专题一 第1讲

第1讲 函数图象与性质

高考定位 1.以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性；2.利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象性质解决简单问题；3.函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法.

真 题 感 悟

1.(2017·全国Ⅲ卷)函数y ＝1＋x ＋sin x

x 2的部分图象大致为( )

解析 法一 易知g (x )＝x ＋sin x

x 2为奇函数，其图象关于原点对称.所以y ＝1＋x ＋sin x

x 2的图象只需把g (x )的图象向上平移一个单位长度，选项D 满足.

法二 当x ＝1时，f (1)＝1＋1＋sin 1＝2＋sin 1>2，排除A ，C.又当x →＋∞时，y →＋∞，B 项不满足，D 满足. 答案 D

2.(2017·山东卷)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0

若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

1a ＝( )

A.2

B.4

C.6

D.8

解析 由已知得a >0，∴a ＋1>1，

∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2(a ＋1－1)， 解得a ＝14，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

1a ＝f (4)＝2(4－1)＝6.

答案 C

3.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( ) A.[－2，2]

B.[－1，1]

C.[0，4]

D.[1，3]

解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝1，于是－1≤f (x －2)≤1等价于f (1)≤f (x －2)≤f (－1)，又f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减， ∴－1≤x －2≤1，∴1≤x ≤3. 答案 D

4.(2016·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑m

i =1x i ＝( )

A.0

B.m

C.2m

D.4m

解析 ∵f (x )＝f (2－x )，

∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称.

又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象关于直线x ＝1对称， ∴两函数图象的交点关于直线x ＝1对称. 当m 为偶数时，∑m i =1x i ＝2×m

2＝m ；

当m 为奇数时，∑m

i =1x i ＝2×m －1

2＋1＝m .

答案 B

考 点 整 合

1.函数的性质

(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异

减”的原则.

(2)奇偶性：①若f (x )是偶函数，则f (x )＝f (－x ). ②若f (x )是奇函数，0在其定义域内，则f (0)＝0.

③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性.

(3)周期性：①若y ＝f (x )对x ∈R ，f (x ＋a )＝f (x －a )或f (x ＋2a )＝f (x )(a >0)恒成立，则y ＝f (x )是周期为2a 的周期函数.

②若y ＝f (x )是偶函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为2|a |的周期函数.

③若y ＝f (x )是奇函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为4|a |的周期函数.

④若f (x ＋a )＝－f (x )⎝ ⎛

⎭⎪⎫或f （x ＋a ）＝1f （x ），则y ＝f (x )是周期为2|a |的周期函数. 易错提醒 错用集合运算符号致误：函数的多个单调区间若不连续，不能用符号“∪”连接，可用“和”或“，”连接. 2.函数的图象

(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换. (2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究. (3)函数图象的对称性

①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；

②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，0)对称.

热点一 函数及其表示

【例1】 (1)(2017·邯郸调研)函数y ＝lg （1－x 2）

2x 2－3x －2的定义域为( )

A.(－∞，1]

B.[－1，1]

C.⎝ ⎛

⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 D.⎣⎢⎡

⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦

⎥⎤－12，1 (2)(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －

1－2，x ≤1，

－log 2（x ＋1），x >1

且f (a )＝－3，则f (6－a )

＝( ) A.－74

B.－54

C.－34

D.－14

解析 (1)函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，

2x 2－3x －2≠0，

即⎩⎨⎧－1

x ≠2且x ≠－12.

所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪

⎪⎪－11，则f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，a ＝7， 故f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝14－2＝－7

4. 答案 (1)C (2)A

探究提高 1.(1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合，只需构建不等式(组)求解即可.

(2)抽象函数：根据f (g (x ))中g (x )的范围与f (x )中x 的范围相同求解.

2.对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如f (g (x ))的函数求值时，应遵循先内后外的原则.

【训练1】 (1)(2017·郑州二模)函数y ＝a －a x (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 48

5＝( ) A.1

B.2

C.3

D.4