雅可比矩阵复习过程

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机器人雅可比矩阵知识讲解

x6 f6(q1,q2, ,q6)
注意，如果函数 f1(q) 到 f6(q) 是非线性的，则 f q 是q的函数，写成 xJ(q)q ，式子两边同除以时间的微分，
上式中，66的偏导数x矩阵J(Jq(q)q)叫做雅可比矩阵。其中
Jijq xiqq j
雅可比矩阵
机器人关节数
*雅可比矩阵的行数取决于机器人的类型
雅可比矩阵在机器人中的应用
可以把雅可比矩阵看作是关节的速度 q 变换到操作速度V的变换矩阵
在任何特定时刻，q具有某一特定值，J(q)就是一个线性变换。在每一新的时刻，q已改变，线性变换也因之改变，所以雅可比矩阵是一个时变的线性变换矩阵。
在机器人学领域内，通常谈到的雅可比矩阵是把关节角速度和操作臂末端的直角坐标速度联系在一起的。
假设矢量yRm为uRn的函数
y= y(u)
y1(u) y2(u)
yy12((uu11,,uu22,, ,,uunn))
ym(u) ym(u1,u2,,un)
对于m=1, （标量对矢量的导数）
u y u y1 1
y1 u2
u y1 n
y相对于u的偏导数定义为
u y u u uyyym 1 2(((u u u))) yu yu u ym 1 1 2 1 1
约束函数C(x),
单位圆上的质点位置约束为 C (x ) xx 1
一般情况下，采用位姿矢量q聚合表达n个粒子的位置。在3D 空间，矢量长度为3n。考虑位置约束C是一个关于位姿矢量q 的未知函数，则速度约束
C C q q
矩阵 C/q 被称作C的雅可比矩阵，记作J。为了进行物理
仿真，求微分 C JqJq，根据力学关系，建立微分约束方

雅可比矩阵推导过程

雅可比矩阵推导过程雅可比矩阵（Jacobian matrix）是微分几何和向量微积分中的一个重要工具，用于描述多元函数的变换关系。

在本文中，我们将详细介绍雅可比矩阵的定义、性质和推导过程。

1. 雅可比矩阵的定义考虑一个从n维欧几里得空间到m维欧几里得空间的映射，即有一个函数F: R^n -> R^m。

假设F的每个分量函数都是连续可微的，那么对于给定的输入向量x ∈R^n，可以将F在该点处进行泰勒展开：F(x + Δx) = F(x) + J(x)Δx + O(‖Δx‖)其中，J(x)是一个m×n的矩阵，称为雅可比矩阵。

它由F的各个分量函数对输入向量x中各个变量求偏导数而组成。

具体地说，如果F = (f₁, f₂, …, fₘ)，则雅可比矩阵J(x)按行排列如下：J(x) = [∂f₁/∂x₁∂f₁/∂x₂ ... ∂f₁/∂xₘ][∂f₂/∂x₁∂f₂/∂x₂ ... ∂f₂/∂xₘ][... ... ... ... ][∂fₘ/∂x₁∂fₘ/∂x₂ ... ∂fₘ/∂xₘ]2. 雅可比矩阵的性质雅可比矩阵具有以下几个重要的性质：•雅可比矩阵的行数等于映射的目标空间维度m，列数等于映射的源空间维度n。

•如果F是一个线性映射，那么雅可比矩阵是一个常数矩阵。

•如果F是一个非线性映射，那么雅可比矩阵的每个元素都依赖于输入向量x。

•雅可比矩阵可以用来描述函数在某一点处的局部线性逼近，即泰勒展开式中的一次项。

3. 雅可比矩阵的推导过程为了推导雅可比矩阵，我们将以二维向量值函数为例。

假设有一个函数F: R² ->R²，表示为F(x, y) = (u(x, y), v(x, y))。

我们需要求解F在某一点(x₀, y₀)处的雅可比矩阵。

首先，我们对F的每个分量函数进行偏导数计算。

对于u(x, y)，其偏导数为：∂u/∂x = lim(Δx→0) [u(x + Δx, y) - u(x, y)] / Δx同理，对于v(x, y)，其偏导数为：∂v/∂x = lim(Δx→0) [v(x + Δx, y) - v(x, y)] / Δx类似地，我们可以计算出u和v关于y的偏导数：∂u/∂y = lim(Δy→0) [u(x, y + Δy) - u(x, y)] / Δy∂v/∂y = lim(Δy→0) [v(x, y + Δy) - v(x, y)] / Δy将上述四个偏导数整理成矩阵形式，即得到雅可比矩阵J：J = [∂u/∂x ∂u/∂y][∂v/∂x ∂v/∂y]这就是二维向量值函数F在点(x₀, y₀)处的雅可比矩阵。

坐标变换的雅可比矩阵怎么求

坐标变换的雅可比矩阵求解方法在计算机图形学和机器人学等领域，我们经常需要进行坐标变换，并且在进行这些变换时，雅可比矩阵是一个非常重要的工具。

雅可比矩阵可以帮助我们分析如何改变一个坐标系中的点，使其在另一个坐标系中的表示发生变化。

本文将介绍如何求解坐标变换的雅可比矩阵。

1. 坐标变换的基本概念在二维空间中，我们通常可以用一个2x2的矩阵表示坐标变换。

假设我们有一个点P(x, y)，通过矩阵M可以将其变换为P’(x’, y’)，则变换过程可以表示为：P' = M * P在三维空间中同理，我们可以用一个3x3的矩阵表示坐标变换。

2. 雅可比矩阵的定义雅可比矩阵是一个矩阵，由一个函数的偏导数构成。

在计算机图形学中，雅可比矩阵描述了变换函数对于坐标变换的影响。

对于一个变换函数f(x, y)，其雅可比矩阵J如下：J = | ∂f_1/∂x ∂f_1/∂y || ∂f_2/∂x ∂f_2/∂y |3. 求解坐标变换的雅可比矩阵要求解坐标变换的雅可比矩阵，我们需要先确定要进行的坐标变换函数。

假设我们有一个从二维坐标系到二维坐标系的变换，变换函数为f(x, y)，我们需要求解其雅可比矩阵。

1.首先，我们需要计算函数f对于x和y的偏导数，即∂f/∂x和∂f/∂y。

2.然后，将这些偏导数组合成雅可比矩阵J。

下面举一个例子来说明如何求解坐标变换的雅可比矩阵。

假设我们有一个坐标变换函数f(x, y) = (x + y, x - y)，我们需要求解其雅可比矩阵J。

示例：1.计算∂f/∂x和∂f/∂y：∂f/∂x = (1, 1)∂f/∂y = (1, -1)2.形成雅可比矩阵J：J = | 1 1 || 1 -1 |因此，函数f(x, y) = (x + y, x - y)的雅可比矩阵为J = [1 1; 1 -1]。

4. 结论通过以上步骤，我们可以求解坐标变换的雅可比矩阵。

雅可比矩阵在坐标变换中具有重要作用，它帮助我们理解变换函数对坐标变换的影响，进而优化计算过程。

二重积分的换元法中雅可比矩阵

二重积分的换元法中雅可比矩阵好啦，今天我们来聊聊二重积分的换元法，嗯，重点是雅可比矩阵，虽然听起来有点复杂，但其实它不算啥大难题，咱们慢慢捋捋，肯定能明白的！你别害怕“雅可比”这词，听着是不是有点高大上？其实它也就像你身边的一个好朋友，帮你在积分的时候变魔术，换个方式，问题就解决了。

你想啊，做二重积分不就是一个在平面上计算面积或者体积的过程嘛。

通常，咱们都是直接按着给定的坐标系来计算，简单明了。

但有些时候，坐标系就像是条死胡同，走着走着就卡住了。

所以，聪明的你就得想到，换个坐标系走走看，说不定能轻松找到出口！这时候，“换元法”就上场了。

你可以通过换个坐标系，让计算变得简单。

比如从笛卡尔坐标系换到极坐标系，或者说从一套坐标系换到另一套坐标系。

你看，生活中也有这种情况，大家明明都在同一个城市，却因为不同的路线图，走起来就完全不一样。

换个路线，可能几分钟就到达目标了。

二重积分也是一样的道理，换个合适的坐标系，复杂的计算就变得简单起来。

可是问题来了，换坐标系的过程中，不是光嘴巴说说就能搞定的。

你得保证，原来每一点的“面积”或者“体积”在新坐标系下能准确反映出来。

说白了，就是你换了路，要确保每一段路都走得不偏不倚，不能让面积或者体积出现“缩水”或“膨胀”这种情况。

怎么办呢？就得借助雅可比矩阵了。

这个雅可比矩阵，听着很唬人，但其实就是个工具，帮你搞清楚换坐标的“缩放比例”。

这个“缩放比例”就叫做“雅可比行列式”，它能告诉你原来那个小面积在新坐标下变成了多少。

举个例子，假设你原本在笛卡尔坐标系下有一个矩形区域，要计算这个区域的面积。

然后，你突然决定换到极坐标系，这时候，雅可比矩阵的作用就来了。

它帮助你转换，告诉你“哎，这个小矩形在极坐标下变得怎么样了，是不是更宽了，还是更窄了？”它能帮你调整，确保换元后，面积计算不出错。

再细说点，这个雅可比矩阵其实就是通过一个简单的公式算出来的：你先对原坐标系里的每个坐标做偏导数，再按照一定的规则排成矩阵。

雅克比矩阵(Jacobi).

雅可比矩阵(Jacobi方法)Jacobi 方法Jacobi方法是求对称矩阵的全部特征值以及相应的特征向量的一种方法，它是基于以下两个结论1) 任何实对称矩阵A可以通过正交相似变换成对角型，即存在正交矩阵Q,使得Q T AQ = diag(λ1 ,λ2,…,λn) (3.1)其中λi(i=1,2,…,n)是A的特征值，Q中各列为相应的特征向量。

2) 在正交相似变换下,矩阵元素的平方和不变。

即设A=(aij )n×n,Q交矩阵,记B=Q T AQ=(bij )n×n, 则Jacobi方法的基本思想是通过一次正交变换,将A中的一对非零的非对角化成零并且使得非对角元素的平方和减小。

反复进行上述过程,使变换后的矩阵的非对角元素的平方和趋于零，从而使该矩阵近似为对角矩阵，得到全部特征值和特征向量。

1 矩阵的旋转变换设A为n阶实对称矩阵，考虑矩阵易见 Vij(φ)是正交矩阵, 记注意到B=VijA的第i,j行元素以及的第i,j列元素为可得≠0，取φ使得则有如果aij对A(1)重复上述的过程，可得A(2) ,这样继续下去, 得到一个矩阵序列{A(k) }。

可以证明，虽然这种变换不一定能使矩阵中非对角元素零元素的个数单调增加，但可以保证非对角元素的平方和递减，我们以A与A(1)为例进行讨论。

设由式(3.4)可得这表明,在上述旋转变换下,非对角元素的平方和严格单调递减,因而由(3.2)可知，对角元素的平方和单调增加。

2. Jacobi方法通过一系列旋转变换将A变成A(k+1) ,求得A的全部特征值与特征向量的方法称为Jacobi方法。

计算过程如下1)令k=0, A(k) =A2) 求整数i,j, 使得3) 计算旋转矩阵4) 计算A(k+1)5) 计算6) 若E(A(k+1))<ε, 则为特征值，Q T = (V(0) V(1)…V(k+1))T的各列为相应的特征向量；否则，k+1=>k返回2,重复上述过程。

雅可比算法求矩阵的特征值和特征向量

雅可⽐算法求矩阵的特征值和特征向量⽬的求⼀个实对称矩阵的所有特征值和特征向量。

前置知识对于⼀个实对称矩阵A ，必存在对⾓阵D 和正交阵U 满⾜D =U T AUD 的对⾓线元素为A 的特征值，U 的列向量为A 的特征向量。

定义n 阶旋转矩阵G (p ,q ,θ)=1⋯0 ⋱ 1 cos θ−sin θ 10 ⋱ 0即在单位矩阵的基础上，修改a pp =a qq =cos θ,a qp =−a pq =sin θ对于n 阶向量α，α⋅G (p ,q ,θ)的⼏何意义是把α在与第p 维坐标轴和第q 维坐标轴平⾏的平⾯内旋转⾓度θ，并且旋转后的模长保持不变。

算法原理⼤概思路使通过旋转变换使⾮对⾓线上的元素不断变⼩，最后得到与原矩阵相似的对⾓矩阵。

每次找到矩阵A 绝对值最⼤的的⾮对⾓线元素，设为a pq ，令U =G (p ,q ,θ)，将A 变换为U T AU变换后的值为通过令b p ,q =0解得θ=12arctan 2a pq a qq−a pp 特别地当a qq =a pp 时θ=π4注意到旋转操作并不会改变每个⾏向量或列向量的模长，即矩阵A 的F-范数||A ||F =∑i ∑j a 2ij 是不变的，并且通过计算可以得出$$b_{ip}2+b_{iq}2=a_{ip}2+a_{iq}2$$从⽽可以得知⾮对⾓线元素的平⽅和变⼩，对⾓线上元素的平⽅和增⼤，故⾮主对⾓线上元素的平⽅和收敛。

算法流程（1）令矩阵T =E ，即初始化单位矩阵（2）找到A 中绝对值最⼤的⾮对⾓选元素a pq（3）找到对应的⾓度θ，构造矩阵U =G (p ,q ,θ)（4）令A =U T AU ,T =TU（5）不停地重复（2）到（4），直到a pq <ϵ或迭代次数超过某个限定值，则A 的对⾓线元素近似等于A 的特征值，T 的列向量为A 的特征向量代码#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int N=1005;const double eps=1e-5;const int lim=100;int n,id[N];[√double key[N],mat[N][N],EigVal[N],EigVec[N][N],tmpEigVec[N][N];bool cmpEigVal(int x,int y){return key[x]>key[y];}void Find_Eigen(int n,double (*a)[N],double *EigVal,double (*EigVec)[N]){for (int i=1;i<=n;i++)for (int j=1;j<=n;j++)EigVec[i][j]=0;for (int i=1;i<=n;i++) EigVec[i][i]=1.0;int count=0;while (1){//统计迭代次数count++;//找绝对值最⼤的元素double mx_val=0;int row_id,col_id;for (int i=1;i<n;i++)for (int j=i+1;j<=n;j++)if (fabs(a[i][j])>mx_val) mx_val=fabs(a[i][j]),row_id=i,col_id=j;if (mx_val<eps||count>lim) break;//进⾏旋转变换int p=row_id,q=col_id;double Apq=a[p][q],App=a[p][p],Aqq=a[q][q];double theta=0.5*atan2(-2.0*Apq,Aqq-App);double sint=sin(theta),cost=cos(theta);double sin2t=sin(2.0*theta),cos2t=cos(2.0*theta);a[p][p]=App*cost*cost+Aqq*sint*sint+2.0*Apq*cost*sint;a[q][q]=App*sint*sint+Aqq*cost*cost-2.0*Apq*cost*sint;a[p][q]=a[q][p]=0.5*(Aqq-App)*sin2t+Apq*cos2t;for (int i=1;i<=n;i++)if (i!=p&&i!=q){double u=a[p][i],v=a[q][i];a[p][i]=u*cost+v*sint;a[q][i]=v*cost-u*sint;u=a[i][p],v=a[i][q];a[i][p]=u*cost+v*sint;a[i][q]=v*cost-u*sint;}//计算特征向量for (int i=1;i<=n;i++){double u=EigVec[i][p],v=EigVec[i][q];EigVec[i][p]=u*cost+v*sint;EigVec[i][q]=v*cost-u*sint;}}//对特征值排序for (int i=1;i<=n;i++) id[i]=i,key[i]=a[i][i];std::sort(id+1,id+n+1,cmpEigVal);for (int i=1;i<=n;i++){EigVal[i]=a[id[i]][id[i]];for (int j=1;j<=n;j++)tmpEigVec[j][i]=EigVec[j][id[i]];}for (int i=1;i<=n;i++)for (int j=1;j<=n;j++)EigVec[i][j]=tmpEigVec[i][j];//特征向量为列向量}int main(){scanf("%d",&n);for (int i=1;i<=n;i++)for (int j=1;j<=n;j++)scanf("%lf",&mat[i][j]);Find_Eigen(n,mat,EigVal,EigVec);printf("EigenValues = ");for (int i=1;i<=n;i++) printf("%lf ",EigVal[i]);printf("\nEigenVector =\n");for (int i=1;i<=n;i++)for (int j=1;j<=n;j++)printf("%lf%c",EigVec[i][j],j==n?'\n':' ');return 0;}Processing math: 100%。

02-课件：4.2 雅克比矩阵构建(矢量积法)

动学方程中的关节变量进行微分计算而得到的雅可比矩阵。
•
•
x q e J (q)
J --雅可比矩阵
机器人末端运动的描述（位姿、速度）
在操作空间中描述机器人末端的位姿，在关节空间中描述关节的角度：
对于转动关节
对于移动关节
机器人末端运动的描述（位姿、速度）
末端位姿的描述方法：
方向余弦
欧拉角
RPY角
3
3Z 3
2 3
R
1
2 2
3
3Z 3
2 3
R
T
2 2
3
3Z 3
c3 s3
0
s3 c3 0
0
0 2 2
•
3
3Z 3
c3 s 3
1
0
s3 c3 0
0 0
0
0
0
1
•
1
0
•
2
•
3
0 1
•1
0
•
2
•
3
3v3
3 2
R
2v2 2 2
2 3
R
1
2v2 2 2
3
3v
l1s2 l1c2
l2
•
0
l2
1
•
2
c12 s12 0
0 3
R
s
12
c12
0
0 0 1
3J
l1s2 l1c2
l2
0
l 2
通过速度传递关系计算雅可比矩阵（续9/9）
0
J
c12
s 12
s12 l1s2
c12
l1c2
l2

雅克比矩阵(Jacobi).

2) 在正交相似变换下,矩阵元素的平方和不变。

反复进行上述过程,使变换后的矩阵的非对角元素的平方和趋于零，从而使该矩阵近似为对角矩阵，得到全部特征值和特征向量。

可以证明，虽然这种变换不一定能使矩阵中非对角元素零元素的个数单调增加，但可以保证非对角元素的平方和递减，我们以A与A(1)为例进行讨论。

设由式(3.4)可得这表明,在上述旋转变换下,非对角元素的平方和严格单调递减,因而由(3.2)可知，对角元素的平方和单调增加。

2. Jacobi方法通过一系列旋转变换将A变成A(k+1) ,求得A的全部特征值与特征向量的方法称为Jacobi方法。

3.4机器人运动学雅可比矩阵

r f ( )
一般情况：
r f ( )
T m1 n1
r r1 , r2 , , rm R
1 , 2 , , n R
rj f j (1,2 ,,n )
j 1,2,, m
若n>m，手爪位置的关节变量有无限个解，通常工业用机器人有3个位置变量和3个姿态变量，共6个自由度（变量）。
f1 n m n R f m n
2、与平移速度有关的雅可比矩阵
相对于指尖坐标系的平移速度，是通过把坐标原点固定在指尖上，指尖坐标系相对于基准坐标系的平移速度来描述
O0 x0 y0 z0 Oe xe ye ze
：基准坐标系
：指尖坐标系
机器人雅可比矩阵机器人运动学机器人逆运动学雅可比矩阵matlab雅可比矩阵机器人正逆运动学雅克比矩阵机器人雅可比迭代矩阵家可比矩阵安堂机器人
3.4
机器人的雅可比矩阵
微分运动与速度
1、
微分运动指机构的微小运动，可用来推导不同部件之间的速度关系。机器人每个关节坐标系的微分运动，导致机器人手部坐标系的微分运动，包括微分平移与微分旋转运动。将讨论指尖运动速度与各关节运动速度的关系。前面介绍过机器人运动学正问题
J J1 J2
nm6
r f ( )
对位置方程进行求微分得：
dr J d r J dt dt
两边乘以dt，可得到微小位移之间的关系式
dr Jd
J 表示了手爪的速度与关节速度之间关系，称之为雅克比矩阵。
f1 1 f J T f m 1
ze
z0
P e
Oe
xe

坐标变换雅可比行列式推导

坐标变换雅可比行列式推导在数学和物理领域中，坐标变换雅可比行列式是一种重要的工具，通常用于描述物体在不同坐标系下的变换关系。

在本文中，我们将详细推导坐标变换雅可比行列式的计算方法，以帮助读者更好地理解这一概念。

一、坐标变换的基本概念在二维空间中，我们通常用一个二维向量(x,y)来表示一个点的坐标。

当我们需要将这个点从一个坐标系变换到另一个坐标系时，我们通常会利用线性变换矩阵来进行计算。

假设我们有一个线性变换矩阵A，它可以将原始坐标系下的向量(x,y)变换为新坐标系下的向量(x′,y′)，即：$$\\begin{pmatrix}x'\\\\y' \\end{pmatrix} = A\\begin{pmatrix}x\\\\y\\end{pmatrix}$$二、雅可比行列式的定义雅可比行列式是一个矩阵对应的行列式的绝对值。

在坐标变换中，雅可比行列式表示了坐标系变换对坐标点间距离比例的影响。

假设我们有一个二维坐标变换的雅可比矩阵为J，则雅可比行列式det(J)的计算方法为：$$det(J) = \\left|\\det \\begin{pmatrix} \\frac{\\partial x'}{\\partial x} &\\frac{\\partial x'}{\\partial y} \\\\ \\frac{\\partial y'}{\\partial x} &\\frac{\\partial y'}{\\partial y} \\end{pmatrix}\\right|$$其中，$\\frac{\\partial x'}{\\partial x}$表示x′关于x的偏导数，$\\frac{\\partial x'}{\\partial y}$表示x′关于y的偏导数。

三、雅可比行列式推导过程我们以二维空间中的坐标变换为例，推导雅可比行列式的计算方法。

雅可比行列式复习进程

雅可比行列式§11.2 .函数行列式教学目的掌握函数行列式．教学要求(1)．掌握函数行列式(2) 能用函数行列式解决一些简单的问题一、函数行列式由n A R ⊂到R 的映射（或变换）就是n 元函数，即 12(,,,,)n n x x x y f A R R R ∈⊂⨯⊂⨯L ，或 1212(,,,),(,,,).n n y f x x x x x x A =∈L L由n A R ⊂到n R 的映射（或变换）就是n 个n 元函数构成的函数组，即 1212(,,,,,,,)n n n n n x x x y y y f A R R R ∈⊂⨯⊂⨯L L ，或1112221212,12(,,),(,,),(,).(1)(,,).n nn n n n y f x x x y f x x x x x x A y f x x x =⎧⎪=⎪∈⎨⎪⎪=⎩L L L L L L L表为12(,,)n f f f L ，设它们对每个自变量都存在偏导数,1,2,1,2ijf i n j n x ∂==∂L L ，行列式111122221212nn n n n nf f f x x x f f f x x x f f f x x x ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂L LM M M ML（2）称为函数组12(,,)n f f f L 在点12,(,)n x x x L 的雅可比行列式，也称为函数行列式，表为121212,12,(,,)(,,)(,)(,)n n n n f f f D f f f x x x D x x x ∂∂L L L L 或.例：求下列函数组（变换）的函数行列式： 1.极坐标变换cos ,sin .x r y r ϕϕ=⎧⎨=⎩cos sin (,)sin cos (,)xxr rx y yy r r rϕϕϕϕϕϕϕ∂∂-∂∂∂==∂∂∂∂∂22cos sin .r r r ϕϕ=+=2.柱面坐标变换cos ,sin ,.x r y r z z ϕϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩22cos sin 0(,,)sin cos 0cos sin (,,)001x x x rzr x y z yy yr r r r r z rzz z z r zϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂===+=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂. 3.球面坐标变换sin cos ,sin sin ,cos .x r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩2sin cos cos cos sin sin (,,)sin sin cos sin sin cos sin .(,,)cos sin 0x x x rr r x y z yy yr r r r rr z z z rϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕϕθϕθϕϕϕθ∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂===∂∂∂∂-∂∂∂∂∂∂二、函数行列式的性质为了简单起见，仅就n=2的情形加以讨论，所有结果对任意自然数n 都是正确的. 已知一元函数()y f x =与()x t ϕ=的复合函数[()]y f t ϕ=的导数是dy dy dxdt dx dt=，与它类似的有：定理1.若函数组(,),(,)u u x y v v x y ==有连续的偏导数，而(,),(,)x x s t y y s t ==也有连续偏导数，则(,)(,)(,)(,)(,)(,)u v u v x y s t x y s t ∂∂∂=∂∂∂. 证明：由复合函数的微分法则，有,u u x u y u u x u y s x s y s t x t y t ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ ,v v x v y v v x v y s x s y s t x t y t ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂由行列式的乘法，有(,)(,)u x u y u x u yuu x s y s x t y t u v st vv v x v yv x v ys t st x s y sx t y t ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂(,)(,)(,)(,)u u x xx y u v x y s t v v y y x y s t x ys t∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂. 若一元函数()y f x =在点0x 某邻域具有连续的导数()f x '，且0()0f x '≠.由连续函数的保号性，在点0x 某邻域0,()()f x f x ''∆与保持同一符号，因而在∆函数()y f x =严格单调，它存在反函数()x y ϕ=，且1.dx dy dydx= 和它类似的有：定理2.若函数组(,),(,)u u x y v v x y ==有连续的偏导数，且(,)0(,)u v x y ∂≠∂，则存在有连续偏导数的反函数组(,),(,)x x u v y y u v ==，且(,)1.(3)(,)(,)(,)x y u v u v x y ∂=∂∂∂证明：§11.1.定理3的推论已给出存在连续偏导数组的证明.下面证明（3）式成立.在定理1中，令,s u t v ==，有(,)(,)(,)(,)(,)(,)u v x y u v x y u v u v ∂∂∂=∂∂∂10101u uu v v v u v∂∂∂∂===∂∂∂∂，即(,)1(,)(,)(,)u v x y x y u v ∂=∂∂∂，(,)0(,)u v x y ∂≠∂. 三、函数行列式的几何性质一元函数()y f x =是1R 到1R 的映射.取定一点0x ，它的象是00()y f x =.当自变量x 在点0x 有改变量x ∆，相应y 在0y 有改变量y ∆.线段y ∆的长y ∆与线段x ∆的长x ∆之比y xV V 称为映射f 在0x 到0x x +V 的平均伸缩系数，若当0x →V 时平均伸缩系数y xV V 存在极限，即00000()()limlim '()x x y f x x f x f x x x→→+-==V V V V V V ，则称0'()f x 是映射 f 在点0x 的伸缩系数.由此可见，一元函数()y f x =在点0x 的导数的绝对值0'()f x 有新的几何意义：它是映射f 在点0x 的伸缩系数.同样，2R 到2R 的变换(,),(,)u u x y v v x y ==也有类似的几何意义.定理3 .若函数组(,),(,)u u x y v v x y ==在开区域G 存在连续的偏导数，且 (,)x y G ∀∈，有(,)(,)0(,)u v J x y x y ∂≡≠∂.函数组将xy 平面上开区域G 变换称uv 平面上的开区域'G .点00(,)x y G∈变换成uv 平面上点'000000(,)[(,),(,)]u v u x y v x y G =∈，则包含点00(,)u v 的面积微元'd σ与对应的包含点00(,)x y 的面积微元之比是00(,)J x y ，即00'00(,)(,)(,)(,)x y d u v J x y d x y σσ∂==∂.。

第四章_微分运动和雅可比矩阵

J (q ) J 1 J 2
J 6 z 0 z 0 0 P 6 0 z 1 z 0 1 P 6 1
z 5 z 0 5 P 6 5
s1{c2(c3c4s5d6s3c5d6s3d4a2)s2[s3c4s5d6c3(c5d6d4)]}c1(s4s5d6d2) c1{c2(c3c4s5d6s3c5d6s3d4a2)s2[s3c4s5d6c3(c5d6d4)]}s1(s4s5d6d2)
0
0
T
J4
0
s
5c
6
s5s6
c 5
0
0
T
J5
0
s
6
c
6
0
0
0
T
J6
0
0
0
1
逆雅可比矩阵
若给定机器人终端手抓的广义速度向量V，则可由下式解出相应的关节速度：
Jl1 J a1
Jl2 J a1
q1
Jln J a1
q2
由于 q i d i
所以 JLi bi1
(2)第i个关节为转动关节时， q i i 设某时刻仅此关节运动，其余的关节静止不动，仍然利用bi-1将 zi-1轴上的角速度转化到基础坐标中去
i bi1 i
ri 1 ,e
仅旋转关节产生的线速度
矢量 r i 1 起, e 于Oi-1，止于On，所以由ωi
T T T T T T
dx dy dz
x y z
nx ox a0x 0 0
ny oy ay 0 0 0
nz oz az 0 0 0
(Pn)x (Po)x (Pa)x
nx ox ax
(Pn)y (Po)y (Pa)y

速度运动学-雅可比矩阵

速度运动学-雅可比矩阵第4章速度运动学——雅可比矩阵在数学上，正运动学方程在笛卡尔位置和姿态空间与关节位置空间之间定义了一个函数，速度之间的关系由这个函数的雅可比矩阵来决定。

雅可比矩阵出现在机器人操作的几乎各个方面：规划和执行光滑轨迹，决定奇异位形，执行协调的拟人动作，推导运动的动力学方程，力和力矩在末端执行器和机械臂关节之间的转换。

1.角速度：固定转轴情形k θω&=（k 是沿旋转轴线方向的一个单位向量，θ&是角度θ对时间的倒数） 2.反对称矩阵一个n n ⨯的矩阵Sρ被称为反对称矩阵，当且仅当=+S S T ,我们用)3(so 表示所有33⨯反对称矩阵组成的集合。

如果)3(so S ∈，反对称矩阵满足0=+ji ijs s3,2,1,=j i ，所以iiS =0，S 仅包含三个独立项，并且每个33⨯的反对称矩阵具有下述形式：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=000121323s s s s s s S如果Tzyxa a a a ),,(=是一个3维向量，我们将对应的反对称矩阵)(a S 定义为如下形式：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=000)(xy x zy z a a a a a a a S反对称矩阵的性质1）)()()(b S a S b a S βαβα+=+ 向量a 、b 属于3R ，α、β为标量2）p a p a S ⨯=)( 向量a 、b 属于3R ，p a ⨯表示向量叉乘 3）)()(Ra S Ra RS T=，左侧表示矩阵)(a S 的一个相似变换，这个公式表明：)(a S 在坐标系中经过R 旋转操作的矩阵表示与反对称矩阵)(a SR 相同，其中)(a SR 对应于向量a 被转过R 这种情形。

4）对于一个n n ⨯的反对称矩阵S ,以及任何一个向量nR X ∈，有0=SX XT旋转矩阵的导数 )(θθSR R d d =公式表明：计算旋转矩阵的R 的导数，等同于乘以一个反对称矩阵S 的矩阵乘法操作。

速度递推法求雅可比矩阵

速度递推法求雅可比矩阵雅可比矩阵是一个非常重要的数学概念，它在物理、工程、计算机科学等领域中都有广泛的应用。

而速度递推法是一种求解雅可比矩阵的有效方法，下面我们就来详细介绍一下这个方法。

首先，我们需要了解一下什么是雅可比矩阵。

雅可比矩阵是一个由一组函数的偏导数组成的矩阵，它在数学中有着广泛的应用。

例如，在物理学中，雅可比矩阵可以用来描述多体系统的运动状态；在计算机科学中，雅可比矩阵可以用来求解非线性方程组等问题。

接下来，我们来介绍一下速度递推法。

速度递推法是一种求解雅可比矩阵的有效方法，它的基本思想是利用矩阵的递推性质，通过迭代计算得到雅可比矩阵的近似解。

具体来说，速度递推法的计算过程如下：1. 首先，我们需要确定一个初始的雅可比矩阵的近似解，通常可以选择单位矩阵作为初始解。

2. 然后，我们利用雅可比矩阵的递推性质，通过迭代计算得到雅可比矩阵的近似解。

具体来说，我们可以使用以下公式进行迭代计算：J_{k+1} = J_k + \frac{f(x_k)}{\Delta x_k} \cdot \Delta x_k其中，J_k表示第k次迭代得到的雅可比矩阵的近似解，f(x_k)表示在点x_k处的函数值，\Delta x_k表示迭代步长。

3. 最后，我们可以通过不断迭代计算，直到雅可比矩阵的近似解收敛为止。

通常情况下，我们可以设置一个收敛条件，例如当两次迭代得到的雅可比矩阵的近似解之间的差距小于某个阈值时，就认为近似解已经收敛。

总之，速度递推法是一种求解雅可比矩阵的有效方法，它可以在物理、工程、计算机科学等领域中得到广泛的应用。

在实际应用中，我们可以根据具体的问题来选择合适的迭代步长和收敛条件，以得到更加精确的近似解。

动力学分析基础--雅克比矩阵

动力学分析基础——雅可比矩阵代码编写,资料整理——ZH1110动力学仿真计算归结为对典型的常微分方程组的初值问题。

在解上述的初值问题时，除了应用常微分方程初值问题的数值积分外，还将用到求解线性代数方程组的数值方法,所以首先我们必须先研究这两个常用的计算机算法,已便于后面的计算.高斯消去法求解线性代数方程组(直接法,即消去法)，已在线性代数课程中有详细的讨论，在此给出些说明以及具体的算法描述。

大致可以分为以下两步。

1．将系数矩阵经过一系列的初等行变换（归一化）在变换过程中，采用原地工作，即经变换后的元素仍放在原来的位置上。

2.消去。

它的作用是将主对角线以下的均消成0，而其它元素与向量中的元素也应作相应的变换最后，进行回代依次解出如:我们要解如下方程组：初等行变换:回代得到结果:龙格-库塔算法求解常微分方程用欧拉算法、改进欧拉算法以及经典龙格-库塔算法对常微分方程的初值问题进行数值求解算法。

动力学仿真计算最后会出现一加速度，速度，坐标的两阶微分方程组，其积分需要这种计算方法。

一、使用欧拉算法及其改进算法（梯形算法）进行求解所谓的微分方程数值求解，就是求问题的解y(x)在一系列点上的值y(xi)的近似值yi。

欧拉(Euler)算法是其实现的依据是用向前差商来近似代替导数。

对于常微分方程：dy/dx=f(x,y)，x∈[a,b]y(a)=y0可以将区间[a,b]分成n段，那么方程在第xI点有y'(xI)=f(xI,y(xI))，再用向前差商近似代替导数则为：(y(xI+1)-y (xI))/h= f(xI,y(xI))，因此可以根据xI点和yI点的数值计算出yI+1来.由此可以看出，常微分方程数值解法的基本出发点就是计算离散化点。

yI+1= yI+h*f(xI ,yI)下面就举一个简单的常微分方程y'=x-y+1,x∈[0,0.5]y(0)=1 （人工计算后的解析式为:y(x)=x+e-x）'欧拉算法Private Sub Euler()For x = 0 To 0.5 Step 0.1y(i + 1) = y(i) + 0.1 * (x - y(i) + 1)List1.AddItem y(i)i = i + 1NextEnd Sub由于方程曲线是内凹的所以无论如何减少步距,得到的结果都小于真实值，有必要采取措施来抑制、减少误差，尽量使结果精确。

雅可比方法

第二节雅可比方法雅可比方法是用来计算实对称矩阵A 的全部特征值及其相应特征向量的一种变换方法.在介绍雅可比方法之前，先介绍方法中需要用到的线性代数知识与平面上的旋转变换.一预备知识（1）如果n 阶方阵A 满足()A A I A A T ==-1即则称A 为正交阵.(2) 设A 是n 阶实对称矩阵，则A 的特征值都是实数，并且有互相正交的n 个特征向量.(3) 相似矩阵具有相同的特征值.(4) 设A 是n 阶实对称矩阵，P 为n 阶正交阵，则AP P B T =也是对称矩阵.(5) n 阶正交矩阵的乘积是正交矩阵.(6) 设A 是n 阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P ，使∧=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n T AP P λλλ 21 (1)其中Λ的对角线元素的是A 的n 个特征值，正交阵P 的第i 列是A 的对应于特征值i λ的特征向量.由(6)可知,对于任意的n 阶实对称矩阵A ，只要能求得一个正交阵P ，使Λ=AP P T (Λ为对角阵),则可得到A 的全部特征值及其相应的特征向量,这就是雅可比方法的理论基础.二旋转变换设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22211211a a a aA 为二阶实对称矩阵,即2112a a =.因为实对称矩阵与二次型是一一对应的,设A 对应的二次型为()222221122111212x a x x a x a x ,x f ++= (2)由解析几何知识知道，方程()C x ,x f =21表示在21x ,x 平面上的一条二次曲线.如果将坐标轴21Ox ,Ox 旋转一个角度θ,使得旋转后的坐标轴21Oy ,Oy 与该二次曲线的主轴重合,如图4-1所示,则在新的坐标系中,二次曲线的方程就化成C y y =+222211λλ (3) 这个变换就是⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121y y cos sin sin cos x x θθθθ (4)变换(4)把坐标轴进行旋转,所以称为旋转变换.其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=θθθθcos sin sin cos P (5) 称为平面旋转矩阵。

雅可比迭代公式矩阵求法

雅可比迭代公式矩阵求法
在图形图像中很多地方用到求矩阵的特征值和特征向量，比如主成分分析、OBB包围盒等。

编程时一般都是用数值分析的方法来计算，这里介绍一下雅可比迭代法求解特征值和特征向量。

雅可比迭代法的原理，网上资料很多，详细可见参考资料1.这里我们简单介绍求解矩阵S特征值和特征向量的步骤：
1、初始化特征向量为对角阵V，即主对角线的元素都是1.其他元素为0.
2、在S的非主对角线元素中，找到绝对值最大元素Sij。

3、用下式计算tan2θ，求cosθ、sinθ及旋转矩阵Gij。

雅可比矩阵算法

雅可比矩阵算法
雅可比矩阵算法主要用于分析多元函数的导数或微分，具体步骤如下：
1. 定义：设U⊂ℝⁿ，f:U→ℝ为光滑映射，fⁱ:=uⁱ∘f:U→ℝ为分量函数，则f 在p点的雅克比矩阵为k×n矩阵Df(p)，其(i,j)矩阵元为Dfⁱ(p)。

2. 分析：雅可比矩阵体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近，其重要性在于它类似于多元函数的导数。

3. 应用：雅可比矩阵主要用于研究非线性变换后的网格分布。

当非线性变换后，网格分布可能不等距或不平行，但如果把局部放大，在某一点附近，可以近似的把这个变换看成是局部线性变换。

以上是雅可比矩阵算法的基本步骤和应用，仅供参考，如需了解更多信息，建议查阅相关文献或咨询专业数学研究人员。

矩阵雅克比迭代算法

雅克比迭代实验目的：1.学习和掌握线性代数方程组的jacobi 迭代法。

2.运用jacobi 迭代法进行计算。

方法原理：设方程组Ax=b 的系数矩阵A 非奇异而且),...,2,1(0n i a ii =≠，将A 分裂为 A=D+L+U,可以使计算简便。

其中),,...,,(2211nn a a a diag D =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0...............0...00 (002)121n n a a a L ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0..................00...02112nn a a a U A=D+L+U ，其中),,...,,(2211nn a a a diag D =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0...............0...00 (002)121n n a a a L ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0..................00...02112nn a a a U 将方程组n ,...,2,1i ,b x a i n1j j ij ==∑=乘以iia 1，得到等价的方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑≠=nij 1j j ij i ii i x a b a 1x ，i=1，2，…n ，简记为x Bx f=+。

其中 11()B I D A D L U --=-=-+, 1f D b -=. 我们称x Bx f ϕ=+为迭代函数。

任取初始向量(0)x x=，按照(1)()k k xBx f+=+形成迭代格式，称这种迭代方法为Jacobi 迭代法。

算法描述：Step1：给定一组x ，即初值。

Step2：用for 循环计算：x[k+1]=(b[i]-∑∑+=-=-n1i j 1i 1j ]j [x ]j ][i [a ]j [x ]j ][i [a )/a[i][i].Step3:当fabs(x[k+1]-x[k])<eps时停止。

程序代码：头文件：#include<iostream.h>typedef double Datatype;class Matrix{private:Datatype **ar;int M;int N;public:Matrix(int a=0,int b=0);Matrix(Matrix &A);~Matrix();void print();void Init();void Jacobi(Matrix b,Matrix x,Matrix &xx);bool compare(Matrix X);void change(Matrix xx);};CPP文件：#include<iostream.h>#include<malloc.h>#include<iomanip.h>#include"Jacobi.h"#define E 0.0000001#include<math.h>Matrix::Matrix(int a,int b)///////////////////构造函数{M=a;N=b;ar=(Datatype **)malloc(sizeof(Datatype *)*M);for(int i=0;i<M;++i){ar[i]=(Datatype *)malloc(sizeof(Datatype)*N);for(int j=0;j<N;++j){ar[i][j]=0;}}}Matrix::~Matrix()////////////////////////////析构函数{for(int i=0;i<M;++i){free(ar[i]);}free(ar);}Matrix::Matrix(Matrix &A){M=A.M;N=A.N;Datatype **p=(Datatype **)malloc(sizeof(Datatype *)*M);for(int i=0;i<M;++i){p[i]=(Datatype *)malloc(sizeof(Datatype)*N);for(int j=0;j<N;++j){p[i][j]=A.ar[i][j];}}ar=p;}void Matrix::print()////////////////////////打印函数{for(int i=0;i<M;++i){for(int j=0;j<N;++j){cout<<setw(5)<<ar[i][j];}cout<<endl;}}void Matrix::Init()/////////////////////////初始化函数{for(int i=0;i<M;++i){cout<<"请输入第"<<i+1<<"行数据"<<endl;for(int j=0;j<N;++j){cin>>ar[i][j];}}}void Matrix::Jacobi(Matrix b,Matrix x,Matrix &xx) {for(int i=0;i<N;++i){Datatype sum=0;for(int j=0;j<N;++j){if(i==j)continue;sum+=ar[i][j]*x.ar[j][0];}xx.ar[i][0]=(b.ar[i][0]-sum)/ar[i][i];}}bool Matrix::compare(Matrix X){int flag=0;for(int i=0;i<M;++i){for(int j=0;j<N;++j){if(fabs(ar[i][j]-X.ar[i][j])>E){flag=1;break;}}break;}if(flag==1)return false;//程序需继续迭代elsereturn true;//迭代结束}void Matrix::change(Matrix xx){for(int i=0;i<M;++i){ for(int j=0;j<N;++j) { ar[i][j]=xx.ar[i][j]; } } }主程序：#include"Jacobi.h"void main() { int row; cout<<"*****"<<endl; cin>>row; Matrix A(row,row),b(row,1),x(row,1),xx(row,1); cout<<"请输入系数矩阵"<<endl; A.Init();//系数 cout<<"请输入矩阵b"<<endl; b.Init();//b cout<<"请输入迭代初始值"<<endl; x.Init();//迭代初始值 while(1) { A.Jacobi(b,x,xx); if(pare(xx)) { xx.print(); break; } x.change(xx); } }测试数据：1231231232213225x x x x x x x x x +-=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 测试结果：参考文献：[1]刑志栋，矩阵数值分析，陕西：陕西科学技术出版社，2005。