(完整版)矩形经典题型(培优提高)
部编数学八年级下册专题18.6矩形的判定专项提升训练(重难点培优)【拔尖特训】2023年培优(解析版
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题18.6矩形的判定专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022春•东莞市校级期中）如图，要使平行四边形ABCD为矩形，则可添加下列哪个条件（ ）A．BO＝DO B．AC⊥BD C．AB＝BC D．AO＝DO【分析】根据矩形的判定方法即可得出结论．【解答】解：需要添加的条件是AO＝DO，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，BO＝OD，∵AO＝DO，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；故选：D．2．（2022春•同安区期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是矩形的是（ ）A．∠BAD＝∠ABC B．AB⊥BD C．AC⊥BD D．AB＝BC【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠BAD＝∠ABC，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A符合题意；B、∵AB⊥BD，∴∠ABD＝90°，不能判定平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；故选：A．3．（2022•宜兴市校级二模）添加下列一个条件，能使平行四边形ABCD成为矩形的是（ ）A．AB＝CD B．AC⊥BD C．∠BAD＝90°D．AB＝BC【分析】由矩形的判定即可得出结论．【解答】解：∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴当∠BAD＝90°，平行四边形ABCD是矩形，故选：C．4．（2022•南京模拟）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ）A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90°D．BE⊥AB【分析】先证四边形DBCE为平行四边形，再由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD，BC＝AD，BC∥AD，AB∥CD，∵DE＝AD，∴BC＝DE，∵BC∥AD，∴BC∥DE，∴四边形DBCE是平行四边形A、∵AB＝BE时，AB＝CD，∴BE＝CD，∴平行四边形DBCE是矩形，故选项A不符合题意；B、∵CE⊥DE，∴∠CED＝90°时，∴平行四边形DBCE是矩形，故选项B不符合题意；C、∵∠ADB＝90°，∴∠BDE＝180°﹣∠ADB＝90°，∴平行四边形DBCE是矩形，故选项C不符合题意；D、∵BE⊥AB，AB∥CD，∴BE⊥CD，∴平行四边形DBCE是菱形，故选项D符合题意．故选：D．5．（2022春•德城区校级期中）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法，其中正确的有（ ）个①四边形AEDF是平行四边形：②如果∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形：③如果AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形：④如果AD⊥BC且AB＝AC，则四边形AEDF是菱形，A．1B．2C．3D．4【分析】先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形，根据DE∥CA，DF∥BA，得出AEDF为平行四边形，得出①正确；当∠BAC＝90°，根据推出的平行四边形AEDF，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出②正确；若AD平分∠BAC，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得∠EAD＝∠EDA，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出③正确；由AB＝AC，AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一可得AD平分∠BAC，同理可得四边形AEDF是菱形，④正确，进而得到正确说法的个数．【解答】解：∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形，选项①正确；若∠BAC＝90°，∴平行四边形AEDF为矩形，选项②正确；若AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD，又∵DE∥CA，∴∠EDA＝∠FAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，∴平行四边形AEDF为菱形，选项③正确；若AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，同理可得平行四边形AEDF为菱形，选项④正确，则其中正确的个数有4个．故选：D．6．（2022•路南区三模）问题背景：如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形．讨论交流：小明说：“若AB＝AC，则四边形ADCE是矩形．”小强说：“若∠BAC＝90°，则四边形ADCE是菱形．”下列说法中正确的是（ ）A．小明不对，小强对B．小明对，小强不对C．小明和小强都对D．小明和小强都不对【分析】利用矩形的判定和菱形的判定可直接判断．【解答】解：若AB＝AC，AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，∴平行四边形ADCE是矩形，若∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∴AD＝CD，∴平行四边形ADCE是菱形，故小明和小强的说法都对，故选：C．7．（2022春•宜阳县期末）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，DF平分∠ADC，则（ ）A．AE＝DF B．四边形AFED是菱形C．四边形FBCE是菱形D．四边形AFED是矩形【分析】根据平行四边形的性质得出DC∥AB，AD∥BC，AD＝BC，根据平行线的性质得出∠DEA＝∠BAE，∠EDF＝∠AFD，根据角平分线的定义得出∠BAE＝∠DAE，∠EDF＝∠ADF，求出∠DAE＝∠DEA，∠ADF＝∠AFD，根据等腰三角形的判定得出AD＝DE，AF＝AD，求出DE＝AF，再逐个判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB（即DE∥AF），∴∠DEA＝∠BAE，∠EDF＝∠AFD，∵AE平分∠DAB，DF平分∠ADC，∴∠BAE＝∠DAE，∠EDF＝∠ADF，∴∠DAE＝∠DEA，∠ADF＝∠AFD，∴AD＝DE，AF＝AD，∴DE＝AF，∴四边形AFED是菱形，∴AD∥EF，AD＝EF，AE⊥DF（AE不一定等于DF）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴EF∥BC，EF＝BC，∴四边形FBCE是平行四边形，不能推出四边形FBCE是菱形，所以只有选项B符合题意，选项A、选项C、选项D都不符合题意；故选：B．8．（2022春•新罗区期末）在平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，设∠DBC＝θ，∠BOC＝β，若β关于θ的函数解析式是β＝180°﹣2θ（0°＜θ＜90°），则下列说法正确的是（ ）A．BO＝BC B．OC＝BCC．四边形ABCD是菱形D．四边形ABCD是矩形【分析】由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，再证∠OCB＝θ，则∠DBC＝∠OCB，得OB＝OC，然后得AC＝BD，即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵∠DBC＝θ，∠BOC＝β，β＝180°﹣2θ，∴2θ+β＝180°，∵∠DBC+∠BOC+∠OCB＝180°，即θ+β+∠OCB＝180°，∴∠OCB＝θ，∴∠DBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上9．（2022秋•砀山县校级月考）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC＝BD，请添加一个条件 AB＝CD （答案不唯一） ，使四边形ABCD是矩形．【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定定理即可得到结论．【解答】解：添加一个条件为：AB＝CD，使四边形ABCD是矩形．理由如下：∵AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：AB＝CD（答案不唯一）．10．（2022春•铁东区期末）一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板．理由是 有一个角为直角的平行四边形是矩形． ．【分析】根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”进行判断即可．【解答】解：∵在一边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次得到的两条边平行，∴得到了一个平行四边形，∵与两边分别垂直，∴就能得到矩形踏板，故答案为：有一个角为直角的平行四边形是矩形．11．（2022春•北京期末）如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，再添加一个条件，使得四边形ABCD是矩形，可添加的条件是 AC＝BD（答案不唯一） ．（写出一个条件即可）【分析】由矩形的判定定理即可得出结论．【解答】解：可添加的条件是：AC＝BD，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故答案为：AC＝BD（答案不唯一）．12．（2022春•朝阳区期末）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC与点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这个条件可以是 BE＝CF（答案不唯一） （写出一个即可）．【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，再证AD＝EF，得四边形AEFD是平行四边形，然后证∠AEF＝90°，即可得出结论．【解答】解：添加条件为：BE＝CF，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF，∴AD＝EF，∴四边形AEFD是平行四边形，又∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴平行四边形AEFD是矩形，故答案为：BE＝CF（答案不唯一）．13．（2022春•丹阳市校级月考）将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为，如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移，在平移的过程中，当点B的移动距离为 1 时，四边形ABC1D1为矩形．【分析】当点B的移动距离为时，∠C1BB1＝60°，则∠ABC1＝90°，根据有一直角的平行四边形是矩形，可判定四边形ABC1D1为矩形．【解答】解：如图：当四边形ABC1D是矩形时，∠B1BC1＝90°﹣30°＝60°，∵B1C1＝，∴BB1＝，当点B的移动距离为1时，四边形ABC1D1为矩形，故答案为：1．14．（2022秋•二七区校级月考）如图，线段AB⊥BC，以C为圆心，BA为半径画弧，然后再以A为圆心，BC为半径画弧，两弧交于点D，则四边形ABCD是矩形，其依据是 有一个角是直角的平行四边形是矩形 ．【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，由有一个角是直角的平行四边形是矩形可得结论．【解答】解：∵AB＝CD，CB＝AD，∴四边形ABCD为平行四边形（两组对边相等的四边形是平行四边形），又∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），故答案为：有一个角是直角的平行四边形是矩形．15．（2022春•平谷区期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DF∥EG．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是 ∠DFG＝90°（答案不唯一） ．（写出一个即可）【分析】由三角形中位线定理得DE∥BC，再由DF∥EG，得四边形DFGE是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论．【解答】解：添加条件为：∠DFG＝90°，理由如下：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∵DF∥EG，∴四边形DFGE是平行四边形，又∵∠DFG＝90°，∴平行四边形DFGE是矩形，故答案为：∠DFG＝90°（答案不唯一）．16．（2021春•贵港期末）过△ABC的顶点C画线段CD，使得线段CD与AB边平行且相等，则下列说法：①若∠BAC＝90°，则以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形；②若以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则∠BAC＝90°；③若AB＝AC＝BC，则以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形；④若以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则AB＝AC．其中正确的说法有 1 个．【分析】根据矩形的判定和菱形的判定解答即可．【解答】解：∵CD∥AB，CD＝AB，∴以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，①若∠BAC＝90°，则以A，B，C，D为顶点的四边形不是矩形，故①错误；②若以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则∠ABC＝90°，故②错误；③若AB＝AC＝BC，则以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，故③正确；④若以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则AB＝BC，故④错误；正确的说法有1个，故答案为：1．17．（2021春•金东区期末）如图，在平面直角坐标系中，有点A（3，0），点B（3，5），射线AO上的动点C，y轴上的动点D，平面上的一个动点E，若∠CBA＝∠CBD，以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，则AC的长为 或或15 ．【分析】存在三种情况：①作辅助线，构建等腰△BDF，先根据三角形内角和得∠BDC＝∠F，再由等腰三角形三线合一的性质得CD＝CF，最后证明△DCO≌△FCA（AAS），可得结论．②如图2，同理构建直角三角形，利用勾股定理可得结论；③如图3，同理可得结论．【解答】解：存在三种情况：①如图1，延长BA和DC交于点F，∵点A（3，0），点B（3，5），∴AB⊥x轴，OA＝3，∵四边形DCBE是矩形，∴∠DCB＝90°，∴∠BCF＝∠DCB＝90°，∵∠CBD＝∠CBF，∴∠BDC＝∠BFC，∴BD＝BF，∴CD＝CF，在△DCO和△FCA中，，∴△DCO≌△FCA（AAS），∴OC＝AC，∵AC＝OA＝．②如图2，过点B作BM⊥y轴于M，则∠BMD＝90°，∵四边形CDBE是矩形，∴∠CDB＝90°，∵∠CBA＝∠CBD，∠CAB＝90°，∴BD＝BA＝5，AC＝CD，∵BM＝3，∴DM＝4，∴CD＝5﹣4＝1，设AC＝x，则OC＝3﹣x，CD＝x，由勾股定理得：CD2＝OD2+OC2，即x2＝12+（3﹣x）2，解得：x＝，∴AC＝；③如图3，过点D作NL∥x轴，交AB的延长线于L，过C作CN⊥NL于N，则∠N＝∠L＝90°，∵∠CDB＝∠CBA＝90°，∠CBA＝∠CBD，∴CD＝AC，设AC＝b，则CD＝b，OC＝DN＝b﹣3，∵AB＝BD＝5，∵DL＝3，∴BL＝4，∴CN＝AL＝5+4＝9，由勾股定理得：CN2+DN2＝CD2，即92+（b﹣3）2＝b2，解得：b＝15，综上，AC的长为或或15；故答案为：或或15．三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（2018春•邢台期末）如图，DB∥AC，DE∥BC，DE与AB交于点F，E是AC的中点．（1）求证：F是AB的中点；（2）若要使DBEA是矩形，则需给△ABC添加什么条件？并说明理由．【分析】（1）由题意可证四边形DBCE是平行四边形，可得DB＝EC，且E是AC中点，可证四边形DBEA 是平行四边形，可得结论．（2）添AB＝BC，且AE＝EC可证BE⊥AC，即可得四边形DBEA是矩形．【解答】证明：（1）∵DE∥BC，BD∥AC∴四边形DBCE是平行四边形∴DB＝EC，∵E是AC中点∴AE＝EC∵AE＝EC＝DB，AC∥DB∴四边形ADBE是平行四边形∴AF＝BF，即F是AB中点．（2）添加AB＝BC∵AB＝BC，AE＝EC∴BE⊥AC∴平行四边形DBEA是矩形．19．（2021秋•天府新区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC 外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形；【分析】根据三个角是直角是四边形是矩形即可证明；【解答】证明：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD．∴∠ADC＝90°，∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，∴∠MAN＝∠CAN．∴∠DAE＝90°，∵CE⊥AN，∴∠AEC＝90°．∴四边形ADCE为矩形．20．（2022秋•奉贤区月考）如图，已知四边形ABCD和四边形ABEF都是平行四边形，分别联结FD、EC．（1）求证：四边形CDFE是平行四边形；（2）设AB与EC交于点G，如果EG＝CG，∠AFD＝∠ADF，求证：四边形CDFE是矩形．【分析】（1）由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，AB∥EF，AB＝EF，则CD∥EF，CD＝EF，即可得出结论；（2）先证AF＝AD，再由平行四边形的性质证出BC＝BE，然后由等腰三角形的性质得AB⊥CE，则EF ⊥CE，即可解决问题．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵四边形ABEF是平行四边形，∴AB∥EF，AB＝EF，∴CD∥EF，CD＝EF，∴四边形CDFE是平行四边形；（2）∵∠AFD＝∠ADF，∴AF＝AD，∵四边形ABCD平行四边形，∴AD＝BC，∵四边形ABEF是平行四边形，∴AF＝BE，∴BC＝BE，∵EG＝CG，∴AB⊥CE，由（1）得：AB∥EF，∴EF⊥CE，∴∠CEF＝90°，又∵四边形CDFE是平行四边形，∴平行四边形CDFE是矩形．21．（2022春•相城区校级期中）已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点G、H分别是AD、BC的中点，点E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）当AB与BD满足条件 BD＝2AB 时，四边形GEHF是矩形．【分析】（1）由三角形中位线定理得GF∥OA，GF＝OA，同理EH∥OC，EH＝OC，再由平行四边形的性质得OA＝OC，则EH∥GF，EH＝GF，即可得出结论；（2）连接GH，由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD，再证四边形ABHG是平行四边形，得AB＝GH，然后证GH＝EF，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵G，F分别为AD，DO的中点，∴GF为△AOD的中位线，∴GF∥OA，GF＝OA，同理可得：EH∥OC，EH＝OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∴EH∥GF，EH＝GF，∴四边形GEHF是平行四边形；（2）解：当BD＝2AB时，四边形GEHF是矩形．理由：如图，连接GH，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD，∵G，H分别是AD，BC的中点，∴AG＝BH，AG∥BH，∴四边形ABHG是平行四边形，∴AB＝GH，∵E，F分别是BO，DO的中点，∴BE＝OE＝OF＝DF，∴BD＝2EF，∵BD＝2AB，∴EF＝AB，∴GH＝EF，∴平行四边形GEHF是矩形．22．（2022春•隆回县期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E，P分别在AD，BC上，且DE＝BP＝1．（1）求BE和EC的长，并判断△BEC的形状；（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并说明理由．（3）求四边形EFPH的面积．【分析】（1）由勾股定理求出BE和EC的长，再由勾股定理的逆定理可得∠BEC＝90°，即可得出结论；（2）证四边形APCE、四边形DEBP均为平行四边形，得AP∥CE，BE∥PD，再证四边形EFPH为平行四边形，即可得出结论；（3）利用勾股定理分别求解EP，PH的长，即可求出矩形EFPH的面积．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC＝5，CD＝AB＝2，∠BAD＝∠ADC＝90°，∵DE＝BP＝1，∴AE＝5﹣1＝4，在Rt△ABE和Rt△DEC中，由勾股定理得：BE＝＝＝2，EC＝＝＝，△BEC为直角三角形，理由如下：∵BE2＝AB2+AE2＝22+42＝20，CE2＝CD2+DE2＝22+12＝5，BC＝5，∴BE2+CE2＝25＝BC2，∴∠BEC＝90°，∴△BEC为直角三角形；（2）四边形EFPH为矩形，理由如下：∵AD∥BC，AD＝BC，ED＝BP＝1，∴AE＝PC，∴四边形APCE、四边形DEBP均为平行四边形，∴AP∥CE，BE∥PD，∴四边形EFPH为平行四边形，由（1）可知，∠BEC＝90°，∴平行四边形EFPH为矩形；（3）由（2）可知，四边形EFPH为矩形，∴∠EHP＝∠EFP＝90°，∴BE⊥AP，DP⊥EC，在Rt△ABP中，AB＝2，BP＝1，∴AP＝＝＝，∴BH＝＝＝，∴EH＝BE﹣BH＝2﹣＝，在Rt△HBP中，由勾股定理得：PH＝＝＝，＝EH•PH＝×＝．∴S矩形EFPH23．如图，▱ABCD中，AC＝12cm，BD＝16cm，在对角线BD上，E，F两点分别从B，D点往终点D，B 运动，它们的速度都是每秒1cm/s，且同时出发，同时停止，若它们运动时间为t．（1）当t≠8时，判断四边形AECF的形状，并说明你的结论．（2）当运动时间t为多少时，四边形AECF为矩形？【分析】（1）根据题意可得AO＝CO，EO＝FO，即可证四边形AECF是平行四边形；（2）由四边形AECF是矩形可得AC＝EF，可列方程可解t的值．【解答】解：（1）四边形AECF是平行四边形∵四边形ABCD是平行四边形∴AO＝CO，BO＝EO∵BE＝DF＝t∴EO＝FO，AO＝CO∴四边形AECF是平行四边形（2）若四边形AECF是矩形∴AC＝EF∴12＝16﹣2t或12＝2t﹣16解得：t＝2或14当t＝2或14时，四边形AECF为矩形．24．（2022春•河北区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：四边形AEFD为平行四边形；（2）①当t＝ 10 s时，四边形AEFD为菱形；②当t＝ s时，四边形DEBF为矩形；【分析】（1）由题意得∠BCA＝30°，CD＝4tcm，AE＝2tcm，再由含30°角的直角三角形的性质得DF＝DC＝2tcm，得到AE＝DF，然后证AE∥DF，即可得出结论；（2）①由AE＝AD，得四边形AEFD为菱形，得2t＝60﹣4t，进而求得t的值；②∠EDF＝∠B＝∠DFB＝90°时，四边形DEBF为矩形，得到∠AED＝90°，再证AD＝2AE，得60﹣4t＝4t，即可得出结论．【解答】（1）证明：由题意可知CD＝4tcm，AE＝2tcm，∵∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠C＝30°，∴DF＝DC＝2tcm．∵AE＝2tcm，DF＝2tcm，∴AE＝DF．又∵DF⊥BC，AB⊥BC，∴AE∥DF，∴四边形AEFD为平行四边形．（2）解：①∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF．∵AE＝DF，AE∥DF，∴四边形AEFD为平行四边形，∴要使平行四边形AEFD为菱形，则需AE＝AD，即2t＝60﹣4t，解得t＝10，∴当t＝10时，四边形AEFD为菱形，故答案为：10．②要使四边形DEBF为矩形，则∠EDF＝∠B＝∠DFB＝90°，∴∠DEB＝90°，∴∠AED＝90°．∵∠AED＝90°，∠A＝60°，∴∠ADE＝30°，∴AD＝2AE，即60﹣4t＝4t，解得t＝．即当t＝时，四边形DEBF为矩形，故答案为：．。
《5.1矩形》期末复习培优提升训练(附答案)2020-2021年八年级数学浙教版下册
2021年浙教版八年级数学下册《5.1矩形》期末复习培优提升训练（附答案）1．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（）A．10B．11C．12D．132．如图，矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，点E为AB的中点，点F为EC上一个动点，点P为DF的中点，连接PB，当PB的最小值为3时，则AD的值为（）A．2B．3C．4D．63．在平行四边形ABCD中，若增加一个条件使其成为矩形，则增加的条件是（）A．AD＝CD B．∠B＝90°C．AC＝2AB D．对角线互相垂直4．在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形5．如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，连接BP、MN，若AB＝6，BC＝8，当点P在斜边AC上运动时，则MN的最小值是（）A．1.5B．2C．4.8D．2.46．下列四个命题中，正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．有一个角是直角的四边形是矩形C．两组对边分别相等的四边形是矩形D．四个角都相等的四边形是矩形二．填空题（共3小题）7．在矩形ABCD中，AC、BD交于点O．过点O作OE⊥BD交射线BC于点E，若BE＝2CE，AB＝3，则AD的长为．8．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝2，E为CD的中点，连接AE、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝．9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠OCD＝56°，则∠EAO＝．10．如图，长方形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为（6，0），（0，10），点B在第一象限内．（1）写出点B的坐标，并求长方形OABC的周长；（2）若有过点C的直线CD把长方形OABC的周长分成3：5两部分，D为直线CD与长方形的边的交点，求点D的坐标．11．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若E、F是AC上两动点，分别从A、C两点以相同的速度1cm/s向C、A运动．（1）四边形DEBF是平行四边形吗？请说明理由；（2）若BD＝12cm，AC＝16cm，当四边形DEBF是矩形，求运动时间t为何值？12．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥DB，交AB的延长线于点E．求证：AC＝EC．13．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6．动点P、Q分别从点D、A同时出发向右运动，点P的运动速度为2个单位/秒，点Q的运动速度为1个单位/秒，当一个点到达终点时两个点都停止运动．设运动的时间为t（s）（1）当t＝2时，PQ的长为；（2）若PQ＝PB，求运动时间t的值；（3）若BQ＝PQ，求运动时间t的值．14．如图，在矩形ABCD中，BF＝CE，求证：AE＝DF．15．如图，AD是△ABC的中线，AE∥BC，且AE＝BC，连接DE，CE．（1）求证：AB＝DE；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是矩形？并说明理由．16．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC．（1）求证：∠1＝∠2；（2）求证：△ADC≌△ECD；（3）当点D在什么位置时，四边形ADCE是矩形，请说明理由．17．如图，在▱ABCD中，延长AB到点E，使BE＝AB，DE交BC于点O，连接EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠A＝40°，当∠BOD等于多少度时四边形BECD是矩形，并说明理由．18．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．（1）若DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，求证：AE＝CF；（2）若DO＝AC，求证：四边形ABCD为矩形．19．如图，在△ABC中，O是AC上的任意一点（不与点A、C重合），过点O平行于BC 的直线l分别与∠BCA、∠DCA的平分线交于点E、F．（1）OE与OF相等吗？证明你的结论．（2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．20．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝DA，连接BF，CF．（1）求证：四边形BCEF是矩形；（2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长．21．如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，点F在BC上，且CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）连接BD，若∠ABD＝90°，AE＝4，CF＝2，求BD的长．22．如图1，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠C．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）如图2，M为AD的中点，N为AB中点，∠BNC＝2∠DCM，BN＝2，求CN的长23．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC中点，点E是AD中点，延长BE至F，使EF＝BE，连接AF，CF，BF与AC交于点G，连接DG．（1）求证：四边形ADCF是矩形．（2）若AB＝5，BC＝6，求线段DG的长．24．如图，已知平行四边形ABCD中，M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM．（1）求证：四边形AMCN是矩形；（2）若∠BAD＝135°，CD＝2，AB⊥AC，求对角线MN的长．参考答案1．解：如图，连接BP，在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∵AP＝CQ，∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，∴DP＝QB，DP∥BQ，∴四边形DPBQ是平行四边形，∴PB∥DQ，PB＝DQ，则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，连接PE，∵P A⊥BE，∴P A是BE的垂直平分线，∴PB＝PE，∴PC+PB＝PC+PE，连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，∵BE＝2AB＝12，BC＝AD＝5，∴CE＝＝13．∴PC+PB的最小值为13．故选：D．2．解：如图，当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．．且当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF，∴点P的运动轨迹是线段P1P2，.∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．∵矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，设AB＝2t，则AD＝t，∵E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝t，∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．∴∠DP2P1＝90°．∴∠DP1P2＝45°．∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长．在等腰直角△BCP1中，CP1＝BC＝t，∴BP1＝t＝3，∴t＝3．故选：B．3．解：答案B中∠B＝90°，又四边形为平行四边形，所以可得其为矩形；故该选项正确，故选：B．4．四边形AECF是矩形；证明：连接AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∵E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴AE∥CF，∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC＝BC，E是AB的中点，∴CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．故选：B．5．解：∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10，∵PM⊥AB，PN⊥BC，∠C＝90°，∴四边形BNPM是矩形，∴MN＝BP，由垂线段最短可得BP⊥AC时，线段MN的值最小，此时，S△ABC＝BC•AB＝AC•BP，即×8×6＝×10•BP，解得：BP＝4.8，即MN的最小值是4.8，故选：C．6．解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故原命题错误，不符合题意；D、四个角都相等的四边形是矩形，正确，符合题意，故选：D．7．解：如图，当点E在BC的延长线上时，∵BE＝2CE，∴BC＝CE，∵OE⊥BD，∴OC＝BC＝CE，∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO＝BO＝DO，AD＝BC；∴BO＝CO＝BC，∴△BOC是等边三角形，∴∠ACB＝60°∴BC＝＝AD，如图，当点E在线段BC上时，设直线OE与直线AB，CD交于点F，点H，∵AB∥CD，∴AF＝CH，∵AB∥CD，∴BF＝2CH＝2AF，∴3+AF＝2AF，∴AO＝AB＝AF＝3，∵AO＝BO＝CO＝DO，∴AO＝AB＝BO，∴△ABO是等边三角形，∴∠ABD＝60°，∴AD＝3，故答案为：3或．8．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD＝6，∠BCD＝90°，∵E为CD的中点，∴，∴，∵PQ⊥BC，∴PQ∥DC，∴PQ＝4．故答案为：4．9．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∴OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝56°，∴∠COD＝180°﹣2×56°＝68°，∴∠AOE＝∠COD＝68°，∵AE⊥BD，∴∠EAO＝90°﹣∠AOE＝90°﹣68°＝22°；故答案为：22°．10．解：（1）∵A（6，0），C（0，10），∴OA＝6，OC＝10．∵四边形OABC是长方形，∴点B的坐标为（6，10）．∵OC＝10，OA＝6，∴长方形OABC的周长为：2×（6+10）＝32．（2）∵CD把长方形OABC的周长分为3：5两部分，∴被分成的两部分的长分别为12和20．①当点D在AB上时，AD＝20﹣10﹣6＝4，所以点D的坐标为（6，4）．②当点D在OA上时，OD＝12﹣10＝2，所以点D的坐标为（2，0）．11．解：（1）是．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，OA＝OC，∵E、F两点移动的速度相同，即AE＝CF，∴OE＝OF，∵OD＝OB，∴四边形DEBF是平行四边形．（2）因为矩形对角线相等，所以EF＝12时，其为矩形，即AE＝CF＝（16﹣12）＝2，或者AE＝CF＝（16+12）＝14，所以当t＝2或14时，四边形DEBF是矩形．12．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝DB，AB∥DC，∴DC∥BE，又∵CE∥DB，∴四边形CDBE是平行四边形，∴DB＝CE，∴AC＝CE．13．解：（1）如图所示：作PH⊥AB于H，由题意得，DP＝4，AQ＝2，则QH＝2，又PH＝AD＝6，由勾股定理的，PQ＝＝＝2，故答案为：2；（2）当PQ＝PB时，如图，QH＝BH，则t+2t＝8，解得，t＝；（3）当PQ＝BQ时，（2t﹣t）2+62＝（8﹣t）2，解得，t＝．14．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠B＝∠C＝90°，∵BF＝CE，∴BE＝CF，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF，∴AE＝DF．15．证明：（1）∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD＝BC，∵AE＝BC，∴AE＝BD，∵AE∥BC，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB＝DE；（2）当△ABC满足AB＝AC时，四边形ADCE是矩形，∵AE＝BC，BD＝CD＝BC，∴AE＝CD，∵AE∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形，∵AB＝DE，∴当AB＝AC时，AC＝DE，∴四边形ADCE是矩形．16．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠2，又∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB∥DE，∴∠B＝∠1，∴∠1＝∠2；（2）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB＝ED，∵AB＝AC，∴AC＝ED，在△ADC和△ECD中，，∴△ADC≌△ECD（SAS）；（3）解：点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形，理由如下：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD，AE∥BC，∵D为边长BC的中点，∴BD＝CD，∴AE＝CD，AE∥CD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵△ADC≌△ECD，∴AC＝DE，∴四边形ADCE是矩形．17．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC，AB＝CD，∵BE＝AB，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四边形BECD是平行四边形；（2）解：若∠A＝40°，当∠BOD＝80°时，四边形BECD是矩形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠A＝40°，∵∠BOD＝∠BCD+∠ODC，∴∠ODC＝80°﹣40°＝40°＝∠BCD，∴OC＝OD，∵BO＝CO，OD＝OE，∴DE＝BC，∵四边形BECD是平行四边形，∴四边形BECD是矩形．18．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEA＝∠BFC＝90°，在△DEA与△BFC中，，∴△DEA≌△BFC（AAS），∴AE＝CF；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵OA＝BD，∴OA＝OC＝OB＝OD，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形．19．（1）解：相等；理由是：∵直线l∥BC，∴∠OEC＝∠ECB，∵CE平分∠ACB，∴∠OCE＝∠BCE，∴∠OEC＝∠OCE，∴OE＝OC，同理OF＝OC，∴OE＝OF．（2）解：O在AC的中点上时，四边形AECF是矩形，理由是：∵OA＝OC，OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵OE＝OF＝OC＝OA，∴AC＝EF，∴平行四边形AECF是矩形．20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴EF＝BC，EF∥BC，∴四边形BCEF是平行四边形，又∵CE⊥AD，∴∠CEF＝90°，∴平行四边形BCEF是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝3，∵CF＝4，DF＝5，∴CD2+CF2＝DF2，∴△CDF是直角三角形，∠DCF＝90°，∴△CDF的面积＝DF×CE＝CF×CD，∴CE＝＝＝，由（1）得：EF＝BC，四边形BCEF是矩形，∴∠FBC＝90°，BF＝CE＝，∴BC＝＝＝，∴EF＝．21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC且AD＝BC，∵CF＝BE，∴BC＝EF，∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴平行四边形AEFD是矩形；（2）解：∵CF＝BE，CF＝2，∵∠AEB＝90°，∴AB＝＝＝2，∵AD∥BC，∴∠BAD＝∠EBA，∵∠AEB＝∠ABD＝90°，∴：BD＝4．22．证明：（1）∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，又∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCD为矩形；（2）如图2，延长BA，CM交于点E，∵M为AD的中点，N为AB中点，∴AN＝BN＝2，AM＝MD，∴AB＝CD＝4，∵AE∥DC，∴∠E＝∠MCD，在△AEM和△DCM中，，∴△AME≌△DMC（AAS），∴AE＝CD＝4，∵∠BNC＝2∠DCM＝∠NCD，∴∠NCE＝∠ECD＝∠E，∴CN＝EN＝AE+AN＝4+2＝6．23．（1）证明：∵点E是AD中点，∴AE＝DE，在△AEF和△DEB中，，∴△AEF≌△DEB（SAS），∴AF＝DB，∠AFE＝∠DBE，∴AF∥DB，∵AB＝AC，点D是BC中点，∴DB＝DC，AD⊥BC，∴AF＝DC，∠ADC＝90°，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCF是矩形；（2）解：过G作GH⊥CD于H，如图所示：则GH∥AD，∵AB＝AC＝5，点D是BC中点，∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝3，∴AD＝＝＝4，由（1）得：AF＝DC＝BD＝3＝BC，AF∥BC，∴AG＝CG，∴AG＝AC＝，∴CG＝AC﹣CG＝，∵GH∥AD，∴GH＝AD＝，CH＝CD＝2，∴DH＝CD﹣CH＝1，∴DG＝＝＝．24．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，∴四边形AMCN是平行四边形，∵AC＝2OM，∴MN＝AC，∴平行四边形AMCN是矩形；（2）解：由（1）得：MN＝AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝2，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∴∠ABC＝45°，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝AB＝2，∴MN＝2．。
2022八年级数学下册 第五讲 矩形的性质与判定(培优版)
第五讲矩形的性质与判定（培优）【版块一矩形的性质】【题型一】如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝8cm，BC＝12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，同时，点Q由点C出发，以相同的速度沿CD向点D运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP≌△PCQ时，t的值为（）A．1或3B．2C．2或4D．1或2【题型二】如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE ＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为．【题型三】矩形ABCD与矩形CEFG如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝3，CD＝CE＝1，则GH＝．【题型四】如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E＝度．【题型五】如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则EF的最小值为．【题型六】如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：其中正确的有（填序号）①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE；⑤AB＝HF，【题型七】如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE＝CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．（1）求证：OE＝OF；（2）若BC＝2，求AB 的长．【题型八】．已知，如图矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF．（1）判断三角形形BEF的形状，并说明理由．（2）求△ABE的面积．（3）求折痕EF的长．【题型九】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝20cm，BC＝24cm，P、Q 分别从A、C同时出发，向D，B运动．当一个点到达端点时，停止运动，另一个点也停止运动．（1）如果P、Q的速度分别为1cm/s和3cm/s．运动时间为t秒，则t为何值时，PQ＝DC．并说明理由．（2）如果P的速度为1cm/s，其他条件不变，要使四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，求Q点运动的速度．【版块二直角三角形斜边上的中线】1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是AC边上的动点（点E与点C、A不重合），设点M为线段BE的中点，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，连接MC、MF．若∠CBA＝50°，则在点E运动过程中∠CMF的大小为（）A．80°B．100°C．130°D．发生变化，无法确定2．如图，Rt△ABC，∠B＝90°，∠BAC＝72°，过C作CF∥AB，联结AF与BC相交于点G，若GF＝2AC，则∠BAG＝．3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝a，作斜边AB边中线CD，得到第一个三角形ACD；DE⊥BC于点E，作Rt△BDE斜边DB上中线EF，得到第二个三角形DEF；依此作下去…则第n个三角形的面积等于．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F 为DE的中点，连接BF，若BF＝3，则BC的长为（）A．6B．3C．8D．65．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH 的长是（）A．2.5B．C．D．26．只小猫在距墙面4米，距地面2米的架子上，紧紧盯住了斜靠墙的梯子中点处的一只老鼠，聪明的小猫准备在梯了下滑时，在与老鼠距离最小时捕食．如图所示，把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，猫所处位置为点D，梯子视为线段MN，老鼠抽象为点E，已知梯子长为4米，在梯子滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为（）A．2B．2﹣2C．2D．4【版块三矩形的判定】【题型一】如图，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°，求证：四边形ABCD是矩形．【题型二】如图，过△ABC边AC的中点O，作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD，CE，若CE平分∠ACB，CE⊥BO于点F．（1）求证：①OC＝BC；②四边形ABCD是矩形；（2）若BC＝3，求DE的长．【巩固训练】1．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20B．12C．14D．132．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，已知DF＝5，则AE＝．3．如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，则下列结论：①△ODC是等边三角形；②AC＝2AB；③∠AOE＝135°；④S△AOE＝S△COE，其中正确的结论的序号是．4．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．5．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点C与点A重合，点D落在点G处．若长方形的长BC为16，宽AB为8，求：（1）AE和DE的长；（2）阴影部分的面积．。
矩形能力提高题(培优)
矩形能力提高题（培优）1．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．（1）求证：四边形ODEC是矩形；（2）当∠ADB＝60°，AD＝2时，求EA的长．2．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠BCD＝45°，将CD绕点D逆时针旋转90°至ED，延长AD交EC于点F．（1）求证：四边形ABCF是矩形；（2）若AD＝2，BC＝3，求AE的长．3．如图，已知▱ABCD，延长AB到E使BE＝AB，连接BD，ED，EC，若ED＝AD．（1）求证：四边形BECD是矩形；（2）连接AC，若AD＝4，CD＝2，求AC的长．4．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，且BC＝2AF．（1）求证：四边形ADFE为矩形；（2）若∠C＝30°，AF＝2，写出矩形ADFE的周长．5．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OB．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AD＝4，∠AOD＝60°，求AB的长．6．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F＝45°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若AB＝14，DE＝8，求BE的长．7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝2，求△OEC的面积．8．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．9．如图，已知菱形ABCD中，对角线ACBD相交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．（1）求证：四边形CODE是矩形．（2）若AB＝5，AC＝6，求四边形CODE的周长．10．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，且AB＞AD，∠ADC的平分线交AB于点E，作AF⊥BC于F交DE于G点，延长BC至H使CH＝BF，连接DH．（1）补全图形，并证明AFHD是矩形；（2）当AE＝AF时，猜想线段AB、AG、BF的数量关系，并证明．11．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高．点O是AC中点，延长DO到E，使OE＝OD，连接AE，CE．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若BC＝6，∠DOC＝60°，求四边形ADCE的面积．12．如图，已知▱ABED，延长AD到C使AD＝DC，连接BC，CE，BC交DE于点F，若AB＝BC．（1）求证：四边形BECD是矩形；（2）连接AE，若∠BAC＝60°，AB＝4，求AE的长．13．已知：如图，菱形ABCD，分别延长AB，CB到点F，E，使得BF＝BA，BE＝BC，连接AE，EF，FC，CA．（1）求证：四边形AEFC为矩形；（2）连接DE交AB于点O，如果DE⊥AB，AB＝4，求DE的长．14．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至F点使CF＝BE，连接AF，DE，DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AB＝6，DE＝8，BF＝10，求AE的长．15．如图，在▱ABCD中，AC⊥BC，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F．（1）求证：四边形ADEC是矩形；（2）在▱ABCD中，取AB的中点M，连接CM，若CM＝5，且AC＝8，求四边形ADEC 的面积．16．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，F为DC上一点，且AB＝FC，E为AD上一点，EC交AF于点G，EA＝EG．求证：ED＝EC．17．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝1，延长AD到点E，使DE＝AD，延长CD 到点F，使DF＝CD，连接AC、CE、EF、AF．（1）求证：四边形ACEF是矩形；（2）求四边形ACEF的周长．18．如图，AC＝BC，D是AB的中点，CE∥AB，CE＝AB．（1）求证：四边形CDBE是矩形．（2）若AC＝5，CD＝3，F是BC上一点，且DF⊥BC，求DF长．19．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，M，N分别为OA，OB，OC，OD的中点，连接EF，FM，MN，NE．（1）依题意，补全图形；（2）求证：四边形EFMN是矩形；（3）连接DM，若DM⊥AC于点M，ON＝3，求矩形ABCD的面积．20．如图：在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E、P分别在AD、BC上，且DE＝BP＝1．求证：四边形EFPH为矩形．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，CE∥AD且CE＝AD．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若△ABC是边长为4的等边三角形，AC，DE相交于点O，在CE上截取CF＝CO，连接OF，求线段FC的长及四边形AOFE的面积．22．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD交AD的延长线于点E，CE＝AC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝4，AD＝3，求四边形BCED的周长．23．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点E是菱形外一点，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形DECO是矩形；（2）连接AE交BD于点F，当∠ADB＝30°，DE＝2时，求AF的长度．24．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD 到点F，使DF＝CE，连接AF．（1）求证：四边形ABEF是矩形；（2）连接OF，若AB＝6，DE＝2，∠ADF＝45°，求OF的长度．25．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF ∥AE交AD延长线于点F．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的长．26．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若BF＝8，DF＝4，求CD的长．27．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AC＝4，∠ABC＝60°，求矩形AEFD的面积．28．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，DB＝DC，E是BC的中点，连接DE．（1）求证：四边形ABED是矩形；（2）连接AC，若∠ABD＝30°，DC＝2，求AC的长．29．在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接DF，CF．（1）求证：四边形DFBE是矩形；（2）当CF平分∠DCB时，若CE＝3，BE＝4，求CD的长．30．如图，在▱ABCD中，∠ABD＝90°，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．（1）求证：四边形BECD是矩形；（2）连接DE交BC于点F，连接AF，若CE＝2，∠DAB＝30°，求AF的长．31．如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O．DE∥AC，DE＝AC．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）连接AE，交OD于点F，连接CF．若CF＝CE＝1，求AE长．32．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BC，点E是BC延长线上一点，，连接DE．（1）求证：四边形ACED为矩形；（2）连接OE，如果BD＝10，求OE的长．33．如图，AC＝BC，D是AB中点，CE∥AB，CE＝AB．（1）求证：四边形CDBE是矩形．（2）若AC＝5，CD＝3，F是BC上一点，且DF⊥BC，求DF的长．34．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥AC，且，连接EC、ED．（1）求证：四边形BECO是矩形；（2）若AC＝2，∠ABC＝60°，求DE的长．35．如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，DE∥AC，DE＝AC．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）连接AE，交OD于点F，连接CF，若CF＝CE＝1，求AC长．36．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．37．如图，在▱ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．（1）求证：四边形ACED是矩形；（2）连接AE交CD于点F，连接BF．若∠ABC＝60°，CE＝2，求BF的长．38．如图，▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，BE＝DF，∠AEC＝90°．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接BF，若AB＝4，∠ABC＝60°，BF平分∠ABC，求AD的长．39．如图，已知▱ABCD，延长AB到E，使BE＝AB，连接BD，ED，EC，若ED＝AD．（1）求证：四边形BECD是矩形；（2）连接AC，若AD＝8，CD＝4，求AC的长．40．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，点F在BC延长线上，且CF＝BE，连接AC，DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若∠ACD＝90°，CF＝3，DF＝4，求AD的长度．41．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF长．42．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，且与AD边相交于点E，∠AEB＝45°．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）连接CE，若CE＝，DE＝1，求AD的长．43．如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．（1）求证：DF∥AC；（2）连接DE、CF，若2AB＝BF，若G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形；（3）在（2）的条件下，若四边形CFDE是正方形，且BC＝80，求AB的长．44．如图，AD是▱ABDE的对角线，∠ADE＝90°，延长ED至点C，使DC＝ED，连接AC交BD于点O，连接BC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）连接OE，若AD＝4，AB＝2，求OE的长．45．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE∥BD，BE∥AC，OE⊥CD．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）连接DE，若AE＝，BC＝2，求DE的长．46．已知：如图，在▱ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．（1）求证：四边形ACED是矩形；（2）连接AE，若AB＝2BC，求证：△ABE是等边三角形．47．如图，在直角△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点．（1）求证：四边形ADFE为矩形；（2）若∠C＝30°，AF＝2，求出矩形ADFE的周长．48．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD＝6，BC＝10，AC＝8，∠ABC＝∠BCD．过点D 作DE⊥BC，垂足为点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接BF，CF．（1）求证：四边形ABFC是矩形；（2）求DE的长．49．如图，已知在△OAB中AO＝BO，分别延长AO，BO到点C、D，使得OC＝AO，OD ＝BO，连接AD，DC，CB．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）以AO，BO为一组邻边作平行四边形AOBE，连接CE．若CE⊥AE，求∠AOB的度数．50．已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B作AD的平行线，两线交于点E，连接DE交AB于点O．（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）若BC＝8，AO＝，求四边形AEBC的面积．51．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，过B，C两点分别作AC，BD的平行线，相交于点E．（1）求证：四边形BOCE是矩形；（2）连接EO交BC于点F，连接AF，若∠ABC＝60°，AB＝2，求AF的长．52．如图，在△ABC中，AC＝BC，CD为△ABC的角平分线，AE∥DC，AE＝DC，连接CE．（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）连接DE，若AB＝10，CD＝12，求DE的长．53．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝DA，连接BF，CF．（1）求证：四边形BCEF是矩形；（2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长．54．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．求证：OE＝CD．55．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．56．如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，点F在BC上，且CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）连接BD，若∠ABD＝90°，AE＝4，CF＝2，求BD的长．57．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，过点A作AE∥BC，且AE＝BD，连接BE，交AD于点F，连接CE．（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）若CE＝4，求AF的长．58．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）OE AE（填＜、＝、＞）；（2）求证：四边形OEFG是矩形；（3）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．59．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，，连接AE、CE．（1）求证：四边形ODEC为矩形；（2）若AB＝2，∠ABC＝60°，求AE的长．60．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF ∥AE交AD延长线于点F．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接OE，若AD＝5，BE＝3，求线段OE的长．。
中考数学复习矩形【培优讲练】
9.4.1 矩形同步培优讲练综合知识点1：矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.知识点2：矩形的性质1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.知识点3：矩形的判定1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.一、矩形性质的认识【例1】下列性质中矩形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形【例2】关于矩形，下列说法错误的是()A．四个角相等B．对角线相等C．四条边相等D．对角线互相平分【例3】下列说法中能判定四边形是矩形的是()A ．有两个角为直角的四边形B ．对角线互相平分的四边形C ．对角线相等的四边形D ．四个角都相等的四边形二、利用矩形的性质求角度【例1】如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB C D '''的位置，若旋转角为20︒，则1∠为（ ）A ．100︒B ．110︒C ．120︒D ．130︒【例2】如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O .若60AOB ∠=︒，则OCB ∠的度数为（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°【例3】如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于E ，若30DAO ∠=︒，则BEO ∠的度数为( )A ．45︒B ．60︒C ．65︒D ．75︒三、利用矩形的性质求线段【例1】如图，在矩形COED 中，点D 的坐标是()3,4，则CE 的长是（ ）．A ．3B ．4C ．5D ．6【例2】如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，点E 在BC 边上，且1BE =，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边作等边EFG ，且点G 在矩形ABCD 内，连接CG ，则CG 的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．1 D【例3】如图，在ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，P 为边BC 上一动点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为__．四、利用矩形的性质求面积【例1】如图，矩形ABCD 中，4=AD ，10AB =，点E 为直线AB 的一点，连EC ，平移EC 至DF ，连接DE 、CF ，则四边形DECF 的面积是（ ）A ．15B ．40C ．20D ．30【例2】如图，点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF //BC ，分别交AB ，CD 于点E ，F ，连接PB ，.PD 若2AE =，8.PF =则图中阴影部分的面积为______．【例3】如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则S △ECF 的值为____．五、矩形有关的折叠问题【例1】如图，矩形ABCD 中，AB =4，AD =6，点E 为AD 中点，点P 为线段AB 上一个动点，连接EP ，将△APE 沿PE 折叠得到△FPE ，连接CE ，DF ，当线段DF 被CE 垂直平分时，AF 则线的长为_______．【例2】如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝10cm，BC＝3cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B'，C'上．在点M从点A运动到点B的过程中，若边MB'与边CD交于点E，则点E相应运动的路径长为_____cm．【例3】如图，在长方形ABCD中，点M为CD中点，将△MBC沿BM翻折至△MBE，若∠AME＝α，∠ABE＝β，则α与β之间的数量关系为________．△，C D'与AB交于点E，若【例4】如图，将长方形纸片ABCD沿BD所在直线折叠，得到BC D'∠=︒，则2125∠的度数为_________．六、矩形的判定 解答题【例1】如图，ABC ∆中，AC BC =，CD AB ⊥于点D ，四边形DBCE 是平行四边形．求证：四边形ADCE 是矩形．【例2】如图，在ABC ∆中，//AE BC ，AB AC =，D 为BC 中点，AE BD =．（1）求证：四边形AEBD 是矩形．（2）连接CE 交AB 于点F ，若30ABE ∠=︒，2AE =，直接写出EC 的长．【例3】问题情境：在综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中的旋转问题”，如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，()0,0O ，点()5,0A ，点()0,3B ．操作发现：以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ．(1)如图，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；(2)继续探究：如图，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H ，求证：ADB AOB ≌；≠，将ABC沿AC翻折至AB C'，连接B D'．【例4】在平行四边形ABCD中，AB BC'=；(1)求证：B E DE'∥；(2)求证：B D AC(3)在平行四边形ABCD中，已知：460，，将ABC沿AC翻折至AB C'，连接B D'．若以BC B=∠=︒A、C、D、B'为顶点的四边形是矩形，求AC的长．BC=．对角线AC的垂直平分线分别交AB、CD于点【例5】已知：如图，在矩形ABCD中，4AB=，2E、F．求线段CF的长．【例6】如图①，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD =1，AB =5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN相交于点K，得到△MNK，如图①．(1)当点M与点A重合（如图②），且∠BMN=15°时，求△MNK的面积；(2)请你利用备用图探究怎样能够能够使折叠出△MNK的面积最大，最大值是多少【例7】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点E从点A出发，沿边AD，DC向点C运动，A，D关于直线BE的对称点分别为M，N，连接MN．(1)如图，当E在边AD上且DE＝2时，求∠AEM的度数．(2)当N在BC延长线上时，求DE的长，并判断直线MN与直线BD的位置关系，说明理由．(3)当直线MN恰好经过点C DE的长．1．如图，在长方形ABCD中，连接AC，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AD，AC于点E，F，分别以E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧在DAC∠内交于点H，画射线AH交DC于点M．若68ACB∠=︒，则DMA∠的大小为（）A．34︒B．56︒C．66︒D．68︒2．如图，矩形ABCD 中，3AB =，两条对角线,AC BD 所夹的钝角为120︒，则对角线BD 的长为( )A ．3B ．6C ．D ．103．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为点E ，若2EAC CAD ∠=∠，则BAE ∠的度数为（ ）A ．20︒B ．22.5︒C ．30︒D ．45︒4．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作OE BD ⊥，交AD 于点E ，若20ACB ∠=︒，则AOE ∠的大小为__________．5．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，DE AC ⊥于E ，:1:2EDC EDA ∠∠=，则ODE ∠的度数是___________．6．如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转35︒，得到矩形AB C D '''，则α∠=______.︒．7．如图，四边形ABCD 为矩形，则∠ABC =________；若OA =5，则BD =________．8．如图，延长矩形ABCD 边BC 至点E ，使CE BD =，连接AE ，如果40ADB ∠=︒，则E ∠=______．9．如图，平面直角坐标系中，长方形OABC ，点A ，C 分别在y 轴，x 轴的正半轴上，6OA =，3OC =，45DOE ∠=︒，OD ，OE 分别交BC ，AB 于点D ，E ，且2CD =，则点E 坐标为______．9.4.1 矩形同步培优讲练综合知识点1：矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.知识点2：矩形的性质1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.知识点3：矩形的判定1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.一、矩形性质的认识【例1】下列性质中矩形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形【答案】B【解析】解：A、矩形的对角线互相平分，故此选项不符合题意；B、矩形的对角线不一定互相垂直，故此选项符合题意；C、矩形的对角线相等，故此选项不符合题意；D、矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：B．【例2】关于矩形，下列说法错误的是()A．四个角相等B．对角线相等C．四条边相等D．对角线互相平分【答案】C【解析】解：矩形的性质为四个角相等，对角线相等，对角线互相平分，故选：C ．【例3】下列说法中能判定四边形是矩形的是( )A ．有两个角为直角的四边形B ．对角线互相平分的四边形C ．对角线相等的四边形D ．四个角都相等的四边形【答案】D【解析】解：A 、有3个角为直角的四边形是矩形，故错误；B 、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故错误；C 、对角线相等的平行四边形，故错误；D 、四个角都相等的四边形是矩形，故正确；故选：D ．二、利用矩形的性质求角度【例1】如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB C D '''的位置，若旋转角为20︒，则1∠为（）A ．100︒B ．110︒C ．120︒D ．130︒【答案】B【解析】解：设C D ''与BC 交于点E ，如图所示．∵旋转角为20︒，∴20DAD '∠=︒，∴9070BAD DAD ''∠=︒-∠=︒．∵360BAD B BED D '''∠+∠+∠+∠=︒，∴360709090110BED '∠=︒-︒-︒-︒=︒，∴1110BED '∠=∠=︒．故选：B ．【例2】如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O.若60AOB ∠=︒，则OCB ∠的度数为（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45° 【答案】A【解析】解：∵四边形ABCD 是矩，∠AOB ＝60°，∴∠BCD ＝90°，∠COD ＝60°，OC ＝OD ＝1122AC BD =， ∴△COD 是等边三角形，∴∠OCD ＝60°，∴∠OCB ＝90°﹣∠OCD ＝30°，故选：A ．【例3】如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于E ，若30DAO ∠=︒，则BEO ∠的度数为( )A ．45︒B ．60︒C ．65︒D ．75︒【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD=∠ABC=90°，OA=12AC ，OB=12BD ，AC=BD ， ∴OA=OB ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AB=BE ，∵∠DAO=30°，∴∠EAO=15°，∴∠BAO=45°+15°=60°，∴△AOB 是等边三角形，∴∠ABO=60°，OB=AB ，∴∠OBE=90°-60°=30°，OB=BE ，∴∠BEO=12×（180°-30°）=75°． 故选：D ．三、利用矩形的性质求线段【例1】如图，在矩形COED 中，点D 的坐标是()3,4，则CE 的长是（ ）．A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】 解：四边形COED 是矩形， CE OD ∴=，点D 的坐标是()3,4，5OD ∴=，5CE ∴=，故选：C ．【例2】如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，点E 在BC 边上，且1BE =，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边作等边EFG ，且点G 在矩形ABCD 内，连接CG ，则CG 的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．1 D【答案】B【解析】解：如图，以EC 为边作等边三角形ECH ，过点H 作HN BC ⊥于N ，HM AB ⊥于M ，又∵90ABC ∠=︒，∴四边形MHNB 是矩形，∴MH BN =，∵1BE =，2AB =，3BC =，∴2EC =，∵EHC △是等边三角形，HN EC ⊥，∴2EC EH ==，1EN NC ==，60HEC ∠=︒，∴2BN MH ==，∵FGE △是等边三角形，∴FE FG =，60FEG HEC ∠=︒=∠，∴FEH GEC ∠=∠，在FEH △和GEC 中，FE GE FEH GEC HE EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS FEH GEC ≌，∴FH GC =，∴当FH AB ⊥时，FH 有最小值，即GC 有最小值，∴点F 与点M 重合时，2FH HM ==，故选B ．【例3】如图，在ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，P 为边BC 上一动点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为__．【答案】65【解析】解：如图，连接AP ，3AB =，4AC =，5BC =，90EAF ∴∠=︒，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，∴四边形AEPF 是矩形，EF ∴，AP 互相平分．且EF AP =，EF ∴，AP 的交点就是M 点．当AP 的值最小时，AM 的值就最小，∴当⊥AP BC 时，AP 的值最小，即AM 的值最小．1122AP BC AB AC ⋅=⋅， AP BC AB AC ∴⋅=⋅，3AB =，4AC =，5BC =，534AP ∴=⨯，125AP ∴=， 65AM ∴=； 故答案为：65．四、利用矩形的性质求面积【例1】如图，矩形ABCD 中，4=AD ，10AB =，点E 为直线AB 的一点，连EC ，平移EC 至DF ，连接DE 、CF ，则四边形DECF 的面积是（ ）A ．15B ．40C ．20D ．30【答案】B【解析】解：已知平移EC 至DF ，则EC DF ∥，EC DF =四边形CEDF 是平行四边形，则122410402CEDF CED S S CD DA CD DA ==⨯⨯⨯==⨯= 故选：B ．【例2】如图，点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF//BC ，分别交AB ，CD 于点E ，F ，连接PB ，.PD 若2AE =，8.PF =则图中阴影部分的面积为______．【答案】16【解析】解：作PM AD ⊥于M ，交BC 于N ．则有四边形AEPM ，四边形DFPM ，四边形CFPN ，四边形BEPN 都是矩形，ADC ABC SS ∴=，AMP AEP S S =，PBE PBN S S =，PFD PDM S S =，PFC PCN S S =， ADC AMP PFC ABC AEP PCN S S S S S S ∴--=--，即BEPN DFPM S S =矩形矩形， 12882DFP PBE S S ∴==⨯⨯=， 8816S ∴=+=阴影，故答案为：16【例3】如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则S △ECF 的值为____．【答案】10825【解析】如图，连接BF ，，∵BC=6，点E 为BC 的中点，∴BE=3， 又∵AB=4，∴，由折叠可知：BF ⊥AE （对应点的连线必垂直于对称轴），∴BH=431255 AB BEAE•⨯==，∴BF=245，∵EF=BE=CE，∴∠BFC=90°，根据勾股定理可得：185，S△ECF=12S△BCF=12×12×185×245=10825，故答案为：108 25．五、矩形有关的折叠问题【例1】如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E为AD中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△APE沿PE折叠得到△FPE，连接CE，DF，当线段DF被CE垂直平分时，AF则线的长为_______．【答案】18 5【解析】解：连接AF交PE于O，连接DF，∵矩形ABCD，∴BC=AD=6,CD=AB=4，∵线段DF被CE垂直平分时，∴CF=CD=4,ED=EF，∵将△APE沿PE折叠得到△FPE，∴PE是线段AF的垂直平分线，∴AE=EF,AF=2OA，∴AE=ED=EF，∵AD=AE+ED=6，∴AE=ED=EF=3，设AP=x，则PF=AP=x，BP=4-x，PC=PF+FC=x+4，∵PC2=BP2+BC2,即（x+4）2=（4-x）2+62∴x=94，∵154 =，∴1122PE AO PA AE=，即115193 2424AO⨯=⨯⨯，解得：AO=95，∴AF=2AO=185．故答案为185．【例2】如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝10cm，BC＝3cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B'，C'上．在点M从点A运动到点B的过程中，若边MB'与边CD交于点E，则点E相应运动的路径长为_____cm．1【解析】如图1中，当点M与A重合时，AE＝EN，设AE＝EN＝xcm，在Rt△ADE中，则有x2＝32+（9﹣x）2，解得x＝5，∴DE＝10﹣1-5＝4（cm），如图2中，当点M运动到MB′⊥AB时，DE′的值最大，DE′＝10﹣1﹣3＝6（cm），如图3中，当点M运动到点B′落在CD时，NB'=DB′（即DE″）＝10﹣1＝（9（cm），∴点E的运动轨迹E→E′→E″，运动路径＝EE′+E′B′＝6﹣4+6﹣（91）（cm）．1．【例3】如图，在长方形ABCD中，点M为CD中点，将△MBC沿BM翻折至△MBE，若∠AME＝α，∠ABE＝β，则α与β之间的数量关系为________．【答案】3290βα-=︒【解析】如图，延长BE 交AD 于点N ，设BN 交AM 于点O ．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D=∠C=90°，AD=BC ，∵DM=MC ，∴△ADM ≌△BCM(SAS)，∴∠DAM=∠CBM ，∵△BME 是由△MBC 翻折得到，∴∠CBM=∠EBM=12(90°−β)，∵∠DAM=∠MBE ，∠AON=∠BOM ，∴∠OMB=∠ANB=90°−β，在△MBE 中，∵∠EMB+∠EBM=90°，∴α+(90°−β)+12(90°−β)=90°，整理得：3β−2α=90°故答案为：3β−2α=90°【例4】如图，将长方形纸片ABCD 沿BD 所在直线折叠，得到BC D '△，C D '与AB 交于点E ，若125∠=︒，则2∠的度数为_________．【答案】40︒【解析】解：在矩形ABCD 中，90C ∠=︒，AB CD ∥，∴190CBD ∠+∠=︒，1ABD ∠=∠，125∠=︒，∴65CBD ∠=︒，25ABD ∠=︒，由折叠可知：2ABD CBD ∠+∠=∠，∴2652540CBD ABD ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：40︒．六、矩形的判定 解答题【例1】如图，ABC ∆中，AC BC =，CD AB ⊥于点D ，四边形DBCE 是平行四边形．求证：四边形ADCE 是矩形．【答案】见解析【解析】证明：AC BC =，CD AB ⊥，90ADC ∴∠=︒，AD BD =．在DBCE 中，//EC BD ，EC BD =，//EC AD ∴，EC AD =．∴四边形ADCE 是平行四边形．又90ADC ∠=︒，∴四边形ADCE 是矩形．【例2】如图，在ABC ∆中，//AE BC ，AB AC =，D 为BC 中点，AE BD =．（1）求证：四边形AEBD 是矩形．（2）连接CE 交AB 于点F ，若30ABE ∠=︒，2AE =，直接写出EC 的长．【答案】见解析【解析】（1）证明：//AE BD ，AE BD =，∴四边形AEBD 是平行四边形，AB AC =，D 为BC 的中点，AD BC ∴⊥，90ADB ∴∠=︒，∴四边形AEBD 是矩形．（2）解：四边形AEBD 是矩形，90AEB DBE ∴∠=∠=︒，2BD AE ==，30ABE ∠=︒，BE ∴==24BC BD =，EC ∴=，【例3】问题情境：在综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中的旋转问题”，如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，()0,0O ，点()5,0A ，点()0,3B ．操作发现：以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ．(1)如图，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；(2)继续探究：如图，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H ，求证：ADB AOB ≌；【答案】(1)()1,3D (2)证明见解析【解析】（1）解：∵()5,0A ，()0,3B ，∴5OA =，3OB =，∵四边形AOBC 是矩形，∴3AC OB ==，5OA BC ==，90OBC C ∠=∠=︒，∵矩形ADEF 是由矩形AOBC 旋转得到，∴5AD AO ==，在Rt ADC 中，4CD =，∴1BD BC CD =-=，∴()1,3D ．（2）证明：四边形ADEF 是矩形，90ADE ∴∠=︒，点D 在线段BE 上，90ADB ∴∠=︒，由旋转的性质得：AD AO =，在Rt ADB 和Rt AOB △中，AB AB AD AO =⎧⎨=⎩， ∴()Rt Rt HL ADB AOB ≅．【例4】在平行四边形ABCD 中，AB BC ≠，将ABC 沿AC 翻折至AB C '，连接B D '．(1)求证：B E DE '=；(2)求证：B D AC '∥；(3)在平行四边形ABCD 中，已知：460BC B =∠=︒，，将ABC 沿AC 翻折至AB C '，连接B D '．若以A 、C 、D 、B '为顶点的四边形是矩形，求AC 的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC AD BC =，∥，∴EAC ACB ∠=∠，由折叠的性质可知ACB ACB BC B C ''∠=∠=，，∴EAC ACB '∠=∠，BC AD '=，∴AE CE =，∴B C CE AD AE '-=-，即B E DE '=；（2）证明：∵B E DE '=， ∴()11802CB D B DA B ED '''∠=∠=︒-∠， 同理可得()11802EAC ECA AEC ∠=∠=︒-∠， ∵AEC B ED '∠=∠，∴ACB CB D ''∠=∠，∴B D AC '∥；（3）解：分两种情况：①如图1所示：∵四边形ACDB 是矩形，∴90CAB '∠=︒，∴90BAC ∠=︒，∵=60B ∠︒，∴30ACB ∠=︒， ∴122AB BC ==,∴AC②如图2所示：∵四边形ACB D '是矩形，∴90ACB '∠=︒，∴90ACB ∠=︒，∵460BC B =∠=︒，，∴30BAC ∠=︒，∴28AB AC ==,∴AC综上所述：AC 的长为【例5】已知：如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2BC =．对角线AC 的垂直平分线分别交AB 、CD 于点E 、F ．求线段CF 的长．【答案】52CF =【解析】解：连接AF ，如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴42CD AB AD BC ====，，∵EF 是AC 的垂直平分线，∴AF CF =，设CF x =，则4DF CD CF x =-=- ，在Rt ADF 中，222AF DF DA +＝，即22224x x =+-（），解得：x =52， ∴52CF ＝【例6】如图①，四边形ABCD 是一张矩形纸片，AD =1，AB =5．在矩形ABCD 的边AB 上取一点M ，在CD 上取一点N ，将纸片沿MN 折叠，使MB 与DN 相交于点K ，得到△MNK ，如图①．(1)当点M 与点A 重合（如图②），且∠BMN=15°时，求△MNK 的面积；(2)请你利用备用图探究怎样能够能够使折叠出△MNK 的面积最大，最大值是多少【答案】(1)△MNK 的面积为1 (2)△MNK 的面积最大值为1.3【解析】（1）解：∵四边形ABCD 是矩形，∴在图1、图2中，DNAB ，∴∠DNM=∠BMN ，又∵折叠，∴∠BMN =∠KMN ，∴∠KMN=∠KNM ，∴NK=MK ，∵△MNK 的面积S=12NK•AD=12NK ，∴S=12MK ，图2中，由折叠知，∠KAN=∠NAB=15°，∵DN AB ，∴∠KNA=∠NAB，∴∠KNA=∠KAN=15°，KA=KN，∴在Rt ADK中，∠DKA=30°，KA=2AD=2∴△MNK的面积S=12NK•AD=12NK，∴S=12AK=1；（2）有以下两种情况：情况一：如图3，将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合．设MK=MB=x，则AM=5-x．由勾股定理得：12+ (5-x)2=x2，解得，x=2.6，即MD= ND= 2.6，∴S△MNK= S△ACK=12×1×2.6 =1.3；情况二：如图4，将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC．设MK=AX= CK=x，则DK=5-x，同理可得MK=NK=2.6，∴S△MNK= S△ACK=12×1×2.6 =1.3，∴△MNK的面积最大值为1.3．【例7】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点E从点A出发，沿边AD，DC向点C运动，A，D关于直线BE的对称点分别为M，N，连接MN．(1)如图，当E在边AD上且DE＝2时，求∠AEM的度数．(2)当N 在BC 延长线上时，求DE 的长，并判断直线MN 与直线BD 的位置关系，说明理由．(3)当直线MN 恰好经过点C 时，求DE 的长．【答案】(1)∠AEM ＝90° (2)MN BD ∥，理由见解析 (3)DE 的长为【解析】（1）解：如图1，∵DE ＝2，∴AE ＝AB ＝6，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝90°，∴∠AEB ＝∠ABE ＝45°．由对称性知∠BEM ＝45°，∴∠AEM ＝90°．（2）解：如图2，∵AB ＝6，AD ＝8，∴BD ＝10，∵当N 落在BC 延长线上时，BN ＝BD ＝10，∴CN ＝2．设DE EN x ==，则6CE x =-，∵222CE CN EN +=，解得：103x =， ∴103DE EN ==． ∵BM ＝AB ＝CD ，MN ＝AD ＝BC ，∴Rt Rt (H )L BMN DCB ≌，∴∠DBC ＝∠BNM ，∴MN BD ∥；（3）分类讨论：①如图3，当E 在边AD 上时，∴∠BMC ＝90°，∴MC =．∵BM ＝AB ＝CD ，∠DEC ＝∠BCE ，∴△BCM ≌△CED(AAS)，∴DE ＝MC ＝②如图4，当点E 在边CD 上时，∵BM ＝6，BC ＝8，∴MC ＝∴8CN MN MC =-=-设DE EN y ==，则6CE y =-，∴222(6)(8y y -=-+，解得：y =∴DE =综上所述，DE 的长为1．如图，在长方形ABCD 中，连接AC ，以A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AD ，AC 于点E ，F ，分别以E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧在DAC ∠内交于点H ，画射线AH 交DC 于点M ．若68ACB ∠=︒，则DMA ∠的大小为（ ）A ．34︒B ．56︒C ．66︒D ．68︒【答案】B【解析】 解：四边形ABCD 是长方形，90,D AD BC ∴∠=︒， 68DAC ACB ∴∠=∠=︒，由题意可知，AM 平分DAC ∠，1342DAM DAC ∴∠=∠=︒， 9056DMA DAM ∴∠=︒-∠=︒，故选：B ．2．如图，矩形ABCD 中，3AB =，两条对角线,AC BD 所夹的钝角为120︒，则对角线BD 的长为( )A ．3B ．6C ．D ．10【答案】B【解析】解：在矩形ABCD 中，OA OB =，∵两条对角线,AC BD 所夹的钝角为120︒ 60AOB ∠∴=︒，AOB ∴是等边三角形，3OB AB ∴==，2236BD OB ∴==⨯=．故选：B ．3．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为点E ，若2EAC CAD ∠=∠，则BAE ∠的度数为（ ）A ．20︒B ．22.5︒C ．30︒D ．45︒【答案】B【解析】 解：四边形ABCD 是矩形，AC BD ∴=，OA OC =，OB OD =，OA OB OD ∴==，即AOB 、AOD △均为等腰三角形， OAD ODA ∠=∠∴，OAB OBA ∠=∠，AOE ∠是等腰AOD △的一个外角，2AOE OAD ODA OAD ∴∠=∠+∠=∠，2EAC CAD ∠=∠，EAO AOE ∠∠∴=，AE BD ⊥，90AEO ∴∠=︒，即AEO △是等腰直角三角形，45AOE ∴∠=︒，()()111801804567.522OAB OBA AOB ∴∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒， 67.54522.5BAE OAB OAE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选：B ．4．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作OE BD ⊥，交AD 于点E ，若20ACB ∠=︒，则AOE ∠的大小为__________．【答案】50︒【解析】∵四边形ABCD 是矩形，OA OB OC OD ∴===，20ACB ∠=︒，20OBC OCB ∴∠=∠=︒，40AOB OBC OCB ∴∠=∠+∠=︒，OE BD ⊥，904050AOE BOE AOB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：50︒．5．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，DE AC ⊥于E ，:1:2EDC EDA ∠∠=，则ODE ∠的度数是___________．【答案】30︒【解析】【解答】解：∵:1:2EDC EDA ∠∠=，90EDC EDA ∠+∠=︒，∴30EDC ∠=︒，60EDA ∠=︒，∵DE OC ⊥，∴9060DCE EDC ∠︒=︒-∠=，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA OD OC ==，∴ODC 是等边三角形，∵DE OC ⊥， ∴1302ODE CDE ODC ∠=∠=∠=︒， 故答案为：30︒．6．如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转35︒，得到矩形AB C D '''，则α∠=______.︒【答案】125 【解析】解：将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转35︒得到矩形AB C D '''，∴903555BAD ∠=︒-︒='︒，∵360BAD ABC AD C α∠+∠+∠'+='∠'︒，∴360909055125α∠=︒-︒-︒-︒=︒，故答案为：125．7．如图，四边形ABCD 为矩形，则∠ABC=________；若OA=5，则BD=________．【答案】 90︒ 10【解析】∵四边形ABCD 是矩形，OA=5，∴ABC ∠=90︒，210BD AC OA ===，故答案为：9010︒，． 8．如图，延长矩形ABCD 边BC 至点E ，使CE BD =，连接AE ，如果40ADB ∠=︒，则E ∠=______．【答案】20°【解析】解：连接AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=30°，∴∠E=∠DAE，又∵BD=CE，∴CE=CA，∴∠E=∠CAE，∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，∴∠E+∠E=40°，即∠E=20°，故答案为：20°．9．如图，平面直角坐标系中，长方形OABC，点A，C分别在y轴，x轴的正半轴上，6OA=，3OC=，45DOE∠=︒，OD，OE分别交BC，AB于点D，E，且2CD=，则点E坐标为______．【答案】6,6 5⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】解：过点E作EF OD⊥，过点F作FN OC⊥，并延长NF交AB延长线于点M，如下图：则90EFO FNO ∠=∠=︒，∴90OFN EFM ∠+∠=︒，90OFN FON ∠+∠=︒ ∴FON EFM ∠=∠在矩形OABC 中，//AB OC ，63OA BC OC AB ====， ∴90M FNO ∠=∠=︒∴四边形BCNM 为矩形∴6MN BC ==，//CD MN ，BM CN = ∴AM ON =∵45DOE ∠=︒∴EFO △为等腰直角三角形，EF OF =∴FON EFM △≌△∴MF ON =，EM FN =设MF ON x ==，则6EM FN x ==-，(,6)F x x - 设直线OD 解析式为y kx =由题意可知(3,2)D ，代入y kx =得，32k =，解得23k =， 又∵点(,6)F x x -在直线OD 上，∴263x x -= 解得185x =，即181255AM ON FN EM ====， ∴65AE AM EM =-=∴点E 坐标为6,65⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为6,65⎛⎫ ⎪⎝⎭。
(完整版)矩形练习题及答案
矩形课后练习1、矩形具有而平行四边形不具有的性质是()A．内角和为360°B．对角线相等C．对角相等D．相邻两角互补2、平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质()A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线平分一组对角D．对角线互相垂直3、下列关于矩形的说法中正确的是()A．矩形的对角线互相垂直且平分B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分的四边形是矩形下列说法正确的有()①两条对角线相等的四边形是矩形；②有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形；③一个角为直角，两条对角线相等的四边形是矩形；④四个角都相等的四边形是矩形；⑤对角线相等且垂直的四边形是矩形；⑥有一个角是直角的平行四边形是矩形．A．1个B．2个C．3个D．4个4、如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠DAE：∠BAE=1：2，试求∠CAE的度数．5、如图，已知矩形ABCD中，AC与BD相交于O，DE平分∠ADC交BC于E，∠BDE=15°，试求∠COE的度数．6、Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM 的最小值为．7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2，E是AB边的中点，F是AC边的中点，D是BC边上一动点，则△EFD的周长最小值是．8、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．9、(1)线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．10、如图，以△ABC的各边向同侧作正△ABD，正△BCF，正△ACE．(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；(2)当∠BAC=______时，四边形AEFD是矩形；(3)当∠BAC=______时，以A、E、F、D为顶点的四边形不存在．11、如图，已知平行四边形ABCD，延长AD到E，使DE=AD，连接BE与DC交于O点．(1)求证：△BOC≌△EOD；(2)当∠A=12∠EOC时，连接BD、CE，求证：四边形BCED为矩形．12、已知四边形ABCD中，AB=CD，BC=DA，对角线AC、BD交于点O．M是四边形ABCD外的一点，AM⊥MC，BM⊥MD．试问：四边形ABCD是什么四边形，并证明你的结论．13、如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，F是AC中点，AN是△ABC的外角∠MAC的角平分线，延长DF交AN于点E．(1)判断四边形ABDE的形状，并说明理由；(2)问：线段CE与线段AD有什么关系？请说明你的理由．14、已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．15、如图，矩形纸片ABCD的宽AD=5，现将矩形纸片ABCD沿QG折叠，使点C落到点R的位置，点P是QG上的一点，PE⊥QR于E，PF⊥AB于F，求PE+PF．16、如图，已知，E是矩形ABCD边AD上一点，且BE=ED，P是对角线BD上任一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G，你知道PF+PG与AB有什么关系吗？并证明你的结论．矩形课后练习参考答案题一： B ．详解：A ．内角和为360°矩形与平行四边形都具有，故此选项错误；B ．对角线相等只有矩形具有，而平行四边形不具有，故此选项正确；C ．对角相等矩形与平行四边形都具有，故此选项错误；D ．相邻两角互补矩形与平行四边形都具有，故此选项错误．故选B ． 题二： B ．详解：因为平行四边形的对角线互相平分、正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分．故选B ．题三： B ．详解：A ．矩形的对角线互相平分，且相等，但不一定互相垂直，本选项错误；B ．矩形的对角线相等且互相平分，本选项正确；C ．对角线相等的四边形不一定为矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，本选项错误；D ．对角线互相平分的四边形为平行四边形，不一定为矩形，本选项错误．故选B ．题四： C ．详解：两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形，故①③⑤错；有一个角为直角的平行四边形为矩形，故②④⑥正确．故选C ． 题五： 30°．详解：∵∠DAE ：∠BAE =1：2，∠DAB =90°，∴∠DAE =30°，∠BAE =60°，∴∠DBA =90°-∠BAE =90°-60°=30°，∵OA =OB ，∴∠OAB =∠OBA =30°，∴∠CAE =∠BAE -∠OAB =60°-30°=30°．题六： 75°．详解：∵四边形ABCD 是矩形，DE 平分∠ADC ，∴∠CDE =∠CED = 45°，∴EC =DC ，又∵∠BDE =15°，∴∠CDO =60°，又∵矩形的对角线互相平分且相等，∴OD =OC ，∴△OCD 是等边三角形，∴∠DCO =60°，∠OCB =90°-∠DCO =30°，∵DE 平分∠ADC ，∠ECD =90°，∠CDE =∠CED = 45°，∴CD =CE =CO ，∴∠COE =∠CEO ；∴∠COE =(180°-30°)÷2=75°．题七： 65．详解：由题意知，四边形AFPE 是矩形，∵点M 是矩形对角线EF 的中点，则延长AM 应过点P ，∴当AP 为Rt △ABC 的斜边上的高时，即AP ⊥BC 时，AM 有最小值，此时AM =12AP ，由勾股定理知BC =22AB AC +=5，∵S △ABC =12AB •AC =12BC •AP ，∴AP =345⨯=125，∴AM =12AP =65． 题八： 1+13．详解：作点F 关于BC 的对称点G ，连接EG ，交BC 于D 点，D 点即为所求，∵E 是AB 边的中点，F 是AC 边的中点，∴EF 为△ABC 的中位线，∵BC =2，∴EF =12BC =12×2=1；∵EF 为△ABC 的中位线，∴EF ∥BC ，∴∠EFG =∠C =90°，又∵∠ABC =60°，BC =2，FG =AC =23，EG =22EF FG +=13，∴DE +FE +DF =EG +EF =1+13．题九： 见详解．详解：(1)BD =CD ．理由：∵AF ∥BC ，∴∠AFE =∠DCE ，∵E 是AD 的中点， ∴AE =DE ，在△AEF 和△DEC 中，∠AFE =∠DCE ，∠AEF =∠DEC ，AE =DE ，∴△AEF ≌△DEC (AAS)，∴AF =CD ，∵AF =BD ，∴BD =CD ；(2)当△ABC 满足：AB =AC 时，四边形AFBD 是矩形．理由：∵AF ∥BD ，AF =BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形，∵AB =AC ，BD =CD ，∴∠ADB =90°，∴平行四边形AFBD 是矩形． 题十： 见详解．详解：(1)∵△BCF 和△ACE 是等边三角形，∴AC =CE ，BC =CF ，∠ECA =∠BCF =60°，∴∠ECA -∠FCA =∠BCF -∠FCA ，即∠ACB =∠ECF ，∵在△ACB 和△ECF 中，AC =CE ，∠ACB =∠ECF ，BC =CF ，∴△ACB ≌△ECF (SAS)，∴EF =AB ，∵三角形ABD 是等边三角形，∴AB =AD ，∴EF =AD =AB ，同理FD =AE =AC ，即EF =AD ，DF =AE ，∴四边形AEFD 是平行四边形；(2)当∠BAC =150°时，平行四边形AEFD 是矩形，理由：∵△ADB 和△ACE 是等边三角形，∴∠DAB =∠EAC =60°，∵∠BAC =150°，∴∠DAE =360°-60°-60°-150°=90°，∵由(1)知：四边形AEFD 是平行四边形，∴平行四边形AEFD 是矩形．(3)当∠BAC =60°时，以A 、E 、F 、D 为顶点的四边形不存在，理由如下：∵∠DAB =∠EAC =60°，∠BAC =60°，∴∠DAE =60°+60°+60°=180°，∴D 、A 、E 三点共线，即边DA 、AE 在一条直线上，∴当∠BAC =60°时，以A 、E 、F 、D 为顶点的四边形不存在．题十一： 见详解．详解：(1)∵在平行四边形ABCD 中，AD =BC ，AD ∥BC ，∴∠EDO =∠BCO ，∠DEO =∠CBO ，∵DE =AD ，∴DE =BC ， 在△BOC 和△EOD 中，∠OBC =∠OED ，BC =DE ，∠OCB =∠ODE ，∴△BOC ≌△EOD (ASA)；(2)∵DE =BC ，DE ∥BC ，∴四边形BCED 是平行四边形， 在平行四边形ABCD 中，AB ∥DC ，∴∠A =∠ODE ，∵∠A =12∠EOC ，∴∠ODE =12∠EOC ， ∵∠ODE +∠OED =∠EOC ，∴∠ODE =∠OED ，∴OE =OD ，∵平行四边形BCED 中，CD =2OD ，B E =2OE ，∴CD =BE ，∴平行四边形BCED 为矩形．题十二：见详解．详解：矩形．理由：连接OM，∵AB=CD，BC=DA，∴四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AM⊥MC，BM⊥MD，∴∠AMC=∠BMD=90°，∴OM=12BD，OM=12AC，∴BD=AC，∴四边形ABCD是矩形．题十三：见详解．详解：(1)四边形ABDE是平行四边形，理由：∵AB=AC，D是BC中点，F是AC中点，∴DF∥AB，∵AB=AC，D是BC 中点，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥DC，∵AN是△ABC的外角∠MAC的角平分线，∴∠MAE=∠CAE，∴∠NAD=90°，∴AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形；(2)CE∥AD，CE=AD；理由：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=12∠MAC，∵∠MAC=∠B+∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠MAE=∠B，∴AN∥BC，∵AB=AC，点D为BC中点，∴AD⊥BC，∵CE⊥AN，∴AD∥CE，∴四边形ADCE为平行四边形，∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°，∴四边形ADCE为矩形，∴CE∥AD，CE=AD．题十四：见详解．详解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠4=∠C，AD=CB，AB=CD，∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE=12 AB，CF=12CD．∴AE=CF，在△AED与△CBF中，AD=CB，∠4=∠C，AE=CF，∴△ADE≌△CBF(SAS)，(2)当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵AG∥BD，∴四边形AGBD是平行四边形，∵四边形BEDF是菱形，∴DE=BE，∵AE=BE，∴AE=BE=DE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴2∠2+2∠3=180°，∴∠2+∠3=90°，即∠ADB=90°，∴四边形AGBD是矩形．题十五：5．详解：把折叠的图展开，如图所示：EF=AD，∵AD=5，∴EF=5，∴PF+PE=5．题十六：PF+PG =AB．详解：PF+PG=AB．理由如下：连接PE，则S△BEP+S△DEP=S△BED，即12BE•PF+12DE•PG =12DE•AB．又∵BE=DE，∴12DE•PF+12DE•PG=12DE•AB，即12DE(PF+PG)=12DE•AB，∴PF+PG =AB．。
(完整版)八年级矩形培优练习
第十一讲：矩形要点一、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.要点二、矩形的性质矩形的性质包括四个方面：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.要点三、矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.【典型例题】考点一、矩形的性质例题1、如图所示，已知四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；(2)PA＝PQ．【变式】如图所示，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，点A落'=；在点A'处．(1)求证：B E BF、、之间的关系。
(2)设AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜想a b c例题2、如图所示，矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，求∠BOE的度数．考点 二、矩形的判定例题3、如图所示，在△ABC 中，点O 是AC 边上一动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ．(1)试证明EO ＝FO ；(2)当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？简要说明理由．【变式】已知YABCD 的对角线AC ，BD 相交于O ，△ABO 是等边三角形，AB ＝4cm ，求这个平行四边形的面积.考点 三、直角三角形斜边上的中线的性质例题4、如图所示，BD 、CE 是△ABC 两边上的高，G 、F 分别是BC 、DE 的中点．求证：FG ⊥DE ．【变式】如图，∠MON ＝90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB ＝2，BC ＝1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为（ ） A.21 B.5 C.145 D.52考点集训一.选择题 1.下列关于矩形的说法中正确的是( )A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相平分的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直且平分D ．矩形的对角线相等且互相平分2. 矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm 和3cm 两部分，则它的面积为（ ）A.32cmB. 42cmC. 122cmD. 42cm 或122cm3. 如图，矩形ABCG(AB ＜BC)与矩形CDEF 全等，点B 、C 、D 在同一条直线上，∠APE 的顶点P 在线段BD 上移动，使∠APE 为直角的点P 的个数是( )3题图 4题图 5题图A.0B.1C.2D.34. 把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM 、FM 为折痕,折叠后的C 点落在B ′M 或B ′M 的延长线上,那么∠EMF 的度数是( )A.85°B.90°C.95°D.100°5．如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CDA ＝90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE ＝( )A.2B.3C.22D.326. 矩形的面积为1202cm ，周长为46cm ，则它的对角线长为（ ）A.15cmB.16cmC.17cmD.18cm二.填空题7．如图，四边形ABCD 是一张矩形纸片，AD ＝2AB ，若沿过点D 的折痕DE 将A 角翻折，使点A 落在BC 上的A 1处，则∠EA 1B ＝____°7题图 8题图8．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点E 、F ，连结CE ，则CE 的长______．9. 如图所示，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOD ＝120°，AB ＝4，则矩形对角线AC 长为________cm ．9题图 10题图10.如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为_______.cm11.如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是边AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF的值为_________.12.如图所示，将矩形ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F处，若△AFD的周长为9，△ECF的周长为3，则矩形ABCD的周长为_____.三.解答题13．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交BE的延长线于F，连接CF．（1）线段AF与CD相等吗？为什么？（2）如果AB＝AC，试猜测四边形ADCF是怎样的特殊四边形，并说明理由．14.已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若OA＝12BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？说明理由．15.已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED．求证：AE平分∠BAD．。
(完整版)矩形练习题及答案
矩形课后练习1、矩形具有而平行四边形不具有的性质是()A．内角和为360°B．对角线相等C．对角相等D．相邻两角互补2、平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质()A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线平分一组对角D．对角线互相垂直3、下列关于矩形的说法中正确的是()A．矩形的对角线互相垂直且平分B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分的四边形是矩形下列说法正确的有()①两条对角线相等的四边形是矩形；②有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形；③一个角为直角，两条对角线相等的四边形是矩形；④四个角都相等的四边形是矩形；⑤对角线相等且垂直的四边形是矩形；⑥有一个角是直角的平行四边形是矩形．A．1个B．2个C．3个D．4个4、如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠DAE：∠BAE=1：2，试求∠CAE的度数．5、如图，已知矩形ABCD中，AC与BD相交于O，DE平分∠ADC交BC于E，∠BDE=15°，试求∠COE的度数．6、Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM 的最小值为．7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2，E是AB边的中点，F是AC边的中点，D是BC边上一动点，则△EFD的周长最小值是．8、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．9、(1)线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．10、如图，以△ABC的各边向同侧作正△ABD，正△BCF，正△ACE．(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；(2)当∠BAC=______时，四边形AEFD是矩形；(3)当∠BAC=______时，以A、E、F、D为顶点的四边形不存在．11、如图，已知平行四边形ABCD，延长AD到E，使DE=AD，连接BE与DC交于O点．(1)求证：△BOC≌△EOD；(2)当∠A=12∠EOC时，连接BD、CE，求证：四边形BCED为矩形．12、已知四边形ABCD中，AB=CD，BC=DA，对角线AC、BD交于点O．M是四边形ABCD外的一点，AM⊥MC，BM⊥MD．试问：四边形ABCD是什么四边形，并证明你的结论．13、如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，F是AC中点，AN是△ABC的外角∠MAC的角平分线，延长DF交AN于点E．(1)判断四边形ABDE的形状，并说明理由；(2)问：线段CE与线段AD有什么关系？请说明你的理由．14、已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．15、如图，矩形纸片ABCD的宽AD=5，现将矩形纸片ABCD沿QG折叠，使点C落到点R的位置，点P是QG上的一点，PE⊥QR于E，PF⊥AB于F，求PE+PF．16、如图，已知，E是矩形ABCD边AD上一点，且BE=ED，P是对角线BD上任一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G，你知道PF+PG与AB有什么关系吗？并证明你的结论．矩形课后练习参考答案题一： B ．详解：A ．内角和为360°矩形与平行四边形都具有，故此选项错误；B ．对角线相等只有矩形具有，而平行四边形不具有，故此选项正确；C ．对角相等矩形与平行四边形都具有，故此选项错误；D ．相邻两角互补矩形与平行四边形都具有，故此选项错误．故选B ． 题二： B ．详解：因为平行四边形的对角线互相平分、正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分．故选B ．题三： B ．详解：A ．矩形的对角线互相平分，且相等，但不一定互相垂直，本选项错误；B ．矩形的对角线相等且互相平分，本选项正确；C ．对角线相等的四边形不一定为矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，本选项错误；D ．对角线互相平分的四边形为平行四边形，不一定为矩形，本选项错误．故选B ．题四： C ．详解：两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形，故①③⑤错；有一个角为直角的平行四边形为矩形，故②④⑥正确．故选C ． 题五： 30°．详解：∵∠DAE ：∠BAE =1：2，∠DAB =90°，∴∠DAE =30°，∠BAE =60°，∴∠DBA =90°-∠BAE =90°-60°=30°，∵OA =OB ，∴∠OAB =∠OBA =30°，∴∠CAE =∠BAE -∠OAB =60°-30°=30°．题六： 75°．详解：∵四边形ABCD 是矩形，DE 平分∠ADC ，∴∠CDE =∠CED = 45°，∴EC =DC ，又∵∠BDE =15°，∴∠CDO =60°，又∵矩形的对角线互相平分且相等，∴OD =OC ，∴△OCD 是等边三角形，∴∠DCO =60°，∠OCB =90°-∠DCO =30°，∵DE 平分∠ADC ，∠ECD =90°，∠CDE =∠CED = 45°，∴CD =CE =CO ，∴∠COE =∠CEO ；∴∠COE =(180°-30°)÷2=75°．题七： 65．详解：由题意知，四边形AFPE 是矩形，∵点M 是矩形对角线EF 的中点，则延长AM 应过点P ，∴当AP 为Rt △ABC 的斜边上的高时，即AP ⊥BC 时，AM 有最小值，此时AM =12AP ，由勾股定理知BC =22AB AC +=5，∵S △ABC =12AB •AC =12BC •AP ，∴AP =345⨯=125，∴AM =12AP =65． 题八： 1+13．详解：作点F 关于BC 的对称点G ，连接EG ，交BC 于D 点，D 点即为所求，∵E 是AB 边的中点，F 是AC 边的中点，∴EF 为△ABC 的中位线，∵BC =2，∴EF =12BC =12×2=1；∵EF 为△ABC 的中位线，∴EF ∥BC ，∴∠EFG =∠C =90°，又∵∠ABC =60°，BC =2，FG =AC =23，EG =22EF FG +=13，∴DE +FE +DF =EG +EF =1+13．题九： 见详解．详解：(1)BD =CD ．理由：∵AF ∥BC ，∴∠AFE =∠DCE ，∵E 是AD 的中点， ∴AE =DE ，在△AEF 和△DEC 中，∠AFE =∠DCE ，∠AEF =∠DEC ，AE =DE ，∴△AEF ≌△DEC (AAS)，∴AF =CD ，∵AF =BD ，∴BD =CD ；(2)当△ABC 满足：AB =AC 时，四边形AFBD 是矩形．理由：∵AF ∥BD ，AF =BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形，∵AB =AC ，BD =CD ，∴∠ADB =90°，∴平行四边形AFBD 是矩形． 题十： 见详解．详解：(1)∵△BCF 和△ACE 是等边三角形，∴AC =CE ，BC =CF ，∠ECA =∠BCF =60°，∴∠ECA -∠FCA =∠BCF -∠FCA ，即∠ACB =∠ECF ，∵在△ACB 和△ECF 中，AC =CE ，∠ACB =∠ECF ，BC =CF ，∴△ACB ≌△ECF (SAS)，∴EF =AB ，∵三角形ABD 是等边三角形，∴AB =AD ，∴EF =AD =AB ，同理FD =AE =AC ，即EF =AD ，DF =AE ，∴四边形AEFD 是平行四边形；(2)当∠BAC =150°时，平行四边形AEFD 是矩形，理由：∵△ADB 和△ACE 是等边三角形，∴∠DAB =∠EAC =60°，∵∠BAC =150°，∴∠DAE =360°-60°-60°-150°=90°，∵由(1)知：四边形AEFD 是平行四边形，∴平行四边形AEFD 是矩形．(3)当∠BAC =60°时，以A 、E 、F 、D 为顶点的四边形不存在，理由如下：∵∠DAB =∠EAC =60°，∠BAC =60°，∴∠DAE =60°+60°+60°=180°，∴D 、A 、E 三点共线，即边DA 、AE 在一条直线上，∴当∠BAC =60°时，以A 、E 、F 、D 为顶点的四边形不存在．题十一： 见详解．详解：(1)∵在平行四边形ABCD 中，AD =BC ，AD ∥BC ，∴∠EDO =∠BCO ，∠DEO =∠CBO ，∵DE =AD ，∴DE =BC ， 在△BOC 和△EOD 中，∠OBC =∠OED ，BC =DE ，∠OCB =∠ODE ，∴△BOC ≌△EOD (ASA)；(2)∵DE =BC ，DE ∥BC ，∴四边形BCED 是平行四边形， 在平行四边形ABCD 中，AB ∥DC ，∴∠A =∠ODE ，∵∠A =12∠EOC ，∴∠ODE =12∠EOC ， ∵∠ODE +∠OED =∠EOC ，∴∠ODE =∠OED ，∴OE =OD ，∵平行四边形BCED 中，CD =2OD ，B E =2OE ，∴CD =BE ，∴平行四边形BCED 为矩形．题十二：见详解．详解：矩形．理由：连接OM，∵AB=CD，BC=DA，∴四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AM⊥MC，BM⊥MD，∴∠AMC=∠BMD=90°，∴OM=12BD，OM=12AC，∴BD=AC，∴四边形ABCD是矩形．题十三：见详解．详解：(1)四边形ABDE是平行四边形，理由：∵AB=AC，D是BC中点，F是AC中点，∴DF∥AB，∵AB=AC，D是BC 中点，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥DC，∵AN是△ABC的外角∠MAC的角平分线，∴∠MAE=∠CAE，∴∠NAD=90°，∴AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形；(2)CE∥AD，CE=AD；理由：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=12∠MAC，∵∠MAC=∠B+∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠MAE=∠B，∴AN∥BC，∵AB=AC，点D为BC中点，∴AD⊥BC，∵CE⊥AN，∴AD∥CE，∴四边形ADCE为平行四边形，∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°，∴四边形ADCE为矩形，∴CE∥AD，CE=AD．题十四：见详解．详解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠4=∠C，AD=CB，AB=CD，∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE=12 AB，CF=12CD．∴AE=CF，在△AED与△CBF中，AD=CB，∠4=∠C，AE=CF，∴△ADE≌△CBF(SAS)，(2)当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵AG∥BD，∴四边形AGBD是平行四边形，∵四边形BEDF是菱形，∴DE=BE，∵AE=BE，∴AE=BE=DE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴2∠2+2∠3=180°，∴∠2+∠3=90°，即∠ADB=90°，∴四边形AGBD是矩形．题十五：5．详解：把折叠的图展开，如图所示：EF=AD，∵AD=5，∴EF=5，∴PF+PE=5．题十六：PF+PG =AB．详解：PF+PG=AB．理由如下：连接PE，则S△BEP+S△DEP=S△BED，即12BE•PF+12DE•PG =12DE•AB．又∵BE=DE，∴12DE•PF+12DE•PG=12DE•AB，即12DE(PF+PG)=12DE•AB，∴PF+PG =AB．。
人教版 八年级数学下册 18.2.1 矩形 培优练习(含答案)
人教版 八年级数学下册 18.2.1 矩形 培优练习（含答案）1.如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOB =60°，AD =2，则AC 的长是（ ）A ．2B ．4C ．23D ．432.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）A ．当AB=BC 时，它是菱形B ．当AC ⊥BD 时，它是菱形 C ．当∠ABC=90°时，它是矩形D ．当AC=BD 时，它是正方形3.下列命题是假命题的是（ ） A.不在同一直线上的三点确定一个圆 B.矩形的对角线互相垂直平分 C.正六边形的内角和是720° D.角平分线上的点到角两边的距离相等4.矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm ，较短边的长为（ ）cm ． A.12 B.10 C.7.5 D.55.如图，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到E ，使DE=AD ，连接EB ，EC ，DB 。
添加一个条件，不能使四边形DBCE 成为矩形的是（ ）A.AB=BEB.BE ⊥DCC.∠ADB=90°D.CE ⊥DE 6.下列命题是假命题的是（ ）A ．四个角相等的四边形是矩形B ．对角线相等的平行四边形是矩形C ．对角线垂直的四边形是菱形D ．对角线垂直的平行四边形是菱形 7.以下四个命题正确的是（ ） A. 任意三点可以确定一个圆 B. 菱形对角线相等C. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半D. 平行四边形的四条边相等8.如图，四边形ABCD 是矩形，AB=6cm ，BC=8cm ，把矩形沿直线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 与AD 相交于点F ，连接AE.下列结论中结论正确的个数有 ( ) ①△FBD 是等腰三角形； ②四边形ABDE 是等腰梯形； ③图中有6对全等三角形；BC O DAOD C B A A B C DEF EDA④四边形BCDF的周长为532；⑤AE的长为145cm.A．2个B．3个 C.4个D．5个9.如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )A．4.8 B．5 C．6 D．7.2二、填空题（共有7道小题）10.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOD=120°，AB=4，则AC的长为。
中考数学复习《矩形》专项提升训练(附答案)
中考数学复习《矩形》专项提升训练(附答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.如图，将矩形ABCD沿AE折叠，若∠BAD′＝30°，则∠AED′等于( )A.30°B.45°C.60°D.75°2.矩形的对角线一定具有的性质是( )A.互相垂直B.互相垂直且相等C.相等D.互相垂直平分3.一个矩形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为(﹣1，﹣1)，(﹣1，2)，(3，﹣1)，则第四个顶点的坐标为( )A.(2，2)B.(3，2)C.(3，3)D.(2，3)4.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.已知矩形ABCD的对角线AC＝8 cm，∠AOD＝120°，则AB的长为( )A. 3 cmB.2 cmC.2 3 cmD.4 cm5.如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地.根据图中数据，计算耕地的面积为( )A.600m2B.551m2C.550m2D.500m26.如图，矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥EC，EF＝EC，DE＝2，矩形周长为16，则AE长是( )A.3B.4C.5D.77.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是( )A.测量对角线是否相互平分B.测量两组对边是否分别相等C.测量一组对角是否为直角D.测量四边形的其中三个角是否都为直角8.如图，已知▱ABCD的四个内角的角平分线分别交于E，F，G，H.试说明四边形EFGH 的形状是( ).A.平行四边形B.矩形C.任意四边形D.不能判断其形状9.已知,线段AB，BC，∠ABC＝90°.求作：矩形ABCD.以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业，下列说法正确的是( )A.两人都对B.两人都不对C.甲对，乙不对D.甲不对，乙对)10.如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF 中点，连接PB，则PB的最小值是( )A.2B.4C. 2D.2 2二、填空题11.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝6cm，BC＝8cm，则EF＝cm.12.如图，▱ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E、F不重合，若△ACD 的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为．13.如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF＝60°，则∠AEF＝______．14.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为点O，E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点，若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为____.15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为．16.如图，矩形ABCD中，AB=7cm,BC=3cm,P、Q两点分别从A、B两点同时出发，沿矩形ABCD的边逆时针运动，速度均为1cm/s，当点P到达B点时两点同时停止运动，若PQ长度为5cm时，运动时间为s．三、解答题17.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°．(1)求证：四边形ABCD是矩形．(2)若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，则∠BDF的度数是多少？18.如图，在矩形ABCD中，AD＝12，AB＝7，DF平分∠ADC，AF⊥EF.(1)求证：AF＝EF；(2)求EF长.19.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8.将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处.(1)求EF的长；(2)求四边形ABCE的面积.20.如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE＝CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．(1)求证：OE＝OF；(2)若BC＝23，求AB的长．21.如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF.(1)求证：D是BC的中点；(2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论.22.如图，在平行四边形ABCD中，AB≠BC，连接AC，AE是∠BAD的平分线，交边DC的延长线于点F．(1)证明：CE＝CF；(2)若∠B＝60°，BC＝2AB，试判断四边形ABFC的形状，并说明理由．23.如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，连接BE，F为BE中点，且AF＝BF(1)求证：四边形ABCD为矩形；＝5，CD＝4，求CG．(2)过点F作FG⊥BE，垂足为F，交BC于点G，若BE＝BC，S△BFG参考答案1.C2.C.3.B4.D.5.B.6.A7.D.8.B9.A10.D.11.答案为：2.5.12.答案为：3．13.答案为：75°.14.答案为：12；15.答案为：2.4.16.答案为: 3或717.证明：(1)∵AO＝CO，BO＝DO∴四边形ABCD是平行四边形∴∠ABC＝∠ADC∵∠ABC＋∠ADC＝180°∴∠ABC＝∠ADC＝90°∴四边形ABCD是矩形；(2)解：∵∠ADC＝90°，∠ADF：∠FDC＝3：2 ∴∠FDC＝36°∵DF⊥AC∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°∵四边形ABCD是矩形∴OC＝OD∴∠ODC＝54°∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．18.证明：(1)∵四边形ABCD是矩形∴∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝DC＝7，BC＝AD＝12 ∴∠BAF＋∠AFB＝90°∵DF平分∠ADC∴∠ADF＝∠CDF＝45°∴△DCF是等腰直角三角形∴FC＝DC＝7∴AB＝FC∵AF⊥EF∴∠AFE＝90°∴∠AFB＋∠EFC＝90°∴∠BAF＝∠EFC在△ABF和△FCE中∠BAF＝∠EFC；AB＝FC；∠B＝∠C∴△ABF≌△FCE(ASA)∴EF＝AF；(2)解：BF＝BC﹣FC＝12﹣7＝5在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF＝＝，则EF＝AF＝.19.解：(1)设EF＝x依题意知：△CDE≌△CFE∴DE＝EF＝x，CF＝CD＝6.∵在Rt△ACD中，AC＝10∴AF＝AC﹣CF＝4，AE＝AD﹣DE＝8﹣x.在Rt△AEF中，有AE2＝AF2＋EF2即(8﹣x)2＝42＋x2解得x＝3，即：EF＝3.(2)由(1)知：AE＝8﹣3＝5∴S＝(5＋8)×6÷2＝39.梯形ABCE20.证明：(1)在矩形ABCD中，AB∥CD∴∠BAC＝∠FCO在△AOE和△COF中∴△AOE≌△COF(AAS)∴OE＝OF；(2)解：如图，连接OB∵BE＝BF，OE＝OF∴BO⊥EF∴在Rt△BEO中，∠BEF＋∠ABO＝90°由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA＝OB＝OC ∴∠BAC＝∠ABO又∵∠BEF＝2∠BAC，即2∠BAC＋∠BAC＝90°，解得∠BAC＝30°∵BC＝2 3∴AC＝2BC＝4 3∴AB＝6．21.(1)证明：∵AF∥BC∴∠AFE＝∠DCE∵点E为AD的中点∴AE＝DE在△AEF和△DEC中∴△AEF≌△DEC(AAS)∴AF＝CD∵AF＝BD∴CD＝BD∴D是BC的中点；(2)若AB＝AC，则四边形AFBD是矩形.理由如下：∵△AEF≌△DEC∴AF＝CD∵AF＝BD∴CD＝BD；∵AF∥BD，AF＝BD∴四边形AFBD是平行四边形∵AB＝AC，BD＝CD∴∠ADB＝90°∴平行四边形AFBD是矩形.22.证明：(1)如图(1)∵AE是∠BAD的平分线∴∠BAF＝∠DAF∵在平行四边形ABCD中∴AB∥DF，AD∥BC∴∠BAF＝∠F，∠DAF＝∠CEF∴∠F＝∠DAF＝∠CEF∴CE＝FC；(2)解：四边形ABFC是矩形理由：如图(2)，∵∠B＝60°，AD∥BC∴∠BAC＝120°∵∠BAF＝∠DAF∴∠BAF＝60°，则△ABE是等边三角形可得AB＝BE＝AE，∠BEA＝∠AFC＝60°∵BC＝2AB∴AE＝BE＝EC∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°在△ABE和△FCE中∵∴△ABE≌△FCE(ASA)∴AB＝FC又∵AB∥FC∴四边形ABFC是平行四边形再由∠BAC＝90°，故四边形ABFC是矩形．23.证明：(1)∵F为BE中点，AF＝BF∴AF＝BF＝EF∴∠BAF＝∠ABF，∠FAE＝∠AEF在△ABE中，∠BAF＋∠ABF＋∠FAE＋∠AEF＝180°∴∠BAF＋∠FAE＝90°又四边形ABCD为平行四边形∴四边形ABCD为矩形.(2)解：连接EG，过点E作EH⊥BC，垂足为H∵F为BE的中点，FG⊥BE∴BG＝GE＝5，CD＝4∵S△BFG＝10＝0.5BGEH∴S△BGE∴BG＝GE＝5在Rt△EGH中，GH＝3在Rt△BEH中，BE＝45＝BC∴CG＝BC﹣BG＝45﹣5．第11 页共11 页。
矩形专题培优训练
矩形专题培优训练引言矩形作为一种基本的几何图形，在数学和应用领域中有着广泛的应用。
熟练掌握矩形的性质和应用是学生数学素养提高的关键之一。
为了帮助学生夯实矩形的基础知识，本文将介绍矩形的定义、性质、判定方法以及应用，并提供相关题目进行培优训练。
1. 矩形的定义矩形是一种特殊的四边形，其特点是四条边两两相等且相邻两边互相垂直。
换句话说，矩形是一种具有四个直角的四边形。
2. 矩形的性质矩形具有以下性质：•四条边两两相等且相邻两边互相垂直；•对角线相等，且互相平分；•对角线互相垂直；•任意一条高将矩形分成两个全等的直角三角形；•矩形的面积等于长乘以宽。
3. 矩形的判定方法判定一个四边形是否为矩形可以根据以下方法进行：•判断四条边是否两两相等；•判断相邻两边是否互相垂直。
只有当上述两个条件都满足时，四边形才能被判定为矩形。
4. 矩形的应用4.1. 建筑设计矩形在建筑设计中有着广泛的应用。
矩形的稳定性使其成为常用的建筑基本单位，如墙壁、门窗等。
4.2. 计算面积由于矩形的面积可以简单地通过长乘以宽来计算，因此在日常生活中，矩形常被用来计算物体的面积，如家具、地板等。
4.3. 绘制图表矩形可以用来绘制各种图表，如柱状图、折线图等。
矩形的四条边都是直线，使得图表的绘制更加规整美观。
5. 矩形专题培优训练题目1.已知一个四边形的四个顶点依次为A(3,5)、B(9,5)、C(9,9)、D(3,9)，判断该四边形是否为矩形。
2.若一个四边形的对角线互相垂直，且其中一条对角线的长度为6，求另一条对角线的长度。
3.一个矩形的面积是36平方单位，若它的长与宽的比为3：2，求其长和宽。
4.在一个矩形的两个相邻顶点上，分别有两只蚂蚁开始移动，它们同时以相同的速度沿着矩形边界行走，两只蚂蚁行走的路径互相垂直，当两只蚂蚁行走一圈后，它们相遇在矩形的中点上，请问矩形的长和宽的比是多少？矩形作为一种基本的几何图形，在数学和应用领域中具有重要的地位。
第十二讲 矩形性质与判定培优竞赛辅导含答案
A B CDE FA BC D Q P 第十二讲 矩形性质与判定培优竞赛辅导一、 知识梳理1、矩形的定义： ．2、矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质● 对称性： ． ● 矩形的性质定理①： ．● 矩形的性质定理②： ． 推论：①直角三角形斜边上的中线等于 ．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，则AB 边上的中线CD ＝______． ②直角三角形中， 的角所对的直角边等于 ． 3、矩形的判定 判定①： 是矩形．判定②： 是矩形． 判定③： 是矩形．二、经典例题<矩形的性质>【例1】如图，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点P 在矩形上方，点Q 在矩形内．求证：P A ＝PQ ．【变式题组】1、如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE ＝AD ，DF ⊥AE 与F ，连接DE ．求证：DF ＝DC ．2、已知：如图，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，BE ∶ED ＝1∶3，从两条对角线的交点O 作OF ⊥AD 于F ，且OF ＝2，求BD 的长．【例2】已知：如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，∠AEC ＝90°．求证：△BED 是直角三角形．A B C E F D【变式题组】1、矩形ABCD ，E 是CB 延长线上一点，且CE ＝CA ，F 是AE 的中点．求证：DF ⊥BF ．2、矩形ABCD 中，点H 在对角线BD 上，HC ⊥BD ，HC 的延长线交∠BAD 的平分线于点E ，说明CE 与BD 的数量关系。
<矩形的判定> 【例3】已知：如图，在□ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是∠DAB 、∠ABC 、∠BCD 、∠CDA 的平分线，AQ 与BN 相交于P ，CN 与DQ 相交于M ，试说明四边形MNPQ 是矩形．【变式题组】1、 如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF BD =，连结BF ． ⑴ 求证：BD CD =．⑵ 如果AB AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．2、如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F 。
矩形的性质与判定培优含答案
201705矩形的性质和判定培优一、选择题（共12小题；共60分）1. 如图所示，在中，，为边上一动点，于点，于点，动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的值大小变化情况是A. 一直增大B. 一直减小C. 先减小后增大D. 先增大后减小2. 如图，是矩形的边上一个动点，矩形的两条边，的长分别为和，那么点到矩形的两条对角线和的距离之和是A. B. C. D. 不确定3. 如图，在矩形中，，，平分，过点作于，延长、交于点，下列结论中：①；②；③；④；正确的个数为A. 个B. 个C. 个D. 个4. 如图，在中，于点，于点，为的中点，，，则的周长是A. B. C. D.5. 如图所示，中，，是上一点，且，是上任一点，于点，于点，下列结论：①是等腰三角形；②；③；④．其中结论正确的序号是A. 只有①②③B. 只有①③④C. 只有②④D. ①②③④6. 如图，，矩形的顶点，分别在，上，当点在边上运动时，点随之在边上运动．若矩形的形状保持不变，其中，，则运动过程中点到点的最大距离为A. B. C. D.7. 如图，四边形中，，，为上一点，分别以，为折痕将两个角（，）向内折起，点，恰好落在边的点处．若，，则的值是A. B. C. D.8. 如图，在直角坐标系中，将矩形沿对折，使点落在处，已知，，则点的坐标是 ( )A. B. C. D.9. 已知：如图，在正方形外取一点，连接，，．过点作的垂线交于点．若，．下列结论：①；②点到直线的距离为；③；④；⑤正方形．其中正确结论的序号是 ( )A. ①③④B. ①②⑤C. ③④⑤D. ①③⑤10. 如图，正方形中，点分别在上，是等边三角形，连接交于，下列结论：①，②，③垂直平分，④，⑤．其中正确结论有个．A. B. C. D.11. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的正半轴上，顶点的坐标为，点的坐标为，点为斜边上的一动点，则的最小值为 ( )A. B. C. D.12. 如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有 ( )A. 个B. 个C. 个D. 个二、填空题（共9小题；共45分）13. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为．14. 如图，在中，，，，点，分别在，上，沿将翻折，使顶点的对应点落在边上，若，则等于．15. 如图，矩形中，，，是边上的动点，于点，于点，则的值为：．16. 如图，已知中，，，，将绕直角顶点顺时针旋转得到，若点是的中点，连接，则．17. 如图，在矩形中，为中点，过点且分别交于点，交于点，点是中点且，给出以下结论：①；②是等边三角形；③；④其中正确的是．（把所有正确结论的序号都选上）18. 如图，折叠矩形纸片，得折痕，再折叠使边与对角线重合，得折痕．若，，则．19. 在平面直角坐标系中，已知， . 为轴上的动点，以为边构造，使点在轴上，，为的中点，则的最小值为．20. 如图，正方形的边长是，点在边上，，点是边上不与点，重合的一个动点，把沿折叠，点落在处．若恰为等腰三角形，则的长为．21. 如图，四边形是矩形纸片，．对折矩形纸片，使与重合，折痕为；展平后再过点折叠矩形纸片，使点落在上的点，折痕与相交于点；再次展平，连接，，延长交于点．有如下结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤为线段上一动点，是的中点，则的最小值是．其中正确结论的序号是．三、解答题（共16小题；共208分）22. 如图所示，已知正方形，是延长线上一点，是延长线上一点，连接，，恰有，将线段绕点顺时针旋转得，过点作的垂线，交于点，交的延长线于点，连接．（1）求证：．（2）试猜想四边形是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以说明．23. 【探究发现】按图中方式将大小不同的两个正方形放在一起，分别求出阴影部分（）的面积．（单位：厘米，阴影部分的面积依次用，，表示）（1）；；．（2）上题中，重新设定正方形的边长，，并再次分别求出阴影部分（）的面积：；；．（3）归纳总结你的发现：．（4）【推理反思】按（图甲）中方式将大小不同的两个正方形放在一起，设小正方形的边长是，大正方形的边长是，求：阴影部分（）的面积．（5）【应用拓展】（1）按（图甲）方式将大小不同的两个正方形放在一起，若大正方形的面积是，则图甲中阴影三角形的面积是．（2）如图乙，是线段上任意一点，分别以，为边在线段同侧构造等边三角形和等边三角形，若的面积是，则图乙中阴影三角形的面积是．24. 如图，在平行四边形中，，于点，交于点．若，求的大小．25. 如图，在中，是高线，是中线，，于点，（1）求证：是的中点．（2）．26. 如图所示，在平行四边形中，，点是的中点，于，如果，求的度数．27. 在平行四边形中，的平分线交直线于点，交延长线于点，连接．（1）如图，若，为的中点，连接，，，①求证：②求证：；（2）如图，若，将线段绕点顺时针旋转至，连接，，判断的形状，并说明理由．28. 在矩形和中，，．（1）如图1，当点在对角线上，点在边上时，连接，取的中点，连接，，则与的数量关系是，；（2）如图2，将图 1 中的绕点旋转，使点在的延长线上，（1）中的其他条件不变．①中与的数量关系仍然成立吗?请证明你的结论；②求的度数．29. 请同学们仔细阅读以下内容：数学课上，老师向同学们介绍了直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图 1，在中，，点是边的中点，则．请同学们借助以上知识点探究下面问题：如图2，，，．绕着边的中点旋转，，分别交线段于点，．（1）观察：（i）如图3、图4，当或时，（填“ ”，“ ”或“ ”）．（ii）如图 5，当时，（只填“ ”或“ ”）．（2）猜想：如图2，当时，若点是点关于直线的对称点，则，证明你所得到的结论．（3）如果，请直接写出的度数．30. 如图①，在中，是的中点，直线绕顶点旋转．若点，在直线的异侧，直线于点，直线于点，连接， .（1）延长交于点（如图②）．求证：①② .（2）若直线绕点旋转到如图③所示的位置，点，在直线的同侧，其他条件不变，此时还成立吗?若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）若直线绕点旋转到与边平行的位置时，其他条件不变，请直接判断四边形的形状；此时还成立吗（不必说明理由）?31. 在中，，分别以和为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，是边中点，连接和，（1）如图 1 所示，若，则和的数量关系是；（2）如图2 所示，若其他条件不变，则和具有怎样的数量和位置关系?请给出证明过程；（3）在任意中，仍分别以和为斜边，向的内侧作等腰直角三角形，是的中点，连接和，请在图 3 中补全图形，并直接判断的形状．32. 如图1，已知是等腰直角三角形，，点是的中点．作正方形，使点，分别在和上，连接，．（1）试猜想线段和的数量关系是；（2）将正方形绕点逆时针方向旋转（），（i）判断（1）中的结论是否仍然成立?请利用图 2 证明你的结论；（ii）若，当取最大值时，求的值．33. 已知：在与中，，，．（1）如图1，点，分别在边，上，连接，，点为线段的中点，连接，则线段与之间的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，将图1 中的绕点逆时针旋转，旋转角为（）．连接，，点为线段的中点，连接．请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）如图 3，将图 1 中的绕点逆时针旋转到使的一边恰好与的边在同一条直线上时，点落在上，点为线段的中点．请你判断（1）中线段与之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明．34. 如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，连接，．（1）当点在何处时，的值最小；（2）当点在何处时，的值最小，并说明理由；（3）当的最小值为时，求正方形的边长．35. 如图，将矩形沿直线折叠，使点与点重合，折痕交于点，于点，连接，．（1）求证：为等腰三角形；（2）设，，．请写出一个，，三者之间的数量关系式；（3）若，，求重叠部分的面积和的长．36. 定义：有一个内角为，且对角线相等的四边形称为准矩形．（1）①如图1，准矩形中，，若，，则；②如图2，直角坐标系中，，，若整点使得四边形是准矩形，则点的坐标是；（整点指横坐标、纵坐标都为整数的点）（2）如图3，正方形中，点，分别是边，上的点，且，求证：四边形是准矩形；（3）已知，准矩形中，，，，当为等腰三角形时，请直接写出这个准矩形的面积是．37. （1）问题提出：如图①，请你过的顶点作一条直线，使得将的面积分成相等的两部分；（2）问题探究如图②，已知矩形，若在边，上分别存在一点，（不含端点），且直线将矩形分成面积相等的两部分，画出图形，并探究和的数量关系，写出证明过程；（3）问题解决如图③，王叔叔家有一块四边形菜地，他打算过点修一条笔直的小路把四边形菜地分成面积相等的两部分，分别种植不同的农作物．已知米，米，．过点是否存在一条直线将四边形的面积平分?若存在，求出平分该四边形面积的线段长；若不存在，请说明理由．答案第一部分1. C 【解析】提示：连接．．2. C 【解析】连接．利用三角形的面积与三角形的面积等于三角形的面积．3. C 【解析】四边形是矩形，.，，..四边形是矩形，，，， .是等边三角形.， .平分，.，...②正确；，，.，.，...③正确；是等边三角形，.四边形是矩形，，， ..，，即 .④正确.4. C 【解析】，为的中点，，，为的中点，，的周长．5. B【解析】在中，，，，，是等腰三角形，故①正确；无法说明，故②错误；连接，则，，故③正确；过点作交的延长线于，则，，，四边形是矩形，，在和中，，，，在中，，即，故④正确．综上所述，正确的结论有①③④．6. A 【解析】如解图，取的中点，连接，，，，当，，三点共线时，点到点的距离最大．，，，，的最大值为．7. A 【解析】分别以，为折痕将两个角（，）向内折起，点，恰好落在边的点处，，，，，，，作于 .，，四边形为矩形，，，在中，，．8. A 9. D 【解析】①，，．又，，（故①正确）；③，．又，，．（故③正确）；②过作，交的延长线于，，，．又③中，，，又，（故②不正确）；④如图，连接，在中，，，又，．，．正方形．（故④不正确）．⑤，，在中，，（故⑤正确）；正方形10. A【解析】四边形是正方形，，．等边三角形，，．．在和中，＝＝（）（故①正确）．，.即（故②正确），，，即 .，垂直平分．（故③正确）．设 .由勾股定理，得，，，...，（故④错误）.，，，（故⑤正确）．综上所述，正确的有个，11. B 【解析】点的坐标为，，点关于对称点的坐标为，的最小值为．12. C 【解析】在矩形中，平分，，是等腰直角三角形，，，，在和中，（），，，，，，故①正确；，（对顶角相等），，，，，，，，故②正确；，，在和中，（），，，故③正确；，，，故④错误；，，不是等边三角形，，即，故⑤错误；综上所述，结论正确的是①②③共个．第二部分13.【解析】在中，，，，.即．又于，于，四边形是矩形..是的中点，．因为的最小值即为直角三角形斜边上的高，即 .的最小值是．14.【解析】，，．，，，四边形为平行四边形，又，四边形为菱形，，又，为等边三角形．，．15.16.【解析】连接．过作，垂足为．由题意可知：．为中点，，，，．，．，．17. ①②④18.【解析】在中，，，.由折叠的性质可得，，， ..设，则， .在中，.解得 .即．19.20. 或【解析】①当时，点与点重合，不符合题意舍去；②当时，；③当时，过作，交于，交于．，，，，，．21. ①④⑤【解析】，，．，，垂直平分．为等边三角形，的最小值为的长，．第三部分22. （1）如图所示，过作于点，四边形为正方形，．，四边形为矩形．．，．．（2）四边形为菱形．，，且．．，，．，．．四边形为正方形，，．在和中，，，又由旋转可得．．，．四边形为菱形．23. （1）；；【解析】四边形正方形四边形正方形四边形正方形（2）；；；【解析】若，四边形正方形四边形正方形四边形正方形（3）正方形（4）四边形四边形（5）；【解析】（1）由推理反思得正方形；（2）和都是等边三角形，，，，，．24. 取的中点，连接．四边形是平行四边形，.．，..．，.，，．，．，.．，．25. （1）连接．因为是高线，所以是直角三角形．因为是边上的中线，所以是斜边上的中线．所以．因为，所以．又因为，所以，即是的中点．（2）因为，所以．因为，所以．因为是的一个外角，所以．所以．26. 联结并延长，交的延长线于点，平行四边形，，，．点是的中点，．在和中，，，．，，即．，，．于，即且，，，．27. （1）①平行四边形中，，四边形为矩形.平分，，．又，，，．又，．．②，．在等腰直角三角形中，为中点，，．．在和中，，.（2）是等边三角形．理由：连接，．绕点顺时针旋转至，是等边三角形.， .又四边形是平行四边形，，...是的平分线，.，...在和中，．，．．又，是等边三角形．28. （1）；．（2）仍然成立．分别延长，交于点，如图．四边形是矩形，．，．点在的延长线上，．．是的中点，．在和中，．．在中，．即．②分别延长，交于点，如图 4．，，．点在直线上，，．在和中，．．，．．，．．29. （1）（i）；（ii）（2）证明：连接．点是点关于直线的对称点，，，．中，是的中点，．，，，，．，在和中，，．，．（3）．【解析】，，．，，．30. （1）①，，.，.是的中点，.又，（）．②，，.在中，，.（2）仍然成立．证明如下：延长与的延长线交于点 .，，，，，.是的中点，.又，．，.在中，，.（3）四边形是矩形，仍然成立．31. （1）【解析】，为的中点，，．和为等腰直角三角形，，，，，．（2）如图，作，，垂足分别为，．因为，分别是等腰直角三角形和等腰直角三角形斜边上的高，所以，分别是，的中点．是的中点，，是的中位线．，，，．，．．．，分别是直角三角形和直角三角形，斜边上的中线，，．，．．，，，，，，，．（3）如图所示，是等腰直角三角形．【解析】过点作，垂足为，过点作垂足为，连接，，为中点，为中点，，．，，．．．．是等腰直角三角形．32. （1）（2）（i）成立．以下给出证明：如图，连接，在中，为斜边中点，，，．四边形为正方形，，且，，．在和中，，．（ii）由（1）可得，当取得最大值时，取得最大值．当旋转角为时，，最大值为．如图，此时．33. （1）；（2）（1）的两个结论仍然成立．证明：如图，延长到，使，连接．为中点，为中点，为的中位线．．，．，，．．．为的中位线，．．，．，．即．（3）（1）中线段与之间的数量关系没有发生变化．证明：如图，延长交于，连接，过点作于．，，，．，，．．．为的中点，．四边形是矩形．．．34. （1）当点落在的中点时，的值最小．（2）如图，连接，当点位于与的交点处时，的值最小．理由如下：是正方形对角线上一点，．，，，．，，．在上取一点使得，连接．，，，．，，即，是等边三角形．．．根据“两点之间线段最短”，得最短，当点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长．（3）过点作交的延长线于，．设正方形的边长为，则，．在中，，，解得，（舍去负值）．正方形的边长为．35. （1）如图，连接，交于点；由题意得：；四边形为矩形，，，，，为等腰三角形．（2）由折叠的性质可得，；在中，由勾股定理得：，而，，．（3）由（2）得，．又，得．，．过作于．则四边形为矩形．．．．在中，（）．（）．的面积，的长为．36. （1）；，（2）四边形是正方形，，，，，，，，，四边形是准矩形．（3），，【解析】当时，；当时，；当时，．37. （1）如图①，直线即为所求；（2）如图②，直线即为所求；；证明：在矩形中，，，，又，，．（3）存在．如图③，设平分四边形的面积，连接，过点作于点，过点作于点，则．在中，，，，，在中，，，，．，，．在中，，在中，。
(完整版)矩形经典题型(培优提高)
矩形知识归纳定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
性质：1. 矩形的四个角是直角，对边相等2. 矩形的对角线相等3. 矩形所在平面内任意一点到其两对角线端点的平方和相等4. 矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴是任何一组对边中点的连线5. 对边平行且相等6. 对角线互相平分判定：1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形2. 对角线相等的平行四边形是矩形3. 有三个角是直角的四边形是矩形4. 四个内角相等的四边形是矩形5. 关于任何一组对边中点的连线成轴对称图形的平行四边形是矩形6. 对于平行四边形，若存在一点到两对角线端点的距离的平方和相等，则此平行四边形为矩形7. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形8. 对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形例题讲解例1：如图，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE．求证：（1）△ABF≌△DCE；（2）四边形ABCD是矩形．例2：如图，将一矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在B ‘处，AB '交CD 于点E ，已知∠EAC=25°，求∠B 'CE 的度数。
E D CA B'B例3：如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，F 是AB 上一点，EF=ED ，且EF DE .(1)求证：AE 平分∠BAD ．(2)若CE=2，矩形ABCD 的周长为16求BE 与DF 的长．例4：如图，矩形ABCD ，延长CB 到点E ，使CE=CA ，点F 是AE 的中点.求证：BF ⊥DF 。
（提示：连接CF ）A DEF课堂练习一．选择题1.如图，在矩形ABCD中，AE，AF三等分∠BAD，若BE=2，CF=1，则最接近矩形面积的是（）A．13 B．14 C．15 D．162.如图，矩形OABC的顶点A，C在坐标轴上，顶点B的坐标是（4，2），若直线y=mx﹣1恰好将矩形分成面积相等的两部分，则m的值为（）A．1 B．0.5 C．0.75 D．23.如图，矩形ABCD的边AB=5cm，BC=4cm动点P从A点出发，在折线AD﹣DC﹣CB上以1cm/s的速度向B点作匀速运动，则表示△ABP的面积S（cm）与运动时间t（s）之间的函数系的图象是（）A．B．C．D．4.如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取一点E，使AE=AB，则∠EBC的度数为（）A．30°B．15°C．45°D．不能确定5.如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）A．1 B．1.2 C．1.3 D．1.56.已知：如图，在矩形ABCD中，BC=2，AE⊥BD，垂足为E，∠BAE=30°，那么△ECD的面积是（）A．B．C．D．7.如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形，已知地砖的宽为10cm，则每块长方形地砖的面积是（）A．200cm2B．300cm2C．600cm2D．2400cm28.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AB上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于（）A．B．C．D．9.下列各句判定矩形的说法（ 1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（4）有四个角是直角的四边形是矩形；（5）四个角都相等的四边形是矩形；（6）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；是正确有几个（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二．填空题1. 已知矩形的面积为48平方厘米，一条边长为6厘米，那么这个矩形的一条对角线的长是_______.2. 矩形一条边上的中点与对边两个端点的连线互相垂直，已知矩形周长为30厘米，那么矩形的面积为_________.3. 已知矩形两条对角线的一个交角为60°，矩形的短边长为4厘米，则长边为_________，对角线为__________.4. 从矩形的一个顶点作一条对角线的垂线，这条垂线分这条对角线成1:3两部分，则矩形的两条对角线的夹角为__________.5. 已知直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点A （10，0），点C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 是BC 边上的一个动点，当△POD 是等腰三角形时，点P 的坐标为 ．6. 利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是7. 如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P 为AB 边上任一点，过P 分别作PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于F ，则线段EF 的最小值是 ．80cm ①70cm②三．解答题1.已知：如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形。
矩形练习题(培优训练)
矩形练习题(培优训练)
目标
本文档旨在提供一系列矩形练题，帮助学生加深对矩形的理解并提高解题能力。
题目一
已知一矩形的宽度为 $w$，长度为 $l$，面积为 $A$。
请写出矩形的面积 $A$ 的公式。
题目二
已知一矩形的面积为 $A$，长度为 $l$，面积为 $A$ 的两倍。
请写出矩形的宽度 $w$ 的公式。
题目三
已知一矩形的宽度为 $w$，长度为 $l$，宽度比长度小 5，且面积为 30。
请写出矩形的宽度 $w$ 和长度 $l$ 的公式。
题目四
矩形 $A$ 的宽度为 4，长度为 6，矩形 $B$ 的宽度为 3，长度为 8。
请判断矩形 $A$ 的面积是否等于矩形 $B$ 的面积。
题目五
已知一矩形的宽度为 $w$，长度为 $l$，面积为 $A$。
如果将宽度和长度同时放大 2 倍，请写出新矩形的宽度和长度的公式，以及新矩形的面积的公式。
题目六
矩形 $A$ 的宽度为 5 厘米，长度为 10 厘米，矩形 $B$ 的宽度为 4 厘米，长度为 12 厘米。
请判断矩形 $A$ 的面积是否等于矩形$B$ 的面积。
题目七
已知一矩形的宽度和长度之和为 12，且宽度比长度小 2。
请写出矩形的宽度和长度的公式。
总结
本文提供了一系列矩形练习题，涵盖了矩形的面积、宽度和长度的计算。
通过解答这些题目，学生能够加深对矩形的理解，提高
对矩形相关问题的解决能力。
希望这些练习题能为学生的培优训练提供帮助。
人教版 八年级下册 18.2.1 矩形 培优训练(含答案)
人教版 八年级下册 18.2.1 矩形 培优训练（含答案）一、填空题（本大题共8道小题）1. 如图，在矩形ABCD 中，点E F ，分别在边AB CD ，上，BF DE ∥，若12cm 7cm AD AB ==，，且:5:2AE EB =，则阴影部分EBPD 的面积为2. 如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，AE BD ⊥于E ，31DAE BAE ∠∠=∶∶，则EAC ∠=_______．3. 在矩形ABCD 中，点H 为AD 的中点，P 为BC 上任意一点，PE HC ⊥交HC 于点E ，PF BH ⊥交BH 于点F ，当AB BC ，满足条件 时，四边形PEHF 是矩形4. 如图，把矩形ABCD 的对角线AC 分成四段，以每一段为对角线作矩形，对应边与原矩形的边平行，设这四个小矩形的周长和为P ，矩形ABCD 的周长为L ，则P 与L 的关系式5. 如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE AD =，DF AE ⊥，垂足为F .线段DF 与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。
即DF = .(写出一条线段即可)FEAB D EODC BADB E FD C A BEF D CA B6. 如图，有一矩形纸片ABCD ，106AB AD ==，，将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，在将AED ∆以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则CEF ∆的面积为7. 如图，是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示，则该主板的周长为8. 某台球桌为如图所示长方形ABCD ，小球从A 沿45︒角出击，恰好经过5次碰撞到B 处，则:AB BC =二、解答题（本大题共8道小题）9. 如图，在ABC ∆中，点D 是AC 边上的一个动点，过点D 作直线MN BC ∥，若MN 交BCA ∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F（1）求证：DE DF =（2）当点D 运动到何处时，四边形AECF 为矩形？请说明理由！AB DC BAD CB A NMF E D CB A10. 已知，如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是BC 边上的高，AF 是BAC ∠的外角平分线，DE ∥AB 交AF 于E ，试说明四边形ADCE 是矩形．11. 如图，矩形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O ，AE BO ⊥于E ，OF AD ⊥于F ，已知3cm OF =，且:1:3BE ED =，求BD 的长12. 如图所示，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，将Rt ABC ∆绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC ∆点E 在AC 上，再将Rt ABC ∆沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF ∆连接AD ．⑴ 求证：四边形AFCD 是菱形；⑵ 连接BE 并延长交AD 于G 连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？321FE D CA OF EDCB A A B CDG EF13. 如图所示，矩形ABCD 内一点P 到A 、B 、C 的长分别是3、4、5，求PD 的长．14. 已知，矩形ABCD 和点P ，当点P 如图位置时，求证：PBC PAC PCD S S S =+△△△15. 如图在矩形ABCD 中，已知12AD =，5AB =，P 是AD 边上任意一点，PE BD PF AC ⊥⊥，，E 、F 分别是垂足，求PE PF +的值．16. 如图，将矩形ABCD 沿AC 翻折，使点B 落在点E 处，连接DE 、CE ，过点E 作EH AC ⊥，垂足为H ．⑴判断ACED 是什么图形,并加以证明；⑵若8AB =，6AD =．求DE 的长；⑶四边形ACED 中，比较AE EC +与AC EH +的大小．P DCB APAB C D OPA B CD E F人教版 八年级下册 18.2.1 矩形 培优训练-答案一、填空题（本大题共8道小题）1. 【答案】220cm2. 【答案】45︒【解析】∵90DAB DAE BAE ∠=∠+∠=︒∴67.5DAE ∠=︒，22.5BAE ∠=︒∵AO BO =，∴67.522.545EAC ∠=︒-︒=︒．3. 【答案】2BC AB =4. 【答案】P L =.【解析】如图，将四个小矩形的边分别向外平移，正好拼接成矩形ABCD 的四边，所以P L =5. 【答案】DF DC =.【解析】连接DE .∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD =，//AD BC ，90C ∠=.∴ADE AEC ∠=∠.又∵AD AE =，∴ADE AED ∠=∠，∴AED AEC ∠=∠，又∵90DFE C ∠=∠=，∴DEF ∆≌DEC ∆，∴DF DC =.6. 【答案】8DCBA E H【解析】454454AED EC AB AD CEF CF EC ∠=︒=-=∠=︒==，，，，所以可得面积为87. 【答案】88mm8. 【答案】2:5【解析】由图形可知：可推出:2:5AB BC =二、解答题（本大题共8道小题）9. 【答案】⑴证明：ED DC DF DC ==，⑵当D 为AC 的中点时，四边形AECF 为矩形10. 【答案】∵AB AC =，∴2B ∠=∠又∵132B ∠+∠=∠+∠，13∠=∠，∴12∠=∠，∴AF ∥BC又∵DE ∥AB ，∴ABDE 是平行四边形，∴AE BD =∵AB AC =，AD BC ⊥，∴BD DC =∴AE DC =，∴四边形ADCE 是平行四边形又∵90ADC ∠=︒，∴平行四边形ADCE 为矩形本题也可先说明AC ED =，再说明四边形ADCE 是平行四边形11. 【答案】12【解析】因为:1:3BE ED =，且矩形中OB OD OA ==，所以1122OE BO AO ==，因为AE BO ⊥，所以 60AOB ∠=︒，ABO ∆是等边三角形，即BO AB =，由条件易得OF 是ABD ∆的中位线，26cm AB OF ==，所以2212cm BD BO AB === 12. 【答案】⑴ Rt DEC ∆是由Rt ABC ∆绕C 点旋转60︒得到∴AC DC =，60ACB ACD ∠=∠=︒∴ACD ∆是等边三角形∴AD DC AC ==又∵Rt ABF ∆是由Rt ABC ∆沿AB 所在直线翻转180︒得到∴AC AF =，90ABF ABC ∠=∠=︒∴180FBC ∠=︒∴点F 、B 、C 三点共线∴AFC ∆是等边三角形∴AF FC AC ==∴AD DC FC AF ===∴四边形AFCD 是菱形．⑵ 四边形ABCG 是矩形．由⑴可知：ACD ∆是等边三角形，DE AC ⊥于E∴AE EC =，又∵AG BC ∥∴EAG ECB ∠=∠，AGE EBC ∠=∠∴AEG CEB ∆∆≌，∴AG BC =∴四边形ABCG 是平行四边形，而90ABC ∠=︒∴四边形ABCG 是矩形．13. 【答案】【解析】过P 点分别作AD 、AB 、BC 、CD 的垂线，垂足分别为E 、F 、G 、H ，显然AFPE ，EPHD ，FBGP ，PGCH 都是矩形，则2222AP AE EP PF PE =+=+，222PC PG PH =+，222PB PF PG =+，222PD PE PH =+，∴22222222PA PC PE PF PG PH PB PD +=+++=+，∴222222235418PD PA PC PB =+-=+-=，∴PD =另解：如图所示，连接AC 、BD 交于点O ，连接PO ． 因为AO OC =，BO DO =，故2222111224OP PA PC AC =+-（中线定理）， 2222111224OP PB PD BD =+-． 而AC BD =，故2222PA PC PB PD +=+，则PD =14. 【答案】如图，过点P 作PF AD ⊥，分别交AD 、BC 于E ，F 两点∵1111122222PBC S BC PF BC PE BC EF AD PE BC EF =⋅=⋅+⋅=⋅+⋅△ 12PAD ABCD S S =+△矩形，PAC PCD PAD ADC S S S S +=+△△△△ 12PAD ABCD S S =+△矩形，∴PBC PAC PCD S S S =+△△△ 15. 【答案】 6013【解析】法一：作AG BD ⊥于G ，PM AG ⊥于M ，则PE MG = 又易证123∠=∠=∠，从而Rt Rt PAM APF △≌△，PE AB CF DAM PF =，所以PE PF MG AM AG +=+=而12590AD AB BAD ==∠=︒，，，则13BD =．在ABD △中，根据面积公式有1122AB AD BD AG ⋅=⋅， 则512601313AB AD AG BD ⋅⨯===，6013PE PF += 法二：利用面积相等，连接PO 并作AG BD ⊥1,2POD S OD PE ∆=⋅12AOP S AO PF ∆=⋅12AOC S OD AG ∆=⋅，AO OD =， AOD AOP DOP S S S ∆∆∆=+，AG PF PE =+512601313AB AD AG BD ⋅⨯===． 法三：延长OP 过点D 作DM OP ⊥的延长线，垂足为M ，过点D 作DN AC⊥于N ．易证DMP DEP S S ∆∆≌，PM PE =，由矩形DMFN 可知DN MF =，DN PF PE =+60,13AD DC BN AC ⋅==6013PE PF +=．16. 【答案】 ⑴等腰梯形；易证得ACD CEA ∆∆≌，DE AC ∥，结论易得．⑵过点D 作DF AC ⊥，垂足为F ．∵ACED 为等腰梯形 ∴DAF ECH ∠=∠∵AD CE = ∴DAF ∆≌ECH ∆ ∴AF CH = ∵//DE AC ，DF AC ⊥，EH AC ⊥ ∴DE FH =321OP AB C D E FG MPOFG AB CD E N ME D C B AG FOP∵8AB =，6AD = ∴10AC =∵1122ACE S EH AC AE CE ∆=⋅=⋅ ∴245EH =，185CH == ∴181410255DE =-⨯= ⑶由⑵可知，AE EC AC EH ⋅=⋅∵AE CE ⊥ ∴222AE CE AC += ∴22222AE EC AE EC AC AC EH ++⋅=+⋅∴22222()22()AE EC AC AC EH AC AC EH EH AC EH +=+⋅<+⋅+=+ ∴AE EC AC EH +<+。
部编数学八年级下册矩形的性质专项提升训练(重难点培优)【拔尖特训】2023年培优含答案
【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题18.5矩形的性质专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022春•阜平县期末）如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，∠AOB＝40°，则∠ACD的度数为（ ）A．50°B．55°C．65°D．70°【分析】根据矩形的性质可知，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，所以OC＝OD，根据对顶角相等得到∠AOB＝∠COD＝40°，再利用等腰三角形的性质求得∠ACD的度数即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，∴OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠AOB＝40°，∴∠COD＝40°，∴∠OCD＝∠ODC＝70°．故选：D．2．（2022春•喀什地区期末）如图，在矩形ABCD中，∠BOC＝120°，AC＝2，则AB的长为（ ）A．1B．2C．D．【分析】由矩形的性质得出OA＝OB＝1，再证明△AOB是等边三角形，得出AB＝OA即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AC＝2，∴OA＝AC＝1，OB＝BD，AC＝BD，∴OA＝OB＝1，∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝1；故选：A．3．（2022春•覃塘区期末）在矩形ABCD中，若相邻的两边长分别是4和，则对角线所夹的锐角度数是（ ）A．30°B．40°C．45°D．60°【分析】根据矩形的性质得出∠ABC＝90°，根据AB和BC的长求出AC，得出等边三角形AOB，即可求出对角线所夹的锐角度数．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AC＝BD，AC＝2AO，BD＝2BO，∵AB＝4，BC＝4，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝8，∴AO＝BO＝×8＝4，∵AB＝4，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，即对角线所夹的锐角度数是60°．故选：D．4．（2022春•平泉市期末）求证：矩形的两条对角线相等．已知：如图，四边形ABCD为矩形．求证：AC＝BD．以下是排乱的证明过程：①∵BC＝CB②∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB③∵四边形ABCD是矩形④∴AC＝DB⑤∴△ABC≌△DCB证明步骤正确的顺序是（ ）A．①②③⑤④B．③①②⑤④C．①⑤②③④D．③②①⑤④【分析】写出证明过程，由证明过程可以判断顺序．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB，又∵BC＝BC，∴△ABC≌△DCB，∴AC＝BD，故顺序为③②①⑤④．故选：D．5．（2022春•海口期末）如图，在矩形ABCD中，DE∥AC，CE∥BD．AC＝4，则四边形OCED的周长为（ ）A．6B．8C．10D．12【分析】首先利用平行四边形的判定证明四边形ODEC为平行四边形，然后利用矩形的性质得到OD＝OC＝2即可求出四边形OCED的周长．【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形ODEC为平行四边形，∴DE＝OC，CE＝OD，∵四边形ABCD为矩形，∴AC＝BD，OD＝OC＝OA＝OB，∴OD＝OC＝2，∴DE＝CE＝2，∴四边形OCED的周长为8．故选：B．6．（2022春•长乐区期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AB＝4，BC＝8，则AE的长为（ ）A．3B．4C．5D．2【分析】连接CE，根据矩形的对边相等可得AD＝BC＝8，CD＝AB＝4，根据矩形的对角线互相平分可得OA＝OC，然后判断出OE垂直平分AC，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AE＝CE，设AE＝CE＝x，表示出DE，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列出方程求解即可．【解答】解：如图，连接CE，在矩形ABCD中，∵AB＝4，BC＝8，∴AD＝BC＝8，CD＝AB＝4，OA＝OC，∵OE⊥AC，∴OE垂直平分AC，∴AE＝CE，设AE＝CE＝x，则DE＝8﹣x，在Rt△CDE中，CD2+DE2＝CE2，即42+（8﹣x ）2＝x 2，解得x ＝5，即AE 的长为5．故选：C ．7．（2022春•静海区校级期中）如图，在矩形ABCD 中，O 为AC 的中点，EF 过O 点且EF ⊥AC 分别交DC 于E 交AB 于E ，点G 是AE 的中点，且∠AOG ＝30°，OE ＝1，则下列结论：（1）DC ＝3OG ；（2）OG ＝BC ；（3）四边形AECF 为菱形；（4）S △AOE ＝S 四边形ABCD ．其中正确的个数为（ ）A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④【分析】根据条件，OG 是直角△AOE 斜边上的中线，且△FOC ≌△EOA ，然后利用三角函数求得BC 、AB 以及OA 、OC 之间的关系即可作出判断．【解答】解：∵EF ⊥AC ，G 是AF 的中点，∴AG ＝OG ＝GF ，∴∠OAF ＝∠AOG ＝30°，在直角△ABC 中，∠CAB ＝30°，∴BC ＝AC ＝OC ，设BC ＝a ，AC ＝2a ，AO ＝OC ＝a ．AE ＝a ，AB ＝a ，OG ＝a ，∴CD ＝AB ＝3OG ，故①正确；OG ＝a ≠a ＝BC ，故②错误；∵∠FCO ＝∠EAO ，∠CFO ＝∠AEO ，OA ＝OC ，∴△FOC ≌△EOA （AAS ），∴OE ＝OF ，又∵AO ＝OC ，EF ⊥AC ，∴四边形AFCE 是菱形，故③正确；∵S △AOE ＝a •a ＝a 2，S 矩形ABCD ＝a •a ＝a 2，∴S △AOE ＝S 矩形ABCD ，故④正确．故选：B ．8．（2022•荣昌区自主招生）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠DAC ＝60°，点F 在线段AO 上，连接DF ，以DF 为边作等边三角形DFE ，点E 和点A 分别位于DF 两侧，下列结论：①DO ＝DA ；②DF ＝EC ；③∠ADF ＝∠ECF ；④∠BDE ＝∠EFC 中正确结论的序号为（ ）A ．①④B ．①②③C ．②③④D ．①②③④【分析】①根据∠DAC ＝60°，OD ＝OA ，得出△OAD 为等边三角形，即可得出结论①正确；②如图，连接OE ，利用SAS 证明△DAF ≌△DOE ，再证明△ODE ≌△OCE ，即可得出结论②正确；③通过等量代换即可得出结论③正确；④根据△DAO ，△DEF 是等边三角形可以证明∠EFC ＝∠ADF ，然后根据②∠ADF ＝∠BDE ，等量代换即可得到∠BDE ＝∠EFC ．【解答】解：①在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∵∠DAC ＝60°，OD ＝OA ，∴△OAD 为等边三角形，∴∠DOA ＝∠DAO ＝∠ODA ＝60°，AD ＝OD ，故①正确，②连接OE ．∵△DFE 为等边三角形，∴∠EDF ＝∠EFD ＝∠DEF ＝60°，DF ＝DE ，∵∠BDE +∠FDO ＝∠ADF +∠FDO ＝60°，∴∠BDE ＝∠ADF ，∵∠ADF +∠AFD +∠DAF ＝180°，∴∠ADF +∠AFD ＝180°﹣∠DAF ＝120°，∵∠EFC+∠AFD+∠DFE＝180°，∴∠EFC+∠AFD＝180°﹣∠DFE＝120°，∴∠ADF＝∠EFC，∴∠BDE＝∠EFC，在△DAF和△DOE中，，∴△DAF≌△DOE（SAS），∴∠DOE＝∠DAF＝60°，∵∠COD＝180°﹣∠AOD＝120°，∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝120°﹣60°＝60°，∴∠COE＝∠DOE，在△ODE和△OCE中，，∴△ODE≌△OCE（SAS），∴ED＝EC＝DF，故②正确；③∵∠ODE＝∠ADF，∴∠ADF＝∠OCE，即∠ADF＝∠ECF，故结论③正确；④∵△DAO，△DEF是等边三角形，∴∠DAO＝∠DFE＝60°，∴∠EFC+∠AFD＝∠ADF+∠AFD＝120°，∴∠EFC＝∠ADF，根据②知∠ADF＝∠BDE，∴∠BDE＝∠EFC．故④正确．故选：D．9．（2022秋•章丘区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝24，BC＝12，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形．则AE的长是（ ）A．15B．20C．D．【分析】连接EF交AC于点O，连接CE，根据菱形的性质可得CF＝CE，证明△CFO≌△AEO，可得CF＝AE，再根据勾股定理可得CE的长，进而可得结论．【解答】解：如图，连接EF交AC于点O，连接CE，∵四边形EGFH是菱形，∴EF⊥GH，OE＝OF，∴CF＝CE，在△CFO和△AEO中，，∴△CFO≌△AEO（AAS），∴CF＝AE，∴CE＝AE，∴BE＝AB﹣AE＝24﹣CE，在Rt△CEB中，根据勾股定理，得CE2＝BE2+BC2，∴CE2＝（24﹣CE）2+122，解得CE＝15．∴AE＝15．故选：A．10．（2022秋•姜堰区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝cm，点P从A点出发沿AB以cm/s的速度向点B运动，当PA＝PC时，点P运动的时间为（ ）A．s B．2s C．10s D．10s或2s【分析】设点P运动的时间为ts，根据题意得：AP＝tcm，PC＝＝tcm，PB＝AB﹣AP＝（3﹣t）cm，然后根据勾股定理列方程求解即可．【解答】解：设点P运动的时间为ts，根据题意得：AP＝tcm，∴PC＝＝tcm，∵PB＝AB﹣AP＝（3﹣t）cm，∴PC2＝BC2+PB2，∴t2＝2+（3﹣t）2，解得t＝2或t＝10（舍去），∴点P运动的时间为2s，故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022春•费县期末）如图所示．在矩形ABCD中，AB＝2．BD＝4，则∠AOD＝ 120 度．【分析】根据矩形的性质可知OA＝OB，OB＝BD，证得OB＝OA＝AB＝2，所以△AOB是等边三角形，得出∠AOB＝60°，则∠AOD＝120°．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝AC，OB＝BD，∴OA＝OB，∵BD＝4，AB＝2，∴OB＝OA＝AB＝2，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠AOD＝120°．故答案为：120．12．（2022春•仙居县期末）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，若∠COB＝120°，AB＝6，则对角线BD＝ 12 ．【分析】根据矩形性质求出BD＝2OB，OA＝OB，求出∠AOB＝60°，得出等边△AOB，求出OB＝AB，即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝2OB，AC＝2OA，AC＝BD，∴OA＝OB，∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OB＝AB＝6，∴BD＝2OB＝12，故答案为：12．13．（2022春•二道区期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分线度OB，垂足为点E，若BD＝15，则AB＝ 7.5 ．【分析】首先利用矩形的性质得到OA的长度，然后利用线段的垂直平分线的性质得到AB＝OB＝OA即可求解．【解答】解：∵矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∴AO＝OB＝OC＝OD，而BD＝15，∴OB＝OA＝BD＝7.5，∵AE垂直平分线段OB，∴AB＝OA，∴AB＝OB＝OA，∴AB＝7.5．故答案为：7.5．14．（2022春•洛江区期末）如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，AD＝8cm，CE＝3cm，则AB＝ 5 cm．【分析】首先利用矩形的性质得到可以证明∠DAE＝∠BEA，然后利用角平分线的性质证明∠BAE＝∠BEA，接着利用等腰三角形的判定得到AB＝BE即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA，∵AE平分∠BAD交BC于点E，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE，∵AD＝8cm，CE＝3cm，∴BC＝8，∴AB＝BE＝BC﹣CE＝8﹣3＝5cm．故答案为：5．15．（2022春•盐都区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC的长为5，作AC的垂直平分线交BC于点M，连接AM，则△ABM的周长为 7 ．【分析】由勾股定理可求BC的长，由线段垂直平分线的性质可得AM＝CM，可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴BC＝＝＝4，∵AC的垂直平分线交BC于点M，∴AM＝CM，∴△ABM的周长＝AB+BM+AM＝AB+BC＝7，故答案为：7．16．（2022•南京模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OF⊥AB，垂足为点F，BE⊥AC，垂足为点E，且E是OC的中点．若OF＝2，则BD的长为 8 ．【分析】根据矩形的性质可以得到OC＝OB，再根据BE⊥AC及E点为CO的中点，根据线段垂直平分线的性质证得△CBO是等边三角形，从而得到∠DBA＝30°，然后根据30°直角三角形的性质求得BO 长，BD＝2BO，即可得出答案．【解答】解：∵BE⊥AC，E点为CO的中点，∴BE垂直平分OC，∴BC＝OB，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OC＝OA，OD＝OB，∠CBA＝90°，∴OC＝OB，∴CB＝BO＝CO，∴△OBC是等边三角形，∴∠CBD＝60°，∴∠DBA＝30°，∵OF⊥AB，OF＝2，∴BO＝2OF＝4，∵O点为BD中点，∴BD＝2BO＝8．故答案为：8．17．（2022春•上犹县期末）如图，矩形ABCD中，已知：AB＝3，AD＝5，点P是BC上一点，且△PAD 是等腰三角形，则BP＝ 1或4或2.5 ．【分析】根据矩形的性质可知DC＝AB＝3，AD＝BC＝5，再根据△PAD是等腰三角形的性质可得DP＝AD＝5，勾股定理可得CP的长度，则BP＝BC﹣CP，即可求得BP的长度．【解答】解：①当DP＝AD时，∵矩形ABCD，∴DC＝AB＝3，AD＝BC＝5，∵△PAD是等腰三角形，∴DP＝AD＝5，在Rt△PCD中，PC＝＝4，∴BP＝BC﹣CP＝5﹣4＝1．②当AD＝AP时，∴AP＝AD＝5，在Rt△ABP中，由勾股定理得，BP＝＝4，③当AP＝DP时，过P作PE⊥AD于点E，∴AE＝AD＝2.5，∵∠B＝∠BAE＝∠AEP＝90°，∴四边形ABPE是矩形，∴BP＝AE＝2.5．综上所述，BP＝1或4或2.5．故答案为：1或4或2.5．18．（2022春•邗江区校级月考）点P在矩形ABCD内部，当点P到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“和谐点”．如图，点P在矩形ABCD内部，且AB＝10，BC＝6．若P是边AD的“和谐点”，连接PA，PB，PD，则tan∠PAB•tan∠PBA的最小值为 ．【分析】过点P作PN⊥AB于N，tan∠PAB•tan∠PBA＝•＝，设AN＝x，则BN＝10﹣x，求出AN•BN有最大值25，即可求得tan∠PAB•tan∠PBA的最小值是．【解答】解：过点P作PN⊥AB于N，如图：∵点P是边AD的“和谐点”，∴PA＝PD，∴PN＝BC＝3，∴tan∠PAB＝，tan∠PBA＝，∴tan∠PAB•tan∠PBA＝•＝，设AN＝x，则BN＝10﹣x，∴AN•BN＝x（10﹣x）＝﹣（x﹣5）2+25，当x＝5时，AN•BN有最大值25，∴有最小值，∴tan∠PAB•tan∠PBA的最小值是．三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2022春•前郭县期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，∠AOB ＝56°，求∠EAB的度数．【分析】根据矩形的性质可知OA＝OB，根据∠AOB的度数求出∠ABO的度数，然后根据直角三角形的锐角互余求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴，∴AO＝OB，又∵∠AOB＝56°，∴∠OBA＝∠OAB＝62°，∵AE⊥BD，∴∠BAE＝90°﹣∠ABE＝28°．20．（2022春•玉州区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F在BD上，OE＝OF．（1）求证：AE＝CF．（2）若AB＝2，∠AOD＝120°，求矩形ABCD的面积．【分析】（1）由矩形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，证出OE＝OF，由SAS 证明△AOE≌△COF，即可得出AE＝CF；（2）证出△AOB是等边三角形，得出OA＝AB＝3，AC＝2OA＝6，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC，即可得出矩形ABCD的面积．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形∴OA＝OC，在△AOE和△COF∵，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE＝CF．（2）∵四边形ABCD是矩形∴AC＝BD∵，∴AO＝DO∴∴在Rt△ADB中，BD＝2AB＝4，∴∴矩形ABCD的面积＝．21．（2022春•铜官区期末）如图1，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，过对角线AC中点O的直线分别交边BC、AD于点E、F（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）如图2，当EF⊥AC时，求EF的长度．【分析】（1）证明△AOF≌△COE全等，可得AF＝EC，∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形；（2）由（1）知四边形AECF是平行四边形，且EF⊥AC，∴四边形AECF为菱形，假设BE＝a，根据勾股定理求出a，从而得知EF的长度；【解答】解：∵矩形ABCD，∴AF∥EC，AO＝CO∴∠FAO＝∠ECO∴在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA）∴AF＝EC又∵AF∥EC∴四边形AECF是平行四边形；（2）由（1）知四边形AECF是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AECF为菱形，设BE＝a，则AE＝EC＝3﹣a∴a2+22＝（3﹣a）2∴a＝则AE＝EC＝，∵AB＝2，BC＝3，∴AC＝＝∴AO＝OC＝，∴OE＝＝＝，∴EF＝2OF＝．22．（2021春•柳南区校级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上，AE＝CF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AD＝2，∠AOB＝120°，求AB的长．【分析】（1）根据平行四边形的判定即可求出答案．（2）根据矩形的性质以及含30度角的直角三角形的性质即可求出答案．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∴OA＝OB＝OC＝OD，∵AE＝CF，∴OE＝OF，∴四边形BEDF是平行四边形．（2）由（1）可知：OA＝OB，∵∠AOB＝120°，∴∠DBA＝30°，∵AD＝2，∴AB＝AD＝6．23．（2022秋•莲湖区校级月考）已知，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别是边AB，BC上的点，连接DE，DF，BP．（1）如图1，当CF＝2BE＝2时，试说明△DEF是直角三角形；（2）如图2，若点E是边AB的中点，DE平分∠ADF，求BF的长．【分析】（1）在Rt△ADE中，DE2＝AE2+AD2＝62+72＝85，在Rt△DCF中，DF2＝DC2+CF2＝82+22＝68，在Rt△BEF中，EF2＝BE2+BF2＝12+42＝17，得出DF2+EF2＝DE2，即可得出结论；（2）作EH⊥DF于H，则∠A＝∠DHE＝90°，证明△AED≌△HED（AAS），得出DA＝DH＝6，EA＝EH＝4，得出EH＝EB＝4，证明Rt△EHF≌Rt△EBF（HL），得出BF＝HF．设BF＝x，则HF＝x，CF＝6﹣x，得出DF＝DH+HF＝6+x，在Rt△CDF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】（1）证明；∵CF＝2BE＝2，∴BE＝1，∴AE＝AB﹣BE＝7．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝8，AD＝BC＝6，在Rt△ADE中，DE2＝AE2+AD2＝62+72＝85，在Rt△DCF中，DF2＝DC2+CF2＝82+22＝68，在Rt△BEF中，EF2＝BE2+BF2＝12+42＝17，∴DF2+EF2＝DE2，∴△DEF是直角三角形，且∠DFE＝90°；（2）解：作EH⊥DF于H，则∠A＝∠DHE＝90°．∵DE平分∠ADF，∴∠ADE＝∠HDE，在△AED和△HED中，，∴△AED≌△HED（AAS），∴DA＝DH＝6，EA＝EH＝4，∴EH＝EB＝4，在Rt△EHF和Rt△EBF中，，∴Rt△EHF≌Rt△EBF（HL），∴BF＝HF．设BF＝x，则HF＝x，CF＝6﹣x，∴DF＝DH+HF＝6+x，在Rt△CDF中，DC2+CF2＝DF2，∴82+（6﹣x）2＝（6+x）2，∴x＝，即BF＝．24．（2022春•嘉祥县期末）如图①，在矩形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．直线EF 分别交BA、DC的延长线于点G、H．（1）求证：四边形BHDG是平行四边形；（2）如图②，若四边形BHDG是菱形，且AB＝4，BC＝8，求CH的长．【分析】（1）由“AAS”证△AGE≌△CHF，得AG＝CH，即可解决问题；（2）由菱形的性质得BH＝DH＝4+CH，再由勾股定理得BH2＝BC2+CH2，即（4+CH）2＝82+CH2，求解即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠AGE＝∠CHF，∠GAE＝∠HCF＝90°，在△AGE和△CHF中，，∴△AGE≌△CHF（AAS），∴AG＝CH，∴AB+AG＝CD+CH，即BG＝DH，∵AB∥CD∴四边形BHDG是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝4，∵四边形BHDG是菱形，∴BH＝DH＝4+CH，在Rt△BCH中，由勾股定理得：BH2＝BC2+CH2，即（4+CH）2＝82+CH2，解得：CH＝6，即CH的长为6．。
2024年中考数学总复习考点培优训练第五章第二节矩形
第二节矩形基础过关1. (2022安徽)两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝()A. α－90°B. α－45°C. 180°－αD. 270°－α第1题图2. (2023十堰)如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化．下面判断错误的是()A. 四边形ABCD由矩形变为平行四边形B. 对角线BD的长度减小C. 四边形ABCD的面积不变D. 四边形ABCD的周长不变第2题图3. (2023杭州)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若∠AOB＝60°，则ABBC＝()A. 12 B.3－12 C.32 D.33第3题图4. (2023兰州)如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，点F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG.若AB＝4，CE＝10，则AG＝()A. 2B. 2.5C. 3D. 3.5第4题图5. (2023深圳模拟)如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点M ，N 分别为BC ，OC 的中点，若∠ACB ＝30°，AB ＝10，则MN 的长为( ) A. 52 B. 5 C. 53 D. 4第5题图6. (2022邵阳)已知矩形的一边长为6 cm ，一条对角线的长为10 cm ，则矩形的面积为________cm 2.7. (2023台州)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6.在边AD 上取一点E ，使BE ＝BC ，过点C 作CF ⊥BE ，垂足为点F ，则BF 的长为__________．第7题图8. (2023娄底)如图，点E 在矩形ABCD 的边CD 上，将△ADE 沿AE 折叠，点D 恰好落在边BC 上的点F 处，若BC ＝10，sin ∠AFB ＝45，则DE ＝__________．第8题图9. (2023北京)如图，在▱ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，AD 上，BE ＝DF ，AC ＝EF . (1)求证：四边形AECF 是矩形；(2)若AE ＝BE ，AB ＝2，tan ∠ACB ＝12，求BC 的长．第9题图综合提升10. (2023上海)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，下列说法能使四边形ABCD为矩形的是()A. AB∥CDB. AD＝BCC. ∠A＝∠BD. ∠A＝∠D11. (数学文化) (2023内江)出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF＋EG＝__________．第11题图新考法推荐12. (开放性试题)(2023贵州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，延长CB至点D，使得BD＝CB，过点A，D分别作AE∥BD，DE∥BA，AE与DE相交于点E.下面是两位同学的对话：第12题图(1)请你选择一位同学的说法，并进行证明；(2)连接AD，若AD＝52，CBAC＝23，求AC的长．。
矩形培优练习题
1．如图，矩形ABCD中，AC交BD于点O，∠AOD＝60°，OE⊥AC．若AD＝，则OE＝（）A．1B．2C．3D．42．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠EAO＝15°，则∠BOE的度数为（）A．85°B．80°C．75°D．70°（第1题）（第2题）（第3题）3．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF 与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，FC＝2，则AB的长为（）A．8B．8C．4D．64．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形A′BC′D′．若边A′B交线段CD于H，且BH＝DH，则DH的值是（）A．B．C．D．（第4题）（第5题）5．如图，E是矩形ABCD内的一个动点，连接EA、EB、EC、ED，得到△EAB、△EBC、△ECD、△EDA，设它们的面积分别是m、n、p、q，给出如下结论：①m+n＝q+p；②m+p＝n+q；③若m＝n，则E点一定是AC与BD的交点；④若m＝n，则E点一定在BD上．其中正确结论的序号是（）A．①③B．②④C．①②③D．②③④6．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（）A．2B．3C．4D．47．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D是AB上一动点，过点D作DE ⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（）A．2.5B．2.4C．2.2D．28．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，∠ADE＝∠CDE，那么∠BDC的度数为．（第8题）（第9题）9．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是S1S2（填“＞”“＜”或“＝”）10．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上，点C 在第一象限，如果∠OAB＝30°，那么点C的坐标是．11．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD 上，且AF＝CG＝2，BE＝DH＝1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于．12．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使CE＝CD，连接AE交BC于F，∠AFC＝n∠D，当n＝时，四边形ABEC是矩形．（第11题）（第12题）（第13题）13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是．14．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC＝EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．15．已知，如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE＝CD，点F为CE的中点，点G 为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1＝∠2．（1）若CF＝2，AE＝3，求BE的长；（2）求证：∠CEG＝∠AGE．16．如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE＝CF．17．如图，在矩形ABCD中，点F是CD中点，连接AF并延长交BC延长线于点E，连接AC．（1）求证：△ADF≌△ECF；（2）若AB＝1，BC＝2，求四边形ACED的面积．18．如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若EF＝EC，且EF⊥EC．（1）求证：AE＝DC；（2）已知DC＝，求BE的长．19．如图，点E是矩形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，G是AF的中点，再连接DG、DE，且DE＝DG．（1）求证：∠DEA＝2∠AEB；（2）若BC＝2AB，求∠AED的度数．20．如图，点E为矩形ABCD外一点，DE⊥BD于点D，DE＝CE，BD的垂直平分线交AD 于点F，交BD于点G．连接EF交BD于点H．（1）若∠CDE＝∠DEH＝∠HEC，求∠ABG的度数；（2）求证：H是EF的中点．21．如图，AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）求证：四边形BCDE是矩形．22．如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连结AE，交BC于点F．（1）求证：BF＝BC；（2）若∠AFC＝2∠D，连结AC，BE，求证：四边形ABEC是矩形．23．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB 的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．24．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，P是BC延长线上一点，PE⊥AB 交BA延长线于E，PF⊥AC交AC延长线于F．（1）求证：AEPF是矩形；（2）D为BC中点，连接DE，DF．求证：DE＝DF．参考答案与试题解析1．A．2．C．3．D．4．C．5．B．6．A．7．B．8．30°．9．＝．10．（1+2，2）．11．7．12．2．13．≤AM≤6．。
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矩形
知识归纳定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
性质： 1. 矩形的四个角是直角，对边相等
2. 矩形的对角线相等
3. 矩形所在平面内任意一点到其两对角线端点的平方和相等
4. 矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴是任何一组对边中点的连线
5. 对边平行且相等
6. 对角线互相平分
判定： 1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
2. 对角线相等的平行四边形是矩形
3. 有三个角是直角的四边形是矩形
4. 四个内角相等的四边形是矩形
5. 关于任何一组对边中点的连线成轴对称图形的平行四边形是矩形
6. 对于平行四边形，若存在一点到两对角线端点的距离的平方和相等，则此平行四边
形为矩形
7. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
8. 对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形
例题讲解
例1：如图，在平行四边形ABCD中，E，F 为BC上两点，且BE=CF，AF=DE．求证：（1）△ ABF≌△ DCE；
（2）四边形ABCD是矩形．
例2：如图，将一矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点 B 落在B‘处，AB'交CD于点E，已知∠ EAC=25°，求∠ B' CE的度数。
例3：如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，F 是AB 上一点，EF=ED，且EF DE .
(1) 求证：AE 平分∠ BAD．
(2) 若CE=2，矩形ABCD 的周长为16 求BE与DF 的长．
例4：如图，矩形ABCD，延长CB到点E，使CE=CA，点 F 是AE 的中点. 求证：
BF⊥DF。
(提示：连接CF)
课堂练习
．选择题
ABCD 中， AE ，AF 三等分∠ BAD ，若 BE=2，CF=1，则最接近矩形面积的是
2. 如图，矩形 OABC 的顶点 A ，C 在坐标轴上，顶点 B 的坐标是（ 4，2），若直线 y=mx
﹣1
3. 如图，矩形 ABCD 的边 AB=5cm ，BC=4cm 动点 P 从 A 点出发，在折线 AD ﹣DC ﹣CB 上
以 1cm/s 的速度向 B 点作匀速运动，则表示△ ABP 的面积 S （cm ）与运动时间 t （s ）之间的函数
1. C ． 15
D ． 16 恰好将矩形分成面积相等的两部分，则 m 的值为（
A ．1
B ． 0.5
C ． 0.75
D ．2 如图，在矩
形
如图，在矩形 ABCD 中，AB=2BC ，在 CD 上取一点 E ，使 AE=AB ，则∠ EBC 的度数为 （
A ．30°
B ． 15°
C ． 45° D
．不能确定
4.
5. 如图，在△ ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P 为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥
AC于F，
M为EF 中点，则AM的最小值为
（
6.
7.
8.
A．1B．1.2C
．
1.3 D．1.5
已知：如图，在矩形ABCD
中，
A．C
．
BC=2
，
AE⊥ BD，垂足为E，∠ BAE=30°，那么△ ECD
的面
D．
如图，用8 块相同的长方形地砖拼成一个矩形，已知地砖的
宽为
地砖的面积是
（
）
2
C．600c
m
如图，在矩形ABCD中，AB=3，
AD=4，
10cm，则每块长方
形
2
D．2400c
m
点P在AB上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则
PE+PF
9.
C．D．
1 ）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分
且相
等的四边形是矩形；
（3）
有一个角是直角的四边形是矩形；（4）有四个角是直角的
四边
形是矩形；（5）四个角都相等的四边形是矩形； （ 6）对角线相等，且有一个角是直角的
四边形是矩形；是正确有几个（ ）
A ．2个
B ．3 个
C ．4 个
D ．5 个
．填空题
1. 已知矩形的面积为 48 平方厘米，一条边长为 6 厘米，那么这个矩形的一条对角线的长
是 ______ .
2. 矩形一条边上的中点与对边两个端点的连线互相垂直，已知矩形周长为 30 厘米，那么 矩
形的面积为 __________ .
3. 已知矩形两条对角线的一个交角为 60°，矩形的短边长为 4 厘米，则长边为 _________
对角线为 _________ .
4. 从矩形的一个顶点作一条对角线的垂线， 这条垂线分这条对角线成 1:3 两部分， 则矩形
的两条对角线的夹角为 __________ .
5. 已知直角坐标系中，四边形 OABC 是矩形，点 A （10，0），点 C （ 0，4），点 D 是 OA 的中
6.
利用两块长方体木块测量一张桌子的高度． 首先按图①方式放置， 再交换两木块的位置， 按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是
7. 如图， Rt △ABC 中，∠ C=90°， AC=3，BC=4，点 P 为 AB 边上任一点，过 P 分别作
PE ⊥ AC 于 E ，PF ⊥ BC 于 F ，则线段 EF 的最小值是 ．
点 P 的坐标为
当△ POD 是等腰三角形
时， ①②
三．解答题
1. 已知：如图，平行四边形 ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点 E ， F ， G ， H ，求证：
2. 在△ ABC 中，∠ C=90°， AC=BC ，AD=BD ，PE ⊥AC 于点 E ， PF ⊥BC 于点 F.
如图，在矩形 ABCD 中， AC 、BD 相交于点 O ， AE 平分∠ BAD 交 BC 于点 E ，若 ∠CAE=15°，求∠ BOE 的度数。
4. 如图，矩形 ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝8cm ，动点 M 从点 D 出发，按折线 DCBAD 方向
以 2cm/s 的速度运动，动点 N 从点 D 出发，按折线 DABCD 方向以 1cm/s 的速度运动． （ 1）若动点 M 、 N 同时出发，经过几秒钟两点相遇？
（2）若点 E 在线段 BC 上，且 BE ＝3cm ，若动点 M 、N 同时出发，相遇时停止运动，经过几 秒钟，点 A 、E 、 M 、N 组成平行四边形？
3. 四边形 EFGH 是矩
形。
5. 如图：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P 分别在AD、BC上，且DE=BP=1．
（1）判断△ BEC的形状，并说明理由？
（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；
（3）求四边形EFPH的面积．
6. 如图，A、B、C、D为矩形的 4 个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别以
3cm/s、2cm/s 的速度从点A、 C 同时出发，点Q从点 C 向点D移动．
（1）若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s 时P、Q 两点之间的距离是多少cm？
（2）若点P 从点A移动到点B停止，点Q随点P 的停止而停止移动，点P、Q分别从点
A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
（3）若点P 沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P 随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为
12cm2？
7. 直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形．方法如
下：
请你用上面图示的方法，解答下列问
题：
1）对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的。