复变函数基本理论总结

• 判断复数相等 z1 z2 x1 x2 , y1 y2 ,其中z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 z 0 Re(z) Im( z) 0
一般, 任意两个复数不能比较大小。
2. 代数运算
•四则运算 定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：
例4.证明 : z1 z2 2 z1 z2 2 2 z1 2 z2 2
z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1； (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)； z1(z2z3)=(z1z2)z3； z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .
3.共轭复数
定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数.
•共轭复数的性质
(conjugate)
(1) (z1 z2 ) z1 z2 (2) z z
(z1z2 ) z1z2
(4)z z 2 Re(z)
( z1 ) z1源自文库
z z 2i Im(z)
z2 z2
(3)zz Re(z)2 Im( z)2 x2 y2
1z z | z |2
例1 : 设z1 5 5i, z2 3 4i, 求 z1 ,( z1 )及 它 们 的 实 部, 虚 部 . z2 z2
1. 复数的概念
定义 对任意两实数x、y ,称 z=x+iy或z=x+yi
为复数其。中 i 2 1 , i称为虚单位。
•复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)
• 复数的模 | z | x2 y2 0
4 x2 3x
还是无解。
x(10 x) 40
到18世纪末，欧拉、末塞尔、高斯先后提出了 虚数单位、复数等概念。19世纪中叶后，对复 数的研究逐渐发展成为一个庞大的分支—复变 函数论。
由于解方程的需要，人们引进了一个 新数，叫做虚数单位，并规定:
（1） i2 1
（2）实数可以与它进行四则运算， 进行运算时， 原有的一切算律仍然成立。
解 : z1 5 5i 7 i z2 3 4i 5
例2 : 求
1 i 4
1i
1i i 1 i
例3.证 明 若z是 实 系 数 方 程 an xn an-1xn1 a1 x a0 0
的 根,则z也 是 其 根. (实 多 项 式 的 零 点 成 对 出现)
z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)
z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)
z

z1 z2

x1 x2 y1 y2 | z2 |2
i
x2 y1 x1 y2 | z2 |2
(z2 0)
•运算规律
复数的运算满足交换律、结合律、分配律。 （与实数相同）即，
第一章 复数的基本概念
自变量为复数的函数就是复变函数，它 是本门课程的研究对象。本章先对中学中 学习的复数知识进行复习和补充，然后给 出复平面上区域的概念及复变函数的极限 和连续性等概念。为后续内容的学习打下 基础。
§1 复数及其代数运算
随着生产和科学的发展，数的概念也得到了发展，
数的范围也不断扩大。但是，数的范围扩大到实数 集后，诸如方程，