结构力学第7章力法

第7章
力法方程: 式中:
δ11 x1 δ12 x2 δ13 x3 Δ1P 0 δ21 x1 δ22 x2 δ23 x3 Δ2P 0 δ31 x1 δ32 x2 δ33 x3 Δ3P 0
11
1 EI
(1 2
ll
2 3
l)
l3 3EI
22
1 EI
(l
11)
l EI
12
21
A
B
C
k
p
D k
8m
8m
8m
2m
原结构
A
B
C
p
D
x2
x1
基本结构(2)
解：力法方程:
11 x1
12 x2
1P
x1 k
21 x1
22 x2
1P
x2 k
第7章
A
8m A
x2
B
C
k
8m
8m
原结构
B
C
k
x1
基本结构(3)
p
D k
2m
p
D k
解：力法方程:
11 21
x1 x1
12 x2 22 x2
结构力学
STRUCTURE MECHANICS
第7章
第7章 力法 7.1超静定结构的概念和超静定次数的确定 一、超静定结构的概念
1、超静定结构的定义 具有几何不变性、而又有多余约束的结构。其反力和内
力只凭静力平衡方程不能确定或不能完全确定。 2、超静定结构的特点 （1）结构的反力和内力只凭静力平衡方程不能确定或不能
X X
1 2
2.67kN
1.11kN
M M1X1 M2X2 MP
2.67
2
4.33
1.33
5.66 3.56
M kN m
注：超静定结构受荷载作用，它的反力和内力与杆件刚度相对值有关， 与其绝对值无关。
第7章
例7-2 试分析图示超静定梁。设EI为常数。
力法方程:
δ11 x1 δ12 x2 δ13 x3 Δ1P 0 δ21 x1 δ22 x2 δ23 x3 Δ2P 0 δ31 x1 δ32 x2 δ33 x3 Δ3P 0
完全确定
（2）除荷载之外，支座移动、温度改变、制造误差等均 引起内力。
（3）多余联系遭破坏后，仍能维持几何不变性。
（4）局部荷载对结构影响范围大，内力分布均匀。
第7章
3、关于超静定结构的几点说明
（1）多余是相对保持几何不变性而言，并非真正多余。 （2）内部有多余联系亦是超静定结构。 （3）超静定结构去掉多余联系后，就成为静定结构。
则去掉多余约束的个数即为该结构的超静定次数。
2次超静定
1次超静定
3次超静定
7次超静定
s
2次超静定
第7章
2、去掉多余联系的方法
（1）去掉支座的一根支杆或切断一根链杆相当于去掉一个联系。 （2）去掉一个铰支座或一个简单铰相当于去掉两个联系。 （3）去掉一个固定支座或将刚性联结切断相当于去掉三个联系。 （4）将固定支座改为铰支座或将刚性联结改为铰联结相当于 去掉一个联系。
MP图
1P
1 EI
(1 2
pa a) ( 2l 3
b) 3
pa 2 6EI
(2l
b)
x1
1p
11
pa3(1 3b ) 2a
l
3 (1
3EI kl 3
)
x1=1
第7章
p
A
B
a
b
l
原结构
X1=1
A
B
1
Ml图
p x1
A
B
基本结构(2) p
A
B
Pab/l
MP图
解：力法方程 11 x1 1 p 1C 0
∙x δ33
3
P
3P
δ31
x3=1
δ31
力法典型方程：
2P 1P
δ11 x1 δ12 x2 δ1n xn Δ1P 0 δ21 x1 δ22 x2 δ2n xn Δ2P 0 δ31 x1 δ32 x2 δ3n xn Δ3P 0
推广：n次超静定结构
11 X 1
12 X 2
x1=36.67kN（←） x2=-5.93kN（↓）
第7章
超静定刚架的内力图
X1=36.67kN X2=–5.93kN
第7章
7.4 用力法计算超静定桁架和组合结构
一、超静定桁架如图所示，各杆EA相同，求各杆内力。
解： 力法方程：
11 x1 1 p 0
第7章
式中：
2
11
N 1 l 1 [(4)2 4 2 ( 5)2 5 2 (1)2 3] 405
............... 1n X n
nP
0
21 X 1
22 X 2
............... 2n X n
2P
0
....................................................................
n1 X 1 n2 X 2 ............... nn X n nP 0
24 EI
x1
81 2EI
x2
640 EI
0
δ22
1 2EI
1 2
3
3
2 3
3
1 EI
3 4
3
81 2EI
δ12
δ21
1 EI
1 2
4 4 3
24 EI
Δ1P
1 EI
1 4 160
3
3 4
4
640 EI
Δ2P
1 EI
1 3
4 160 3
640 EI
解力法方程组，得
二、超静定次数的确定（去约束法）
一个结构所具有的多余约束数就是它的超静定次数。
P
P
1次超静定
P
Q
A 2次超静定
X1
X1
切断一根链杆等于去掉一个约束
P X2
X1
X
X
2
1
Q
去掉一个单铰等于去掉两个约束
P
3次超静定
P
P
X
X
3
2
X
3
X1
X
X
2
1
切断一根梁式杆等于去掉三个约束
PX1 X1
1次超静定
在连续杆中加一个单铰等于去掉一个约束
1 EI
(
l 2
l
1)
l2 2EI
33 13 31 23 32 0
1P
1（1 EI 2
l 2
pl )( 2l 23
1 3
l) 2
5 pl 3 48EI
1 1 l pl
pl 2
2P
( EI 2 2
2
)1
8EI
3P 0
将以上各式代入力法方程组求得:
x1
1 2
p
内力图如下：
x
2
EA EA 3
3
9EA
1P
N1NP l
1
4 [( )
(40) 4 ( 4 ) (80) 4 ( 5 ) 100 5] 4420
EA EA 3
3
3
3EA
解方程，可得：
x1
1p
11
32.74kn(拉力）
N N1X1 NP
第7章
二、超静定组合结构的计算
解：力法方程
11 x1 1 p 0
式中：
ql2/8
ql2/8
M图
5ql/8 Q图
3ql/8
11 x1 1 p 0
11
1 EI
(1l )(21) 23
l 3EI
1 2 ql2 1
ql 3
1P
EI
( 3
l
8
)( l) 2 24EI
x1
1p
11
1 ql 2 8
M M1 X1 MP
第7章
二、力法的典型方程
q
C
D
C
P
it ic
为 或 即可。
四、力法计算超静定结构的步骤
1）确定超静定次数，解除多余约束代以多余约束力， 建立力法基本结构;
2）建立力法典型方程; 3）作单位力内力图和荷载内力图，计算柔度系数和自
由项; 4）求解典型方程，得基本未知量;
5）根据叠加原理作内力图，并校核。
第7章
7.3 用力法计算超静定梁和刚架
4
2I
I
2I
X2
2
1 3m 3m
X1 X2 基本结构①
X1
基本结构②
X1
X2
1、基本结构与基本未知量X：1 , X 2
（注：基本结构的多样性，此处我们选用基本结构①）
2、典型方程
11 X1 12 X 2 1P 0 21 X1 22 X 2 2P 0
基本结构③
6
6
6
6 18
27
X1 1
一、超静定梁的计算
用力法计算图示结构， 作M 图。DE 杆抗弯刚度为EI，AB杆抗弯刚度 为2EI，BC杆 EA=∞ 。
P
P
2l
A
B
D
C
E
l
l
l
x1
基本体系
l/2 M1图
Pl
P
0.444Pl
δ11 x1 Δ1P 0
Δ1P
1 2EI
1 2
l
pl
2 2l 3
1 3
l
5Pl3 12EI
MP图
1 8
pl
pl
pl
pl
p
4
8
8
2
M图
Q图
p 2
第7章
例7-1 试作图示梁的弯矩图。设B端弹簧支座的弹簧刚度系数为k，
梁抗弯刚度EI为常数。
p
p
A
B
A
Bwenku.baidu.com
a
b
l
原体系
x1
基本结构(1)
解：力法方程
11 x1
1 p
x1 k
b
l
Ml图
pa
p
式中：
11
1 EI
( l l ) ( 2l ) 23
l3 3 EI
3、确定超静定次数时应注意的问题
（1）刚性联结的封闭框格，必须沿某一截面将其切断。 （2）去掉多余联系的方法有多种，但所得到的必须是几何不变 体系；几何可变、瞬变均不可以。
三、超静定结构的分析方法
力法 超静定结构 解法 位移法
力矩分配法
矩阵位移法
第7章
7.2 力法原理和力法方程 一、力法涉及到的结构与体系
（4）超静定结构应用广泛。 4、超静定结构的类型 （1）超静定梁 （2）超静定刚架 （3）超静定桁架 （4）超静定拱 （5）超静定组合结构
s
二、常见超静定结构的类型 梁
刚架
桁架
拱
铰接排架
组合结构
第7章
二、超静定次数的确定
1、如何确定超静定次数 去掉超静定结构的多余约束，使其成为静定结构；
X
X
3
2
X
3
X1
X
X
2
1
3次超静定
一个无铰封闭圈有三个多余联系
注：基本结构有多种选择
X1
q
q
EI
q
1次超静定
X1
q X1 q
X1
第7章
2
q
q
2
1
l 原结构
x1 基本结构
ql/2
ql2/8
ql2/8
MP图
M图
l
Ml图 x1=1
5ql/8
3ql/8 Q图
解：力法方程 式中：
11 x1 1 p 0
0.278 Pl
0.139 Pl
最后弯矩图
δ11
1 2EI
1 2
2l
2l
2 3
2l
1 EI
1 2
l
l 2
2 3
l 2
2
1.5
l3 EI
x1
Δ1P δ11
5Pl3 EI 12EI 1.5l3
0.278P
§4-3 超静定刚架和排架
一、刚架
P=3kN
3m 3m q=1kN/m
3
M1
3
X2 1
M2
9
MP
3、系数与自由项
11
M1M1 dx 207
EI
EI
22
M 2M 2 dx 144
EI
EI
12 21
M1M 2 dx 135
EI
EI
1P
M1M P dx 702
EI
EI
2P
M 2M P dx 520
EI
EI
4、 解方程得 5、求内力
1） iP , ij 的物理意义；
ij
2）由位移互等定理 ij ji ； 位移的地点
产生位移的原因
3） ij 表示柔度，只与结构本身和基本未知力的选择有关，与外荷载无关；
4）柔度系数的性质
主系数 ii 0
0
副系数 ij 0
0
5）适用于任何外因的作用。如温度改变或支座位移作用时，该自由项 iP
原结构 基本结构
原结构体系 基本结构体系
第7章
二、力法原理
1、解题思路
q
2
1
l
原结构
q
x1 基本结构
位移条件： 1P+ 11=0 因为 11= 11X1 （ 右下图） 所以 11X1 +1P =0 X1= -1P/ 11
q 1P
1X x1
11 x1=1
第7章
2、解题步骤
（1）选取力法基本结构； （2）列力法基本方程； （3）绘单位弯矩图、荷载弯矩图； （4）求力法方程各系数，解力法方程； （5）绘内力图。
P
A
B
A
q D
B
x1
x3
x2
∙x1 δ31
δ21
x1=1
q
δ11
∙x δ32
2
δ22
x2=1
δ12
三次超静定结构力法方程：
δ11 x1 δ12 x2 δ13 x3 Δ1P 0 δ21 x1 δ22 x2 δ23 x3 Δ2P 0 δ31 x1 δ32 x2 δ33 x3 Δ3P 0
11
1 EI
( l l )( 2l ) 23
l3 3EI
1 1 ql 2 3
ql 2
1P
EI
( 3
l
2
)( l)
4
8EI
x1
1p
11
3 ql 8
第7章
试选取另一基本结构求解：
q
A
EI
l
原结构
x1
q
B
基本结构
第7章
q
2
EI
l
原结构
x1 1
q 基本结构
x1=1 1 Ml图
ql2/8 MP图 解：力法方程
第7章
p
A
B
a
b
l
原结构
l
Ml图
B
X1=1
p
B A
x1
基本结构(3)
pa
p
B
MP图
解：力法方程 δ11 x1 Δ1p 0
第7章
A 8m
A
B
C
k
8m
8m
原结构
B
C
k
x2
p
D k
2m
p
D
x1
解：力法方程:
基本结构(1)
11
x1
12 x2
1P
x1 k
21 x1 22 x2 1P 0
第7章
第7章
l
4
ql 2
8
1
s
s
2h
2h
0
0
0
M k图 N k图
M
P图
N
图
P
11
2
M 1 ds EI
2
N1
EA
2 E1 I1
(1 2
l 4
l 2
2 3
l ) 4
(1)2 h E2 A2
( s )2 s 2h 2 E3 A3
l3
h
s3
48E1I1 E2 A2 2h2 E3 A3
1P 1P
0 0
第7章
二、超静定刚架的计算
例题7-3 用力法计算图示超静定刚架，作内力图。各杆EI相同。
δ11 x1 δ21 x1
δ12 x2 δ22 x2
Δ1P Δ2P
0 0
δ11
1 EI
1 2
4 4
2 3
4
64 3EI
64 3EI
x1
24 EI
x2
640 EI
0