第七章梁的弯曲内力课堂

bP RA = l
x1 l
C
AC段： 段 A为原点，在距 点X1处截取左段梁作为研究对象 为原点， 为原点 在距A点 处截取左段梁作为研究对象
bP Q1 = RA = l
(0 < x1 < a)
ＲA A
x1 Q1
M1
bP M 1 = RA x1 = x1 (0 ≤ x1 ≤ a) l
处受集中力P作用 例7—3．图示简支梁，在截面 处受集中力 作用， ．图示简支梁，在截面C处受集中力 作用， 试作梁的剪力图与弯矩图。 试作梁的剪力图与弯矩图。 BC段：B为原点，在距 点X2处截取 ＲA 为原点， 段 为原点 在距B点 处截取 a 左段梁作为研究对象 根据平衡条件分别得： 根据平衡条件分别得：
截面上剪力的实际方向向下） （C截面上剪力的实际方向向下） 截面上剪力的实际方向向下
Q = 10－20 × 0.2 = 6( KN )
q A ＲA C M Q
可知 C截面上一定存在另一个内力分量， 截面上一定存在另一个内力分量， 截面上一定存在另一个内力分量 称为弯矩， 表示。 即力偶,称为弯矩 即力偶 称为弯矩，以M表示。 表示
∑F
得 由 得
Y
= RA − P − Q = 0
2
Pb Q = RA − P = −P 2 l
= ∑ mC R a − M 2= 0
A
M = Pab / l
2
3.剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图 剪力方程与弯矩方程、 剪力方程与弯矩方程
沿梁轴方向选取坐标x，以此表示各横截面的位置， 沿梁轴方向选取坐标 ，以此表示各横截面的位置， 建立梁内各横截面的剪力、弯矩与x的函数关系 的函数关系， 建立梁内各横截面的剪力、弯矩与 的函数关系，即
1 弯曲的相关概念
p m q 对称轴
纵向对称面
外载荷矢量垂直于杆件轴 线时， 线时，杆件将产生弯曲变 轴线形 以弯曲为主要变形的构 称为梁 件，称为梁
垂直于梁轴线的外力， 垂直于梁轴线的外力，又均作用在梁的某 个纵向对称面内， 个纵向对称面内，则梁的轴线将弯成位于 此对称面内的一条平面曲线， 此对称面内的一条平面曲线，此种弯曲称 平面弯曲。 为平面弯曲。
3.内力的正负规定: .内力的正负规定: ①剪力Q: 剪力 : 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。 Q(+) Q(+)
Q(–) Q(–)
②弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。 弯矩 ：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。 M(+) M(+) M(–) M(–)
列剪力方程与弯矩方程 在距A 处截取左段梁为研究对象， 在距A点x处截取左段梁为研究对象， 由平衡方程 A ＲA ∑ FY = RA − qx − Q = 0 得 由 得
M Q
ql Q = RA − qx = − qx 2
ql/2 ql/2 ql2/8
x ∑ mo = − R A x + qx ⋅ 2 + M = 0 x ql q 2 M = R A x − qx ⋅ = x − x 2 2 2
A x1 l M2
P
ＲB b x2 B
C
aP Q2 = − RB = − l
M 2 = RB x2 = aP x2 l
(0 < x2 < b)
(0 ≤ x2 ≤ b)
x2 Q2 bp/l ap/l
Pab/l
ＲB B
根据AC、 两段各自的剪力方程与弯矩方程 两段各自的剪力方程与弯矩方程， 根据 、BC两段各自的剪力方程与弯矩方程， 分别画出AC、 两段梁的剪力图与弯矩图 两段梁的剪力图与弯矩图。 分别画出 、BC两段梁的剪力图与弯矩图。 从剪力图与弯矩图可以看出， 集中力作用处 作用处， 从剪力图与弯矩图可以看出，在集中力作用处， 其左、右两侧横截面上的弯矩相同 弯矩相同， 其左、右两侧横截面上的弯矩相同， 剪力则发生突变， 则发生突变 而剪力则发生突变， 突变量等于该集中力之值。 突变量等于该集中力之值。
由剪力方程及弯矩方程可画出剪力与弯矩图
处受到矩为m的集中力偶作用 例7—5．图示简支梁，在截面 处受到矩为 的集中力偶作用， ．图示简支梁，在截面C处受到矩为 的集中力偶作用， 试作梁的剪力图与弯矩图。 试作梁的剪力图与弯矩图。 m Ｒ ＲB 计算支反力，由平衡方程求得： 解：1）计算支反力，由平衡方程求得： a b
2．教学重点和难点： ．教学重点和难点： 剪力、弯矩的符号约定与简单计算方法； 剪力、弯矩的符号约定与简单计算方法；剪 力图、弯矩图的绘制；剪力、弯矩、 力图、弯矩图的绘制；剪力、弯矩、荷载的 关系与内力图简单作法应用。 关系与内力图简单作法应用。 3．习题课安排： ．习题课安排： 剪力弯矩计算，剪力、 剪力弯矩计算，剪力、弯矩图绘制及简单作 法求解实例。 法求解实例。
C Q
M
可知 由平衡条件 ∑ FY = 0 C截面上一定存在沿铅垂方向的内力，这种 截面上一定存在沿铅垂方向的内力， 截面上一定存在沿铅垂方向的内力 与 截面平行的内力称为剪力， 截面平行的内力称为剪力，以Q表示 表示 由平衡方程确定剪力的大小及实际方向
∑F
Y
= RA − q ⋅ AC − Q = 0
处受集中力P作用 例7—3．图示简支梁，在截面 处受集中力 作用，试作梁的 ．图示简支梁，在截面C处受集中力 作用， 剪力图与弯矩图。 剪力图与弯矩图。 解： 由平衡方程求支反力： 由平衡方程求支反力：
ＲA a A P ＲB b B x2
aP RB = l 建立剪力方程与弯矩方程： 建立剪力方程与弯矩方程：
有什么一般规律？ 有什么一般规律？
AB受集度为 10a）。 例7—4．一简支梁AB受集度为q的均布载荷作用（图7—10a）。 4 一简支梁AB受集度为q的均布载荷作用（ 10a q 作此梁的剪力图与弯矩。 作此梁的剪力图与弯矩。 解：求支座反力
R A = RB = 1 ql 2
A
ＲA
x q x
o
B l ＲB
用截面法分析C处截面的内力 用截面法分析 处截面的内力: 处截面的内力 2.梁的内力计算 梁的内力计算
q=20Ｎ/mm
由整体的平衡方程易求 得：
R A = RB = 10 KN
A 0.2m ＲA q A ＲA
C
B １m ＲB
以一假想平面在C处将梁截开， 以一假想平面在 处将梁截开， 处将梁截开 选左段为研究对象
梁的受力特点是在轴线平面内受到力偶矩或 垂直于轴线方向的外力的作用。
梁的类型（简化为）： 梁的类型（简化为）：
q A B A B
悬臂梁 ： 一端为固 定端，另 一端为自 由端的梁
简支梁： 简支梁： 一端为活动 铰链支座， 另一端为固 定铰链支座
外伸梁： 外伸梁： 一端或两 端伸出支 座之外的 简支梁
有什么一般规律？ 有什么一般规律？ 据剪力方程及弯矩方程，画剪力与弯矩图。 据剪力方程及弯矩方程，画剪力与弯矩图。 ，
4.载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系 载荷集度、剪力、 载荷集度
用相距dx的两个横截面 用相距 的两个横截面m-m、n-n从梁中切取一微段进行分析 的两个横截面 、 从梁中切取一微段进行分析
Q = Q (x )
M = M (x )
。
剪力方程 弯矩方程
若以x为横坐标， 为纵坐标， 若以 为横坐标，以Q或M为纵坐标，将剪力、弯矩 为横坐标 或 为纵坐标 将剪力、 方程所对应的图线绘出来，即可得到剪力图与弯矩图 剪力图与弯矩图， 方程所对应的图线绘出来，即可得到剪力图与弯矩图， 这可使我们更直观地了解梁各横截面的内力变化规律 更直观地了解梁各横截面的内力变化规律。 这可使我们更直观地了解梁各横截面的内力变化规律。
C
bP RA = l
ＲA A
a
Q1
M1
在截面上， 在截面上，按正向加上剪力与弯矩
由平衡方程
得
∑F
得
= RA − Q 1= 0 Pb Q = RA = 1 l
Y
由
∑m = R a − M
C
A
1
=0
M = Pab / l
1
将梁截开， 在C +处，将梁截开，取左部分为研究对象
ＲA A Q2
a
PM
2
在截面上， 在截面上，按正向加上剪力与弯矩 由平衡方程
第七章
梁 的 弯 曲 内 力
Shear Forces and Bending Moments
教学要求与教学目标
1.了解工程实例中的弯曲问题与简化方法， 了解工程实例中的弯曲问题与简化方法， 了解工程实例中的弯曲问题与简化方法 理解平面弯曲概念； 理解平面弯曲概念； 掌握梁的内力计算方法，熟练绘制剪力图、 掌握梁的内力计算方法，熟练绘制剪力图、 弯矩图； 弯矩图； 掌握载荷、剪力、 掌握载荷、剪力、弯矩的关系并用于绘制剪 力弯矩图； 力弯矩图； 了解叠加法做内力图。 了解叠加法做内力图。
处受集中力P作用 例7—1．图示简支梁，在截面 处受集中力 作用， ．图示简支梁，在截面C处受集中力 作用， 试求C 截面上内力。 试求 +及C- 截面上内力。
ＲA a A l ＲB b B
P
解： 由整体的平衡方程可求 得约束力为： 得约束力为：
aP RB = l 将梁截开， 在C -处，将梁截开，取左部分为研究对 象
），右端固定 例7—2．一悬臂梁 （图7—9a），右端固定，左端受集中力 作用 ．一悬臂梁AB（ ），右端固定，左端受集中力P作用 作此梁的剪力图及弯矩图。 作此梁的剪力图及弯矩图。 解： P （1）列剪力方程与弯矩方程 以A为坐标原点，在距原点x处将梁截开， 为坐标原点，在距原点x处将梁截开， 取左段梁为研究对象， 取左段梁为研究对象， 由平衡方程求x 由平衡方程求x截面的剪力与弯矩
M = 10 × 0.2 − 20 × 0.22 = 1.6( KNm ) 2
（C截面弯矩的实际方向为逆时针 截面弯矩的实际方向为逆时针
剪力与弯矩的符号规 定： 因左、右截面上剪力、 因左、右截面上剪力、弯矩的方向一定是相反的 。 故对弯曲内力的符号做如下规定： 故对弯曲内力的符号做如下规定： 有使研究段产生顺时针旋转趋势的剪力为正，反之为负； 有使研究段产生顺时针旋转趋势的剪力为正，反之为负； 顺时针旋转趋势的剪力为正 使保留段产生下凸变形的弯矩为正 反之为负。 下凸变形的弯矩为正， 使保留段产生下凸变形的弯矩为正，反之为负。
C
又由平衡条件
∑m
(F ) = 0
由平衡方程确定弯矩的大小及实际方向： 由平衡方程确定弯矩的大小及实际方向： q mC ( F ) = M − RA ⋅ AC + ⋅ AC 2 =0 ∑ 2 (一般将所求截面的形心作为力矩平衡方程的矩心 一般将所求截面的形心作为力矩平衡方程的矩心) 一般将所求截面的形心作为力矩平衡方程的矩心
A
m Q1 = − RA = − l (0 < x1 ≤ a)
m M 1 = − RA x1 = − x1 l
2）建立剪力方程与弯矩方程 ） l 分别于C 处将梁截开， 分别于 —与C+处将梁截开， 分别取左段与右段为研究对象， 分别取左段与右段为研究对象， 并分别以Q 代表它们各自的内力，可求得： 并分别以 1 、M1和Q2、M2代表它们各自的内力，可求得：
ＲA A M2 m x2 x1 M1 Q1 ＲB mb/l
m RA = l
m RB = l
A
x1
C
x2wk.baidu.com
B
m/l
(0 ≤ x1 < a)
ma/l m (0 < x ≤ b ) B Q2 = − RB = − ， Q2 2 l 由内力图可以看出，在集中力偶作用处， 由内力图可以看出，在集中力偶作用处， x 其左右两侧横截面上的剪力相同， M 2 = −m + RB x2 = m( 2 − 1) (0 ≤ x 2 < b) 其左右两侧横截面上的剪力相同，但弯 矩发生突变， 矩发生突变，突变量等于该集中力偶之矩 l
x
x PL
作梁的内力图的 一般步骤
求约 束反 力 静力 平衡 方程 截取 研究 对象 载荷 突变 处分 段。
y
0
F FAy 3F
A
° FB 45°
F
B
Μ
x Q
a
FAx a
x
FN
0
a
受 力 图 内力 按正 向假 设。
列平 衡方 程 矩心 取截 面形 心。
求解 内力 内 力 方 程
画内 力图 图形 应封 闭。
P
，
(a)
A
x L
B
∑F = −Q − P = 0
Y
Q = −P
(b)
A
x
O Q
M（x） （ ）
∑m = Px+ M = 0
O
M = − Px
Q
(c)
以上两式即为AB梁的剪力方程与弯矩 以上两式即为AB梁的剪力方程与弯矩 AB 方程。 方程。 (d) 依据剪力方程与弯矩方程作出剪力图 与弯矩图
P M