第二章 格林定理 镜像法

2.10.1 唯一性定理

设在区域V内，
1 和 2
2 2
满足泊松方程，即:
(r) 1 (r) 2
在V的边界S上
1 和 2 满足同样的边界条件， 即:
1 |S f ( r ) 2 |S f ( r )
令φ =φ1-φ2 ，则在V内，▽ 2φ=0，在边界面S上，φ|S=0。在格 林第一恒等式中，令Ψ=φ，则:
n
证毕 （1）当整个空间除导体外，没有其它体电荷密度分布

i 1
n
qi i/ qi/ i
i 1
n
（2）若整个空间除体电荷密度分布外，没有其它诸导体

V
/ d / d
V
2.10 唯一性定理 镜像法
在电磁场问题中，往往需要求解有限区域中给定边界条件下 的电磁场问题。 如果只考察空间某—有限区域的电磁场，而区域内、外常存在不同 场源，显然仅仅知道区域内的场源并不足以能完全确定有限区域内的电 磁场，还必须知道区域外场源的影响，而外域场源的影响可以通过用边 界面上的等效场来取代，故内域场由其内部场源和边界场值唯一确定。
2.9 格林定理 互易定理
2.9.1 格林定理
FdV F dS
V S
在上式中，令
F 则:
F ( ) 2 FdV ( 2 )dV
V V
( ) dS
S
dS S n
即:
V ( )dV S n dS
2
这就是格林第一恒等式。n是面元的正法向，即闭合面 的外法向。
V ( )dV S n dS
2
V ( )dV S n n dS
E E1 E 2
H H1 H 2
E H E t
H E t
D 0
B 0
(E H ) H E E H
( E H ) d

V
1 2 1 [ J E ( 2 E 2 H 2 )]d t
S
right
i

Si
i / / i ( i i )dS n n i / i 1 / ( )dS i ( ) dS ( i qi/ i / qi ) Si n n i
[ i
i
Si
(r ) 1 (r ) 2
2.10.3 圆柱面镜像法 例4-4 线密度为ρl 的无限长线电荷平行置于接地无限大导体平 面前，二者相距d, 如图 4-5(a)所示，求电位及等位面方程。
图4-5 例4-3 用图 (a) 导体平面与线电荷；(b) 等位线
解：
l r0 1n 2 0 r
同理得镜像电荷-ρl的电位：
l 1nm 2 0
Baidu Nhomakorabea
例4-5 两平行圆柱形导体的半径都为a，导体轴线之间的距离 是 2d，如图 4-6，求导体单位长的电容。
图4-6 平行双导体
解:设两个导体圆柱单位长带电分别为ρl和-ρl，利用柱面镜像 法，将导体柱面上的电荷用线电荷ρl 和-ρl 代替，线电荷相距 原点均为d，两个导体面的电位分别为φ1和φ2。
1 q q ' 4 0 r r
r [ x y ( z h) ] , r [ x y ( z h) ]
2 2 2 1/ 2 2 2
2 1/ 2
qx 1 1 3 3 Ex 4 0 r r qy 1 1 3 3 Ey 4 0 r r qz z h z h 3 3 Ez 4 0 r r
V ( )dV S n dS
2
由于▽ 2φ =0，所以有:

V
dV dS S n
2
在S上φ =0，因而上式右边为零，因而有:

V
dV 0
2
或者这样来证明
设满足麦克斯韦方程、初始条件和边界条件的电磁场解不唯一， 至少有两组解
2 2
2 2 2
m 1 2md 2 x 2 d y 2 m 1 m 1
这个方程表示一簇圆，圆心在(x0, y0)，半径是R0。其中：
2md m2 1 R0 2 , x0 2 d , y0 0 m 1 m 1
每一个给定的m(m>0)值，对应一个等位圆，此圆的电位为:
n E |边界 0
( E H ) n E ( H n) H ( n E )
n H |边界 0

V
( 1 E 2 1 H 2 )]d 0 2 2
式中的被积函数总为正值，要使上式成立，必有
E0
E1 E 2
H 0
2 2 2 2
C
l
U

0
b b a 1n a
2 2
当b>>a时，
C
0
2b 1n a
2.10.4 平面介质镜像法
例4-6 设两种介电常数分别为ε1、ε2的介质充填于x<0 及x>0 的 半空间，在介质 2 中点(d, 0, 0)处有一点电荷q, 如图 4-7(a)所示， 求空间各点的电位。
l r0 1n 2 0 r
任一点(x, y)的总电位：
l r 1n 2 0 r
用直角坐标表示为:
l ( x d )2 y 2 ( x, y ) 1n 4 0 ( x d ) 2 y 2
等位线方程为:
(x d ) y m2 ( x d )2 y 2
2 t

V
( E H )]d ( E d )dt ( ( E H ) d )dt
1 2 2 1 2 2 0 V 0
t

V
( E H )]d ( ( E H ) nd)dt
1 2 2 1 2 2 0
t
于球心与电荷q的连线上，设q′离球心距离为b(b<a)，这样球
外任一点的电位是由电荷q与镜像电荷q′产生电位的叠加， 即:

q 4 0r1

q' 4 0r2
当计算球面上一点的电位时， 有:
q 4 0 r10

q' 4 0 r20
0
式中r10、r20分别是从q、q′到球面上点P0的距离。在上式中q′
由Dn=ρS可得导体表面的面电荷密度：
qh S 0 Ez 2 2 2 3/ 2 2 ( x y h )
导体表面总的感应电荷：
qh dxdy qin S dS ( x 2 y 2 h2 )3 / 2 q 2
图4-2 相互正交的两个无限大接地导体平面的镜像
2
left

1
V
( )d
/ /
left

1
V
( )d
/ /
Right
i
1

( i qi/ i / qi )

i 1
n
qi i/ / d qi/ i / d
V i 1 V
图4-7 例 4-6 用图 (a) 介质镜像问题； (b) 区域 2 等效； (c) 区域 1 等效
解： 右半空间任一点的电位为:
1 q q' 2 4 2 r2 r1
左半空间任一点的电位为:
1
其中q′和q″待定。
q' ' 4 1r2
1 2 1 2 , 1 2 x x
和
H1 H 2
在有界区域内满足给定源的场方程、初始条件 及不同边界条件的场解是唯一的
2.10
2.10.1 平面镜像法
镜像法
例4-1 求置于无限大接地平面导体上方，距导体面为h处的点 电荷q的电位。
图4-1 无限大导体平面上点电荷的镜像
解： 当 z>0 时，▽2φS=0； 当 z=0时，φ=0； 当 z→∞、|x|→∞、|y|→∞时，φ→0。
2 2
该式称为格林第二恒等式。 格林定理可用于解的唯一性证明和求解泊松方程的积分 解，在电磁场理论中是很重要的定理之一
2.9.2 格林互易定理
互易定理是描述不同场及其场源成对称关系的公式，格林定理是不同 函数间成对称关系的互易定理的数学表述。两个定理的区别在于：格林定 理不含具体的物理意义，而互易定理可以看为格林定理的一个直接推论和 应用
和b是待求量。取球面上的点分别位于A、B两点，可以得到 确定q′、b的两个方程：
q q' 0 qa ab q q' 0 d a ab
解之得:
q 2 a b d a q' d
可以算出球面上总的感应电荷qin=-qa/d=q′。 如果导体球不接地且不带电，可用镜像法和叠加原理 求球外的电位。此时球面必须是等位面，且导体球上的总 感应电荷为零。应使用两个等效电荷：一个是q′，其位置和 大小由式(4-9)确定； 另一个是q″, q″=-q′, q″位于球心。 如果导体球不接地，且带电荷Q，即q′位置和大小同上， q″的位置也在原点，但q″=Q-q′, 即q″=Q+qa/d。
2md a 2 m 1 m2 1 d b 2 m 1
解之得:
m1, 2
b b2 a 2 a
l U 1 2 (1nm1 1nm2 ) 2 0 l b b a l b b a 1n 1n 2 2 2 0 b b a 0 a
/ i / V i 1 / i / V
n
这是格林互易定理的普遍形式
证明：

现令：
V
( )d
2 2
S
( )dS n n

2 / / 2
/
/ ( )dS n n
/

V
( )d
q q' q' ' ,
q q'
2

q"
1
2 1 q' q 2 1
21 q' ' q 2 1
它是描述在带电体系中，空间各处的电荷分布与在其它各电荷分布 处所产生的电位间存在互易关系。 现测得各带电导体的电位为 i 体电荷元处的电位为

当各导体的电荷变为 ，
体电荷密度变为 相应的电位变为
，
q
/ i
/

/ i
和
/
则有

i 1
n
qi d q i d
2.10.2 球面镜像法
例4-2 如图4-3(a)所示，一个半径为a的接地导体球，一点电
荷q位于距球心d处，求球外任一点的电位。
图4-3 球面镜像 (a) 球面镜像原问题；(b) 等效问题
解：我们先试探用一个镜像电荷q′等效球面上的感应面电荷 在球外产生的电位和电场。从对称性考虑，镜像电荷q′应置