ( x) 也是积分方程
y y0 f ( x, y)dx
x0
x
(3.5)
的定义于 x0 x x0 h 上的连续解。反之亦然。
dy 2 x(1 y ), dx
的解. 解：其迭代序列分别为
y (0) 0
y0 ( x) 0,
y1 ( x) 2 d x
0
x
x
2
4 x y2 ( x) 2 (1 2 )d x 2 0 2!
4 6 x x y3 ( x) 2 (1 2 )d x 2 0 2! 2! 3! x
L y1 y2
这里( x, y1 ),( x, y2 ) R,0 1.
二 近似计算和误差估计
求方程近似解的方法---Picard逐步逼近法,这里
0 ( x) y0 n ( x) y0
(n 1,2,)
x
x0
f ( , n1 ( ))d
需解决的问题
dy f ( x, y ) 1、初值问题 dx 的解是否存在？ y ( x0 ) y0 dy f ( x, y ) 2、若初值问题 dx 的解存在， y ( x0 ) y0
第三章 解的存在唯一性
x
n1(x) n (x) x0 f (,n ( )) f (,n1( ))d
x
L x0 n ( ) n1( )d
MLn
n!
x x0
(
x0 )nd
MLn (x (n 1)!
x0 )n1,
于是由数学归纳法得知,对所有正整数n,有
n (x) n1(x)
MLn1 n!
(x
x0 )n ,
x0 x x0 h,
u' (x) Lu(x), (u' (x) Lu(x))eLx 0,
0 g(x) u(x)
(u' (x) Lu(x))eLx 0,
对最后一个不等式从 x0到x积分得 u(x)eLx u(x0 )eLx0 0,
故g(x) u(x) 0, 即g(x) 0, x [x0, x0 h]. 综合命题1—5得到存在唯一性定理的证明.
现设
lim
n
n
(
x)
(
x),
x0 x x0 h,
则由{n (x)}在[x0, x0 h]的连续性和一致收敛性 得,
(x)在[x0, x0 h]上连续,且
(x) y0 b
命题4 (x)是积分方程 (3.5)定义于[x0, x0 h]上连续解.
证明: 由Lipschitz条件有
f (x,n (x)) f (x,(x)) Ln(x) (x)
以及{n (x)}在[x0, x0 h]的一致收敛性得 ,
函数列{ fn (x)}, ( fn (x) f (x,n (x)))
在[x0, x0 h]上一致收敛于函数 f (x,(x)),
因此对(3.7)两边取极限 ,得
x
lim
n
解的存在唯一性定理
上连续,从而k1(x)在[x0 , x0 h]上连续且
k1(x) y0
x
x0 f ( ,k ( ))d
x x0
f (,k ( ))d
M x x0 Mh b
即当n k 1时成立,命题2成立
综上，命题2得证
二、存在唯一性定理
定理1
dy =f (x, y)
(1)
dx
D :| x x0 | a,| y y0 | b
如果f (x, y)在D上连续且关于y满足利普希茨条件，
则方程(1)存在唯一的连续解y (x),定义在|x x0| h
上，连续且满足初值条件
(x0 ) y0
这里h min(a, b ), M max | f (x, y) |
x
L x0 n ( ) n1( )d
MLn
n!
x x0
(
x0 )nd
MLn (x (n 1)!
x0 )n1,
于是由数学归纳法得知,对所有正整数n,有
n (x) n1(x)
MLn1 n!
(x
x0 )n ,
x0 x x0 h,
(3.11)
从而当x0 x x0 h时,
n (x) n1(x)
于是{n (x)}一致收敛性与级数 (3.9)一致收敛性等价 .
对级数(3.9)的通项进行估计
x
1(x) 0(x) x0 f (,0( ))d M x x0
x
2(x) 1(x) x0 f (,1( )) f (,0 ( ))d
x
L x0 1( ) 0( )d
L
x x0
M (
第2节 解的存在唯一性
r r 即 ∃ 常数 L > 0, 使 ∀ ( x , y1 ), ( x , y2 ) ∈ D , r r r r r r 恒有 F ( x , y1 ) − F ( x , y2 ) ≤ L ⋅ y1 − y2
则初值问题 (1)在区间 I = [ x0 − h, x0 + h] 上
存在唯一的解 y = ϕ(x) ( x ∈I )，其中 r b r h = min(a, ), M = max F ( x , y ) . r ( x , y )∈D M 注 该定理的证明类似于第三章中的皮卡 r 定理. 只需在证明中，将 y → y , r f → F, ⋅ → ⋅ .
证 对于齐线性方程(3.2)，
令 y = C1 y1 ( x ) + C 2 y2 ( x ), 则
y( n) + a1 ( x) y( n−1) + L+ an−1 ( x) y′ + an ( x) y
= [C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x)]( n) + a1 ( x)[C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x)]( n−1)
初值问题(2)存在唯一的定义在整个区间I上的
r r 解： y = ϕ ( x ) = [ϕ i ( x )]n×1
注
(x ∈ I)
证明见书 p.179 ~ p. 183.
推论 对于
y( x0 ) = y10, y′( x0 ) = y20,L, y( n−1) ( x0 ) = yn0
y(n) + a1( x) y(n−1) +L+ an−1( x) y′ + an( x) y = f ( x)
L 0 ⎤ 1 0 ⎡ 0 ⎢ 0 L 0 ⎥ 0 1 ⎢ ⎥ M ⎥, A( x) = ⎢ M 0 0 L 1 ⎥ ⎢ 0 ⎢− a ( x) − a ( x) − a ( x) L − a ( x)⎥ ⎣ n ⎦ n−1 n−2 1
常微分方程2.2解的存在唯一性定理
即命题2 当 n=1 时成立。 现在用数学归纳法证明对于任何正整数 n ，命题2都成立。
即 当 n=k 时， k (x)在 x0 x x0 h 上有定义，连续，
也就是满足不等式 k (x) y0 b
x
而当 n=k+1 时， k1(x) y0 x0 f (,k ( ))d
x
0 (x) (x) x0 f (, ( )) d M (x x0 )
x
k1(x) y0 x0 f (,k ( )) d M (x x0 ) Mh b
k 1 (x) 在 x0 x x0 h 上有定义，连续。
§ 2.2 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
即命题２在 n=k＋１时也成立。
现在取 0 (x) y0 ，构造皮卡逐步逼近函数序列如下:
0 (x) y0
n (x) y0
x x0
f ( ,n1( ))d
x0 h x x0 h
(3.1.9)
0 (x) y0
x
1(x) y0 x0 f ( ,0 ( ))d
x
2 (x) y0 x0 f (,1( ))d
x0+a
x
§ 2.2 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
0 (x) y0
n (x) y0
x x0
f ( , n1 ( ))d
命题2 对于所有的 (3.1.9) 中函数
x0 x x0 h
n (x) 在
x0 x x0 h 上有定义、连续，即满足不等式:
解的存在唯一性定理证明
解的存在唯一性定理利用逐次逼近法，来证明微分方程(,),dyf x y dx =的初值问题00(,)()dy f x y dx y y x ==⎧⎨⎩的解存在与唯一性定理。
一、【存在、唯一性定理叙述】 如果方程(,),dyf x y dx=的右端函数(,)f x y 在闭矩形区域0000:,R x a x x a y b y y b -≤≤+-≤≤+上满足如下条件：（1）、在R 上连续；（2）、在R 上关于变量y 满足利普希茨条件，即存在常数N ，使对于R 上任何一点(),x y 和(),x y 有以下不等式：()|(,),|||f x y f x y N y y -≤-。
则初值问题00(,)()dyf x y dx y y x ==⎧⎨⎩在区间0000x h x x h -≤≤+上存在唯一解00(),()y x x y ϕϕ==， 其中0(,)min ,,max (,)xy R bh a M f x y M∈⎛⎫== ⎪⎝⎭二、【证明】 逐步迫近法：微分方程(,)dyf x y dx=等价于积分方程00(,)x x y y f x y dx =+⎰。
取00()x y ϕ=，定义001()(,()),1,2,3, (x)n n x x y f x x dx n ϕϕ-=+=⎰可证明lim ()()n n x x ϕϕ→∞=的()y x ϕ=满足积分方程。
通过逐步迫近法可证明解的存在唯一性。
命 题 1：先证积分方程与微分方程等价： 设()y x ϕ=是微分方程(,)dyf x y dx=定义于区间0000x h x x h -≤≤+上满足初值条件00()x y ϕ=的解，则()y x ϕ=是积分方程00(,),x x y y f x y dx =+⎰定义于区间0000x h x x h -≤≤+上的连续解。
反之亦然。
证： 因()y x ϕ=是微分方程(,)dy f x y dx =的解，有'()()(,())d x x f x x dxϕϕϕ== 两边从0x 到x 取定积分，得：000000()()(,()),xx x x f x x dx x h x x h ϕϕϕ-=-≤≤+⎰代入初值条件00()x y ϕ=得：000000()(,()),xx x y f x x dx x h x x h ϕϕ=+-≤≤+⎰即()y x ϕ=是积分方程00(,)xx y y f x y dx =+⎰定义于区间0000x h x x h -≤≤+上的连续解。
解的存在唯一性定理
一阶微分方程解的存在性定理的其它证明方法姜旭东摘要 本文在文[1]对一阶微分方程初值问题解得存在唯一性定理证明的基础上,应用压缩映像原理，Schauder 不动点定理，以及Euler 折线法，给出了一阶微分方程解得存在唯一性定理的其它几种证法.关键词 一阶微分方程 不动点定理 解的存在性 唯一性 1、引言微分方程来源于生活实际，研究微分方程的目的在于掌握它所反映的客观规律。
在文[1]第二章里,介绍了能用初等解法求解的一阶方程的若干类型,但同时指出,大量的一阶方程一般是不能用初等解法求解它的通解,而实际问题需要的往往是要求满足某种初始条件的解. 本文在文[1]对一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理证明的基础上,应用压缩映像原理，Schauder 不动点定理，以及Euler 折线法，给出了一阶微分方程解的存在唯一性定理的其它几种证法.考虑一阶微分方程 (,)dyf x y dx= (1.1)这里(,)f x y 是在矩形区域00:||,||R x x a y y b -≤-≤ (1.2)上的连续函数.函数(,)f x y 在R 上满足Lipschitz 条件，即存在常数L ＞0，使得不等式1212|(,)(,)|||f x y f x y L y y -≤- (1.3)对所有12(,),(,)x y x y R ∈都成立, L 称为Lipschitz 常数。
定理1.1、如果(,)f x y 在R 上连续且关于y 满足Lipschitz 条件，则方程(1.1)存在唯一的解()y x ϕ=,定义于区间0||x x h -≤上,连续且满足初始条件00()x y ϕ=这里min(,)bh a M=,(,)max |(,)|x y R M f x y ∈=.文[1]中采用皮卡逐步逼近法来证明这个定理.为了简单起见,只就区间00x x x h≤≤+来讨论,对于00x h x x -≤≤的讨论完全一样.分五个命题来证明这个定理:命题1、设()y x ϕ=是方程(1.1)定义于区间00x x x h ≤≤+上满足初始条件00()x y ϕ=的解,则()y x ϕ=是积分方程0(,)xx y y f x y dx =+⎰ 00x x x h ≤≤+ (1.4)的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.反之亦然. 现在取00()x y ϕ=,构造皮卡逐步逼近函数序列如下:0000100()()(,())x nn x x y x y f d x x x hϕϕξϕξξ-=⎧⎪⎨=+≤≤+⎪⎩⎰ (1.5)(n=1,2,…)命题2 、对于所有的n ，(1.5)中()n x ϕ在00x x x h ≤≤+上有定义、且满足不等式0|()|n x y b ϕ-≤命题3 、函数序列{}()n x ϕ在00x x x h ≤≤+上是一致收敛的. 命题4 、()x ϕ是积分方程(1.4)的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.命题5 、()x ψ是积分方程(1.4)的定义于00x x x h ≤≤+上的一个连续解，则()()x x ϕψ=，00x x x h ≤≤+.综合命题1—5，即得到存在唯一性定理.本文在方程(1.1)在满足定理1.1条件下,应用应用压缩映像原理，Schauder 不动点定理，以及Euler 折线法，给出了一阶微分方程解得存在唯一性定理的其它几种证法.2、预备知识定义 2.1、 定义在t αβ≤≤上的实值(m 维)向量函数族{}()F f t =,如果存在数M ＞0，使得对任一f F ∈，都有()f t M ≤，当t αβ≤≤时，则称函数族F 在t αβ≤≤上是一致有界的.定义2.2 、定义在t αβ≤≤上的实值(m 维)向量函数族{}()F f t =，如果对于任给的ε﹥0，总存在δ﹥0，使得对任一f F ∈和任意的12,[,]t t αβ∈，只要12|,|t t -＜δ就有12()()f t f t -＜ε则称函数族F 在 t αβ≤≤上是同等连续.定义2.3、设X 是度量空间，M 是X 中子集，若M 是X 中紧集，则称M 是X 中相对紧集。