数学史第一讲：数学的起源与早期发展

“普林顿322” 泥版文 书
s = (c/a)
2
b
c
普林顿322数表与“整勾股数”有关. 所谓的整勾 股数就是满足 a2 + b2 = c2 的一组整数, 也称“毕达哥 拉斯数”. 计算表明: 普林顿322数表第Ⅱ、Ⅲ列的相 应数字, 恰好构成了毕达哥拉斯三角形中的斜边 c 与 直角边 b . 至于第Ⅳ列数字( 记为 s ), 诺依格包尔发现: s = (c / a )2 , 即 s 相当于 b 边所对角的正割平方. 并且 表中比值 c / a 以大约1的间距均匀递减, 相应的夹角 则以约 10 的间距从 450 减至 310. 因此, 普林顿322的 第Ⅳ列实际上给出了一张从 310 至 450 的正割三角函 数平方表, 这可能是为天文或工程计算而设计的.
第一章 数学的起源与早期发展
1、数与形概念的产生
手指计数（伊朗，1966）
结绳计数（秘鲁，1972）
文字5000年 (伊拉克, 2001)
西安半坡遗址出土的陶器残 片
捷克摩拉维亚狼骨（约三万年前）
古埃及陶罐 3500B .C .
半坡遗址陶器残片 4800 B.C ~ 4300 B.C
半坡遗址房屋基础
(3) 代数学
(a) 二次方程：一般三项二次方程 形如 x2 + p x = q , x2 = p x + q , x2 + q = p x ( p> 0, q > 0) 给出正确的解算程序。 如：x2
p = p x + q ，相当于给出求根公式： x = + 2
( )+q
p 2 2
(b) 三次方程： 形如 x3 = a 的纯三次方程，主要通过查立方表或立方 根表求解；形如 x3 + x2 = a 的混合三次方程也是借助于现 成的表求解。编有专门的 n3 + n2 的数值表。 更一般的三次方程，运用代换的方法求解。 如： 144 x3 +12 x2 = 21 , 方程两端同乘以12, 令y =12 x, 然后通过查表求得。
• 16世纪，培根将数学分为：纯粹数学与混合数学;
• 17世纪，笛卡尔认为：“凡是以研究顺序和度量为目的的 科学都与数学有关”。 • 17、18世纪，数学家们关注的焦点是运动和变化.牛顿和莱 布尼茨之后，数学成为研究数、形以及运动与变化的学问; • 19世纪,恩格斯：数学是研究现实世界的空间形式与数量关 系的科学; • 19世纪后期，数学成为研究数与形、运动与变化，以及研 究数学自身的学问;
印度婆罗门数字（C. BC 300），十进制
玛雅数字（？），二十进制
中国殷商甲骨文字中的数字

古 埃 及 数 字
美索不达米亚数字
玛雅文明中的数字
古希腊数字
2、河谷文明与早期数学
河谷文明：历史学家常把兴起于埃及、美索不 达米亚、中国和印度等地域的古代文明称为河谷文 明。早期数学就是在尼罗河、底格里斯河与幼发拉 底河、黄河与长江、印度河与恒河等河谷地带首先 发展起来的。
数学史概论
李文林
数学史概论 （第3版）
－－李文林
主 讲 人 高 翔
庞加莱语录
如果我们想要预见数学的将来， 适当的途径是研究这门科学的历
史和现状。
Poincaré
(法, 1854-1912年)
数学史的分期
一、数学的起源与早期发展(公元前6世纪)
二、初等数学时期(公元前6世纪-16世纪) 三、近代数学时期(17世纪-18世纪) 四、现代数学时期(1820年-现在)
前 1792－前 1750）统一了两河流域，建成了一个强盛 的中央集权帝国，颁布了著名的《汉穆拉比法典》。
亚述帝国：前8世纪－前612年，建都尼尼微 （今伊拉
克的摩苏尔市）。
新巴比伦王国：前612－前538年。尼布甲尼撒二世
（在位前604－前562年）统治时期达到极盛，先后两次 攻陷耶路撒冷，建成巴比伦“空中花园”。
一
数学史的意义
不了解数学史，就不可能全面了解数学科学｡
数学发展的历史性﹑累积性特征(大厦) 数学科学的整体性﹑统一性(大树)
60多个二级学科
400多个三级学科
希尔伯特语录
数学科学是一个不可分割 的整体，它的生命力正是在于 各个部分之间的联系｡
警惕数学“被分割成许多 孤立的分支“的危险，跟这种 危险作斗争的最稳妥的办法也 许就是要对于数学的过去成就, 传统和目标得到一些知识。 Hilbert，（德1862～1943）
不了解数学史，就不可能全面了解整个人类文明史｡
科学的皇后(为人类提供精密思维的模式) 科学的女仆(科学的语言和工具) 推动人类物质生产,影响人类物质生活方式 人类思想革命的武器 (逻辑说服力与计算精确性) 促进艺术发展的文化激素 (艺术特征, 数学概念与原理)
二
什么是数学
• 公元前4世纪：亚里士多德定义为“数学是量的科学”；
普林顿322数表是如何计算出来的？ 毕达哥拉斯数组 (a , b , c) 可以用下列参数表
示：
a=2pq, b = p2 – q2, c = p2 + q2
其中 p , q 互素，且 p > q 不同时为奇数。
种种迹象表明，古巴比伦人可能就是通过这 种办法来得到普林顿322中的数字。另外，学者
推测，普林顿322丢失的左半部分很可能列有 p ,
埃及象形文字
中国殷商甲骨文数字
西汉彩帛女娲伏羲图案(新疆出土)
古埃及的象形数字（C. BC 3400），十进制 巴比伦楔形数字（C. BC 2400），六十进制
中国甲骨文数字（C. BC 1600），十进制
希腊阿提卡数字（C. BC 500），十进制
几何学
掌握三角形、梯形等平面图形面积和棱柱、平截头方堆等 立体图形体积的公式；知道利用图形相似性概念。使用勾 股定理。
“普林顿322” 泥版文书：
普林顿322是一块更大的泥版文书的右半部分, 缺 损的左半部分是在出土后丢失的. 现存部分长12.7cm, 宽8.8cm, 上面记载的文字属古巴比伦语, 其年代当在 公元前1600年以前.普林顿322世纪上是一张表格, 由4 列15行数字组成. 在很长时间内, 它都被认为是一张商 业账目表, 而没有引起人们的重视. 1945年, 诺依格包 尔首先揭开了其中的奥秘。
主要参考书
[美]克莱因. 古今数学思想. 牛津大学出版社, 1972（中译本: 北京大学数学
系数学史翻译组译, 上海科学技术出版社, 1979~1981, 4卷本)
张奠宙. 20世纪数学经纬. 上海: 华东师范大学出版社, 2002 吴文俊主编. 世界著名数学家传记(上、下册). 北京: 科学出版社, 1995 中国大百科全书编辑委员会. 中国大百科全书(数学卷). 北京: 中国大百科全
• 20世纪50年代，前苏联：现代数学就是各种量之间的 可能的，一般说是各种变化着的量的关系和相互联系的 数学。 • 20世纪80年代，美国学者为主，将数学定义为“模式” 的科学：[数学]这个领域已被称作模式的科学（Science of pattern）， 其目的是要解释人们从自然界和数学本 身的抽象世界中所观察到的结构和对称性。
代表事例之一：开平方 如求正数a 的平方根: 设 a1是这个根的首次近似，由b1=a /a1 求出第二次近似 b1，取a2=(a1+b1) / 2, 为下一步近似，再求出 b2=a /a2，则a3=(a2+b2) / 2 将为更好的近似值。
绘制了各种数表： 现有的300多块泥版中, 有200多块是数学用表, 包括乘法 表、倒数表、平方表、立方表、平方根表、立方根表，以 至于指数(对数)表。 如一块泥版文书中的问题：若年利率为20%，使本金翻 倍需要多少年？解法是利用复利公式，通过查阅指数表并 最后利用线性插值而得结果。
莱茵德纸草书 (1650 B.C.)
罗赛塔石碑 (1799 发现)
莫斯科纸草书
h 2 2 V = (a + ab + b ) 3
2.2 美索不达米亚数学（古代巴比伦的数学）
古代巴比伦简况
两河流域（美索不达米亚）文明上溯到距今6000年之
前，几乎和埃及人同时发明了文字－“楔形文字”。
古巴比伦王国：前1894－前729年。汉穆拉比（在位
埃及人最基本的算术运算是加法，乘法运算时通过逐次加倍 的程序来实现的。
一次方程：
x + a x = b x + a x + bx = c
几何问题：内容大都与土地面积和谷堆体积的计算有关。
面积公式：正方形、矩形、等腰梯形等图形面积公式 莱茵德纸草书第52题：通过将等腰梯形转化为矩形， 得到了等腰梯形的面积公式。
埃及人创造了连续3000多年的辉煌历史，发明了铜器、
创造了文字、掌握了较高的天文学和几何学知识，建造了
巍峨宏伟的神庙和金字塔。
莱茵德纸草书 1981）
莫斯科纸草书
埃及纸草书（民主德国,
埃及数学的特色：单位分数的广泛使用。埃及人把所有的 真分数都表示为一些单位分数的和。如莱茵德纸草书中：
2 1 1 = + ; 5 3 15 7 1 1 1 1 1 = + + + + . 29 6 24 58 87 232
▲
第50题：给出了圆面积的近似计算,即直径为9的圆形土 地，其面积等于边长为8的正方形的面积，相当于取
π» 3.1605
体积计算：
莫斯科纸草书第14题：给出了计算平截头方堆体积的公式， 用现代符号相当于：
h 2 (a + ab + b 2 ) 3 这里 h 是高，a , b 是底面正方形的边长。
V =
公元前6世纪中叶，波斯国家逐渐兴起，并于公元前
538年灭亡了新巴比伦王国。