学而思初一数学春季班第4讲-目标中考满分班-学生版

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学而思初一数学春季班第9讲-目标满分班-教师版

三角形1级几何基础图形三角形的认识三角形2级三角形两大模型三角形3级三角形三大专题春季班第十一讲春季班第十讲色盲检测漫画释义满分晋级阶梯9几何基础图形——三角形的认识定义示例剖析三角形的定义：由三条不在．．同一条直线上的线段首尾顺次．．．．连结组成的平面图形叫做三角形.三角形具有稳定性．．．. 表示法及读法：三角形用符号“△”表示，顶点是A 、B 、C 的三角形记作“ ABC △ ”，读作“三角形ABC ”．ABC △的三边有时也用a ，b ，c 表示．顶点A 的对边a （BC ）顶点B 的对边b（AC ）顶点C 的对边c （AB ）三角形的内角：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角.,,A B C ∠∠∠是三角形的内角c b aCBA 思路导航知识互联网题型一：三角形的边A BC教师总结：根据三角形三边关系的相关考点考点一、已知两边求第三边的取值范围或边长例1、用三条绳子打结成三角形（不考虑结头长），已知两根分别为3cm，7cm，求第三根长度有什么限制.【解析】设第三根绳子长为xcm，有7-3<x<7+3，有4<x<10.例2、已知三角形两边长为3cm，6cm，且第三边为奇数，求第三边的长度.【解析】第三边为5cm或7cm考点二、判断三条线段能否构成三角形例3、以下列各组线段为边，能构成三角形的是（）A.1cm,2cm,4cmB.8cm,6cm,4cmC.12cm,5cm,6cmD.8cm,6cm,2cm【解析】B考点三、确定三角形的个数问题例4、长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任意取三根，能组成多少个三角形？【解析】从四根木棒中取三根，共有四种取法，分别是：①2cm、3cm、4cm；②2cm、3cm、5cm．③3cm、4cm、5cm；④2cm、4cm、5cm．其中①、③、④符合三角形三边关系，因此可以组成三个三角形.考点四、化简代数式问题如例2、⑶⑷考点五、三角形边的不等关系如思维拓展，训练2例题精讲【引例】一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，这样的三角形的周长的最小值是（）A．14 B．15 C．16 D．17【解析】根据三角形的第三边大于两边之差且小于两边之和，可得第三边的取值范围是410c<<，在这一范围内满足第三边是整数的点分别是5、6、7、8、9，而三角形的周长要取最小值，即当第三边5c=时，这个三角形周长最小，是3+5+7=15，故选B.典题精练【例1】 ⑴下列长度的三条线段能组成三角形的是( )A ．1cm ，2cm ，5cmB ．4cm ，5cm ，9cmC ．5cm ，8cm ，15cmD ．6cm ，8cm ，9cm⑵下列线段能组成三角形的是．①123，， ②234，， ③222345，， ④222123(0)a a a a +++≠，，⑶已知三角形三边长分别为4,5,x ，则x 的取值范围是。

4.和差倍基础-学生版

第4讲和差倍基础第一部分：教学目标本讲知识点属于应用题板块，难度并不大。

要求学生能够分辨出来和差倍的具体问题，熟练掌握和差倍的具体公式，并能够熟练应用到和差倍应用题中。

并能够迅速口算出答案！第二部分：知识介绍1.和差问题和差问题是已知大小两个数的和与这两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。

为了解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式.有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”。

和差问题的基本关系式是：(两数的和－两数的差)÷2=较小的数较小的数+两数的差=较大的数(两数的和+两数的差)÷2=较大的数较大的数－两数的差=较小的数2.和倍问题和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题．和倍问题的特点是已知两数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作1倍数，大数就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大数.和倍问题的基本关系式是：和÷(倍数+1)=小数（1倍数）小数×倍数=大数或和一小数=大数3.差倍问题差倍问题就是已知大小两数的差，以及大小两数的倍数关系，求大小两数的问题．差倍问题的特点与和倍问题类似。

解答差倍问题的关键是要确定两个数量的差及相对应的倍数差，一般情况下，在题目中不直接给出，需要经过调整和计算才能得到。

差倍问题的基本关系式：差÷(倍数－ 1)=小数（1倍数）倍数×几倍=几倍数(较大数)或较小数+差=较大数备注：年龄问题的和差问题主要利用的年龄差不变。

第三部分：例题精讲板块一：和差问题【例 1】两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐少10千克，两筐水果各多少千克？【例 2】甲、乙两人同时以相同的速度打字，2分钟共打了240个字，已知甲每分钟比乙多打10个字．问甲、乙两人每分钟各打多少个？【例 3】图书馆的书架上、下两层共存书220本，如果从上层拿出10本放入下层，则两层书架上书数相等．求原来上、下层各存书多少本？【例 4】甲、乙两校共有学生1050人，部分学生因搬家需要转学，已知由甲校转入乙校20人，这样甲校比乙校还多10人，求两校原来有学生多少人?【例 5】（上外小升初模拟题）甲的书比乙多9本，比丙多2本，乙、丙共有书47本。

学而思初一数学春季班第5讲-目标中考满分班-教师版

不等式1级不等式的概念和性质不等式2级含参不等式方程6级不等式3级不等式的应用春季班第七讲暑期班第七讲天平漫画释义满分晋级阶梯5含参不等式编写思路：题型一：让学生掌握解一元一次不等式及一元一次不等式组的解法，认识解集，理解解与解集的区别和联系；题型二：让学生掌握含参不等式（系数含参和不含参两种类型）的解法. 对系数含参的不等式，让学生理解和掌握参数系数的讨论方法，并与含参方程的讨论方法进行比较、认识. 题型三：对于绝对值不等式，通过两种方法让学生理解（1）代数方法：即讨论、去绝对值，变成一元一次不等式，求解集. （2）几何方法：利用绝对值的几何意义求解.定义示例剖析一元一次不等式：类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的最高次数是1的不等式，叫作一元一次不等式.25x >，340m -<，332307≥y y -+-一元一次不等式标准形式：经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为ax b<或ax b >的形式（其中0a ≠）.563x >，37≤x 等都是一元一次不等式的标准形式不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值叫作不等式的解．4-，2-，0，1，2都是不等式2x ≤的解，当然它的解还有许多．不等式的解集：能使不等式成立的所有未知思路导航知识互联网题型一：不等式（组）的基本解法数的集合，叫作不等式的解集．一般不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的解．不等式的解集可以用数轴来表示．3≥x 是260≥x -的解集； 2x <是2x ->-的解集解一元一次不等式的步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项（化成ax b <或ax b >形式）→系数化为1（化成b x a >或bx a<的形式）．不等式的解与不等式解集的区别与联系：不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值组成的集合；不等式的所有解组成了解集，解集包括了每一个解．定义示例剖析一元一次不等式组：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫作一元一次不等式组．1302841x x x ⎧-⎪⎨⎪+<-⎩≥和26061503≥x x x ⎧⎪-⎪-<⎨⎪⎪->⎩ 都是一元一次不等式组； 24x y >⎧⎨<⎩不是一元一次不等式组一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式解集的公共部分，叫作由它们所组成的一元一次不等式组的解集，当几个不等式的解集没有公共部分时，称这个不等式组无解（解集为空集）．解一元一次不等式组的步骤：⑴ 求出这个不等式组中各个不等式的解集；⑵ 利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出这个不等式组的解集．由两个一元一次不等式组成的不等式组，经过整理可以归结为下述四种基本类型：（表中a b >）不等式图示解集 x ax b >⎧⎨>⎩ x a >（同大取大）x ax b <⎧⎨<⎩ x b <（同小取小）x ax b <⎧⎨>⎩ b x a <<（大小交叉中间找）x ax b >⎧⎨<⎩无解（大大小小无解了）【例1】 ⑴解不等式31423x x x +--+≤. 典题精练⑵解不等式组12(1)532122x x x --⎧⎪⎨-<+⎪⎩≤，并在数轴上表示出解集.⑶求不等式组2(2)43251x x x x --⎧⎨--⎩≤＜的整数解．⑷解不等式组32215x x -<-<⑸解不等式组253473x x -<⎧⎪-⎨>⎪⎩（2012年朝阳一模）【解析】⑴135x -≥； ⑵由①得1x -≥由②得3x <∴原不等式组的解集是13x -<≤.⑶由①得 12x -≥；由②得 2x <．∴此不等式组的解集为122x -<≤．∴此不等式组的整数解为0，1．⑷原不等式组等价于不等式组3221215x x x -<-⎧⎨-<⎩解得：1x < ⑸无解【点评】通过此题告知学生不等式组无解的写法.思路导航题型二：含参数的不等式（组）对于含参不等式，未知数的系数含有字母需要分类讨论：如不等式ax b <，分类情况解集情况 0a >时解集为bx a <．0a <时解集为bx a >.0a =时若0b >，则解集为任意数；若0b ≤，则这个不等式无解．【引例】⑴关于x 的一次不等式组x ax b >⎧⎨<⎩无解集，则a ，b 的大小关系是．⑵关于x 的一次不等式组x ax b <⎧⎨<⎩的解集是x b <，则a ，b 的大小关系是．⑶关于x 的一次不等式组x ax b >⎧⎨<⎩的解集是a x b <<，则a ，b 的大小关系是．⑷关于x 的一次不等式组x ax b ⎧⎨⎩≥≤的解集是a x b ≤≤，则a ，b 的大小关系是．【解析】 ⑴a b ≥；⑵b a ≤；⑶a b <；⑷a b ≤.【点评】先根据不等式组解集的情况得到大小关系，再对“是否取等”情况单独分析.【例2】解关于x 的不等式：⑴+2a x b > ⑵13kx +> ⑶132kx x +>- ⑷36mx nx +<--⑸()212m x +< ⑹()25n x --<典题精练例题精讲【解析】 ⑴ 2b ax ->⑵移项得：2kx >当0k >时，解集为2x k >当0k <时，解集为2x k<当0k =时，不等式变为02x ⋅>，故不等式无解 ⑶移项，合并同类项得：()33k x ->-当30k ->，即3k >时，不等式解集为33x k ->- 当30k -<，即3k <时，不等式解集为33x k -<-当30k -=时，即3k =时，不等式变为03x ⋅>-，故不等式解集为任意数. ⑷不等式变形得：()9m n x +<-，因不知()m n +的正负性，故分类讨论①当0m n +>，即m n >-时，解集为9x m n <-+ ②当0m n +<，即m n <-时，解集为9x m n>-+③当0m n +=，即m n =-时，不等式无解.⑸∵210m +>，∴不等式解集为221x m <+ ⑹20n --<，∴不等式解集52x n >--【点评】第1小题为系数不含参的，第2至第4为系数含参的需要分类讨论，第5,6题都是系数恒正（恒负）的问题不需要分类讨论.【总结】解决系数含参的一元一次不等式步骤：1. 移项合并同类项后得到最简式ax b >或ax b <；2．对系数a 进行分类讨论；（此时注意分析系数有可能是恒正或恒负） 3．对系数为0的情况单独分析，此时不等式解集为任意数或无解.【例3】 ⑴不等式()123x m m ->-的解集与2x >的解集相同，则m 的值是．⑵关于x 的不等式2x a -≤-1的解集如图所示，则a 的值为 .⑶关于x 的不等式5ax >的解集为52x <-，则参数a 的值 .⑷ ①若不等式组3x x a >⎧⎨>⎩的解集是x a >，则a 的取值范围是 .②若不等式组3x x a >⎧⎨⎩≥的解集是x a ≥，则a 的取值范围是 .A ．3a ≤B ．3a =C ．3a >D ．3a ≥（北京二中期中考试）⑸已知关于x 的不等式组232x a x a +⎧⎨-⎩≥≤无解，则a 的取值范围是．⑹已知关于x 的不等式组>053x a x -⎧⎨-⎩≥无解，则a 的取值范围是．【解析】 ⑴由不等式解得62x m >-，即622m -=，则2m =； ⑵由不等式解得12a x -≤，可得112a -=-，1a =-；⑶2a =-⑷ ①D ；②C .⑸当232a a +>-时，不等式组无解，（大于大的，小于小的无解），∴2a <．⑹解不等式组得2x a x >⎧⎨⎩≤，当2a ≥时，不等式组无解（大于大的，小于小的无解），∴2a ≥．【例4】 ⑴ 已知关于x 的不等式组0521≥x a x -⎧⎨->⎩只有四个整数解，则实数a 的取值范围是．⑵ 如果关于x 的不等式50x m -≤的正整数解只有4个，那么m 的取值范围是（） A ．2025m <≤ B ．2025m <≤ C ．25m < D ．20m ≥（北京五中期中考试）【解析】 ⑴ 32≤a -<-；⑵A .【总结】（供教师参考）对于解决不等式组的整数解个数问题步骤：以例4（1）为例 1.写出不等式组的解集；例如2a x <≤2.根据整数解的个数在数轴上画出简图；可得32a -<<-；3.对于是否取等号单独讨论分析.当3a =-时，解集为32x -<≤此时有五个整数解，不合题意；当2a =-时，解集为22x -<≤此时有四个整数解，合题意. 综上可得32a -<-≤.【探究对象】以下对于含有字母系数的一元一次不等式组的问题进行变式和拓展，主要针对整数根问题和解含参的不等式组，需要分类讨论.【变式】试确定实数a 的取值范围，使不等式组恰有两个整数解.544(1)331023a x x a x x +⎧+++⎪⎪⎨+⎪+>⎪⎩≥ 【解析】不等式组的解为225x a -<≤恰有两个整数解，则这两个整数解必为0,1x =则122a <≤，解得112a <≤.【拓展1】如果关于x 不等式组9080.x a x b -⎧⎨-<⎩，≥的整数解仅为1，2，3，则a 的取值范围是，b 的取值范围是．（2011年西城区期末考试）【解析】由原不等式组可得98a bx <≤．因不等式组的整数解仅为1，2，3，于是有019a <≤，348b<≤，由019a <≤得09a <≤，由348b<≤得2432b <≤.【拓展2】解关于x 的不等式组：23262(1)11x a x x x +⎧->⎪⎨⎪+>-⎩ 【解析】原不等式组可化为323x a x >+⎧⎨>⎩，当323a +>，即13a >时，不等式组的解集为32x a >+；当323a +≤，即13a ≤时，不等式组的解集为3x >．【拓展3】已知关于x 的不等式组214(1)3x ax x -<+⎧⎨+>⎩⑴若不等式组无正整数解，求a 的取值范围；⑵是否存在实数a ，使得不等式组的解集中恰含了3个正整数解. 若存在请求出a 的取值范围.【解析】化简不等式组得()1314a x x ->-⎧⎪⎨>-⎪⎩当1a <时，解集为1341x a --<<-；当113a ≤≤时，解集为14x >-；当13a >时，解集为31x a >--⑴若不等式组无正整数解，显然1a ≥时，均不合题意；当1a <时，应有311a --≤，得2a -≤，所以原不等式组无正整数解时，a 的取值范围是2a -≤； ⑵当1a ≥时，不等式组的解集中均有无数个正整数解. 当1a <时，依题意得3341a -<-≤，解得104a <≤. 故当104a <≤时，不等式组的解集中恰含了3个正整数解.定义示例剖析绝对值不等式：不等式中未知数含有一个或几个绝对值的不等式.≤x a ，122≥x x -+-对于复杂的不等式可采用整体思想，例如()()22323x x +-+<，此时不必去括号可直接把2x +看成一个整体去解.【例5】解下列不等式：⑴ >2x ． ⑵ 3x ≤． ⑶ 14≤x -【解析】 ⑴ （法一）零点分类讨论：①02x x ⎧⎨>⎩≥即2x >． ②02x x <⎧⎨->⎩即2x <-．综上得，2x >或2x <-．典题精练思路导航题型三：复杂的不等式（组）（法二）应用绝对值的几何意义：2x >或2x <-． ⑵（法一）零点分类讨论：① 03x x ⎧⎨⎩≥≤ 即03x ≤≤．② 03x x <⎧⎨-⎩≤即30x -<≤．综上得，33x -≤≤．（法二）应用绝对值的几何意义：33x -≤≤． ⑶ （法一）零点分类讨论：① 1014≥≤x x -⎧⎨-⎩即51≤≤x ．② 1014≤x x -<⎧⎨-⎩即31x -<≤综上得，35x -≤≤（法二）应用绝对值的几何意义：35x -≤≤【例6】解不等式⑴ 123≤≤x + ⑵ 235≥x x -++【解析】 ⑴（法一）零点分类讨论：① 20123x x +⎧⎨+⎩≥≤≤ 即11x -≤≤．② 201(2)3x x +<⎧⎨-+⎩≤≤即53x --≤≤．综上得，11x -≤≤或53x --≤≤．（法二）应用绝对值的几何意义：11x -≤≤或53x --≤≤． ⑵ 应用绝对值的几何意义，易得x 为任意数.【总结】绝对值不等式的解法，通常根据绝对值的意义，用讨论的方法，去掉绝对值的符号，将绝对值不等式化为不等式组进行求解.也可根据数轴，利用绝对值的几何意义进行求解.【例7】已知2310a x -+=，32160b x --=，且4a b <≤，求x 的取值范围．【解析】题型一不等式（组）的基本解法巩固练习【练习1】不等式组331482x x x +>⎧⎨--⎩≤的最小整数解是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．－1【解析】A题型二含参数的一元一次不等式（组）巩固练习【练习2】、a b 为参数，解不等式153b ax x -<-+ 【解析】不等式化简为63b a x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭ 当03b a +>时，解集为183x a b<+ 当03b a +<时，解集为183x a b>+ 当03b a +=时，解集为任意数. 【练习3】 ⑴若不等式(2)2a x a -<-的解集在数轴上表示如图所示，则a 的取值范围是 .复习巩固真题赏析312310,216232160,3431421624323x a x a x b x b a b x x x --+=∴=+--=∴=<-⎧⎪⎪∴⎨+⎪>⎪⎩∴-<≤≤≤⑵若不等式组213x x a -<⎧⎨<⎩的解集是2x <，则a 的取值范围是．⑶如果关于x 的不等式组230≥≤x x m -⎧⎨⎩无解，则m 的取值范围是 . 【解析】 ⑴2a <；⑵2a ≥； ⑶32m <.【练习4】 ⑴ 关于x 的不等式组1532223x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩只有4个整数解，则a 的取值范围是（）． A.1453a --≤≤ B.1453a -<-≤ C.145<3a --≤ D ．1453a -<<-⑵已知关于x 的不等式组0321≥x a x -⎧⎨->-⎩的整数解有5个，则a 的取值范围是 . 【解析】 ⑴ C. 不等式组可化得2123x x a <⎧⎨>-⎩∴这四个整数只能是17，18，19，20，故162317a -<≤，即1453a -<-≤． ⑵43≤a -<-.题型三复杂的不等式（组）巩固练习【练习5】解下列不等式：135x <-<【解析】 22x -<<或48x <<第十四种品格：信念朋友的信任公元前4世纪，在意大利，有一个名叫皮斯阿司的年轻人触犯了国王。

学而思初一数学春季班第4讲-目标中考满分班-教师版

方程7级二元一次方程组的实际应用方程8级分式方程方程9级一元二次方程认识初步寒假班第一讲秋季班第十讲世纪画作漫画释义满分晋级阶梯4二元一次方程组的实际应用编写思路：本讲主要还是训练学生寻找题目中等量关系的能力。

当题目中涉及多个未知量及多个等量关系的时候，可以设多元，通过列方程组、解方程组解答。

每个例题，涉及一个实际问题，让学生充分掌握和运用各类实际问题中量与量的关系列方程。

解实际问题的一般步骤：⑴ 审题，分析题目中的已知和未知； ⑵ 找等量关系（画图法或列表法等）； ⑶ 设未知数列方程组； ⑷ 求解方程组；⑸ 检验（包括代入原方程组检验和是否符合题意的检验）； ⑹ 写出答案．【引例】 A 、B 两地相距36千米，两人步行，甲从A 到B ，乙从B 到A .两人同时出发，相向而行，4小时后相遇；若行6小时，此时甲剩下的路程是乙剩下的路程的2倍，求两人的速度. 【分析】设甲每小时行x 千米，乙每小时行y千米，那么，其有关的等量关系可用下面的线段图表示例题精讲思路导航知识互联网题型一：二元一次方程组的应用（如图所示）【解析】设甲的速度是x 千米/时，乙的速度是y 千米/时，根据题意得44363662(366)x y x y +=⎧⎨-=-⎩ 解方程组得45x y =⎧⎨=⎩. 答：甲的速度是4千米/时，乙的速度是5千米/时.1．工程问题【例1】 ⑴某蔬菜公司收购某种蔬菜140吨，准备加工上市销售，该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或粗加工16吨。

现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天精加工，几天粗加工？设安排x 天精加工，y 天粗加工. 为解决这个问题，所列方程组正确的是（）A ．14016615x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．14061615x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．15166140x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．15616140x y x y +=⎧⎨+=⎩⑵2012年8月中旬，某市受到14号台风的影响后，部分街道路面积水比较严重．为了改善这一状况，市政公司决定将一总长为1200m 的排水工程承包给甲、乙两工程队来施工．若甲、乙两队合作需12天完成此工程；若甲队先做了8天后，剩下的由乙队单独做还需18天才能完工．问甲、乙两队单独完成此工程各需多少天？【解析】 ⑴D⑵设甲、乙两队每天排水量分别为，x y m ，则 121212008181200x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得6040x y =⎧⎨=⎩甲：12006020÷=（天）；乙：12004030÷=（天）另解：设甲、乙两队单独完成此工程各需，x y 天，则 111128181x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得2030x y =⎧⎨=⎩ (2)(1)4x4yAB甲乙 C AC+CB=ABBC=2AD乙甲 B ADC6x 36-6x 甲剩下的乙剩下的36-6y 6y典题精练答：甲队单独完成此工程需要20天，乙队需要30天．【点评】第一种方法虽然不是直接法但是好理解也容易求解，第二种方法直接设元但实际是分式方程，学生不太好求.教师可两种方法都介绍.2．图形问题【例2】 ⒈小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m ），解答下列问题： ⑴ 写出用含x 、y 的代数式表示的地面总面积；⑵ 已知客厅面积比卫生间面积多221m ，且地面总面积是卫生间面积的15倍，铺21m 地砖的平均费用为80元，求铺地砖的总费用为多少元？【解析】 ⑴ 6218S x y =++；⑵ 62216218152x y x y y -=⎧⎨++=⨯⎩ 解得432xy =⎧⎪⎨=⎪⎩．总费用为：38064218804536002⎛⎫⨯⨯+⨯+=⨯= ⎪⎝⎭元答：铺地砖的总费用为3600元．2.如图所示，矩形ABCD 的周长为14cm ，E 为AB 的中点，以A 为圆心，AE 长为半径画弧交AD 于点F ．以C 为圆心，CB 长为半径画弧交CD 于点G ．设cm AB x =，cm BC y =，当DF DG =时，求x ，y 的值．【解析】根据题意可列方程组221412x y y x x y +=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得43x y =⎧⎨=⎩．3．利润问题【例3】甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50％的利润定价，乙服装按40％的利润定价．在实际出售时，应顾客要求两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？【解析】设甲、乙服装的成本分别为x 元，y 元，根据题意可得()5001.5 1.40.9500157x y x y +=⎧⎪⎨+⨯-=⎪⎩解得300200x y =⎧⎨=⎩ 答：甲、乙两件服装的成本分别是300元和200元．【点评】售价=成本+利润=成本⨯（1+利润率），利润率=利润/成本．4．容积问题【例4】第一个容器内有水49升，第二个容器有水56升．若将第二个容器内的水倒满第一个容器，第二个容器剩下的水正好是这个容器的容量的一半．若将第一个容器内的水倒满第二个容器，第一个容器剩下的水正好是这个容器的容量的三分之一．求两个容器的容量．【解析】设第一个容器的容量为x 升，第二个容器的容量为y 升．则卧室2236xy 卫生间厨房客厅()()156492149563x y y x⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，解得6384x y =⎧⎨=⎩．答：第一个容器的容量为63升，第二个容器的容量为84升．5．方案问题【例5】已知：用2辆A 型车和1辆B 型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A 型车和2辆B 型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A 型车a 辆，B 型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：⑴1辆A 型车和1辆车B 型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ ⑵请你帮该物流公司设计租车方案；⑶若A 型车每辆需租金100元/次，B 型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费 (2012年龙岩中考题) 【解析】⑴ 设每辆A 型车、B 型车都装满货物一次可以分别运货x 吨、y 吨，依题意列方程组得：210211x y x y +=⎧⎨+=⎩，解方程组，得：34x y =⎧⎨=⎩∴91a b =⎧⎨=⎩或54a b =⎧⎨=⎩或17a b =⎧⎨=⎩答：有3种租车方案：方案一：A 型车9辆，B 型车1辆；方案二：A 型车5辆，B 型车4辆；方案三：A 型车1辆，B 型车7辆．⑶ ∵A 型车每辆需租金100元/次，B 型车每辆需租金120元/次， ∴方案一需租金：910011201020⨯+⨯=（元）方案二需租金：51004120980⨯+⨯=（元）方案三需租金：11007120940⨯+⨯=（元） ∵1020980940>>∴最省钱的租车方案是方案三：A 型车1辆，B 型车7辆，最少租车费为940元．以下对图形问题进行拓展：【拓展1】在长为10m ，宽为8m 的矩形空地中，沿平行于矩形各边的方向分割出三个完全一样的小矩形花圃，其示意图如图所示．求小矩形花圃的长和宽．【解析】设小矩形的长为xm ，宽为ycm ，由题意得：21028x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得42x y =⎧⎨=⎩答：小矩形的长为4m ，宽为2m ．【拓展2】利用两块长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图左方式放置，再交换两木块的位置，按图右方式放置.测量的数据如图，则桌子的高度是（）A ．37 cmB ．74 cmC ．75 cmD ．76 cm【分析】本题的相等关系有：桌高+长方体的长-长方体的宽=80 cm. 桌高+长方体的宽-长方体的长=70 cm.【解析】设桌子高度为a ，木块的长为x ，宽为y ，由题意可知8070x a y y a x +-=⎧⎨+-=⎩，∴2150a =，即75a =. 故选C.【拓展3】扬子江药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示．如果长方体盒子的长比宽多4cm ，求这种药品包装盒的体积．【解析】设这种药品包装盒的宽为x cm ，高为y cm ，则长为（4x +）cm根据题意得22144213x y x y +=⎧⎨++=⎩解得52x y =⎧⎨=⎩，故长为9cm ，宽为5cm ，高为2cm ，所以体积V=9×5×2=90（cm 3）．答：这种药品包装盒的体积为90cm 3．70 cm80 cm不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是解往往有无穷个，不能唯一确定．方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行．求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当已知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论．【引例】方程314x y +=的整数解有组，正整数解都有哪些？【解析】方程的整数解有无数组.x 、y 为正整数得14300x y y =->⎧⎨>⎩解不等式组得1403y <<．故y 只能等于1234，，，. 118524123x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩，，，．【例6】 ⑴方程210x y +=的解有组；正整数解有组，分别为 .⑵已知关于x 的方程36x ax -=的解为负整数，求223a a +-的值．【解析】 ⑴ 无数组，4组．x 、y 为正整数得，0051020x x y x >⎧⇒<<⎨=->⎩，故x 只能等于1234，，，，12348642，，，x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩． ⑵ 21、32、45或96．当3a ≠时，解方程得63x a=-，因为x 为负整数，所以3123，，a -=---或6-，得对应典题精练例题精讲思路导航题型二：不定方程求解a 的值为4569，，，，代入223a a +-得21324596，，，．【例7】已知m 为正整数，关于x ，y 的二元一次方程组210320mx y x y +=⎧⎨-=⎩有整数解，求2m 的值．（丰台十二中检测题）【解析】法一：两式相加得()310m x +=,103x m =+m 可为：2或7当2m =时，2x =，3y =．当7m =时，1x =， 1.5y =（舍）．所以 24m =．法二：解方程组得()101533，，x y m m ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，若，x y 为正整数，则3m +应该是10和15的公约数，推得2m =，所以24m =．【变式】已知方程组26x y mx y -=⎧⎨+=⎩有非负整数解，求正整数m 的值．【解析】两式相加得()18m x +=，81x m =+. 故正整数m 可为1,3,7代入可得6201my m -=+≥，故3m ≤所以1,3m =.【总结】对于一元一次方程和二元一次方程（组）中出现的整数根问题：（1）解决一元一次方程的方法首先是要表示出未知数，如果是整数根，只需要分子是分母的约数，有时需要考虑符号问题；例33x m =-，若解是整数，则31,3m -=±±，解得m ；若解是正整数，则31,3m -=，从而解得m .（2）解决二元一次方程的整数解问题，基本方法是先根据题意得到关于其中一个未知数的不等式组，从而解得它的取值范围，再依次代入检验另一个未知数是否符合整数根；（3）解决二元一次方程组的整数根问题，常用方法是：①通过消元，将问题转化为解不定方程；②视某个未知数为常数，将其他未知数用这个未知数的代数式表示；③利用整体思想方法求解.【例8】一宾馆有两人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅游团20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，那么共有多少种租房方案？真题赏析【解析】设租二人间x 间，三人间y 间，四人间z 间，则234207x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，得26y z +=，∵,,x y z 均为正整数，∴有2x =，4y =，1z =；3,2,2x y z ===，故有两种租房方案.题型一二元一次方程组的应用巩固练习【练习1】为建设节约型、环境友好型社会，克服因干旱而造成的电力紧张困难，切实做好节能减排工作．某地决定对居民家庭用电实行“阶梯电价”，电力公司规定：居民家庭每月用电量在80千瓦时以下（含80千瓦时，1千瓦时俗称1度）时，实行“基本电价”；当居民家庭月用电量超过80千瓦时时，超过部分实行“提高电价”．（1）小张家2011年4月份用电100千瓦时，上缴电费68元；5月份用电120千瓦时，上缴电费88元．求“基本电价”和“提高电价”分别为多少元/千瓦时？（2）若6月份小张家预计用电130千瓦时，请预算小张家6月份应上缴的电费．（2011娄底中考）【解析】 ⑴设“基本电价”为x 元/千瓦时，“提高电价”为y 元/千瓦时，根据题意，得80(10080)6880(12080)88x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得0.61x y =⎧⎨=⎩答：“基本电价”为0.6元/千瓦时，“提高电价”为1元/千瓦时． ⑵()800.613080198⨯+-⨯=（元）．答：预计小张家6月份上缴的电费为98元．【练习2】小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．妈妈：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两样菜只要36元”；复习巩固爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价上涨20%”；小明：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？” 请你通过列方程（组）求解这天萝卜、排骨的单价（单位：元/斤）．【解析】设上月萝卜的单价是x 元/斤，排骨的单价y 元/斤，根据题意得：()()32363150%2120%45x y x y +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩．解得：215x y =⎧⎨=⎩ 这天萝卜的单价是（1+50%）x=（1+50%）×2=3，这天排骨的单价是（1+20%）y=（1+20%）×15=18 答：这天萝卜的单价是3元/斤，排骨的单价是18元/斤.【练习3】如图，在东北大秧歌的踩高跷表演中，已知演员身高是高跷长度的2倍，高跷与腿重合部分的长度为28cm ，演员踩在高跷上时，头顶距离地面的高度为224cm ．设演员的身高为x cm ，高跷的长度为y cm ，求,x y 的值．【解析】依题意得方程组：222428x y x y =⎧⎨+=+⎩，解得：16884x y =⎧⎨=⎩∴x 的值为168，y 的值为84.题型二不定方程求解巩固练习【练习4】 a 取哪些正整数值，方程组25342x y ax y a +=-⎧⎨-=⎩的解都是正整数？【解析】解方程组得232x a y =⎧⎪⎨-=⎪⎩，由解是正整数得32a -=，即1a =．【练习5】已知关于x 、y 的方程组21230x my x y +=⎧⎨-=⎩①②的解为正整数，则m 的整数值是多少？【解析】由方程②得3x y =③将方程③代入方程①中得612y my +=，∴126y m=+∵方程组的解为正整数，∴y 是正整数，即()6m +必须是12的正约数，又12的正约数有：1234612，，，，，，∴6162636466612，，，，，m m m m m m +=+=+=+=+=+=，可求出m 的值为543206，，，，，----．第十四种品格：信念同样的圣诞夜1944年的圣诞夜，两个迷了路的美国大兵拖着一个受了伤的兄弟在风雪中敲响了德国西南边境亚尔丁森林中的一栋小木屋的门，他的主人，一个善良的德国女人，轻轻地拉开了门上的插销。

学而思初一数学秋季班第4讲.整体思想求值.尖子班.学生版

35初一秋季·第4讲·尖子班·学生版生活水平提高了满分晋级阶梯漫画释义4整体思想求值代数式3级找规律、程序运算和定义新运算代数式2级整体思想求值代数式1级整式的概念及加减运算36 初一秋季·第4讲·尖子班·学生版题型切片（七个）对应题目题型目标利用同类项求未知数的值例1；练习1 整式加减的化简求值例2；练习1 化简并说明结果与字母取值无关例3；练习2 整体思想之整体化简例4；练习3 整体思想之代入求值例5：练习4 整体思想之构造整体例6；练习5 整体思想之赋值例7；练习6整式加减的实质： ⑴去括号；⑵找同类项；⑶合并同类项. 整式加减运算原则：有括号先去括号，有同类项先合并同类项.多重括号的整式加减混合运算中，常用的三种去括号方法： ⑴由内向外逐层进行； ⑵由外向内进行；⑶如果去括号法则掌握得熟练，还可以内外同时进行去括号．【例1】 ⑴若27m xy +-与33nx y -是同类项，则m =_______, n =________.⑵若3232583n m x y x y x y -=-，则22m n -=________.【例2】 ⑴化简：①()222323x x x x ⎡⎤---=⎣⎦ ；②()()3105223xy y x xy y x ++-+-=⎡⎤⎣⎦ .⑵化简求值：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-22411444841x x x x ，其中21-=x ．37初一秋季·第4讲·尖子班·学生版⑶已知：()2210x y ++-=，求()2222252342xy x y xy xy x y ⎡⎤-+--⎣⎦的值.【例3】 ⑴当k =时，代数式643643154105x kx y x x y --++中不含43x y 项.⑵ 有这样一道题“当22a b ==-，时，求多项式()()22233322a ab b a ab b -----+的值”，马小虎做题时把2a =错抄成2a =-时，王小明没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由．整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理．整体思想的解题方法在代数式的化简与求值有广泛的应用，整体代入、整体设元、整38 初一秋季·第4讲·尖子班·学生版体处理等都是整体思想方法在解代数式的化简与求值中的具体运用．【例4】 ⑴计算5()2()3()a b b a a b -+---= ．⑵化简：22233(2)(2)(1)(1)x x x x x +---+-+-= ．⑶化简：()()()432330321223120573x y y x x y -+----+= ．【例5】 ⑴已知代数式a b -等于3，则代数式()()25a b a b ---的值为 .⑵已知代数式2326y y -+的值为8，那么代数式2641y y -+的值为 .⑶若232x x --的值为3，则2239x x -+的值为_______.⑷已知代数式2346x x -+的值为9，则代数式2463x x -+的值为 .⑸已知32c a b =-，求代数式22523c a b a b c ----的值.【例6】 ⑴如果225a ab +=，222ab b +=-，则224a b -= .⑵己知：2a b -=，3b c -=-，5c d -=，求()()()a c b d c b -⨯-⨯-的值．39初一秋季·第4讲·尖子班·学生版【例7】 ⑴已知代数式25342()x ax bx cx x dx +++，当1x =时，值为1，求该代数式当1x =-时的值．⑵已知代数式4323ax bx cx dx ++++，当2x =时它的值为20；当2x =-时它的值为16，求2x =时，代数式423ax cx ++的值.【选讲题】【例8】李明在计算一个多项式减去2245x x -+时，误认为加上此式，计算出错误结果为221x x -+-，试求出正确答案．【例9】设55432(21)x ax bx cx dx ex f -=+++++，求：⑴ f 的值；⑵ a b c d e f +++++的值； ⑶ a b c d e f -+-+-的值；40 初一秋季·第4讲·尖子班·学生版⑷ a c e ++的值．41初一秋季·第4讲·尖子班·学生版训练1. 已知：m ，n 互为倒数，且20090m n ++=，求()()222010120101m m n n ++++的值．训练2. 已知()253425x ax bx cx M x dx e++=-++，当4x =-时，5M =，那么当4x =时，M = ．训练3. 已知261211102121110210(1)x x a x a x a x a x a x a -+=++++++，求1210820a a a a a +++++的值．训练4. 已知有理数a 和b 满足多项式()25212b A a x xx bx b +=-+-++是关于x 的二次三项式．当7x <-时，化简：x a x b -+-42 初一秋季·第4讲·尖子班·学生版利用同类项求未知数的值、整式加减的化简求值【练习1】已知5+43a x y 与315b x y 是同类项，化简代数式()()2222352ab a a ab a ab ⎡⎤-----+⎣⎦并求该代数式的值.化简并说明结果与字母取值无关【练习2】有这样一道题：“计算()()()32232332323223x x y xy x xy y x x y y ----++-+-的值”，其中“2013,1x y ==-”. 甲同学把“2013x =”错抄成了“2013x =-”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果.整体思想之整体化简【练习3】把()a b -当作一个整体，合并22()5a b --2()b a -+2()a b -的结果是（）A ．()2a b - B ．()2a b -- C ．()22a b -- D ．0整体思想之代入求值【练习4】 ⑴如果36a b -=，那么代数式53a b -+的值是___________.⑵已知5=-y x ，代数式y x --2的值是_________．⑶已知24x y -+=，则代数式()2526360x y y x --+-的值为．⑷若23x x +的值为2，则2396x x +-的值为_____． ⑸若2320a a --=，则2526a a +-＝．整体思想之构造整体43初一秋季·第4讲·尖子班·学生版【练习5】如果1662=+xy x ，1242-=-xy y ，则222y xy x ++的值为．整体思想之赋值【练习6】 ⑴已知当2x =-时，代数式31ax bx ++的值为6，那么当2x =时，代数式31ax bx ++的值是多少？⑵若533y ax bx ax =++-，当2x =-时，10y =，则2x =时，y = ．是先有方程还是先有代数式？当算术里积累了大量的，关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量关系的问题，就产生了以解方程的原理为中心问题的初等代数。

学而思初一数学春季班第2讲-目标中考满分班-教师版

函数1级平面直角坐标系认识初步函数2级平面直角坐标系中的变换函数3级函数初步暑期班第二讲春季班第一讲减肥记漫画释义满分晋级阶梯2平面直角坐标系中的变换编写思路：本讲求面积时主要让学生掌握将点坐标转化为线段长度的过程.一：让学生亲自动手在坐标系中画出某个点关于横轴、纵轴以及原点的对应点，并且让他们自己总结两个对称点的横、纵坐标关系。

二：（1）对于点的平移：让学生亲自动手将某个点进行上、下、左、右平移，并且自己总结点的坐标变化规律。

对于任意的平移，可以将其理解先上下平移、后左右平移的组合。

（2）对于图形的平移：让学生充分认识本质就是图形上的每个点都进行同一过程的平移，即对应点之间的平移过程完全一样。

从而将图形的平移转化成为点的平移。

并让学生体会平移前后的两个图形完全一样。

三、简单的数形结合：求三角形面积问题。

让学生充分掌握割补法求三角形面积，并理解为何要用割补法。

让学生熟练掌握并体会坐标与线段长的计算关系。

四、找规律问题：老师可带着学生探索常见找规律问题的思路和方法.点()P a b ，关于x 轴的对称点是()P a b '-，，即横坐标不变，纵坐标互为相反数．点()P a b ，关于y 轴的对称点是()P a b '-，，即纵坐标不变，横坐标互为相反数．点()P a b ，关于坐标原点的对称点是()P a b '--，，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．点()P a b ，和点()Q c d ，的中点是22a c b d M ++⎛⎫⎪⎝⎭，．（选讲）思路导航知识互联网题型一：坐标系中的对称【引例】在平面直角坐标系中，()45P -，关于x 轴的对称点的坐标是，关于y 轴的对称点的坐标是，关于原点的对称点是．【解析】关于x 轴的对称点横坐标不变，纵坐标互为相反数，坐标是()45--，；关于y 轴的对称点纵坐标不变，横坐标互为相反数，坐标是()45，；关于原点的对称点横、纵坐标都互为相反数，坐标是()45-，．【例1】 ⑴ 点()35P -，关于x 轴对称的点的坐标为（） A ．()35--， B ．()53，C ．()35-，D ．()35，⑵ 点()21P -，关于y 轴对称的点的坐标为（） A ．()21--，B ． ()21，C ．()21-，D ．()21-，⑶ 在平面直角坐标系中，点()23P -，关于原点对称点P '的坐标是．⑷ 点()23，P 关于直线3x =的对称点为，关于直线5y =的对称点为． ⑸ 已知点()121P a a +-，关于x 轴的对称点在第一象限，求a 的取值范围．【解析】 ⑴ D ；⑵ B ；⑶ ()2,3-；⑷ ()43，，()27，；⑸ 112a -<<．【例2】如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线．实验与探究：⑴ 由图观察易知()20A ，关于直线l 的对称点A '的坐标为()02，，请在图中分别标明()53B ，，()25C -，关于直线l 的对称点B '、C '的位置，并写出它们的坐标：B ' ，C ' ；归纳与发现：⑵ 结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点()P a b ，关于第一、三象限的角平分线l 的对称点P '的坐标为（不必证明）；⑶ 点()A a b ，在直线l 的下方，则a ，b 的大小关系为；若在直线l 的上方，则．典题精练例题精讲【解析】 ⑴ ()35B '，，()52C '-，； ⑵ ()b a ，； ⑶ a b >，b a >．⑴ 点平移：①将点()x y ，向右（或向左）平移a 个单位可得对应点()x a y +，或()x a y -，． ②将点()x y ，向上（或向下）平移b 个单位可得对应点()x y b +，或()x y b -，．⑵ 图形平移：①把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a 个单位．②如果把图形各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a 个单位．注意：平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化．【引例】点()35M --，向上平移7个单位得到点1M 的坐标为；再向左平移3个单位得到点2M 的坐标为．【解析】点向上平移7个单位，则横坐标不变，纵坐标增加7，即1M 坐标为()32-，，再向左平移3个单位，则纵坐标不变，横坐标减少3，即2M 坐标为()62-，．【例3】 ⑴ 平面直角坐标系中，将(2,1)P -向右平移4个单位，向下平移3个单位，得到'P ，CB A'A-1-2-3-3-2-1O yx123456654321l 典题精练例题精讲思路导航题型二：坐标系中的平移⑵ 平面直角坐标系中，线段11A B ′′是由线段AB 经过平移得到的，点()14A --，的对应点为 ()111A -，′，那么此过程是先向平移个单位再向平移个单位得到的，则点B ()11，的对应点1B 坐标为． ⑶将点()21，P m n -+沿x 轴负方向平移3个单位，得到()112，P m -，则点P 坐标是．（一五六中学期中）⑷ 平面直角坐标系中，线段A B ′′是由线段AB 经过平移得到的，点()21，A -的对应点为 ()34，A ′，点B 的对应点为()40，B ′，则点B 的坐标为（）A ．()93，B ．()13，--C ．()33，-D ．()31，--（一五六中学期中）【解析】 ⑴ ()22-，； ⑵ 右2，上3，()3,4；⑶ ()12，．由题意知23112m m n --=-⎧⎨+=⎩，解得31m n =⎧⎨=⎩．故点()12P ，．⑷ B ；可知线段AB 向右平移5个单位，向上平移3个单位得到A B ''，故点B 坐标是()13，--．【例4】 ⑴ 如下左图，在平面直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移得到的，左边图案中左、右眼睛的坐标分别是(42)-，，(22)-，，右边图案中左眼的坐标是(34)，，则右边图案中右眼的坐标是_______．（北京十二中期中） ⑵ 如下右图是由若干个边长为1的小正方形组成的网格，请在图中作出将“蘑菇”ABCDE 绕A 点逆时针旋转90︒再向右平移2个单位的图形（其中C 、D 为所在小正方形边的中点）．⑶ 如图，把图1中的A e 经过平移得到O e （如图2），如果图1中A e 上一点P 的坐标为()m n ，，那么平移后在图2中的对应点P '的坐标为．（三帆中学期中）【解析】 ⑴ 左眼坐标由(42)-，变为(34)，，由此可知由左图得到右图是向上平移2个单位，向右平移7个单位，从而得到右眼平移后的坐标为(54)，． ⑵ 图略；A B CDE -3图1-图2⑶ ()21m n +-，；A e 向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到O e ．在平面直角坐标系或网格中求面积，一般将难以求解的图形分割成易求解的图形的面积，可以用大图形的总面积减去周围小三角形的面积．一般方法有割补法和等积变换法．找规律的题目一定要先找123n =、、几个图形规律，再推广到n 的情况．从简单情形入手，从中发现规律，猜想、推测、归纳出结论，这是创造性思维的特点．【引例】如图，直角坐标系中，ABC △的顶点都在网格点上，其中点A 坐标为()21-，，则ABC △的面积为平方单位．【解析】长方形FDEB 的面积是12平方单位，ADC △的面积是1.5平方单位，AEB △的面积是4个平方单位，BFC △的面积是1.5平方单位，所以ABC △的面积为124 1.5 1.55---=平方单位．【例5】 ⑴ 直角坐标系中，已知()10A -，、()30B ，两点，点C 在y 轴上，ABC △的面积是4，则点C 的坐标是．⑵ 如右图，已知直角坐标系中()14A -，、()02B ，，平移线段AB ，使点B 移到点()30C ，，此时点A 记作点D ，则四边形ABCD 的面积是．（161中学期中）【解析】 ⑴ ()02，或()02，-；⑵ 4；点A 平移后的坐标为()22D ，，所以BD x ∥轴，2BD =，故122242ABCD S =⨯⨯⨯=．【例6】 ⑴ 如下左图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 各顶点的坐标分别为(00)A ，，(90)B ，，(75)C ，，(27)D ，．求四边形ABCD 的面积．典题精练例题精讲思路导航题型三：坐标系中的面积与规律问题OF EDCBA y x1O yxDC BA54321Ay D (2,7)C (7,5)y⑵如上右图，ABC △，将ABC △向右平移3个单位长度，然后再向上平移2个单位长度，可以得到111A B C △．①画出平移后的111A B C △；②写出111A B C △三个顶点的坐标；（在图中标出）③已知点P 在x 轴上，以1A 、1B 、P 为顶点的三角形面积为4，求P 点的坐标．【解析】 ⑴ 本题的关键是根据平面直角坐标系的长度单位、原点和坐标轴方向的意义解决简单的面积问题．可以把图形分割成3个直角三角形和1个正方形，问题就迎刃而解了．如右图，分别过点D 、C 作x 轴的垂线，过C 作y 轴的垂线，则可把图形分割成特殊的4部分，因此(275225)25542ABCD S =⨯+⨯+⨯÷+⨯=四边形．⑵ ①略；②()()()111042041A B C ，，，，，;③ ()00，或()40，．【探究对象】平面直角坐标系中求面积的方法【探究目的】熟练利用几种方法快速准确求面积，为以后学习函数综合题打好基础建议教师：先让学生自由发散，最后教师再总结方法方法一、割补法（割：分割后再加；补：补全再减.）【探究1】如图所示，()()()1,4,4,3,5,0A B C ,求图形OABC 的面积.解析：割：如上左图，分别过点A 、B 做x 轴的垂线段AD 、BE OAD BCE OABC ABED S S S S =++△△四边形梯形 ()111=14+4+33+13=14222⨯⨯⨯⨯⨯⨯补：如上右图，先补全为长方形再减去其余图形OAD BCE ABE OABC ODEC S S S S S =---△△△四边形四边形 111=54141414=14222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯【探究2】如下图所示，()()354,3A B -，，，求图形OAB 的面积.解析：补：如上右图所示，补全图形为ABD △OAB ABD AOD BOD S S S S =--△△△△111117838372222=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=割：利用一次函数可求出直线AB 解析式为：811=77y x -，故117OC =()1111134272OAB OAC OBC S S S =+=⨯⨯+=△△△ 【此法教师备选】方法二、容斥法：面积差【探究3】如图所示，求12S S -的值.解析：1211=6424822ABD ACD S S S S --=⨯⨯-⨯⨯=△△【教师备选】B B方法三、转化法：平行线，一边转到轴上【探究4】如图所示，求三角形AOB 的面积.解析：过点A 做OB 的平行线，交y 轴于点C ，连接BC由一次函数知识可求出直线1=2OB y x ：，设直线1=+2AC y x b ：求得1=+22y x ，得()0,2C由等积变换可知1=24=42AOB BOC S S =⨯⨯△△【探究5】如图所示，求三角形ABC 的面积.解析：过点A 作BC 的平行线交y 轴于点D ，连接DC 利用一次函数求得:=2+2BC y x ，设直线:=2+AD y x b 求得=2+7y x ，()0,7D由等积变换可知15=15=22ABC DBC S S =⨯⨯△△【点评】方法一和二为坐标系中求面积的常用方法，方法三转化法用到了一次函数的知识，作为教师备选，建议教师可给学生传递这种求面积的思想，即把其中的一条边转化为坐标轴，从而快速的求出面积.【变式】已知，在平面直角坐标系中，A 、B 两点分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且3OB OA ==．⑴直接写出点A 、B 的坐标； ⑵若点()22C -，，求BOC △的面积；⑶点P 是与y 轴平行的直线上一点，且点P 的横坐标为1，若ABP △的面积是6，求点P 的坐标．【解析】 ⑴()()3,00,3A B ，;⑵13232BOC S =⨯⨯=△;⑶ 分两种情况：①当点P 在第一象限时，设()1,,>0P a a ，如图1所示AOB ABP BDP AODP S S S S =++△△△四边形即()()1911+3=+6+3222a a ⨯-，解得=6a ()1,6P②当点P 在第四象限时，设()1,,<0P a a ，如图2所示 ABP AOB BDP AODP S S S S =+-△△△四边形即()()911+1+313+=6222a a ⨯-⨯⨯解得=2,a 故=2a -. 即()1,2P -图1 图2【例7】 ⑴ 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，图中的正方形的四个顶点都在格点上，观察图中每一个正方形四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第10个正方形四条边上的整点个数共有个．（清华附中期中）⑵ 如图，在平面直角坐标系中，第1次将OAB △变换成11OA B △，第二次将OAB △变换成22OA B △，第3次将OAB △变换成33OA B △．已知()13A ，，()123A ，，()243A ，，()383A ，，()20B ，，()140B ，，()280B ，，()3160B ，观察每次变化前后的三角形，找出规律，按此变化规律再将33OA B △变换成44OA B △，则点4A 的坐标是，点4B 的坐标是，点n A 的坐标是，点n B 的坐标是．【解析】 ⑴ 40；⑵ ()163，，()320，，()23，n ，()120，n +【例8】一个粒子在第一象限内及x 轴、y 轴上运动，在第1min 内它从原点运动到(10)，，而后接着按如图所示方式在与x 轴、y 轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么，在2013min 后，求这个粒子所处的位置坐标．【解析】弄清粒子的运动规律，并求出靠近1989min 后粒子所在的特殊点的坐标，最后确定所求点的坐标．对于这种运算数较大的题目，我们首先来寻找规律，先观察横坐标与纵坐标相同的点： (00)，，粒子运动了0min ．(11)，，粒子运动了122(min)⨯=，向左运动． (22)，，粒子运动了236(min)⨯=，向下运动． (33)，，粒子运动了3412(min)⨯=，向左运动． (44)，，粒子运动了4520(min)⨯=，向下运动．……于是点(4444)，处粒子运动了44451980(min)⨯=．这时粒子向下运动，从而在运动了2013min 后，粒子所在的位置是(444433)-，，即(4411)，．【变式】将正整数按如图所示的规律在平面直角坐标系中进行排列，每个正整数对应一个整点坐标()x y ，，且x ，y 均为整数．如数5对应的坐标为()11-，，则数对应的坐标是()23-，，数2012对应的坐标是．（2012年101中期中）【拓展】数1950对应的坐标是 .【解析】 36，()922-，. ()22,9- 真题赏析12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637 xy如右图所示，可观察到奇数平方数的规律如下数字坐标21=1 ()0,023=9 ()11-， 25=25 ()22-，……那么由245=2025可得数2025对应的坐标为()2222-，，故数2012对应的坐标为()221322--，，即()922-，. 拓展：由于2012比较接近45的平方，而1950接近44的平方，故观察偶数平方数的规律数字坐标22=4 ()0,124=16 ()12-， 26=36 ()23-，……由244=1936可得数1936对应的坐标为()21,22-，此时再往左一个数字1937对应坐标为()22,22-，此后向下数字变大，故1950对应的坐标为()22,2213--，即()22,9-.【教师备选】【备选1】类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位，用实数加法表示为()321+-=．若坐标平面上的点作如下平移：沿x 轴方向平移的数量为a （向右为正，向左为负，平移a个单位），沿y 轴方向平移的数量为b （向上为正，向下为负，平移b 个单位），则把有序数对{}a b ，叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{}a b ，与“平移量”{}c d ，的加法运算法则为{}{}{}a b c d a c b d +=++，，，．解决问题：⑴ 计算：{}{}3112+，，； ⑵ 动点P 从坐标原点O 出发，先按照“平移量”{}31，平移到A ，再按照“平移量”{}12，平移到B ；若先把动点P 按照“平移量”{}12，平移到C ，再按照“平移量”{}31，平移，最后的位置还是点B 吗？在图1中画出四边形OABC ．⑶ 如图2，一艘船从码头O 出发，先航行到湖心岛码头()23P ，，再从码头P 航行到码头()55Q ，，最后回到出发点O ，请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．（2012北京101中期中）【解析】 ⑴}{4,3；⑵是，如图所示；⑶}{}{}{}{2,3+3,2+5,5=0,0--.【备选2】观察下列有规律的点的坐标：()111A ，，()224A -，，()334A ，，()442A -，，()557A ，，6463A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，()7710A ，，()881A -，依此规律，11A 的坐标为，12A 的坐标为．（2012年101中期中）【解析】 ()1111,16A ，12212,3A ⎛⎫- ⎪⎝⎭.横坐标的规律很明显，而纵坐标414,427,,10, 1 (3)----，，，中的奇数数列1,4,7,10是公差为3的等差数列，11A 的纵坐标为16，偶数数列可转化为4444,,,1234----，故12A 的纵坐标为42=63--. 【备选3】一个动点P 在平面直角坐标系中作折线运动，第一次从原点运动到（1，1），然后按图中箭头所示方向运动，每次移动三角形的一边长.即（1，1）→（2，0）→（3，2）→（4，0）→（5，1）→……，按这样的运动规律，经过第17次运动后，动点P 的坐标是，经过第2011次运动后，动点P 的坐标是 .【解析】 ()()17,12011,2，.【备选4】如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A 、B两点在网格格点上，若点C 也在网格格点上，以A 、B 、C 为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C 个数是（） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2（2012清华附中期中）【解析】 B .【备选5】在平面直角坐标系中，已知()22A -，，在y 轴上确定点P ，使AOP △为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个（2012陈分期中考试）【解析】 C题型一坐标系中的对称巩固练习【练习1】 ⑴ 在平面直角坐标系中，点()25A ，与点B 关于y 轴对称，则点B 的坐标是（） A ．(52)--， B ．()25--，C ．()25，-D ．()25，-⑵ 已知点()P x y ，，()Q m n ，，如果00x m y n +=+=，，那么点P Q ，（） A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于过点()()0011，，，的直线对称 ⑶ 已知：()2|1|20x y -++=，则()x y ，关于原点对称的点为．(12，0)(10，0)(8，0)(6，0)(4，0)(2，0)(11，2)(9，1)(7，2)(5，1)(3，2)(1，1)O 复习巩固（北京十二中）⑷ 已知点()33P a b +，与点()52Q a b -+，关于x 轴对称，则a = ，b = ．【解析】 ⑴ Ｃ；⑵ A ；⑶ ()12-，；⑷ 12a b ==-，；由3523a b a b +=-⎧⎨+=-⎩解得12a b =⎧⎨=-⎩．题型二坐标系中的平移巩固练习【练习2】 ⑴线段CD 是由线段AB 平移得到的，点()15A -，的对应点是()42C ，，则点()41B -，的对应点D 的坐标为．⑵在平面直角坐标系中有一个已知点A ，现在x 轴向下平移3个单位，y 轴向左平移2个单位，单位长度不变，得到新的坐标系，在新的坐标系下点A 的坐标为()12-，，在旧的坐标系下，点A 的坐标为．【解析】 ⑴()9,4-；⑵()31--，．【练习3】如图，在平面直角坐标系中，若每一个方格的边长代表一个单位．⑴ 线段DC 是线段AB 经过怎样的平移得到的？ ⑵ 若C 点的坐标是()41，，A 点的坐标是()12--，，你能写出B 、D 两点的坐标吗？⑶ 求平行四边形ABCD 的面积．（首师大二附中期中）【解析】 ⑴ 先向右平移1个单位再向上平移3个单位．⑵ ()32B -，，()01D ，． ⑶ 4312ABCD S =⨯=Y ．题型三坐标系中的面积和规律问题巩固练习【练习4】 ⑴ 已知()02，A -，()50，B ，()43，C ，求△ABC 的面积．（四中期中） ⑵ 已知：()40A ，，()10B x -，，()13C ，，ABC △的面积6=，求代数式22225432x x x x x -++--的值．（人大附中期中）【解析】 ⑴ 172．⑵ 由题可得4AB =，得1441x x --=±⇒=或7x =-，原式化简222254322x x x x x x -++--=--，代入得3-或5【练习5】如图，长为1，宽为2的长方形ABCD 以右下角的顶点为中心顺时针旋转90︒，此时A 点的坐标为；依次旋转2009次，则顶DCBA点A 的坐标为．【解析】 ()32，，()30152，．第十四种品格：信念你的意念能跳多高布勃卡是举世闻名的奥运会撑杆跳冠军，享有“撑杆跳沙皇”的美誉。

初中数学-春季班-人教版-初一(学生版) 第4讲平方根与立方根--提高班

第4讲平方根、立方根知识点1 算术平方根1.如果一个正数x的平方等于a，即ax=2，那么这个正数x叫做a的算术平方根. ()0≥a a的算术平方根记为a,读作“根号a”，a叫做被开方数.规定：0的算术平方根是0 ，即00=.2.规律小结算术平方根具有双重非负数：（1）被开方数具有非负性，即0≥a；（2）本身具有非负性：即.0≥a注：具有非负数才有算术平方根，而负数没有算术平方根.【典例】例1 （2020秋•辉县市校级期中）如果a是2021的算术平方根，则2021100的算术平方根是()A．10aB．100aC．10a±D．210a【方法总结】本题主要考查算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．例2（2020春•威县期末）小辰想用一块面积为2100cm的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为290cm的长方形纸片，使它的长宽之比为5:3．小辰能否用这张正方形纸片裁出符合要求的纸片？若能请写出具体栽法；若不能，请说明理由．【方法总结】本题考查了一元二次方程的应用以及算术平方根，解题的关键是先求出所裁出的长方形纸片的长．【随堂练习】1．（2020 1.421267≈⋯≈⋯ 4.494441确到0.1)≈___________．2．（2020秋•滨湖区期中）已知21+-的算术平方根为4．a ba-的平方根为3±，31（1）求a、b的值；（2）求2+的算术平方根．a b知识点2 平方根开平方1.平方根：一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根，x=2，那么x叫做a的平方根.即如果a±”，读作“正、负根号a”正数a的平方根表示为“a2.平方根与算术平方根的区别与联系3.开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.开平方是一种运算，它与平方运算是互逆运算，开平方运算的结果就是平方根，我们就是利用开平方与平方的互逆运算关系求平方根.【典例】例1 （2020春•丛台区校级月考）求下列各式中的:(x )（1）29250x -=；（2）24(21)36x -=．A ．53x =和2x = B ．53x =-和2x =或1x =- C ．53x =±和1x =- D ．53x =±和2x =或1x =-【方法总结】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．例2 （2020秋•雁塔区校级月考）若x ，y 210y -=，【方法总结】本题考查了算术平方根以及平方根，解题时注意：一个正数的两个平方根互为相反数．【随堂练习】1．已知一个正数m 的两个不同的平方根是1a -与52a -，求a 和m 的值．2．（2020秋•滨湖区期中）已知21a -的平方根为3±，31a b +-的算术平方根为4．（1）求a 、b 的值；（2）求2a b +的算术平方根．知识点3 立方根1.一般地，如果一个数x 的立方等于a ，那么这个数x 叫做a 的立方根或三次方根，这就是说，如果3x a =，那么x 叫做a 的立方根.2.一个数a “三次根号a ”，其中a 叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方.3.理解立方根的概念需注意两点：（1）任意数a ；（2）判断一个数x 是不是某数a 的立方根，就看3x 是不是等于a.4. 立方根的性质（1）正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0 .（2）3333a a -=-（3）a a =33)(5.开立方：求一个数立方根的运算，叫做开立方.说明：开立方和立方互为逆运算，借助立方运算，我们可以求任意数的立方根. 【典例】例1 （2020秋•嵊州市期中）已知某正数的两个平方根分别是1-和4a -，12b -的立方根为2．（1）求a ，b 的值．（2）求a b +的平方根．【方法总结】本题主要考查了平方根与立方根，注意一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．例2 （2020秋•碑林区校级月考）已知21a -的平方根是3±，31a b +-的算术平方根是4，求2a b +的立方根．【方法总结】此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．【随堂练习】1．（2020春•嘉陵区期末）如果37(1)18x -+=，试求x 的值．2．（2020春•鱼台县期末）正数x 的两个平方根分别是2a -，27a -．（1）求a 的值；（2）求1x -这个数的立方根．3．（2020春•盐池县期末）已知21a +的平方根是3±，324a b +-的立方根是2-，求458a b -+的立方根．综合运用1．（20200=，则2020()a b -的值为( )A ．1B ．1-C ．1±D ．02．（2020a b +的值为______．3．（2020秋•金牛区校级月考）互为相反数，z 是64的平方根，求x y z-+的平方根．4．（2020春•潮安区期中）有一个边长为9cm 的正方形和一个长为24cm 、宽为6cm 的长方形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少厘米？5．（2020秋•宝应县期中）求下列各式中x 的值．（1）2(1)2x +=；（2）329203x +=．6．（2020秋•荥阳市期中）已知21x +的算术平方根是04，z 是27-的立方根，求2x y z ++的平方根．7．（2020秋•吴江区期中）（1）若实数m 、n 满足等式|2|0m -，求23m n +的平方根；（2）已知8y8．（2020春•渝水区校级月考）已知一个正数m 的平方根为21n +和43n -．（1）求m 的值；（2）2|3|()0a c n --=，a b c ++的立方根是多少？。

学而思初一数学春季班第3讲-目标中考满分班-学生版

实数6级绝对值实数7级实数初步实数8级实数的化简与应用春季班第三讲寒假班第一讲想歪了的计算漫画释义满分晋级阶梯3实数的化简与应用在实数范围内，加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算总可以进行，且结果仍然是实数.但开方运算不能无条件进行，只有正数和0才可以开偶次方.在有理数范围内适用的运算律和运算法则，在实数范围内仍然可以使用。

实数的混合运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方、开方，再乘除，最后算加减，同级运算按从左到右的顺序进行，有括号先算括号里的【例1】 ⑴ 两个无理数的和、差一定是（）A 、无理数B 、有理数C 、0D 、实数⑵ 计算：①9494- ②3331642728-+-⨯-③()23252211251445---+- ④2315111393⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭典题精练思路导航知识互联网题型一：实数的计算⑤230275(1)1384π⎛⎫---+- ⎪⎝⎭【例2】计算：① 35255+- ② 13(32)3++③ 2(22)(321)+-- ④ 2(636)6(61)6----化简常用式子：⑴()()20aa a =≥⑵()()()20||000a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩⑶ 33a a -=-；33a a =；()33a a -=-【例3】 ⑴ 当23x <<时，化简3 1.5x x ---= .⑵化简： 25-= ；3π-= . ⑶ 计算：233225-+-+-⑷ 若3x =-，则()211____x -+=.典题精练思路导航题型二：实数的化简⑸ 计算：()()22262163-+---【例4】 ⑴ 化简：当0a ≥时，2a = ，当0a ≤时，2a = ，当1a ≥时，2(1)a -= . ⑵ 当时，化简．⑶ 已知2()22x xx x=--，则x 应满足（） A 、2x < B 、0x ≤ C 、2x > D 、0x ≥且2x ≠ ⑷ 化简2()a b a b b a b a -⋅-----⑸若101a <+且2(1)1a a -=-，则整数a 的个数是（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个【例5】 ⑴ 实数a 在数轴上的对应点A 的位置如图所示：化简()212______a a -+-=⑵ 已知实数a 、b 在数轴上表示的点如图所示，试化简下列各式：①2a ab +；②a b a b++-⑶ 已知数a b c 、、在数轴上的位置如图所示：化简：()22a a c c b b -++---的结果为________【例6】比较下列各值的大小：①31-+和51-+ ② 3和32 ③36-和62-④5m -和34m - ⑤1338-和18 ⑥102+和652-0≤x 21x x -- A直角三角形中，两直角边分别为a b 、，斜边为c ，则满足222a b c +=. 此结论叫做勾股定理.如右图：在直角ABC △中，两条直角边分别为4,3a b ==，则22216925c a b =+=+=，所以255c ==.【例7】如下左图：在平面直角坐标系中，点(1,1)A ，做AH x ⊥轴于H ，连接OA ，则1OH AH ==，则根据勾股定理：222OA OH AH =+=.以O 为圆心、OA 为半径画圆，与x y 、轴交于四个点，则四个点的坐标分别为：(2,0)(2,0)(0,2)(0,2)--、、、按照此种思路，请在此平面直角坐标系中，画出点(12,0),(0,12)--+.典题精练思路导航题型三：实数应用CBAcb=3a=41x2O 12-1-1H 1x2O 12-1-1A题型一实数的计算巩固练习【练习1】计算：⑴()32168-⨯- ⑵3648281-+-- ⑶()233258-+-【练习2】计算：⑴55(52)++ ⑵12(2)(32)2+-+题型二实数的化简巩固练习【练习3】 ⑴已知a 为实数，那么2a -等于（）A.a B ．a - C ．1- D ．0⑵若<0x ，则化简2x x x-的结果是__________.【练习4】计算：⑴ 327422+- ⑵()2324273-+-+-π【练习5】数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简2()b a a b -+-．题型三实数应用巩固练习【练习6】作图：在数轴上做出2,2,21,12-+-这四个点.b 0 a复习巩固第十四种品格：信念一壶水有一年,一支英国探险队进入了撒哈拉沙漠的某个地区.在茫茫的沙海里负重跋涉,阳光下,漫天飞舞的风沙像炒红的铁砂一般,扑打着探险队员的面孔.口渴似炙,心急如焚——大家的水都没有了.这时,探险队长拿出一只水壶,说:"这里还有一壶水.但穿越沙漠前,谁也不能喝."一壶水,成了穿越沙漠的信念源泉,成了求生的寄托！感觉使队员们濒临绝望的脸上,又显露出坚定的神色.终于,探险队顽强地走出了沙漠,挣脱了死神之手.大家喜极而泣,用颤抖的手拧开了那壶支撑他们精神和信念的水——缓缓流出来的,却是满满的一壶沙子!今天我学到了。

学而思初一数学寒假班第3讲方程组巅峰突破——含参方程组.学生版

L3 方程组巅峰突破一1- ^rl变形记领先中考培优课程______ I" q M初一寒假・第3讲・目标中考高分班・学生版19知识导航模块三元一次方程组的解法对于多元一次方程组，在求解过程中通常会采用一些特殊的求解方法，需要同学们掌握，如：先初一寒假・第3讲・目标中考高分班・学生版领先中考培优课程.题型切片多元一次方程组的解法同解方程电含希勤的二元一次方程组题型切片（三个）对应题目题型目标三k次方程组的解法例1;例2;例3;同解方程组例4;例5;含有参数的二A次方程组例6;例7;例8定义示例剖析三A次方程组定义：方程组含有二个相同的未知数，并且含未知数的项的次数都是1 ,系数都不是0的整式方程. 3x 2y z 6, 6x y 2z 2 6x 2y 5z 3可以用整体法、倒数法、分类讨论法运用整体法相加或相减得到简易方程.20解决较复杂的二k次方程组，对于三兀一次方程组应先消元转化为二e-次方程组.二市消元一市消元一市■一'兀^ 转化■一*兀^ 转化)L【例1】解二兀,次方程组：⑴2X y z 7②x 3y z 8 ③@能力提升廉【例2】解下列三A次方程组：x y 6⑴ y z 10; z x 8【例3】解含有比例的三e-次方程组：,、9x 7y 3z 160⑴;x: y : z 1:2:3x:y 2:3x y⑵ y: z 5: 6 ; ⑶ 2 32x 3y z 7 2x y七领先中考培优课程⑵ x y 2z 72x 3y z 123x y z 8⑵ x 3y z 10.x y 3z 12z43z 4初一寒假・第3讲・目标中考高分班・学生版21xyz0 ①3x2yz1322互为相反数、多1、2倍等等.，、… 2x 5y 6 、一， 3x 5y 16 ,… …⑵已知方程组 y 和方程组y 的解相同，求代数式ax by 4bx ay 8初一寒假・第3讲・目标中考高分班・学生版领先中考培优课程9若两个二元一次方程组的解相同，则称这两个方程组是同解方程组.应先分别求出这两个方程组的解，再通过数量关系列等式.两个解的数量关系很多，比如相等、【例4】⑴当m , n 时，方程组x y 1 「、一， y 的解和方程组x 2y 10mx y 3x ny的解相同.⑶若关于x 、y 的二元一次方程组x 2y m 3x 5y m的解也是方程x y17的解，求m 的值.2009a 2b能力提升.............. ax 【例5】⑴关于x、y的方程组 a cx 求a、b、c的值. by7y2,甲正确地解出83 ......................... ..,乙因把c看错了，解得2⑵三个同学对问题若方程&xa?x b1y c1的解是b2y C23&x 2b i y 5c i3 a2x 2b2 y 5c2 的解.提出各自的想法：甲说: 这个题好像条件不够, 不能解”；乙说: 可以试试”；丙说：能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以方法来解决参考他们的讨论，你认为该题目的解应该是它的系数有一定的规律，5 ,通过换元替代的模块三含参数的二元一次方程组知识导航初一寒假・第3讲・目标中考高分班・学生版8（先中考培优课程2324方程组a 1x b 1y c 1的解的情况讨论：(对于方程组的解的存在性问题消元法更具有一般性) a 2x b 2 y c 2法一：可以写成比的形式，⑴若曳巴巴时，方程组有无穷多组解.a 2b ?c 2 ⑵若a 1%c 1时，方程组无解.a 2b 2 C 2⑶若曳生时，方程组有唯一解.a ?b 2法二：用代入消元法消去一个未知数，写成 ax b 的形式，再讨论 ax b 的解的情况.a 0⑴当a 0时，ax b 有无穷个解，方程组也有无穷组解. b 0 一,a 0 一，⑵ 当时，ax b 无解，万程组也无解.b 0⑶当a 0时，ax b 有唯一解，方程组也有唯一解.【例6】a 为何值时，方程组 x y 3n 有无数多组解？无解？唯一一组解?mx y 6y kx b【例7】求k, b 为何值时，方程组 y的解满足:y (3k 1)x 2①有唯一一组解；②无解；③有无穷多组解.初一寒假・第3讲・目标中考高分班・学生版- r —■, 一「能力提升领先中考培优课程【例8】⑴（2011年海淀期末考试题）关于x的方程（m 1）x n 3 0是一元一次方程.若此方程的根为整数，求整数 m的值.⑵（2012年北大附中期中）,,,, ,、… 2x my 11 .. 一当整数m _________________ 时，方程组的解是正整数x 4y 8题型一多元一次方程组的解法课后演练【演练1】⑴若x3a2b2 2y ab 5是二元一次方程，则a , b领先中考培优课程初一寒假・第3讲・目标中考高分班・学生版25264x 3y 1...⑵ 当k时，方程组的解中x 与y 的值相等.kx k 1 y 3⑶ 已知代数式 3x m1y 3与卫x n y m n 是同类项，那么求 m 、n 的值.22x 3y 9 3x y 8 与向解，求a 、b 的值.ax by 1 2ax 3by 7初一寒假・第3讲・目标中考高分班・学生版x 2y zx : y 3:2 x yz 3x2y 1 ⑵ y ： z 5:4 ⑶ yzx1x y z 66z xy 2xy z -2【演练2】解方程组：⑴2 54题型二同解方程组课后演练_、一一. 2x【演练3】 ⑴已知方程组 3x3y 4yk 2k的解满足x y 3,求k 的值.6⑵已知方程组领先中考培优保程【演练4】关于x 2y 3my的万程组,x y 9m⑴若x的值比y的值小5 ,求m的值；⑵若方程3x 2y 17与方程组的解相同, m的值.题型三含参数的二元一次方程组【演练5】⑴方程组2x6x 3y课后演练43的解的情形是（4A.有唯一解⑵已知关于x,B.无解y的方程组x ay 3x yC.有两解11的解是整数，a是整数，那么a的值为1领先中考培优课程初一寒假・第3讲・目标中考高分班・学生版27第十四种品格：信念坚持不懈，直到成功爱・罗塞尼奥是第七届国际马拉松赛冠军.当他从领奖台上走下来的时候，有记者问他，是什么力量让他坚持到最后，跑在最前面？他想了想，就讲了一个自己的故事.在上中学的时候，有一次他参加学校举办的10公里越野赛.开始，他跑得很轻松, 慢慢地，他感觉有些跑不动了，汗流狭背，脚底发虚，很想停下来歇一歇，喝口水.这时,一辆校巴开了过来，校巴是专门在赛跑路线上接送那些跑不动或者受伤的学生的.他很想上车，但还是忍住了.又跑了一段时间，他感到两眼模糊，胸口发紧，双腿灌铅似的沉重，停下来休息的愿望强烈地袭了上来.又一辆校巴开过来了，他迟疑了一下，还是压制住了他那极速膨胀的渴望，继续朝前跑.不知又跑了多久，到了一个小山坡前，他感到眼冒金星, 全身虚脱，两条腿似乎不再属于自己.他觉得现在要爬上眼前这个小小的山坡，对他来说绝不亚于攀登珠穆朗玛峰. 他绝望了，不再坚持，当校巴再一次开过来的时候，他没有犹豫，上去了.没想到的是，校巴开过那个小山坡一拐弯就到了终点. 他后悔极了，要是再坚持一分钟，冲刺一下，就能越过小山坡，跑到终点，那是多么令人骄傲的事情啊!从那以后，每次参加比赛，当感到自己跑不动、快要泄气的时候，他就不断地对自己说：“再坚持一分钟，快到终点了！”就这样，他一直跑到世界冠军的领奖台!我的字典里不再有放弃、不可能、办不到、没法子、成问题、失败、行不通、没希望、退缩……我要向绝望挑战，我要辛勤耕耘勇往直前。

学而思初中数学课程规划

学而思初中数学课程规划初中数学的学习不同于小学小学是课内知识过于简单，课外的奥数较难，而且整个社会没有统一的教材，基本上都是各自研发，比如学而思的十二级体系。

而初中最终目标是中考，有明确的方向性，同时有统一规划的课本，知识体系非常完整。

因此整个初中的学习更适合在一个合理而科学的体系下学习，唯一不同就在于不同的孩子可以选择不同的进度和难度。

初中班型设置介绍初一年级：基础班，提高班，尖子班，竞赛班，联赛班初二年级：基础班，提高班，尖子班，竞赛班，联赛班初三年级：基础班，提高班，尖子班，目标班联赛班走联赛体系，一年半学完初中数学知识；竞赛班走竞赛体系，两年学完初中数学知识；基础班，提高班，尖子班走领先中考培优体系，两年半学完初中数学知识。

到初三不再设竞赛班和联赛班，统一回归到目标班，冲击中考。

下面就各个班型的定位和适合什么样的学生做一个对比说明：2015年学而思初中教学体系体系联赛体系竞赛体系领先中考培优体系班型定位数学超常发展冲击竞赛一等奖中考满分兼顾竞赛同步提高冲击中考满分学制设计一年半学完初中内容两年学完初中内容两年半学完初中内容课程容量每节课的课程容量与难度比竞赛班大1.2-1.5倍每节课的容量与难度比尖子班大1.5-1.8倍每节课的容量是校内课程的3-5倍难度比校内课程高1.5-2倍适合学生课内知识掌握非常扎实，发展方向为冲击初中数学联赛，希望在数学方面有独特发展，例如未来参加IMO或CMO比赛，高中数学联赛冲击一等奖。

课内知识学习轻松，在保证中考路径的同时兼顾拔高与竞赛。

未来目标为冲击中考满分，同时参加一些数学竞赛，激发兴趣，锻炼思维。

从课内知识上夯实基础、同步提高，同时拓宽视野，系统化学习，目标冲击中考满分入学体系10次课学完初一----预备班选拔考试----联赛竞赛预备班----参加入学选拔考试----通过后选择联赛体系---开始学习10次课学完初一----预备班选拔考试----联赛竞赛预备班----参加入学选拔考试----通过后选择竞赛体系---开始学习10次课学完初一----入学测试题----领先中考培优体系---开始学习班次安排联赛1班、联赛2班竞赛班基础班、提高班、尖子班，初三加开目标班学而思的初中数学有一套非常成熟的教学体系，既能满足我们的终极目标——中考，同时还能兼顾一些希望走竞赛路线的孩子。

学而思初一数学春季班第8讲-目标满分班-教师版

不等式2级含参不等式不等式3级不等式的应用不等式4级方程与不等式综合应用春季班第七讲春季班第五讲怎么就不一样？漫画释义满分晋级阶梯8方程与不等式综合应用编写思路：对于求参数取值范围的题目:让学生充分认识，通过不等式求范围。

即去寻找题目中的不等关系，得到关于参数的不等式或不等式组。

本块专题通常给出方程组的解所满足的不等关系，从而求出参数的取值范围.以例1为主.对于此类问题，我们可以把方程组的解用参数来表示，也可以不必求出解的值对方程组进行整体考虑，不等式对代数计算要求很高，希望能准确应用性质来解决问题.【引例】已知3242231x y k x y k +=+⎧⎨+=+⎩，其中12k <<，⑴ 求、x y 的取值范围；⑵ 求2x y -的取值范围.【解析】 ⑴ 解方程组3242231x y k x y k +=+⎧⎨+=+⎩得42515x k y k ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，∵ 12k <<，∴ 224k <<，∴ 444224555k +<+<+，即142455x <<，同理可得11655y -<<-.例题精讲思路导航知识互联网题型一：方程解的取值范围⑵ 4162224555x y k k k ⎛⎫-=+---=+ ⎪⎝⎭, 可得66641442555k ⨯+<+<⨯+，即2646255x y <-<. 【点评】此题是已知参数的范围，确定解的范围.【例1】 1. 直接求未知数法：⑴ 已知方程组32121x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩，m 为何值时，x y >？⑵k 取什么值时，关于x 、y 的二元一次方程组24x y kx y +=⎧⎨-=⎩得到的、x y 的值① 都小于1；② 都不小于12．整体法：⑶已知32432370x y a x y a x y +=+⎧⎪+=+⎨⎪->⎩，则a 的取值范围是 .⑷ 已知关于x 、y 的二元一次方程组2424421x y ax y a +=+⎧⎨+=-⎩的解满足0x y +>，那么a 的取值范围是 .⑸ 若方程组3133x y k x y +=+⎧⎨+=⎩的解为x 、y ，且24k <<，求x y -的取值范围.3.与绝对值非负性综合：⑹ 已知()22230x x y m -+-+=，且0y >，则m 的取值范围是 .⑺ 如果12x y =⎧⎨=⎩是关于x 、y 的方程()21280ax by ax by +-+-+=的解，求不等式组1314 >33x x a bax x +⎧-⎪⎨⎪-<+⎩的解集.【解析】 ⑴ 解方程组得35x m y m =-⎧⎨=-⎩，∵x y >，∴35m m ->-，∴4m >.⑵ 解方程组得22x k y k =+⎧⎨=-⎩，① 2121x k y k =+<⎧⎨=-<⎩，解得1k <-；② 2121≥≥x k y k =+⎧⎨=-⎩，解得3≥k .典题精练⑶ 观察方程组32432370x y a x y a x y +=+⎧⎪+=+⎨⎪->⎩①②，不必分别求出、x y 的值，只须-①②即可得到x y -，即()()4370a a +-+>，解得43a >. ⑷ 两个方程相加即可得1a >-.⑸ 两个方程相减，得：()()22222401k x y x y x y =-+⇒<-+<⇒<-<. ⑹ 4m >-.⑺ 由非负性性质可以求得2a =，5b =，则原不等式组的解集为3x <-.【例2】 ⑴已知方程组3751x y a x y a +=+⎧⎨-=+⎩的解为正数. 化简13a a ++-.⑵已知关于x ，y 的方程组：325x y a x y a -=+⎧⎨+=⎩的解满足0x y >>，化简：3a a +-.【解析】 ⑴ 解方程组得443x a y a =+⎧⎨=-⎩，∵00x y >⎧⎨>⎩，∴44030a a +>⎧⎨->⎩，解得13a -<<.∵13a -<<，∴1030a a +>⎧⎨-<⎩，∴13134a a a a ++-=++-=.⑵32121202252x y a x a a a a x y a y a -=+=+⎧⎧⇒⇒+>->⇒>⎨⎨+==-⎩⎩. 当23a <<时，333a a a a +-=+-=; 当3a ≥时，3323a a a a a +-=+-=-.【点评】根据解的情况确定参数的范围，从而化简绝对值.求解不等式中的参数，通常根据不等式的基本性质来判断并确定含参数的式子的取值范围．如例3. 有的根据不等式的解集列出方程（组），从而求解，确定不等式中参数的值.如例4 确定不等式（组）中参数的取值范围，常用的方法有：⑴逆用不等式（组）解集确定；⑵分类讨论确定；⑶借助数轴确定.【例3】 ⑴ 若2ax >的解集为1x <-，求24x a ->的解集.⑵ 已知a ，b 为常数，若0ax b +>的解集是13x <，求不等式0bx a -<的解集．典题精练思路导航题型二：求不等式中的参数⑶已知关于x 的不等式()3a b x a b +>-的解集是53x <-，试求0bx a ->的解集【解析】 ⑴由于不等号方向改变，故0a <，且21a=-，得20a =-<，符合题意．将2a =-代入不等式24x a ->得，2(2)4x -->，解得1x >.⑵解0ax b +>得ax b >-，由于解集为13x <，不等号方向改变，故0，a <且13b a -=，得103b a =->；解0bx a -<得bx a <，因为03，ab b>=-，所以解集为3x <-.⑶由题可知，30533a b a b a b +<⎧⎪-⎨=-⎪+⎩，解得3200a b a b ⎧=-⎪⎪>⎨⎪<⎪⎩，解0bx a ->得a x b <，即32x <- 【点评】由已知解集确定参数的正负情况，从而解出新的不等式.【例4】 ⑴关于x 的不等式组12x m x m >-⎧⎨>+⎩的解集是1x >-，则m = ．⑵若不等式组220x a b x ->⎧⎨->⎩的解集是11x -<<，则2009()a b += ．⑶不等式组237635x a bb x a-<⎧⎨-<⎩的解集是 5<x <22, 求a ·b = .⑷若关于x 的不等式组x m nx m n +<⎧⎨->⎩的解集是37x -<<，求不等式20mx n -<的解集.【解析】 ⑴ 3-.由题意得21m +=-，解得3m =-. ⑵ 1-．由题意，得：2213 , , 2122x a a a bb b x >++=-⎧⎧=-⎧⎪⎪∴∴⎨⎨⎨=<=⎩⎪⎪⎩⎩. 当3a =-，2b =时，()()20092009321a b +=-+=-⑶由题意，得：372376537265635323a b x x a b b a a b x b a b x a x +⎧<⎪-<⎧-+⎪⇒⇒<<⎨⎨--<⎩⎪>⎪⎩，∴37223265553a ba b a b +⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨-=⎩⎪=⎪⎩ 所以15a b ⋅=.⑷解不等式组得x n m x m n <-⎧⎨>+⎩，依题意得73n m m n -=⎧⎨+=-⎩，解得52m n =-⎧⎨=⎩，代入不等式20mx n -<中得()2520x ⨯-⨯-<，解得15x >-.【例5】已知方程()3127x -+=-的解是不等式()3256x x k -+>-+的最小整数解，求参数k 的取值范围．【解析】解方程()3127x -+=-得，2x =-，解不等式()3256x x k -+>-+ 得72k x -+>，即2-是不等式72k x -+>的最小整数解，故可得7322≤k -+-<-，解得1113≤k <.【拓展】若关于x 的不等式()152ax x a ->-的解都是不等式123x -<的解，求a 的取值范围．【解析】 ()152ax x a ->-化简得()252a x a ->-，123x -<的解集为1x >-，由题意可得205212≥a a a ->⎧⎪-⎨-⎪-⎩⇒205202+1≥a a a ->⎧⎪-⎨⎪-⎩⇒2052202≥a a a a ->⎧⎪-+-⎨⎪-⎩⇒20302≥a aa ->⎧⎪-⎨⎪-⎩⇒2030a a ->⎧⎨-⎩≥，解得23≤a <.【点评】若不等式A 的解都是不等式B 的解，则A 的解集都在B 的解集里.【拓展】若满足不等式3(2)315a x a ---≤≤的x 必满足35x ≤≤，求a 的取值范围. 【解析】原不等式可化为34(2)36a a x a +-+≤≤当2a >时，则343622a a x a a ++--≤≤，由题意得 34363522a a a a ++--≤≤≤解得8a ≥ 当2a =时，则不等式无解.当2a <时，则363422a a x a a ++--≤≤，由题意得 36343522a a a a ++--≤≤≤，无解.综上得8a ≥.有的不等关系隐藏在题目条件中需要细心发现，当题目中参数较多时，可选出其中一个为已知并且用它来表示其他的参数，如例7思路导航题型三：方程（组）与不等式综合应用【例6】已知关于x 、y 的方程组2131x y ax by -=⎧⎨+=-⎩和方程组31241x y ax by +=⎧⎨-=⎩的解相同，求关于x 的不等式616ax bx -->+的解集.【解析】重组方程组得213312x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得53x y =⎧⎨=-⎩，代入另外两个方程得5315341a b a b -=-⎧⎨+=⎩，解得47a b =⎧⎨=⎩，代入不等式得46716x x -->+，解得2x <-.【例7】已知a,b,c 是三个非负数，并且满足325,231a b c a b c ++=+-=,设37M a b c =+-,记M 的最大值为x ，最小值为y ，求xy . 【解析】由题意，得：7332711a c M c b c =-⎧⇒=-⎨=-⎩. 又因为 0730370711071100≥≥≥≥≤≤≥≥a c b c c c c -⎧⎧⎪⎪⇒-⇒⎨⎨⎪⎪⎩⎩.得5132711c ---≤≤所以max min15115777x M xy y M ⎧==-⎪⎪⇒=⎨⎪==-⎪⎩.【变式】已知实数a 、b 、c 满足6,23a b c a b c ++=-+=，0c b ≤≤，则a 的最大值为，最小值为 .【解析】由6,23a b c a b c ++=-+=，解得 393,22a ab c +-==. 因为0c b ≤≤，所以933022a a-+≤≤解得332a ≤≤因此a 的最小值为32，最大值为3.【例8】若a,b 满足22357 , 23a b s a b +==-，求s 的最值.(2012年北京十二中期末考试)真题赏析典题精练【解析】由题意，得25211914319s a s b +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩,又∵ 20 , 0≥≥a b ，∴521019143019s s +⎧⎪⎪⎨-⎪⎪⎩≥≥.解得211453s -≤≤所以s 的最大值为143，最小值为215-.【点评】例8把s 看作已知量，并且用它来表示2a 和b ，根据非负性即可得到s 的取值范围，从而得到最值.训练1. 解方程组2133x y k x y +=+⎧⎨-=⎩得到的x 、y 的值，⑴ 如果满足2x y +=，求k ；⑵ 如果x 、y 的值都不小于1，求k 的范围； ⑶ 如果46≤k <，求x 、y 的范围【解析】 ⑴ 94k =解方程组得45335k x k y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，∵2x y +=，∴433255k k +-+=，解得94k =；⑵ 83≥k ．依题意得415335≥≥1k k +⎧⎪⎪⎨-⎪⎪⎩，解得83≥k ；⑶ 825≤x <，935≤y <．∵46≤k <，代入方程组的解45335k x k y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩得825≤x <，935≤y <.训练2. 已知a 、b 为常数，若不等式()2340a b x a b -+-<的解集是49x >，求不等式()4230a b x a b -+->的解集【解析】 ∵()2340a b x a b -+-<的解集是49x >，∴2043429a b b a a b -<⎧⎪-⎨=⎪-⎩⇒8700a b a b ⎧=⎪⎪<⎨⎪<⎪⎩，将其代入()4230a b x a b -+->得88423077b b x b b ⎛⎫-+⨯-> ⎪⎝⎭，化简得20577bx b ->，思维拓展训练（选讲）解得14x >-.训练3. 已知方程组46ax by ax by -=⎧⎨+=⎩与方程35471x y x y -=⎧⎨-=⎩的解相同，求解不等式()112123ax b bx +>-．【解析】解35471x y x y -=⎧⎨-=⎩得21x y =⎧⎨=⎩，将21x y =⎧⎨=⎩代入46ax by ax by -=⎧⎨+=⎩得2426a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得521a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，将521a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩代入()112123ax b bx +>-得15121223x x ⎛⎫⨯+>- ⎪⎝⎭.解得121x >-.训练4. 已知x 、y 、z 是三个非负有理数，且满足325x y z ++=，2x y z +-=，又2S x y z =+-，S 的最大值为m ，S 的最小值为n ，求()kn m -（k 为整数）的值（清华附中期末）【解析】解方程组3252x y z x y z ++=⎧⎨+-=⎩（将z 看作参数）,解得1341x z y z =-⎧⎨=+⎩，因为000≥≥≥x y z ⎧⎪⎨⎪⎩，所以1304100≥≥≥z z z -⎧⎪+⎨⎪⎩解得103≤≤z ，将1341x z y z =-⎧⎨=+⎩代入2S x y z =+-得33S z =-，2333≤≤z -，所以23≤≤S∴32m n =⎧⎨=⎩，∴()()1k k n m -=- 当k 为偶数时，()()11kkn m -=-=；当k 为奇数时，()()11kkn m -=-=-.复习巩固题型一方程根的取值范围巩固练习【练习1】已知方程组2334541x y m x y m +=+⎧⎨-=-⎩的解满足00x y >⎧⎨<⎩，求m 的取值范围.【解析】 171223317120722454127270211m x x y m m m x y m m m y +⎧=⎪+=++>⎧⎧⎪⇒⇒⇒>⎨⎨⎨-=--+-+<⎩⎩⎪=⎪⎩. 【练习2】已知24221x y kx y k +=⎧⎨+=+⎩且01y x <-<，则k 的取值范围为．【解析】用方程组中第1个方程减去第2个方程，得21y x k -=-，因为01y x <-<，所以0211k <-<，解得112k <<．题型二求不等式中的参数巩固练习【练习3】若不等式()()230a b x a b ++-<的解集为13x >-，则不等式()()320a b x b a -+->的解集为.【解析】由已知不等式的解集可得0a b +<，且3213b a a b -=-+，于是20a b =<，代入所求不等式，解得3x >-.【练习4】 ⑴ 若不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩ 的解集为11x -<<,求()()11a b +-的值.⑵ 若不等式组32122x a x b -<⎧⎨->⎩的解集为723x <<，那么()()12a b ++的值为【解析】 ⑴由题意，121123223223a x a x a b x x b x b +⎧-<<⎧+⎪⇒⇒+<<⎨⎨->⎩⎪>+⎩， ∴23111212b a a b +=-⎧=⎧⎪⇒⎨⎨+=-=⎩⎪⎩ 当12a b =⎧⎨=-⎩， ()()116a b +-=-.⑵ 8.题型三方程（组）与不等式综合应用巩固练习【练习5】已知非负数x,y,z 满足325,2x y z x y z ++=+-=，若2S x y z =+-，求S 的最值. 【解析】由题意，得：133314x zS z y z =-⎧⇒=-⎨=+⎩又因为1311002343≤≥≥≥≤≤≤≤≥≥zxy z z Szz⎧⎪⎧⎪⎪⎪⇒-⇒⇒⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎩，所以S的最大值为3，最小值为2.第十四种品格：信念信念的力量在美国纽约，有一个年轻的警察叫亚瑟尔。

学而思朱韬初一春季目标班讲义

学而思（Studying and Thinking）是一家专业的教育培训机构，致力于为学生提供优质的教育资源和个性化的学习辅导。

朱韬是学而思的资深教师，拥有丰富的教学经验和深厚的学术造诣。

今天我们将为您介绍朱韬老师在初一春季目标班上的讲义，希望能为广大学生和家长提供有益的参考。

一、课程介绍在初一春季目标班上，朱韬老师主要围绕数学、英语和物理三个科目展开深入的讲解和指导。

针对每个科目的核心知识点和难点问题，朱韬老师以通俗易懂的语言进行讲解，并结合大量的实例和习题进行讲解和练习，帮助学生牢固掌握知识点，提高解题能力。

二、数学讲义朱韬老师在数学讲义中，以初一下学期的数学知识点为主线，围绕整数、分数、方程、代数式等内容展开讲解。

他深入浅出地解释了数学中的常见问题，帮助学生建立起数学思维和逻辑推理能力。

通过大量的练习题，学生将能够更好地掌握数学知识点，提高解题能力，为以后的学习打下坚实的基础。

三、英语讲义朱韬老师针对初一下学期的英语知识点，结合语法、词汇和阅读理解等方面进行了全面的讲解和指导。

他在讲义中注重培养学生的英语思维和语感，帮助他们建立起正确的英语学习方法和习惯。

通过大量的听说读写训练，学生将能够更好地提高英语水平，为以后的学习和考试做好准备。

四、物理讲义在物理讲义中，朱韬老师主要讲解了初一下学期的力学和光学知识点。

他以生动有趣的讲解方式，拓展学生的物理思维，引导他们深入理解物理知识，并能够运用所学知识解决实际问题。

通过大量的实验和练习，学生将能够更好地掌握物理知识，提高实验操作能力和解题能力。

五、讲义特色朱韬老师的讲义在以下几个方面有着明显的特色：1.深入浅出：朱韬老师注重以通俗易懂的语言进行讲解，让学生轻松理解和掌握知识点。

2.举一反三：通过大量实例和练习题，帮助学生从一个问题中延伸思考，举一反三，提高解题能力。

3.灵活运用：朱韬老师讲义中灵活运用多种教学手段，包括案例分析、实验演示等，使学生能够更好地理解和掌握知识点。

学而思2020年春季班初一数学

学而思2020年春季班初一数学是为初一学生开设的一门系统性数学课程，旨在培养学生从宏观上认识数学，建立起数学思维结构，并且通过实践对数学基本概念、公式和解题技巧有较深入的理解。

该课程的教学内容主要分为三大部分：一是基础数学概念，包括基本的运算概念、几何图形等；二是数学计算技能，包括计算机的基本理论和技能，以及应用实际解决问题的方法；三是数学思维能力，包括数学模型的分析、推理和解决复杂问题的能力。

课程教学采用“活动式”教学，在课堂上教师采用多种活动加以调动，使学生在真实情境中参与实践学习，丰富学生的学习体验。

结合视频、网络等教学媒介，帮助学生更加轻松地掌握知识点，提高学习效果。

学而思2020年春季班初一数学课程旨在培养学生系统性地学习数学，提高学生的数学技能，培养学生的数学思维能力，为学生未来学习打下坚实的基础。

学而思初一数学春季班第1讲-目标中考满分班-教师版

函数1级平面直角坐标系认识初步函数2级平面直角坐标系中的变换函数3级函数初步暑期班第二讲春季班第二讲卡帅奇梦记漫画释义满分晋级阶梯1平面直角坐标系认识初步编写思路：一：让学生认识平面直角坐标系，让学生自己动手找点、描点，体会坐标与点的一一对应关系。

二：让学生认识并且理解坐标系中特殊直线的表示方法。

三：让学生充分体会点的坐标（数字）与距离（线段长度）之间的关系。

平面直角坐标系是数形结合最重要的工具，它将坐标与几何图形紧密的结合在一起。

在这讲中，老师一定要向学生传达这个意识，由数到形、由形到数的转化。

定义示例剖析有序数对：有顺序的两个数a 与b 组成的数对叫做有序数对，记作(),a b ．利用有序数对，可以准确地表示出平面内一个点的位置．()1,2与()2,1是两个不同的有序数对.思路导航知识互联网题型一：平面直角坐标系的基本概念平面直角坐标系定义：平面直角坐标系是由两条互相垂直的数轴组成，且两轴的交点是原点，同一数轴上的单位长度是一样的，一般情况下两轴上的单位长度也相同．注意数轴有三个要素——原点、正方向和单位长度．我们规定水平的数轴叫做横轴，取向右为正方向；另一数轴叫纵轴，取向上为正方向．点的坐标：如右图，由点P 分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足A 在x 轴上的坐标是a ，垂足B 在y 轴上的坐标是b ，则点P 的坐标为()a b ，．点的坐标是一对有序数对，横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来．象限和轴：横轴（x 轴）上的点()x y ，的坐标满足：0y =；纵轴（y 轴）上的点()x y ，的坐标满足：0x =；第一象限内的点()x y ，的坐标满足：00x y >⎧⎨>⎩；第二象限内的点()x y ，的坐标满足：00x y <⎧⎨>⎩；第三象限内的点()x y ，的坐标满足：00x y <⎧⎨<⎩；第四象限内的点()x y ，的坐标满足：00x y >⎧⎨<⎩；点()31005⎛⎫⎪⎝⎭，，，都在x 轴上；点()10102⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，都在y 轴上．易错点1：当a b ≠时，()a b ，和()b a ，是两个不同的有序实数对．易错点2：原点在坐标轴上，两条坐标轴上的点不属于任何一个象限．【引例】已知()32A -，、()32B --，、()32C -，为长方形的三个顶点，⑴ 建立平面直角坐标系，在坐标系内描出A 、B 、C 三点； ⑵ 根据这三个点的坐标描出第四个顶点D ，并写出它的坐标； ⑶ 描点后并进一步判断点A 、B 、C 、D 分别在哪一象限？⑷ 观察A 、B 两点，它们的坐标有何特点？B 与C 呢？A 与C 呢？【解析】 ⑴ 如右图所示；⑵ ()32D ，；-1-2-3-4-4-3-2-143214321Oyxb aBP AOy x第四象限第三象限第二象限第一象限-1-2-3-4-4-3-2-143214321Oy x例题精讲Ay1234⑶ A ：第二象限；B ：第三象限；C ：第四象限；D ：第一象限 ⑷ A 、B 坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，位置特点：关于x 轴对称．B 、C 坐标特点：纵坐标相同，横坐标互为相反数，位置特点：关于y 轴对称．A 、C 坐标特点：横、纵坐标均互为相反数，位置特点：关于原点对称．【例1】 ⑴ 如图，如果“士”所在位置的坐标为()12--，，“相”所在位置的坐标为()22-，，那么“炮”所在位置的坐标为．⑵ 由坐标平面内的三点()()()113113A B C -，，，，，构成的ABC △是（） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰直角三角形⑶ 若规定向北方向为y 轴正方向，向东方向为x 轴正方向，小明家的坐标为()12，，小丽家的坐标为()21--，，则小明家在小丽家的（）A ．东南方向B ．东北方向C ．西南方向D ．西北方向⑷ 已知点M ()34a a +-，在y 轴上，则点M 的坐标为． ⑸ 方格纸上A B 、两点，若以B 点为原点，建立平面直角坐标系，则A 点坐标为()34，，若以A 点为原点建立平面直角坐标系，则B 点坐标为（）A ．()34--，B ．()34-，C ．()34-，D ．()34，【解析】 ⑴()31-，； ⑵B ； ⑶ B ； ⑷ ()07，；⑸ A ．【例2】 ⑴ 如果点()12P m m -，在第四象限，那么m 的取值范围是（） A ．102m <<B ．102m -<<C ．0m <D ．12m > （人大附中期中）⑵ 已知点()391M a a --，在第三象限，且它的坐标都是整数，则a =（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．0（一五六中学期中）⑶ 已知点()23A a b -，在第一象限，点()43B a b --，在第四象限，若a b ，都为整数，则2a b += ．（人大附中期中） ⑷ 已知点()381P a a --，，若点P 在y 轴上，则点P 的坐标为；若点P 在典题精练第二象限，并且a 为整数，则P 点坐标为．（四中期中）⑸ 如果点()A a b ，在第二象限，则点()221B a b -++，在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限⑹ 设()3,a ab 在第三象限，则：①(),a b 在第象限；② ,a a b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭在第象限；③ ()3,b a b -在第象限.【解析】 ⑴D ； ⑵ B ； ⑶ 7或8； ⑷ 503⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()21-，； ⑸A ； ⑹由题意知0,0a b <>，答案依次为：一；三；一.【例3】 ⑴ 对任意实数x ，点()22P x x x -，一定不在．．（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限⑵ 点()11P x x -+，，当x 变化时，点P 不可能在第（）象限．A ．一B ．二C ．三D ．四（四中期中） ⑶ 证明：①点()22m n ，不在第三、四象限；②点()2122m m ++，不在第四象限．【解析】 ⑴ C ；⑵ D ；⑶ ①∵20n ≥，∴点()22m n ，不在第三、四象限； ② 若210220m m +>⎧⎨+<⎩，不等式组无解，∴点()2122m m ++，不在第四象限.【点评】 “不存在类问题”需要对点坐标进行正负分析．【变式】平面直角坐标系内，点(),1A n n -一定不在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 C【点评】本题主要考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号，把符号问题转化为解不等式组的问题．定义示例剖析平行于坐标轴的直线：与横轴平行的直线：点表示法()x m ，，x 为任意实数，0m ≠的常数（即直线y m =）；与纵轴平行的直线：点表示法()n y ，，y 为任意实数，0n ≠的常数（即直线x n =）.直线4y =平行于x 轴；直线3x =平行于y 轴．角平分线：一、三象限角平分线：点表示法()x y ，， x ，y 为任意实数，且x y =；二、四象限角平分线：点表示法()x y ，，x ，y 为任意实数，且x y =-.注：1平行于x 轴直线上的两点，其纵坐标相等，横坐标为两个不相等的实数；2平行于y 轴直线上的两点，其横坐标相等，纵坐标为两个不相等的实数．【引例】已知()P a b ，是平面直角坐标系内一点. 请在下面横线上填上点P 的具体位置： ⑴ 若0ab >，则P 点在；⑵ 若0ab <，则P 点在； ⑶ 若0ab =，则P 点在； ⑷ 若220a b +=，则P 点在； ⑸ 若a b =，则P 点在； ⑹ 若0a b +=，则P 点在．【解析】 ⑴ 第一或三象限；⑵ 第二或四象限；⑶ 坐标轴上；y =4x =3xy O12341234-1-2-3-4-4-3-2-1二、四象限角平分线一、三象限角平分线xy O12341234-1-2-3-4-4-3-2-1例题精讲思路导航题型二：坐标平面内的特殊直线⑷ 原点；⑸ 一、三象限角平分线上；⑹ 二、四象限角平分线上.【例4】 ⑴ 已知点()23P x x +，在第二象限坐标轴夹角平分线上，则点()223Q x x -++，的坐标为．⑵已知点()23P x x +，在坐标轴夹角平分线上，则点()223Q x x -++，的坐标为．⑶ 已知点()3553A a a ++，在第二、四象限的角平分线上，求2009a a +的值．【解析】 ⑴()31Q ，； ⑵()31，或()19-，； ⑶2-.【例5】 ⑴ 点A 的坐标为()23，，点B 的坐标为()43，，则线段AB 所在的直线与x 轴的位置关系是．（八十中学期中试题）⑵ 在下列四点中，与点()34-，的连线平行于y 轴的是（）A ．()23-，B ．()23-，C ．()32，D ．()32-，（人大附中期中试题） ⑶ 过点()35，且与x 轴平行的直线是，与y 轴平行的直线是． ⑷ 已知：点(26,3)P m m +-，试分别根据下列条件，直接写出P 点的坐标.①点P 在y 轴上： ②点P 在x 轴上：③点P 的纵坐标比横坐标大3：④点P 在过(2,3)A -点且与x 轴平行的直线上：(2011年北京四中期中考试题)【解析】 ⑴平行；AB 所在的直线与x 轴平行，则这两点纵坐标相同，横坐标不同．⑵D ．两点所在的直线与y 轴平行，则这两点横坐标相同，纵坐标不同． ⑶53y x ==，．⑷①(0,6)-；②(12,0)；③(18,15)--；④(6,3)-.思路导航典题精练题型三：距离d 1=b -md 2=a -nA =(a ,b )y =m x =nOyx 1. 点到轴的距离点(,)P m n 到到x 轴的距离是n ，到y 轴的距离是m .2. 点到水平直线、竖直直线的距离点()a b ，到直线y m =（m 为常数）的距离为b m -，注：当0m =时，就是点到横轴（x 轴）的距离为b ；点()a b ，到直线x n =（n 为常数）的距离为a n -，注：当0n =时，就是点到纵轴（y 轴）的距离为a ．3. 同一水平直线、竖直直线上的点到点的距离在直线y m =上，点(,)(,)A a m B b m ,，则AB a b =-；在直线x n =上，点(,),(,)C n c D n d ，则CD c d =-.【引例】⑴点()34A -，到横轴的距离为，到纵轴的距离为．⑵点P 在第二象限内，且点P 到x 轴的距离是4，到y 轴距离是3，那么点P 的坐标是．【解析】 ⑴4，3；⑵()34-，.【例6】 ⑴ 点A 到x 轴的距离为1，到y 轴的距离为3，该点坐标为．⑵ 在平面直角坐标系中，点(),P a b 到直线2x =的距离为3，则a 的值为（）A ．5B ．1-C ．5或1-D ．5-或1 （人大附中期中） ⑶ 若x 轴上的点P 到y 轴的距离为3，则点P 的坐标为（）．A ．()30，B ．()30，或()30-，C ．()03，D ．()03，或()03-，（西外期中）⑷ 点()31A ，到直线1x =-的距离为，到直线1y =-的距离为． ⑸ 点()211M a a +-，到直线1y =的距离为1，求M 的坐标． ⑹ 已知点(2,3),(,)P Q m n①若PQ x ∥轴，则m n ；PQ = ②若PQ y ∥轴，则m n ；PQ =【解析】 ⑴（3，1）、（3，1-）、（3-，1）、（3-，1-）；⑵ C ； ⑶ B ； ⑷ 4，2；⑸ (1)11a --=，∴1a =±，∴点M 的坐标为（3，0）或（1-，2）． ⑹①2,3m n ≠= 2PQ m =-；②2,3m n =≠ 3PQ n =-典题精练例题精讲针对第（5）题对点到特殊直线、坐标轴和特殊点的距离问题进行变式.【变式1】点()211M a a +-，到直线2x =的距离为1，求M 的坐标．【解析】 2121a +-=，即211a -=，解得0,1a =∴点M 的坐标为（3，0）或（1，1）【变式2】点()211M a a +-，到坐标轴的距离为3，求M 的坐标．【解析】分类讨论：点到x 轴：13a -=，解得42a =-或，点到y 轴：2+1=3a ，解得=12a -或综上，点M 的坐标为（9，-3）或（-3,3）或（3,0）.【变式3】点()211M a a +-，到点()1,1a a --的距离为3，求M 的坐标．【解析】观察可得这两个点的纵坐标相同，可得21(1)3a a +--= 解得1a =或5-故点M 的坐标为()3,0或()9,6-.注：本题也可变为点()211M a a +-，到点()21,2a a ++的距离为3，求M 的坐标．由题意得()213a a +--=，解得1a =或2a =-. 故点M 的坐标为()3,0或()3,3-.【点评】例6（5）和变式1是为了让学生区分点到平行于x 轴、y 轴的公式计算方法，而变式2是一道典型的需要分类讨论的问题，学生需要考虑全面.【例7】已知：实数a b ，满足()22110a a b ++++=，且以关于x y ，的方程组21ax by m ax by m +=⎧⎨-=+⎩的解为坐标的点()P x y ，在第二象限，求实数m 的取值范围．（2013首师大附中中学期中）【解析】解得1212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ，代入方程组解得()()2213213x m y m ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，由题意得()()221032103m m ⎧-+<⎪⎪⎨⎪-->⎪⎩，解得112m -<<真题赏析题型一平面直角坐标系的基本概念巩固练习【练习1】 ⑴ 点（22a +，1a -）在第一象限，则a的取值范围是．⑵ 在直角坐标系中，点()265P x x --，在第四象限，则x 的取值范围是．⑶ 点()2211a a --+，在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 ⑴ 11a -<<；⑵ 35x <<；⑶ B ．【练习2】 ⑴ 已知()2230x y -++=，则()P x y ，的坐标为，在第象限内．⑵ 若x ，y 满足350x y x y +=⎧⎨-+=⎩，则()A x y ，在第象限．⑶ 如果点()11M x y --，在第二象限，那么点()11N x y --，在第象限． ⑷ 已知点()A m n ，在第二象限，则点()B m n -，在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解析】 ⑴ ()2,3P -，在第四象限；⑵ 二；⑶ 三；⑷ D ．题型二坐标平面内的特殊直线巩固练习【练习3】 ⑴ 若点113A m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第二象限的角平分线上，则m = ．⑵ 点12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第三象限的角平分线上，则a = ；⑶ 若点M 在第一、三象限的角平分线上，且点M 到x 轴的距离为2，则点M 的坐标是( )A ．()22，B ．()22--，C ．()22，或()22--，D ．()22-，或()22-，【解析】 ⑴ 3； ⑵ 12-；⑶ C ．【练习4】 ⑴ 点A 的坐标为()31-，，点B 的坐标为()33，，则线段AB 所在的直线与x 轴的位置关系是．⑵ 已知：()40A ，，点C 在x 轴上，且5AC =．则点C 的坐标为． ⑶ 已知：点A 坐标为()23-，，过A 作AB x ∥轴，则B 点纵坐标为（）A ．2B ．3-C ．1-D ．无法确定⑷ 线段AB 的长度为3且平行于x 轴，已知点A 坐标为()25-，，则点B 的坐标为 .【解析】 ⑴ 垂直；⑵ ()()1090-，，，； ⑶ B ；复习巩固⑷ ()()1555---，，，题型三点到线的距离巩固练习【练习5】 ⑴ 点()54P -，到x 轴距离为，到y 轴距离为．⑵ 点P 在第二象限内，且点P 到x 轴的距离是4，到y 轴距离是3，那么点P 的坐标是（）A ．()43-，B ．()43-，C ．()34-，D ．()34-，（北京27中期中）⑶ 若点()P a b ，到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是3，则这样的点P 有（） A ．1个 B ．4个 C ．3个 D ．2个⑷ 已知点()236P a a -+，，且点P 到两坐标轴的距离相等，则点P 的坐标是． ⑸ 点()2,3-到直线2y =的距离为，到直线7x =-的距离为 .【解析】⑴ 4，5；⑵ C ；⑶ B ；⑷ ()33，或()66-，；⑸ 1，5．第十四种品格：信念信念是脊梁，支撑着不倒的灵魂；信念是明灯，照耀着期盼的心灵；信念是路标，指引着前进的方向。

学而思初一数学春季班第7讲-目标中考满分班-教师版

不等式2级含参不等式不等式3级不等式的应用方程6级不等式4级方程与不等式综合应用春季班第八讲春季班第五讲一半吗？漫画释义满分晋级阶梯7不等式的应用编写思路：本讲主要训练学生寻找题目中不等关系的能力。

当题目中涉及多个不等关系的时候，通过列不等式组、解不等式组解答。

对于题目中表示不等关系的字眼，让学生充分理解和体会，正确列出不等式。

对于通过图形给出的不等关系，联系结论和图形，找到不等关系。

列一元一次不等式（组）解决实际问题的一般步骤：审：分析题意，弄清题目中的相等关系和不等关系；设：用字母（如x ）表示题目中的未知数；列：根据数量关系列出不等式（组）；解：解不等式（组），求出未知数的取值范围；答：检验所求出的解或解集是否符合题意，写出答案．【引例】某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A 、B 两种型号的车可供调用，已知A 型车每辆可装20吨，B 型车每辆可装15吨，在每辆车不超载的条件下，把300吨物资装运完．问：例题精讲思路导航知识互联网题型一：一元一次不等式的应用在已确定调用5辆A 型车的前提下至少还需调用B 型车多少辆？【解析】设至少还需要B 型车x 辆，依题意得：20515300x ⨯+≥解得1133x ≥，∴14x =，答：至少还需要调用B 型车14辆.【例1】 ⑴ 亮亮准备用节省的零花钱买一台复读机，他已存有45元，计划从现在起以后每月节省30元，直到他至少有300元．设x 个月后他至少有300元，则符合题意的不等式是（） A ．3045300x +≥ B ．3045300x -≥ C ．3045300x +≤ D ．3045300x -≤（北京二中分校期中）⑵ 某商品进价是1000元，售价为1500元．为促销，商店决定降价出售，但保证利润率不低于5%，则商店最多降元出售商品.⑶ 某工地实施爆破，操作人员点燃导火线后，必须在炸药爆炸前跑到400m 外安全区域，若导火线燃烧的速度为1.1cm /秒，人跑步的速度为5m /秒，则导火线的长（单位：厘米）应满足的不等式是：．⑷ 我国沪深股市交易中，如果买、卖一次股票均需付交易金额的0.5%作费用．张先生以每股5元的价格买入“西昌电力”股票1000股，若他期望获利不低于1000元，问他至少要等到该股票涨到每股元时才能卖出？（精确到0.01元） ⑸ 甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a 元，又从另一个鱼摊买了两条鱼，平均每条b 元，后来他又以每条2a b+的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（） A ．a b > B ．a b < C ．a b = D ．无关a 、b 大小【解析】 ⑴ A.⑵ 设最多降x 元出售商品根据题意得150010005%1000x --≥，解得450x ≤⑶ 依题意得，操作人员跑的路程大于400米，即54001.1x⋅>．⑷ 设至少涨到每股x 元时才能卖出．根据题意得：1000(50001000)0.5%50001000-+⨯+x x ≥，解这个不等式得1205199x ≥，即 6.06x ≥．⑸A.【拓展】苹果的进价是每千克3.8元，销售中估计有5%的苹果正常损耗．为避免亏本，商家把售价应该至少定为每千克元.x 典题精练【解析】设售价至少为每千克x 元，苹果的总量为m kg ，根据题意得()15% 3.8mx m -≥解得4x ≥，故售价至少为每千克4元.【点评】此题方法为辅助设元法，虽然有关两个未知量，但是可以消去辅助元并求得要求的未知数的范围.根据题意列出几个不等式，分别求解，求出解集，根据具体情况分类讨论．【引例】为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A 、B 两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表：型号占地面积（单位：m 2/个）使用农户数（单位：户/个）造价（单位：万元/个）A15 18 2 B20 30 3已知可供建造沼气池的占地面积不超过2365m ，该村农户共有492户． ⑴ 满足条件的方案共有几种?写出解答过程． ⑵ 通过计算判断，哪种建造方案最省钱．【解析】 ⑴ 设建造A 型沼气池x 个，则建造B 型沼气池()20x -个依题意得：()()152020365183020492x x x x ⎧+-⎪⎨+-⎪⎩≤≥解得：79x ≤≤.∵x 为整数,∴7x =，8 ，9 ，∴满足条件的方案有三种． ⑵ 由⑴知共有三种方案，其费用分别为：方案一：建造A 型沼气池7个，建造B 型沼气池13个，总费用为7213353⨯+⨯=（万元）方案二：建造A 型沼气池8个，建造B 型沼气池12个，总费用为：8212352⨯+⨯=（万元）方案三：建造A 型沼气池9个，建造B 型沼气池11个，例题精讲思路导航题型二：一元一次不等式组的应用总费用为：9211351⨯+⨯=（万元） ∴方案三最省钱．【例2】 ⑴ 已知一个矩形的相邻两边长分别为3厘米和x 厘米，若它的周长小于14厘米，面积大于6平方厘米，则x 的取值范围是．⑵ 如图是测量一颗玻璃球体积的过程：①将300ml 的水倒进一个容量为500ml 的杯子中；② 将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③ 再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（） A ．320cm 以上，330cm 以下 B ．330cm 以上，340cm 以下C ．340cm 以上，350cm 以下 D. 350cm 以上，360cm 以下⑶ 一个小于40的两位数，个位数字比十位数字的2倍小1，如果将个位数字与十位数字对换，对换后所得到的两位数大于50，求原来的两位数.【解析】 ⑴ 依题意得2(3)<143>6+⎧⎨⎩x x ，解得2<<4x ．⑵ 根据图示和物理知识可设每颗玻璃球的体积为x ，得不等式组4300<5005300>500+⎧⎨+⎩x x ，解得：40＜x ＜50，故应选C.⑶ 设十位数字为x ，则个位数字为21x -.根据题意得 10+21<4010(21)+>50x x x x -⎧⎨-⎩，解得652<<3712x因为x 是整数，所以=3x .故原来的两位数是35.【例3】 “六一”期间，各商场举行“六一欢乐购”的促销活动.在甲商场一次性购物超过100元，超过部分8折优惠；在乙商场一次性购物超过50元，超过部分9折优惠.两个商场恰好都有小明所需要的商品.⑴如果小明要买的东西是160元，去哪个商场会便宜一些？⑵请你帮小明计算一下购物为多少元时在乙商场比在甲商场便宜？【解析】 ⑴甲;⑵设小明购物为x 元，①当050x <≤时，甲乙两商场一样；典题精练②当50x <≤100时，由已知可知乙商场便宜；③当100x >时，由题意可知甲商场总价为 1000.8(100)0.820x x +-=+，乙商场总价为500.9(50)0.95x x +-=+；由题意可知，乙比甲便宜可得：0.950.820x x +<+ 解得100150x <<综上所述，②③符合条件可得50150x <<.【例4】某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召，计划生产A 、B 两种型号的冰箱100台．经预算，两种冰箱全部售出后，可获得利润不低于 4.75万元，不高于4.8万元，两种型号的冰箱生产成本和售价如下表：⑴ 冰箱厂有哪几种生产方案？⑵ 该冰箱厂按哪种方案生产，才能使投入成本最少？“家电下乡”后农民买家电（冰箱、彩电、洗衣机）可享受13%的政府补贴，那么在这种方案下政府需补贴给农民多少元？【解析】 ⑴ 设生产A 型冰箱x 台，则B 型冰箱为()100x -台，由题意得：47500(28002200)(30002600)(100)48000-+--⨯x x ≤≤，解得：37.540x ≤≤.x 是正整数，∴x 取38，39或40．⑵ 设投入成本为y 元，由题意有：22002600(100)400260000y x x x =+-=-+（方法一）将x =38、x =39、x =40分别代入上式，求出当40x =时，y 有最小值．即生产A 型冰箱40台，B 型冰箱60台，该厂投入成本最少. （方法二）22002600(100)400260000y x x x =+-=-+ ∵4000-<,∴y 随x 的增大而减小. ∴当40x =时，y 有最小值．即生产A 型冰箱40台，B 型冰箱60台，该厂投入成本最少. 此时，政府需补贴给农民(280040300060)13%37960()+=⨯⨯⨯元注意：学生未学一次函数，教师可根据班级学生掌握情况自行选择解法.根据题意设未知数，按照等量关系列出方程（组），并求解，从而为列不等式做准备．【例5】商场正在销售帐篷和棉被两种防寒商品，已知购买1顶帐篷和2床棉被共需300元，购买2顶帐篷和3床棉被共需510元.⑴ 求1顶帐篷和1床棉被的价格各是多少元？⑵ 某学校准备购买这两种防寒商品共80件，送给青海玉树灾区，要求每种商品都要购买，且帐篷的数量多于棉被的数量，但因为学校资金不足，购买总金额不能超过8500元，请问学校共有几种购买方案？（要求写出具体的购买方案）（北师大附中期中）【解析】 ⑴ 设一顶帐篷x 元，一床棉被y 元，由题意得：230023510+=⎧⎨+=⎩x y x y ，解得：12090=⎧⎨=⎩x y .∴一顶帐篷120元，一床棉被90元.⑵ 设准备购买帐篷a 顶，那么购买棉被()80a -床，根据题意可知：()12090808500+-a a ≤，解得1433a ≤，∵帐篷的数量多于棉被的数量且a 为正整数，∴a =43、42、41.所以购买方案有三种：方案一：购买帐篷43顶，棉被37床，购买总金额8490元；方案二：购买帐篷42顶，棉被38床，购买总金额8460元；方案三：购买帐篷41顶，棉被39床，购买总金额8430元.【例6】学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大车或30座小车．若租用1辆大车2辆小车共需租车费1000元；若租用2辆大车1辆小车共需租车费1100元． ⑴求大、小车每辆的租车费各是多少元？⑵若每辆车上至少要有一名教师，且总租车费用不超过2300元，求最省钱的租车方案．【解析】 ⑴ 设大车每辆的租车费是x 元、小车每辆的租车费是y 元．可得方程组2100021100x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得400300x y =⎧⎨=⎩答：大车每辆的租车费是400元、小车每辆的租车费是300元．典题精练思路导航题型三：方程（组）与一元一次不等式（组）的应用⑵ 由每辆汽车上至少要有1名老师，汽车总数不能大于6辆；由要保证240名师生有车坐，汽车总数不能小于234648=459+辆，综合起来可知汽车总数为6辆．设租用m 辆大车，6m -辆小车则租车费用400300(6)Q m m =+-1001800m =+，依题意有：45+30(6)24010018002300m m m -⎧⎨+⎩≥≤，解得45m ≤≤，所以有两种租车方案，方案一：4辆大车，2辆小车；方案二：5辆大车，1辆小车．观察式子发现m 越大，Q 越大， ∴当4m =时，Q 最少为2200元．故最省钱的租车方案是：4辆大车，2辆小车．【例7】某养鸡场计划购买甲、乙两种小鸡苗共2000只进行饲养，已知甲种小鸡苗每只2元，乙种小鸡苗每只3元.⑴ 若购买这批小鸡苗共用了4500元，求甲、乙两种小鸡苗各购买了多少只； ⑵ 若购买这批小鸡苗的钱不超过4700元，问应选购甲种小鸡苗至少多少只；⑶ 相关资料表明：甲、乙两种小鸡苗的成活率分别为94%和99%，若要使这批小鸡苗的成活率不低于96%且买小鸡的总费用最小，问应选购甲、乙两种小鸡苗各多少只，总费用最小是多少元. （清华附中期末考试）【解析】 ⑴设甲、乙两种小鸡苗各购买了x 只、(2000)x -只，根据题意得 23(2000)4500x x +-=解得 1500x =故甲种小鸡苗购买了1500只，乙种购买了500只.⑵设应选购甲种小鸡苗至少x 只，根据题意得23(2000)4700x x +-≤ 解得1300x ≥真题赏析故应选购甲种小鸡苗至少1300只； ⑶设应选购甲种小鸡苗x 只，根据题意得94%99%(2000)96%2000x x +-≥解得1200x ≤又总费用23(2000)6000W x x x =+-=- 则当1200x =时总费用最小为4800元.故应选购甲种小鸡苗1200只，乙种小鸡苗800只；总费用最小是4800元.以下对分配问题进行变式和拓展，供教师选择讲解.【拓展1】若干名学生分宿舍，每间4人余20人，每间8人，其中一间不空也不满，则宿舍有间，学生有人.【解析】设宿舍有x 间，则学生有420x +人，根据题意可得不等式04208(1)8x x <+--<解得5＜x ＜7 因为x 为整数，所以x=6. 故宿舍有6间，学生有44人.【变式】若干名学生分宿舍，每间4人余20人，每间8人，则有一个房间还有空位.学校可能有几间房可安排多少学生住宿? 【解析】设有x 间房间，根据题意得()0420818x x +--<≤ 解得57x <≤.∴67x =，.当6x =时，共有44人；当7x =时，共有48人.【点评】宿舍分配问题重点分析第二个条件，根据语意列出准确的不等式. 不空也不满，意思是最后一个房间学生人数不能为0也不能为8，即可得到不等关系两边均取不到等号；而变式中还有空位，意思是最后一个房间学生人数可以为0，但不能为8.【拓展2】把一盒苹果分给几个学生，若每人分4个，则剩下3个；若每人分6个，则最后一个学生能得到苹果但不超过2个，则学生人数是 . 【解析】设有学生x 个，则苹果数有43x +个，则0436(1)2x x <+--≤解得3.5 4.5x <≤， ∵x 是整数， ∴4x =． ∴学生人数是4．【变式】把m 个练习本分给n 个学生，如果每人分3本，那么余80本；如果每人分5本，那么最后一个同学有练习本但不足5本，n 的值为 .（清华附中期末考试）【解析】根据题意得380m n =+ 03805(1)5n n <+--< 解得4042.5n << ∴41,42n =当41n =时，练习本为203个；当42n =时，练习本为206个.【变式】幼儿园几个小孩分一箱苹果，每人分3个，则余7个；每人分5个，最后一个分到的苹果不足5个，问：有多少个小孩？多少个苹果？【解析】设有x 个小孩，则()037515≤x x +--< 解得3.56≤x <. ∴ 45，x =或6.当4x =时，苹果个数为19个. 当5x =时，苹果个数为22个. 当6x =时，苹果个数为25个.【点评】注意区别这三道题中由于题目条件的变化引起的不等符号的变化. 如“不超过2个”，即大于等于0且小于等于2；“有但不足5个”，即大于0且小于5，两边都不可取等号；而条件变成“不足5个”，那么意思就是大于等于0且小于5. 建议教师给学生多练习这样的条件，一定要注意何时能取等号.【拓展3】我校八年级安排部分同学外出社会实践活动，并将他们编成8个组，如果分配给每组的人数比预定人数多1名，那么外出学生总数超过100人；如果每组分配的人数比预定人数少1名，那么外出学生人数不到90人，则预定每组分配的人数为 . 【解析】设预定每组分配x 人，根据题意得：8(1)1008(1)90x x +>⎧⎨-<⎩∵x 为整数， ∴12x =．【拓展4】韩日“世界杯”期间，重庆球迷一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A 、B 两个出租车队，A 队比B 队少3辆车，若全部安排乘A 队的车，每辆坐5人，车不够，每辆坐6人，有的车未满；若全部安排B 队的车，每辆车4人，车不够，每辆坐5人，有的车未满，则A 队有出租车（）A 、11辆B 、10辆C 、9辆D 、8辆【解析】B; 设A队有出租车x辆，B队有(3)x+辆依题意可得5566564(3)565(3)56xxxx<⎧⎪>⎪⎨+<⎪⎪+>⎩；化简得111519311185xxxx⎧<⎪⎪⎪>⎪⎨⎪<⎪⎪>⎪⎩解得19113x<<，∵x为整数，∴10x=，故选B.另解：由题意可得不等式组为5656655656354xx⎧<<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩.【点评】此题其实不难，和前面的题目不同的是人数是已知的，只是根据语言环境确定不等关系.关键抓住不等关系的语句，列出不等式并且答案要使实际问题有意义.题型一一元一次不等式的应用巩固练习【练习1】某学校准备添置一些“中国结”挂在教室．若到商店去批量购买，每个“中国结”需要10元；若组织一些同学自己制作，每个“中国结”的成本是4元，无论制作多少，另外还需共付场地租金200元．亲爱的同学，请你帮该学校出个主意，用哪种方式添置“中国结”的费用较节省？【解析】设需要中国结x个，则直接购买需10x元，自制需(4200)x+元．分两种情况：⑴若104200x x+≤，得1333x≤，即少于等于33个时，到商店购买更便宜；⑵若104200x x>+，得1333x>，即多于33个时，自已制作更便宜．答：当添置“中国结”少于等于33个时，到商店购买更便宜；当添置“中国结”多于33个时，自已制作更便宜．题型二一元一次不等式组的应用巩固练习【练习2】乘坐益阳市某种出租汽车，当行驶路程小于2千米时，乘车费用都是4元（即起步价4元）；当行驶路程大于或等于2千米时，超过2千米部分每千米收费1.5元．按常规，乘车付费时按计费器上显示的金额进行“四舍五入”后取整（如记费器上的数字显示范围大于或等于复习巩固9.5而小于10.5时，应付车费10元），小红一次乘车后付了车费8元，请你确定小红这次乘车路程的范围．【解析】设小红这次乘车路程为x 千米，由题意知费用应为4 1.5(2)x +-元，即1.51x +（2x ≥）元．因为8介于7.5至8.5范围内，所以7.5 1.518.5x +<≤，解得1353x <≤．答：小红这次乘车路程的范围是1353x <≤千米．【练习3】响应“家电下乡”的惠农政策，某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍，购买三种电冰箱的总金额不超过．．． 132000元．已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为：1200元/台、1600元/台、2000 元/台．⑴ 至少购进乙种电冰箱多少台？⑵ 若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数，则有哪些购买方案？【解析】 ⑴ 设购买乙种电冰箱x 台，则购买甲种电冰箱2x 台，丙种电冰箱(803)x -台.由题意得：120021600(803)2000132000x x x ⨯++-⨯≤ 解得：14x ≥.∴至少购进乙种电冰箱14台．⑵ 根据题意，得2803x x -≤，解得：16x ≤．由⑴知14x ≥． ∴1416x ≤≤．又∵x 为正整数， ∴141516x =，，．所以，有三种购买方案：方案一：甲种电冰箱为28台，乙种电冰箱为14台，丙种电冰箱为38台；方案二：甲种电冰箱为30台，乙种电冰箱为15台，丙种电冰箱为35台；方案三：甲种电冰箱为32台，乙种电冰箱为16台，丙种电冰箱为32台．题型三方程（组）与不等式（组）的应用巩固练习【练习4】某班到毕业时共结余经费1800元，班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品，其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件文化衫或一本相册作为纪念品．已知每件文化衫比每本相册贵9元，用200元恰好可以买到2件文化衫和5本相册．⑴ 求每件文化衫和每本相册的价格分别为多少元？⑵ 有几种购买文化衫和相册的方案？哪种方案用于购买老师纪念品的资金更充足？【解析】 ⑴ 设文化衫和相册的价格分别为x 元和y 元，则925200x y x y -=⎧⎨+=⎩解得3526x y =⎧⎨=⎩．答：一件文化衫和一本相册的价格分别为35元和26元． ⑵ 设购买文化衫t 件，则购买相册(50)t -本，则15003526(50)1530t t +-≤≤，解得20023099t ≤≤． ∵t 为正整数，∴t =23，24，25，即有三种方案．第一种方案：购文化衫23件，相册27本，此时余下资金293元；第二种方案：购文化衫24件，相册26本，此时余下资金284元；第三种方案：购文化衫25件，相册25本，此时余下资金275元；所以第一种方案用于购买教师纪念品的资金更充足．【练习5】为了解决农民工子女就近入学问题，我市第一小学计划2012年秋季学期扩大办学规模．学校决定开支八万元全部用于购买课桌凳、办公桌椅和电脑，要求购买的课桌凳与办公桌椅的数量比为20:1，购买电脑的资金不低于16000元，但不超过24000元．已知一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元，用2000元恰好可以买到10套课桌凳和4套办公桌椅．（课桌凳和办公桌椅均成套购进）（1）一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为多少元？（2）求出课桌凳和办公桌椅的购买方案.【解析】 ⑴ 设一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为x 元、y 元，得=+8010+4=2000y x x y ⎧⎨⎩ 解得120200x y =⎧⎨=⎩∴一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为120元、200元（2）设购买办公桌椅m 套，则购买课桌凳20m 套，由题意有16000800001202020024000m m -⨯-⨯≤≤ 解得，7821241313m ≤≤∵m 为整数，∴22m =、23、24，有三种购买方案：第十四种品格：信念我想有一座农场因为父亲是位马术师，一个男孩必须跟着父亲走南闯北东奔西跑。

学而思初一数学寒假班第1讲.实数初步.学生版 (2)

实数8级实数的计算与化简实数7级实数初步实数6级绝对值“实数”的风波漫画释义满分晋级阶梯1实数初步题型切片（三个）对应题目题型目标平方根的定义与性质例1；例2；例3；例8；演练1，2，3；立方根的定义与性质例4；例5；演练4,5；实数例6；例7；演练6定义示例剖析平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根．也就是说，若2x a=，则x就叫做a的平方根．()224±=，2±就叫做4的平方根平方根的表示：一个非负数a的平方根可用符号表示为“a±”．5的平方根可表示为5±总结：一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根.知识导航模块一平方根的定义与性质知识互联网题型切片对新概念的理解能力【例1】 ⑴ 求下列各数的平方根与算术平方根：①4964； ②0.0001； ③5； ④()23-； ⑤16.⑵ 求下列各式的值：①25； ②0.01±； ③169-； ④()22-； ⑤()26-； ⑥416a⑶ 解关于x 的方程：①2449x =； ②231080x -=；③()225136x -=⑷ 比较下列各数大小：①2___3 ②2___3 ③140___12⑸ 一个正数的平方根是31a +和5，则a =_________.算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根，规定：0的算术平方根为0．4的平方根是2±，其中2叫做4的算术平方根.算术平方根的表示：一个非负数a 的算术平方根可用符号表示为“a ”． 5的算术平方根可表示为5 双重非负性：在式子a 中，0a ≥且0a ≥.式子1x -有意义，101x x -≥≥，总结：一个正数有一个算术平方根；零的算术平方根是零；负数没有算术平方根. 平方根计算：求一个数的平方根的运算，叫做开平方（开方），开方运算和平方运算互为逆运算.()()20,a a a =≥()2(0)||00(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩夯实基础非负性的考查【例2】 ⑴ 若230x y ++-=，则xy 的值为（）A ．8-B ．6-C ．5D ．6 （北京中考）⑵若()24a -与5b +的值互为相反数，则2a b +的平方根是 . ⑶若()22320070a b c -+-+-=，求()22ca b -的值．综合应用能力【例3】 ⑴已知225(1)2005x xy x -+-=+-⋅，求x y 的值.⑵已知2211604n m m m-++-=-，则2mn n +-的倒数的算术平方根为_______.⑶已知20102011a a a -+-=，求22010a -的值.知识导航模块二立方根的定义与性质能力提升对新概念的运用能力【例4】 ⑴ 求下列各数的立方根：①1-； ②8； ③338； ④64； ⑤ ()25-；⑵ 比较大小①310 311； ②9 327⑶ 求出下列各式中的a ：①若30.343a =，则a = ； ②若33213a -=，则a = ； ③若31250a +=，则a = ；④若()318a -=，则a = ．⑷ 下列四种说法中，正确的是（）A 、33x -没有意义B 、一个数的某个平方根恰与它的立方根相等，这个数一定是0C 、一个正数有两个立方根D 、互为相反数的立方根也互为相反数考查综合运用能力定义示例剖析立方根概念：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也就是说，若3,x a =则x 就叫做a 的立方根.328=， 2就叫做8的立方根表示：一个数a 的立方根可用符号表示3a ，3a 读作“三次根号a ”.5的立方根可表示为35总结：任何一个数都有立方根，且只有一个立方根.正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0.计算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算.()333333,,a a a a a a ==-=-夯实基础能力提升【例5】 ⑴3311x x -+-中的x 的取值范围是，11x x -+-中的x 的取值范围是．⑵ 若331y -和312x -互为相反数，求xy的值.对新概念的运用能力【例6】 ⑴ 下列说法正确的个数为（）定义示例剖析无理数：无限不循环小数叫无理数332523-π，，，，…都叫做无理数实数：有理数和无理数统称实数.5和35都是实数实数与数轴的关系：实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.分类：0⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎪⎪⎪⎧⎫⎪⎨⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎭⎩⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数正分数实数分数有限小数或无限循环小数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数夯实基础知识导航模块三实数①无理数都是实数 ②实数都是无理数 ③无限小数都是无理数 ④带根号的数都是无理数 ⑤没有绝对值最小的实数A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个⑵ 在33320.318127 3.1470.4829 1.020020002...90.523π------，，，，，，，，，，中，无理数有_________个.⑶ 求下列各数的相反数及绝对值：①6-；② 3.14π-；③312-；④32-⑷ 已知x 是4的平方根，32y =-，25z =，求2x y z +-的值.实数与数轴的一一对应关系【例7】 ⑴如图所示，在点A 和点B 之间表示整数的点共有_________个.5-3B A⑵如图所示，数轴上表示1，2的对应点分别为A 、B ，点C 到点A 的距离与点B 到点A 的距离相等，则C 所表示的数是（） A 、21- B 、12- C 、22- D 、22-无理数的估算问题【铺垫】⑴ 若404m =-，则估计m 的范围为（）A.1<<2mB.2<<3mC.3<<4mD.4<<5m（实验中学期中）真题赏析能力提升B A O 221⑵ 若实数k 的整数部分是3，则k 的取值范围是___________.⑶ 观察例题：∵4<7<9，即2<7<3， ∴7的整数部分为2，小数部分为72-. 请你观察上述的规律后试解下面的问题：如果2的小数部分为a ，3的小数部分为b ，求a b ，的值.【例8】（2012海淀期末考试）阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算13的近似值。

学而思初一数学暑假班第4讲.乘方、科学记数法与有理数混合运算.学生版

定义示例剖析概念：求n 个相同因数的积．．．．．．的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数．含义：n a 中，a 为底数，n 为指数，即表示a 的个数，n a 表示有n 个a 连续相乘．53表示5个3相乘，即：33333⨯⨯⨯⨯，5(3)-表示5个(3)-相乘，即：(3)(3)(3)(3)(3)-⨯-⨯-⨯-⨯-， 53-表示5个3相乘的相反数，即：(33333)-⨯⨯⨯⨯537⎛⎫⎪⎝⎭表示5个37相乘，即：3333377777⨯⨯⨯⨯， 537表示5个3相乘再除以7，即：333337⨯⨯⨯⨯“奇负偶正．．．．”口诀的应用：口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：⑴ 多重符号的化简，这里奇偶指的是“-”号的个数是奇数个还是偶数个．当有奇数个负号时，结果为负，有偶数个负号时，结果为正．⑵ 有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，当有奇数个负因数时，结果为负，有偶数个负因数时，结果为正．⑶ 有理数乘方，这里奇、偶指的是指数是奇数还是偶数．当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正．例如：[](3)3---=-；[](3)3-+-=例如：(3)(2)(6)36-⨯-⨯-=-，而(3)(2)(6)36-⨯-⨯+=．例如：2(3)9-=，3(3)27-=-特别地：当n 为奇数时，()n n a a -=-；而当n 为偶数时，()n n a a -=．()211-=()311-=-模块一有理数乘方4乘方、科学记数法与有理数的混合运算负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；正数的任何次幂都是正数，1的任何次幂都是1．规定：任何不为0的数的0次幂都是“1”，即()010a a =≠．815⎛⎫= ⎪⎝⎭注意：负数及分数的乘方，应把底数加上括号．【例1】把下列各式写成乘方运算的形式：⑴ 111111444444⨯⨯⨯⨯⨯ ⑵ ()()()()()1333335⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⑶ 222227⨯⨯⨯⨯ ⑷ ()()66666-⨯⨯-⨯⨯-⑸ ()()()()n a ba b a b a b a b +++++L 1444442444443个【例2】计算下列各题：⑴ ()43- ⑵ 43- ⑶ 332⎛⎫- ⎪⎝⎭⑷ 332-【例3】 ⑴ 下列各数互为相反数的是（）A ．23与32-B ．23与()23-C ．23与23-D ．23-与()23--⑵ 下列各式中，计算结果得0的是（）A ．()2222+- B ．2222-- C ．221122⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D ．221122⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⑶ 计算()()2007200822-+-所得结果为（）．A ．20072B ．()20072- C ．20072- D ．2-（北京四中期中）【例4】 ⑴ 如果a 为有理数，那么下列各式一定为正数的是（）A ．2008aB ．2008aC ．20081a +D ．||a（三帆中学期中）⑵ 若23(2)x y -=--，则x y +=（）能力提升夯实基础A ． 5B ． 1C ． 5-D ． 1- ⑶ 若23(2)0m n ++-=，则2007()m n +的值等于．（北京四中期中）⑷ 若()23110a b ++-=，则()100a b +-=_______．（北大附中期中）⑸ 已知：a 、b 、c 是有理数，满足215(51)0a b c -+++-=，求()127a b c ⨯⨯值．【例5】 ① 填空：12344950-+-++-=L L ；123499100101-+-++-+=L L ；② 计算：()112341n n +-+-++-⨯L L（北京四中期中）【例6】下图中各数均为有理数，各行、各列以及两条对角线上三个数之和都相等，试计算33(3)(28)b c g b c d e f -+----++-的值．gf e d c b a 32【例7】设234922221335579799S =++++⨯⨯⨯⨯L ，248122235799T =++++L ，则S T -=（） A ．49299 B ．492199- C ．492199- D ．492199+探索创新【例8】三个互不相等的数，可以表示成1，a b +，a 的形式，也可以表示成0，ba，b 的形式，那么20122011a b +=【例9】 ⑴ 3221122|3|0323⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⨯-+-⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（人大附中期中）⑵ ()()221313524042354⎡⎤⎛⎫-⨯--⨯---⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦÷（北京师范大学附属实验中学期中）⑶ ()2221153222⎛⎫-⨯-÷-⨯+ ⎪⎝⎭（北大附中期中）⑷ ()()()232234233⎡⎤-+-⨯-+--÷⎣⎦（北京四中期中）⑸ ()22221158.53242⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫-----⨯-÷-⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩⎭模块二有理数混合运算定义示例剖析科学记数法：把一个大于10的数表示成10na ⨯的形式（其中110a <≤，n 是正整数．．．．），此种记法叫做科学记数法．例如：5200000210=⨯就是科学记数法表示数的形式．710200000 1.0210=⨯也是科学记数法表示数的形式．有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止所有数字．．．．都是这个数的有效数字．如：0.00027有两个有效数字：2，7；1.2027有5个有效数字：1，2，0，2，7．记忆方法：移动几位小数点问题．比如：1800000要用科学记数法表示，实际就是小数点向左移动到1和8之间，移动了6位，故记为61.810⨯．易错点：万410=，亿810=常考点及易错点：科学记数法中的单位转换，精确到什么位与保留有效数字的差别．【例10】 ⑴ 国家游泳中心——“水立方”是北京2008年奥运会场馆之一，它的外层膜的展开面积给是260000平方米，将260000用科学记数法表示应为（） A ．60.2610⨯ B ．42610⨯ C ．62.610⨯ D ．52.610⨯（北京中考）⑵ 截止到2008年5月19日，已有21600名中外记者成为北京奥运会的注册记者，创历届奥运会之最，将21600用科学记数法表示应为（）A ．50.21610⨯B ．321.610⨯C ．32.1610⨯D ．42.1610⨯（北京中考）⑶ 改革开放以来，我国国内生产总值由1978年的3645亿元增长到2008年的300670亿元．将300670用科学记数法表示应为（）A ．60.3006710⨯B ．53.006710⨯C ．43.006710⨯D ．430.06710⨯（北京中考）【例11】 ⑴ 已知：51.110a =⨯，31.210b =⨯，45.610c =⨯，25.6110d =⨯，将a ，b ，c ，d 按从小到大顺序排列正确的是（） A ．a b c d <<< B ．d b c a <<< C ．d c b a <<< D ．a c b d <<< ⑵ 下列说法正确的是（）A ．近似数3.00与近似数3.0的精确度相同B ．近似数22.410⨯与近似数240中都有三个有效数字夯实基础模块三科学记数法·有效数字C．近似数0.0147与近似数23.6中有效数字的个数相同D．69.593四舍五入精确到个位，所得近似数有一个有效数字能力提升【例12】1．指出下列各近似值精确到哪一位：⑴56.3；⑵ 5.630；⑶65.6310⨯；⑷ 5.630万；⑸0.017；⑹38002．指出下列近似数有几个有效数字：⑴0.319；⑵0.0170；⑶0.25037；⑷ 4.46万；⑸85.2910⨯；⑹38.7【例13】用四舍五入法，按照括号内的要求求出下列各数的近似值：⑴0.02466（精确到千分位）；⑵4⨯（保留三个有效数字）；2.67910⑶1.967（精确到0.1）；⑷5247.9（保留两个有效数字）；⑸4.79651（精确到百分位）；⑹4.79651（精确到0.1）；⑺479651（保留四个有效数字）；⑻0.035741（保留三个有效数字）．知识模块一有理数乘方课后演练【演练1】一根1m 长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第六次以后剩下的绳子的长度为（）A ．31m 2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．51m 2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．61m 2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．121m 2⎛⎫ ⎪⎝⎭【演练2】用“>”、“<”或“=”填空：⑴ 42(2)_____(4)--； ⑵ 355_____(3)--；⑶ 21____0m +（m 为有理数）； ⑷ 45____a a （0a <）； ⑸ 23- ()32-； ⑹ 3|3|- ()23-； ⑺ ()20.2- ()40.2-； ⑻ 212⎛⎫⎪⎝⎭213⎛⎫ ⎪⎝⎭．【演练3】 ⑴ 一个数的偶数次幂和它的奇数次幂互为相反数，这个数是（）A ．lB ．1-C ．l 或0D ．1-或0（北京三帆期中）⑵ 在()31-，()21-，22-，()23-这四个数中，最大的数与最小的数的和等于． ⑶ 已知()22a -与|3|b +互为相反数，则|2|a b -的值是（）A ．8-B ．8C ．8±D ．7知识模块二有理数混合运算课后演练【演练4】 ⑴ ()()()()3331113323326⎛⎫⎛⎫--+---⨯-÷--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑵ 2129312323⎛⎫÷+-⨯+ ⎪⎝⎭⑶ ()()()42423237⎡⎤⎡⎤--⨯-÷-+-⎣⎦⎣⎦实战演练⑷ ()211110.51233⎡⎤⎛⎫⎡⎤----⨯⨯-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦知识模块三科学记数法·有效数字课后演练【演练5】 ⑴ 2009年10月5日，为期10天的第七届中国花卉博览会圆满闭幕．展会期间，花博会主展馆及室外展区、国际鲜花港与和谐广场三大功能展区组团游客数量达到180万人次．请你将180万人次用科学记数法表示为（）人次．A ．51.810⨯B ．70.1810⨯C ．61.810⨯D ．51810⨯（北京四中期中）⑵ 我国18岁以下的未成年人约有367000000人，此数据用科学记数法表示为_________．（北大附中期中）【演练6】 ⑴ 国家财政收入达到11377亿元，用四舍五入法保留两个有效数字的近似值为（）亿元．A ．41.110⨯B ．51.110⨯C ．311.410⨯D ．11000（人大附中期中）⑵ 根据要求，用四舍五入法取下列各数的近似数． ① 1.4149≈ （精确到百分位）； ② 3952≈ （保留两位有效数字）．（北京师范大学附属实验中学期中）。