七年级数学平方差公式
北师大版数学七年级下册1.5《平方差公式》说课稿1
北师大版数学七年级下册1.5《平方差公式》说课稿1一. 教材分析《平方差公式》是北师大版数学七年级下册第1章第5节的内容。
这一节主要介绍平方差公式的概念、推导过程及其应用。
平方差公式是初等数学中的一个重要公式，它不仅在代数学习中占有重要地位，而且在解决实际问题中也有着广泛的应用。
本节课的内容为后续学习完全平方公式、二次方程等知识打下基础。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了有理数的乘法运算，对因式分解有一定的了解。
但是，对于平方差公式的推导过程和应用，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要从学生的实际出发，引导他们通过观察、分析、归纳等方法，自主探索并掌握平方差公式。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握平方差公式的概念和推导过程，能够运用平方差公式进行简单的计算和问题求解。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生自主探索和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于挑战、积极进取的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：平方差公式的推导过程和应用。
2.教学难点：平方差公式的推导过程，以及如何运用平方差公式解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、启发式教学法，引导学生通过观察、分析、归纳等方法，自主探索平方差公式。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学工具，结合几何画板等软件，直观展示平方差公式的推导过程。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引发学生对平方差公式的思考，激发他们的学习兴趣。
2.自主探索：引导学生观察、分析实际问题，鼓励他们尝试用自己的方法解决。
3.小组讨论：学生分组讨论，分享各自的方法和思路，互相学习，共同进步。
4.讲解与示范：教师对学生的方法进行点评，并进行平方差公式的讲解和示范。
5.练习与反馈：学生进行课堂练习，教师及时给予反馈，巩固所学知识。
6.拓展与应用：引导学生运用平方差公式解决实际问题，提高他们的应用能力。
七年级数学乘法公式-教案
1欢迎。
下载乘法公式【知识梳理】 （一）平方差公式1．平方差公式： a b a b a 2 b 2 2．平方差公式的特点：（ 1） 左边是两个项式相乘，两项中有一项完全相同，另一项互为相反数 （ 2） 右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方） （3） 公式中的a,b 可以是具体的数，也可是单项式或多项式表达式3． 平方差公式 语言叙述用于计算 逆用公式二）完全平方公式22ab b 22．完全平方公式的特点：号内而像是种每一项的平方，中间一项为左边二项式中两项乘积的 式可由语言表述为：首平方，尾平方，两项乘积在中央 . 3．公式的恒等变形及推广：222（ 1） a b b a a b22( 2)a b a b4．完全平方公式的几种常见变形：2 2 2 2 ( 1) a 2 b 2a b 2ab a b 2ab在公式 a b a 2 2abb 2中, 左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式 . 其中有两项是左边括 应用1．完全平方公式： a2b 22ab b 22 倍，其符号由左边括号内的符号决定 . 本公a b 2 a b a b a b2(2) ab2 2(3) a b 2a b 2 4ab(4) 2 2a b a b 4ab(5) a 2b c 2 a b2c22ab 2ac 2bc5•其他：（拓展内容）a b 3, a b 3 ,a3b3, a3b3完全平方公式的表示完全平方公式的结构特征完全平方公式的应用完全平方公式的变形【典型例题分析】（一）平方差公式题型一：【例1】请根据下图图形的面积关系来说明平方差公式【例2】判断下列各式能否用平方差公式计算，如果不能，应怎样改变才能使平方差公式适用?1 1(1) 2a b a 2b ( 2) 2a 3b 2b 3a ( 3) 3m 2 3m 23 3【分析】应用公式时，应首先判断能不能运用公式，必须是两个二项式相乘；这两个二项式要符合公式特征，公式中的“ a”，“b”与位置、自身的符号无关，观察的要点是“两因式中的两对数是否有一对完全相同，另一对相反” •不能盲目套用公式6.完全平方公式【答案】（1）不能，若改为2b ^a ^a 2b就可以应用公式3 3（2）不能，若改为2a 3b 3b 2a就可以应用公式【例4】类型2： abbab 2 a 2(1) (2xy+1 ) (1-2xy ) (2) (3x-4a ) (4a+3x ) (3) (3 2a)( 32a)(4) (b 2 2a 3)(2a 3 b 2)(3)不能，若改为 3m 2 3m 2就可以应用公式【借题发挥】1 •试判断下列两图阴影部分的面积是否相等【答案】相等2 •下列计算中可以用平方差公式的是()11 (A ) a2 a 2(B )abba 22(C )x y x y(D ) x 2 y x y 2【答案】B题型二：平方差公式的计算及简单应用【例3】类型1: a b a b a 2 b 2 (1)1 2a 1 2a(2) (1 5y)(15y)(3) (3m 2n)(3m2n)1 21 12 1x — x — 2 3 2 3【答案】 (1)原式=1 4a 2； (2)原式=125y 2； 2 2(3)原式=9m 4n ；(4)原式」X 2-4 9(4)【答案】(1)原式=1 4x2y2；(2)原式=9x216a2；(3)原式=4a29 ； (4)原式=4a6b4(1) ( 2x25)( 2x25)(2) ( 2a 3)(2a 3)(3) (-5xy+4z ) (-5xy-4z )(4) 2x2y 3z 2x2y 3z【答案】4 2 2 2 2 2 42 2 (1)原式=4x y 25 ； (2)原式=9 4a ； (3)原式=25x y 16z ； (4)原式=4x y 9z【例6】类型4：ma mb a b m a2 b2(xy+xz) (y-z )【答案】原式=xy2 xz2【方法总结】为了避免错误，初学时，可将结果用“括号”的平方差表示，再往括号内填上这两个数如：(a + b) (a - b)= a2 -b2J计算：(1 + 2x)(1 - 2x)= ( 1 ) 2- ( 2x ) =1-4x【例7】___________ m 2 4 m2.【借题发挥】1. ,括号内应填入下式中的（A.攵―令2 B . 4八拧C .■圧D .須+ 4于【答案】A【例8】运用平方差公式化简：(1) abab a 3b a 3b(2) x2 2 x2 2 x 2 x 2精品文档25欢迎下载(3) 1 x 1 x 1x 2 (4)【例8】用简便方法计算下列各式 2 1 (1) 91 89(2)59.8 60.2(3)-0 39 3 3【答案】(1) 原式= =901 90 1902 128099(2) 原式= =60 0.2 600.2602 0.223599.96【方法总结】 用乘法公式计算，首先要把需要计算的算式写成乘法公式的形式，一般地，给出的算式是可以写成 公式所要求的形式的，利用乘法公式能简化计算。
七年级数学平方差公式
(a+b)(a-b)
∴ a2-b2 = (a+b)(a-b)
想一想：
随堂练习：
计算：
1. (a+2)(a-2) 2. (3a+2b)(3a-2b) 3. (-x+1)(-x-1) 4. (-4k+3)(-4k-3)
=a2-4 =9a2-4b2 =x2-1
=16k2-9
小结：
作业：P10习题1.11
平方差公式(2)
平方
复习平方差公式
请回答： 1. 复述平方差公式 2. 公式的语言描述 3. 字母a，b的含义
平方差公式(1)
平方
计算下列各题：
1. (x+2)(x-2) =x2-4 2. (1+3a)(1-3a) =1-9a2 3. (x+5y)(x-5y) =x2-25y2 4. (y+3z)(y-3z) =y2-9z2
平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
；
把自已的理想告诉同伴时，立刻招来同伴们的嘲笑：“瞧瞧，什么叫心比天高，这就是啊！”“真是异想天开！”┅┅这块石头不去理会同伴们的闲言碎语，仍然怀抱理想等时机。有一天，一个叫庄子的人路过这里，它知道这个人有非凡的智慧，就把自已的梦想告诉了他，庄子说：“我可以帮助你 实现，但你必须先长成一座大山，这可是要吃不少苦的。”石头说：“我不怕。”于是，石头拼命地吸取天地灵气，承接雨露惠泽，不知经过多少年，受了多少风雨的洗礼，它终于长成了一座大山。于是，庄子招来大鹏以翅膀击山，一时间天摇地动，一声巨响后，山炸开了，无数块石头飞向天空， 就在飞的一刹那，石头会心地笑了。但是不久，它从空中摔了下来，仍旧变成了当初的模样，落在原来的地方。庄子问：“你后
初中七年级数学平方差公式
●内容全解
1.平方差公式
（1）公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
(2)特征：
①左边：二项式乘以二项式，两数（a与b）的和与它们差的乘积.
②右边：这两数的平方差.
（3）找a与b的简便方法
由于(a+b)(a-b)可看作(a+b)［a+(-b)］，所以在这两个多项式中，a是相同的，而b与-b 是互为相反数，那么a2-b2就可看作是符号相同的项(a)的平方减去符号相反的项(b与-b)的平方.
因此，运用平方差公式进行运算,关键
．．是找出两个相乘的二项式中相同的项作为a，互为相反的项作为b.
如(3-m)(3+m)中，“3”与“3”相同，作为a,而“-m”与“m”相反，任选其一作为b,那么
(4)平方差公式中的a和b可以代表一个字母，一个数字或单项式.
注意：当a或b代表单项式时，进行平方时底数一定要打括号.
2.用拼图解释平方差公式
图1-4
左图阴影面积是a2-b2,而右图的阴影部分是长方形，长为(a+b),宽（a-b）,阴影面积为(a+b)(a-b),由于左右两图的阴影部分面积相同，所以a2-b2=(a+b)(a-b),再次验证了平方差公式.。
北师大版七年级下册数学教学设计：1.5.1《平方差公式》
北师大版七年级下册数学教学设计：1.5.1《平方差公式》一. 教材分析《平方差公式》是北师大版七年级下册数学的第二章第三节的内容，本节内容是在学生已经掌握了有理数的乘法、完全平方公式的基础上进行学习的。
平方差公式是代数中的一个重要公式，它不仅涉及到平方差公式的推导，还涉及到平方差公式的应用，以及在此基础上进一步推导出完全平方公式的过程。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了有理数的乘法、完全平方公式等基础知识，具备了一定的代数运算能力。
但是，对于平方差公式的推导过程，以及如何灵活运用平方差公式解决实际问题，对学生来说还是有一定的挑战性的。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生积极参与，突破重难点。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握平方差公式的推导过程，理解平方差公式的含义，能够灵活运用平方差公式解决实际问题。
2.过程与方法：通过小组合作、探究学习，培养学生的合作意识，提高学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力，使学生感受到数学的乐趣。
四. 教学重难点1.重点：平方差公式的推导过程，以及平方差公式的应用。
2.难点：平方差公式的灵活运用，以及在此基础上推导出完全平方公式。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究，发现规律。
2.运用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
3.通过实例讲解，使学生能够将理论知识与实际问题相结合，提高学生的应用能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，包括平方差公式的推导过程、应用实例等。
2.准备一些实际问题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生复习有理数的乘法，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）呈现平方差公式的推导过程，引导学生观察、分析，发现其中的规律。
3.操练（10分钟）让学生独立完成一些平方差公式的练习题，巩固所学知识。
湘教版七年级数学下册课件2.平方差公式
（2）(3+2a)(－3+2a)； =(2a+3)(2a-3) =(2a)2－32 =4a2－9.
（4）(－2x2－y)(－2x2+y)；
=(-2x2 )2－y2
=4x4－y2.
=2499. （5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2).
课堂小测
4.利用平方差公式计算: (a-2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a2-4)(a2+4)
=a4-16.
课堂小测
5.化简： (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4). 解：原式=(x2-y2)(x2+y2)(x4+y4) =(x4-y4)(x4+y4) =x8-y8.
③(2m＋ 1)( 2m－1)=4m2 － 1 ④(5y ＋ z)(5y－z)= 25y2 － z2
(2m)2 － 12 (5y)2 － z2
想一想：这些计算结果有什么特点？
新知探究
归纳总结 平方差公式 (a+b)(a−b)= a2−b2 两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差. 公式变形: 1.(a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2.(b + a )( -b + a ) = a2 - b2
新知探究
算一算：看谁算得又快又准. 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ ①(x ＋ 1)( x－1)； ②(m ＋ 2)( m－2)； ③(2m＋ 1)(2m－1)； ④(5y ＋ z)(5y－z).
新知探究
初一数学公式总结：平方公式口诀
初一数学公式总结：平方公式口诀
平方差公式两数和乘两数差，等于两数平方差。
积化和差变两项，完全平方不是它。
完全平方公式二数和或差平方，展开式它共三项。
首平方与末平方，首末二倍中间放。
和的平方加联结，先减后加差平方。
完全平方公式
首平方又末平方，二倍首末在中央。
和的平方加再加，先减后加差平方。
这篇初一数学公式总结：平方公式口诀就和大家分享到这里了。
小编提醒大家：单纯的记忆是不能解决实际问题的，我们必须学会灵活运用所学知识。
2013新编初一数学公式大全节选
初中数学公式大全（七年级）。
人教版数学七年级上册《平方差公式》教学设计
人教版数学七年级上册《平方差公式》教学设计一. 教材分析《平方差公式》是初中数学的重要内容，人教版七年级上册第17章第二节引入。
本节课主要让学生掌握平方差公式的推导过程、公式结构及应用。
平方差公式的推导有利于培养学生的逻辑思维能力，为后续学习完全平方公式、多项式乘法等知识打下基础。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了整式的乘法、因式分解等基础知识，具备一定的逻辑思维能力。
但在推导平方差公式、理解公式内涵等方面还需加强。
此外，学生对数学公式的记忆往往依赖于死记硬背，缺乏深入理解。
因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、操作、思考、交流等方式，自主发现并掌握平方差公式。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握平方差公式的推导过程、公式结构及应用。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等方式，培养学生自主学习、合作学习的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.重点：平方差公式的推导过程及应用。
2.难点：理解平方差公式的内涵，掌握公式的灵活运用。
五. 教学方法1.启发式教学：引导学生通过观察、操作、思考、交流等方式，自主发现并掌握平方差公式。
2.小组合作：学生进行小组讨论，培养学生的合作意识。
3.案例分析：选取典型例题，让学生学会运用平方差公式解决问题。
4.归纳总结：引导学生总结平方差公式的推导过程、公式结构及应用。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示平方差公式的推导过程、应用案例等。
2.练习题：准备适量练习题，用于巩固所学知识。
3.教学用具：黑板、粉笔、投影仪等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示生活中的平方差现象，如正方形面积与边长的关系，引发学生对平方差公式的兴趣。
提问：你们能找出这些现象背后的规律吗？2.呈现（10分钟）展示平方差公式的推导过程，引导学生观察、思考并总结规律。
通过具体案例，让学生学会运用平方差公式解决问题。
苏科版七年级数学下册9.乘法公式——平方差公式课件
环节一 复习回顾
完全平方公式：(a b)2 a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2
计算： (x 2 y)2 解:原式 x2 2 x 2 y (2 y)2
x2 4xy 4 y2
做一做
a
a
a－b
将图中纸片只剪一刀，
再拼成一个长方形．
(x)2 (3y)2 x2 9y2
完全平方公式、平方差公式通常叫做乘法公式。
环节四 释疑、运用
1.计算： (a b c)(a b c) 解法一：原式 a2 ab ac ab b2 bc ac bc c2
a2 2ac c2 b2
解法二：原式 (a c b)(a c b)
2.填空：
（1）(x __6_)(x _6__) x2 36;
x2 62
（2）(m _5_n_)(m _5_n_) m2 25n2; m2 (5n)2
（3）(a b)(__b__a__) b2 a2;
（4）(___x_2 __1_)(1 x2 ) x4 1. (x2 )2 12 (x2 )2 12例1.Fra bibliotek平方差公式计算：
（1）(5x y)(5x y);
解:原式 5(5xx2 )2 y2y2
25x2 y2
（2）(m 2n)(2n m)
解:原式 (2n m)(2n m) (2n)2 m2 4n2 m2
环节三 例题讲授
例2. 计算： (3y x)(x 3y) 把-x、3y分别看成a、b 解:原式 (x 3y)(x 3y)
布置作业:
（1）左边是两个二项式的__积__，在这两个二项式中有一项(a)完全_相__同__，
另一项(b与-b)互为_相__反__； 右边为这两个数的_平__方__差__即右边是完全相同的项的平方减去符号相
七年级数学下册《平方差公式》教案、教学设计
(b) \( 16^2 - 9^2 \)
(c) \( 25^2 - 20^2 \)
(d) \( 36^2 - 31^2 \)
（2）运用平方差公式解决生活中的实际问题，例如计算两个正方形土地的面积差。
2.选做题：
（1）探索平方差公式在因式分解中的应用，如\( a^2 - b^2 \)的因式分解。
2.分组合作，探究新知
将学生分成小组，让他们相互讨论、交流，共同探究平方差公式。在此过程中，教师适时给予指导，帮助学生理解推导过程，突破教学难点。
3.深入讲解，巩固知识
结合具体例题，详细讲解平方差公式的应用，使学生掌握公式的使用方法。同时，设计不同类型的练习题，让学生在练习中巩固所学知识。
4.突破难点，提高能力
2.学生分享学习心得，交流在解题过程中遇到的困难和解决办法。
3.教师强调平方差公式在数学学习和生活中的重要性，激发学生学习数学的兴趣。
4.教师布置课后作业，要求学生通过练习，进一步巩固所学知识。
五、作业布置
为了巩固本节课所学的平方差公式及其应用，特布置以下作业：
1.必做题：
（1）根据平方差公式，计算以下各式的结果：
针对学生在推导和理解平方差公式过程中可能遇到的困难，教师可以采用以下方法：
（1）运用数形结合的方法，直观地展示平方差公式的推导过程，降低学习难度；
（2）设计具有启发性的问题，引导学生逐步思考，培养逻辑思维能力；
（3）及时反馈，针对学生的错误，给予个性化的指导和纠正。
5.课堂小结，总结规律
在课堂结束前，引导学生总结平方差公式及其应用规律，培养学生的归纳总结能力。
4.通过数学知识的学习，使学生认识到数学在生活中的重要性，提高学生的数学素养。
湘教版数学七年级下册_平方差公式的运用技巧
平方差公式的运用技巧平方差公式(a+b)(a－b)=a2－b2是恒等式，是初中数学中的重要公式，公式中的字母可以表示数字，也可以表示单项式、多项式等代数式.在多项式的乘法计算过程中，只要算式符合公式的结构特征，就可以运用平方差公式.在灵活运用平方差公式解答有关问题时，应注意以下三种技巧：一．正用技巧1.直接运用平方差公式例1 计算：(－3a+2b)( －2b－3a) .分析：直接套用是学习了平方差公式后最基本的模仿运用，通过模仿可以培养类比的思维能力，从而达到熟悉掌握平方差公式的目的.解：原式=(－3a)2－(2b)2=9a2－4b2.2．连续运用平方差公式例2 计算：(x+2)(x2+4)(x－2) .分析：此题若从左向右依次运算计算很繁，若根据题目的特点，先将两个一次式相乘，则发现连续两次运用平方差公式，就可以求到结果.解：原式=(x2－4) (x2+4)=x4－16.3．综合运用乘法公式例3计算：(2a+b－c+6)(2a－b+c+6).分析：此题是两个四项式相乘，按照多项式的乘法法则计算会得到十六项，然后再合并同类项，但是若能把(2a+6)、(b－c)看作整体，则可以先运用平方差公式再运用完全平方公式求解，避免合并同类项的运算.解：原式=[(2a+6) +(b－c)][(2a+6)－(b－c)]=(2a+6)2－(b－c)2=4a2+24a+36－b2+2bc－c2.二．逆用技巧灵活正确掌握好平方差公式的逆用，对于计算和化简带来很大的简便性，可以起到事半功倍的作用.1．直接逆用平方差公式例4 计算：(a+2)2－(a－2)2.分析：此题可以直接先运用完全平方公式，然后再进行整式的加减，运算比较繁，若根据题目的特点，直接逆用平方差公式，便可化繁为简，迅速求解.解：原式=[(a+2)+(a －2)][ (a+2)－(a －2)]=2a×4=8a.例5 计算：(1－221)(1－231)(1－241)…(1－220081).分析：此题若直接先算出括号内的结果，将会出现2007个分数相乘的运算，但如果每个括号内都先逆用平方差公式，那么除了首尾两数以外，其余每相邻两数均互为倒数，正好约分，可以减少运算量.解：解：原式=(1－21)(1+21)(1－31)(1+31)(1－41)(1+41)·…·⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-200811200811 =2008200920082007454334322321⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =20082009200820072007200854454334322321⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅）（）（）（）（ =2008200921⋅=40162009.2.提公因式后逆用平方差公式例6计算： 6.98×512－492×6.98.分析：此题无法直接逆用平方差公式，观察到题目的特点，可以先提取提公因式6.98，再逆用平方差公式求解.解：原式=6.98×（512－492）=6.98×（51+49）×（51－49）=6.98×100×2=1396；3.分组后逆用平方差公式例7计算：12－22+32－42+…+20032－20042+20052－20062+20072.分析：此题的数据较多，中间带有省略号，直接先算乘方再求代数和运算量太大，且不易求到结果，根据题目的特点，将1后面的2006个数据两两分组，逆用平方差公式，在利用求和公式求得结果.解：原式=1+(32－22)+(52－42)+…(20032－20022)+(20052－20042)+（20072－20062） =1+(3+2)+(5+4)+…+(2003+2002)+(2005+2004)+（2007+2006）=2007220071⋅+=2015028.4.指数变形后逆用平方差公式例8证明38－46能被17整除.分析：此题若按常理应先算出38－46的结果，再看是不是17的整倍数，但这样做计算量较大，不如根据题目的特点，先逆用()mnnm aa=把38、46进行指数变形，再逆用平方差公式，可以快速求证.证明：38－46=（34）2－（43）2=（34+43）（34－43）=145×17. ∴38－46能被17整除.5. 结合积的乘方性质逆用平方差公式例9 计算：1.2222×9－1.3332×4.分析：此题无法直接逆用平方差公式，观察到题目的特点，可以先逆用()mmm baab=对原式进行变形，再逆用平方差公式，可以快速求解.解：原式=1.2222×32－1.3332×22=(1.222×3)2－(1.333×2)2=(3.666+2.666)(3.666－2.666)=6.332.6. 逆用平方差公式后约分例10 计算：(16a2－9b2)÷(4a－3b).分析：此题根据题目的特点，先逆用平方差公式后发现可约分，则可化繁为简，迅速得解.解：原式=(4a+3b)×(4a－3b)÷(4a－3b)=4a+3b.三．创造条件运用技巧一些题目看似无法运用平方差公式运算，但若能认真审题，发现其中的规律，把题目进行适当的转化，便可适用平方差公式进行计算.1. 拆数(项)后运用平方差公式例11 计算：(1)2008×1992，(2)(a+3)(a－1).分析：此题直接计算也行，但是若能恰当拆数(项)后运用平方差公式，则更计算为简单，更能快速求得结果.解：(1) 原式=(2000+8)×(2000－8)=20002－82=3999936.(2)原式=[(a+1)+2][(a+1)－2]=(a+1)2－22=a2+2a+1－4= a2+2a－3.2 .添项后运用平方差公式例12计算：（1）99982，（2）(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)·…·(2512+1).分析：本题若直接计算很繁，但添上一个数后，便能发现运用平方差公式进行巧算，不难求得结果.解：（1）原式=99982-22+22=（9998+2）（9998-2）+4=99960000+4=99960004. （2）原式=1×(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)·…·(2512+1)=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)·…·(2512+1)=(22－1)(22+1)(24+1)(28+1)·…·(2512+1)=(2512－1)·(2512+1)=21024－1；3.结合积的乘方性质运用平方差公式例13 计算：(x－y)2(x+y)2(x2+y2)2.分析：根据题目的特点，可以先逆用()mmm baab=对原式进行变形，再两次运用平方差公式，就可以求到结果.解：原式=[(x－y)(x+y)(x2+y2)] 2=[(x2－y2)(x2+y2)] 2=(x4－y4)2=x8－2x4y4+y8.4.结合乘法分配律运用平方差公式例14 计算：(1)(a－b)(a+b+2).分析：本题若直接计算可得到六项式后再合并同类项，但若根据题目的特点，把a+b看为整体，先用乘法分配律展开，再运用平方差公式，更为简单.解：原式==(a－b)[(a+b)+2]=(a－b)(a+b)+2(a－b)=a2－b2+2a－2b.。
七年级数学8.3平方差公式与完全平方公式讲解与例题
8.3 完全平方公式与平方差公式1．了解乘法公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能熟练运用公式进行简单的计算．2．感受生活中两个乘法公式存在的意义，养成“观察—归纳—概括”的数学能力，体会数形结合的思想方法，提高学习数学的兴趣和运用知识解决问题的能力，进一步增强符号感和推理能力．1．完全平方公式(1)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.上式用语言叙述为：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．(2)完全平方公式的证明：(a±b)2＝(a±b)(a±b)＝a2±ab±ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2±2ab＋b2(合并同类项)．(3)完全平方公式的特点：①左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．可简单概括为“首平方，尾平方，积的2倍夹中央”．②公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．③对于符合两数和(或差)的平方的乘法，均可用上述公式计算．【例1－1】用完全平方公式计算(1)(x＋2y)2；(2)(2a－5)2；(3)(－2s＋t)2；(4)(－3x－4y)2；(5)(2x＋y－3z)2.分析：第(1)、(2)两题可直接用和、差平方公式计算；第(3)题可先把它变成(t－2s)2，然后再计算，也可以把－2s看成一项，用和平方公式计算；第(4)题可看成－3x与4y差的平方，也可以看成－3x与－4y和的平方；(5)可把2x＋y看成一项，用差平方公式计算，然后再用和平方公式计算，也可以把它看成2x与y－3z的和平方，再用差平方公式计算．解：(1)(x＋2y)2＝x2＋2·x·2y＋(2y)2＝x2＋4xy＋4y2；(2)(2a－5)2＝(2a)2－2·2a·5＋52＝4a2－20a＋25；(3)(－2s ＋t )2＝(t －2s )2＝t 2－2·t ·2s ＋(2s )2＝t 2－4ts ＋4s 2；(4)(－3x －4y )2＝(－3x )2－2·(－3x )·4y ＋(4y )2＝9x 2＋24xy ＋16y 2；(5)(2x ＋y －3z )2＝[2x ＋(y －3z )]2＝(2x )2＋2·2x ·(y －3z )＋(y －3z )2＝4x 2＋4xy －12xz ＋y 2－2·y ·3z ＋(3z )2＝4x 2＋y 2＋9z 2＋4xy －12xz －6yz .(1)千万不要与公式(ab )2＝a 2b 2混淆，发生类似(a ±b )2＝a 2±b 2的错误；(2)切勿把“乘积项”2ab 中的2漏掉；(3)计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形，使其具备公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．此外，在运用公式时要灵活，如第(4)题，由于(－3x －4y )2与(3x ＋4y )2是相等关系，故可以把(－3x －4y )2转化为(3x ＋4y )2，再进行计算，再如(5)题，也有许多不同的方法．(4)完全平方公式的几何解释．如图是对(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2几何意义的阐释．大正方形的面积可以表示为(a ＋b )2，也可以表示为S ＝S Ⅰ＋S Ⅱ＋S Ⅲ＋S Ⅳ，又S Ⅲ，S Ⅰ，S Ⅳ，S Ⅱ分别等于a 2，ab ，ab ，b 2，所以S ＝a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2.如图是对(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2几何意义的阐释．正方形Ⅰ的面积可以表示为(a －b )2，也可以表示为S Ⅰ＝S 大－S Ⅱ－S Ⅳ＋S Ⅲ，又S 大，S Ⅱ，S Ⅲ，S Ⅳ分别等于a 2，ab ，b 2，ab ，所以SⅠ＝a 2－ab －ab ＋b 2＝a 2－2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2.【例1－2】下图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a ，b 的恒等式：__________________.解析：根据图中的面积写一个恒等式，需要用两种方法表示空白正方形的面积．首先观察大正方形是由四个矩形和一个空白正方形组成，所以空白正方形的面积等于大正方形的面积减去四个矩形的面积，即(a ＋b )2－4ab ，空白正方形的面积也等于它的边长的平方，即(a－b )2，根据面积相等有(a ＋b )2－4ab ＝(a －b )2.答案：(a ＋b )2－4ab ＝(a －b )22．平方差公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.上式用语言叙述为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．(2)平方差公式的证明：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2－b2(合并同类项)．(3)平方差公式的特点：①左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去互为相反数项的平方)；③公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．利用此公式进行乘法计算时，应仔细辨认题目是否符合公式特点，不符合平方差公式形式的两个二项式相乘，不能用平方差公式．如(a＋b)(a－2b)不能用平方差公式计算．【例2－1】计算：(1)(3x＋2y)(3x－2y)；(2)(－m＋n)(－m－n)；(3)(－2x－3)(2x－3)．分析：(1)本题符合平方差公式的结构特征，其中3x对应“a”，2y对应“b”；(2)题中相同项为－m，互为相反数的项为n与－n，故本题也符合平方差公式的结构特征；(3)利用加法交换律将原式变形为(－3＋2x)(－3－2x)，然后运用平方差公式计算．解：(1)(3x＋2y)(3x－2y)＝(3x)2－(2y)2＝9x2－4y2.(2)(－m＋n)(－m－n)＝(－m)2－n2.(3)(－2x－3)(2x－3)＝(－3＋2x)(－3－2x)＝(－3)2－(2x)2＝9－4x2.利用公式计算，关键是分清哪一项相当于公式中的a，哪一项相当于公式中的b，通常情况下，为防止出错，利用公式前把相同项放在前面，互为相反数的项放在后面，然后套用公式．(4)平方差公式的几何解释如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2；若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ＋SⅢ＝SⅠ＋SⅣ＝(a＋b)(a－b)．从而验证了平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2.【例2－2】下图由边长为a和b的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可以验证的一个乘法公式是____________________．分析：要表示阴影部分的面积，可以从两个方面出发：一是观察阴影部分是由边长为a的正方形除去边长为b 的正方形得到的，所以它的面积等于a 2－b 2；二是阴影部分是由两个直角梯形构成的，所以它的面积又等于两个梯形的面积之和．这两个梯形的面积都等于12(b＋a )(a －b )，所以梯形的面积和是(a ＋b )(a －b )，根据阴影部分的面积不变，得(a ＋b )(a－b )＝a 2－b 2.因此验证的一个乘法公式是(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.答案：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b23．运用乘法公式简便计算平方差公式、完全平方公式不但是研究整式运算的基础，而且在许多的数字运算中也有广泛地运用．不少数字计算题看似与平方差公式、完全平方公式无关，但若根据数字的结构特点，灵活巧妙地运用平方差公式、完全平方公式，常可以使运算变繁为简，化难为易．解答此类题，关键是分析数的特点，看能否将数改写成两数和的形式及两数差的形式，若改写成两数和的形式乘以两数差的形式，则用平方差公式；若改写成两数和的平方形式或两数差的平方形式，则用完全平方公式．【例3】计算：(1)2 0132－2 014×2 012；(2)1032；(3)1982.分析：(1)2 014＝2 013＋1,2 012＝2 013－1，正好符合平方差公式，可利用平方差公式进行简便运算；(2)可将1032改写为(100＋3)2，利用两数和的平方公式进行简便运算；(3)可将1982改写为(200－2)2，利用两数差的平方公式进行简便运算．解：(1)2 0132－2 014×2 012＝2 0132－(2 013＋1)×(2 013－1)＝2 0132－(2 0132－12)＝2 0132－2 0132＋1＝1.(2)1032＝(100＋3)2＝1002＋2×100×3＋32＝10 000＋600＋9＝10 613.(3)1982＝(200－2)2＝2002－2×200×2＋22＝40 000－800＋4＝39 204. 4．利用乘法公式化简求值求代数式的值时，一般情况是先化简，再把字母的值代入化简后的式子中求值．在化简的过程中，合理地利用乘法公式能使整式的运算过程变得简单．在代数式化简过程中，用到平方差公式及完全平方公式时，要特别注意应用公式的准确性．【例4】先化简，再求值：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2，其中m ＝－2，n ＝15.解：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2＝5(m 2－n 2)－2(m 2＋2mn ＋n 2)－3(m 2－2mn ＋n 2)＝5m 2－5n 2－2m 2－4mn －2n 2－3m 2＋6mn －3n 2＝－10n 2＋2mn .当m ＝－2，n ＝15时，原式＝－10n2＋2mn ＝－10×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋2×(－2)×15＝－65.5．乘法公式的运用技巧一些多项式的乘法或计算几个有理数的积时，表面上看起来不能利用乘法公式，实际上经过简单的变形后，就能直接运用乘法公式进行计算了．有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．在运用平方差公式时，注意以下几种常见的变化形式：①位置变化：(b＋a)(－b＋a)＝a2－b2.②符号变化：(－a＋b)(－a－b)＝(－a)2－b2＝a2－b2.③系数变化：(0.5a＋3b)(0.5a－3b)＝(0.5a)2－(3b)2.④指数变化：(a2＋b2)(a2－b2)＝(a2)2－(b2)2＝a4－b4.⑤增项变化：(a－b－c)(a－b＋c)＝(a－b)2－c2，(a＋b－c)(a－b＋c)＝a2－(b－c)2.⑥增因式变化：(a＋b)(a－b)(－a－b)(－a＋b)＝(a2－b2)(a2－b2)＝(a2－b2)2.⑦连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)＝a8－b8.【例5－1】计算：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)；(2)(m－2n＋p)2；(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2.解：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)＝[(a＋b)＋1][(a＋b)－1]＝(a＋b)2－1＝a2＋2ab＋b2－1.(2)(m－2n＋p)2＝[(m－2n)＋p]2＝(m－2n)2＋2·(m－2n)·p＋p2＝m2－4mn＋4n2＋2mp－4np＋p2.(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2＝[(2x－3y)(2x＋3y)]2＝(4x2－9y2)2＝(4x2)2－2×4x2×9y2＋(9y2)2＝16x4－72x2y2＋81y4.在运用平方差公式时，应分清两个因式是否是两项之和与差的形式，符合形式才可以用平方差公式，否则不能用；完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个三项式，在计算时不要发生：(a＋b)2＝a2＋b2或(a－b)2＝a2－b2这样的错误；当因式中含有三项或三项以上时，要适当的分组，看成是两项，从而应用平方差公式或完全平方公式．【例5－2】计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)的值．分析：为了能便于运用平方差公式，观察到待求式中都是和的形式，没有差的形式，可设法构造出差的因数，于是可乘以(2－1)，这样就可巧妙地运用平方差公式了．解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(24－1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝…＝(22n－1)(22n＋1)＝24n－1.6．乘法公式的实际应用 在解决生活中的实际问题时，经常把其中的一个量或几个量先用字母表示，然后列出相关式子，进而化简，这往往涉及到整式的运算．解题时，灵活运用乘法公式，往往能事半功倍，使问题得到快速解答．【例6】一个正方形的边长增加3 cm ，它的面积就增加39 cm 2，这个正方形的边长是多少？分析：如果设原正方形的边长为x cm ，根据题意和正方形的面积公式可列出方程(x ＋3)2＝x 2＋39，求解即可．解：设原正方形的边长为x cm ，则(x ＋3)2＝x 2＋39，即x 2＋6x ＋9＝x 2＋39，解得x ＝5(cm)． 故这个正方形的边长是5 cm. 7．完全平方公式的综合运用学习乘法公式应注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”，注意为使用公式创造条件．(1)完全平方公式变形后可得到以下一些新公式： ①a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ； ②a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ；③(a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab ；④(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ；⑤(a ＋b )2＋(a －b )2＝2(a 2＋b 2)；⑥(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab 等．在公式(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2中，如果把a ＋b ，ab 和a 2＋b 2分别看做一个整体，则知道了其中两个就可以求第三个．(2)注意公式的逆用不仅会熟练地正用公式，而且也要求会逆用公式，乘法公式均可逆用，特别是完全平方公式的逆用——a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.【例7－1】已知a 2＋b 2＋4a －2b ＋5＝0，则a ＋b a －b的值是__________．解析：原等式可化为(a 2＋4a ＋4)＋(b 2－2b ＋1)＝0，即(a ＋2)2＋(b －1)2＝0，根据非负数的特点知a ＋2＝0且b －1＝0，从而可知a ＝－2且b ＝1.然后将其代入求a ＋ba －b的值即可．答案：13【例7－2】已知a ＋b ＝2，ab ＝1，求a 2＋b 2的值．分析：利用完全平方公式有(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，把2ab 移到等式的左边，可得(a ＋b )2－2ab ＝a 2＋b 2，然后代入求值即可．解：∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2aB ．∵a ＋b ＝2，ab ＝1，∴a 2＋b 2＝22－2×1＝2.涉及两数和或两数差及其乘积的问题，就要联想到完全平方公式．本题也可从条件出发解答，如因为a ＋b ＝2，所以(a ＋b )2＝22，即a 2＋2ab ＋b 2＝4.把ab ＝1代入，得a 2＋2×1＋b 2＝4，于是可得a 2＋b 2＝4－2＝2.。
第3讲 平方差公式七年级数学下册同步精品讲义
第3讲 平方差公式1. 能运用平方差公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和平方差公式把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.知识点公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：()()22a b a b a b -=+-要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式. 因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【知识拓展1】平方差公式1．运用乘法公式计算（4+x ）（x ﹣4）的结果是（ ） A ．x 2﹣16B ．x 2+16C ．16﹣x 2D ．﹣x 2﹣162．已知x +y ＝12，x ﹣y ＝6，则x 2﹣y 2＝ ． 3．下列算式中不能利用平方差公式计算的是（ ） A ．（x +y ）（x ﹣y ） B ．（x ﹣y ）（﹣x ﹣y ）C ．（x ﹣y ）（﹣x +y ）D ．（x +y ）（y ﹣x ）4．计算（x +y ）（x ﹣y ）+16＝ ． 5．（8x 2+4x ）（﹣8x 2+4x ）＝ ． 6．若x 2﹣y 2＝16，x +y ＝8，则x ﹣y ＝ ． 7．若x +y ＝5，x ﹣y ＝1，则x 2﹣y 2＝ ．知识精讲目标导航8．若a＝20170，b＝2015×2017﹣20162，c＝（﹣）2016×（）2017，比较a，b，c大小（用“＜”连接）：．9．（3y+2x）（2x﹣3y）＝．10．化简：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a﹣2）＝．11．下列各式，不能用平方差公式计算的是（）A．（a+b﹣1）（a﹣b+1）B．（﹣a﹣b）（﹣a+b）C．（a+b2）（b2﹣a）D．（2x+y）（﹣2x﹣y）12．若a2﹣b2＝10，a﹣b＝2，则a+b的值为（）A．5B．2C．10D．无法计算13．若a2﹣b2＝﹣，a+b＝﹣，则a﹣b的值为．14．若a2﹣b2＝18，a+b＝6，则a﹣b＝．15．若m2﹣n2＝10，且m﹣n＝2，则m+n＝．16．计算：（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）．17．化简：（2x﹣y）（y+2x）﹣y（x﹣y）﹣（2x）2．18．观察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，据此规律，当（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，代数式x2021﹣1的值为（）A．1B．0C．1或﹣1D．0或﹣2【知识拓展2】平方差公式的几何背景19．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示）．根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．a（a﹣b）＝a2﹣abC．b（a﹣b）＝ab﹣b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）20．探究下面的问题：（1）如图甲，在边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图乙的一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是（用式子表示），即乘法公式中的公式．（2）运用你所得到的公式计算：①10.3×9.7；②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）．21．如图，在边长分别为a，b的两个正方形组成的图形中，剪去一个边长为（a﹣b）的正方形，通过用两种不同的方法计算剪去的正方形的面积，可以验证的乘法公式是（）A．a（a+b）＝a2+ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b222．如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼的方式形成新的图形，给出四种割拼方法，其中能够验证平方差公式的有（）个．A．1B．2C．3D．423．为庆祝中国共产党的百年华诞，某校要进行美化校园，各班同学设计热爱祖国的板报．八年一班学生在设计板报时，在黑板中间画一个半径为R的大圆，然后挖去半径为r的四个小圆，分别作为热爱中国共产党、热爱人民、认同中华文化和继承革命传统四个学习区域．请计算当R＝7.8cm，r＝1.1cm时剩余部分的面积．（结果保留π）24．将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2），解答下列问题：（1）设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请用含a，b的式子表示：S1＝，S2＝；（不必化简）（2）由（1）中的结果可以验证的乘法公式是；（3）利用（2）中得到的公式，计算：20212﹣2020×2022．25．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）写出根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：．（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝；②计算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．26．数学中，常对同一个量用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”[探究一]如图1，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b（b＜a）的正方形，你能表示图中阴影部分的面积吗？阴影部分的面积是；如图2，也可以把阴影部分沿着虚线AB剪开，分成两个梯形，阴影部分的面积是；用两种不同的方法计算同一个阴影部分的面积，可以得到等式．[探究二]如图3，一条直线上有n个点，请你数一数共有多少条线段呢？方法1：一路往右数，不回头数．以A1为端点的线段有A1A2、A1A3、A1A4、A1A5、…、A1A n，共有（n﹣1）条；以A2为端点的线段有A2A3、A2A4、A2A5、…、A2A n，共有（n﹣2）条；以A3为端点的线段有A3A4、A3A5、…、A3A n，共有（n﹣3）条；…以A n﹣1为端点的线段有A n﹣1A n，共有1条；图中线段的总条数是；方法2：每一个点都能和除它以外的（n﹣1）个点形成线段，共有n个点，共可形成n（n﹣1）条线段，但所有线段都数了两遍，所以线段的总条数是；用两种不同的方法数线段，可以得到等式．[应用]运用探究一、探究二中得到的等式解决问题．计算：992﹣982+972﹣962+952﹣942+…+32﹣22+12．[迁移]某篮球队共有8名实力相当的队员，现要随机派3名队员参加联队比赛，共有种不同的选择方案．能力拓展类型一、公式法——平方差公式例1、分解因式：（1）2()4x y +-； （2）2216()25()a b a b --+； （3）22(2)(21)x x +--．【变式】将下列各式分解因式：（1）()()22259a b a b +--； （2）()22234x y x --（3）33x y xy -+； （4）32436x xy -；例2、分解因式： （1）2128x -+； （2）33a b ab -； （3）516x x -； （4）2(1)(1)a b a -+-【变式】先化简，再求值：（2a+3b ）2﹣（2a ﹣3b ）2，其中a=．类型二、平方差公式的应用例3、2222211111111......1123420112012⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭例4、阅读下面的计算过程：（2+1）（22+1）（24+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1） =（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1） =（28﹣1）．根据上式的计算方法，请计算： （1）（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣．分层提分题组A 基础过关练一．选择题（共4小题）1．已知a+b＝﹣3，a﹣b＝1，则a2﹣b2的值是（）A．8B．3C．﹣3D．102．下列各式中，能用平方差公式计算的是（）A．（a+b）（﹣a﹣b）B．（a+b）（a﹣b）C．（a+b）（a﹣d）D．（a+b）（2a﹣b）3．下列运算正确的是（）A．（5﹣m）（5+m）＝m2﹣25B．（1﹣3m）（1+3m）＝1﹣3m2C．（﹣4﹣3n）（﹣4+3n）＝﹣9n2+16D．（2ab﹣n）（2ab+n）＝4ab2﹣n24．如图，从边长为acm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣3）cm的正方形（a＞3），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为（）A．6a cm2B．（6a+9）cm2C．（6a﹣9）cm2D．（a2﹣6a+9）cm2二．填空题（共4小题）5．已知x+y＝12，x﹣y＝6，则x2﹣y2＝．6．已知m﹣n＝3，则m2﹣n2﹣6n的值．7．若（2m+5）（2m﹣5）＝15，则m2＝．8．已知m2﹣n2＝24，m比n大8，则m+n＝．三．解答题（共5小题）9．化简：（a﹣b）（a+b）﹣a（a+b）．10．计算：（1）（a+9）（a+1）；（2）20192﹣2017×2021．11．若（x﹣2）（x2+ax﹣8b）的展开式中不含x的二次项和一次项．（1）求b a的值；（2）求（a+1）（a2+1）（a4+1）…（a32+1）+1的值．12．请阅读以下材料：[材料]若x＝12349×12346，y＝12348×12347，试比较x，y的大小．解：设12348＝a，那么x＝（a+1）（a﹣2）＝a2﹣a﹣2，y＝a（a﹣1）＝a2﹣a．因为x﹣y＝（a2﹣a﹣2）﹣（a2﹣a）＝﹣2＜0，所以x＜y．我们把这种方法叫做换元法．请仿照例题比较下列两数大小：x＝997657×997655，y＝997653×997659．13．如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸中减去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．（1）拼成的长方形的周长是多少？（2）拼成的长方形的面积是多少？题组B 能力提升练一．选择题（共5小题）1．化简（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）的结果是（）A．232﹣1B．232+1C．（216+1）2D．（216﹣1）22．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：5＝32﹣22，5就是一个智慧数，则下列各数不是智慧数的是（）A．2020B．2021C．2022D．20233．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32．即8，16均为“和谐数”），在不超过200的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）A．2700B．2701C．2601D．26004．下列各数中，可以写成两个连续奇数的平方差的（）A．520B．502C．250D．2055．在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（）A．（m﹣n）（﹣m+n）B．（x3﹣y3）（x3+y3）C．（﹣a﹣b）（a﹣b）D．（c2﹣d2）（d2+c2）二．填空题（共5小题）6．小丽在计算3×（4+1）×（42+1）时，把3写成（4﹣1）后，发现可以连续运用平方差公式进行计算．用类似方法计算：（1+）×（1+）×（1+）×（1+）+＝．7．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，…根据规律可得：（x﹣1）（x2021+x2020+…+x+1）＝．8．计算：20212﹣2020×2022＝．9．若m2﹣n2＝40，且m﹣n＝5．则m+n＝．10．如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积是．三．解答题（共4小题）11．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，根据规律（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+…+x2+x+1）＝．（其中n为正整数）；（1）计算：（﹣2）2019+（﹣2）2018+（﹣2）2017+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1；（2）计算：22018+22016+22014+…+24+22+2．12．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．（1）请直接用含a和b的代数式表示S1＝，S2＝；写出利用图形的面积关系所得到的公式：（用式子表达）．（2）应用公式计算：．（3）应用公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1．13．在化简整式（x﹣2）■（x+2）+▲中，“■”表示运算符号“﹣”“×”中的某一个，“▲”表示一个整式．（1）计算（x﹣2）﹣（x+2）+（﹣2+y）；（2）若（x﹣2）（x+2）+▲＝3x2+4，求出整式▲；（3）已知（x﹣2）■（x+2）+▲的计算结果是二次单项式，当▲是常数项时，直接写出■表示的符号及▲的值．14．观察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；（1）（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+…+x+1）＝（其中n为正整数）；（2）（2﹣1）•（299+298+…+2+1）＝；（3）计算：350+349+348+…+32+3+1的值．题组C 培优拔尖练一．选择题（共1小题）1．（2020秋•鼓楼区校级期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）A．255024B．255054C．255064D．250554二．填空题（共6小题）2．（2017春•张掖月考）乘法公式的探究及应用．小题1：如图1，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）；小题2：如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是，长是，面积是（写成多项式乘法的形式）小题3：比较图1，图2的阴影部分面积，可以得到乘法公式（用式子表达）小题4：应用所得的公式计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）3．已知a﹣b＝3，a2﹣b2＝9，则a＝，b＝．4．如图，小刚家有一块“L”形的菜地，要把这块菜地按图示那样分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是xm，下底都是ym，高都是（y﹣x）m，请你帮小刚家算一算菜地的面积是平方米．当x＝20m，y＝30m时，面积是平方米．5．计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+＝．6．小明在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案．你知道答案是多少吗，请将答案填在横线上．7．（2021春•锦江区校级期中）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧数．在正整数中，从1开始，第2021个智慧数是．三．解答题（共6小题）8．（2021春•鼓楼区期中）有些同学会想当然地认为（x﹣y）3＝x3﹣y3．（1）举出反例说明该式不一定成立；（2）计算（x﹣y）3；（3）直接写出当x、y满足什么条件时，该式成立．9．（2021春•婺城区校级期末）乘法公式的探究与应用：（1）如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分面积是（写成两数平方差的形式）（2）小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是，宽是，面积是（写成多项式乘法的形式）．（3）比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式（两个）公式1：公式2：（4）运用你所得到的公式计算：10.3×9.7．10．（2021春•淮北期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是；（请选择正确的一个）A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C、a2+ab＝a（a+b）（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．11．（2021春•罗湖区校级期中）已知4m+n＝90，2m﹣3n＝10，求（m+2n）2﹣（3m﹣n）2的值．12．（2019春•漳浦县期中）你能化简（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．（1）先填空：（a﹣1）（a+1）＝；（a﹣1）（a2+a+1）＝；（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝；…由此猜想：（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）＝（2）利用这个结论，你能解决下面两个问题吗？①求2199+2198+2197+…+22+2+1的值；②若a5+a4+a3+a2+a+1＝0，则a6等于多少？13．（2018秋•沙坪坝区期末）一个个位不为零的四位自然数n，如果千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，则称n为“隐等数”，将这个“隐等数“反序排列（即千位与个位对调，百位与十位对调）得到一个新数m，记D（n）＝．（1）请任意写出一个“隐等数”n，并计算D（n）的值；（2）若某个“隐等数“n的千位与十位上的数字之和为6，D（n）为正数，且D（n）能表示为两个连续偶数的平方差，求满足条件的所有“隐等数”n．。
七年级数学上册 9.11《平方差公式》课件
第七页，共十四页。
三、启发(qǐfā)诱导,初步运用
例题(lìtí)1 计算:
(1) (2x+y)(2x-y);
(2) (2 1x3 1y)(2 1x3 1y)
(3) (-x+3y)(-x-3y)
(4) ( m 2 n1)( m 2 n1)
注： （1）添加必要(bìyào)的括号; （2）分清“a” 与“ b”.
例题(lìtí)3 计算:
ababab (1) ( 2 ) ( 2 ) ( 4 2 2 )
(2) (1a2)(1a)(1a)
4
22
练习(liànxí) p35
第十页，共十四页。
六、归纳(guīnà)小结
本节课你学到了什么(shén ? me)
试用语言表述平方差公式 (a+b)(a−b)=a2−b2。
第八页，共十四页。
三、启发诱导(yòudǎo),初步运用
例题(lìtí)2 计算:
(1) (2 3x7y)(7y2 3x) (2) (2 1x2y)(2 1x2y)
(3) ( 1 3 a2 b)(3 a2 b 1 )
注：
（1）符号(fúhào)的变化; （2）位置的变化.
第九页，共十四页。
三、启发诱导(yòudǎo),初步运用
9.11 平方差公式(gōngshì)
第一页，共十四页。
一、复习(fùxí)引入、温故知新
• 温故: 多项式的乘法法则 多项式与多项式相乘，先用一个(yī ɡè)多项
式的每一项乘以另一个(yī ɡè)多项式的每一项， 再把所得的积相加。
(a+b)(m+n)= am+an+bm+bn
湘教版数学七年级下册2.2.1《平方差公式》教学设计
湘教版数学七年级下册2.2.1《平方差公式》教学设计一. 教材分析《平方差公式》是湘教版数学七年级下册第2章第2节的一个知识点。
平方差公式是初等代数中的一个重要公式，它对于学生理解代数运算规律，提高解题技巧具有重要意义。
本节课的内容包括平方差公式的推导、理解和应用。
通过本节课的学习，学生能够掌握平方差公式的结构特征，熟练运用平方差公式进行简化计算和解决问题。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了整数的乘法和除法运算，对代数运算有一定的基础。
但是，对于平方差公式的理解和应用，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习需求，通过实例讲解和练习，帮助学生理解和掌握平方差公式。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解平方差公式的结构特征，熟练运用平方差公式进行简化计算和解决问题。
2.过程与方法：通过实例分析和练习，培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：平方差公式的推导和理解。
2.难点：平方差公式的应用和灵活运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和数学故事，引发学生的兴趣，激发学生的学习动力。
2.互动教学法：引导学生积极参与课堂讨论和练习，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
3.引导发现法：教师引导学生发现平方差公式的结构特征，培养学生的逻辑思维能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作包含实例分析、练习和拓展题的PPT，以便于课堂演示和讲解。
2.练习题：准备一些有关平方差公式的练习题，用于课堂练习和巩固知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活实例，如正方形的面积和边长的关系，引发学生的兴趣，引入平方差公式的学习。
2.呈现（10分钟）教师展示平方差公式的推导过程，引导学生观察和思考，发现平方差公式的结构特征。
3.操练（10分钟）学生分组进行练习，运用平方差公式进行简化计算和解决问题。
第3讲 平方差公式-七年级数学下册同步精品讲义(北师大版)(学生版)
第3讲 平方差公式1. 能运用平方差公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和平方差公式把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.知识点公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：()()22a b a b a b -=+-要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式. 因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【知识拓展1】平方差公式1．运用乘法公式计算（4+x ）（x ﹣4）的结果是（ ） A ．x 2﹣16B ．x 2+16C ．16﹣x 2D ．﹣x 2﹣162．已知x +y ＝12，x ﹣y ＝6，则x 2﹣y 2＝ ． 3．下列算式中不能利用平方差公式计算的是（ ） A ．（x +y ）（x ﹣y ） B ．（x ﹣y ）（﹣x ﹣y ）C ．（x ﹣y ）（﹣x +y ）D ．（x +y ）（y ﹣x ）4．计算（x +y ）（x ﹣y ）+16＝ ． 5．（8x 2+4x ）（﹣8x 2+4x ）＝ ． 6．若x 2﹣y 2＝16，x +y ＝8，则x ﹣y ＝ ． 7．若x +y ＝5，x ﹣y ＝1，则x 2﹣y 2＝ ．知识精讲目标导航8．若a＝20170，b＝2015×2017﹣20162，c＝（﹣）2016×（）2017，比较a，b，c大小（用“＜”连接）：．9．（3y+2x）（2x﹣3y）＝．10．化简：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a﹣2）＝．11．下列各式，不能用平方差公式计算的是（）A．（a+b﹣1）（a﹣b+1）B．（﹣a﹣b）（﹣a+b）C．（a+b2）（b2﹣a）D．（2x+y）（﹣2x﹣y）12．若a2﹣b2＝10，a﹣b＝2，则a+b的值为（）A．5B．2C．10D．无法计算13．若a2﹣b2＝﹣，a+b＝﹣，则a﹣b的值为．14．若a2﹣b2＝18，a+b＝6，则a﹣b＝．15．若m2﹣n2＝10，且m﹣n＝2，则m+n＝．16．计算：（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）．17．化简：（2x﹣y）（y+2x）﹣y（x﹣y）﹣（2x）2．18．观察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，据此规律，当（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，代数式x2021﹣1的值为（）A．1B．0C．1或﹣1D．0或﹣2【知识拓展2】平方差公式的几何背景19．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示）．根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．a（a﹣b）＝a2﹣abC．b（a﹣b）＝ab﹣b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）20．探究下面的问题：（1）如图甲，在边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图乙的一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是（用式子表示），即乘法公式中的公式．（2）运用你所得到的公式计算：①10.3×9.7；②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）．21．如图，在边长分别为a，b的两个正方形组成的图形中，剪去一个边长为（a﹣b）的正方形，通过用两种不同的方法计算剪去的正方形的面积，可以验证的乘法公式是（）A．a（a+b）＝a2+ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b222．如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼的方式形成新的图形，给出四种割拼方法，其中能够验证平方差公式的有（）个．A．1B．2C．3D．423．为庆祝中国共产党的百年华诞，某校要进行美化校园，各班同学设计热爱祖国的板报．八年一班学生在设计板报时，在黑板中间画一个半径为R的大圆，然后挖去半径为r的四个小圆，分别作为热爱中国共产党、热爱人民、认同中华文化和继承革命传统四个学习区域．请计算当R＝7.8cm，r＝1.1cm时剩余部分的面积．（结果保留π）24．将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2），解答下列问题：（1）设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请用含a，b的式子表示：S1＝，S2＝；（不必化简）（2）由（1）中的结果可以验证的乘法公式是；（3）利用（2）中得到的公式，计算：20212﹣2020×2022．25．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）写出根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：．（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝；②计算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．26．数学中，常对同一个量用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”[探究一]如图1，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b（b＜a）的正方形，你能表示图中阴影部分的面积吗？阴影部分的面积是；如图2，也可以把阴影部分沿着虚线AB剪开，分成两个梯形，阴影部分的面积是；用两种不同的方法计算同一个阴影部分的面积，可以得到等式．[探究二]如图3，一条直线上有n个点，请你数一数共有多少条线段呢？方法1：一路往右数，不回头数．以A1为端点的线段有A1A2、A1A3、A1A4、A1A5、…、A1A n，共有（n﹣1）条；以A2为端点的线段有A2A3、A2A4、A2A5、…、A2A n，共有（n﹣2）条；以A3为端点的线段有A3A4、A3A5、…、A3A n，共有（n﹣3）条；…以A n﹣1为端点的线段有A n﹣1A n，共有1条；图中线段的总条数是；方法2：每一个点都能和除它以外的（n﹣1）个点形成线段，共有n个点，共可形成n（n﹣1）条线段，但所有线段都数了两遍，所以线段的总条数是；用两种不同的方法数线段，可以得到等式．[应用]运用探究一、探究二中得到的等式解决问题．计算：992﹣982+972﹣962+952﹣942+…+32﹣22+12．[迁移]某篮球队共有8名实力相当的队员，现要随机派3名队员参加联队比赛，共有种不同的选择方案．能力拓展类型一、公式法——平方差公式例1、分解因式：（1）2()4x y +-； （2）2216()25()a b a b --+； （3）22(2)(21)x x +--．【变式】将下列各式分解因式：（1）()()22259a b a b +--； （2）()22234x y x --（3）33x y xy -+； （4）32436x xy -；例2、分解因式： （1）2128x -+； （2）33a b ab -； （3）516x x -； （4）2(1)(1)a b a -+-【变式】先化简，再求值：（2a+3b ）2﹣（2a ﹣3b ）2，其中a=．类型二、平方差公式的应用 例3、2222211111111......1123420112012⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭例4、阅读下面的计算过程：（2+1）（22+1）（24+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1）=（28﹣1）．根据上式的计算方法，请计算：（1）（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣．分层提分题组A 基础过关练一．选择题（共4小题）1．已知a+b＝﹣3，a﹣b＝1，则a2﹣b2的值是（）A．8B．3C．﹣3D．102．下列各式中，能用平方差公式计算的是（）A．（a+b）（﹣a﹣b）B．（a+b）（a﹣b）C．（a+b）（a﹣d）D．（a+b）（2a﹣b）3．下列运算正确的是（）A．（5﹣m）（5+m）＝m2﹣25B．（1﹣3m）（1+3m）＝1﹣3m2C．（﹣4﹣3n）（﹣4+3n）＝﹣9n2+16D．（2ab﹣n）（2ab+n）＝4ab2﹣n24．如图，从边长为acm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣3）cm的正方形（a＞3），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为（）A．6a cm2B．（6a+9）cm2C．（6a﹣9）cm2D．（a2﹣6a+9）cm2二．填空题（共4小题）5．已知x+y＝12，x﹣y＝6，则x2﹣y2＝．6．已知m﹣n＝3，则m2﹣n2﹣6n的值．7．若（2m+5）（2m﹣5）＝15，则m2＝．8．已知m2﹣n2＝24，m比n大8，则m+n＝．三．解答题（共5小题）9．化简：（a﹣b）（a+b）﹣a（a+b）．10．计算：（1）（a+9）（a+1）；（2）20192﹣2017×2021．11．若（x﹣2）（x2+ax﹣8b）的展开式中不含x的二次项和一次项．（1）求b a的值；（2）求（a+1）（a2+1）（a4+1）…（a32+1）+1的值．12．请阅读以下材料：[材料]若x＝12349×12346，y＝12348×12347，试比较x，y的大小．解：设12348＝a，那么x＝（a+1）（a﹣2）＝a2﹣a﹣2，y＝a（a﹣1）＝a2﹣a．因为x﹣y＝（a2﹣a﹣2）﹣（a2﹣a）＝﹣2＜0，所以x＜y．我们把这种方法叫做换元法．请仿照例题比较下列两数大小：x＝997657×997655，y＝997653×997659．13．如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸中减去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．（1）拼成的长方形的周长是多少？（2）拼成的长方形的面积是多少？题组B 能力提升练一．选择题（共5小题）1．化简（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）的结果是（）A．232﹣1B．232+1C．（216+1）2D．（216﹣1）22．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：5＝32﹣22，5就是一个智慧数，则下列各数不是智慧数的是（）A．2020B．2021C．2022D．20233．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32．即8，16均为“和谐数”），在不超过200的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）A．2700B．2701C．2601D．26004．下列各数中，可以写成两个连续奇数的平方差的（）A．520B．502C．250D．2055．在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（）A．（m﹣n）（﹣m+n）B．（x3﹣y3）（x3+y3）C．（﹣a﹣b）（a﹣b）D．（c2﹣d2）（d2+c2）二．填空题（共5小题）6．小丽在计算3×（4+1）×（42+1）时，把3写成（4﹣1）后，发现可以连续运用平方差公式进行计算．用类似方法计算：（1+）×（1+）×（1+）×（1+）+＝．7．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，…根据规律可得：（x﹣1）（x2021+x2020+…+x+1）＝．8．计算：20212﹣2020×2022＝．9．若m2﹣n2＝40，且m﹣n＝5．则m+n＝．10．如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积是．三．解答题（共4小题）11．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，根据规律（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+…+x2+x+1）＝．（其中n为正整数）；（1）计算：（﹣2）2019+（﹣2）2018+（﹣2）2017+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1；（2）计算：22018+22016+22014+…+24+22+2．12．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．（1）请直接用含a和b的代数式表示S1＝，S2＝；写出利用图形的面积关系所得到的公式：（用式子表达）．（2）应用公式计算：．（3）应用公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1．13．在化简整式（x﹣2）■（x+2）+▲中，“■”表示运算符号“﹣”“×”中的某一个，“▲”表示一个整式．（1）计算（x﹣2）﹣（x+2）+（﹣2+y）；（2）若（x﹣2）（x+2）+▲＝3x2+4，求出整式▲；（3）已知（x﹣2）■（x+2）+▲的计算结果是二次单项式，当▲是常数项时，直接写出■表示的符号及▲的值．14．观察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；（1）（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+…+x+1）＝（其中n为正整数）；（2）（2﹣1）•（299+298+…+2+1）＝；（3）计算：350+349+348+…+32+3+1的值．题组C 培优拔尖练一．选择题（共1小题）1．（2020秋•鼓楼区校级期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）A．255024B．255054C．255064D．250554二．填空题（共6小题）2．（2017春•张掖月考）乘法公式的探究及应用．小题1：如图1，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）；小题2：如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是，长是，面积是（写成多项式乘法的形式）小题3：比较图1，图2的阴影部分面积，可以得到乘法公式（用式子表达）小题4：应用所得的公式计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）3．已知a﹣b＝3，a2﹣b2＝9，则a＝，b＝．4．如图，小刚家有一块“L”形的菜地，要把这块菜地按图示那样分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是xm，下底都是ym，高都是（y﹣x）m，请你帮小刚家算一算菜地的面积是平方米．当x＝20m，y＝30m时，面积是平方米．5．计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+＝．6．小明在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案．你知道答案是多少吗，请将答案填在横线上．7．（2021春•锦江区校级期中）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧数．在正整数中，从1开始，第2021个智慧数是．三．解答题（共6小题）8．（2021春•鼓楼区期中）有些同学会想当然地认为（x﹣y）3＝x3﹣y3．（1）举出反例说明该式不一定成立；（2）计算（x﹣y）3；（3）直接写出当x、y满足什么条件时，该式成立．9．（2021春•婺城区校级期末）乘法公式的探究与应用：（1）如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分面积是（写成两数平方差的形式）（2）小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是，宽是，面积是（写成多项式乘法的形式）．（3）比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式（两个）公式1：公式2：（4）运用你所得到的公式计算：10.3×9.7．10．（2021春•淮北期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是；（请选择正确的一个）A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C、a2+ab＝a（a+b）（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．11．（2021春•罗湖区校级期中）已知4m+n＝90，2m﹣3n＝10，求（m+2n）2﹣（3m﹣n）2的值．12．（2019春•漳浦县期中）你能化简（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．（1）先填空：（a﹣1）（a+1）＝；（a﹣1）（a2+a+1）＝；（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝；…由此猜想：（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）＝（2）利用这个结论，你能解决下面两个问题吗？①求2199+2198+2197+…+22+2+1的值；②若a5+a4+a3+a2+a+1＝0，则a6等于多少？13．（2018秋•沙坪坝区期末）一个个位不为零的四位自然数n，如果千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，则称n为“隐等数”，将这个“隐等数“反序排列（即千位与个位对调，百位与十位对调）得到一个新数m，记D（n）＝．（1）请任意写出一个“隐等数”n，并计算D（n）的值；（2）若某个“隐等数“n的千位与十位上的数字之和为6，D（n）为正数，且D（n）能表示为两个连续偶数的平方差，求满足条件的所有“隐等数”n．。
七年级下册数学平方差公式
七年级下册数学平方差公式
平方差公式：（a+b）（a-b）=a²-b²
根据多项式乘法法则，去掉括号即可得到：
（a+b）（a-b）=a²-ab+ba-b²=a²-b²
其中a和b可以是任意实数（正数，负数，零），也可以是整式。
例如下面的式子也都成立
（-2）²-3²=（-2+3）（-2-3）
（2x+3y-4）（2x+3y+4）=（2x+3y）²-4²
下面看一下平方差公式的一些用法和变化：
平方差公式的变形a²=（a+b）（a-b）+b²
例题2：心算997²
虽然可以利用完全平方公式：
997²=（1000-3）²=1000²-2×3×1000+3²
但是运算过程中有减法，所以心算比较费劲。
所以可以利用上面的变形公式转化成加法。
一般的简便运算都需要凑成整十整百等，997+3=100，两数相加就是平方差公式的一部分。
997²=（997+3）×（997-3）+3²=1000×994+9=994009
完全可以心算直接写答案，其中a=997，b=3.
请仔细体会这种运算方法，对平方差公式的理解会提升一个高度。
七年级数学代数知识点公式
七年级数学代数知识点公式代数是数学中的基础部分，它是我们学习高级数学的基础，也是我们日常生活中必不可少的一部分。
在七年级的数学课程中，代数是非常重要的一个知识点。
本文将分享一些七年级数学代数知识点的公式，帮助大家更好地掌握这一部分的内容。
一、代数运算1.加减乘除法则a+b=b+aa-b=-b+a=a+(-b)a×b=b×aa÷b=a×(1/b)2.乘方a²表示a的平方，即a×aa³表示a的立方，即a×a×aa⁴表示a的四次方，即a×a×a×aa的n次方表示a×a×a……（共n个a）3.开方√a表示a的平方根∛a表示a的立方根a的n次方根表示一个数的n次方等于a，即n√a二、代数式与多项式1.代数式的加减法将同类项的系数相加减，变量部分不变例如：3x+2y-5x-8y=(3-5)x+(2-8)y=-2x-6y2.代数式的乘法(a+b)×c=a×c+b×c例如：(3x+2)(4x-5)=3x×4x+2×4x+3x×(-5)+2×(-5)=12x²-7x-10 3.代数式的整除当a能被b整除时，称b为a的因数，a为b的倍数例如：18能被2整除，2是18的因数，18是2的倍数4.多项式单项式：只有一个项的代数式，例如：3x²、-5y、9a³多项式：由多个单项式相加或相减得到的代数式，例如：2x²+3x-5、4b³-2b²+9b-6三、一元一次方程与解法1.一元一次方程的表示ax+b=0（a≠0），其中a是未知数的系数，b是常数例如：3x-5=2x+12.解方程的步骤（1）将含有未知数的项移动到等式左边，常数项移动到等式的右边3x-2x=1+5（2）将未知数系数化为1，即去除含有未知数系数的项x=6四、常用代数公式1.平均数公式对于n个数a₁,a₂,…,aₙ,平均数为：(ₙ₁+ₙ₂+…+ₙₙ)/ₙ2.二次根式公式ax²+bx+c=0的解为：x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)3.勾股定理公式对于直角三角形ABC，满足AC²=AB²+BC²4.平方差公式(a+b)²=ₙ²+2ab+b²(a-b)²=ₙ²-2ab+b²例如：(2x+3)²=4x²+12x+9总结本文总结了七年级数学代数知识点中的一些基本公式和运算方法，希望能够对同学们在学习中有所帮助，让大家更好地掌握代数知识。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平方
计算下列各题：
1. 2. 3. 4.
(x+2)(x-2) =x2-4 (1+3a)(1-3a) =1-9a2 (x+5y)(x-5y) =x2-25y2 (y+3z)(y-3z) =y2-9z2
平方差公式 2 2 (a+b)(a-b)=a -b
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
解 : (1) a2(a+b)(a-b)+a2b2 = a2(a2-b2)+a2b2 = a4- a2 b2+a2b2 = a4 (2x-5)(2x+5)-2x(2x-3) = (2x)2-25)-(4x2-6x) = 4x2-25-4x2+6x = 6x-25
(2)
随堂练习：
计算： 1. 2. 3. 704×696
例2：利用平方差公式计算下列各题。
1 1 1. ( x y )( x y ) 4 4
2. (ab 8)(ab 8)
2 ( m n )( m n ) 3 n 3.
1 2 1 2 2 ( x) y x y 2 4 16
(ab) 2 64 a 2b 2 64
m2 n 2 3n 2 m 2 2n 2
随堂练习：
计算：
1. 2. 3. 4.
(a+2)(a-2) (3a+2b)(3a-2b) (-x+1)(-x-1) (-4k+3)(-4k-3)
=a2-4 =9a2-4b2 =x2-1 =16k2-9
小结：
作业：P10习题1.11
平方差公式(2)
( x 2 y)(x 2 y) ( x 1)(x 1) 1 1 x( x 1) ( x )( x ) 3 3
； / 大连网站制作
到屋里来，他几乎要惊叫失声：原来给额娘请安の居然是可望而不可及の小四嫂！好些次，他在永和宫向额娘请安の时候，都盼望着能再次 见到她。可是好些次，他都是失望而归。每壹次，雅思琦都是在说：回额娘，水清妹妹生病咯。好些次，他都想问壹问四嫂：小四嫂为啥啊 又生病咯？她是那么の娇弱，他担心，即使壹阵风，都会把她吹倒。可是，无论哪壹次，他都没有问出过口，即使对八小格，甚至是和自己 最要好の十小格，他都守口如瓶，他又怎么可能在四嫂面前露出壹丝破绽？他不担心自己会如何，他担心の是她，会因为他の鲁莽而遭受无 端の怀疑。哪壹各府里の后院都不是干净の，四哥の王府虽然府规最严，但是这种有辱门风の事情，会给她带来啥啊样の后果，他当然是最 清楚。她是他の女神，是他の仙子，他不能因为任何壹各小小の闪失而给她带来毁灭性の后果。他只要她好好地活着，他只需要自己能够远 远地注视，默默地祝福，足够咯。第壹卷 第225章 解围在永和宫再也不曾遇到の小四嫂，居然在行宫遇到咯，而且还要共处五、六各月の 时光，真是有心栽花花不发，无心插柳柳成荫。二十三小格为久别重逢而激动万分，为朝夕相见而欣喜若狂，只是，叔嫂之别要求他必须强 压下这份狂喜，小心地呵护住自己の这份感情。水清认错咯塔娜，他只是莞尔壹笑，可是小四嫂被额娘奚落，他却是焦急万分、心痛至极， 但是又不敢表现出来，于是急中生智の二十三小格脱口而出：“额娘，怎么晚膳还不送来，这壹天又累又乏，连晚膳都不能吃到，这帮奴才 们是怎么当差の。”他也从王爷那里学会咯这壹招：声东击西、围魏救赵。他要迅速地转移话题，他要救水清于危难水火。德妃被二十三小 格壹打岔，果然忘记咯对水清の穷追猛打。老二十三是她の心肝宝贝，她の心思全都放在咯小儿子の身上，其它の壹切全熟视无睹：“你怎 么又饿咯？下午の茶点你没有用吗？”“就那么壹点儿，哪儿够儿子塞牙缝儿の？勉强充充饥而已。”“唉，你呀，你怎么不早说，额娘没 有胃口，根本没有吃啥啊，就让奴才们端走咯。真是の，唉！”德妃壹脸追悔莫及の表情。二十三小格本来是为咯给水清解围，此时见额娘 这么着急上火、心急如焚の样子，非常不忍心让额娘为他操心费神，赶快说道：“没事儿，儿子就是随口提咯这么壹句，不碍事儿の。”二 十三小格话音刚落，就听外面传来零乱の脚步声，秋婵赶快出去查看，才走出房门，就只见是膳房の小太监来送晚膳。二十三小格壹见晚膳， 眉头皱成咯壹各黑疙瘩。他根本就不饿，不但不饿，因为壹天の劳顿，他也是壹点儿胃口都没有，可是刚刚他还跟额娘吵着要晚膳来着。德 妃壹见晚膳来咯，高兴得立即
平方
复习平方差公式
请回答： 1. 复述平方差公式 2. 公式的语言描述 3. 字母a，b的含义
a
如左图，边长为a的大正方形中有一个边长为b 的小正方形。
1. 请表示图中阴影（紫色）部分的面积。
b
图1
2. 小颖将阴影部分拼成了一个长方形，这个 长方形的长和宽分别是多少？ 你能表示出它的面积吗？
FLASH动画演示
例3：用平方差公式进行计算。 (1) 103×97 (2) 118×122 解：(1) 103×97=(100+3)(100-3) =1002-32 =9991
(2) 118×122=(120+2)(120-2) =1202-22 =14396
例4：计算: (1) a2(a+b)(a-b)+a2b2 (2) (2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)
a
3.
比较1、2的结果，你能验证平方差公式吗？
4.
图1
图2
a2-b2
(a+b)(a-b)#43;b)(a-b)
想一想：
1.
2. 3.
计算下列各组算式，并观察它们的共同特点。 7×9= 11×13= 79×81= 8×8= 12×12= 80×80= 从以上的过程中，你发现了什么规律？ 请用字母表示这一规律，你能说明它的正确 性吗？
平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
例1：利用平方差公式计算下列各题。 1. (5+6x)(5-6x) =52-(6x)2=25-36x2 2. (x-2y)(x+2y) =x2-(2y)2=x2-4y2 3. (-m+n)(-m-n) =(-m)2-n2=m2-n2
平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2