两点距离公式专项练习(精.选)

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综合算式专项练习题两点之间的距离与中点的计算

综合算式专项练习题两点之间的距离与中点的计算综合算式专项练习题：两点之间的距离与中点的计算两点之间的距离是数学中常见的问题，而中点的计算也是解决几何问题时的基础。

本文将为您综合讲解两点之间的距离计算公式以及中点的计算方法，并提供专项练习题供您巩固和应用所学知识。

一、两点之间的距离计算公式在平面几何中，两点之间的距离可以通过坐标之间的差值来计算。

设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则它们之间的距离D可以利用勾股定理来计算，即：D = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)其中：- (x2 - x1)表示横坐标之差- (y2 - y1)表示纵坐标之差- (x2 - x1)²表示横坐标之差的平方- (y2 - y1)²表示纵坐标之差的平方- √(...)表示开平方，即求得两点之间的距离D二、中点的计算方法在平面几何中，两点之间的中点即为连接这两点的线段的中点，可以通过坐标平均值的方式来计算。

设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则连接AB的线段的中点M的坐标为：M(x, y) = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)其中：- (x1 + x2)/2表示横坐标的平均值- (y1 + y2)/2表示纵坐标的平均值- (x, y)表示中点M的坐标三、综合算式专项练习题1. 已知点A(2, 5)和点B(-3, 1)，求两点之间的距离D。

解析：根据距离计算公式，我们将坐标代入公式中计算：D = √((-3 - 2)² + (1 - 5)²)D = √((-5)² + (-4)²)D = √(25 + 16)D = √41所以，点A和点B之间的距离D为√41。

2. 已知点C(4, -6)和点D(1, 3)，求连接CD的线段的中点M的坐标。

解析：根据中点计算方法，我们将坐标代入公式中计算：M(x, y) = ((4 + 1)/2, (-6 + 3)/2)M(x, y) = (5/2, -3/2)所以，连接点C和点D的线段的中点M的坐标为(5/2, -3/2)。

高考数学《两条直线的位置关系及距离公式》真题含答案

高考数学《两条直线的位置关系及距离公式》真题含答案一、选择题1．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0答案：A解析：设所求的直线方程为x －2y ＋c ＝0，又(1，0)在直线l 上，∴1＋c ＝0，∴c ＝－1，故所求的直线方程为x －2y －1＝0.2．若直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0和直线l 2：3x ＋ay ＋2＝0垂直，则实数a 的值为( ) A ．12 B ．32 C ．14 D ．34答案：D解析：∵l 1与l 2垂直，∴3(a －1)＋a ＝0，得a ＝34. 3．“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＋2a ＝0和直线3x ＋(a －1)y －a ＋7＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：由两条直线平行，∴a 3 ＝2a －1 ≠2a 7－a，得a ＝－2或a ＝3.∴a ＝3是两条直线平行的充分不必要条件．4．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B解析：由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k k －1，y ＝2k －1k －1．又∵0<k <12，∴x ＝k k －1 <0，y ＝2k －1k －1>0，故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．5．“C ＝2”是“点(1，3 )到直线x ＋3 y ＋C ＝0的距离为3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案：B解析：由点(1，3 )到直线x ＋3 y ＋C ＝0的距离为3，得|1＋3×3＋C |12＋（3）2 ＝|4＋C |2 ＝3，得C ＝2或C ＝－10. ∴C ＝2是点(1，3 )到直线x ＋3 y ＋C ＝0的距离为3的充分不必要条件．6．过点P (2，1)且与原点O 距离最远的直线方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x －y －3＝0C ．x ＋2y －4＝0D ．x －2y ＝0答案：A解析：过点P (2，1)且与原点O 距离最远的直线就是过点P 且与OP 垂直的直线，因为直线OP 的斜率为1－02－0 ＝12，所以所求直线的斜率为－2，即所求直线方程为y －1＝－2(x －2)，得2x ＋y －5＝0.7．若两平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是5 ，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．－2D ．－1答案：C解析：∵l 1∥l 2，∴12 ＝－2n，∴n ＝－4， ∴l 2：2x －4y －6＝0可化为x －2y －3＝0 ∴|m ＋3|12＋（－2）2 ＝|m ＋3|5 ＝5 ，又m >0，∴m ＝2， ∴m ＋n ＝2－4＝－2.8．三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0构成一个三角形，则k的取值范围是( )A ．k ∈RB ．k ∈R 且k ≠±1，k ≠0C ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠－10D ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠1答案：C解析：由l 1∥l 3，得k ＝5；由l 2∥l 3，得k ＝－5；由x －y ＝0与x ＋y －2＝0，得x ＝1，y ＝1，若(1，1)在l 3上，则k ＝－10.若l 1，l 2，l 3能构成一个三角形，则k ≠±5且k ≠－10，故选C.9．(多选)已知直线l ：3 x －y ＋1＝0，则下列结论正确的是( )A ．直线l 的倾斜角是π6B ．若直线m ：x －3 y ＋1＝0，则l ⊥mC ．点(3 ，0)到直线l 的距离是2D ．过点(23 ，2)与直线l 平行的直线方程是3 x －y －4＝0答案：CD解析：对于A ，直线l ：3 x －y ＋1＝0的斜率k ＝3 ，故直线l 的倾斜角是π3，故A 错误；对于B ，因为直线m ：x －3 y ＋1＝0的斜率k ′＝33，kk ′＝1≠－1，故直线l 与直线m 不垂直，故B 错误；对于C ，点(3 ，0)到直线l 的距离d ＝|3×3－0＋1|（3）2＋（－1）2 ＝2，故C 正确；对于D ，过点(23 ，2)与直线l 平行的直线方程是y －2＝3 (x －23 )，整理得3 x －y －4＝0，故D 正确．二、填空题10．若曲线y ＝a x (a >0且a ≠1)恒过定点A (m ，n )，则A 到直线x ＋y －3＝0的距离为________．答案：2解析：由题意得A (0，1)，由点A (0，1)到直线x ＋y －3＝0的距离为|1－3|12＋12 ＝2 . 11．[2022·全国甲卷(理)，14]若双曲线y 2－x 2m 2＝1(m >0)的渐近线与圆x 2＋y 2－4y ＋3＝0相切，则m ＝________．答案：33 解析：由题意，得双曲线的一条渐近线方程为y ＝x m，即x －my ＝0.圆的方程可化为x 2＋(y－2)2＝1，故圆心坐标为(0，2)，半径r＝1.由渐近线与圆相切，结合点到直线的距离公式，得|0－2m|m2＋1＝1，解得m＝±33.又因为m＞0，所以m＝33.12．过点A(4，a)和B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则两点间的距离|AB|＝________．答案：2解析：由题意可知，k AB＝b－a5－4＝b－a＝1，故|AB|＝（5－4）2＋（b－a）2＝2.。

空间两点间的距离公式课时训练(带答案)

空间两点间的距离公式课时训练（带答案）课时提升作业(二十七) 空间两点间的距离公式一、选择题(每小题4分，共12分) 1.(2014•长春高一检测)点M(2，-3，5)到x轴的距离与M到y轴的距离之比为 ( ) A. ∶ B. ∶ C. ∶ D. ∶ 【解析】选D.M在x轴上的射影坐标为(2，0，0)，M在y轴上的射影坐标为(0，-3，0)，所以M到x轴的距离为d1= = = ，M到y轴的距离为d2= = = ，所以d1∶d2= ∶ . 【误区警示】点M(a，b，c)在x轴上的射影坐标为(a，0，0)，在y轴上的射影坐标为(0，b，0)，在z轴上的射影坐标为(0，0，c)，应熟记，并理解推导过程. 2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若D(0，0，0)，A(4，0，0)，B(4，2，0)，A1(4，0，3)，则对角线AC1的长为( ) A.9 B. C.5 D.2 【解析】选B.如图所示，由题设条件可知： |AA1|=3，|AB|=2，所以C1(0，2，3)，所以|AC1|= . 3.在空间直角坐标系中，给定点M(2，-1，3)，若点A与点M关于xOy平面对称，点B与点M关于x轴对称，则|AB|=( ) A.2 B.4 C.2 D.3 【解题指南】先根据点的对称求得A 和B的坐标，进而利用两点间的距离公式求得|AB|. 【解析】选A.因为点M(2，-1，3)关于平面xOy的对称点为A，它的横坐标与纵坐标不变，竖坐标相反，所以A(2，-1，-3)；M(2，-1，3)关于x轴的对称点为B，它的横坐标不变，纵坐标相反，竖坐标相反，有B(2，1，-3)，所以|AB|= =2. 二、填空题(每小题4分，共8分) 4.(2013•汉中高一检测)在空间直角坐标系中，在z轴上求一点C，使得点C到点A(1，0，2)与点B(1，1，1)的距离相等，则点C的坐标为__________. 【解析】设点C的坐标为(0，0，z)，由题意可知|AC|=|BC|，即 = ，解得z=1，即点C的坐标为(0，0，1). 答案：(0，0，1) 【变式训练】(2013•南通高二检测)在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A(3，-1，2)，其中心M的坐标为(0，1，2)，则该正方体的棱长为____________. 【解题指南】先求正方体体对角线的长，再求棱长. 【解析】|AM|= = ，所以体对角线|AC1|=2 . 设棱长为x，则3x2=(2 )2，所以x= . 答案：5.(2014•徐州高一检测)已知正方体不在同一表面上的两个顶点A(-1，2，-1)，B(3，-2，3)，则正方体的体积是________. 【解析】设正方体的棱长为a，因为A，B是不在同一表面上的点，所以AB为正方体的对角线，|AB|2=3a2=(3+1)2+(-2-2)2+(3+1)2=48，所以a=4，V=4×4×4=64. 答案：64 【误区警示】解答本题时常因审题不清，误认为|AB|为棱长致错. 三、解答题(20分) 6.(2013•临沂高一检测)长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，D1D=3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点.建立如图所示的空间直角坐标系. (1)写出点D，N，M的坐标. (2)求线段MD，MN的长度. 【解题指南】(1)D是原点，先写出A，B，B1，C1的坐标，再由中点坐标公式得M，N的坐标. (2)代入空间中两点间距离公式即可. 【解析】(1)因为D是原点，则D(0，0，0). 由AB=BC=2，D1D=3，得A(2，0，0)，B(2，2，0)，B1(2，2，3)，C1(0，2，3). 因为N是AB的中点，所以N(2，1，0). 同理可得M(1，2，3). (2)由两点间距离公式，得 |MD|= = ， |MN|= = . 一、选择题(每小题4分，共8分) 1.(2014•榆林高一检测)下列各点到坐标原点距离最小的是( ) A.(1，-1，1) B.(3，0，4) C.(-2，3，5) D.(2，2，1) 【解析】选A.点(1，-1，1)，(3，0，4)，(-2，3，5)，(2，2，1)到原点(0，0，0)的距离分别为，5，，3，故A符合要求. 2.(2013•肇庆高二检测)在空间直角坐标系中，与点A(3，1，2)，B(4，-2，-2)，C(0，5，1)等距离的点有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个【解析】选D.由两点间距离公式可得|AB|= ，|BC|= ，|AC|= .易知A，B，C三点不共线，故可确定一个平面，在△ABC所在平面内可找到一点到A，B，C的距离相等.而过该点与平面ABC垂直的直线上的每一点到A，B，C的距离均相等. 二、填空题(每小题5分，共10分) 3.已知x，y，z满足方程C：(x-3)2+(y-4)2+(z+5)2=2，则x2+y2+z2的最小值是________. 【解题指南】利用x2+y2+z2的几何意义求解. 【解析】x2+y2+z2可看成球面上的点到原点距离的平方，其最小值为( - )2=(4 )2=32. 答案：32 【变式训练】已知球面(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2=9与点A(-3，2，5)，则球面上的点与点A的距离的最大值和最小值各是________. 【解析】由题意知球心B的坐标是(1，-2，3)，球的半径是3，又|BA|= =6，所以所求最大值为9，最小值为3. 答案：9，3 4.(2014•上海高一检测)在空间直角坐标系O-xyz中满足z=1的所有点构成的图形是________. 【解析】因为z=1，所以满足条件的点到xOy面的距离为1，所以满足条件的点构成一个平面，即与xOy平面平行，与z轴交点为(0，0，1)的平面. 答案：与xOy平面平行且与z轴交点为(0，0，1)的平面【误区警示】解答本题时，会受平面直角坐标系中直线方程的影响，误认为是直线. 三、解答题(12分) 5.已知点A(1，1，0)，对于Oz轴正半轴上任意一点P，在Oy轴上是否存在一点B，使得PA⊥AB成立？若存在，求出B点的坐标；若不存在，说明理由. 【解析】如图，若PA⊥AB成立，则AB⊥平面POA，所以AB⊥OA，设B(0，y，0)，则有OA= ，OB=y， AB= . 由OB2=OA2+AB2，得y2=2+1+ (y-1)2，解得y=2，所以存在这样的点B，当点B为(0，2，0)时，PA⊥AB成立. 【拓展延伸】垂直关系的转化空间中的垂直关系，往往需要转化解题，本题将PA⊥AB借助线面垂直转化为AB⊥OA，即转化到一个平面中解决，这是解题中常用的策略.实际上OA是AP在平面xOy上的射影，PA⊥AB⇔AB⊥OA，在立体几何中，分别称为射影定理、射影定理的逆定理.。

中点坐标公式与两点间的距离公式练习题

中点坐标公式与两点间的距离公式练习题（一）1．在数轴上的两点A ，B 分别表示实数m,n ，则AB 的距离AB = 2．在平面直角坐系中， ①A(3,4),D(3,-2)，则=AD ；②D （3，-2），B （-5，-2），则=BD 。

③此时=AB 。

3．若()()2211y ,x B ,y ,x A ，则=AB 4：A(x,0)和 B(2,3)的距离为23,求x 的值。

5：已知△ABC 的三个顶点是A(-1,0)、()0,1B ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,21C ，试判断三角形的形状。

6：求证:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.7．已知点()y ,x A 到点()3,2B 的距离是5，①试问满足条件的A 点有多少？②这样的A 点有何特点？他们的全体将构成什么图形？8．求下列两点的距离： ①()()3,2B ,3,1A -②()()71B 3,1A ---，，③()()12B 31A --，，，9：已知四边形的四个顶点的坐标分别为：()()3,1B ,2,2A ---，()()4,0D ,3,3C ，试判断这个四边形的形状。

10.求中点坐标：①已知()()5,4B ,3,2A ，求AB 的中点坐标。

②已知()()2211y ,x B ,y ,x A ，求AB 的中点坐标。

11.试证3(P ，)8，6(Q ，)2，5(R ，)4三点在同一条直线。

12.己知6(M ，)4-为AB 的中点，且点A 坐标为4(，)6-，试求B 点坐标。

13.设1(-A ，)3-，3(B ，)0，5(C ，)4，则平行四边形ABCD 中，试求D 点坐标。

14.ABC ∆中，三边AB ，BC ，CA 的中点坐标为1(-D ，)1，4(E ，)1-，2(-F ，)5，求此ABC ∆三顶点的坐标。

高中数学第四章圆与方程 4.34.3.2 空间两点间的距离

4.3.2 空间两点间的距离公式A级基础巩固一、选择题1．在空间直角坐标系中，点P(3，1，5)关于平面yOz对称的点的坐标为( )A．(－3，1，5) B．(－3，－1，5)C．(3，－1，－5) D．(－3，1，－5)解析：由于点关于平面yOz对称，故其纵坐标、竖坐标不变，横坐标变为相反数，即对称点坐标是(－3，1，5)．答案：A2．点P(2，3，4)到y轴的距离是( )A.13 B．2 5C．5 D.29解析：点P在y轴的射影P′为(0，3，0)，所以|PP′|＝22＋42＝20＝2 5.答案：B3．若点P(－4，－2，3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为( )A．7 B．－7C．－1 D．1解析：点P关于坐标平面xOy的对称点坐标是(－4，－2，－3)，关于y轴的对称点坐标是(4，－2，－3)，从而知c＋e＝1.答案：D4．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过P点作平面xOy的垂线PQ，Q为垂足，则Q的坐标为( )A．(0，2，0) B．(02，3)C．(1，0，3) D．(1，2，0)解析：点P(1，2，3)关于平面xOy的对称点是P1(1，2，－3)，则垂足Q是PP1的中点，所以点Q的坐标为(1，2，0)．答案：D5．点A(1，2，－1)，点C与点A关于面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则|BC|的值为( )A．2 5 B．4C ．2 2D ．27解析：点A 关于面xOy 对称的点C 的坐标是(1，2，1)，点A 关于x 轴对称的点B 的坐标是(1，－2，1)，故|BC |＝（1－1）2＋（2＋2）2＋（1－1）2＝4.答案：B二、填空题6．如图所示的坐标系中，单位正方体顶点A 的坐标是_________．解析：点A 在x 轴、y 轴、z 轴上的投影分别是B 1、D 1、C ，故A 点坐标为(1，－1，－1)．答案：(1，－1，－1)7．在空间直角坐标系中，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的顶点A 的坐标为(3，－1，2)，其中心M 的坐标为(0，1，2)，则该正方体的棱长为________．解析：由A (3，－1，2)，中心M (0，1，2)所以C 1(－3，3，2)．正方体体对角线长为|AC 1|＝[3－（－3）]2＋（－1－3）2＋（2－2）2＝213，所以正方体的棱长为2133＝2393. 答案：23938．给定空间直角坐标系，在x 轴上找一点P ，使它与点P 0(4，1，2)的距离为30，则P 点坐标为______________________________．解析：设点P 的坐标为(x ，0，0)，由题意，得|P 0P |＝30，即（x －4）2＋12＋22＝30. 所以x ＝9或x ＝－1.所以P 点坐标为(9，0，0)或(－1，0，0)．答案：(9，0，0)或(－1，0，0)三、解答题9．已知A (3，2，1)，B (1，0，4)，求：(1)线段AB 中点的坐标和A 与B 的距离；(2)到A ，B 两点距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标x ，y ，z 满足的条件，并指出方程表示什么图形．解：(1)M (x ，y ，z )是AB 的中点，则x ＝3＋12＝2， y ＝2＋02＝1，z ＝1＋42＝52，所以M 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，1，52. 两点间的距离|AB |＝（1－3）2＋（0－2）2＋（4－1）2＝17.(2)由P (x ，y ，z )到A 、B 两点的距离相等．则（x －3）2＋（y －2）2＋（z －1）2＝（x －1）2＋（y －0）2＋（z －4）2，化简得4x ＋4y －6z ＋3＝0.即到A 、B 的距离相等的点的坐标(x ，y ，z )满足的条件是4x ＋4y －6z ＋3＝0.方程表示的图形是线段AB 的垂直平分面．10.如图所示，直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别是棱AB ，B 1C 1的中点，F 是AC 的中点，求DE ，EF 的长度．解：以点C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，所以C (0，0，0)，A (2，0，0)，B (0，2，0)，C 1(0，0，2)，B 1(0，2，2)，由中点坐标公式可得，D (1，1，0)，E (0，1，2)，F (1，0，0)，所以|DE |＝（1－0）2＋（1－1）2＋（0－2）2＝5，|EF |＝（0－1）2＋（1－0）2＋（2－0）2＝ 6.B 级能力提升1．在空间直角坐标系中的点P (a ，b ，c )，有下列叙述：①点P (a ，b ，c )关于横轴(x 轴)的对称点是P 1(a ，－b ，c )；②点P (a ，b ，c )关于yOz 坐标平面的对称点为P 2(a ，－b ，－c )；③点P (a ，b ，c )关于纵轴(y 轴)的对称点是P 3(a ，－b ，c )；④点P (a ，b ，c )关于坐标原点的对称点为P 4(－a ，－b ，－c )．其中正确叙述的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：对于①，点P (a ，b ，c )关于横轴的对称点为P 1(a ，－b ，－c )，故①错；对于②，点P (a ，b ，c )关于yOz 坐标平面的对称点为P 2(－a ，b ，c )，故②错；对于③，点P (a ，b ，c )关于纵轴的对称点是P 3(－a ，b ，－c )，故③错；④正确．答案：C2．在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，F 是BD 的中点，G 在棱CD 上，且|CG |＝14|CD |，E 为C 1G 的中点，则EF 的长为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，D 为坐标原点，由题意，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C 1(0，1，1)，C (0，1，0)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12.所以 |EF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02＝418. 答案：418 3．在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AC ＝2，CB ＝CC 1＝4，E 、F 、M 、N 分别是A 1B 1、AB 、C 1B 1、CB 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)在四边形ABB 1A 1内找一点P ，使△ABP 为正三角形．(2)能否在MN 上求得一点Q ，使△AQB 为以AB 为斜边的直角三角形？若能，请求出点Q 的坐标；若不能，请说明理由．解：(1)因为EF 是AB 的中垂线，在平面ABB 1A 1内只有EF 上的点与A ，B 两点的距离相等，A (2，0，0)，B (0，4，0)，设点P 坐标为(1，2，z )，由|PA |＝|AB |，得（1－2）2＋（2－0）2＋（z －0）2＝20，所以z 2＝15.因为z ∈[0，4]，所以z ＝15，故平面ABB 1A 1内的点P (1，2，15)使得△ABP 为正三角形．(2)设MN 上的点Q 坐标为(0，2，z )．因为△AQB 为直角三角形，所以|QF |＝12|AB |. 即（0－1）2＋（2－2）2＋（z －0）2＝1220，整理，得z 2＋1＝5，所以z 2＝4.因为z ∈[0，4]，所以z ＝2.故MN 上的点Q (0，2，2)使得△AQB 为直角三角形．。

数学必修二两点间的距离公式试题

数学必修二两点间的距离公式试题学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知直线x=t分别与函数f(x)=log2(x+1)和g(x)=2log2(x+2)的图象交于P，Q两点，则P，Q两点间的最小距离为（）A.4B.1C.√2D.22. 已知点A(1,0,−2)，B(4,2,3)，则|AB|等于（）A.38B.√38C.√14D.143. 已知圆C的半径为3，且经过点P(5,12)，若点C的坐标为(a,b)，则√a2+b2的最小值为()A.5B.7C.9D.104. 以A(1, 5)、B(5, 1)、C(−9, −9)为顶点的三角形是()A.等边三角形B.等腰三角形C.不等边三角形D.直角三角形5. 已知A(1, 4)，B(8, 3)，点P在x轴上，则使|AP|+|BP|取得最小值的点P的坐标是（）A.(4, 0)B.(5, 0)C.(−5, 0)D.(−4, 0)6. 点P在圆O:x2+y2=4上运动，点Q在圆C:(x+5)2+y2=1上运动，则|PQ|的最小值为（）A.1B.2C.√2D.√37. 已知实数a，b，c，d满足a−2e ab =2−cd=1，其中e是自然对数的底数，则(a−c)2+(b−d)2的最小值为（）A.4B.8C.12D.188. 已知：如图：平面上两点P(0, 1)、Q(3, 6)，在直线y=x上取两点M、N，使|MN|=√2a（a>0，a为常数）且使|PM|+|MN|+|NQ|的值取最小，则N的坐标为A.(√2a, √2a)B.(a, a)C.(1+34a, 1+34a)D.(32+34a, 32+34a)9. 已知平面上有三点A(1, 1)，B(−2, 4)，C(−1, 2)，P 在直线AB 上，使|AP →|=13|AB →|，连接PC ，Q 是PC 的中点，则点Q 的坐标是（）A.(−12, 2)B.(12, 1)C.(−12, 2)或(12, 1)D.(−12, 2)或(−1, 2)10. 在极坐标系中，点A (1,π5)，B (2,6π5)，则|AB|等于（） A.1B.2C.3D.411. 如图，在四面体ABCD 中，AB =CD =3，AC =BD =√11，AD =BC =2√3，△ABC 的重心为O ，则DO =( )A.2B.43C.83D.312. 若点P(m, 0)到点A(−3, 2)及B(2, 8)的距离之和最小，则m 的值为（）A.−2B.1C.2D.−113. 已知平面上两点A(−3, 2)、B(1, −1)，则|AB|=________．14. 已知：A(1, 2, 1)，B(−1, 3, 4)，C(1, 1, 1)，AP →=2PB →，则|PC|长为________．15. 已知点A(2, 1)，B(5, −1)，则|AB|=________．16. 在△ABC中，已知A(4, 1)，B(7, 5)，C(−4, 7)，则BC边的中线AD长为________．17. 已知点A(1, 1)和点B(3, 2)，在直线y＝−x上有一个点P，满足PA+PB最小，则PA+PB的最小值是________18. 已知圆C:x2+y2−4y=0，过点(3, 2)作圆的切线，则切线长等于________．19. 等腰△ABC的顶点是A(3, 0)，底边长|BC|=4，BC边的中点D(5, 4)，则腰长为________．, −2)与到焦点的距离之和最小，则点M的20. 使得抛物线上y2=4x上一点M到点A(52坐标为________．21. 已知λ、μ∈R，α∈[0, 90∘]，且sin40∘(λtan10∘+μ)=−1，点P(λ, μ)与坐标原点O 间距的最小值是2sinα，则α=________．22. 已知两点A(1, −2)，B(−4, −2)，以下四条曲线：①4x+2y=3，②x2+y2=3，③x2+2y2=3，④x2−2y=3．其中存在点P，使|PA|=|PB|的曲线有________．（填写正确的命题的序号）23. 已知△ABO的三个顶点分别为A(−8, 0)，B(0, 15)，O(0, 0)，求其内心坐标．24. 已知点A(3,3),B(5,1),C(1,0).(1)求直线AB的一般式方程；(2)求△ABC的面积．25. 已知△ABC的三个顶点坐标为A(−3, 1)，B(3, −3)，C(1, 7)．(1)求BC的中线所在直线方程的一般式方程；(2)求△ABC的面积．26. 判断A(1, 3)、B(5, 7)、C(10, 12)三点是否共线？并说明理由．(1)过点A(1, 1)，B(−1, 3)且面积最小；(2)圆心在直线2x−y−7=0上且与y轴交于点A(0, −4)，B(0, −2)．28. 已知点M(−1, −3)，N(−1, 5)，求线段MN的长度，并写出线段MN的中点P的坐标．，点D在线段BC上．29. 已知△ABC中，AB=2，cos B=14（Ⅰ）若∠ADC=3π，求AD的长；4=2，求BC的长．（Ⅱ）若BD=CD，sin∠BADsin∠CAD30. 已知直线x+2y+1=0与圆x2+y2+2x+4y=0交于A，B两点，O为原点，则|AB|=________，|OA|+|OB|=________．31. 已知△ABC的三个顶点为A(2, −2)，B(0, −1)，C(−2, 5)，试求BC边上的中线AD的长度．32. 已知△ABC的顶点A(2,3),B(−1,0),C(2,0)，求△ABC的周长．33. 已知直线l:y＝2x+1，及两点A(−2, 3)、B(1, 6)，点P在直线l上．（1）若点P到A、B两点的距离相等，求点P的坐标；（2）求|PA|+|PB|的最小值．34. 如图，已知抛物线E:y2=4x与圆M：(x−3)2+y2=r2(r>0)相交于A，B，C，D四个点.(2)设四边形ABCD的面积为S，当S最大时，求直线AD与直线BC的交点P的坐标.35. 如图，已知圆C的方程为：x2+y2−6x−8y+21=0，平面上有A(1, 0)和B(−1, 0)两点．（1）在圆上求一点Q，使△ABQ的面积最大，并求出最大面积；（2）在圆上求一点P，使|AP|2+|BP|2取得最小值．36. 一位健身爱好者在广场上散步，从广场上的A点出发，向东走了30m到达B点，然后又向南走了40m到达C点，最后又向西走了60m到达D点做深呼吸运动，取在出发点A正东10m处的一点为坐标原点，在平面直角坐标系中表示出该人的运动过程并求出全程的位移和路程．37. 已知抛物线y2=2x，设点A(a, 0)(a>0)，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应距离|PA|．38. 已知AD是Rt△ABC斜边BC的中线，用解析法证明|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2)．39. 点M(x, y)为抛物线y2=4x上的动点，A(a, 0)为定点，求|MA|的最小值．40. 如果等腰直角△ABC中，∠C=90∘，A点坐标(2, 1)，B点坐标(−1, −1)，求C点坐标．参考答案与试题解析数学必修二两点间的距离公式试题一、选择题（本题共计 12 小题，每题 3 分，共计36分）1.【答案】A【考点】两点间的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】2.【答案】B【考点】两点间的距离公式【解析】本题考查空间两点间的距离公式，根据空间两点的距离公式计算即可．【解答】解：∵A(1,0,−2)，B(4,2,3)，∴|AB|=√(1−4)2+(0−2)2+(−2−3)2=√38．故选B．3.【答案】D【考点】两点间的距离公式【解析】无【解答】解：由题意得√(a−5)2+(b−12)2=3，即(a−5)2+(b−12)2=9，所以点C(a,b)在以P(5,12)为圆心，3为半径的圆上．因为√a2+b2表示点(a,b)到原点的距离，所以√a2+b2的最小值为|PO|−3=10．故选D．4.【答案】B【考点】两点间的距离公式根据两点间的距离公式，算出|BC|=|AC|≠|AB|，由此可得△ABC 是以BC 、AC 为两腰的等腰三角形．【解答】解：∵ A(1, 5)、B(5, 1)、C(−9, −9)，∴ |AB|=√(1−5)2+(5−1)2=4√2，|AC|=√(1+9)2+(5+9)2=2√74,且|BC|=√(5+9)2+(1+9)2=2√74,∴ |BC|=|AC|≠|AB|.可得△ABC 是以BC ，AC 为两腰的等腰三角形.故选B .5.【答案】B【考点】两点间的距离公式【解析】求出点A 关于x 轴的对称点A′，连接A′B ，交x 轴于点P ，利用向量共线求出点P 的坐标即可．【解答】由题意，点A(1, 4)关于x 轴的对称点为A′(1, −4)，连接A′B ，交x 轴于点P ，此时|AP|+|BP|取得最小值，如图所示；设点P(x, 0)，则A ′P→=(x −1, 4)，PB →=(8−x, 3)， A ′P →与PB →共线，则3(x −1)−4(8−x)＝0，解得x ＝5，所以点P 的坐标是(5, 0)．6.【答案】B【考点】两点间的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】B【考点】两点间的距离公式【解析】由已知得点(a, b)在曲线y =x −2e x 上，点(c, d)在曲线y =2−x 上，(a −c)2+(b −d)2的几何意义就是曲线y =x −2e x 到曲线y =2−x 上点的距离最小值的平方．由此能求出(a −c)2+(b −d)2的最小值．解：∵ 实数a ，b ，c ，d 满足a−2e a b =2−c d =1，∴ b =a −2e a ，d =2−c ，∴ 点(a, b)在曲线y =x −2e x 上，点(c, d)在曲线y =2−x 上，(a −c)2+(b −d)2的几何意义就是曲线y =x −2e x 到曲线y =2−x 上点的距离最小值的平方．考查曲线y =x −2e x 上和直线y =2−x 平行的切线，∵ y′=1−2e x ，求出y =x −2e x 上和直线y =2−x 平行的切线方程，∴ 令y′=1−2e x =−1，解得x =0，∴ 切点为(0, −2)，该切点到直线y =2−x 的距离d =√1+1=2√2就是所要求的两曲线间的最小距离，故(a −c)2+(b −d)2的最小值为d 2=8．故选：B ．8.【答案】D【考点】两点间的距离公式【解析】P(0, 1)关于y =x 对称点(1, 0)，沿y =x 向右上平移|MN|个单位到点G(1+a, a)，连GQ 交直线y =x 即为N 点坐标．【解答】解：P(0, 1)关于y =x 对称点(1, 0)，沿y =x 向右上平移|MN|个单位到点G(1+a, a)，连GQ 交直线y =x 即为N 点坐标；直线GQ 的方程为y −6=a−61+a−3(x −3)，化为y −6=a−6a−2(x −3)，与y =x 联立解得{x =34a +32y =34a +32，故选：D ．9.【答案】C【考点】两点间的距离公式【解析】由A 和B 的坐标表示出直线AB 的方程，根据P 在直线AB 上，设出P 的坐标为(e, −e +2)，进而表示出AP →和AB →，根据已知的|AP →|=13|AB →|，列出关于e 的方程，求出方程的解得到e 的值，确定出P 的坐标，然后由C 和P 的坐标，根据中点坐标公式即可求出Q 的坐标．【解答】解：由A(1, 1)，B(−2, 4)，得到直线AB 的方程为：y −1=1−41−(−2)(x −1)，即y =−x +2，所以AP →=(e −1, −e +1)，AB →=(−3, 3)，又|AP →|=13|AB →|，所以√(e −1)2+(−e +1)2=13√(−3)2+32，即2e(e −2)=0，解得：e =0或e =2，则P 的坐标为(0, 2)或(2, 0)，又C(−1, 2)，所以Q 坐标为(−12, 2)或(12, 1)．故选C10.【答案】C【考点】两点间的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】略11.【答案】C【考点】两点间的距离公式【解析】【解答】解：如图，将四面体ABCD 还原到长方体AEBH −GCFD 中，易知四面体ABCD 的棱是长方体AEBH −GCFD 的面对角线，则DE =√EA 2+EB 2+EC 2=√AB 2+AC 2+BC 22=√32+(√11)2+(2√3)22=4.连接EF 交BC 于M ，连接AM ，则AM 为BC 边的中线，△ABC 的重心O 为AM 靠近M 的三等分点，因为△ADP∼△MEP，且PDPE =APMP=ADEM=2，所以P为AM靠近M的三等分点，即重心O与P点重合，故OD=PD=23ED=83.故选C．12.【答案】A【考点】两点间的距离公式【解析】根据题意可推断出P点一定在A点和B点的连线上根据P的纵坐标可知P点在AB的延长线上，进而利用点A关于x轴的对称点A′，确定A′B的直线方程与x轴的交点为p，把y=0代入即可求解m值．【解答】解：根据三角形两边和大于第三边，则P点一定在A点和B点的连线上，根据P的纵坐标可知P点在AB的延长线上A关于x轴的对称点A′(−3, −2)，又已知B(2, 8)P点在A′B的直线上，直线方程为：2x−y+4=0将y=0代入得x=−2，即m=−2故选A二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）13.【答案】5【考点】两点间的距离公式【解析】直接利用两点间结论公式求解即可．【解答】解：平面上两点A(−3, 2)、B(1, −1)，则|AB|=√(−3−1)2+(2+1)2=5．故答案为：5．14.【答案】√77【考点】设P(x, y, z)，由A(1, 2, 1)，B(−1, 3, 4,)可得AP →=(x −1,y −2,z −1)，PB →=(−1−x,3−y,4−z)，由AP →=2PB →可求P ，由两点间的距离公式可求PC 【解答】解：设P(x, y, z)∵ A(1, 2, 1)，B(−1, 3, 4,)∴ AP →=(x −1,y −2,z −1)，PB →=(−1−x,3−y,4−z) ∵ AP →=2PB →∴ P(−13,83,3)则|PC|=√(1+13)2+(1−83)2+(1−3)2=√773故答案为：√77315. 【答案】√13【考点】两点间的距离公式【解析】直接利用两点间的距离公式求解即可．【解答】解：点A(2, 1)，B(5, −1)，则|AB|=√(2−5)2+(1+1)2=√13．故答案为：√13． 16. 【答案】5√52【考点】两点间的距离公式【解析】先求中点D 的坐标，然后利用两点间距离公式可求．【解答】解：中点D(32, 6)，由两点间距离公式可得AD =√(32−4)2+(6−1)2=5√52，故答案为：5√52． 17. 【答案】 5【考点】两点间的距离公式【解析】先求点A(1, 1)关于直线y＝−x的对称点A′(−1, −1)，连接A′B，则PA+PB的最小值为A′B．【解答】如下图所示：关于直线y＝−x作点A(1, 1)的对称点A′(−1, −1)，连接A′B，由PA+PB＝PA′+PB当点P为A′B与直线y＝−x的交点时PA+PB的值最小，所以PA+PB的最小值为A′B=√(3+1)2+(2+1)2=5，18.【答案】√5【考点】两点间的距离公式【解析】求出圆的圆心与半径，利用圆心到(3, 2)的距离与半径、切线长满足勾股定理，求出切线长即可．【解答】解：圆C:x2+y2−4y=0，它的圆心坐标(0, 2)，半径为2，圆心到(3, 2)的距离为：√(3−0)2+(2−2)2=3，所以切线长为：√32−22=√5．故答案为：√5．19.【答案】2√6【考点】两点间的距离公式【解析】计算|BD|，|AD|，利用勾股定理，可求|AB|的值．【解答】|BC|=2，解：如图所示，|BD|=12|AD|=√(5−3)2+(4−0)2=2√5，在Rt△ADB中，由勾股定理得腰长|AB|=√22+(2√5)2=2√6．故答案为：2√620.【答案】(1, −2)【考点】两点间的距离公式【解析】过点A作AE⊥l，垂足为E．则|ME|=|MF|．因此当三点A，M，E共线时，|AM|+ |ME|=|BE|取得最小值，由此能求出结果．【解答】解：由抛物线y2=4x，得焦点F(1, 0)，准线l的方程：x=−1．如图所示，过点A作AE⊥l，垂足为E．则|ME|=|MF|．因此当三点A，M，E共线时，|AM|+|ME|=|BE|取得最小值52−(−1)=72．此时y M=−2，代入抛物线方程可得(−2)2=4x M，解得x M=1．∴点M(1, −2)．故答案为：(1, −2)．21.【答案】90∘【考点】两点间的距离公式【解析】由已知等式求出√λ2+μ2=2，即点P(λ, μ)与坐标原点O间的距离为2sinα=2，则α的值可求．【解答】解：由sin40∘(λtan10∘+μ)=−1，得sin40∘(λsin10∘cos10∘+μ)=−1，即sin40∘λsin10∘+μcos10∘cos10∘=−1，∴√λ2+μ2sin40∘sin(10∘+θ)cos10∘=−1，由上可得：√λ2+μ2=2．即2sinα=2，sinα=1．又α∈[0, 90∘]，∴α=90∘．故答案为：90∘．22.【答案】①②③④【考点】两点间的距离公式【解析】①假设存在点P(x, 3−4x2)，使|PA|=|PB|，则√(x−1)2+(3−4x2+2)2=√(x+4)2+(3−4x2+2)2，化简解出即可．同理即可判断出②③④是否满足条件．【解答】解：①假设存在点P(x, 3−4x2)，使|PA|=|PB|，则√(x−1)2+(3−4x2+2)2=√(x+4)2+(3−4x2+2)2，化为2x=−3，解得x=−32，y=92，因此存在点P(−32，92)．同理可得：②存在点P(−32，±√32)，满足条件；③存在点P(−32，±√64)，满足条件；④存在点P(−32，−38)，满足条件．故答案为：①②③④．三、解答题（本题共计 18 小题，每题 10 分，共计180分）23.【答案】根据题意，设△ABO的内心为G，其坐标为(m, n)，其内切圆半径为r，则G到三角形三边的距离都是r，如图：又由A(−8, 0)，B(0, 15)，O(0, 0)，则G在直线y＝−x上，则有m＝−n，又由S△ABO=12×|AO|×|BO|=12(|AO|+|BO|+|AB|)×r，变形可得8×15＝(8+15+17)×r，解可得r＝3；则m＝−3，n＝3，即G的坐标为(−3, 3)；故△ABO的内心坐标(−3, 3)．【考点】两点间的距离公式直线与圆的位置关系【解析】根据题意，设△ABO的内心为G，其坐标为(m, n)，由内切圆的性质以及三角形三个顶点的坐标可得G在直线y＝−x上，则有m＝−n，又由S△ABO=12×|AO|×|BO|=12(|AO|+|BO|+|AB|)×r，解可得r的值，分析可得答案．【解答】根据题意，设△ABO的内心为G，其坐标为(m, n)，其内切圆半径为r，则G到三角形三边的距离都是r，如图：又由A(−8, 0)，B(0, 15)，O(0, 0)，则G在直线y＝−x上，则有m＝−n，又由S△ABO=12×|AO|×|BO|=12(|AO|+|BO|+|AB|)×r，变形可得8×15＝(8+15+17)×r，解可得r＝3；则m＝−3，n＝3，即G的坐标为(−3, 3)；故△ABO的内心坐标(−3, 3)．24.【答案】解：(1)∵A(3,3)，B(5,1)，∴直线AB的方程为y−31−3=x−35−3⇒x+y−6=0．(2)|AB|=√(3−5)2+(3−1)2=2√2；点C(1,0)到直线AB的距离d=√12+12=52√2，∴△ABC的面积S=12|AB|⋅d=5．【考点】直线的两点式方程两点间的距离公式点到直线的距离公式【解析】无无【解答】解：(1)∵A(3,3)，B(5,1)，∴直线AB的方程为y−31−3=x−35−3⇒x+y−6=0．(2)|AB|=√(3−5)2+(3−1)2=2√2；点C(1,0)到直线AB的距离d=√12+12=52√2，∴△ABC的面积S=12|AB|⋅d=5．25.【答案】解：(1)B(3, −3)，C(1, 7)，可得BC边上的中点：D(2, 2)．可得中线所在直线的一般式方程：y−2=2−12−(−3)(x−2)，即为：x−5y+8=0．(2)k AC=7−11−(−3)=32，k AB=−3−13−(−3)=−23，k AC⋅k AB=−1，∴AC⊥AB.|AC|=√(1+3)2+(7−1)2=2√13，|AB|=√(3+3)2+(−3−1)2=2√13，∴△ABC的面积S=12×2√13×2√13=26．【考点】两点间的距离公式直线的一般式方程【解析】（1）B(4, 1)，C(3, 6)．可得：BC边上的中点：D(72, 72)．可得中线所在直线的点斜式：y−2=72−272−1(x−1)．化为一般式．(2)|AB|=√10，利用点斜式可得直线AB的方程：x+3y−7＝0．利用定点直线的距离公式可得点C到直线AB的距离d．即可得出△ABC的面积S．【解答】解：(1)B(3, −3)，C(1, 7)，可得BC边上的中点：D(2, 2)．可得中线所在直线的一般式方程：y−2=2−12−(−3)(x−2)，即为：x−5y+8=0．(2)k AC=7−11−(−3)=32，k AB=−3−13−(−3)=−23，k AC⋅k AB=−1，∴AC⊥AB.|AC|=√(1+3)2+(7−1)2=2√13，|AB|=√(3+3)2+(−3−1)2=2√13，∴△ABC的面积S=12×2√13×2√13=26．26.【答案】解：A ，B ，C 三点共线．下面说明原因：∵ |AB|=√(5−1)2+(7−3)2=4√2， |BC|=√(10−5)2+(12−7)2=5√2； |AC|=√(10−1)2+(12−3)2=9√2； ∴ |AC|=|AB|+|BC|， ∴ 三点共线．【考点】两点间的距离公式三点共线【解析】根据所给的三个点的坐标，写出三个点两两之间距离的表示式，得到三个距离，由于两个距离的和等于第三个的距离，得到这三个点一定共线．【解答】解：A ，B ，C 三点共线．下面说明原因：∵ |AB|=√(5−1)2+(7−3)2=4√2， |BC|=√(10−5)2+(12−7)2=5√2； |AC|=√(10−1)2+(12−3)2=9√2； ∴ |AC|=|AB|+|BC|， ∴ 三点共线． 27.【答案】解：(1)过A ，B 两点且面积最小的圆就是以线段AB 为直径的圆， ∴ 圆心坐标为(0, 2)，半径r =12|AB|=12√(−1−1)2+(1−3)2=12×√8=√2， ∴ 所求圆的方程为x 2+(y −2)2=2．(2)由圆与y 轴交于点A(0, −4)，B(0, −2)可知，圆心在直线y =−3上，由{2x −y −7=0，y =−3，解得{x =2，y =−3，∴ 圆心坐标为(2, −3)，半径r =√5，∴ 所求圆的方程为(x −2)2+(y +3)2=5．【考点】圆的标准方程两点间的距离公式直线与圆相交的性质【解析】（1）过A 、B 两点面积最小的圆即为以线段AB 为直径的圆，由A 与B 的坐标，利用两点间的距离公式求出|B|的长，确定出圆的半径，即可求出面积最小圆的面积；（2）由圆与y 轴交于A 与B 两点，得到圆心在直线y =−3上，与已知直线联立求出圆心坐标，及圆的半径，写出圆的标准方程即可．【解答】解：(1)过A ，B 两点且面积最小的圆就是以线段AB 为直径的圆， ∴ 圆心坐标为(0, 2)，半径r =12|AB|=12√(−1−1)2+(1−3)2=12×√8=√2， ∴ 所求圆的方程为x 2+(y −2)2=2．(2)由圆与y 轴交于点A(0, −4)，B(0, −2)可知，圆心在直线y =−3上，由{2x −y −7=0，y =−3，解得{x =2，y =−3，∴ 圆心坐标为(2, −3)，半径r =√5，∴ 所求圆的方程为(x −2)2+(y +3)2=5． 28.【答案】解：点M(−1, −3)，N(−1, 5)，线段MN =√(−1+1)2+(−3−5)2=8，线段MN 的中点P 的坐标：(−1, 1)．【考点】两点间的距离公式中点坐标公式【解析】直接利用两点间距离公式，中点坐标公式求解即可【解答】解：点M(−1, −3)，N(−1, 5)，线段MN =√(−1+1)2+(−3−5)2=8，线段MN 的中点P 的坐标：(−1, 1)． 29.【答案】【考点】两点间的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答 30. 【答案】6√55，2√2 . 【考点】两点间的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解∶直线x +2y +1=0，圆x 2+y 2+2x +4y =0交于A ，B ，则{x +2y +1=0，x 2+y 2+2x +4y =0，5y 2+4y −1=0，∴ (5y −1)(y +1)=0，得A (−75,15)，B (1,−1)，∴ |AB|=√(−75−1)2+(−1−15)2=6√55， ∴ |OA|+|OB|=√(−75)2+(15)2+√12+(−1)2=2√2 .故答案为：6√55；2√2. 31.【答案】解：△ABC 的三个顶点为A(2, −2)，B(0, −1)，C(−2, 5)， BC 边上的中点D(−1, 2)．AD =√(2+1)2+(−2−2)2=5．【考点】两点间的距离公式【解析】求出BC 的中点坐标，然后利用两点间距离公式求解即可．【解答】解：△ABC 的三个顶点为A(2, −2)，B(0, −1)，C(−2, 5)， BC 边上的中点D(−1, 2)．AD =√(2+1)2+(−2−2)2=5． 32. 【答案】解：|AB|=√(2+1)2+32=3√2， |BC|=√(2+1)2+0=3, |AC|=√(2−2)2+32=3，则△ABC 的周长为6+3√2. 【考点】两点间的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：|AB|=√(2+1)2+32=3√2，|BC|=√(2+1)2+0=3, |AC|=√(2−2)2+32=3，则△ABC 的周长为6+3√2. 33.【答案】线段AB 的中点为(−12,92)，k AB =3−6−2−1=1．∴ 线段AB 的垂直平分线方程为：y −92=−(x +12)，化为：x +y −4＝0．联立{x +y −4=0y =2x +1 ，解得x ＝1，y ＝3．∴ P(1, 3)．设点A(−2, 3)关于直线l 的对称点为A′(a, b)，则{3−b−2−a×2=−13+b2=2×−2+a 2+1，解得a =145，b =35．则|PA|+|PB|≥|A′B|=√(145−1)2+(35−6)2=9√105．【考点】两点间的距离公式【解析】（1）线段AB 的中点为(−12,92)，k AB =3−6−2−1=1．可得线段AB 的垂直平分线方程，再与直线l 的方程联立即可得出．（2）设点A(−2, 3)关于直线l 的对称点为A′(a, b)，可得{3−b−2−a×2=−13+b2=2×−2+a 2+1，解得a ，b ．可得|PA|+|PB|≥|A′B|．【解答】线段AB 的中点为(−12,92)，k AB =3−6−2−1=1．∴ 线段AB 的垂直平分线方程为：y −92=−(x +12)，化为：x +y −4＝0．联立{x +y −4=0y =2x +1 ，解得x ＝1，y ＝3．∴ P(1, 3)．设点A(−2, 3)关于直线l 的对称点为A′(a, b)，则{3−b−2−a×2=−13+b2=2×−2+a 2+1，解得a =145，b =35．则|PA|+|PB|≥|A′B|=√(145−1)2+(35−6)2=9√105．34. 【答案】解：(1)联立抛物线与圆的方程{y 2=4x ，(x −3)2+y 2=r 2，消去y ，得x 2−2x +9−r 2=0.由题意可知 x 2−2x +9−r 2=0在 (0,+∞)上有两个不等的实数根，所以{Δ=4−4(9−r 2)>0，9−r 2>0，解得2√2<r <3，即 r ∈(2√2，3).(2)根据(1)可设方程x 2−2x +9−r 2=0的两个根分别为x 1,x 2(0<x 1<x 2)，则A(x 1,2√x 1),B(x 1,−2√x 1),C(x 2,−2√x 2),D(x 2,2√x 2)，且x 1+x 2=2,x 1,x 2=9−r 2，所以S =12(|AB|+|CD|)⋅(x 2−x 1) =12(4√x 1+4√x 2)(x 2−x 1).=2√x 1+x 2+2√x 1x 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√2+2√9−r 2⋅√4−4(9−r 2)令t =√9−r 2∈(0,1)，f(t)=S 2=4(2+2t)(4−4t 2)=−32(t 3+t 2−t −1)，f ′(t)=−32(3t 2+2t −1)=−32(t +1)(3t −1)，可得f(t)在(0,13)上单调递增，在(13，1)上单调递减，即t =13 时，四边形ABCD 的面积取得最大值.根据抛物线与圆的对称性，可设P 点坐标为 (m,0) ，由P ,A ,D 三点共线，可得 2√x 2−2√x 1x 2−x 1=2√x 1x 1−m ，整理得 m =−√x 1x 2=−t =−13，所以点P 的坐标为 (−13,0).【考点】抛物线的性质利用导数研究函数的最值圆与圆锥曲线的综合问题根与系数的关系两点间的距离公式三点共线【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)联立抛物线与圆的方程{y 2=4x ，(x −3)2+y 2=r 2，消去y ，得x 2−2x +9−r 2=0.由题意可知 x 2−2x +9−r 2=0在 (0,+∞)上有两个不等的实数根，所以{Δ=4−4(9−r 2)>0，9−r 2>0，解得2√2<r <3，即 r ∈(2√2，3).(2)根据(1)可设方程x 2−2x +9−r 2=0的两个根分别为x 1,x 2(0<x 1<x 2)，则A(x 1,2√x 1),B(x 1,−2√x 1),C(x 2,−2√x 2),D(x 2,2√x 2)，且x 1+x 2=2,x 1,x 2=9−r 2，所以S =12(|AB|+|CD|)⋅(x 2−x 1)=12(4√x 1+4√x 2)(x 2−x 1).=2√x 1+x 2+2√x 1x 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√2+2√9−r 2⋅√4−4(9−r 2)令t =√9−r 2∈(0,1)，f(t)=S 2=4(2+2t)(4−4t 2)=−32(t 3+t 2−t −1)，f ′(t)=−32(3t 2+2t −1)=−32(t +1)(3t −1)，可得f(t)在(0,13)上单调递增，在(13，1)上单调递减，即t =13 时，四边形ABCD 的面积取得最大值. 根据抛物线与圆的对称性，可设P 点坐标为 (m,0) ，由P ,A ,D 三点共线，可得 2√x 2−2√x 1x 2−x 1=2√x 1x 1−m ，整理得 m =−√x 1x 2=−t =−13，所以点P 的坐标为 (−13,0).35.【答案】解：（1）圆C 化为标准方程为：(x −3)2+(y −4)2=4，C 坐标是(3, 4)，|AB|=2 ∵ S △ABQ =12|AB|×|y Q |， ∴ Q 的纵坐标最大值时，面积最大∵ C 坐标是(3, 4)，∴ Q 纵坐标为：4+2=6即Q(3, 6)时，面积的最大值是6；（2）设P(x, y)，则|AP|2+|BP|2=(x +1)2+y 2+(x −1)2+y 2=2(x 2+y 2)+2=2|OP|2+2要使|AP|2+|BP|2取得最小值，只要使|OP|2最小即可∵ P 为圆上的点，∴ 点P 为OC 连线于圆C 的交点直线OC:y =43x ，与(x −3)2+(y −4)2=4联立，可得25x 2−150x +189=0∴ x =95或x =215>3（舍去）∴ y =125∴ P 的坐标为(95,125)．【考点】两点间的距离公式【解析】（1）由于|AB|为定值，故△ABQ 的面积最大，Q 的纵坐标最大值；（2）利用两点间的距离公式，表示出|AP|2+|BP|2，化简，求|AP|2+|BP|2取得最小值转化为使|OP|2最小即可．【解答】解：（1）圆C 化为标准方程为：(x −3)2+(y −4)2=4，C 坐标是(3, 4)，|AB|=2 ∵ S △ABQ =12|AB|×|y Q |， ∴ Q 的纵坐标最大值时，面积最大∵ C 坐标是(3, 4)，∴ Q 纵坐标为：4+2=6即Q(3, 6)时，面积的最大值是6；（2）设P(x, y)，则|AP|2+|BP|2=(x +1)2+y 2+(x −1)2+y 2=2(x 2+y 2)+2=2|OP|2+2要使|AP|2+|BP|2取得最小值，只要使|OP|2最小即可∵ P 为圆上的点，∴ 点P 为OC 连线于圆C 的交点直线OC:y =43x ，与(x −3)2+(y −4)2=4联立，可得25x 2−150x +189=0 ∴ x =95或x =215>3（舍去） ∴ y =125∴ P 的坐标为(95,125)．36.【答案】全过程的路程是130m ，位移是50m ．【考点】两点间的距离公式【解析】位移的大小等于首末位置的距离，路程等于运动轨迹的长度．【解答】解：运动员从操场上A 点处出发，向东走了30m 到达B 点，然后又向南走了40m 到达C 点，最后又向西走了60m 到达D 点，路程是30+40+60=130m ．位移是√302+402=50m ．37.【答案】解：设抛物线上y2=2x上的点P(m, n)(m≥0)，则|PA|2=(m−a)2+n2=m2−2am+a2+2m=m2−2(a−1)m+a2=[m+(1−a)]2+2a−1，∴当0<a<1，即1−a<0时，由m≥0得：当m=0，|PA|2达到最小值a2，此时点P的坐标为(0, 0)，当a≥1，即1−a≥0时，当m=a−1，|PA|2达到最小值2a−1，此时点P的坐标为P(1−a, ±√2−2a)．【考点】两点间的距离公式【解析】设抛物线上y2=2x上的点P(m, n)，利用两点间的距离公式可求得|PA|2=(m−a)2+ n2=[m+(1−a)]2+2a−1，结合二次函数的图象和性质，分当0<a<1和a≥1两种情况可得满足条件的点P的坐标及相应距离|PA|．【解答】解：设抛物线上y2=2x上的点P(m, n)(m≥0)，则|PA|2=(m−a)2+n2=m2−2am+a2+2m=m2−2(a−1)m+a2=[m+(1−a)]2+2a−1，∴当0<a<1，即1−a<0时，由m≥0得：当m=0，|PA|2达到最小值a2，此时点P的坐标为(0, 0)，当a≥1，即1−a≥0时，当m=a−1，|PA|2达到最小值2a−1，此时点P的坐标为P(1−a, ±√2−2a)．38.【答案】解：以直线AB为x轴，直线AC为y轴，建立平面直角坐标系，设B(b, 0)，C(0, c)，则D(b2，c2)，A(0, 0)．…∵|AB|2+|AC|2=b2+c2，2(|AD|2+|DC|2)=2(b24+c24+b24+c24)=b2+c2∴|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2)．…【考点】两点间的距离公式【解析】以直线AB为x轴，直线AC为y轴，建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标利用两点间的距离公式求得|AB|2+|AC|2和2(|AD|2+|DC|2)的值，从而证得结论．【解答】解：以直线AB 为x 轴，直线AC 为y 轴，建立平面直角坐标系，设B(b, 0)，C(0, c)，则D(b 2，c 2)，A(0, 0)．… ∵ |AB|2+|AC|2=b 2+c 2，2(|AD|2+|DC|2)=2(b 24+c 24+b 24+c 24)=b 2+c 2∴ |AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2)．…39.【答案】解：∵ y 2=4x ，A(a, 0)，x ≥0， |MA|=√(x −a)2+y 2=√x 2−2ax +4x +a 2=√[x −(a −2)]2+4a −4，令f(x)=[x −(a −2)]2+4a ，x ∈[0, +∞)，若a −2≥0即a ≥2 x =a −2时f(x)min =4a −4，|MA|min =√4a −4，若a −2<0即a <2 x =0时f(x)min =a 2，|MA|min =|a|，故当a ≥2时|MA|min =√4a −4，当a <2时|MA|min =|a|．【考点】两点间的距离公式【解析】利用两点间的距离公式得出|MA|的表达式，运用函数的思想，分类讨论求最值【解答】解：∵ y 2=4x ，A(a, 0)，x ≥0，|MA|=√(x −a)2+y 2=√x 2−2ax +4x +a 2=√[x −(a −2)]2+4a −4，令f(x)=[x −(a −2)]2+4a ，x ∈[0, +∞)，若a −2≥0即a ≥2 x =a −2时f(x)min =4a −4，|MA|min =√4a −4，若a −2<0即a <2 x =0时f(x)min =a 2，|MA|min =|a|，故当a ≥2时|MA|min =√4a −4，当a <2时|MA|min =|a|．40.【答案】解：设C(x, y)，由题意知：(x −2)2+(y −1)2+(x +1)2+(y +1)2=9+4，整理，得：2x 2+2y 2−2x −6=0，①又∵ AC =BC ，∴ (x −2)2+(y −1)2=(x +1)2+(y +1)2，整理，得6x +4y −3=0，②联立①②，得：x =−12，y =32或x =32，y =−32．∴ C 点坐标为(−12,32)或(32,−32)．【考点】两点间的距离公式【解析】设C(x, y)，由题意知：(x −2)2+(y −1)2+(x +1)2+(y +1)2=9+4，且(x −2)2+(y −1)2=(x +1)2+(y +1)2，由此能求出C 点坐标．【解答】解：设C(x, y)，由题意知：(x −2)2+(y −1)2+(x +1)2+(y +1)2=9+4，整理，得：2x 2+2y 2−2x −6=0，① 又∵ AC =BC ，∴ (x −2)2+(y −1)2=(x +1)2+(y +1)2，整理，得6x +4y −3=0，②联立①②，得：x =−12，y =32或x =32，y =−32． ∴ C 点坐标为(−12,32)或(32,−32)．。

(北师大版)2018-2019年度高中数学必修2同步习题-两点间的距离公式

1.5平面直角坐标系中的距离公式第1课时两点间的距离公式1.若点A为(1,-3),点B为(5,-1),则原点到线段AB中点的距离是()A.1B.C.13D.2解析:因为线段AB中点为M(3,-2),所以|OM|=-.答案:B2.已知点A(2k,-1),B(k,1),且|AB|=,则实数k等于()A.±3B.3C.-3D.0解析:|AB|=---,解得k=±3.答案:A3.已知点P的横坐标是7,点P到点Q(-1,5)的距离为10,则点P的纵坐标是()A.11B.-1C.11或-1D.41解析:设点P的纵坐标为y,则---=10,解得y=11或y=-1.答案:C4.过点A(4,a)和点B(5,b)的直线与y=2x平行,则|AB|的值为()A.5B.C.2D.解析:k AB=--=b-a,又因为过点A,B的直线与y=2x平行,所以b-a=2,所以|AB|=--.答案:B5.已知两点M(a,b),N(c,d),且=0,则()A.原点一定是线段MN的中点B.M,N一定都与原点重合C.原点一定在线段MN上但不一定是中点D.点M,N到原点的距离相等解析:将等式=0变形为,根据两点间的距离公式可知,点M(a,b)到原点的距离与点N(c,d)到原点的距离相等.答案:D6.过两直线x-y+1=0和x+y-=0的交点,并与原点的距离等于1的直线有()A.0条B.1条C.2条D.3条解析:两直线交点为A,得|AO|=1,则适合题意的直线只有1条.故选B.答案:B★7.已知A(1,3),B(5,-2),点P在x轴上,则使|AP|-|BP|取最大值的点P的坐标是()A.(4,0)B.(13,0)C.(5,0)D.(1,0)解析:点A (1,3)关于x 轴的对称点为A'(1,-3),连接A'B 并延长交x 轴于点P ,即为所求.直线A'B 的方程是y+3=- - (x-1), 即y= x- .令y=0,得x=13.答案:B8.已知△ABC 的顶点坐标为A (3,2),B (1,0),C (2+ ,1- ),则AB 边上的中线CM 的长为 . 解析:由中点公式得AB 的中点的坐标为M (2,1).由两点间的距离公式,有|CM|= - - - .所以AB 边上的中线CM 的长为 .答案:9.已知点A (-3,5),B (2,15),点P 在直线l :3x-4y+4=0上,则|PA|+|PB|的最小值为 . 解析:设点A 关于l :3x-4y+4=0的对称点为C (a ,b ),则 - - - - 解得 -所以|PA|+|PB|的最小值为|CB|= - - - =5 . 答案:5★10.若点P (x ,y )在直线4x+3y=0上,且满足-14≤x-y ≤7 则点P 到坐标原点距离的取值范围是 . 解析:由4x+3y=0得y=- x ,则x-y= x.由-14≤x-y ≤7可知-6≤x ≤3所以x2∈[0,36],所以点P到坐标原点的距离为.因为x2∈[0,36],所以[0,10].答案:[0,10]★11.在平行四边形ABCD中,A(1,1),B(7,1),D(4,6),M是线段AB的中点,线段CM与BD交于点P,求线段AP的长.解AB的中点为M(4,1),因为四边形ABCD为平行四边形,所以AC的中点与BD的中点重合,设点C的坐标为(x,y),则解得点C(10,6).所以直线CM的方程为y-1=--(x-4),即5x-6y-14=0.又直线BD的方程为y-1=--(x-7),即5x+3y-38=0.由---得P.所以由两点间的距离公式得|AP|=--.。

高中数学必修二 3.3.2两点间的距离公式练习

3.3.2两点间的距离公式练习新人教A版必修2一、选择题1．点M(1,2)关于y轴的对称点N到原点的距离为( )A．2 B．1 C． 5 D．5[答案] C[解析] N(－1,2)，|ON|＝－2＋22＝ 5.故选C．2．已知A(2,1)，B(－1，b)，|AB|＝5，则b等于( )A．－3 B．5C．－3或5 D．－1或－3[答案] C[解析] 由两点间的距离公式知|AB|＝－1－2＋b－2＝b2－2b＋10，由5＝b2－2b＋10，解得b＝－3或b＝5.3．一条平行于x轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A(2,1)，则它的另一个端点B的坐标为( )A．(－3,1)或(7,1) B．(2，－2)或(2,7)C．(－3,1)或(5,1) D．(2，－3)或(2,5)[答案] A[解析] ∵AB∥x轴，∴设B(a,1)，又|AB|＝5，∴a＝－3或7.4．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于( ) A．5 B．4 2C．2 5 D．210[答案] C[解析] 设A(x,0)、B(0，y)，由中点公式得x＝4，y＝－2，则由两点间的距离公式得|AB|＝－2＋－2－2＝20＝2 5.5．△ABC三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)、B(2,2)、C(4，－2)，则三角形AB边上的中线长为( )A．26 B．65C．29 D．13[答案] A[解析] AB的中点D的坐标为D(－1，－1)．∴|CD|＝－1－2＋－1－－2＝26；故选A ．6．已知三点A (3,2)，B (0,5)，C (4,6)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形[答案] C [解析] |AB |＝－2＋－2＝32，|BC |＝－2＋－2＝17， |AC |＝－2＋－2＝17，∴|AC |＝|BC |≠|AB |，且|AB |2≠|AC |2＋|BC |2.∴△ABC 是等腰三角形，不是直角三角形，也不是等边三角形．二、填空题7．已知点M (m ，－1)，N (5，m )，且|MN |＝25，则实数m ＝_________. [答案] 1或3 [解析] 由题意得m －2＋－1－m2＝25，解得m ＝1或m ＝3.8．已知A (1，－1)，B (a,3)，C (4,5)，且|AB |＝|BC |，则a ＝_________. [答案] 12[解析] a －2＋＋2＝－a2＋－2，解得a ＝12.三、解答题9．求证：等腰梯形的对角线相等． [证明] 已知：等腰梯形ABCD ．求证：AC ＝BD ．证明：以AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点为坐标原点建立如图平面直角坐标系．设A (－a,0)、D (b ，c )，由等腰梯形的性质知B (a,0)，C (－b ，c )．则|AC |＝－b ＋a2＋c －2＝a －b2＋c 2，|BD |＝b －a2＋－c2＝a －b 2＋c 2，∴|AC |＝|BD |.即：等腰梯形的对角线相等．10．已知直线l 1：2x ＋y －6＝0和A (1，－1)，过点A 作直线l 2与已知直线交于点B 且|AB |＝5，求直线l 2的方程．[解析] 当直线l 2的斜率存在时，设其为k ，则⎭⎪⎬⎪⎫l 2：y ＋1＝k x －又由2x ＋y －6＝0⇒(k ＋2)x ＝k ＋7，而k ≠－2，故解得x ＝k ＋7k ＋2，所以B (k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2)，又由|AB |＝5，利用两点间距离公式得k ＋7k ＋2－2＋4k －2k ＋2＋2＝5⇒k ＝－34，此时l 2的方程为3x ＋4y ＋1＝0.而当l 2的斜率不存在时，l 2的方程为x ＝1.此时点B 坐标为(1,4)，则|AB |＝|4－(－1)|＝5，也满足条件综上，l 2的方程为3x ＋4y ＋1＝0或x ＝1.能力提升一、选择题1．已知点A (2,3)和B (－4,1)，则线段AB 的长及中点坐标分别是( ) A ．210，(1,2) B ．210，(－1，－2) C ．210，(－1,2) D ．210，(1，－2)[答案] C [解析] |AB |＝－4－2＋－2＝210，中点坐标为(2－42，3＋12)，即(－1,2)，故选C ．2．已知两点P (m,1)和Q (1,2m )之间的距离大于10，则实数m 的范围是( ) A ．－45＜m ＜2B ．m ＜－45或m ＞2C ．m ＜－2或m ＞45D ．－2＜m ＜45[答案] B[解析] 根据两点间的距离公式 |PQ |＝m －2＋－2m2＝5m 2－6m ＋2＞10⇒5m 2－6m －8＞0⇒m ＜－45或m ＞2.3．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A 、B ，则|AB |等于( )A ．895 B ．175C ．135D ．115[答案] C[解析] 易得A (0，－2)，B (－1，25)．∴|AB |＝－1－2＋25＋2＝135. 4．在直线2x －3y ＋5＝0上求点P ，使P 点到A (2,3)距离为13，则P 点坐标是( ) A ．(5,5)B ．(－1,1)C ．(5,5)或(－1,1)D ．(5,5)或(1，－1)[答案] C[解析] 设点P (x ，y )，则y ＝2x ＋53，由|PA |＝13得(x －2)2＋(2x ＋53－3)2＝13，即(x －2)2＝9，解得x ＝－1或x ＝5，当x ＝－1时，y ＝1，当x ＝5时，y ＝5，∴P (－1,1)或(5,5)．二、填空题5．已知点A (5,2a －1)，B (a ＋1，a －4)，若|AB |取得最小值，则实数a 的值是_________. [答案] 12[解析] 由题意得|AB |＝－a －2＋a －1－a ＋2＝2a 2－2a ＋25＝a －122＋492，所以当a ＝12时，|AB |取得最小值．6．已知点A (4,12)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于13，则点P 的坐标为_________. [答案] (9,0)或(－1,0) [解析] 设P (a,0)，则a －2＋122＝13，解得a ＝9或a ＝－1，∴点P 的坐标为(9,0)或(－1,0)．三、解答题7．用坐标法证明定理：若四边形ABCD 是长方形，则对平面内任一点M ，等式AM 2＋CM 2＝BM 2＋DM 2成立．[解析] 以一个直角所在的两边为坐标轴，建立直角坐标系．证明：如图，取长方形ABCD 的两条边AB 、AD 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系．设长方形ABCD 的四个顶点分别为A (0,0)、B (a,0)、C (a ，b )、D (0，b )．在平面上任取一点M (m ，n )，则有AM 2＋CM 2＝m 2＋n 2＋(m －a )2＋(n －b )2，BM 2＋DM 2＝(m －a )2＋n 2＋m 2＋(n －b )2，∴AM 2＋CM 2＝BM 2＋DM 2.8．如下图所示，一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路，已知矩形花园的长AD ＝5 m ，宽AB ＝3 m ，其中一条小路定为AC ，另一条小路过点D ，问是否在BC 上存在一点M ，使得两条小路AC 与DM 相互垂直？若存在，则求出小路DM 的长．[分析] 建立适当的坐标系，转几何问题为代数运算．[解析] 以B 为坐标原点，BC 、BA 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．因为AD ＝5 m ，AB ＝3 m ，所以C (5,0)，D (5,3)，A (0,3)．设点M 的坐标为(x,0)，因为AC ⊥DM ，所以k AC ·k DM ＝－1，即3－00－5·3－05－x＝－1. 所以x ＝3.2，即BM ＝3.2，即点M 的坐标为(3.2,0)时，两条小路AC 与DM 相互垂直．故在BC 上存在一点M (3.2,0)满足题意．由两点间距离公式得DM ＝－2＋－2＝3534.。

2.3.2 两点间的距离公式(分层作业)(人教A版2019选修第一册)(解析版)

2.3.2两点间的距离公式（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2021·全国·高二专题练习）已知点(1,3)A ，(5,2)B ，点P 在x 轴上，则||||AP PB +的最小值为（）A ．6BC D ．2．（2021·河北·深州长江中学高二阶段练习）点1与2之间的距离是5，则y =（）A ．9-B ．1-C ．9-或1-D ．12，5,4B ，那么A ，B 两点之间的距离等于（）A ．8B ．6C ．3D ．0m=m的最小值为（）DA．5B．6C二、多选题5．（2021·全国·高二课时练习）(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)点的坐标是（）A．(－4，5)B．(－3，4)C．(－1，2)D．(0，1)三、填空题6．（2022·全国·高二专题练习）设R a b ∈，为_______.微”转化为平面上点(),M x y 与点(),N a b 之间的距离，结合．上述观点，可得的最小值为______．A 标为(0,4)，则点B的坐标为________．1直线l2，且l1∥l2，则直线l1与l2之间距离的最大值是__．线与函数()2f xx=的图像交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________．为________．（写出符合题意的一个答案即可）12．（2022·全国·高二课时练习）已知(1,3),(3,3),3)A B C -，证明ABC 是等边三角形．(1))(3,2A -，)(0,3B ；(2))(1,3C -，)(2,7D ；(3))(1,1E --，)(2,2F -．14．（2022·全国·高二课时练习）设A 为圆211x y -+=上的动点，P A 是圆的切线，且PA ，求点P 的轨迹方程．15．（2022·江苏·高二课时练习）求函数()f x 的最小值．17．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知ABC 的三个顶点分别为，，)(3,4C -．(1)试判断ABC 的形状；(2)设点D 为BC 的中点，求BC 边上中线的长．【答案】(1)直角三角形；(2)25.【分析】(1)利用两点间距离公式直接计算三角形三边长即可判断作答.(2)求出点D 坐标，再用两点间距离公式计算作答.(1)根据两点间的距离公式，得)()(22142310AB =-+-=，)()(223142210BC =-+--=，)()(22433452CA ⎡⎤=-+--=⎦⎣，)()()(2221021052+=，即222AB BC CA +=，所以ABC 是直角三角形.(2)依题意，线段BC 的中点(2,1)D -，)()(22241325AD =-+--=，所以BC 边上中线的长为25.xOy :0l ax by c ++=和点()111,P x y 、()222,P x y ，记()()112222ax by c ax by c a b δ++++=+，若0δ<，则称点1P 、2P 被直线l 分隔，若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点1P 、2P 被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线．(1)判断点(1,2),(1,0)A B -是否被直线10x y +-=分隔并证明；(2)若直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线，求实数k 的取值范围；(3)动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E ，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分隔线．【答案】(1)点(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分隔(2)11,,22⎛⎤⎡⎫⎪⎥-∞-+∞⎢⎝⎦⎣⎭(3)证明见解析所以()0f x =在()0,1有实数解，当2k =时，()()2222210f x x x x ⎡⎤⎣⎦=+--=有实数解，1x =，即y kx =与E 有公共点，所以y kx =不是E 的分隔线．所以通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分隔线，即0x =．【能力提升】一、单选题1．（2022·江苏·高二单元测试）在四边形ABCD 中，∠A ＝45°，∠B ＝75°，AD ＝2BC ＝6，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则MN ＝（）A BC D 设OE m =，由题知(32,0)-A ，(0,32)D 62cos 75cos(4530)4︒︒︒-=+=，所以(C m N 分别为AB ，CD 的中点，所以36(2m M +2361523615()(2828m m MN -+=+-+似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成.若60AB km =，30AE CD km ==，现准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点距离的平方和最小，图中1234,,,P P P P 是AC 的五等分点，则转播台应建在（）A ．1P 处B ．2P 处C ．3P 处D ．4P 处则()46,6P ，()312,12P ，()218,18P 设转播台建在(),P x y 处，则22222PA PB PC PD PE ++++=()()(222306030x y x y +-+-++-22260430+⨯+⨯()(25245x y =-+1，231l ，2l ，且垂足分别为A ，B ，若()40C -，，()40D ，，则CA AB BD ++的最小值为（）A+B ．8C ．D ．84．（2022·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中,定义{}1212x y ，为两点()()1122,,A x y B x y 、的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ,称(),d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”记作(),d P l ，给出下列四个命题:①对任意三点,,A B C ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥；②已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，则()43d P l =，；③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形；其中真命题的是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③【答案】D【分析】①讨论A ，B ，C 三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断；②设点Q 是直线21y x =-上一点，且(,21)Q x x -，可得(,){|3|d P Q max x =-，|22|}x -，讨论|3|x -，|22|x -的大小，可得距离d ，再由函数的性质，可得最小值；③根据“切比雪夫距离”的定义可判断出命题的真假.A B C c，则下列结论5．（2022·江苏·高二单元测试）已知ABC顶点坐标是(3,4),(0,0),(,0)正确的是（）A ．若ABC 为直角三角形，则3c =或253c =B ．若ABC 为锐角三角形，则2533c <<C ．若ABC 为钝角三角形，则03c <<或253c >D ．若ABC 为等腰三角形，则5c =±1122之间的一种“距离”为1212PQ x x y y =-+-‖‖．已知不同三点A ，B ，C 满足AC BC AB +=‖‖‖‖‖‖，则下列结论正确的是（）A ．A ，B ，C 三点可能共线B ．A ，B ，C 三点可能构成锐角三角形C ．A ，B ，C 三点可能构成直角三角形D ．A ，B ，C 三点可能构成钝角三角形【答案】ACD【分析】取两定点为A ，C ，再设任意点B ，然后利用给定定义逐项分析、计算判断作答.【详解】令点(0,0),(1,0)C A ，设点(,)B t s ，则有||||1,||||||||,|||||1|||AC BC t s AB t s ==+=-+，由AC BC AB +=‖‖‖‖‖‖得：1|||1|t t +=-，当0,0s t =<时，A ，B ，C 三点共线，且有1|||1|t t +=-成立，A 正确；当0s ≠时，则A ，B ，C 三点不共线，若0=t ，有90ACB ∠=，且1|||1|t t +=-成立，ABC 为直角三角形，C 正确；若0t <，显然ACB ∠是钝角，且1|||1|t t +=-成立，ABC 为钝角三角形，D 正确；若0t >，1|||1|t t +=-不成立，显然A ，B ，C 三点不可能构成锐角三角形，B 不正确.故选：ACD 三、填空题7．（2022·全国·高二课时练习）已知点 P Q ，分别在直线1l ：20x y ++=与直线2l ：10x y +-=上，且1PQ l ⊥，点()313,3 22A B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，，则AP PQ QB ++的最小值为____．设()2P a a ，－－，则3122Q a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，－，所以22(3)(1)AP PQ QB a a ++=++-+222232(3)(1)(1)2a a a a =++-++++，设点()()()1310M a a C D ，，，－，－，，如下图：则有：222(3)(1)a a a ++-+(即当D M C 、、三点共线时等号成立综上，313AP PQ QB ++≥+故答案为：32132+8．（2022·江苏·高二专题练习）瑞士数学家欧拉（学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知ABC 的顶点()4,0A -，()0,4B ，()2,0C ，则ABC 欧拉线的方程为______．【答案】20x y -+=【分析】根据给定信息，利用三角形重心坐标公式求出写出直线AB 的一个方程_______________.则0000111211423022y x x y -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪⨯-⨯+=⎪⎩，解得当,,N P M '三点共线时，PN PM '+最小，即所以()()()(222221a b a -+++-+故答案为：5.11．（2022·江苏·高二单元测试）在平面直角坐标系中有两点()11,A x y 、()22,B x y ，现定义由点A 到点B 的折线距离2121(,)A B x x y y ρ=-+-，若已知点(1,0)B ，点M 为直线220x y -+=上的动点，则(,)B M ρ取最小值时点M 的坐标是______．______.构造点()0,P y ，()1,2A ，Q ∴()()221293y x +-++-13．（2021·全国·高二课时练习）如图，点P 为正方形ABCD 内一点，且满足15PAB PBA ∠∠==，用坐标法证明PCD 为等边三角形．设正方形ABCD 的边长为因为(tan15tan 6045=-所以，132PC =+=，同理可得因此，PCD 为等边三角形14．（2022·全国·高二课时练习）用坐标法证明：(1)在直角三角形中，斜边中点到三个顶点的距离相等；(2)若三角形一边上的中点到三个顶点的距离相等，则该边所对的角是直角．【分析】（1）根据题意，以直角顶点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，设(),0B a ，()0,C b ，进而根据距离公式求解即可；15．（2022·浙江省兰溪市第三中学高二开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，已知直线l ：mx －（2－m ）y －4=0与直线h ：x +y －2=0的交点M 在第一三象限的角平分线上.(1)求实数m 的值；(2)若点P 在直线l 上且||||2PM PO =，求点P 的坐标.度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记作(),d P l .(1)求点()1,1P 到线段l ：()3035x y x --=≤≤的距离(),d P l ；(2)设l 是长为2的线段，求点的集合(){},1D P d P l =≤所表示的图形面积；(3)写出到两条线段1l ､2l 距离相等的点的集合()(){}12,,Q P d P l d P l ==，其中1l AB =，2l CD =，()A ，12B ⎛ ⎝⎭，(C ，32D ⎛ ⎝⎭.1212为两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及直线l 上任一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l .（1）求证：对任意三点A 、B 、C ，都有(,)(,)(,)d A C d C B d A B +≥；（2）已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，求(,)d P l ；（3）定点00(,)C x y ，动点(,)P x y 满足(,)d C P r =（0r >），请求出点P 所在的曲线所围成图形的面积.所以点P 所在的曲线所围成图形的面积为24r 【点睛】关键点点睛：此题考查新定义的理解和运用，解题的关键是正确理解新定义，定义1212(,)max{||,||}d A B x x y y =--为两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及直线l 上任一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l ，注意两种距离区别与联系，考查运算能力和推理能力，属于难题。

两点间的距离公式课时训练

2.3.2 两点间的距离公式选题明细表基础巩固1.已知点A(1,2),B(3,4),C(5,0),则△ABC的形状为( C )(A)等边三角形(B)直角三角形(C)等腰三角形(D)等腰直角三角形解析:因为|AB|=√(4-2)2+(3-1)2=2√2,|AC|=√(0-2)2+(5-1)2= 2√5,|BC|=√(5-3)2+(0-4)2=2√5,所以|AC|=|BC|.又因为A,B,C三点不共线,所以△ABC为等腰三角形.故选C.2.已知点A(2k,-1),B(k,1),且|AB|=√13,则实数k等于( A )(A)±3 (B)3 (C)-3 (D)0解析:由题意得√(2k-k)2+(-1-1)2=√13,解得k=±3.故选A.3.(2020·贵州都匀期中)已知点A(x,5)关于点(1,y)的对称点为(-2,-3),则点P(x,y)到原点的距离是( D )(A)2 (B)4 (C)5 (D)√17 解析:根据中点坐标公式,得x -22=1,且5-32=y.解得x=4,y=1,所以点P 的坐标为(4,1),则点P(4,1)到原点的距离d=√(4-0)2+(1-0)2=√17.故选D.4.点M(1,2)关于y 轴的对称点N 到原点的距离为( C ) (A)2 (B)1 (C)√5 (D)5解析:由题意得N(-1,2),所以|ON|=√(-1)2+22=√5.故选C.5.已知点A(2,1),B(-1,b),|AB|=5,则b 等于( C ) (A)-3 (B)5 (C)-3或5 (D)-1或-3解析:由两点间的距离公式知|A B |=√(-1-2)2+(b -1)2= √b 2-2b +10,由5=√b 2-2b +10,得b=-3或b=5.故选C.6.已知点A(1,-1),B(a,3),C(4,5),且|AB|=|BC|,则a= .解析:由题意得√(a -1)2+(3+1)2=√(4-a )2+(5-3)2,解得a=12.答案:127.设点A 在x 轴上,点B 在y 轴上,AB 的中点是P(2,-1),则|AB|等于 .解析:设A(x,0),B(0,y),由中点坐标公式得x=4,y=-2,则由两点间的距离公式得|AB|=√(0-4)2+(-2-0)2=√20=2√5.答案:2√58.(2021·上海闵行期中)已知点A(1,2)关于点M(0,-1)的对称点为A ′,则|AA ′|= .解析:由题意得|AA ′|=2|AM|=2√(1-0)2+(2+1)2=2√10.答案:2√10能力提升9.到点A(1,3),B(-5,1)的距离相等的动点P 满足的方程是( B ) (A)3x-y-8=0 (B)3x+y+4=0 (C)3x-y+6=0 (D)3x+y+2=0解析:设P(x,y),则√(x -1)2+(y -3)2=√(x +5)2+(y -1)2,即3x+y+4=0.故选B.10.(2021·广西柳州期中)已知点A(1,4),B(8,3),点P 在x 轴上,则使|AP|+|BP|取得最小值的点P 的坐标是( B ) (A)(4,0) (B)(5,0) (C)(-5,0) (D)(-4,0)解析:由题意,点A(1,4)关于x 轴的对称点为A ′(1,-4), 连接A ′B,交x 轴于点P,此时|AP|+|BP|取得最小值,如图所示.设点P(x,0),则A'P →=(x-1,4),PB →=(8-x,3),A'P →与PB →共线,则3(x-1)-4(8-x)=0,解得x=5, 所以点P 的坐标是(5,0).故选B.11.已知两点P(m,1)和Q(1,2m)之间的距离大于√10,则实数m 的取值范围是( B )(A)-45<m<2 (B)m<-45或m>2(C)m<-2或m>45(D)-2<m<45解析:根据两点间的距离公式得|P Q |=√(m -1)2+(1-2m )2= √5m 2-6m+2>√10,所以5m 2-6m-8>0,解得m<-45或m>2.故选B.12.已知△ABC 的三个顶点坐标是A(1,-1),B(-1,3),C(3,0). (1)判断△ABC 的形状; (2)求△ABC 的面积. 解:(1)如图,因为|AB|=√(-1-1)2+[3-(-1)]2=√20=2√5,|AC|=√(3-1)2+[0-(-1)]2=√5,|BC|=√[3-(-1)]2+(0-3)2=√25=5,所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,即△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形. (2)由于△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形, 所以S △ABC =12|AB||AC|=5.应用创新13.如图所示,一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路,已知矩形花园的长AD=5 m,宽AB=3 m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D,问是否在BC 上存在一点M,使得两条小路AC 与DM 相互垂直?若存在,求出小路DM 的长.解:以B 为坐标原点,BC,BA 所在直线为x 轴,y 轴建立如图所示的平面直角坐标系.因为|AD|=5 m,|AB|=3 m, 所以C(5,0),D(5,3),A(0,3). 设点M 的坐标为(x,0), 因为AC ⊥DM, 所以k AC ·k DM =-1, 即3-00-5·3-05-x=-1.所以x=165,即点M 的坐标为(165,0)时,两条小路AC 与DM 相互垂直.故在BC 上存在一点M(165,0)满足题意.由两点间距离公式得|DM|=√(5-165)2+(3-0)2=3√345.。

中点坐标公式与两点间的距离公式练习题学习资料

中点坐标公式与两点间的距离公式练习题1．在数轴上的两点A ，B 分别表示实数m,n ，则AB 的距离AB = 2．在平面直角坐系中，①A(3,4),D(3,-2)，则=AD ； ②D （3，-2），B （-5，-2），则=BD 。

③此时=AB 。

3．若()()2211y ,x B ,y ,x A ，则=AB 4：A(x,0)和 B(2,3)的距离为23,求x 的值。

5：已知△ABC 的三个顶点是A(-1,0)、()0,1B ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,21C ，试判断三角形的形状。

10.求中点坐标：①已知()()5,4B ,3,2A ，求AB 的中点坐标。

②已知()()2211y ,x B ,y ,x A ，求AB 的中点坐标。

11.试证3(P ，)8，6(Q ，)2，5(R ，)4三点在同一条直线。

12.己知6(M ，)4-为AB 的中点，且点A 坐标为4(，)6-，试求B 点坐标。

13.设1(-A ，)3-，3(B ，)0，5(C ，)4，则平行四边形ABCD 中，试求D 点坐标。

14.ABC ∆中，三边AB ，BC ，CA 的中点坐标为1(-D ，)1，4(E ，)1-，2(-F ，)5，求此ABC∆三顶点的坐标。

两点间的距离公式课时作业(含答案)

两点间的距离公式课时作业(含答案)课时提升作业(二十) 两点间的距离公式一、选择题(每小题4分，共12分) 1.(2013•兰州高一检测)过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y=x平行，则|AB|的值为( ) A.6 B. C. D.2 【解析】选C.kAB= =b-a. 又因为过点A，B的直线与y=x平行，所以b-a=1，所以|AB|= = . 2.(2014•佛山高一检测)已知点M(-1，3)，N(5，1)，P(x，y)到M，N的距离相等，则x，y满足的条件是( ) A.x+3y-8=0 B.x-3y+8=0 C.x-3y+9=0 D.3x-y-4=0 【解析】选D.由|PM|=|PN|，得(x+1)2+(y-3)2=(x-5)2+(y-1)2，化简得3x-y-4=0. 3.已知两直线l1：x+y-2=0，l2：2x-y-1=0相交于点P，则点P到原点的距离为( ) A.B.5C.D.2 【解题指南】先求出两直线的交点，然后利用两点间距离公式求解. 【解析】选C.由得两直线的交点坐标为(1，1)，故到原点的距离为 = . 二、填空题(每小题4分，共8分) 4.(2014•南阳高一检测)已知点M(1，1)平分线段AB，且A(x，3)，B(3，y)，则x，y的值分别为________. 【解析】由中点坐标公式得解得答案：-1，-1 5.(2013•四川高考)在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，-1)的距离之和最小的点的坐标是________. 【解题指南】分析四边形ABCD的形状，结合几何性质进行判断. 【解析】由题可知A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，-1)构成的四边形为凸四边形，则四边形ABCD对角线的交点到四点距离之和最小，直线AC的方程为2x-y=0，直线BD的方程为x+y-6=0，所以其交点为(2，4). 答案： (2，4) 三、解答题(每小题10分，共20分) 6.(2014•蚌埠高一检测)已知矩形ABCD的两个顶点A(-1，3)，B(-2，4)，若它的对角线的交点M在x轴上，求C，D两点的坐标. 【解析】设点M的坐标为(x，0)，由|MA|=|MB|根据两点间的距离公式，得 = ，解得x=-5，又点M是AC与BD的中点，根据中点坐标公式可得 C (-9，-3)，D(-8，-4). 7.已知正方形ABCD中，E，F分别是BC，AB的中点，DE，CF交于点G，求证：AG=AD. 【证明】建立如图所示的直角坐标系，设正方形边长为2，则B(0，0)，C(2，0)，A(0，2)，E(1，0)，F(0，1)，D(2，2). 直线DE的方程为y=2x-2，直线CF的方程为y=- x+1，由得即点G . 从而|AG|= =2=|AD|，故AG=AD. 一、选择题(每小题4分，共8分) 1.已知两点M(a，b)，N(c，d)，且 - =0，则 ( ) A.原点一定是线段MN的中点 B.M，N一定都与原点重合 C.原点一定在线段MN上但不一定是中点 D.点M，N到原点的距离相等【解析】选D.将等式 - =0变形为 = ，根据两点间的距离公式可知，点M(a，b)到原点的距离与点N(c，d)到原点的距离相等. 2.(2014•济宁高一检测)已知A(1，3)，B(5，-2)，点P在x轴上，则使|AP|-|BP|取最大值的点P的坐标是( ) A.(4，0) B.(13，0) C.(5， 0) D.(1，0) 【解析】选B.点A(1，3)关于x轴的对称点为A′(1，-3)，连接A′B并延长交x轴于点P，即为所求.直线A′B的方程是y+3= (x-1)，即y= x- .令y=0，得x=13. 【变式训练】已知A(3，-1)，B(5，-2)，点P在直线x+y=0上，若使|PA|+|PB|取最小值，则P点坐标是( ) A.(1，-1) B.(-1，1) C. D.(-2，2) 【解析】选C.点A(3，-1)关于直线x+y=0的对称点为A′(1，-3)，连接A′B与直线x+y=0的交点即为所求的点，直线A′B的方程为y+3= (x-1)，即y= x- ，与x+y=0联立，解得x= ，y=- . 二、填空题(每小题5分，共10分) 3.(2014•咸阳高一检测)已知△ABC的顶点坐标为A(3，2)，B(1，0)，C(2+ ，1- )，则AB边上的中线CM的长为________. 【解析】由中点公式得AB的中点的坐标为M(2，1). 由两点间的距离公式，有 |CM|= = . 所以AB边上的中线CM的长为 . 答案：4.(2014•淄博高一检测)在△ABC中，A(1，1)，B(3，1)，若△ABC是等边三角形，则点C的坐标为________. 【解题指南】因为三角形为等边三角形，所以三边相等，又三角形的两个顶点A，B坐标已知，故可设点C(x，y)，由两点间的距离公式可知|AC|=|BC|，|AC|=|AB|，进而得到关于x，y的方程组可解. 【解析】设点C的坐标为(x，y)，因为△ABC为等边三角形，所以|AC|=|BC|，即 = . ① 又|AC|=|AB|，即 = . ② 由①得x=2，代入②得y=1± . 所以所求点C的坐标为(2，1+ )或(2，1- ). 答案：(2，1+ )或(2，1- ) 三、解答题(12分) 5.在平行四边形ABCD中，A(1，1)，B(7，1)，D(4，6)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P，求线段AP的长. 【解题指南】先求出点C，M的坐标，再求出直线BD，CM的方程，从而得交点P的坐标，最后由距离公式求出AP的长. 【解析】AB的中点为M(4，1)，因为四边形ABCD为平行四边形，所以AC的中点与BD的中点重合，设C点坐标为(x，y)，则所以C(10，6). 所以直线CM的方程为y-1= (x-4)，即5x-6y-14=0. 又直线BD的方程为y-1= (x-7)，即5x+3y-38=0. 由得P . 所以由两点间距离公式得 |AP|= = . 【变式训练】(2014•泉州高一检测)点P(x，y)在直线4x+3y=0上，且满足-14≤x-y≤7，则点P到坐标原点距离的取值范围是________. 【解题指南】利用点P在4x+3y=0上，表示出y与x的关系.由-14≤x-y≤7求出x的范围，最后用距离公式求出所求范围即可. 【解析】由4x+3y=0得y=- x，所以x-y= x. 由-14≤x-y≤7可知-6≤x≤3，所以x2∈[0，36]，所以点P到坐标原点的距离为 = = . 因为x2∈[0，36]，所以∈[0，10]. 答案：[0，10] 【拓展延伸】与距离相关的综合问题在解决与距离相关的综合问题时，往往要与直线的有关知识进行结合，例如直线的斜率、直线的位置关系等，这些关系往往用于确定点的坐标，再根据距离公式代入求距离或相关参数的值，因此要将相关知识有机地结合起来，在解题的过程中要注意这一特点.。

小学数学浙教版 4年级上《两点间的距离》练习+详解

小学数学浙教版 4年级上《两点间的距离》试题部分1.从云云家到学校一共有3条路，（）条路最近。

2.从乐乐家去超市，一共有3条路，（）条最近。

3.从学校去图书馆借书，有4条路可以走，（）条最近。

①家学校线段中点4.下面______号点是线段的中点。

（填编号即可）5. 下面______号点是线段的中点。

（填编号即可）6. 下面______号点是线段的中点。

（填编号即可）线段中点的运用7.小郑打算在家和田地之间打一口井，满足家庭日常用水和田地用水。

每段长度已经标出，小郑希望打井的位置到家和田地的距离是一样的，那水井选在____号点更合适。

4321BA BA 321B A321321田地8. 小李打算到河边打水，浇地，那他到_____号点打水，走的最近。

9. 小王打算到河边打水，浇地，那他到_____号点打水，走的最近。

小学数学浙教版 4年级上《两点间的距离》试题部分1.从云云家到学校一共有3条路，（）条路最近。

小河家田地23家田地①【答案】②【详解】两点之间，线段最短。

家和学校是两点，这两点间的线段，只有②，所以选②。

2.从乐乐家去超市，一共有3条路，（）条最近。

【答案】② 【详解】两点之间，线段最短。

家和超市是两点，这两点间的线段，只有②，所以选②。

3.从学校去图书馆借书，有4条路可以走，（）条最近。

【答案】②家学校【详解】两点之间，线段最短。

学校和图书馆是两点，两点间的线段，只有②，所以选②。

线段中点4.下面______号点是线段的中点。

（填编号即可）【答案】3 【详解】中点是到线段两端，距离都相等的点。

1号、2号两点，离A 更近，4号点离B 更近。

所以选3号点。

5. 下面______号点是线段的中点。

（填编号即可）【答案】2 【详解】中点是到线段两端，距离都相等的点。

1号点离A 更近，3号点离B 更近。

所以选2号点。

6. 下面______号点是线段的中点。

（填编号即可）【答案】24321BAB A321BA 321【详解】中点是到线段两端，距离都相等的点。

55.专题平面直角坐标系中两点间距离公式培优训练(解析版)八年级数学上册专题培优训练

专题11 2020八上第五章《平面直角坐标系》中两点间距离公式培优训练班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题1.如图，已知点A(2,3)和点B(4,1)，在x轴或y轴上有一点P，且点P到点A和点B的距离相等，则点P的坐标为()A. (1,0)或(0,−1)B. (−1,0)或(0,1)C. (0,3)或(4,0)D. (2,0)或(0,1)【答案】A【解析】利用两点间的距离公式可得结果．本题主要考查了两点间的距离公式，熟记公式和坐标轴上点的特点是解答此题的关键．【解答】解：设在x轴有一点P(x,0)，则有(x−2)2+32=(x−4)2+1，解得，x=1，∴P(1,0)；设在y轴有一点P(0,y)，则有22+(y−3)2=42+(y−1)2解得，y=−1，∴P(0,−1)故选：A．2.在平面直角坐标系中，点A(−3,2)，B(3,5)，C(x,y)，若AC//x轴，则线段BC的最小值及此时点C的坐标分别为()A. 6，(−3,5)B. 10，(3,−5)C. 1，(3,4)D. 3，(3,2)【答案】D【解析】本题考查的是两点间距离，坐标与图形的性质，点的坐标有关知识，根据坐标的定义可求得y值，根据线段BC最小，确定BC⊥AC，垂足为点C，进一步求得BC的最小值和点C的坐标．【解答】解：依题意可得：∵AC//x轴，A(−3,2)∴y=2，根据垂线段最短，当BC⊥AC于点C时，点B到AC的距离最短，即BC的最小值=5−2=3，此时点C的坐标为(3,2)，故选D3.在平面直角坐标系中，已知点A(1,2)，B(4,4)，在y轴上有一点C，使AC+BC最小，则AC+BC的最小值是()A. √13B. √29C. 6D. 3√5【答案】B【解析】本题考查轴对称−最短问题、坐标与图形的性质，平面直角坐标系中两点间的距离.作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于C，连接AC，此时AC+BC的值最小，根据点的对称性可得A′的坐标，然后根据平面内两点间的距离公式求出即可．【解答】解：作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于C，连接AC，此时AC+BC的值最小，最小值为线段A′B的长．∵A(1,2)，B(4,4)，A′(−1,2)，∴A′B=√(4+1)2+(4−2)2=√29．即AC+BC的最小值为√29．故选B．4.在平面直角坐标系中，已知点A(m−1,2m−2)、B(−3,2).若直线AB//y轴，则线段AB的长为()A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】D【解析】此题考查了在平面直角坐标系中，平行y轴的点坐标的特点以及两点间距离．根据平行y轴的横坐标相等求出m的值，可得A点坐标，进而可得线段AB的长．【解答】解：∵点A(m−1,2m−2)、B(−3,2)，直线AB//y轴，∴m−1=−3，解得m=−2，则：2m−2=−6，∴A(−3,−6)，∴AB=2−(−6)=8．故选D．5.点A(−4,3)和点B(−8,3)，则A，B相距()A. 4个单位长度B. 12个单位长度C. 10个单位长度D. 8个单位长度【答案】A【解析】本题考查了同一条直线上两点间的距离公式，解决本题的关键是牢记平行于坐标轴的直线上点的坐标特点，正确认识到AB平行于x轴即可得解．先根据A，B两点的坐标确定AB平行于x轴，再根据同一直线上两点间的距离公式解答即可．【解答】解：∵点A和点B纵坐标相同，∴AB平行于x轴，AB=−4−(−8)=4．故选：A．6.在平面直角坐标系中，点P(3,−4)与坐标原点的距离为()A. 3B. 4C. 5D. 7【答案】C【解析】本题主要考查的是两点间的距离公式的有关知识，直接利用两点间的距离公式进行求解即可．【解答】解：由题意得点P(3,−4)与坐标原点的距离为√0−32+(0+4)2=5，故选C．7.在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0,2)，点M的坐标为(m,―34m―3)(其中m为实数)，当PM的长最小时，m的值为()A. ―125B. ―175C. −3D. −4【答案】A【解析】本题考查了两点间的距离公式以及二次函数的性质，解题的关键是找出PM2关于m的二次函数关系式.由两点间的距离公式可得出PM2关于m的二次函数关系式，利用配方法结合二次函数的性质即可得出当PM取最小值时m的值．【解答】解：由两点间的距离公式可知：PM2=m2+(−34m−5)2=2516m2+152m+25=2516(m2+245m)+25=2516(m+125)2+16，∵2516>0，∴当m=−12时，PM2最小．5故选A．二、填空题8.已知点A(x,4)到原点的距离为5，则点A的坐标为______．【答案】(3,4)或(−3,4)【解析】根据两点间的距离公式便可直接解答．本题考查了勾股定理以及点的坐标的几何意义，横坐标的绝对值就是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是到x轴的距离．【解答】解：∵点A(x,4)到原点的距离是5，点到x轴的距离是4，∴5=√x2+42，解得x=3或x=−3．A的坐标为(3,4)或(−3,4)．故答案填：(3,4)或(−3,4)．9.若点P(a,−3)在第四象限，且到原点的距离是5，则a=______．【答案】4【解析】由勾股定理列出方程a2+32=52，根据第四象限内点的坐标特征求出a的值．本题考查了勾股定理，两点间距离公式的运用，第四象限内点的坐标特征，熟练解方程是解题的关键．【解答】解：∵点P(a,−3)到原点的距离是5，∴a2+32=52．∴a=±4．∵点P(a,−3)在第四象限，∴a=4．故答案为：4．10.如图，A，B两点的坐标分别为(2,4)，(6,0)，点P是x轴上一点，且三角形ABP的面积为6，则点P的坐标为_________________．【答案】(3,0)或(9,0)【解析】本题考查三角形的面积，平面直角坐标系中点的坐标，两点之间的距离．设P点坐标为(x,0)，先表示PB=|6−x|，根据三角形面积公式列出方程求解即可得点P的坐标．【解答】解：如图设P点坐标为(x,0)，∴PB=|6−x|，⋅4⋅|6−x|=6，根据题意得12解得x=3或9，所以P点坐标为(3,0)或(9,0)．故答案为(3,0)或(9,0)．11.在直角坐标系中有点A(0,3)、B(−5,−3)、C(6,−2)，那么△ABC是_____．【答案】等腰直角三角形【解析】本题主要考查了两点间的距离公式，根据坐标特点求出AB，AC，BC的长度判断形状．【解答】解：∵A(0,3)、B(−5,−3)、C(6,−2)，∴AC=√(6−0)2+(−2−3)2=√61，AB=√(−5−0)2+(−3−3)2=√61，BC=√[6−(−5)]2+[(−2)−(−3)]2=√122，∴BC2=AB2+AC2，且AB=AC，∴△ABC是等腰直角三角形．故答案为：等腰直角三角形．12.已知数轴上两点A、B对应的数分别为−1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当P到点A、B的距离之和为10时，则对应的数x的值为________．【答案】−4或6【解析】本题考查了数轴以及两点间距离公式．根据“点P到点A、B的距离之和为10”列出方程并解答．【解答】解：依题意，得|x−3|+|x+1|=10，因为A、B之间的距离小于10，所以x<−1或x>3，①当x<−1时，−(x−3)−(x+1)=10，解得x=−4，②当x>3时，(x−3)+(x+1)=10，解得x=6，所以x=−4或6．故答案为−4或6．三、解答题13.阅读下列一段文字，然后回答问题．已知平面内两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，其两点间的距离P1P2=√(x1−x2)2+(y1−y2)2，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2−x1|或|y2−y1|(1)已知A(2,4)，B(−3,−8)，则AB=________；(2)已知AB//y轴，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为−1，则AB=________；(2)已知一个三角形各顶点坐标为A(−2,1)，B(1,4)，C(1,−2)，请判定此三角形的形状，并说明理由．【答案】解：(1)13；(2)6；(3)△ABC为等腰直角三角形．理由如下：∵A(−2,1)，B(1,4)，C(1,−2)，∴AB=√(1+2)2+(4−1)2=3√2，AC=√(1+2)2+(−2−1)2=3√2，BC=√(1−1)2+(−2−4)2=6，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∵AB2+AC2=(3√2)2+(3√2)2=62=BC2，∴∠BAC=90°．∴△ABC为等腰直角三角形．【解析】本题主要考查了两点间的距离公式．解答该题时，先弄清两点在平面直角坐标系中的位置，然后选取合适的公式来求两点间的距离．(1)根据两点间的距离公式P1P2=√(x2−x1)2+(y2−y1)2来求A、B两点间的距离；(2)根据两点间的距离公式|y2−y1|来求A、B两点间的距离．(3)先将A、B、C三点置于平面直角坐标系中，然后根据两点间的距离公式分别求得AB、BC、AC的长度；最后根据三角形的三条边长来判断该三角形的形状．【解答】解：(1)∵A(2,4)、B(−3,−8)，∴|AB|=√(−3−2)2+(−8−4)2=13，即A、B两点间的距离是13；(2)∵A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为−1，∴|AB|=|−1−5|=6，即A、B两点间的距离是6；(3)见答案．14.如图①，我们在“格点”直角坐标系上可以看到：要找AB或DE的长度，可以转化为求Rt△ABC或Rt△DEF的斜边长．例如：从坐标系中发现：D(−7,5)，E(4,−3)，所以DF =|5−(−3)|=8，EF =|4−(−7)|=11，所以由勾股定理可得：DE =√82+112=√185．(1)在图①中请用上面的方法求线段AB 的长：AB =___________(2)在图②中：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，试用x 1,x 2,y 1,y 2表示：AB =______________________；(3)试用(2)中得出的结论解决如下题目：已知：A(2,1)，B(4,3)；①直线AB 与x 轴交于点D ，求线段BD 的长；②C 为坐标轴上的点，且使得△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形.请求出C 点的坐标．【答案】解：(1)5；(2)√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2；(3)解：①设直线AB 为：y =kx +b(k ≠0)，∵A(2,1)，B(4,3)，∴{2k +b =14k +b =3, 解得{k =1b =−1, ∴y =x −1，∴D(1,0)，BD =√(4−1)2+32=3√2，∴BD 长为3√2；②设点C 的坐标为(0,t)，∵△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，则AC =BC ，即√(2−0)2+(1−t)2=√(4−0)2+(3−t)2，解得：t =5，即点C 的坐标为(0,5)．【解析】此题考查的了勾股定理，坐标与图形性质，弄清题中阅读材料中求两点间的距离公式是解本题的关键．(1)结合坐标系即可得出AC、BC的长度，利用勾股定理可得出AB的长度；(2)结合坐标系及各点坐标即可得出各线段的长度；(3)假设出AB所在直线的方程，根据A点和B点的坐标，用待定系数法求出直线方程，得出D点坐标，再求BD即可；设点C的坐标为(0,t)，利用AC=BC，列出关系式，即可得出答案．【解答】解：(1)∵AC=4，BC=3，∴AB=√AC2+BC2=5，故答案为5；(2)结合图形可得：AC=y1−y2，BC=x1−x2，AB=√(x1−x2)2+(y1−y2)2；故答案为√(x1−x2)2+(y1−y2)2；15.如图，在坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A(−3,2)，B(0,4)，C(0,2)．(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为(0,−4)，画出平移后对应的△A2B2C2(2)若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2；请直接写出旋转中心的坐标；(3)在x轴上有一点P，使得|PA−PB|的值最小，请直接写出点P的坐标．【解析】此题主要考查了旋转变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．(1)直接利用平移和旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；(2)直接利用旋转的性质结合对应点位置进而得出旋转中心；(3)利用线段垂直平分线的性质及两点间距离公式，得出答案．【答案】解：(1)如图所示：△A1B1C，△A2B2C2，即为所求；(2)如图所示：旋转中心的坐标为(1.5,−1)；(3)如图所示，作线段AB的垂直平分线，交x轴于点P，连接PA，PB，则PA=PB，即|PA−PB|的值最小，设点P的坐标为(m,0)，∴m2+42=(m+3)2+22，∴m=1，2,0)．∴点P的坐标为(12。

(整理)数学七年级下册-第七章平面直角坐标系-两点间的距离公式-寒假预习题

【考点训练】两点间的距离公式-1一、选择题（共5小题）2．如图，点M（﹣3，4）到原点的距离是（）3．点P在第三象限内，P到X轴的距离与到y轴的距离之比为2：1，到原点的距离为，则点P的坐标4．（2006•厦门）对于直角坐标平面内的任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义它们之间的一种“距离”：||AB||=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．给出下列三个命题：①若点C在线段AB上，则||AC||+||CB||=||AB||；②在△ABC中，若∠C=90°，则||AC||2+||CB||2=||AB||2；二、填空题（共3小题）（除非特别说明，请填准确值）6．（2007•宝山区一模）已知点A（﹣3，1），点B在y轴正半轴上，且AB=5，则点B的坐标为：_________．7．（2006•虹口区一模）已知在y轴的正半轴上有一点P，它与点（﹣3，2）的距离是5，那么点P的坐标是_________．8．（2005•上海模拟）在平面直角坐标系中，点A（5，﹣2）与点B（2，2）的距离是_________．三、解答题（共2小题）（选答题，不自动判卷）9．（2011•峨眉山市二模）（1）在数轴上，点A表示数3，点B表示数﹣2，我们称A的坐标为3，B的坐标为﹣2；那么A、B的距离AB=_________；一般地，在数轴上，点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则A、B的距离AB=_________；（2）如图，在直角坐标系中点P1（x1，y1），点P2（x2，y2），求P1、P2的距离P1P2；（3）如图，△ABC中，AO是BC边上的中线，利用（2）的结论证明：AB2+AC2=2（AO2+OC2）．10．（2009•滨州）根据题意，解答下列问题：（1）如图①，已知直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，求线段AB的长；（2）如图②，类比（1）的求解过程，请你通过构造直角三角形的方法，求出两点M（3，4），N（﹣2，﹣1）之间的距离；（3）如图③，P1（x1，y1），P2（x1，y2）是平面直角坐标系内的两点．求证：．【考点训练】两点间的距离公式-1参考答案与试题解析一、选择题（共5小题）=52．如图，点M（﹣3，4）到原点的距离是（）离原点的距离是=53．点P在第三象限内，P到X轴的距离与到y轴的距离之比为2：1，到原点的距离为，则点P的坐标到原点的距离为，4．（2006•厦门）对于直角坐标平面内的任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义它们之间的一种“距离”：||AB||=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．给出下列三个命题：①若点C在线段AB上，则||AC||+||CB||=||AB||；②在△ABC中，若∠C=90°，则||AC||2+||CB||2=||AB||2；二、填空题（共3小题）（除非特别说明，请填准确值）6．（2007•宝山区一模）已知点A（﹣3，1），点B在y轴正半轴上，且AB=5，则点B的坐标为：（0，5）．7．（2006•虹口区一模）已知在y轴的正半轴上有一点P，它与点（﹣3，2）的距离是5，那么点P的坐标是（0，6）．填空．=58．（2005•上海模拟）在平面直角坐标系中，点A（5，﹣2）与点B（2，2）的距离是5．代入数据进行计算即可得解．=三、解答题（共2小题）（选答题，不自动判卷）9．（2011•峨眉山市二模）（1）在数轴上，点A表示数3，点B表示数﹣2，我们称A的坐标为3，B的坐标为﹣2；那么A、B的距离AB=5；一般地，在数轴上，点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则A、B的距离AB=|x1﹣x2|；（2）如图，在直角坐标系中点P1（x1，y1），点P2（x2，y2），求P1、P2的距离P1P2；（3）如图，△ABC中，AO是BC边上的中线，利用（2）的结论证明：AB2+AC2=2（AO2+OC2）．10．（2009•滨州）根据题意，解答下列问题：（1）如图①，已知直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，求线段AB的长；（2）如图②，类比（1）的求解过程，请你通过构造直角三角形的方法，求出两点M（3，4），N（﹣2，﹣1）之间的距离；（3）如图③，P1（x1，y1），P2（x1，y2）是平面直角坐标系内的两点．求证：．MN=中，．关注中学生习题网官方微信公众号，免费学习资源、学习方法、学习资讯第一时间掌握。

2.3.2 两点间的距离公式(分层作业)(人教A版2019选修第一册)(原卷版)

2.3.2两点间的距离公式（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2021·全国·高二专题练习）已知点(1,3)A ，(5,2)B ，点P 在x 轴上，则||||AP PB +的最小值为（）A ．6BC D ．2．（2021·河北·深州长江中学高二阶段练习）点1(2,5)M -与2(5,)M y 之间的距离是5，则y =（）A ．9-B ．1-C ．9-或1-D ．123．（2022·全国·高二专题练习）已知点()2,4A ，()5,4B ，那么A ，B 两点之间的距离等于（）A ．8B ．6C ．3D ．04．（2022·全国·高二课时练习）已知点(,)P x y 为直线0x y -=上的动点，m =m 的最小值为（）A ．5B ．6CD 二、多选题5．（2021·全国·高二课时练习）(多选)直线x ＋y －1＝0上与点P (－2，3)点的坐标是（）A ．(－4，5)B ．(－3，4)C ．(－1，2)D ．(0，1)三、填空题6．（2022·全国·高二专题练习）设R a b ∈，为_______.7．（2022·全国·高二课时练习）著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难人微”转化为平面上点(),M x y 与点(),N a b 之间的距离，结合．上述观点，可得的最小值为______．8．（2022·全国·高二课时练习）已知等腰直角三角形ABC 的直角顶点为(3,3)C ，点A 的坐标为(0,4)，则点B 的坐标为________．9．（2022·江苏·高二单元测试）设R m ∈，已知直线l 1：(1)20m x my m +++-=，过点(1,2)作直线l 2，且l 1∥l 2，则直线l 1与l 2之间距离的最大值是__．10．（2022·湖南·雅礼中学高二开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数()2f x x=的图像交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．11．（2022·全国·高二课时练习）已知点()(),cos ,sin A B αα且2AB =，则α的一个值为________．（写出符合题意的一个答案即可）四、解答题12．（2022·全国·高二课时练习）已知(1,3),(3,3),3)A B C -，证明ABC 是等边三角形．13．（2022·全国·高二课时练习）求下列两点间的距离：(1))(3,2A -，)(0,3B ；(2))(1,3C -，)(2,7D ；(3))(1,1E --，)(2,2F -．14．（2022·全国·高二课时练习）设A 为圆()2211x y -+=上的动点，P A 是圆的切线，且1PA =，求点P 的轨迹方程．15．（2022·江苏·高二课时练习）求函数()f x 的最小值．16．（2022·全国·高二专题练习）已知(,0),(0,10)A a B ，且||17AB =，求a 的值．17．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知ABC 的三个顶点分别为)(4,3A ，)(1,2B ，)(3,4C -．(1)试判断ABC 的形状；(2)设点D 为BC 的中点，求BC 边上中线的长．18．（2022·上海交大附中高二阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，对于直线:0l ax by c ++=和点()111,P x y 、()222,P x y ，记()()112222ax by c ax by c a b δ++++=+，若0δ<，则称点1P 、2P 被直线l 分隔，若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点1P 、2P 被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线．(1)判断点(1,2),(1,0)A B -是否被直线10x y +-=分隔并证明；(2)若直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线，求实数k 的取值范围；(3)动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E ，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分隔线．【能力提升】一、单选题1．（2022·江苏·高二单元测试）在四边形ABCD 中，∠A ＝45°，∠B ＝75°，AD ＝2BC ＝6，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则MN ＝（）AB ．372C ．622D ．3322．（2021·重庆南开中学高二阶段练习）某地居民的居住区域大致呈如图所示的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成.若60AB km =，30AE CD km ==，现准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点距离的平方和最小，图中1234,,,P P P P 是AC 的五等分点，则转播台应建在（）A ．1P 处B ．2P 处C ．3P 处D ．4P 处3．（2022·江苏·高二单元测试）已知直线1l ：20x y -+=，2l ：20x y --=，直线3l 垂直于1l ，2l ，且垂足分别为A ，B ，若()40C -，，()40D ，，则CA AB BD ++的最小值为（）A +B ．8C ．D ．84．（2022·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中,定义(){}1212,max d A B x x y y =--，为两点()()1122,,A x y B x y 、的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ,称(),d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”记作(),d P l ，给出下列四个命题:①对任意三点,,A B C ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥；②已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，则()43d P l =，；③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形；其中真命题的是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③二、多选题5．（2022·江苏·高二单元测试）已知ABC 顶点坐标是(3,4),(0,0),(,0)A B C c ，则下列结论正确的是（）A ．若ABC 为直角三角形，则3c =或253c =B ．若ABC 为锐角三角形，则2533c <<C ．若ABC 为钝角三角形，则03c <<或253c >D ．若ABC 为等腰三角形，则5c =±6．（2022·江苏·高二）对于平面直角坐标系内的任意两点()11,P x y ，()22,Q x y ，定义它们之间的一种“距离”为1212PQ x x y y =-+-‖‖．已知不同三点A ，B ，C 满足AC BC AB +=‖‖‖‖‖‖，则下列结论正确的是（）A ．A ，B ，C 三点可能共线B ．A ，B ，C 三点可能构成锐角三角形C ．A ，B ，C 三点可能构成直角三角形D ．A ，B ，C 三点可能构成钝角三角形三、填空题7．（2022·全国·高二课时练习）已知点 P Q ，分别在直线1l ：20x y ++=与直线2l ：10x y +-=上，且1PQ l ⊥，点()313,3 22A B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，，则AP PQ QB ++的最小值为____．8．（2022·江苏·高二专题练习）瑞士数学家欧拉（Euler ）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知ABC 的顶点()4,0A -，()0,4B ，()2,0C ，则ABC 欧拉线的方程为______．9．（2021·北京市第十二中学高二阶段练习）已知点()(),cos ,sin A B αα，且2AB =，写出直线AB 的一个方程____10．（2022·江苏·高二单元测试）已知实数a ，b 满足4230a b -+=，则___________.11．（2022·江苏·高二单元测试）在平面直角坐标系中有两点()11,A x y 、()22,B x y ，现定义由点A 到点B 的折线距离2121(,)A B x x y y ρ=-+-，若已知点(1,0)B ，点M 为直线220x y -+=上的动点，则(,)B M ρ取最小值时点M 的坐标是______．12．（2022·全国·高二单元测试）已知x ，y 为实数，代数式______.四、解答题13．（2021·全国·高二课时练习）如图，点P 为正方形ABCD 内一点，且满足15PAB PBA ∠∠==，用坐标法证明PCD 为等边三角形．14．（2022·全国·高二课时练习）用坐标法证明：(1)在直角三角形中，斜边中点到三个顶点的距离相等；(2)若三角形一边上的中点到三个顶点的距离相等，则该边所对的角是直角．15．（2022·浙江省兰溪市第三中学高二开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，已知直线l ：mx －（2－m ）y －4=0与直线h ：x +y －2=0的交点M 在第一三象限的角平分线上.(1)求实数m 的值；(2)若点P 在直线l 上且|||PM PO =，求点P 的坐标.16．（2022·江苏·高二专题练习）已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记作(),d P l .(1)求点()1,1P 到线段l ：()3035x y x --=≤≤的距离(),d P l ；(2)设l 是长为2的线段，求点的集合(){},1D P d P l =≤所表示的图形面积；(3)写出到两条线段1l ､2l 距离相等的点的集合()(){}12,,Q P d P l d P l ==，其中1l AB =，2l CD =，()A ，12B ⎛ ⎝⎭，(C ，33322D ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.17．（2021·江苏·高二单元测试）在平面直角坐标系中，定义1212(,)max{||,||}d A B x x y y =--为两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及直线l 上任一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l .（1）求证：对任意三点A 、B 、C ，都有(,)(,)(,)d A C d C B d A B +≥；（2）已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，求(,)d P l ；（3）定点00(,)C x y ，动点(,)P x y 满足(,)d C P r =（0r >），请求出点P 所在的曲线所围成图形的面积.。

高考数学复习典型题型专题讲解与练习65 两点间的距离公式

高考数学复习典型题型专题讲解与练习专题65 两点间的距离公式题型一求平面两点间的距离1．已知直线l 经过点(3,1)P ，且被两条平行直线1l ：10x y ++=和2l ：60x y ++=截得的线段长为5，则直线l 的方程为（）A ．2x =B ．3x =C ．1y =D ．2y = 【答案】BC【解析】若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为3x =，此时与1l 、2l 的交点分别为(3,4)A -，(3,9)B -，截得的线段AB 的长|||49|5AB =-+=，符合题意，若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为(3)1y k x =-+，解(3)110y k x x y =-+⎧⎨++=⎩得3241(,)11k k A k k ---++，解(3)160y k x x y =-+⎧⎨++=⎩得3791(,)11k k B k k ---++，由||5AB =，得22232374191()()51111k k k k k k k k -----+-+=++++，解得0k =，即所求的直线方程为1y =，综上可知，所求直线l 的方程为3x =或1y =，故选：BC.2．某地街道呈现东-西､南-北向的网格状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点.若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点(2,2)-，(3,1)，(3,4)，(2,3)-，(4,5)为报刊零售点.为使5个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.发行站应确定在格点（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,3) 【答案】D【解析】设发行站的位置为(,)x y ，零售点到发行站的距离为Z ，则2|2||2|2|3||1||4||3||4||5|Z x y x y y y x y =++++-+-+-+-+-+-，这五个点的横坐标与纵坐标的平均值分别为：23324655-++-+=.2143535++++=.记6(5A ，3).画图可知发行站的位置应该在点A 附近，代入附近的点的坐标进行比较可知，在(3,3)处z 取得最小值. 故答案为(3,3). 故选：D.3．坐标原点(0,0)O 在动直线220mx ny m n +--=上的投影为点P ，若点(1,1)Q --，那么||PQ 的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】直线220mx ny m n +--=，可化为(2)(2)0m x n y -+-=，故直线过定点(2,2)M ，坐标原点(0,0)O 在动直线220mx ny m n +--=上的投影为点P ，故90OPM ∠=︒，所以P 在以OM 为直径的圆上，圆的圆心为2020(,)22++，即(1,1)=根据点与圆的关系，||OQ2||222PQ =+故选：A.4．在直角坐标系中，已知射线:0(0)OA x y x -=，过点(3,1)P 作直线分别交射线OA ，x 轴正半轴于点A ､B .（1）当AB 的中点为P 时，求直线AB 的方程；（2）求·PA PB 的最小值.【答案】（1）40x y +-=；（2）1).【解析】（1）由题意，设1(A x ，1)x ，2(B x ，0)，且1x ，20x ；当AB 的中点为P 时，有12123021x x x +=⨯⎧⎨+=⨯⎩，解得12x =，24x =，(2,2)A ∴，(4,0)B ，∴直线AB 的方程为224202x y --=--，化为一般式为40x y +-=；（2）当斜率不存在时，()()3,3,3,0A B ，此时·212PA PB =⨯=，当k 存在时，设直线AB 的方程为：1(3)y k x -=-.(1,0)k k ≠≠直线AB 与0(0)x y x -=≥相交：可得31(1k A k --，31)1k k --，直线AB 与x 轴正半轴相交与B ，可得31(k B k-，0)那么：PA PB ⋅=()222221221(1)111k k k k k k k k +===+---++，令10k m +=≠，可得221121(1)12k m k m m m+==+-++-，当0m >时，由于2m m +≥·PA PB4(1=；当且仅当m =时取等号.即1k =. 当0m <时，由于2m m+≤-·PA PB1)；当且仅当m =.即1k =.4(12)21)+>>；故得·PA PB 的最小值为：1)(当且仅当m=.即1)k =.题型二由顶点坐标判断三角形的形状1．已知点()2,1A --，()4,3B --，()0,5C -，求证：ABC 是等腰三角形．【答案】证明见解析.【解析】证明：由题可知，()2,1A --，()4,3B --，()0,5C -，AB ==∴AC ==BC ==AC BC ∴=，又由坐标可知，A ，B ，C 三点不共线，ABC ∴是等腰三角形．2．在ABC 中，D 是BC 边上任意一点（D 与,B C 不重合），且22AB AD BD DC =+⋅.求证：ABC 为等腰三角形. 【答案】证明见解析.【解析】作AO BC ⊥，垂足为O ，以BC 所在直线为x 轴，以OA 所在直线为y 轴，建立直角坐标系（如图所示）. 设(0,),(,0),(,0),(,0)A a B b C c D d . 因为22AB AD BD DC =+⋅，所以，由距离公式可得2222()()b a d a d b c d +=++--，即()()()()d b b d d b c d --+=--. 又0d b -≠，故b d c d --=-，即b c -=. 所以AB AC =，即ABC 为等腰三角形.题型三由距离求点的坐标1．（多选）等腰直角三角形ABC 的直角顶点为(3,3)C ，若点A 的坐标为(0,4)，则点B 的坐标可能是（）A ．(2,0)B ．(0,2)C ．(4,6)D ．(6,4) 【答案】AC【解析】设(,)B x y ，根据题意可得1,AC BC k k BC AC ⋅=-⎧⎨=⎩即3431,303y x --⎧⋅=-⎪--= 解得2,0x y =⎧⎨=⎩或4,6,x y =⎧⎨=⎩所以(2,0)B 或(4,6)B .故选：AC ．2．已知点A (－3，4)，B (2在x 轴上有一点P ，使|PA |＝|PB |，则P 点坐标为________．【答案】9(,0)5-【解析】设点P (x ，0)，则有|PA |， |PB |由|PA |＝|PB |，得x 2＋6x ＋25＝x 2－4x ＋7，解得x ＝－95，即所求点P 为9(,0)5-. 故答案为：9(,0)5-3．在直线x －y ＋4＝0上取一点P ，使它到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等，则点P 的坐标为________.【答案】35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】设直线40x y -+=上一点(),4P x x +，则P 到点()24M --，，()46N ，的距离相等，解得32x =-，∴35422y =-+=，∴点P 的坐标为35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，故答案为35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.4．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线称为“欧拉线”.已知ABC 的顶点(2,0),(0,4)A B ，其“欧拉线”的直线方程为20x y -+=，则ABC 的顶点C 的坐标__________. 【答案】(4,0)-【解析】设(),C m n ，由重心坐标公式得ABC 的重心为24,33m n ++⎛⎫⎪⎝⎭，代入欧拉线方程得242033m n++-+=整理得40m n -+=①，因为AB 的中点为()1,2，40202AB k -==--，所以AB 的中垂线的斜率为12，所以AB 的中垂线方程为()1212y x -=-即230x y -+=，联立23020x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，∴ABC 的外心为()1,1-，，联立①②得4,0m n =-=或0,4m n ==，当0,4m n ==时，点B 、C 两点重合，舍去； ∴4,0m n =-=即ABC 的顶点C 的坐标为()4,0-. 故答案为：()4,0-.5．已知直线1:260l x y +-=和点(1,1)A -，过点A 作直线2l 与直线1l 相交于点B ，且||5AB =，则点B 的坐标为___________，直线2l 的方程为___________. 【答案】(1,4)或(5,4)-1x =或3410x y ++=.【解析】根据题意，点B 在直线1:260l x y +-=上，设B 的坐标为(,62)t t -，又由||5AB =，则22(1)(72)25t t -+-=，解可得：1t =或5，1t =时，B 的坐标为(1,4)，直线2l 的方程为1x =，5t =时，B 的坐标为(5,4)-，此时直线2l 的斜率4(1)3514k ---==--，直线2l 的方程为31(1)4y x +=--，变形可得3410x y ++=，则B 的坐标为(1,4)或(5,4)-，直线2l 的方程为1x =或3410x y ++=，故答案为：(1,4)或(5,4)-；1x =或3410x y ++=. 题型四用两点间的距离公式求函数最值1．已知点(1,3)A ，(5,2)B ，点P 在x 轴上，则||||AP PB +的最小值为（） A．6B．【答案】B【解析】点(1,3)A ，(5,2)B ，点P 在x 轴上，点B 关系x 轴的对称点为(5,2)B '-，(||||)||min AP PB AB ∴+='.故选：B.2．已知01x <<，01y <<．（1≥的条件．（2）说明上述不等式的几何意义．【答案】（1）证明见解析；（2）边长为1的正方形内任意一点到四个顶点的距离的和不小于两条对角线的和.【解析】（1）证明：∵0＜x ＜1，0＜y ＜1，设P （x ，y ），A （1，0），B （1，1），C （0，1），如图：则|PO |=|PA ||PB ||PC | ∵|PO |+|PB |≥|BO |=|PA |+|PC |≥|AC |=∴|PO |+|PB |+|PA |+|PC |≥（当且仅当点P 为正方形的对角线AC 与OB 的交点是取等号），即x ＝y 12=时取等号．≥（2）对于（1）中不等式，它的几何意义是：边长为1的正方形内任意一点到四个顶点的距离的和不小于两条对角线的和.3．（1）已知点P 是平面上一动点，点()1,1A ，()2,2B -是平面上两个定点，求22PA PB +的最小值，并求此时P 的坐标；（2）求函数()f x =【答案】（1）最小值为5，此时31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）【解析】（1）设()(),,P x y x R y R ∈∈，则PA =PB =()()()()222222221122262210PA PB x y x y x x y y ∴+=-+-+-++=-+++223122522x y ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即P 到31(,)22-距离最小时，22PA PB +最小∴当32x =，12y 时，22PA PB +的值最小．故22PA PB +的最小值为5，此时31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）()f x ==设()2,3A ，()6,1B ，(),0P x ，如图，则上述问题转化为求PA PB +的最小值．点A 关于x 轴的对称点为()2,3A '-，即可转化为P 在x 轴移动过程|'|||PA PB +最短问题PA PB PA PB A B ''+=+≥=PA PB ∴+≥f x的最小值为4．已知两定点()3,8A --，()10,4B 及两平行直线1:34100l x y ++=，2:34150l x y +-=，试在直线1l ，2l 上分别求出点P ，Q ，使得1PQ l ⊥，且折线段APQB 的长度最短，并写出此时三条折线所在直线的方程．【答案】()2,4P -，()5,0Q ，直线AP ，PQ ，QB 的方程分别为45280x y --=，43200x y --=，45200x y --=．【解析】（如图）作点B 关于L 2的对称点B ′，作点A 关于L 1的对称点A ′，再在AA ′的延长线上取点M ，使得A ′M 等于两平行线L 1、L 2之间的距离d ，连结B ′M 与L 2的交点为Q ，过Q 作QP 垂直L 1于点P ，可得图中的点P 、Q 就是所求作的点．结合已知可求得P （2，﹣4），Q （5，0），可得直线的方程分别为AP ：4x ﹣5y ﹣28＝0 PQ ：4x ﹣3y ﹣20＝0，QB ：4x ﹣5y ﹣20＝0题型五距离新定义1．在平面直角坐标系中，定义()1212,d P Q x x y y =-+-为()()1122,,,P x y Q x y 两点之间的“折线距离”，则下列说法中正确的是（）A ．若点C 在线段AB 上，则有()()(),,,d AC d C B d A B +=B ．若、、A BC 是三角形的三个顶点，则有()()(),,,d A C d C B d A B +> C ．到()()1,0,1,0M N -两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线0x =D ．若O 为坐标原点，点B 在直线+0x y -上，则(),d O B 的最小值为2【答案】AC【解析】对A ，若点C 在线段AB 上，设()()()001122,,,,,C x y A x y B x y ，则0x 在12,x x 之间，0y 在12,y y 之间，则()()01012020,,d A C d C B x x y y x x y y +=-+-+-+-()1212,x x y y d A B =-+-=，故A 正确；对B ，在ABC 中，()()01012020,,d A C d C B x x y y x x y y +=-+-+-+-()()()()01200120x x x x y y y y ≥-+-+-+- ()1212,x x y y d A B =-+-=，故B 错误；对C ，设到()()1,0,1,0M N -两点的“折线距离”相等的点的坐标为(),x y ，则11x y x y ++=-+，解得0x =，故C 正确；对D ，设(),B x y ，则(),d O B x y x x =+=+≥(),d O B 的最小值为D 错误. 故选：AC.2．在直角坐标系xOy 中，已知点()11,A x y ，()22,B x y ，记()()1212,p pp d A B x x y y =-+-，其中p 为正整数，称(),p d A B 为点A ，B 间的M 距离．下列说法正确的是（）． A ．若()1,1d O A =，则点A 的轨迹是正方形 B ．若()()12,,d A B d A B =，则A 与B 重合C ．()()12,,d A B A BD ．()()21,,d A B d A B ≥ 【答案】A【解析】由()1,1d O A =得111x y +=，所以点A 的轨迹是以O 为中心的正方形，故A 正确；记12m x x =-，12n y y =-，则0m ≥，0n ≥，若()()12,,d A B d A B =，则22m n m n +=+，显然有0m =，1n =满足此等式，可取点()1,1A ，()1,2B ，显然A 与B 不重合，故B 错误；取点()0,1A ，1,12B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()2111,,24d A B d A B ==，()2,A B =此时()()12,,d A B A B >，故C 错误，也可得D 错误．故选：A.3．在平面直角坐标系中，定义1212(,)max{||,||}d A B x x y y =--为两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及直线l 上任一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l .（1）求证：对任意三点A 、B 、C ，都有(,)(,)(,)d A C d C B d A B +≥；（2）已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，求(,)d P l ；（3）定点00(,)C x y ，动点(,)P x y 满足(,)d C P r =（0r >），请求出点P 所在的曲线所围成图形的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）4(,)3d P l =；（3）24S r =. 【解析】（1）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则{}{}13133232133212(,)(,)max ,max ,d A C d C B x x y y x x y y x x x x x x +=--+--≥-+-≥-，同理可得12(,)(,)d A C d C B y y +≥-，所以{}1212(,)(,)max ,(,)d A C d C B x x y y d A B +≥--=，（2）解：设(,21)Q x x -为直线:210l x y --=上一点，则{}(,)max 3,22d P Q x x =--，由322x x -≥-，解得513x -≤≤，即有(,)3d P Q x =-，当53x =时，取得最小值43；由322x x -<-，解得53x >或1x <-，即有(,)22d P Q x =-，(,)d P Q 的范围是44(3,)(,)(,)33+∞+∞=+∞，无最大值，综上可得，,P Q 两点的最小值为43，所以4(,)3d P l =；（3）解：设轨迹上动点为(,)P x y ，则{}00(,)max ,d C P x x y y r =--=，等价于000x x r y y x x ⎧-=⎪⎨-≤-⎪⎩或000x x y y y y r ⎧-≤-⎪⎨-=⎪⎩，所以点(,)P x y 的轨迹是以00(,)C x y 为中心，边长为2r 的正方形，所以点P 所在的曲线所围成图形的面积为24r4．在平面直角坐标系xOy 中，定义11(,)A x y ，22(,)B x y 两点的折线距离1212(,)d A B x x y y =-+-.设点22(,)P m n ，(,)Q m n ，(0,0)O ，(2,0)C ，若(,)1d P O =，则(,)d Q C 的取值范围___________.【答案】[1,2【解析】由题意22(,)1d P O m n =+=，设cos ,sin m y θθ==，[0,2)θπ∈，所以(,)2d Q C m n =-+cos 2sin 2cos sin θθθθ=-+=-+，当0θπ≤≤时，(,)2cos sin 2)4d Q C πθθθ=-+=-，3,444πππθ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，sin 4πθ⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，(,)[1,2d Q C ∈，2πθπ<<时，(,)2cos sin 2)4d Q C πθθθ=--=+，59,444πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin 4πθ⎡⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，(,)[1,2d Q C ∈，综上，(),1,2d Q C ⎡∈⎣，故答案为：[1,2，。

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第13课两点间距离公式
一、新知探究：
试一试，求下列两点间的距离：
（1）)0,2(),0,2(B A - （2）)5,3(),5,3(B A -
（3）)7,0(),3,0(-B A （4）)7,5(),3,5(---B A
（5）)0,0(),8,6(B A （6）)3,4(),0,0(--B A
总结：
若平面上的有两点111222(,),(,)P x y P x y ，
1、如果1P 、2P 两点在x 轴上或在平行于x 轴的直线上，则两点距离12PP 是
2、如果1P 、2P 两点在y 轴上或在平行于y 轴的直线上，则两点距离12PP 是
3、点1P 到原点的距离是，点2P 到原点的距离是
探索二：已知平面上的两点111222(,),(,)P x y P x y ，如何求111222(,),(,)P x y P x y 的距离12PP
例1 已知两点)2,1(-A ，)7,2(B 。

（1）求||AB ；（2）在x 轴上求一点P ，使得||||PB PA =，并求||PA
例2 已知△ABC 的三个顶点是13(1,0),(1,0),(2A B C -，试判断△ABC 的形状。

例3 已知△ABC 的顶点坐标为A （3，2），B （1，0），C （2+3，1－3），求AB 边上的中线CM 的长；
练习：
1.22(1)(2)a b ++-( )
()A 两点(a,b )与(1,-2)间的距离 ()B 两点(a,b )与(-1,2)间的距离
()C 两点(a,b )与(1,2)间的距离 ()D 两点(a,b )与(-1,-2)间的距离
2.已知下列两点，求AB 及两点的中点坐标
（1）A （8，6），B （2，1）（2）A （-2，4）B （-2，-2）
（3）A （5，10），B （-3，0）（4）A （-3，-1），B （5，7）
3.已知点A （-1，-1），B （b ,5）,且AB =10，求b .
4.已知A 在y 轴上，B （4，-6），且两点间的距离AB =5，求点A 的坐标
5.已知A （a ,-5），点B 在y 轴上，点B 的纵坐标为10，AB=17，求a 。

6.已知A （2，1）,B （-1，2）,C （5,y ）,且为等腰三角形，求y 并求底上中线的长度
巩固提高：
1．若A(-1,3)、B （2，5）则AB =___________．AB 的中点M 的坐标为
2．已知A （0，10），B （a ，-5）两点之间的距离为17，则a 的值为．
3.已知点)1,(-m M ，),5(m N ，且52=MN ，则m =___________.
4.已知)5,4(),3,(),1,1(C a B A -，且BC AB =，则a =_______________.
5.已知△ABC 的三个顶点是)3,0(),0,1(),01(C B A ，-，试判断△ABC 的形状。

6.已知△ABC 的三个顶点是)1,4(),3,2(),12(----C B A ，，试判断△ABC 的形状。

7.已知△ABC 的三个顶点是)2,3(),1,3(),11(C B A ---，，试判断△ABC 的形状。

8.已知△ABC 的三个顶点是)2,1(),1,4(),12(C B A ---，，试判断△ABC 的形状。

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