高等数学复习提纲：线性代数与空间解析几何(一)
线性代数与空间解析几何01-第4节 利用性质计算行列式_4
3111
例1.2.2 计算四阶阶行列式 D 1 3 1 1 .
1131
1113
解 将第2、3、4行都加到第一行得
1111
1111
D r1 6
1 6
1
3 1
1 3
1 r2 r1 6 0 1 r3 r1 0
2 0
0 2
0 48. 0
1 1 1 3 r4 r1 0 0 0 2
1.2 行列式的性质
q11
0
D2
q11 qnn.
qn1 qnn
1.2 行列式的性质
1.2.2 利用性质计算行列式
对D的前k行做运算ri+krj，再对后n列做运算
ci+kcj，把D化为下三角形行列式
p11
0
D pk1 c11
pkk c1k
q11
,
cn1 cnk qn1 qnn
故 D p11 pkk q11 qnn D1 D2 .
x会
z yw
z y r1 r2 x x w y
w r2 r1 z
1.2 行列式的性质
2. 利用性质计算行列式
注意:
1.将几次运算写在一起时,各运算的次序不能颠倒. 例如
x y r1 r2 x z yw r2 r1 x z yw
zw
zw
; x y
x y r2r1 x y r1r2 z w .
1.2 行列式的性质
1.2.2 利用性质计算行列式
1 2 3 4
例1.2.1 计算四阶行列式 D 2
3 4 7 .
1 2 5 8
1 3 5 10
1 2 3 4
1 2 3 4
解 D 2 3
1 2
《线性代数与空间解析几何》复习大纲
=
200 + 1 100 + 2 - 100 + 1 100 - 2 2 1 1 -2
2 4 2 1 1 2 1 2 1 1 -1 1 1 -1 1 -2
= 100
= LL
1 0 = −100 0 0
2 -6 0 0
1 -3 3 2
-2 7 3 2 1 2
= −1800
0
1 + a1 1
L
1 1 M 1 + an
α1 , α 2 , α 3 , α 4
生成的向量空间的基和维数
7、设 R n 中的任一向量 、
α
在基
α1 , α 2 ,L , α n 下的坐标为 {x1 , x2 ,L, xn }
在基
β1 , β 2 ,L , β n 下的坐标为
且有 {y1 , y2 ,L, y2 − x1 , y3 = x3 − x2 , LL , yn = xn − xn −1
1 0 0 2 2 1 2 2 1 ( A B ) → 0 1 0 2 3 1 = ( E A−1 B) 知过渡矩阵为 P = A−1 B = 2 3 1 0 0 1 − 1 − 1 0 − 1 − 1 0 (2)
1 x α = (e1 , e2 , e3 ) 3 = (α1 , α 2 , α 3 ) y = 0 z x A y z
齐次 齐次 非齐次
基础解系 特解
1
1、计算行列式 、
16 96
2 7
24 384 72 3
解:
1 16 2 24 384 72 = 24× 1 16 3 3 96 7 3 96 7
大学国家级精品课程线性代数课程《线性代数与解析几何总复习》精品课件
• 矩阵乘法消去率一般不成立.
AB O A O or B O • 但是，消去率在A可逆时成立.
AB O, A 0 B O
矩阵的秩 非零子式的最高阶数
1) r(Amn) min{m, n} 2) A,B相抵 A,B同型, r(A)= r(B) = r(PAQ) (P,Q可逆).
3) r(Amn) = r A Em(r)nP,Q可逆,A =PEm(r)nQ.
A中至少有一个 r级子式0, 任一k(>r)级子式=0.
A Rsn, B Rnt , r A r B n r AB minr A , r B
5) If AB 0, then r A r B n.
6) r(A) r(B) r(AB) r(A) + r(B)
7 maxr A , r B r A, B r A r B
b可由A的列向量组 A1, A2 , …,An线性表示 xR3时判别直线和
平面的位置关系 方阵的特征值和特
征向量 A= (≠)
方阵的相似对角化
问题 P1AP=
实对称阵正交相似对角
化Q1AQ=diag(1,…,n)
正交变换化实二次 型为标准形
直角坐标变换化二次 曲面为标准形
《几何与代数》复习要点
方阵
初等矩阵: 由单位矩阵经过一次初等变换所得.
《几何与代数》复习要点
矩阵乘法的交换律和消去率
• 矩阵乘法交换率一般不成立
(AB)k Ak Bk (A+B)2 A2 + B2+2AB (A+B)(AB) A2B2
矩阵乘积可交换的情况： 1. 方阵 AkAl=AlAk
2. 对角矩阵 = 3. (a Em) Am×n = Am×n(a En) 4. AA* A*A A E 5. AA1 A1A E
线性代数与空间解析几何总复习
矩阵的三种初等列变换： (1)交换两列的位置(交换第 i，j 两列，记作 ci ↔ cj )； (2)以非零数 k 乘某一列(以 k 乘第 i 列，记作 k ci )； (3)把某一列的 k 倍加到另一列上(把第 j 列的 k 倍加到第 i 列上，记作 ci+ k cj )。 三种初等列变换也是可逆的，并且其逆变换也是同一类型的初等列变换。 矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等变换。 如果矩阵 A 经过有限次初等变换可以化为矩阵 B，就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A～B 6 初等矩阵 由单位矩阵 I 经过一次初等变换得的矩阵称为初等矩阵。 （1） 交换两行（或列）的位置：把单位矩阵 I 中的第 i，j 行的位置交换(ri↔rj)； （2） 以非零数 k 乘某一行（或列） ：以非零数 k 乘单位矩阵 I 的第 i 行(k ri)； （3） 把某一行（或列） 的 k 倍加到另一行（或列）上。 把单位矩阵 I 的第 j 行的 k 倍加到第 i 行上(ri+k rj)。 用 m 阶初等矩阵 Em(i, j)左乘矩阵 A=(a)m×n，相当于对矩阵 A 施行第一种初等行变 换：把 A 的第 i，j 行交换位置 (ri↔rj)； 相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换： 用 n 阶初等矩阵 En(i, j)右乘矩阵 A=(a)m×n， 把 A 的第 i，j 列交换位置 (ci↔cj)； 相当于对矩阵 A 施行第二种初等行变 用 m 阶初等矩阵 Em(i(k ))左乘矩阵 A=(a)m×n， 换：以非零数 k 乘 A 的第 i 行 (kri)； 用 n 阶初等矩阵 En(i(k ))右乘矩阵 A=(a)m×n，相当于对矩阵 A 施行第二种初等列变 换：以非零数 k 乘 A 的第 i 列 (kci)； 用 m 阶初等矩阵 Em(i, j(k ))左乘矩阵 A=(a)m×n，相当于对矩阵 A 施行第三种初等行 变换：把 j 行的 k 倍加到第 i 行 (ri+ krj)； 用 n 阶初等矩阵 En(i, j(k ))右乘矩阵 A=(a)m×n，相当于对矩阵 A 施行第三种初等列 变换：把 i 列的 k 倍加到第 j 列 (cj+ kci)； 定理 2 设 A 是一个 m×n 矩阵，对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边 乘以相应的 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵。 初等矩阵是可逆的。 定理 3（逆矩阵定理） 设 A 是 n 阶矩阵，那么下列各命题等价： （1）A 是可逆矩阵； （2）齐次线性方程组 Ax＝0 只有零解； （3）A 可以经过有限次初等行变换化为 In； （4）A 可表示为有限个初等矩阵的乘积。 7 利用矩阵初等变换求矩阵的逆 设 n 阶矩阵 A 可逆，由定理 3 可知，存在初等矩阵 P1、P2、…、Ps，使得 In ＝ Ps … P2 P1 A
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高等数学之向量代数与空间解析几何知识点与题型总结
向量代数与空间解析几何知识点：
（1）向量代数知识点
（2）两平面夹角与两直线夹角公式
两平面夹角和两直线夹角公式（3）点到直线的距离公式
点到直线的距离
（4）常见二次曲线
常见二次曲线
题型一：求曲线上一点到某一固定平面的最近距离和最远距离例1：
【分析】:曲线上一点(x,y,z)到XOY面的距离为|z|，但把目标函数设为
f(x,y,z)=|z|，不便于计算，因而常把目标函数设为f(x,y,z)=z^2，把两个方程看成约束条件使用拉格朗人数乘法求解即可。
解：
题型二：求直线方程
建立直线方程有两个基本方法：
（1）已知直线L上的一个点P（x0,y0,z0）和直线L的方向向量s={l,m,n}就可以确定直线L；
（2）两个不平行的平面相交于一直线；
例2：求过点(-1,0,4)且平行于平面3x-4y+z=10,又与直线x+1=y-3=z/2相交的直线方程。
分析：只要求出所求直线方向向量即可，可利用所求直线与已知平面平行且与已知直线相交直接求。
解：。
考研数学一高数知识点复习之向量代数与空间解析几何
2018考研数学一高数知识点复习之向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何这一部分内容是数一考生专享的，感觉学习起来很难，摸不清头绪，总是杂乱无章。
这一部分要是直接考题的话，一般不难，考生只需要根据基本概念和基本方法进行求解即可。
但是这一部分有时是和其他知识点综合在一起进行考查的，比如会和我们学习学习过的多元函数微分学的几何应用结合起来一起考，或是会和曲面积分的计算结合在一起进行考查，出一些难度较大的综合题。
在前期的基础阶段，希望大家做到以下几点。
第一，清楚这一章中涉及的基本概念。
第二，记住这一章中的基本公式。
第三，清楚直线与平面之间的联系，会进行相应的分析和转化。
常考考点常考题型考试要求向量 1. 用坐标表达式进行向量运算2.计算向量的数量积、向量积和混合积3.利用向量运算证明或确定向量的关系1.理解空间直角坐标系、理解向量的概念及其表示.2.掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件.3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法.平面方程或直线方程1.已知某些条件，求平面方程2.已知某些条件，求直线方程3.讨论平面与直线之间的关系4.求点到直线的距离5.求点到平面的距离1.掌握平面方程和直线方程及其求法.2.会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题.3.会求点到直线以及点到平面的距离.二次曲面方程和空间曲线在坐标面上投影方程1.求坐标面上曲线绕坐标轴旋转所得的旋转曲面的方程2.求空间曲线绕坐标轴旋转所得的曲面方程1.了解曲面方程和空间曲线方程的概念.2.了解常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方程.3.了解空间曲线的参数方程和一般方程、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程.大家在自学的过程中，一定有一股劲儿进行钻研，只有自己在钻研的过程中，才会更清楚自己的问题所在。
空间解析几何和线性代数资料
（4）单叶双曲面 （5）圆锥面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
x2 y2 z2
3、空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
与b
的夹角
c 的方向既垂直于a
，又垂直于b
，指向符合
右手系.
向量积的坐标表达式
a
b
(a ybz
azby )i
(a
z
bx
axbz ) j
(axby aybx )k
a
b
i ax
j ay
k az
bx by bz
a//
b
6、混合积
ax ay az bx by bz
ax
ax2 ay2 az2
ay
ax2
a
2 y
az2
cos
az
ax2 ay2 az2
( cos2 cos2 cos2 1 )
4、数量积 (点积、内积)
a
b
|
a
||
b
|
cos
其中
为a
与b
的夹角
数量积的坐标表达式
a
b
有序数组
z
空
间
直
角
o
坐
y
标
x
系
共有一个原点,三个坐标轴,三个坐标面,八个卦限.
两点间距离公式: 设M1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
线性代数与空间解析几何复习(哈工大)
19
直线与平面
直线 与平面 Ax+By+Cz=D 垂直
A B C = = m n p
x − x0 y − y0 z − z0 = = m n p
平行 mA+nB+pC=0 直线在平面上 mA+nB+pC=0，Ax0+By0+Cz0=D
20
第四章 n维向量
31
特征值与特征向量的性质
1．n阶方阵A的n个特征值之和等于A的n个对 角线元素之和，即 λ1+ λ2+… +λn= a11+ a22 +… + ann 称a11+ a22 +… + ann为方阵A的迹，记为tr(A) 2．A的n个特征值之积等于A的行列式，即 λ1λ2…λn=|A| n 阶方阵A可逆当且仅当 A的n个特征值 全不为零
16
距离
点（x0, y0, z0）到平面Ax+By+Cz=D
d= | Ax0 + By0 + Cz0 − D | A + B +C
2 2 2
异面直线间距离
s1 × s 2 d = P1 P2 • | s1 × s 2 |
17
位置关系
平面π1：A1x+B1y+C1z=D1与 平面π2：A2x+B2y+C2z=D2 垂直 A1A2+B1B2+C1C2=0 平行
28
非齐次增广矩阵 2．利用初等行变换将其化成行阶梯形，根据系数矩 阵与增广矩阵的秩讨论其解 3．继续利用初等行变换将其化成行最简阶梯形 4．确定自由未知数(非特异列对应的未知数作为自 由未知数，其个数为n-R(A))，写出同解方程组(将 自由未知数项移至方程右边) 5．对自由未知数取值(可取任意数，仅取一组）， 求得方程组的特解 6. 对自由未知数取值（取n-r个n-r维线性无关的向 量），求出方程组的导出组的基础解系 7. 写出方程组的通解
大学线性代数与解析几何习题
→齐次线性方程组Ax=0只有零解
AB=0→B的列向量是齐次线性方程组Ax=0的解→B=0
或：A可逆，即A-1存在→根据AB=0→A-1A B= A-10→B= A-1
三、空间解析几何部分
（一）填空题
1．已知 ，则 ．
提示：a0=a/|a|
2．设 则 ＝．
提示：|a×b|=|a||b|sin→cos→a.b=|a||b|cos
2．
（A） （B）
（C） （D）
提示：|AB|=|A||B|=|BA|
3．设 阶矩阵 ,若矩阵 的秩为 ,则 必为
()
提示：参见书本及作业上的例子。
4．
提示：参见前面的内容。
5． ()
提示：(AB)2=I→ABAB=I→A(BAB)=I→A-1=BAB
(AB)2=I→ABAB=I→(ABA)B=I→B-1=ABA
4．设 ，则 .
提示：对矩阵A施行初等行变换，非零行的行数即为矩阵A的秩。
5．设 ，则当 满足条件时， 可逆.
提示：矩阵A的行列式detA≠0时，矩阵可逆。
(二)选择题
1．设 阶矩阵 ，则必有（）
（A） （B） （C） （D）
提示：A的逆矩阵为BC
2． （）
提示：P的列为齐次线性方程组Qx=0的解，P非零，Qx=0有非零解，故Q的行列式detQ=0
2．设向量 ( )
提示：Prjba=|a|cos，|a|＝3→cos→cosa.b)/(|a||b|)
3． ( )
提示：向量平行，对应坐标分量成比例。
4．设向量 且 ( )
提示：向量混合积的计算方法。
5． ( )
提示：根据向量乘法运算律展开，并考察向量积的方向特性。
01 高数——空间解析几何要点速记
一、空间解析几何知识点速记一、空间解析几何1、向量代数●向量的线性运算向量加法：三角形法则或平行四边形法则：1）交换律a +b =b +a ；2）结合律（a +b ）+c =a+（b +c ）实数与向量的运算法则：设λ、μ为实数，则有：c=a+b1）结合律λ（μa ）=μ（λa ）=（λμ）a ；2）分配律（λ+μ）a =λa +μa ；λ（a +b ）=λa +λb 空间直角坐标系r M OM xi yj zk x y z −−→↔==++↔（，，）；设a =（a x ，a y ，a z ），b =（b x ，b y ，b z ）则有1）a +b =（a x +b x ，a y +b y ，a z +b z ）2）a -b =（a x -b x ，a y -b y ，a z -b z ）3）λa =（λa x ，λa y ，λa z ）4）b //a ⇔b =λa⇔（b x ，b y ，b z ）=λ（a x ，a y ，a z ）⇔zzyy xx a b a b a b ==5）向量模：222||z y x ++=r 6）两点间的距离：→212212212)()()(||||z z y y x x AB AB -+-+-==方向角：非零向量r 与三条坐标轴的夹角α、β、γ称为向量r 的方向角方向余弦：cos ||x r α=，cos ||y r β=，cos ||z r γ=●向量的数量积：a ·b =|a ||b |cos θ几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影θcos ||b 的乘积。
1）a·a =|a |22）a ⊥b ⇔a·b =012120x x y y ⇔+=3）交换律：a·b =b·a ；4）分配律：（a +b ）⋅c =a ⋅c +b ⋅c5）（λa ）·b =a·（λb ）=λ（a·b ）,（λa ）·（μb ）=λμ（a·b ）,λ、μ为数高 数6）a·b =a x b x +a y b y +a z bzcos ||||a b a b θ++⋅=●向量的向量积：c =a ⨯b c 的模|c |=|a ||b |sin θ,其中θ为a 与b 间的夹角；c 的方向垂直于a 与b 所决定的平面，c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定。
线性代数与解析几何1-3
=
证明 左边
=
性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素 乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素 上去，行列式不变．
例如
2 性质的应用 计算行列式常用方法：利用运算 把行 列式化为上三角形行列式，从而算得行列式 的值．
例１ 计算行列式
解
例2 计算n阶行列式
行列式的性质凡是对行成立的对列也 同样成立.
证明
按定义有 又因为行列式 可按列指标表示为
故
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 证明 设行列式
是由行列式
即当时,当时, Nhomakorabea变换 两行得到的,
于是
令 则有： 故
例如
推论 如果行列式有两行（列）完全相同， 则此行列式为零.
证明 互换相同的两行，有
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素 都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.
证明 左边= =右边
推论 行列式的某一行（列）中所有元素的 公因子可以提到行列式符号的外面． 性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式为零． 证明
=0
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都 是两数之和.例如
线性代数与解析几何
2008.9.18
第一章 行列式
§1 二阶与三阶行列式 §2 排列 §3 n阶行列式 §4 行列式的性质 §5 行列式按一行（列）展开 §6 Cramer法则 §7 数域
1 行列式的性质 记
行列式 称为行列式 的转置行列式. 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此
特点：Ø每行元素 的和相同
Ø每列元素 主对角元 以上(下) 完全相同
高等数学期末复习-向量代数与空间解析几何
高等数学期末复习第八章向量代数与空间解析几何一、内容要求1、了解空间直角坐标系，会求点在坐标面、坐标轴上的投影点的坐标2、掌握向量与三个坐标面夹角余弦关系3、会运用定义和运算性质求向量数量积4、会运用定义和运算性质求向量的向量积5、掌握向量数积和向量积的定义形式6、掌握向量模的定义与向量数量积关系7、掌握向量的方向余弦概念8、掌握向量的平行概念9、掌握向量的垂直概念10、能识别如下空间曲面图形方程：柱面，球面、锥面，椭球面、抛物面，旋转曲面，双曲面11、掌握空间平面截距式方程概念，会化平面方程为截距式方程和求截距12、会求过三点的平面方程，先确定平面法向量13、会用点法式求平面方程，通常先确定平面法向量14、会求过一点，方向向量已知的直线对称式方程，通常先确定直线方向向量15、会用直线与平面平行、垂直的方向向量法向量关系确定方程中的参数16、掌握直线对称式方程标准形式，能写出直线方向向量二、例题习题1、点)2,4,1P在yoz面上的投影点为( )；（内容要求1）(-A. )2,4,1Q D. )2,4,0(Q(-(-(-Q B. )2,0,1Q C. )0,4,1解：yoz 面不含x ，所以x 分量变为0，故选D2、设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2,,0321πθθθ≤≤），则=++322212cos cos cos θθθ（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D); 3 解：由作图计算可知，222123cos cos cos 2θθθ++=，所以选C 。
（内容要求2）3、设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2,,0321πθθθ≤≤），则=++322212cos cos cos θθθ ; 解：222123cos cos cos 2θθθ++=，所以填2。
（内容要求2）4、向量)3,1,1(-=a ，)2,1,3(-=b ，则=⋅b a ( )；A. 0B. 1C. 2D. )2,11,5(---解：311(1)232a b ⋅=-⨯+⨯-+⨯=，所以选C 。
《线性代数与空间解析几何》(本科)教学大纲(1)
线性代数与空间解析几何(Linear Algebra and Analytic Geometry)课程教学大纲一、课程编号：040429二、课程类型：必修课课程学时：48适用专业：理工科（除信息与计算科学外）各专业先修课程：中学数学三、课程性质与任务线性代数与空间解析几何是高等工科院校的一门重要的基础理论课，也是代数学中应用最广泛的部分。
实际上它广泛应用于数学的其他分支以及物理化工、工程技术、社会科学等各个领域，特别是近若干年来，随着各种科学量化研究的深入以及计算机的普遍应用，对于线性代数知识的应用需求日益增长，这就要求学生必须具备线性代数和解析几何的各种方法。
四、教学主要内容及学时分配1、向量代数与空间解析几何（6学时）；2、行列式（5学时）；3、矩阵；4、n维向量（9学时）；5、线性方程组（5学时）；6、矩阵的特征值与特征向量（7学时）；7、二次型（6学时）；8、线性空间和线性变换（3学时）。
五、基本要求和基本内容1、向量代数与空间解析几何理解向量概念以及向量的加法、减法和向量与数的乘法（线性运算），了解向量在空间有向线段上的投影、空间直角坐标系、两点间的距离公式与线段的定比分点公式、向量的分解、基本单位向量、向量的坐标、方向余弦与方向数、夹角。
理解两向量的数量积和两向量的向量积，了解两向量垂直的条件和两向量平行的条件，了解曲面方程的概念、球面方程、旋转面（包括旋转轴为坐标轴的圆锥面）方程、母线平行于坐标轴的柱面方程，了解空间曲线方程的概念、空间曲线的参数方程和空间曲线在坐标平面上的投影曲线及其方程，掌握平面的点法式、一般式和截距式方程以及空间直线的参数式、一般式和对称式方程，了解两平面的夹角和平行、垂直的条件、两直线的夹角和平行、垂直的条件、直线与平面的夹角、交点和互相平行、垂直的条件。
2、行列式知道n阶排列和它的逆序数，理解n阶行列式的定义。
掌握行列式的性质，以及行列式的基本计算方法，知道拉普拉斯展开定理。
1高等数学-1空间解析几何与向量代数-1向量代数
空间解析几何与向量代数这里出题历年是2-3个，这2-3个会均给谁呢，至少有一个会均给“向量”，一个会给“曲面”，还有一个呢，是出题老师随意发挥的，那就是随机了，听天由命了，大概率还是在“向量”和“曲面”里面随便找个小的知识点来考察，也就是这2-3题是白送分的。
所以，向量必须要掌握。
曲面讲义提到的不多，是因为曲面太简单了。
下面我们来看什么是向量，向量最本质的含义是什么呢？初始点到终止点所得到的一条有向线段，A B A是初始点，B是终止点注意它是一条线段，不是直线，因为直线是没有方向的，为什么不是有向射线呢，射线是无穷延长的，它没有长度。
只有线段是有长度的，然后在给他加一个方向，他就是向量。
故：向量=线段+方向，所以构成向量根本的条件，第一个是什么？第一个是初始点，第二个是终止点，第三个是方向。
有这三个就构成了向量。
那么我们一般是怎么记作向量呢，给定一个起点A，然后再给定一个终点A，然后我们把AB 连起来，AB，这个很好理解。
刚才已经说了，他是有初始点和终止点的，所以他是有长度的，那长度怎么记啊，长度就是1AB1，也就是向量加绝对值，就是长度。
下面要记住的是：向量有如下几种表达方式：第一种表达方式是：这表示什么，这表示一个空间竖着写得数组，凡是有线性代数基础知识的都知道啊，这就是表示的一个向量，这样竖着写得数组就是一个向量。
当然我们也可以横着写，这是什么，这是坐标，坐标不就是表示一个点吗？这个点根本不满足向量的条件啊，一个点怎么能表示向量呢？记住啊，凡是用坐标表示的向量，他表示的是什么啊，都是从坐标圆心（0.0.0）向这个坐标所连接的一个有效线段。
这个很好理解。
下面来我们来看如何来计算两点之间的距离，计算两点之间的距离有一种最直接的方式，叫欧氏距离，欧氏距离就是在空间当中，知道两个点的坐标，怎么计算两点之间的距离，怎么计算呢？就是这个点的坐标减去对应另外一个点的坐标取平方再求和，最后开根号。
这个就叫欧氏距离。
高等代数与解析几何大纲
《高等代数》考试大纲(草稿)（一）多项式考试内容数域；一元多项式；整除的概念及性质；最大公因式及辗转相除法；互素的概念及性质；不可约多项式的概念及性质；因式分解及唯一性定理。
考试要求1. 掌握数域、一元多项式的概念，了解一元多项式的运算及性质。
2. 掌握多项式整除的概念，了解相关的性质。
3. 掌握最大公因式的概念，了解辗转相除法。
4. 理解互素的概念，掌握两个一元多项式互素的充分必要条件。
5. 了解不可约多项式的概念及其性质。
6. 了解一般系数的多项式的因式分解定理，掌握复系数与实系数多项式的因式分解定理。
(二)行列式考试内容行列式的概念和基本性质；行列式计算；行列式按行（列）展开；拉普拉斯（Laplace）定理及行列式的乘法法则。
考试要求1.理解行列式的概念，掌握行列式的性质，了解拉普拉斯（Laplace）定理及行列式的乘法法则。
2.会应用行列式概念计算行列式，会利用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式，会运用矩阵的初等行（列）变换计算行列式。
(三)向量和矩阵考试内容向量的线性组合和线性表示；向量组的等价；向量组的线性相关与线性无关；向量组的极大线性无关组；向量组的秩；向量组的秩与矩阵的秩之间的关系。
矩阵的概念；矩阵的基本运算；矩阵的转置、伴随矩阵、逆矩阵的概念和性质；矩阵可逆的充分必要条件；矩阵的初等变换和初等矩阵；矩阵的秩；矩阵的等价；分块矩阵及其运算考试要求1.理解n维向量、向量的线性组合与线性表示等概念。
2.理解向量组线性相关、线性无关的定义、熟练掌握判断向量组线性相关、线性无关的方法。
3.理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩。
4.理解向量组等价的概念、清楚向量组的秩与矩阵秩的关系。
5.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，熟悉它们的基本性质。
6.掌握矩阵的数乘、加法、乘法、转置等运算。
掌握方阵的多项式概念。
河北专升本高等数学复习资料课件第五章向量代数与空间解析几何数一
知识清单
知识点三 向量的数量积与向量积
向量的数量积有如下常用的结论：
① ∙ = ∙ ；
② ∙ + = ∙ + ∙ ；
③ ∙ = ∙ = ∙ ，为实数；
④设 = 1 , 1 , 1 ， = 2 , 2 , 2 ， 则 ∙ = 1 2 + 1 2 + 1 2 ；
的直线交 u 轴于点′（点 ′称为点 M 在 u 轴上的投影），则向量′称为向量 a 在 u 轴上的分向量.设
′ = ，则数 λ 称为向量 a 在 u 轴上的投影，记作Prj 或() .
根据上述定义，在直角坐标系Oxyz中向量 = , , 的坐标分量 , , 就是 a 在三条坐标轴
± = 1 ± 2 , 1 ± 2 , 1பைடு நூலகம்± 2 ，
= 1 , 1 , 1
.
典例精析
知识清单
知识点二 空间直角坐标系与向量的坐标表示
3.向量的模与两点间的距离公式
设向量 r = (x,y,z)，则
=
2 + 2 + 2.
设点 1 , 1 , 1 ， 2 , 2 , 2 ，则点 A 与点 B 间的距离 就是向量的模，即
两平面的法向量的夹角(通常指锐角或直角)称为两平面的夹角.两平面平行或重合时，夹角θ = 0；两
π
平面垂直时，夹角 = 2 .
设平面π1 和π2 的法向量分别为1 = 1 , 1 , 1 ，2 = 2 , 2 , 2 ，π1 和π2 的夹角为 θ，则
1 ∙ 2
cos θ =
=
1 2
2)向量与数的乘法
线性代数与空间解析几何01-第5节 行列式按行(列)展开_5
1.3 行列式按行（列）展开
1.3.2 行列式按行（列）展开定理
3 1 1 2
例1.3.2 计算行列式 D 5 1
20
3 4 1 1.
解
1 5 3 3
5 1 1 1
5 11
D a 21 a 31
a 22 a 32
a 23 a 33
a 24 , a 34
M23 a31 a41
a32 a42
a34 a44
a 41 a 42 a 43 a 44 A23 1 23 M 23 M 23 .
1.3 行列式按行（列）展开
1.3.1 余子式、代数余子式的概念
引理 如果n阶行列式 D=︱aij︱中第i行除
a11 a12 a1n
D ai1 ai 2 ain
an1 an2 ann
ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain (i 1,2,, n)
1.3 行列式按行（列）展开
1.3.2 行列式按行（列）展开定理
定理1.3.1 行列式等于它的任意一行（列）
的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即
定义1.3.1 在n阶行列式 |aij |中, 把元素 aij所在
的第i行和第j列划去后, 余下来的n-1阶行列式叫做
元素aij 的余子式, 记作M ij ; 若记 Aij 1 i j M ij ,
则称 Aij 为元素aij 的代数余子式.
例如
a 11 a 12 a 13 a 14
a11 a12 a14
a11 a1 j a1n
D
a21
a2 j
a2n
an1 anj ann
a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj ( j 1,2,, n)
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复习提纲 2：线性代数与空间解析几何（一）
YY 2014-1
目录
1 矩阵和线性方程组................................................................................................................... 1 1.1 向量与矩阵................................................................................................................... 1 • 向量........................................................................................................................... 1 • 矩阵........................................................................................................................... 1 • 矩阵的运算............................................................................................................... 1 • 分块矩阵的运算 ....................................................................................................... 1 1.2 行列式........................................................................................................................... 1 • n 阶行列式的定义 ................................................................................................... 1 • 行列式的性质 ........................................................................................................... 2 1.3 逆矩阵........................................................................................................................... 2 • 逆矩阵的概念和性质 ............................................................................................... 2 • 用初等变换求逆阵 ................................................................................................... 3 • Cramer 法则 .............................................................................................................. 3 1.4 向量的线性关系........................................................................................................... 4 • 线性相关与线性无关 ............................................................................................... 4 • 与线性关系有关的性质 ........................................................................................... 4 1.5 秩............ห้องสมุดไป่ตู้...................................................................................................................... 4 • 向量组的秩............................................................................................................... 4 • 矩阵的秩................................................................................................................... 4 1.6 线性方程组................................................................................................................... 5 • 齐次线性方程组 ....................................................................................................... 5 • 非齐次线性方程组 ................................................................................................... 5 • Causs 消去法 ............................................................................................................ 5 • Jacobi 迭代法 ........................................................................................................... 5 线性空间和线性变换（1） ..................................................................................................... 6 2.1 线性空间....................................................................................................................... 6 • 线性空间................................................................................................................... 6 • 线性空间的基与坐标 ............................................................................................... 6 • 基变换与坐标变换 ................................................................................................... 6 2.2 线性变换及其矩阵表示 ............................................................................................... 6 • 几个简单的几何变换 ............................................................................................... 6 • 线性变换及其矩阵表示 ........................................................................................... 6 • 不同基下表示矩阵的关系 ....................................................................................... 7 2.3 特征值问题................................................................................................................... 7 • 特征值和特征向量 ................................................................................................... 7 • 特征值和特征向量的性质 ....................................................................................... 7 • 可对角化的矩阵 ....................................................................................................... 8 • Jordan 标准型简介 ................................................................................................... 8 2.4 内积和正交变换........................................................................................................... 8 • Euclid 空间 ............................................................................................................... 8 • 正交基....................................................................................................................... 9 • 正交矩阵和正交变换 ............................................................................................... 9