二次函数中寻找等腰三角形问题
![二次函数中寻找等腰三角形问题](https://img.360docs.net/img3d/01ul9t1znavtej75v0bi-d1.webp)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
二次函数中寻找等腰三角形问题
1.如图,在平面直角坐标系xoy中,矩形ABCD的边AB在x轴上,且AB=3,
直线C,交y轴于点G,且∠AGO=30°。
(1)点C、D的坐标
(2)求顶点在直线C、D的抛物线的解析式;
(3)将(2)中的抛物线沿直线平移后的抛物线交y轴于点F,顶点为点
E。平移后是否存在这样的抛物线,使△EFG为等腰三角形?若存在,请求出此时抛物线的解析式;若不存在,请说明理由。
2.如图1,梯形A B C D中,A D∥B C,5
B C=.一个动点
AB AD D C
===,11
P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段B C方向运动,过点P作PQ BC
⊥,交折线段BA AD
-于点Q,以PQ为边向右作正方形PQMN,点N在射线B C上,当Q点到达D点时,运动结束.设点P的运动时间为t秒(0
t>).
(1)当正方形PQMN的边M N恰好经过点D时,求运动时间t的值;
(2)在整个运动过程中,设正方形PQMN与△B C D的重合部分面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围;
(3)如图2,当点Q在线段A D上运动时,线段PQ与对角线B D交于点E,将△DEQ 沿B D翻折,得到△D E F,连接P F.是否存在这样的t ,使△PEF是等腰三角形?若存在,求出对应的t的值;若不存在,请说明理由.
3.已知两直线l1,l2分别经过点A(1,0),点B(-3,0),并且当两直线同时相交于
y正半轴的点C时,恰好有l
1⊥l
2
,经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l
2
交于点
K,如图所示.
(1)求点C的坐标,并求出抛物线的函数解析式;
(2)抛物线的对称轴被直线l
1、抛物线、直线l
2
和x轴依次截得三条线段,问这三条
线段有何数量关系?请说明理由;
(3)当直线l
2
绕点C旋转时,与抛物线的另一个交点为M,请找出使△MCK为等腰三角形的点M,简述理由,并写出点M的坐标:
4.如图,已知二次函数的图象经过点A(3,3)、B(4,0)和原点O.P为二次函数图象上的一个动点,过点P作x轴的垂线,垂足为D(m,0),并与直线OA交于点C.
(1)求出二次函数的解析式;
(2)当点P在直线OA的上方时,用含m的代数式表示线段PC的长,并求线段PC的最大值;
(3)当m>0时,探索是否存在点P,使得△PCO为等腰三角形,如果存在,请直接写出所有P的坐标;如果不存在,请说明理由.
5.已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点B(14,0)和C(0,-8),对称轴为x=4.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点D在线段AB上且AD=AC,若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动,同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动,问是否存在某一时刻,使线段PQ被直线CD垂直平分?若存在,请求出此时的时间t(秒)和点Q 的运动速度;若不存在,请说明理由;
(3)在(2)的结论下,直线x=1上是否存在点M使△MPQ为等腰三角形?若存在,请求出所有点M的坐标,若不存在,请说明理由.
6.在平面直角坐标系中,二次函数2
=++的图象与x轴交于A(-3,0),B
y ax bx2
(1,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求这个二次函数的关系解析式;
(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点,是否存在点P,使△ACP的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)在平面直角坐标系中,是否存在点Q,使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由;
7.如图所示,已知抛物线的顶点为坐标原点O,矩形ABCD的顶点A,D在抛物线上,且AD平行x轴,交y轴于点F,AB的中点E在x轴上,B点的坐标为(2,1),点P(a,b)在抛物线上运动.(点P异于点O)
(1)求此抛物线的解析式.
(2)过点P作CB所在直线的垂线,垂足为点R,
①求证:PF=PR;
②是否存在点P,使得△PFR为等边三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
③延长PF交抛物线于另一点Q,过Q作BC所在直线的垂线,垂足为S,试判断△RSF 的形状.
8.在平面直角坐标系xoy中,一块含60°角的三角板作如图摆放,斜边 AB在x轴上,直角顶点C在y轴正半轴上,已知点A(-1,0).
(1)请直接写出点B、C的坐标:B(,)、C(,);并求经过A、B、C三点的抛物
线解析式;
(2)现有与上述三角板完全一样的三角板DEF(其中∠EDF=90°,∠DEF=60°),把顶点E放在线段
AB上(点E是不与A、B两点重合的动点),并使ED所在直线经过点C.此时,EF所在直线与(1)中的抛物线交于第一象限的点M.
①设AE=x,当x为何值时,△OCE∽△OBC;
②在①的条件下探究:抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形,若存在,请求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
9.如图1,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,ABO=30°.动点P在线段AB上
从点A向终点B设运动时间为t秒.在直线OB 上取两点M、N作等边△PMN.
(1)求当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时t的值.
(2)求等边△PMN的边长(用t的代数式表示);
(3)如果取OB的中点D,以OD为边在Rt△AOB 内部作如图2所示的矩形ODCE,点C 在线段AB上.设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S,请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式,并求出S的最大值.
(4)在(3)中,设PN与EC的交点为R,是否存在点R,使△ODR是等腰三角形?若存在,求出对应的t的值;若不存在,请说明理由.