一元二次方程应用__图形面积问题
18 专题 一元二次方程的应用(三)面积问题
1 专题 一元二次方程的应用（三）面积问题
一、彩带问题
1．如图一块草地长为32m ，宽为20m 的矩形，欲在中间修筑宽带相等的小路，要使草坪面积为540㎡，求小路的宽．
2．如图,要设计一幅长60cm ,宽40cm 的图案,其中有两横两竖的彩条,横竖彩 条宽度比为1∶2,若彩条所占面积,是图案面积的2
1,求一条横彩条的宽度．
二、围墙问题
3．如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米．围成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙．
(1)若墙长为18米,要围成鸡场的面积为150平方米,则鸡场的长和宽各为多少米?
(2)围成鸡场的面积可能达到200平方米吗?
(3)若墙长为a 米，对建150平方米面积的鸡场有何影响？
4.某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（平面图如图所示）由于地形限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过16米，如果池的外围墙的建造单价为每米400元，中间两条隔墙的建造单价为每米300元，池底的建造单价为每平方米80元，（池墙的厚度忽略不计）
（1）当三级污水处理池的总造价诶47200元时，求池长x ；
（2）如果规定总造价越低越合算，那么根据题目提供的信息，以47200元为总造价来修建三级污水处理池是否合算？请说明理由。
2m
A B。
一元二次方程图形面积问题(2)区公开课
x
x
整理得：x2-40x+375=0 A 解得：X1=15或 X2=25
80-2x
B
当X=15时，80-2×15=50m（超过45m，不合题意舍去）
当X=25时，80-2×25=30m
∴ AD长为25m
例1：如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m）， 用80m长的篱笆围一个矩形场地． ⑵能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么?
例1：如图，利用一面墙（墙的长度不超过 45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地． ⑴垂直于墙的篱笆AD长度是多少时，才能 使矩形场地的面积为750m2?
⑵能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么?
解：（1）、设AD长为Xm，
墙
则AB=（80-2x）m
D
C
依据题意有： X（80-2X）=750
A
;1-2x
变式应用2
如图，要建造一个面积为130平方米的小仓 库，仓库的一边靠墙且墙长16米，并在与墙 平行的一边开一道1米宽的门。现有能围成 32米的木板，求仓库的长和宽。
A
D
x
x
32+1-2x
B
C
课堂小结
我学会了… …
解：（2）不能，理由如下
墙
由题意可得：
D
C
X（80-2X）=810
整理得：
A
B
∴-2 x2+80x-810=0
=640-4x（-2）x(-810)<0
∴此方程无实数解， ∴ 矩形场地的面积不能为810m2 。
变式应用1:
如图,一农户要建一个矩形院落,院落的一边 利用长为12m的住房墙,另外三边用25m长的建 筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的 一边留一个1m宽的门,所围矩形院落的长、宽 分别为多少时,院落面积为80m2?
24.4.1运用一元二次方程解决图形面积问题
利用一元二次方程解决图形问题
【例1】如图，某学校要在校园内墙边
的空地上建一个矩形的存车处，存车 处的一面靠墙（墙长22米），另外三 面用90米长的铁栅栏围起来．如果这 个存车处的面积为700平方米．求这 个矩形存车处的长和宽．
举一反三训练
1.〈2015，保定模拟〉在Rt△ABC中，∠B为直角，AB ＝6 cm，BC＝12 cm，动点P以每秒1 cm的速度匀速 自A点沿AB方向移动，同时点Q以每秒2 cm匀速自B 点沿BC方向移动，则( C )秒后△PQB的面积等于
员？
(1)设增长率为x， 根据题意，得10×(1＋x)2＝12.1，
解这个方程，得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(舍去)．
答：月平均增长率为10%. (2)6月份的投递任务为：12.1×(1＋0.1)＝13.31 (万件)． ∵13.31÷0.6≈22.18(名)，
∴现有的21名快递投递业务员不能完成任务，至少需
利润 ×100% 进价（或成本）
折扣数 ＝折扣后价格，如原价1 000元，打5.5折，现价550元． 10
谢谢
本题(2)属于典型的增长率问题，这类问题的等量关系 均为：原量×(1＋增长率)增长次数＝增加后的量，或原量
×(1－减少率)减少次数＝减少后的量．
举一反三训练
2．〈2015，湖南长沙〉现代互联网技术的广泛应用，催 生了快递行业的高速发展．据调查，长沙市某家小型 “大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月 份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件． 现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． (1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率； (2)如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公 司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快 递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务
一元二次方程应用题(几何图形面积问题)
解题思路
假设长方形的长为l，宽为w， 通过列方程建立方程组，然后 求解得出面积。
解答与解析
通过解方程组，得出长方形的 长、宽和面积的具体数值，详 细解析计算过程和答案。
实例3 ：三角形面积问题
问题提出
已知直角三角形的斜边长度为c， 某一直角边的长度为a，求三角形 的面积。
解题思路
根据已知条件，利用勾股定理和三 角形面积公式建立方程，然后求解 得出面积。
一元二次方程应用题(几 何图形面积问题)
本演示将介绍一元二次方程的应用，特别是在解决几何图形面积问题时的应 用。通过精彩的实例和深入的讲解，帮助你全面理解和掌握这一知识点。
一元二次方程介绍
简要介绍一元二次方程的概念、形式和解法方法，以及元二次方程解决几何图形的面积问题，通过代入、求解方程， 计算各种图形的面积。
解答与解析
通过解方程和应用三角形面积公式， 得出三角形的面积的具体数值，详 细解析计算过程和答案。
总结与实践建议
总结一元二次方程在解决几何图形面积问题中的应用要点，并提供一些建议和实践步骤，以帮助你更好地掌握这一 知识。
实例1：正方形面积问题
1
问题提出
给定正方形的对角线长度为d，求正方形的面积。
2
解题思路
假设正方形的边长为x，利用勾股定理建立方程，然后求解得出面积。
3
解答与解析
通过解方程，得出正方形的边长和面积的具体数值，详细解析计算过程和答案。
实例2 ：长方形面积问题
问题提出
已知长方形的周长为P，求长方 形的面积。
一元二次方程应用题
25m
180m2 x
解这个方程, 知 这个方程无解.
40 x 2
答 : 鸡场的面积不能达到 250 m 2 . 2 老师提示 : 当方程配方为 x 20 100时 , 特别要注意,
2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一 边靠墙(墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏 长40m.
解:( 200. 即x 2 20 x 100 0. 解这个方程, 得 x1 x2 10.
25m
180m2 40-2x
1.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售 量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每 天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少 元？每天要售出这种商品多少件？ 2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为４０只，且每日产出 的产品全部售出，已知生产ⅹ只熊猫的成本为Ｒ（元），售价每只为Ｐ （元），且Ｒ Ｐ与x的关系式分别为R=500+30X，P=170—2X。 当日产量为多少时每日获得的利润为１７５０元？ 若可获得的最大利润为１９５０元，问日产量应为多少？ 3.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出 500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元， 日销售量将减少20千克。现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使 顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
5000
2500 2900 - x
(2)由题意可得方程：______________________________
3、某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均 每月能售出600个，调查表明，这种台灯的售价每上 涨1元，其销售量就减少10个，为了实现平均每月 10000元的销售利润，这种台灯的售价应为多少？这 时应至少进台灯多少？
一元二次方程的应用(图形面积问题)
一元二次方程的应用（图形面积问题）1．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长比宽多x步，则下列符合题意的方程是（）A．（60﹣x）x＝864B．C．（60+x）x＝864D．（30+x）（30﹣x）＝8642．（2021秋•信丰县期末）如图，面积为50m2的矩形试验田一面靠墙（墙的长度不限），另外三面用20m长的篱笆围成，平行于墙的一边开有一扇1m宽的门（门的材料另计）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为x，则所列方程正确的是（）A．（20+1﹣x）x＝50B．（20﹣1﹣x）x＝50C．（20+1﹣2x）x＝50D．（20﹣1﹣2x）x＝503．（2021秋•高新区校级期末）如图，郑州中学在操场西边开发出一块边长分别为30米、25米的长方形校园菜园，作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为650平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（）A．（30﹣2x）（25﹣x）＝650B．30x+2×25x﹣2x2＝650C．30×25﹣30x﹣25x+2x2＝650D．（30﹣x）（25﹣2x）＝6504．（2021秋•太原期末）学校计划在长为12m，宽为9m矩形地块的正中间建一座劳动实践大棚．大棚是占地面积为88m2的矩形．建成后，大棚外围留下宽度都相同的区域，这个宽度应设计为（）A．1.8m B．1.5m C．1m D．0.5m 5．（2021秋•青岛期末）如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（）A．（45﹣2x）（25﹣x）＝625B．（45﹣x）（25﹣x）＝625C．（45﹣x）（25﹣2x）＝625D．（45﹣2x）（25﹣2x）＝625 6．（2021秋•海口期末）用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框．若窗框的面积为1.5m2，则窗框AB的长为（）A．1m B．1.5m C．1.6m D．1.8m 7．（2021秋•洛阳期末）如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为（）A．cm B．1cm C．cm D．2cm8．（2021秋•历城区期末）如图，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为55米的栅栏围成，若设栅栏AB的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（）A．x（55﹣2x）＝375B．x（55﹣2x）＝375C．x（55﹣x）＝375D．x（55﹣x）＝3759．（2021秋•北京期末）南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为x步，根据题意可以列方程为（）A．x2﹣60x﹣864＝0B．x（x+60）＝864C．x2﹣60x+864＝0D．x（x+30）＝86410．（2021秋•南岸区期末）一个矩形纸片的面积为30cm2，将它的一边剪短1cm，另一边剪短2cm，恰好变成一个正方形．若设正方形的边长为xcm，根据题意可得方程（）A．（x+1）（x+2）＝30B．（x﹣1）（x﹣2）＝30C．（x+1）（x﹣2）＝30D．（x﹣1）（x+2）＝3011．（2021秋•霸州市期末）如图，要把长为4m、宽为3m的长方形花坛四周扩展相同的宽度xm，得到面积为30m2的新长方形花坛，则x的值为（）A．4.5B．2C．1.5D．112．（2021秋•巴中期末）对于一元二次方程，我国及其他一些国家的古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2+2x﹣35＝0即x（x+2）＝35为例加以说明，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆图注》中记载的方法是：构造如图，一方面，图中的大方形的面积是（x+x+2）2；另一方面，它又等于四个矩形面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22.据此易得x＝5，那么在下面的四个构图中，能够说明x2﹣2x﹣8＝0的正确构图是（）A．B．C．D．13．（2021秋•江津区期末）某社区服务中心学习十九届六中全会精神，贯彻落实“为民办实事”．社区服务中心为解决居民停车难的问题，准备利用社区内一块矩形空地修建一个停车场（如图）．已知停车场的长为52米，宽为36米，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道．设通道的宽是x米，若停车位的面积为1104平方米．依题意可列出方程（）A．2×36x+52x＝52×36﹣1104B．36x+2×52x﹣x2＝52×36﹣1104C．（52﹣2x）（36﹣2x）＝1104D．（52﹣2x）（36﹣x）＝110414．（2021秋•岚皋县期末）为绿化、美化环境，某园林部门计划在某地修建一个面积为150平方米的矩形花园，它的长比宽多5米，设长为x米，可列方程为（）A．x（x﹣5）＝150B．x（x+5）＝150C．2x+2（x+5）＝150D．2x+2（x﹣5）＝15015．（2021秋•莲池区期末）如图，用长为20m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC 上用其他材料做了宽为1m的两扇小门．若花圃的面积刚好为40m2，设AB段的长为xm，则可列方程为（）A．x（22﹣3x）＝40B．x（20﹣2x）＝40C．x（18﹣3x）＝40D．x（20﹣3x）＝40二．填空题（共10小题）16．（2021秋•朝阳县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C 运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则秒时，△BPQ的面积是6cm2．17．（2021秋•仙居县期末）如图，在一块长22m，宽为14m的矩形空地内修建三条宽度相等的小路，其余部分种植花草．若花草的种植面积为240m2，则小路宽为m．18．（2021秋•丹江口市期末）如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2，如果要使所占的面积是图案面积的四分之一，设横彩条的宽为3xcm，依题意列方程为．19．（2021秋•綦江区期末）如图，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃（靠墙处不用篱笆），中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域，分别种植两种花草，篱笆总长为19米（恰好用完），围成的大长方形花圃的面积为24平方米，设垂直于墙的一段篱笆长为x米，可列出方程为．20．（2021秋•滕州市期中）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．你来解决这道古算题，可以求得矩形的长为步．21．（2021•襄州区模拟）如图，把长为40cm，宽30cm的长方形硬纸板，剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，且折成的长方体盒子的表面积为888cm2，则剪掉的小正方形边长为cm（纸板的厚度忽略不计）．22．（2020秋•城阳区期末）如图所示，某小区想借助互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用40m长的篱笆围成一个面积为384m2矩形花园．设宽AB＝xm，且AB＜BC，则x＝m．23．（2019秋•北辰区校级月考）长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为cm．24．（2021秋•普陀区期末）如图，阴影部分是一块长方形的草坪，草坪的长是8米，宽是5米，在草坪的四周准备修建等宽的道路，道路和草坪的总面积为70平方米．如果设道路的宽为x米，那么根据题意可列方程为．25．（2021秋•巴中期末）《算法宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云周一百二十步，问长多几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，且周长为120步，问它的长比宽多了多少步？则这块矩形田地的长比宽多了步．。
一元二次方程 面积问题
思考： 练习：P48第8题 1. 你读到了哪些信息？ 封面中央图案所占的面积是封面面积的 四分之三
21cm 9xc m 27c m 7x cm 7x cm
彩色边衬所占面积是封面面积的四分之 一
2. 题目中哪些量是已知 的，哪些量是未知的？ 3. 你认为哪些是解决问 题的关键字句？ 4. 问题中的相等关系是 什么？ 5. 你认为可以怎样设元？
(32 2 х)(20 х) 540
4、若把甲同学的道路由直路改为斜路，那么道路
的宽又是多少米？（列出方程，不用求解）
20 32
如图，要设计一本书的 封面，封面长27cm， 宽21cm，正中央是一 个与整个封面长宽比例 相同的矩形，如果要使 四周的彩色边衬所占面 积是封面的四分之一， 上、下边衬等宽，左、 右边衬等宽，应如何设 计四周边衬得宽度？
答：纸盒的高为5形纸板，剪去四个边 长为5cm的小正方形，并用它做一个无盖的长方体形状 的包装盒。要使包装盒的容积为200cm3（纸板的厚度略
去不计），问这张长方形纸板的长与宽分别为多少cm？
设长为5x，宽为2x，得：
5cm
5（5x-10）（2x-10）=200
18米
2米
例1、如图甲，有一张长40cm，宽25cm的长方形硬纸片， 裁去角上四个小正方形之后，折成如图乙所示的无盖纸 盒。若纸盒的底面积是450cm2，那么纸盒的高是多少？
40cm 25cm
解:设高为xcm,可列方程为 （40－2x)(25 -2x)=450
甲
乙
解得x1=5, x2=27.5
经检验：x=27.5不符合实际，舍去。
(32 x) (20 x)
(32 x)(20 x) 540
化简，得
一元二次方程应用题(几何图形面积问题)
(32 2x)(20 2x) 570 化简得，x2 36x 35 0
(x 35)(x 1) 0 x1 35, x2 1
其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去.
答:道路的宽为1米.
例3. (2003年,舟山)如图，有长为24米的篱笆，一面 利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔 有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x米， 面积为S米2， （1）求S与x的函数关系式;（2）如果要围成面积为 45米2的花圃，AB的长是多少米？
例1. 镜框有多宽?
一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的 长为8m，宽为5m．如果镜框中央长方形图案的面积为 18m2 ，则花边多宽? 解：设镜框的宽为xm ，则镜框中央长方形图案的长 为（8－2x）m, 宽为（5－2x） m,得
8
x
x
x
（8－2x）
5
１８m2
x
例1. 镜框有多宽?
一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的
例2：在一块长80米，宽60米的运动场 外围修筑了一条宽度相等的跑道，这 条跑道的面积是1500平方米，求这条 跑道的宽度。
列一元二次方程解应题
补充练习： 1、（98年北京市崇文区中考题）如图，有一面 积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙 （墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边 （门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡 场的长和宽各多少米？
例1 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm, 点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点 B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC 边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出 发，几秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2？
一元二次方程方程的应用面积问题
一元二次方程方程的应用面积问题一元二次方程是数学中的重要概念，它在现实生活中有着丰富的应用。
其中之一就是在解决面积问题时发挥作用。
从简到繁，本文将深入探讨一元二次方程在面积问题中的应用，以便读者能够更深入地理解这一概念。
一、一元二次方程的基本概念在深入讨论一元二次方程在面积问题中的应用之前，我们先来复习一下一元二次方程的基本概念。
一元二次方程通常具有如下形式：\[ax^2 + bx + c = 0\]其中，\(a\)、\(b\) 和 \(c\) 分别是一元二次方程的系数，而 \(x\) 则是未知数。
通过求解一元二次方程，我们可以得到该方程的根，从而找到方程所代表的数学意义。
二、一元二次方程在面积问题中的应用1. 求矩形的面积假设矩形的长为 \(x+3\)，宽为 \(x-1\)，我们希望求解这个矩形的面积。
根据矩形面积的计算公式 \[面积 = 长 \times 宽\]我们可以建立一个关于矩形面积的一元二次方程，通过求解这个方程，就可以得到这个矩形的面积。
2. 求三角形的面积假设有一个底边长为 \(x+2\)，高为 \(2x-1\) 的三角形，我们可以利用一元二次方程来求解这个三角形的面积。
根据三角形面积的计算公式\[面积 = \frac{底边 \times 高}{2}\]我们可以建立一个关于三角形面积的一元二次方程，通过求解这个方程，就可以得到这个三角形的面积。
3. 求圆的面积对于圆的面积问题，我们需要利用一元二次方程的相关知识进行转化。
假设一个圆的半径为 \(x+1\)，我们希望求解这个圆的面积。
根据圆的面积公式 \[面积 = \pi \times 半径^2\]我们可以建立一个关于圆面积的一元二次方程，通过求解这个方程，就可以得到这个圆的面积。
三、总结与回顾通过以上的例子，我们可以看到一元二次方程在面积问题中的广泛应用。
无论是矩形、三角形还是圆，我们都可以利用一元二次方程来求解其面积，这为我们在实际生活中的计算提供了便利。
一元二次方程-面积应用题
2
25m
180m2 40-2x
200 m , 这时鸡场的宽为 10 m .
以知道 , 当宽为 10 m 时 , .
2
x
解这个方程 , 得 x1 x 2 10 .
答 : 鸡场的面积能达到
这是鸡场最大的面积 老师提示 : 学了二次函数后我们可
小结：本节的重难点
作业：书48页第8题
独立 作业
知识的升华
1. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙 (墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m. 解:(3)设养鸡场的长为xm,根据题意得
40 x x 250 . 2 2 即 x 40 x 500 0 .
25m
180m2 x
分析 ①
21
21:27＝7:9 若设A’B’=7acm，则A’D’=9acm
3 4 S ABCD
② S A ' B 'C ' D '
7a 9a
3 4
21 27
9a
27
a
3 3 2
(负值舍去)
27 9 a 2 1.8 cm
上下边衬为 ③ 左右边衬为 答：…
7a
21 7 a 2
7x
当x2
时
× × √ √
27
9a
7a
9x 9x
7x
经过检验, x 1 不符合题意, x 2 符合题意.
∴上下边衬宽度= 9 x 2 1.8 cm 左右边衬宽度= 7 x 2 1.4 cm 答：…
要设计一本书的封面,封面长27cm,宽21cm,正中央是一个 与整个封面长宽比例相同的长方形.如果要使四周的彩色 ① 边衬所占面积是封面面积的四分之一,上下边衬等宽,左右 ③ ② 边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度？
一元二次方程的面积问题
一元二次方程的面积问题
从几何角度来看，一元二次方程通常与平面图形的面积有关。
例如，如果我们考虑一个矩形的面积，假设矩形的长度为x+3，宽
度为x-2，那么矩形的面积可以表示为(x+3)(x-2)。
这个表达式可
以展开为x^2 + x 6，这就是一个一元二次方程。
我们可以利用一
元二次方程来解决矩形面积的问题，比如求最大面积、最小面积等。
从代数角度来看，一元二次方程一般具有形如ax^2 + bx + c
= 0的形式，其中a、b、c为已知的常数，而x为未知数。
解一元
二次方程的常用方法有配方法、公式法、图像法等。
在代数中，我
们可以利用一元二次方程来解决各种面积相关的问题，比如给定一
个固定的面积和一些限制条件，求解出符合条件的一元二次方程的解。
综合来看，一元二次方程的面积问题涉及到了数学中的多个概
念和方法，需要我们综合运用几何和代数的知识来解决。
通过对一
元二次方程的深入理解和灵活运用，我们可以更好地解决各种与面
积相关的问题。
希望这个回答能够帮助你更好地理解一元二次方程
的面积问题。
湘教版九年级上册数学精品教学课件 第2章 一元二次方程 第2课时 图形面积问题
视频：平 移求面积 动态展示
点击视频 开始播放
例2 如图，要利用一面墙（墙长为 25 m）建羊圈，用
100 米的围栏围成总面积为 400 m2 的三个大小相同的矩
形羊圈，求羊圈的边长 AB 和 BC 的长各是多少米 ？
解：设 AB 长是 x m. (100 - 4x)x = 400 整理得 x2 - 25x + 100 = 0.
运用常见几何图形的 面积公式构建等量关系
几何图形问 题与一元二 次方程
类型
课本封面问题
彩条/小路宽 度问题
常采用图形 平移聚零为 整，方便列 方程
动点面积问题
用长为 12 m 的住房墙，另外三边用 25 m 长的建筑材料
围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 1 m
的门，所围鸡场的长、宽分别为多少时，面积为 80 m2？
解：设矩形鸡场垂直于住房墙的一边长为 x m，
则平行于住房墙的一边长 (25 − 2x + 1) m.
由题意得 x(25 − 2x + 1) = 80，
上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使
草坪的面积为 540 m2，则道路的宽为多少？
方法一：
x
解：设道路的宽为 x m. 则
20 32 32x 20x x2 540. 20
x
还有其他列法吗？
32
方法二：
x
解：设道路的宽为 x m. 则
(32 − x)(20 − x) = 540.
20
整理，得 x2 − 52x + 100 = 0.
解得
x1=
17 3
229
0.62，x2=
17
3
229
一元二次方程应用__图形面积问题
(1)
解2：解1计算时分块较多，还要注意重叠部分要减去。 我们可以利用图形的平移，对图形进行重新整理，如右图。
解：设图中道路的宽为x米， 由题得：（32 x）(20 x) 540
整理得： x2 52 x 100 0 (x 2)(x 50) 0
解得：x1 2, x2 50(不合题意，舍去 ) 故道路宽为 2米.
练习：如图，小华从市场上买回一块矩形铁皮，他将此 矩形铁皮的四个角落各剪去一个边长为1m的正方形后， 剩下的部分刚好能围成一个容积为15m³的无盖长方体箱 子，且此长方体箱子的底面长比宽多2m。已知购买这种 铁皮每平方米需20元，算一算小华购回这张矩形铁皮共 花了多少钱？
解：设无盖长方体箱子宽x米，则长（x 2）米
由题： x( x 2) 1 15
则矩形铁皮面积为： （5 2）（3 2） 35(平方米)
整理得： x2 2x 15 0
35 20 700 元
解得：x1 3, x2 5(舍去)
故这张铁皮共花了 700 元.
课堂小结： 本节课你有哪些收获？
1、仔细分析题目，找准题目中的量，会用含未知 数的代数式准确表示出所需量，进而根据等量关 系列出方程；
解：设金色纸边的宽为xcm,则挂图长为 (80+2x)cm、宽为(50+2x)cm
由题意得：（80 2x）(50 2x) 5400
4x2 260x 1400 0
整理得： x2 6 5, x2 70(不合题意舍去 ) 故金色纸边的宽为5cm.
17.5 一元二次方程应用 ---图形面积问题
例1：学校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的 长方形草地上修筑若干条宽度相同的道路,余下部分作 草坪。现有一位学生设计了如下一种方案，如图（1）, 若使草坪面积为540㎡，求图中道路的宽。
一元二次方程的应用-ppt课件
例1
如图，某小区计划在一块长为 20 m，宽为 12 m
题
型 的矩形场地上修建三条互相垂直且宽度一样的小路，其余
突
破 部分种花草，若要使花草的面积达到 160 m2，则小路的宽
为 ______ m.
第一课时 几何图形面积问题
［解析］如解析图，设小路的宽为 x m，将小路进行平
重
难
题 移，则其余部分可合成相邻两边的长分别为（20-2x） m，
握手问题、照相问
素之间算一 题、比赛问题（每
次
双循环
每两个元素
之间算两次
两队之间赛一场）
循环次数
n（n-1）
互赠贺卡、比赛问
题（每两队之间赛 n（n-1）
两场）
第三课时 循环问题、销售问题及数字问题
归纳总结
考
点
解决循环问题，首先确定是单循环还是双循环，即确定
清
单 每两个元素之间算一次还是算两次，再代入公式列方程求解
清
单
2 的
26
m）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为
300
m
解
读 封闭型矩形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出
两个宽各为 1 m 的出入口，共用去隔栏绳 48 m．求工作人
员围成的这个矩形的相邻两边的长度.
第一课时 几何图形面积问题
［答案］ 解：设 AB=x m，则 BC=（48-2x+1+1） m，由
重 ■题型一 传播问题
难
例 1 某种病毒传播非常快，如果一个人被传染，经过
题
型 两轮传染后就会有 64 个人被传染．
考
点
清 题意得 x（48-2x+1+1）=300，解得 x1=10，x2=15.当 x=10
第21章一元二次方程的应用-面积、动点、小应用题(教案)
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，特别是在面积和动点问题中的应用，增强学生的数学应用意识。
2.提升学生逻辑思维和推理能力，通过分析问题、建立一元二次方程模型，培养学生严谨的数学思维。
3.培养学生的空间想象力和图形感知能力，结合坐标系和几何图形，提高学生对几何问题的理解和解决能力。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程在实际问题中的基本应用。一元二次方程是描述两个变量之间二次关系的数学模型，它在解决面积计算、动点问题等方面具有重要意义。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何利用一元二次方程解决实际的面积问题，以及如何计算动点的位置。
其次，在小应用题的讲解中，我发现学生们对一些题型的解题策略掌握不够熟练。这可能是因为我在教学中对这类问题的讲解不够详细，或者练习量不足。为此，我计划在接下来的课程中，增加一些具有代表性的小应用题，让学生们多加练习，提高解题能力。
此外，在实践活动和小组讨论环节，学生们表现出了很高的积极性，能够主动参与到讨论和实验操作中。这说明他们对于动手实践和合作学习的方式非常感兴趣。但在这一过程中，我也发现有些学生在讨论中过于依赖同伴，独立思考能力有待提高。因此，我将在后续的教学中，注重培养学生的独立思考能力，鼓励他们大胆提出自己的观点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一元二次方程的应用-面积、动点、小应用题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算面积或解决移动点位置的问题？”（如户外活动场地面积的测量、机器人路径规划等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程在这些方面的奥秘。
一元二次方程的应用之面积问题
化简得，x2 36x 35 0 (x 35)(x 1) 0 x1 35, x2 1
其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去.
答:道路的宽为1米.
小结： 列一元二次方程
解应用题的步骤？
5
（8－2x）
x
１８m2
x
例1.镜框有多宽?
一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的
长为8m，宽为5m．如果镜框中央长方形图案的面积为
18m2 ，则镜框多宽?
审
解：设镜框的宽为xm ，则镜框中央长方形
图案的长为（8-2x）m宽, 为 （5-2x）m,得
设
(8 － 2x) (5 － 2x) = 18
40米
22米
[例4] 学校要建一个面积为150平方米的长方形 自行车棚，为节约经费，一边利用18米长的教 学楼后墙，另三边利用总长为35米的铁围栏围 成，求自行车棚的长和宽.
解：设与教学楼后墙垂直的一条边长为x米，则与教学
楼后墙平行的那条边长为
(352x)米，根据题意，得 x(352x)150 解当得x x115时12，5 3, x522x1200.18不合题意，舍去；
列
即2X2 － 13 X ＋ 11＝0
解
解得X1＝1，
X2＝5.5(不合题意)
答:镜框的宽为1m.
答
例2．如图，一块长和宽分别为60厘米和40 厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个 相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水 槽，使它的底面积为800平方厘米.求截去正 方形的边长。
例2．如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相 等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形 的边长。
22.3.2一元二次方程的应用——面积问题
27米
(70 2x) x 528
x 2 35x 264 0
x
x
( x 11)(x 24) 0
x1 11 x2 24
27米＝48（不合题意，舍去）
当 x 24 时，
x 70－2x＝70－48＝22
答：鸡场的长是24米，宽是22米。
540米2。
解法一、 如图，设道路的宽为x米，
(2)
则横向的路面面积为 32x 米2 ，
纵向的路面面积为 20x 米2 。
？ 所列的方程是不是 32 20 (32x 20x) 540
注意：这两个面积的重叠部分是 x2 米2
图中的道路面积不是 32x 20x米2。
而是从其中减去重叠部分，即应是 32x 20x x2 米2
答：所求道路的宽为2米。
解法二：
我们利用“图形经过移动， 它的面积大小不会改变”的道理， 把纵、横两条路移动一下，使列 方程容易些（目的是求出路面的 宽，至于实际施工，仍可按原图 的位置修路）
(2)
(2)
如图，设路宽为x米，横向路面 32x米2 ，
纵向路面面积为20x米2。
草坪矩形的长（横向为2 ) （32-x，)米
练习：
2．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边 靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总 长为35m，所围的面积为150m2，则此长方 形鸡场的长、宽分别为_______．
长、宽分别为7.5cm,20cm 或10cm,15cm
练习：
3、用20cm长的铁丝能否折成面积为30cm2
的矩形,若能够,求它的长与宽;若不能,请说明
4. (p58-5题)一个长方体的长与宽的比为5:2,高为 5cm,表面积为40cm2,画出这个长方体的展开图. 56页活动1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
练习：如图，小华从市场上买回一块矩形铁皮，他将此 矩形铁皮的四个角落各剪去一个边长为1m的正方形后， 剩下的部分刚好能围成一个容积为15m³的无盖长方体箱 子，且此长方体箱子的底面长比宽多2m。已知购买这种 铁皮每平方米需20元，算一算小华购回这张矩形铁皮共 花了多少钱？
解：设无盖长方体箱子宽x米，则长（x 2）米
解：设金色纸边的宽为xcm,则挂图长为 (80+2x)cm、宽为(50+2x)cm
由题意得：（80 2x）(50 2x) 5400
4x2 260x 1400 0
整理得： x2 65x 350 0
(x 5)(x 70) 0 x1 5, x2 70(不合题意舍去 ) 故金色纸边的宽为5cm.
(1)
解2：解1计算时分块较多，还要注意重叠部分要减去。 我们可以利用图形的平移，对图形进行重新整理，如右图。
解：设图中道路的宽为x米， 由题得：（32 x）(20 x) 540
整理得： x2 52 x 100 0 (x 2)(x 50) 0
解得：x1 2, x2 50(不合题意，舍去 ) 故道路宽为 2米.
变式2： 如图,在一块长92m,宽60m的矩形耕地上挖 三条水渠，水渠的宽度都相等。水渠把耕地分成面 积均为885m2的6个矩形小块，水渠应挖多宽？
解：设水渠宽为x米，
根据题意得： (92 2x)(60 x) 8856
整理得：x2 106 x 105 0
(x 1)(x 105) 0
x1 1, x2 105(不合题意，舍去 ) 故水渠应挖1m宽.
由题： x( x 2) 1 15
则矩形铁皮面积为： （5 2）（3 2） 35(平方米)
整理得： x2 2x 15 0
35 20 700 元
解得：x1 3, x2 5(舍去)
故这张铁皮共花了 700 元.
课堂小结： 本节课你有哪些收获？
1、仔细分析题目，找准题目中的量，会用含未知 数的代数式准确表示出所需量，进而根据等量关 系列出方程；
练习：某火车站站前广场绿化工程中有一块长为20米， 宽为12米的长方形空地，计划在其中修建两块相同的长 方形绿地，它们的面积之和为112平方米，两块绿地之 间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人 行通道的宽度。
解：设人行通道的宽度是x米, 则两块绿地可合成长为(20−3x)米、宽 为(12−2x)米的长方形。 由题意：(20−3x)(12−2x)=112，
变式1：以下图（2）（3）是另外两名同学设计小路的 示意图，若仍然使草坪的面积为540㎡，求此时道路的 宽。
（2）
（3）
解：设图中道路的宽为x米， 由题得：（32 x）(20 x) 540
方法归纳：在利用一元二次方 程解几何图形面积的问题时， 有些题目可灵活运用“平移变 换”，把分离的图形进行“整 合”，以简化计算；
17.5 一元二次方程应用 ---图形面积问题
例1：学校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的 长方形草地上修筑若干条宽度相同的道路,余下部分作 草坪。现有一位学生设计了如下一种方案，如图（1）, 若使草坪面积为540㎡，求图中道路的宽。
解：设图中道路的宽为x米，
（1）
根据题意得： 32 20 （- 32 x 20 x x2） 540
整理得：3x2 38x 64 0
(x 2)(3x 32) 0
解得：x1
2,
x2
32 3
当x 32 时，20 - 3x 12
3
x2
32 舍去 3
注意舍根
故人行通道宽度为2米.
例2：在一幅长80cm，宽50cm的长方形风景画四周镶 一条相同宽度的金色纸边，制成一幅长方形挂图，如 下图，如果要使整个挂图的面积是5400 cm2，求金色 纸边的宽。
2、利用一元二次方程解几何图形面积的问题时， 有些题目可灵活运用“平移变换”，把分离的图形 进行“整合”，以简化计算；
3、选择合适的方法去解方程，一可以节省时间二 可以避免错误。另外对实际问题的解要特别慎重， 得到一元二次方程的解后，要检验其是否符合题意。
解1：图形总面积减去两条道路面积等于草坪面积
图形总面积： 32 20
两条道路面积：
32 x 20 x x2
例1：学校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的 长方形场地上修筑若干条宽度相同的道路,余下部分积为540㎡，求图中道路的宽。