二次函数中寻找等腰三角形问题

二次函数中寻找等腰三角形问题

1．如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=3，

直线C，交y轴于点G,且∠AGO=30°。

(1)点C、D的坐标

(2)求顶点在直线C、D的抛物线的解析式；

(3)将(2)中的抛物线沿直线平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为点

E。平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。

2．如图1，梯形A B C D中，A D∥B C，5

B C=．一个动点

AB AD D C

===，11

P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段B C方向运动，过点P作PQ BC

⊥，交折线段BA AD

-于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点N在射线B C上，当Q点到达D点时，运动结束．设点P的运动时间为t秒（0

t>）．

（1）当正方形PQMN的边M N恰好经过点D时，求运动时间t的值；

（2）在整个运动过程中，设正方形PQMN与△B C D的重合部分面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；

（3）如图2，当点Q在线段A D上运动时，线段PQ与对角线B D交于点E，将△DEQ 沿B D翻折，得到△D E F，连接P F．是否存在这样的t ,使△PEF是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

3．已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（－3，0），并且当两直线同时相交于

y正半轴的点C时，恰好有l

1⊥l

2

，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l

2

交于点

K，如图所示．

（1）求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；

（2）抛物线的对称轴被直线l

1、抛物线、直线l

2

和x轴依次截得三条线段，问这三条

线段有何数量关系？请说明理由；

（3）当直线l

2

绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标：

4．如图，已知二次函数的图象经过点A（3，3）、B（4，0）和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA交于点C．

（1）求出二次函数的解析式；

（2）当点P在直线OA的上方时，用含m的代数式表示线段PC的长，并求线段PC的最大值；

（3）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，如果存在，请直接写出所有P的坐标；如果不存在，请说明理由．

5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点B（14,0）和C（0，－8），对称轴为x＝4．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q 的运动速度；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的结论下，直线x＝1上是否存在点M使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标，若不存在，请说明理由．

6．在平面直角坐标系中，二次函数2

=++的图象与x轴交于A（－3，0），B

y ax bx2

（1，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求这个二次函数的关系解析式；

（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；

7．如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点A，D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为（2，1），点P（a，b）在抛物线上运动．（点P异于点O）

（1）求此抛物线的解析式．

（2）过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R，

①求证：PF=PR；

②是否存在点P，使得△PFR为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

③延长PF交抛物线于另一点Q，过Q作BC所在直线的垂线，垂足为S，试判断△RSF 的形状．

8．在平面直角坐标系xoy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边 AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（－1，0）．

（1）请直接写出点B、C的坐标：B（，）、C（，）；并求经过A、B、C三点的抛物

线解析式；

（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段

AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M．

①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；

②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形，若存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

9．如图1，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，ABO=30°．动点P在线段AB上

从点A向终点B设运动时间为t秒．在直线OB 上取两点M、N作等边△PMN．

（1）求当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时t的值．

（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示）；

（3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB 内部作如图2所示的矩形ODCE，点C 在线段AB上．设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．

（4）在（3）中，设PN与EC的交点为R，是否存在点R，使△ODR是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．